2019江苏高考数学小题强化训练50练(提升版)(含详细解答)

高考数学小题强化训练50篇(提升版)8个填空题+4个解答题(含详细参考答案)班级 __________ 姓名 __________ 分数 __________小题强化训练一一、填空题：本大题共8小题，每题5分，共40分．1.给出以下结论：①命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”；②“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件；③命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题；④命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”． 则其中错误的是________．(填序号)2.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧sin 5πx 2，x ≤0，16－log 3x ，x ＞0，则f (f (33))＝________． 3.连续抛掷两枚骰子分别得到的点数是a ，b ，则函数f (x )＝ax 2－bx 在x ＝1处取得最值的概率是________．4.设S n 为正项等比数列{a n }的前n 项和．若a 4·a 8＝2a 10，则S 3的最小值为________．5.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0，若直线y ＝k (x ＋1)上存在一点P ，使过点P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的取值范围是____________．(第6题) 6.如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点．若BE →＝λBA →＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________．7.已知a >0，b >0，则a 2a ＋b ＋2b 2b ＋a的最大值为________. 8.已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)有唯一的零点，则a ＝________．二、解答题：本大题共4小题，共60分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．9.(本小题满分14分)如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，已知M ，N 分别为线段BB 1，A 1C 的中点，MN 与AA 1所成角的大小为90°，且MA 1＝MC .求证：(1)平面A 1MC ⊥平面A 1ACC 1；(2)MN ∥平面ABC .10.(本小题满分14分)已知向量m ＝(cos α，－1)，n ＝(2，sin α)，其中α∈(0，π2)，且m ⊥n . (1)求cos2α的值；(2)若sin(α－β)＝1010，且β∈(0，π2)，求角β的值．11.(本小题满分16分)设椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，过点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2，0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；(2)设O 为坐标原点，求证：∠OMA ＝∠OMB .12.(本小题满分16分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 4＝24，S 7＝63.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2a n ＋(－1)n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .班级 __________ 姓名 __________ 分数 __________小题强化训练二一、填空题：本大题共8小题，每题5分，共40分．1.已知复数z 满足(z －2)i ＝1＋i (i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于第________象限．2.设集合A ＝{x |y ＝ln(x 2－3x )}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，则A ∪B ＝____________．3.若θ∈(0，π4)，且sin2θ＝14，则sin(θ－π4)＝________． 4.已知一个正方体的外接球体积为V 1，其内切球体积为V 2，则V 1V 2的值为________. 5.记等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝3，且数列{S n }也为等差数列，则a 11＝________．6.在▱ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 是CD 上一点，且AE →＝12AB →＋BC →，|AB →|＝λ|AD →|.若AC →·EB →＝12AD → 2，则λ＝________．7.设函数f (x )＝ln x ＋m x，m ∈R ，若对任意x 2＞x 1＞0，f (x 2)－f (x 1)＜x 2－x 1恒成立，则实数m 的取值范围是__________．8.已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则1（x －y ）2＋1（x ＋y ）2的最小值为________． 二、解答题：本大题共4小题，共60分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．9.(本小题满分14分)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5.(1)求cos ∠ADB 的值；(2)若DC ＝22，求BC 的值．10.(本小题满分14分)如图，在三棱锥ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(点E与点A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.11.(本小题满分16分)如图所示的某种容器的体积为90πcm3，它是由圆锥和圆柱两部分连结而成的，圆柱与圆锥的底面圆半径都为rcm.圆锥的高为h1cm，母线与底面所成的角为45°；圆柱的高为h2cm.已知圆柱底面造价为2a元/cm2，圆柱侧面造价为a元/cm2，圆锥侧面造价为2a元/cm2.(1)将圆柱的高h2表示为底面圆半径r的函数，并求出定义域；(2)当容器造价最低时，圆柱的底面圆半径r为多少？12.(本小题满分16分)已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且2n＋1，S n，a成等差数列(n∈N*)．(1)求a的值及数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝(2n－1)a n，求数列{b n}的前n项和T n.班级 __________ 姓名 __________ 分数 __________小题强化训练三一、填空题：本大题共8小题，每题5分，共40分．1.设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |14≤2x ≤64，x ∈N ，B ＝{x |y ＝ln(x 2－3x )}，则A ∩B 的子集的个数是________． 2.设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的__________条件． 3.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则双曲线C 的焦距为________． 4.已知{a n }，{b n }均为等比数列，其前n 项和分别为S n ，T n .若对任意的n ∈N *，总有S n T n ＝3n ＋14，则a 3b 3＝________． 5.已知在平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝120°，AB ＝1，AD ＝2，P 是线段BC 上的一个动点，则AP →·DP →的取值范围是________．(第7题)6.已知函数f (x )＝sin x (x ∈[0，π])和函数g (x )＝12tan x 的图象交于A ，B ，C 三点，则△ABC 的面积为________．7.如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________． 8.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋x 2＋m ，0≤x ≤1，mx ＋2，x >1，若函数f (x )有且只有两个零点，则实数m 的取值范围是________．二、解答题：本大题共4小题，共60分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．9.(本小题满分14分)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]．(1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值．10.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝4，直线l ：4x ＋3y －20＝0.A (45，35)为圆O 内一点，弦MN 过点A ，过点O 作MN 的垂线交l 于点P .(1)若MN ∥l ，求△PMN 的面积；(2)判断直线PM 与圆O 的位置关系，并证明．11.(本小题满分16分)某农场有一块农田，如图，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN (P 为此圆弧的中点)和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP ，要求A ，B 均在线段MN 上，C ，D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ.(1)用θ分别表示矩形ABCD 和△CDP 的面积，并确定sin θ的取值范围；(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3.求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．12.(本小题满分16分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝（a n ＋1）n ＋1（b n ＋2）n ，求数列{c n }的前n 项和T n .班级 __________ 姓名 __________ 分数 __________小题强化训练四一、填空题：本大题共8小题，每题5分，共40分．1.已知集合A ＝{x |2≤x <4}，B ＝{x |x >a }，若A ∩B ＝{x |3<x <4}，则实数a ＝________．2.已知f (x )＝ax 5＋bx 3＋sin x －8，且f (－2)＝10，那么f (2)＝________．3.已知sin θ－cos θ＝43，θ∈(3π4，π)，则sin(π－θ)－cos(π－θ)＝________． 4.记函数f (x )＝3－2x －x 2的定义域为D .在区间[－4，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．5.在三棱锥ABCD 中，E 是AC 的中点，F 在AD 上，且2AF ＝FD .若三棱锥ABEF 的体积为2，则四棱锥BECDF 的体积为________．6.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝4.若等边三角形P AB 的一边AB 为圆C 的一条弦，则PC 的最大值为________．7.设数列{a n }满足a 1＝1，(1－a n ＋1)(1＋a n )＝1(n ∈N *)，则k ＝1100(a k a k ＋1)的值为________． 8.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0＜x ≤1，|ln （x －1）|，x ＞1.若方程f (x )＝kx －2有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是________．二、解答题：本大题共4小题，共60分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．9.(本小题满分14分)在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17. (1)求A 的值；(2)求边AC 上的高．10.(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.(1)求证：平面P AB ⊥平面P AD ；(2)若P A ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，且四棱锥P ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积．11.(本小题满分16分)已知函数f (x )＝1x－x ＋a ln x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )存在两个极值点x 1，x 2，求证：f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<a －2.12.(本小题满分16分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝2S n ＋n ＋1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝n a n ＋1－a n，数列{b n }的前n 项和为T n ，n ∈N *，求证：T n <2.班级 __________ 姓名 __________ 分数 __________小题强化训练五一、填空题：本大题共8小题，每题5分，共40分．1.欧拉公式e xi ＝cos x ＋i sin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e －3i 表示的复数在复平面中位于第________象限．2.某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为________．3.在矩形ABCD 中，AB ＝2BC ＝2，现向矩形ABCD 内随机投掷质点P ，则满足P A →·PB →≥0的概率是________．4.已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b|的最大值与最小值的和为________．(第5题)5.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图象如图所示，则该函数的解析式是______________．6.若抛物线x 2＝4y 的弦AB 过焦点F ，且AB 的长为6，则弦AB 的中点M 的纵坐标为________．7.已知数列{a n }满足a 1＝0，数列{b n }为等差数列，且a n ＋1＝a n ＋b n ，b 15＋b 16＝15，则a 31＝________．8.已知函数f (x )＝x (a －1e x )，曲线y ＝f (x )上存在两个不同的点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，则实数a 的取值范围是__________．二、解答题：本大题共4小题，共60分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．9.(本小题满分14分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos(B －π6)． (1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值．10.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BC ⊥AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点．求证： (1)B 1C 1∥平面A 1DE ；(2)平面A 1DE ⊥平面ACC 1A 1.11.(本小题满分16分) 某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S 中x %(0<x <100)的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧30，0<x ≤30，2x ＋1 800x －90，30<x <100(单位：分钟)，而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟．试根据上述分析结果回答下列问题：(1)当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？(2)求该地上班族S 的人均通勤时间g (x )的表达式；讨论g (x )的单调性，并说明其实际意义．12.(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1，过点F 2作直线PF 2的垂线l 2. (1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线l 1，l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．班级 __________ 姓名 __________ 分数 __________小题强化训练六一、填空题：本大题共8小题，每题5分，共40分． 1.若A ＝{x ||x |＜3}，B ＝{x |2x ＞1}，则A ∩B ＝________．2.电视台组织的中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是“立德树人”“社会主义核心价值观”“依法治国理念”“中国优秀传统文化”“创新能力”．某参赛队从中任选2个主题作答，则“立德树人”主题被该队选中的概率是________．3.将函数y ＝3sin(2x －π6)的图象向左平移π4个单位长度，所得图象对应的函数解析式为____________．4.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1，则y ＋1x的取值范围是________．(第5题)5.如图，从热气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时热气球的高度是60m ，则河流的宽度BC ＝________．6.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是________．7.已知O 为矩形P 1P 2P 3P 4内的一点，满足OP 1＝4，OP 3＝5，P 1P 3＝7，则OP 2→·OP 4→＝________．8.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1－（x －1）2，0≤x <2，f （x －2），x ≥2.若对于正数k n (n ∈N *)，直线y ＝k n x 与函数y ＝f (x )的图象恰有(2n ＋1)个不同的交点，则数列{k 2n }的前n 项和为________．二、解答题：本大题共4小题，共60分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．9.(本小题满分14分)如图，在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ，AB 1⊥B 1C 1.求证： (1)AB ∥平面A 1B 1C ；(2)平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC .10.(本小题满分14分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c tan C ＝3(a cos B ＋b cos A )． (1)求角C ；(2)若c ＝23，求△ABC 面积的最大值．11.(本小题满分16分)某厂花费2万元设计了某款式的服装．根据经验，每生产1百套该款式服装的成本为1万元，每生产x (百套)的销售额(单位：万元)P (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋4.2x －0.8，0<x ≤5，14.7－9x －3，x >5.(1)该厂至少生产多少套此款式服装才可以不亏本？(2)试确定该厂生产多少套此款式服装可使利润最大，并求最大利润． (注：利润＝销售额－成本，其中成本＝设计费＋生产成本)12.(本小题满分16分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且过点A (0，1)．(1)求椭圆C 的方程；(2)不经过点A 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且AP →·AQ →＝0，求证：直线l 过定点．班级 __________ 姓名 __________ 分数 __________小题强化训练七一、填空题：本大题共8小题，每题5分，共40分．1.已知集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，集合B ＝{x |1＜x ≤3}，则A ∪B ＝____________．2.已知复数z ＝(1＋i )(1＋2i )，其中i 是虚数单位，则z 的模是________．3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ≤1，11－x，x ＞1，则f (f (－2))＝________．4.已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝m e 1＋2e 2，b ＝n e 1－e 2，且mn ≠0.若a ∥b ，则mn＝________．5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思如下：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了________．6.已知sin α＝3sin(α＋π6)，则tan(α＋π12)＝________．7.已知经过点P (1，32)的两个圆C 1，C 2都与直线l 1：y ＝12x ，l 2：y ＝2x 相切，则这两圆的圆心距C 1C 2等于________.8.已知函数f (x )＝log 2(ax 2＋2x ＋3)，若对于任意实数k ，总存在实数x 0，使得f (x 0)＝k 成立，则实数a 的取值范围是________．二、解答题：本大题共4小题，共60分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．9.(本小题满分14分)在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝EC ＝12AA 1.求证：(1)AC 1∥平面BDE ； (2)A 1E ⊥平面BDE .10.(本小题满分14分)已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，a 2＝3，且a 3，a 5，a 8成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n cos a n π2，求数列{b n }的前2018项和．11.(本小题满分16分)为建设美丽乡村，政府欲将一块长12百米，宽5百米的矩形空地ABCD 建成生态休闲园，园区内有一景观湖EFG (图中阴影部分)．以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy (如图)．景观湖的边界曲线符合函数y ＝x ＋1x(x >0)模型．园区服务中心P 在x 轴正半轴上，PO ＝43百米．(1)若在点O 和景观湖边界曲线上一点M 之间修建一条休闲长廊OM ，求OM 的最短长度； (2)若在线段DE 上设置一园区出口Q ，试确定Q 的位置，使通道PQ 最短．12.(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，且椭圆经过点A (2，0)和点(1，3e )，其中e 为椭圆的离心率． (1)求椭圆的方程；(2)过点A 的直线l 交椭圆于另一点B ，点M 在直线l 上，且OM ＝MA .若MF 1⊥BF 2，求直线l 的斜率．班级 __________ 姓名 __________ 分数 __________小题强化训练八一、填空题：本大题共8小题，每题5分，共40分． 1.若向量a ＝(cos10°，sin10°)，b ＝(cos70°，sin70°)，则|a －2b|＝________．2.在同一平面直角坐标系中，函数y ＝sin(x ＋π3)(x ∈[0，2π))的图象和直线y ＝12的交点的个数是________.3.由命题“存在x 0∈R ，使得e |x 0－1|－m ≤0”是假命题，得m 的取值范围是(－∞，a )，则实数a 的值是________．4.已知圆柱M 的底面圆半径为2，高为6，圆锥N 的底面圆直径和母线长相等，若圆柱M 和圆锥N 的体积相同，则圆锥N 的高为________．5.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23－y 2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是________．6.设定义在R 上的偶函数f (x )在区间(－∞，0]上单调递减．若f (1－m )＜f (m )，则实数m 的取值范围是________．7.设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝kn 2＋n ，n ∈N *，其中k 是常数．若对于任意的m ∈N *，a m ，a 2m ，a 4m 成等比数列，则k 的值为________．8.已知直线y ＝kx ＋2－2k 与曲线y ＝2x －3x －2交于A ，B 两点，平面上的动点P 满足|P A →＋PB →|≤2，则|PO →|的最大值为________.二、解答题：本大题共4小题，共60分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．9.(本小题满分14分)如图，在正四棱锥VABCD 中，E ，F 分别为棱VA ，VC 的中点．求证： (1)EF ∥平面ABCD ； (2)平面VBD ⊥平面BEF .10.(本小题满分14分)如图，某公园有三条观光大道AB ，BC ，AC 围成直角三角形，其中直角边BC ＝200m ，斜边AB ＝400m ．现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB ，BC ，AC 大道上嬉戏，所在位置分别记为点D ，E ，F . (1)若甲、乙都以每分钟100m 的速度从点B 出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲、乙两人之间的距离；(2)设∠CEF ＝θ，乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的2倍，且∠DEF ＝π3，请将甲、乙之间的距离ym 表示为θ的函数，并求甲、乙之间的最小距离．11.(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，设P 为圆O ：x 2＋y 2＝2上的动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足PQ →＝2MQ →.(1)求证：当点P 运动时，点M 始终在一个确定的椭圆上； (2)过点T (－2，t )(t ∈R )作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B . ①求证：直线AB 过定点(与t 无关)；②设直线AB 与(1)中的椭圆交于C ，D 两点，求证：ABCD≤ 2.12.(本小题满分16分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋t ，x ＜0，x ＋ln x ，x ＞0，其中t 是实数．设A ，B 为该函数图象上的两点，横坐标分别为x 1，x 2，且x 1<x 2.(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)若x 2<0，函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线互相垂直，求x 1－x 2的最大值．班级 __________ 姓名 __________ 分数 __________小题强化训练九一、填空题：本大题共8小题，每题5分，共40分．1.已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________．2.如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是________．3.如图，在△ABC 中，已知AN →＝12AC →，P 是BN 上一点．若AP →＝mAB →＋14AC →，则实数m 的值是________．(第2题)(第3题)(第4题)4.如图，正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1DEF 的体积为________．5.已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，x ＋y －4≥0，x ≤3，则2x 3＋y 3x 2y的取值范围是________．6.若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，则f (x )的极小值为________．7.若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n （2n －1）（2n ＋1－1）的前k 项的和不小于2 0182 019，则k 的最小值为________．8.在平面直角坐标系xOy 中，A (－12，0)，B (0，6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上．若P A →·PB →≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________．二、解答题：本大题共4小题，共60分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．9.(本小题满分14分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b sin2C ＝c sin B . (1)求角C ；(2)若sin(B －π3)＝35，求sin A 的值．10.(本小题满分14分)在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD ，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒(如图)．设小正方形边长为x 厘米，矩形纸板的两边AB ，BC 的长分别为a 厘米和b 厘米，其中a ≥b .(1)当a ＝90时，求纸盒侧面积的最大值；(2)试确定a ，b ，x 的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．11.(本小题满分16分)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m >0)．(1)求证：k <－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋F A →＋FB →＝0.求证：|F A →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，并求该数列的公差．12.(本小题满分16分)设等差数列{a n }是无穷数列，且各项均为互不相同的正整数．(1)设数列{a n }的前n 项和为S n ，b n ＝S na n－1，n ∈N *.①若a 2＝5，S 5＝40，求b 2的值； ②若数列{b n }为等差数列，求b n .(2)求证：数列{a n }中存在三项(按原来的顺序)成等比数列．班级 __________ 姓名 __________ 分数 __________小题强化训练十一、填空题：本大题共8小题，每题5分，共40分．1.若复数(a －i )(1－i )(a ∈R )的实部与虚部相等，则实数a ＝________．2.在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲、乙两人各抽取一张(不放回)，两人都中奖的概率为________．3.执行下面的流程图，输出的T ＝________．4.已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 2＝a 4，则S 4a 2＋a 5＝________．5.已知点P (1，22)在角θ的终边上，则sin(2θ＋π2)＋sin(2θ＋2π)＝________．6.从x 2m －y2n＝1(其中m ，n ∈{－1，2，3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x 轴上的双曲线方程的概率为________．7.在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：x ＋2y ＝0与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝5相切，且圆心C 在直线l 的上方，则ab 的最大值为________．8.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ≤0，e x －1，x ＞0，若函数y ＝f (x )－2x ＋t 有两个零点，则实数t 的取值范围是______________．二、解答题：本大题共4小题，共60分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．9.(本小题满分14分)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos2α的值； (2)求tan(α－β)的值．10.(本小题满分14分)如图，在一条海防警戒线上的点A ，B ，C 处各有一个水声监测点，B ，C 两点到点A 的距离分别为20km 和50km .某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8s 后A ，C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5km /s .(1)设A 到P 的距离为xkm ，用x 表示B ，C 到P 的距离，并求x 的值； (2)求P 到海防警戒线AC 的距离．11.(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A ，B ，过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点(点P 在x 轴上方)． (1)若QF ＝2FP ，求直线l 的方程；(2)设直线AP ，BQ 的斜率分别为k 1，k 2.是否存在常数λ，使得k 1＝λk 2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．12.(本小题满分16分) 已知函数f (x )＝e x －ax 2.(1)若a ＝1，求证：当x ≥0时，f (x )≥1；(2)若f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点，求实数a 的值．班级 __________ 姓名 __________ 分数 __________小题强化训练十一一、填空题：本大题共8小题，每题5分，共40分．1.若集合A ＝{x ∈Z |x 2＋x －12＜0}，B ＝{x |x <sin5π}，则A ∩B 中元素的个数为________．2.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 是________．i ←1Whilei <6 i ←i ＋2 S ←2i ＋3 EndWhile PrintS3.已知首项为负数的等差数列{a n }中，a 5a 4<－1，若S n 取到最小正数，则此时的n ＝________．4.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2－y 24＝1的一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为________．5.已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －2y ＋3≥0，x ≤a表示的可行域为D ，其中a >1，点(x 0，y 0)∈D ，点(m ，n )∈D .若3x 0－y 0与n ＋1m 的最小值相等，则实数a ＝________．6.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线l 恰好是曲线y ＝x 3－3x 2＋22x 在原点处的切线，左顶点到一条渐近线的距离为263，则双曲线的标准方程为__________．7.将函数y ＝3sin(π4x )的图象向左平移3个单位长度，得函数y ＝3sin(π4x ＋φ)(|φ|<π)的图象(如图)，点M ，N 分别是函数f (x )图象上y 轴两侧相邻的最高点和最低点．设∠MON ＝θ，则tan(φ－θ)的值为________．8.已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1ex ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a的取值范围是________．二、解答题：本大题共4小题，共60分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．9.(本小题满分14分)在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝32，AB →·AC →＝－18. (1)求BC 的长； (2)求tan2B 的值．10.(本小题满分14分)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并求S n 的最小值．11.(本小题满分16分)曲线f (x )＝x 2－a 2ln x 在点(12，f (12))处的切线斜率为0.(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若g (x )＝f (x )＋12mx 在区间(1，＋∞)上没有零点，求实数m 的取值范围．12.(本小题满分16分)如图，圆柱体木材的横截面半径为1dm ，从该木材中截取一段圆柱体，再加工制作成直四棱柱A 1B 1C 1D 1ABCD ，该四棱柱的上、下底面均为等腰梯形，分别内接于圆柱的上、下底面，下底面圆的圆心O 在梯形ABCD 内部，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，AA 1＝AD ，设∠DAO ＝θ. (1)求梯形ABCD 的面积；(2)当sin θ取何值时，四棱柱A 1B 1C 1D 1ABCD 的体积最大？并求出最大值．(注：木材的长度足够长)班级 __________ 姓名 __________ 分数 __________小题强化训练十二一、填空题：本大题共8小题，每题5分，共40分．1.已知集合A ＝{x ∈R |log 12(x －2)≥－1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R |2x ＋63－x ≥1，则A ∩B ＝________． 2.设向量a ＝(2，m )，b ＝(1，－1)，若b ⊥(a ＋2b )，则实数m ＝________．3.已知正五边形ABCDE 的边长为23，则AC →·AE →的值为________．4.正方形铁片的边长为8cm ，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧，剪下一个顶角为π4的扇形，用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器，则这个圆锥形容器的容积等于________cm 3. 5.等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________．6.已知sin α＝55，α∈(0，π2)，tan β＝13，则tan(α＋2β)＝________．7.已知a >0，函数f (x )＝x (x －a )2和g (x )＝－x 2＋(a －1)x ＋a 存在相同的极值点，则a ＝________.8.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x <a ，－2x ，x ≥a ，若关于x 的不等式f (x )>4a 在实数集R 上有解，则实数a 的取值范围是____________.二、解答题：本大题共4小题，共60分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．9.(本小题满分14分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为a 23sin A.(1)求sin B sin C 的值；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长．10.(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为梯形，CD ∥AB ，AB ＝2CD,AC 交BD 于点O ，锐角三角形P AD 所在平面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥BD ，点Q 在侧棱PC 上，且PQ ＝2QC .求证：(1)P A ∥平面QBD ； (2)BD ⊥AD .11.(本小题满分16分)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的离心率为53，点A 的坐标为(b ，0)，且FB ·AB ＝6 2. (1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx (k >0)与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若AQ PQ ＝524sin ∠AOQ (O 为原点)，求k 的值．12.(本小题满分16分)如图，半圆AOB 是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径OA 的长为1百米．为了保护景点，基地管理部门从道路l 上选取一点C ，修建参观线路CDEF ，且CD ，DE ，EF 均与半圆相切，四边形CDEF 是等腰梯形．设DE ＝t 百米，记修建每1百米参观线路的费用为f (t )万元，经测算f (t )＝⎩⎨⎧5，0＜t ≤13，8－1t ，13<t <2.(1)用t 表示线段EF 的长；(2)求修建该参观线路的最低费用．班级 __________ 姓名 __________ 分数 __________小题强化训练十三一、填空题：本大题共8小题，每题5分，共40分．(第3题)1.已知复数z ＝2＋i1－i (i 为虚数单位)，那么z 的共轭复数为________．2.若tan(α－π4)＝16，则tan α＝________．3.执行如图所示的程序框图，若a ＝2018，则输出的S ＝________．4.设等边三角形ABC 的边长为1，t 为任意的实数，则|AB →＋tAC →|的最小值为________． 5.已知函数f (x )＝2sin x ＋1(x ∈[0，2π])，设h (x )＝|f (x )|－a ，则当1<a <3时，函数h (x )的零点个数为________．6.已知函数f (x )＝(x 2－2x )sin(x －1)＋x ＋1在x ∈[－1，3]上的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________．7.已知x ＞y ＞0，且x ＋y ≤2，则4x ＋3y ＋1x －y的最小值为________．8.设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.若椭圆上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是______________．二、解答题：本大题共4小题，共60分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．9.(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PD ⊥平面ABCD ，过AD 的平面分别与PB ，PC 交于点E ，F .求证： (1)平面PBC ⊥平面PCD ； (2)AD ∥EF .10.(本小题满分14分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且点(－3，12)在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的标准方程； (2)若直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为H ，O 为坐标原点，且OH ＝1，求△POQ 面积的最大值．11.(本小题满分16分)如图，圆O 是一块半径为1米的圆形钢板，为生产某部件需要，需从中截取一块多边形ABCDFGE .其中AD 为圆O 的直径，点B ，C ，G 在圆O 上，BC ∥AD ，点E ，F 在AD 上，且OE ＝OF ＝12BC ，EG ＝FG .(1)设∠AOB ＝θ，试将多边形ABCDFGE 面积S 表示成θ的函数关系式； (2)求多边形ABCDFGE 面积S 的最大值．12.(本小题满分16分)已知数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且对任意n ∈N *，a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )恒成立．(1)若A n ＝n 2，b 1＝2，求B n ；(2)若对任意n ∈N *，都有a n ＝B n 及b 2a 1a 2＋b 3a 2a 3＋b 4a 3a 4＋…＋b n ＋1a n a n ＋1<13恒成立，求正实数b 1的取值范围；(3)若a 1＝2，b n ＝2n ，是否存在两个互不相等的整数s ，t (1<s <t )，使A 1B 1，A s B s ，A tB t成等差数列？若存在，求出s ，t 的值；若不存在，请说明理由．班级 __________ 姓名 __________ 分数 __________小题强化训练十四一、填空题：本大题共8小题，每题5分，共40分．1.设全集U ＝{x |x ≥2，x ∈N }，集合A ＝{x |x 2≥5，x ∈N }，则∁U A ＝________．2.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各八名学生在一次数学测试中的成绩(单位：分)，规定85分以上(含85分)为优秀，现分别从甲、乙两组中随机选取一名同学的数学成绩，则两人成绩都为优秀的概率是________． 错误!(第2题) (第3题) (第5题)3.如图，在一个面积为8的矩形中随机撒一粒黄豆，若黄豆落到阴影部分的概率为14，则阴影部分的面积为________．4.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯________盏．5.如图，在四棱锥P ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形．若AB ＝2，∠BAD ＝60°，则当四棱锥P ABCD 的体积等于23时，PC ＝________．6.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右端点分别为A ，B ，点C (0，2b )．若线段AC的垂直平分线过点B ，则双曲线的离心率为________．7.在平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，AB →·AD →＝－1，点M 在边CD 上，则MA →·MB →的最大值为________．8.已知函数f (x )＝x (e x －e －x )－(2x －1)(e 2x －1－e 1－2x )，则满足f (x )>0的实数x 的取值范围是________．二、解答题：本大题共4小题，共60分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．9.(本小题满分14分)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P (－35，－45)．(1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cos β的值．。