离散数学第七章__环
离散数学 7-1图概念7-2路与回路
例如
路：v1e2v3e3v2e3v3e4v2e6v5e7v3 迹：v5e8v4e5v2e6v5e7v3e4v2 通路：v4e8v5e6v2e1v1e2v3
学习本节要熟悉如下术语(22个)： 路、 路的长度、 回路、 迹、 通路、 圈、 割点、
连通、连通分支、 连通图、 点连通度、
点割集、
边割集、 割边、 边连通度、 可达、 弱分图、
单侧连通、 强连通、 弱连通、 强分图、 单侧分图 掌握5个定理，一个推论。
7-2 路与回路
路
无向图的连通性
7-1 图的基本概念
图的定义
点的度数
特殊的图 图同构
三、特殊的图
1、多重图 定义7-1.4：含有平行边的图称为多重图。 2、简单图：不含平行边和环的图称为简单图。 3、完全图 定义7-1.5：简单图G=<V，E>中，若每一对结点 间均有边相连，则称该图为完全图。 有n个结点的无向完全图记为Kn。 无向完全图：每一条边都是无向边 不含有平行边和环 每一对结点间都有边相连
3、图的分类：
①无向图：每条边均为无向边的图称为无向图。 ②有向图：每条边均为有向边的图称为有向图。
③混合图：有些边是无向边，有些边是有向边的图称
为混合图。
v1 (孤立点) v5 V1’ v1 环
v2
v4 v3 (a)无向图
V2’
V3’ (b)有向图 V4’
v2
v4 v3 ( c ) 混合图
4、点和边的关联：如ei=(u，v)或ei=<u，v>称u， v与ei关联。 5、点与点的相邻：关联于同一条边的结点称为邻 接点。
离散数学第七章图的基本概念
离散数学第七章图的基本概念第7章图的基本概念7.1 无向图及有向图7.2 通路、回路、图的连通性7.3 图的矩阵表示7.4 最短路径及关键路径7.1 无向图及有向图一.基本概念和术语1.无向图与有向图图:图G=,其中V为(非空)顶点集合,E是V中顶点偶对的集合,称为边.通常用V(G)和E(G)分别表示图G的顶点集合和边集合.无向图:若图G中边集合E(G)为无向边的集合,则称该图为无向图.有向图:若图G中边集合E(G)为有向边的集合,则称该图为有向图.有时用D=表示有向图.2.有限图与n阶图若G=中V,E都是有穷集合,则称G为有限图.若|V|=n,则称G为n阶图.例如:图7.1中(1)为无向图G=,V={v1,v2,v3,v4,v5}, E={(v1,v2),(v2,v2),(v2,v3),(v1,v3),(v1,v3)(v1,v4)};(2)为有向图D=,V={v1,v2,v3,v4,v5},E={,,,,,, ,}V2V1V5V3V4e1e2e3 e4e5e6(1)V1V2V3 V4V5e1e2e3e4e5e6e7e8 图7.1 (2)3.零图与平凡图若G=中,E=φ,则称G为零图.若|V|=1,则称G为平凡图.4.关联与相邻设图G=, u,v∈V,(u,v)∈E(有向图∈E)常记e=(u,v)(或有向图e=),称u,v为e的端点.(对有向图中的有向边来说,称u为e的始点,v为e的终点)称e与u或v是彼此相关联的;无边关联的顶点称为孤立点.若e关联的两个顶点重合,则称e为环;若u≠v,则称e与u(或v)的关联次数为1;若u=v(即e为环),则称e与u关联的次数为2;若顶点u,v之间有边关联,则称u与v相邻;若两条边至少有一个公共端点,则称这两条边相邻.5.顶点的度数设v为无向图G中的一个顶点,称v作为边的端点的次数之和为v 的度数或度,记作d(v).若v为有向图G中的一个顶点,称v作为边的始点次数之和为v的出度,记作d+(v);v作为边的终点的次数之和为v的入度,记作d-(v),称d+(v)+d-(v)为v的度数或度,记作d(v). G的最大度:Δ(G)=max{d(v)|v∈V(G)}G的最小度:δ(G)=min{d(v)|v∈V(G)}V2V1V5V3V4(1)V1V2V3 V4V5图7.1 (2)V1 V2V3 V5V4V1V2V3V5V46.简单图对于无向图,若关联一对顶点的边多于1条,则称这些边为平行边.对于有向图,关联一对顶点的方向相同的边,如果多于1条,则称这些边为平行边.既不含平行边,也不含环的图,称为简单图.1 2 4 323 4512 3(1)K4 (2)K5图7.2(3)7.完全图设G为n阶(n个顶点)无向简单图,若G中任何两个顶点均相邻,则称G为n阶(无向)完全图,记作Kn.边数n(n-1)/2设D为n阶(n个顶点)有向简单图,若G中任何两个顶点之间均有两条方向相反的边,则称G为n阶有向完全图.边数n(n-1)8.子图设G=,G’=,若V’?V,E’?E,则称G’为G的子图.记作G’?G.若G’?G且G’≠G,则称G’为G的真子图.若G’?G且V’=V,则称G’为G的生成子图.若V1?V且V1≠φ,称以V1为顶点集,以两个端点均在V1中的边为边集的图为V1的导出子图.若E1?E且E1≠φ,称以E1为边集,以E1中边关联的顶点为顶点集的图为E1的导出子图.注)每个图都是本身的子图.e1e3V1V2V3V4e4e2V1 V2 e5 e4V1V2V3V4e1e3 e4(1)(2)(3)V1V2V3e1e2e3e4V1V2 V3e1e3 (2) 图7.3 V1V2e1(3演示文稿后等挂机赚钱/doc/cf12769815.html, 嵠吖夻9.补图:设G=为n阶简单图,称以V为顶点集,以使G成为n阶完全图所添加的边为边集的图为G的补图,记作G 123 4 5123 45123 45(1) (2) 5阶完全图(1)与(2)互为补图12 312 312 3(1)(2) 3阶有向完全图(1)与(2)互为补图二.握手定理(图论基本定理)任何图G 中各顶点的度数之和等于边数的2倍.若G 为有向图,则各顶点的入度之和等于各顶点的出度之和.都等于边数.mE v v v V E V G mv d v dmv d n ni i ni i ni i ==>=<===∑∑∑=-=+=||},,...,,{,,)()(2)(21111其中即推论:任何图G 中,奇度顶点的个数为偶数.说明:图G 的度数序列为{d(v 1),d(v 2),…,d(v n )}例7.1 (1)(3,3,2,3),(5,2,3,1,4)能成为图的度数序列吗?为什么? (2)已知图G中有10条边,4个3度顶点,其余顶点的度数均小于等于2,问G中至少有多少个顶点?为什么?三.图的同构设G1=,G2=为两个无向图,若存在双射函数f:V1->V2,使得对于任意的e=(v1,v2)∈E1当且仅当e’=(f(v1),f(v2))∈E2,且e与e’的重数相同,则称G1与G2同构.记作G1≌G2.abc deV1V2V3V4V5(1) (2)例7.2(1)画出4个顶点3条边的所有可能非同构的无向简单图(2)画出3个顶点2条边的所有可能非同构的有向简单图(1)(2) 12 3412 34 12 34 12 31231231237.2 通路、回路、图的连通性一.术语1.通路与回路设Γ=v0e1v1e2…e k v k为图G中的顶点与边的交替序列,若Γ满足:v i-1,v i为e i的端点(若G为有向图,v i-1是e i的始点,v i是e i的终点)i=1,2,…,k,则称Γ为G中通路,v0,v k分别称为通路的始点和终点,Γ中边的数目k称为通路长度.若v0=v k,则通路称为回路.若Γ中各边互不相同,则称Γ为简单通路,若v0=v k,则称Γ为简单回路.若Γ中各顶点互不相同,则称Γ为初级通路,若Γ中除v0=v k外,各顶点各不相同,并且各边也互不相同,则称Γ为初级回路或圈.有边重复出现的通路和回路分别称为复杂通路和回路.V0V6V5V7V8V3V1V2V4V0V1V2V3V4V2V3V4V1 V5(1)v0到v4长为4的初级通路(3)v0到v8长为8的简单通路(5)v0到v0=v5长为5的初级回路(7)v0到v0长为8的简单回路图7.7V0V6V5V7V8V3V1V2V4V0V1V2V3V4V2V3V4V1 V5(2)v0到v4长为4的初级通路(4)v0到v8长为8的简单通路(6)v0到v0=v5长为5的初级回路(8)v0到v0长为8的简单回路图7.7定理1:在一个n阶图中,若从顶点v i到v j(v i≠v j)存在通路,则从v i到v j存在长度小于等于n-1的通路.推论:在一个n阶图中,若从顶点v i到v j(v i≠v j)存在通路,则从v i 到v j存在长度小于等于n-1的初级通路.定理1:在一个n阶图中,如果存在v i到自身的回路,则从v i到自身存在长度小于等于n的回路.推论:在一个n阶图中,如果存在v i到自身存在一条简单回路,则从v i到自身存在长度小于等于n的初级回路.2.顶点之间的连通关系在无向图G中,若顶点v i到v j有通路,则称v i与v j连通.规定顶点与自身连通.顶点之间的连通关系是等价关系.在有向图G 中,若顶点v i到v j有通路,则称v i可达v j.规定任何顶点与自身可达.3.短程线与距离若v i与v j连通(有向图,若v i可达v j),则称v i到v j长度最短的通路为v i到v j的短程线,短程线的长度称为v i到v j的距离,用d(v i,v j)表示.(对于有向图,用d表示).说明:若v i与v j不连通(对于有向图,若v i不可达v j),则规定d(v i,v j)=∞(d=∞).其他情况满足距离公式.。
离散数学第7章习题解答
第7章 习题解答(1),(2),(3),(5)都能组成无向图的度数列,其中除(5)外又都能组成无向简单图的度数列.分析 1° 非负整数列n d d d ,,,21 能组成无向图的度数列当且仅当∑=ni di 1为偶数,即n d d d ,,,21 中的奇数为偶数个.（1）,(2),(3),(5)中别离有4个,0个,4个,4个奇数,所以,它们都能组成无向图的度数列,固然,所对应的无向图极可能是非简单图.而(4)中有3个奇数,因此它不能组成无向图度数列.不然就违背了握手定理的推论.2°(5) 虽然能组成无向图的度数列,但不能组成无向简单度数列.不然,若存在无向简单图G,以1,3,3,3为度数列,不妨设G 中极点为4321,,,v v v v ,且1)(=i v d ,于是.3)()()(432===v d v d v d 而1v 只能与432,,v v v 之一相邻,设1v 与2v 相邻,这样一来,除2v 能达到3度外, 43,v v 都达不到3度,这是矛盾的.在图所示的4个图中,(1) 以1为度数列,(2)以2为度数列,(3)以3为度数列,(4)以4为度数列(非简单图).设有几简单图D 以2,2,3,3为度数列,对应的极点别离为4321,,,v v v v ,由于),()()(_v d v d v d +=+所示,)()()(,202)()(22211v d v d v d v d v d -+-+-==-=- 033)()()(,123)()()(,202444333=-=-==-=-==-=-+-+v d v d v d v d v d v d由此可知,D 的出度列为2,2,1,0,且知足∑∑-+=)()(i i v d v d .请读者画出一个有向图.以2,2,3,3为度数列,且以0,0,2,3为入度列,以2,2,1,0为出度列.D 的入度列不可能为1,1,1,1.不然,必有出度列为2,2,2,2(因为))()()(v d v d v d -++=,)此时,入度列元素之和为4,不等于出度列元素之和8,这违背握手定理.类似地讨论可知,1,1,1,1也不能为D 的出席列.不能. N 阶无向简单图的最大度.1-≤∆n 而这里的n 个正整数彼此不同,因此这n 个数不能组成无向简单图的度数列,不然所得图的最大度大于n,这与最大度应该小于等于n-1矛盾.(1) 16个极点. 图中边数16=m ,设图中的极点数为n .按照握手定理可知∑====ni i n v d m 12)(322所以,.16=n(2) 13个极点.图中边数21=m ,设3度极点个数为x,由握手定理有x m 343422+⨯==由此方程解出10=x .于是图中极点数.13103=+=n (3) 由握手定理及各极点度数均相同,寻觅方程nk =⨯242的非负整数解,这里不会出现k n ,均为奇数的情况. 其中n 为阶级,即极点数,k 为度数共可取得下面10种情况.①个极点,度数为48.此图必然是由一个极点的24个环组成,固然为非简单图.②2个极点,每一个极点的度数均为24.这样的图有多种非同构的情况,必然为非简单图.③3个极点,每一个极点的度数均为16.所地应的图也都是非简单图. ④4个极点,每一个极点的度数均为12. 所对应的图也都是非简单图. ⑤6个极点，每一个极点的度数均为8，所对应的图也都是非简单图.⑥个极点,每一个极点的度数均为6.所对应的非同构的图中有简单图,也有非简单图.⑦12个极点,每一个极点的度数均为 4. 所对应的非同构的图中有简单图,也有非简单图.⑧16个极点,每一个极点的度数均为3,所对应的非同构的图中有简单图,也有非简单图.⑨24个极点,每一个极点的度数均为2.所对应的非同构的图中有简单图,也有非简单图.⑩48个极点,每一个极点的度数均为1,所对应的图是唯一的,即由24个2K 组成的简单图.分析 由于n 阶无向简单图G 中,1)(-≤∆n G ,的以①-⑤所对应的图不可能有简单图.⑥-⑨既有简单图,也有非简单图,读者可以画出若干个非同构的图,而⑩只能为简单图.设G 为n 阶图,由握手定理可知∑=≥=⨯=ni n v d 113)(35270,所以,.23370=⎥⎦⎥⎢⎣⎢≤n这里, ⎣⎦x 为不大于x 的最大整数,例如⎣⎦⎣⎦.23370,25.2,22=⎥⎦⎥⎢⎣⎢==由于1)(-=n G δ,说明G 中任何极点v 的度数1)()(-=≥n G v d δ,可是由于G 为简单图,因此1)(-≤∆n G ,这又使得1)(-≤n v d ,于是1)(-=n v d ,也就是说,G 中每一个极点的度数都是1-n ,因此应有1)(-≤∆n G .于是G 为)1(-n 阶正则图,即G 为n 阶完全图.n K由G 的补图G 的概念可知,G G 为n K ,由于n 为奇数,所以, n K 中各项极点的度数1-n 为偶数.对于任意的),(G V v ∈应有),(G V v ∈且1)()(_)(-==n v d v d v d n K G G其中)(v d G 表示v 在G 中的度数, )(v d G 表示v 在G 中的度数.由于1-n 为偶数,所以, )(v d G 与)(v d G 同为奇数或同为偶数,因此若G 有r 个奇度极点,则G 也有r 个奇度极点.由于,'D D ⊆所以,m m ≤'.而n 阶有向简单图中,边数)1(-≤n n m ,所以,应有)1()1('-≤≤=-n n m m n n这就致使)1(-=n n m ,这说明D 为n 阶完全图,且D D ='.图给出了4K 的18个非同构的子图,其中有11个生成子图(8-18),其中连通的有6个11,12,13,14,16,17).图中,n,m 别离为极点数和边数.4K 有11个生成子图,在图中,它们别离如图8-18所示.要判断它们当中哪些是自补图,首先要知道同构图的性质,设1G 与2G 的极点数和边数.若21G G ≅,则21n n =且21m m =.(8)的补图为4)14(K =,它们的边数不同,所以,不可能同构.因此(8)与(14)均不是自补图类似地,(9)的补图为(13),它们也非同构,因此它们也都不是自补图.(10)与(12)互为补图,它们非同构,因此它们都不是自补图.(15)与(17)互为补图,它们非同构,所以,它们都不是自补图.类似地,(16)与(18)互为补图且非同构,所以,它们也都不是自补图.而(11)与自己的补图同构,所以,(11)是自补图.3阶有向完全图共有20个非同构的子图,见图所示,其中(5)-(20)为生成子图,生成子图中(8),(13),(16),(19)均为自补图.分析 在图所示的生成子图中, (5)与(11)互为补图,(6)与(10)互为补图,(7)与(9)互为补图,(12)与(14)互为补图,(15)与(17)互为补图,(18)与(20)互为补图,以上互为补图的两个图边数均不相同,所以,它们都不是自补图.而(8),(13),(16),(19)4个图都与自己的补图同构,所以,它们都是自补图.不能.分析 在同构的意义下,321,,G G G 都中4K 的子图,而且都是成子图.而4K 的两条边的生成子图中,只有两个是非同构的,见图 中(10)与(15)所示.由鸽巢原理可知, 321,,G G G 中至少有两个是同构的,因此它们不可能彼此都非同构.鸽巢原理m 只鸽飞进n 个鸽巢,其中n m ≥,则至少存在一巢飞入至少][n m只鸽子.这里⎡⎤x 表示不小于x 的最小整数.例如, ⎡⎤,22=⎡⎤.35.2=7.14 G 是唯一的,即便G 是简单图也不唯一.分析 由握手定理可知n m 32=,又由给的条件得联立议程组⎩⎨⎧=-=.3232m n n m 解出.9,6==m n 6个极点,9条边,每一个极点的度数都是3的图有多种非同构的情况,其中有多个非简单图(带平行边或环),有两个非同构的简单图,在图 中(1),(2)给出了这两个非同构的简单图.知足条件的非同构的简单图只有图 中,(1),(2)所示的图,(1)与(2)所示的图,(1)与(2)是非同构的.注意在(1)中不存在3个彼此相邻的极点,而在(2)中存在3个彼此相邻的极点,因此(1)图与(2)图非同构.下面分析知足条件的简单图只有两个是非同构的.首先注意到(1)中与(2)中图都是6K 的生成子图,而且还有这样的事实,设21,G G 都是n 阶简单图,则21G G ≅当且仅当21G G ≅,其中21,G G 别离为1G 与2G 的补图.知足要求的简单图都是6阶9条边的3正则图,因此它们的补图都为6阶6条边的2正则图(即每一个极点度数都是2).而6K 的所有生成子图中,6条边2正则的非同构的图只有两个,见图中(3),(4)所示的图,其中(3)为(1)的补图,(4)为(2)的补图,知足要求的非同构的简单图只有两个.但知足要求的非同简单图有多个非同构的,读者可自己画出多个来. 将6K 的极点标定顺序,讨论1v 所关联的边.由鸽巢原理(见 题),与1v 关联的5条边中至少有3条边颜色相同,不妨设存在3条红色边,见图中(1)所示(用实线表示红色的边)并设它们关联另外3个极点别离为.,,642v v v 若642,,v v v 组成的3K 中还有红色边,比如边(42,v v )为红色,则421,,v v v 组成的3K 为红色3K ,见图中(2)所示.若642,,v v v 组成的3K 各边都是蓝色(用虚线表示),则642,,v v v 组成K为蓝色的.的3在图所示的3个图中,(1)为强连通图,(2)为单向连通图,但不是强连通的,(3)是弱连通的,不是单向连通的,更不是强连通的.分析在(1)中任何两个极点之间都有通路,即任何两个极点都是彼此可达的,因此它是强连能的.(2)中c不可达任何极点,因此它不是强连通的,但任两个极点存在一个极点可达另外一个极点,所以,它是单向可达的.(3)中ca,彼此均不可达,因此它不是单向连通的,更不是强连通的.判断有向图的连通性有下面的两个判别法.1°有向图D是强连通的当且仅当D中存在通过每一个极点至少一次的回路.2°有向图D是单向连通的当且仅当D中存在通过每一个极点至少一次的通路.(1) 中abcda为通过每一个极点一次的回路,所以,它是强连能的.(2)中abdc为通过每一个极点的通路,所以,它是单向连通的,但没有通过每一个极点的回路,所以,它不是强连通的.(3)中无通过每一个极点的回路,也无通过每一个极点的通路,所以,它只能是弱连通的.'G-的连通分支数是不肯定的.G-的连通分支必然为2,而'VE分析设'E为连通图G的边割集,则'EG-的连通分支数,2)('=-EGp不可能大于2.不然,比如3)('=-EGp,则'EG-由3个小图321,,GGG组成,且'E中边的两个端点分属于两个不同的小图.设''E中的边的两个端点一个在1G中,另一个在2G中,则'''EE⊂,易知2)(''=-EGp,这与'E为边割集矛盾,所以, 2)(''=-EGp.但)('VGp-不是定数,固然它大于等于2,在图中,},{'vuV=为(1)的点割集, ,2)('=-VGp其中G为(1)中图. }{''vV=为(2)中图的点割集,且v为割点, 4)('''=-VGp,其中'G为(2)中图.解此题,只要求出D的邻接矩阵的前4次幂即可.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=11111A⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=111111112A⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=111111111113A⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1111111121214AD中长度为4的通路数为4A中元素之和,等于15,其中对角线上元素之和为3,即D中长度为3的回路数为3.3v到4v的长度为4的通路数等于2)4(34=a.分析用邻接矩阵的幂求有向图D中的通路数和回路数应该注意以下几点:1°这里所谈通路或回路是概念意义下的,不是同构意义下的.比如,不同始点(终点)的回路2° 这里的通路或回路不但有低级的、简单的，还有复杂的.例如,12121,,,,v v v v v 是一条长为4的复杂回路.3° 回路仍然看成是通路的特殊情况.读者可利用32,A A ,求D 中长度为2和3的通路和回路数. 答案 A:④.分析 G 中有k N 个k 度极点,有)(k N n -个)1(+k 度极点,由握手定理可知m N n k Nk v d k kni i2))(1()(1=-++⋅=∑=.2)1(n k n N k -+=⇒答案 A:②; B:③.分析 在图中,图(1)与它的补同构,再没有与图(1)非同构的自补图了,所以非同构的无向的4阶自补图只有1个.图(2)与它的补同构,图(3)与它的补也同构,而图(2)与图(3)不同构,再没有与(2),(3)非同构的自补图了,所以,非同械的5阶自补图有2个.答案 A:④; B:③; C:④; D:①.分析 (1)中存在通过每一个极点的回路,如.adcba .(2)中存在通过每一个极点的通路,但无回路.(3)中无通过每一个极点至少一次的通路,其实,d b ,两个极点互不可达.(4)中有通过每一个极点至少一次的通路,但无回路,aedcbd 为通过每一个极点的通路.(5)中存在通过每一个极点至少一次的回路,如.aedbcdba (6)中也存在通过每一个极点的回路,如.baebdcb 由题可知,(1),(5),(6)是强连通的,(1),(2),(4),(5),(6)是单向连能的,(2),(4)是非强连通的单向连通图.注意,强连通图必为单向连通图.6个图中,只有(3)既不是强连通的,也不是连通的,它只是弱连通图.在(3)中,从a 到b 无通路,所以,,,∞>=<b a d 而b 到a 有唯一的通路ba ,所以1,>=<a b d .答案 A:①; B:⑥㈩ C:②; D:④.分析 用Dijkstra 标号法,将计算机结果列在表中.表中第x表示b 到x 的最短路径的权为y,且在b 到x 的最短路径上,Z 邻接到x, 即x 的前驱元为Z.由表可知,a 的前驱元为c(即a 邻接到c),c 的前驱元为b,所以,b 到a 的最短路径为bca ,其权为4.类似地计论可知,b 到c 的最短路径为bc,其权为到d 的最短路径为bcegd ,其权为到e 的最短路径为bce ,其权为7.表答案 A:⑧; B:⑩ C:③; D:③和④.分析 按求最先、最晚完成时间的公式，先求各极点的最先完成时间，再求最晚完成时间，最后求缓冲时间。
《离散数学》第七章 图的基本概念 讲稿
7.1 无向图及有向图一、本节主要内容无向图与有向图顶点的度数握手定理简单图完全图子图补图二、教学内容无序对: 两个元素组成的二元组（没有顺序），即无论a,b是否相同，（a,b ）＝（b, a ）无序积: A与B 为两个集合，A&B={(x,y) |x∈A∧y∈B}例A={a1, a2}, B={b1, b2}A&B={(a1 , b1 ), (a1 , b2 ) ,(a2 , b1 ) ,(a2 , b2 )}A&A={(a1 , a1 ), (a1 , a2 ) ,(a2 , a2 )}多重集合: 元素可以重复出现的集合无向图与有向图定义无向图G=<V,E>, 其中(1) V∅≠为顶点集，元素称为顶点(2) E为V&V的多重子集，其元素称为无向边，简称边.例如, G=<V,E>如图所示,其中V={v1, v2, …,v5},E={(v1,v1), (v1,v2), (v2,v3), (v2,v3), (v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)}定义无向图G=<V,E>, 其中(1) V≠∅为顶点集，元素称为顶点(2) E为V&V的多重子集，其元素称为无向边，简称边.例如, G=<V,E>如图所示,其中V={v1, v2, …,v5},E={(v1,v1), (v1,v2), (v2,v3), (v2,v3), (v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)} 无向图与有向图(续)定义有向图D=<V,E>, 其中(1) V同无向图的顶点集, 元素也称为顶点(2) E为V⨯V的多重子集，其元素称为有向边，简称边.用无向边代替D的所有有向边所得到的无向图称作D的基图右图是有向图，试写出它的V和E无向图与有向图(续)通常用G表示无向图, D表示有向图,也常用G泛指无向图和有向图,用ek表示无向边或有向边.V(G), E(G), V(D), E(D): G和D的顶点集, 边集.n 阶图: n个顶点的图有限图: V, E都是有穷集合的图零图: E=∅平凡图: 1 阶零图顶点和边的关联与相邻定义设ek=(vi, vj)是无向图G=<V,E>的一条边, 称vi, vj为ek的端点, ek与vi ( vj)关联.若vi ≠ vj, 则称ek与vi ( vj)的关联次数为1;若vi = vj, 则称ek为环, 此时称ek与vi 的关联次数为2;若vi不是ek端点, 则称ek与vi 的关联次数为0.无边关联的顶点称作孤立点.定义设无向图G=<V,E>, vi,vj∈V,ek,el∈E,若(vi,vj) ∈E, 则称vi,vj相邻;若ek,el至少有一个公共端点, 则称ek,el相邻.对有向图有类似定义. 设ek=〈vi,vj〉是有向图的一条边, vi,vj是ek端点,又称vi是ek的始点, vj是ek的终点,vi邻接到vj, vj邻接于vi.邻域和关联集设无向图G , v ∈V(G)v 的邻域 N(v)={u|u ∈V(G)∧(u,v)∈E(G)∧u ≠v} v 的闭邻域 = N(v)∪{v} v 的关联集 I(v)={e|e ∈E(G)∧e 与v 关联} 设有向图D, v ∈V(D)v 的后继元集 ={u|u ∈V(D)∧<v,u>∈E(G)∧u ≠v}v 的先驱元集 ={u|u ∈V(D)∧<u,v>∈E(G)∧u ≠v}v 的邻域v 的闭邻域顶点的度数设G=<V ,E>为无向图, v ∈V,v 的度数(度) d(v): v 作为边的端点的次数之和 悬挂顶点: 度数为1的顶点 悬挂边: 与悬挂顶点关联的边 G 的最大度∆(G)=max{d(v)| v ∈V} G 的最小度δ(G)=min{d(v)| v ∈V} 例如 d(v5)=3, d(v2)=4, d(v1)=4, ∆(G)=4, δ(G)=1,v4是悬挂顶点, e7是悬挂边, e1是环顶点的度数(续)设D=<V ,E>为有向图, v ∈V,v 的出度d+(v): v 作为边的始点的次数之和 v 的入度d -(v): v 作为边的终点的次数之和 v 的度数(度) d(v): v 作为边的端点次数之和 d(v)= d+(v)+ d-(v)D 的最大出度∆+(D), 最小出度δ+(D) 最大入度∆-(D), 最小入度δ-(D) 最大度∆(D), 最小度δ(D) 例如 d+(a)=4, d-(a)=1, d(a)=5, d+(b)=0, d-(b)=3, d(b)=3,∆+(D)=4, δ+(D)=0, ∆-(D)=3, δ-(D)=1, ∆(D)=5, δ(D)=3. 图论基本定理——握手定理定理 任意无向图和有向图的所有顶点度数之和都等于边数的2倍, 并且有向图的所有顶点入度之和等于出度之和等于边数.)(v N )(v D +Γ)(v D -Γ)()()(v v v N D D D -+ΓΓ= }{)()(v v N v N D D =证 G 中每条边（包括环）均有两个端点，所以在计算G 中各顶点度数之和时，每条边均提供2度，m 条边共提供2m 度.有向图的每条边提供一个入度和一个出度, 故所有顶点入度之和等于出度之和等于边数. 握手定理(续)推论 在任何无向图和有向图中，度为奇数的顶点个数必为偶数. 证 设G=<V,E>为任意图，令 V1={v | v ∈V ∧d(v)为奇数} V2={v | v ∈V ∧d(v)为偶数}则V1∪V2=V, V1∩V2=∅，由握手定理可知∑∑∑∈∈∈+==21)()()(2V v V v Vv v d v d v d m由于2m,∑∈2)(V v v d 均为偶数，所以 ∑∈1)(V v v d 也为偶数, 但因为V1中顶点度数都为奇数，所以|V1|必为偶数.图的度数列设无向图G 的顶点集V={v1, v2, …, vn} G 的度数序列: d(v1), d(v2), …, d(vn) 如右图度数序列:4,4,2,1,3设有向图D 的顶点集V={v1, v2, …, vn} D 的度数序列: d(v1), d(v2), …, d(vn) D 的出度序列: d+(v1), d+(v2), …, d+(vn) D 的入度序列: d -(v1), d -(v2), …, d -(vn) 如右图度数序列:5,3,3,3出度序列:4,0,2,1 入度序列:1,3,1,2 握手定理的应用例1 (3,3,3,4), (2,3,4,6,8)能成为图的度数序列吗? 解 不可能. 它们都有奇数个奇数.例2 已知图G 有10条边, 4个3度顶点, 其余顶点的度数均小于等于2, 问G 至少有多少个顶点? 解 设G 有n 个顶点. 由握手定理, 4⨯3+2⨯(n-4)≥2⨯10 解得 n ≥8握手定理的应用(续)例3 给定下列各序列,哪组可以构成无向图的度数序列 (2,2,2,2,2) (1,1,2,2,3) (1,1,2,2,2) (1,3,4,4,5)多重图与简单图定义(1) 在无向图中,如果有2条或2条以上的边关联同一对顶点, 则称这些边为平行边, 平行边的条数称为重数.(2)在有向图中,如果有2条或2条以上的边具有相同的始点和终点, 则称这些边为有向平行边, 简称平行边, 平行边的条数称为重数.(3) 含平行边的图称为多重图.(4) 既无平行边也无环的图称为简单图.注意:简单图是极其重要的概念多重图与简单图(续)例如e5和e6 是平行边重数为2不是简单图e2和e3 是平行边,重数为2 e6和e7不是平行边不是简单图图的同构定义设G1=<V1,E1>, G2=<V2,E2>为两个无向图(有向图), 若存在双射函数f: V1→V2, 使得对于任意的vi,vj∈V1,(vi,vj)∈E1（<vi,vj>∈E1）当且仅当(f(vi),f(vj))∈E2（<f(vi),f(vj)>∈E2），并且,(vi,vj)（<vi,vj>）与(f(vi),f(vj))（<f(vi),f(vj)>）的重数相同，则称G1与G2是同构的，记作G1≅G2.图的同构(续)几点说明：图之间的同构关系具有自反性、对称性和传递性.能找到多条同构的必要条件, 但它们都不是充分条件:①边数相同，顶点数相同②度数列相同(不计度数的顺序)③对应顶点的关联集及邻域的元素个数相同，等等若破坏必要条件，则两图不同构图的同构(续)例1 试画出4阶3条边的所有非同构的无向简单图例2 判断下述每一对图是否同构:(1)度数列不同不同构例2 (续)(2)不同构入(出)度列不同度数列相同但不同构为什么?完全图与正则图n阶无向完全图Kn: 每个顶点都与其余顶点相邻的n阶无向简单图.简单性质: 边数m=n(n-1)/2, ∆=δ=n-1n阶有向完全图: 每对顶点之间均有两条方向相反的有向边的n阶有向简单图.简单性质: 边数m=n(n-1), ∆=δ=2(n-1),∆+=δ+=∆-=δ-=n-1n阶k正则图: ∆=δ=k 的n阶无向简单图简单性质: 边数m=nk/2完全图与正则图(续)(1) 为5阶无向完全图K5(2) 为3阶有向完全图(3) 为彼得森图, 它是3 正则图子图定义设G=<V,E>, G '=<V ',E '>是2个图(1) 若V '⊆V且E '⊆E, 则称G '为G的子图, G为G '的母图, 记作G '⊆G(2)若G '⊆G且G '≠ G（即V '⊂V 或E '⊂E），称G '为G的真子图(3) 若G '⊆G 且V '=V，则称G '为G的生成子图(4) 设V '⊆V 且V '≠∅, 以V '为顶点集, 以两端点都在V '中的所有边为边集的G的子图称作V '的导出子图，记作G[V '](5) 设E '⊆E且E '≠∅, 以E '为边集, 以E '中边关联的所有顶点为顶点集的G的子图称作E '的导出子图, 记作G[E ']子图(续)例画出K4的所有非同构的生成子图补图定义设G=<V,E>为n阶无向简单图，以V为顶点集,所有使G成为完全图Kn的添加边组成的集合为边集的图，称为G的补图，记作G≅G.若G ≅ G , 则称G 是自补图.例 画出5阶7条边的所有非同构的无向简单图首先，画出5阶3条边的所有非同构的无向简单图 然后，画出各自的补图7.2 通路、回路与图的连通性一、本节主要内容简单通(回)路, 初级通(回)路, 复杂通(回)路 无向连通图, 连通分支弱连通图, 单向连通图, 强连通图 点割集与割点边割集与割边(桥) 二、教学内容 通路与回路定义 给定图G=<V ,E>（无向或有向的），设G 中顶点与边的交替序列Γ=v0e1v1e2…elvl ，(1) 若∀i(1≤i ≤l), vi -1 和 vi 是ei 的端点(对于有向图, 要求vi -1是始点, vi 是终点), 则称Γ为通路, v0是通路的起点, vl 是通路的终点, l 为通路的长度. 又若v0=vl ，则称Γ为回路. (2) 若通路(回路)中所有顶点(对于回路, 除v0=vl)各异，则称为初级通路(初级回路).初级通路又称作路径, 初级回路又称作圈.(3) 若通路(回路)中所有边各异, 则称为简单通路(简单回路), 否则称为复杂通路(复杂回路). 通路与回路(续) 说明:在无向图中，环是长度为1的圈, 两条平行边构成长度为2的圈. 在有向图中，环是长度为1的圈, 两条方向相反边构成长度为2的圈. 在无向简单图中, 所有圈的长度≥3; 在有向简单图中, 所有圈的长度≥2. 通路与回路(续)定理 在n 阶图G 中，若从顶点vi 到vj （vi ≠vj ）存在通 路，则从vi 到vj 存在长度小于等于n -1的通路.推论 在n 阶图G 中，若从顶点vi 到vj （vi ≠vj ）存在通121212G G G G G G ≅≅例设与均为无向简单图，当且仅当路，则从vi到vj存在长度小于等于n-1的初级通路.定理在一个n阶图G中，若存在vi到自身的回路，则一定存在vi到自身长度小于等于n的回路.推论在一个n阶图G中，若存在vi到自身的简单回路，则一定存在长度小于等于n的初级回路.无向图的连通性设无向图G=<V,E>,u与v连通: 若u与v之间有通路. 规定u与自身总连通.连通关系R={<u,v>| u,v ∈V且u~v}是V上的等价关系连通图: 平凡图, 或者任意两点都连通的图连通分支: V关于R的等价类的导出子图设V/R={V1,V2,…,Vk}, G[V1], G[V2], …,G[Vk]是G的连通分支, 其个数记作p(G)=k.G是连通图⇔ p(G)=1短程线与距离u与v之间的短程线: u与v之间长度最短的通路(u与v连通)u与v之间的距离d(u,v): u与v之间短程线的长度若u与v不连通, 规定d(u,v)=∞.性质：d(u,v)≥0, 且d(u,v)=0 ⇔ u=vd(u,v)=d(v,u)（对称性）d(u,v)+d(v,w)≥d(u,w) （三角不等式)点割集记G-v: 从G中删除v及关联的边G-V': 从G中删除V'中所有的顶点及关联的边G-e : 从G中删除eG-E': 从G中删除E'中所有边定义设无向图G=<V,E>, 如果存在顶点子集V'⊂V, 使p(G-V')>p(G)，而且删除V'的任何真子集V''后（∀ V''⊂V'），p(G-V'')=p(G), 则称V'为G的点割集. 若{v}为点割集, 则称v为割点.点割集(续)例{v1,v4}, {v6}是点割集, v6是割点.{v2,v5}是点割集吗？边割集定义设无向图G=<V,E>, E'⊆E, 若p(G-E')>p(G)且∀E''⊂E',p(G-E'')=p(G), 则称E'为G的边割集. 若{e}为边割集, 则称e为割边或桥.在上一页的图中，{e1,e2}，{e1,e3,e5,e6}，{e8}等是边割集，e8是桥，{e7,e9,e5,e6}是边割集吗？几点说明：Kn无点割集n阶零图既无点割集，也无边割集.若G连通，E'为边割集，则p(G-E')=2若G连通，V'为点割集，则p(G-V')≥2有向图的连通性设有向图D=<V,E>u可达v: u到v有通路. 规定u到自身总是可达的.可达具有自反性和传递性D弱连通(连通): 基图为无向连通图D单向连通: ∀u,v∈V，u可达v 或v可达uD强连通: ∀u,v∈V，u与v相互可达强连通⇒单向连通⇒弱连通有向图的连通性(续)例下图(1)强连通, (2)单连通, (3) 弱连通有向图的短程线与距离u到v的短程线: u到v长度最短的通路(u可达v)u与v之间的距离d<u,v>: u到v的短程线的长度若u不可达v, 规定d<u,v>=∞.性质：d<u,v>≥0, 且d<u,v>=0 ⇔ u=vd<u,v>+d<v,w> ≥d<u,w>注意: 没有对称性7.3 图的矩阵表示一、本节主要内容无向图的关联矩阵有向图的关联矩阵有向图的邻接矩阵有向图的可达矩阵二、教学内容无向图的关联矩阵定义设无向图G=<V,E>, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …, em}, 令mij为vi与ej的关联次数，称(mij)n⨯m为G的关联矩阵，记为M(G).定义设无向图G=<V,E>, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …, em}, 令mij为vi与ej的关联次数，称(mij)n⨯m为G的关联矩阵，记为M(G).性质关联次数为可能取值为0，1，2有向图的关联矩阵定义 设无环有向图D=<V ,E>, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …, em}, 令则称(mij)n ⨯m 为D 的关联矩阵，记为M(D). 性质:有向图的邻接矩阵定义 设有向图D=<V ,E>, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …, em}, 令 )1(ij a 为顶点vi 邻接到顶点vj 边的条数，称()1(ij a )n ⨯n 为D 的邻接矩阵, 记作A(D), 简记为A. 1110001110()1001200000M G ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1100010111()0000101110M D -⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦平行边的列相同)4(2)3(),...,2,1()()2(),...,2,1(2)1(,11mm n i v d m m j m ji ijimj ijni ij =====∑∑∑==(1)1(1)1(1)(),1,2,...,(2)(),1,2,...,nij i j n ij ji a d vi n a d v j n+=-=====∑∑性质D 中的通路及回路数定理 设A 为n 阶有向图D 的邻接矩阵, 则Al(l ≥1)中 元素)(l ij a 为D 中vi 到vj 长度为 l 的通路数， )(l ii a 为vi 到自身长度为 l 的回路数，∑∑==n i nj l ija11)( 为D 中长度为 l 的通路总数，∑=ni l iia1)( 为D 中长度为 l 的回路总数.D 中的通路及回路数(续)推论 设Bl=A+A2+…+Al(l ≥1), 则Bl 中元素为D 中长度小于或等于l 的通路数， 为D 中长度小于或等于l 的回路数. 例 有向图D 如图所示, 求A, A2, A3, A4, 并回答问题：(1) D 中长度为1, 2, 3, 4的通路各有多 少条？其中回路分别为多少条？ (2) D 中长度小于或等于4的通路为多 少条？其中有多少条回路？12100010()00010010A D ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦有向图的可达矩阵定义 设D=<V ,E>为有向图, V={v1, v2, …, vn}, 令称(pij)n ⨯n 为D 的可达矩阵, 记作P(D), 简记为P. 性质:P(D)主对角线上的元素全为1.D 强连通当且仅当P(D)的元素全为1. 有向图的可达矩阵(续)例 右图所示的有向图D 的可达矩阵为7.4 最短路径及关键路径一、本节主要内容 最短路 关键路线二、教学内容对于有向图或无向图G 的每条边，附加一个实数w(e)，则称w(e)为边e 上的权. G 连同附加在各边上的实数，称为带权图.设带权图G=<V,E,W>,G 中每条边的权都大于等于0.u,v 为G 中任意两个顶点，从u 到v 的所有通⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1101110111110001P路中带权最小的通路称为u 到v 的最短路径.求给定两个顶点之间的最短路径，称为最短路径问题. 算法：Dijkstra(标号法){}()*()*1()*()()1()*1.2./5.i r r i i i i ir i r r j j j j j r i r v l v v v l v r p l l v v v l v r l v v p r T V r ∞==-j ij r r 如果顶点与v 不相邻，则w =为顶点到顶点最短路径的权，如果顶点获得了标号，则称顶点在第步获得了标号（永久性标号）3.为顶点到顶点最短路径的权的上界，如果顶点获得了标号，则称顶点在第步获得了t 标号（临时性标号）4.P 已经获得标号为第步通过集P 为第步未通过集例：求图中v0与v5的最短路径(0)*000(0)0(1)*(0)(1)*1010100,{},T {},1,2,3,4,5{},min {},T T {}(2)T j jj i j i v T l P l w j l l l P P t ∈=======⋃=-0012345j i i i i 第步(r=0)：v 获得p 标号v v ，v ，v ，v ，v ，v 获得t 标号第1步(r=1)：(1)求下一个p 标号的顶点，将标在顶点v 处，表明顶点v 获得p 标号.修改通过集和未通过集：v v 修改中各顶点的标1(1)(0)(1)*(2)*(1)(2)*2121(2)(1)(2)*2min{,}{},min {},T T {}(2)T min{,}j jj iij i j iv T j j iij ll lw l l l P P t l l l w ∈=+==⋃=-=+i i i i 号：第2步(r=2)：(1)求下一个p 标号的顶点，将标在顶点v 处，表明顶点v 获得p 标号.修改通过集和未通过集：v v 修改中各顶点的标号：2.关键路径问题,(){/,}(){/,}D D D V E v V v x x V v x E v v x x V x v E v +=<>∈Γ=∈∧<>∈Γ=∈∧<>∈－设为一个有向图，，则为的后继元集为的先继元集定义：PERT 图设D=<V ,E,W>是n 阶有向带权图1. D 是简单图2. D 中无环路3. 有一个顶点出度为0，称为发点；有一个顶点入度为0，称为收点4. 记边<vi, vj>的权为wij,它常常表示时间1. 最早完成时间：自发点v1开始，沿最长路径（权）到达vi 所需时间，称为vi 的最早完成时间，记为TE （vi ） ，i=1,2,…,nj 1i i j ij v ()234567TE(v )=0,v (1)TE(v )={(v )+w },1,2,,max TE(v )=max{0+1}=1;TE(v )=max{0+2,1+0}=2;TE(v )=max{0+3,2+2}=4;TE(v )=max{1+3,4+4}=8;TE(v )=max{2+4,8+1}=9;TE(v )=max{1+4,2+D i v i TE i n-∈Γ≠=显然的最早完成时间按如下公式计算：813784}=6;TE(v )=max{6+6,9+1}=12;v v v v 关键路径：从发点到收点的一条最长路径，2. 最晚完成时间：在保证收点vn 的最早完成时间不增加的条件下，自发点v1最迟到达vi 所需时间，称为vi 的最晚完成时间，记为TL （vi ）.j n n i i j ij v ()876543TL(v )=TL(v ),v ()TL(v )={(v )-w },1,2,,min TL(v )=12;TL(v )=min{12-6}=6;TL(v )=min{12-1}=11;TL(v )=min{11-1}=10;TL(v )=min{10-4}=6;TL(v )=min{6-2,11-4,6-4}=2;TL(D i v i n TL i n∈Γ≠=＋显然的最晚完成时间按如下公式计算：21v )=min{2-0,10-3,6-4}=2;TL(v )=min{2-1,2-2,6-3}=0;3. 缓冲时间：TS(vi)=TL(vi)- TE(vi) TS(v1)= TS(v3)= TS(v7)= TS(v8)=0 TS(v2)=2-1=1; TS(v4)=6-4=2; TS(v5)=10-8=2; TS(v6)=11-9=2。
离散数学第七章群与环
定理7.4：给定半群<S，⊙>和半群<T，>，且s∈S的逆元 元 ，则积半群<S×T>中的逆元为
，t∈T的逆
PART 01 PART 02 PART 03 PART 04 PART 05
半群 群 子群与群的陪集分解 循环群与置换群 环与域
7.2 群
定义7.7 给定代数系统Ｖ＝<G，⊙>，若<G，⊙>是独异点并且每个元素均 存在逆元，或满足⊙是可结合的并且关于⊙存在幺元并且G中每个元素关 于⊙是可逆的，则称<G，⊙>是群。记为G。群比独异点具有更强的条件。
7.3.2 群的陪集与拉格朗日定理
给定一子群H和G内的某一元素a，则可定义出一个左陪集 aH={ah;h∈H}。 因为a为可逆的，由φ(h) = ah给出之映射φ : H → aH为一个双射。更甚地， 每一个G内的元素都包含在恰好一个H的左陪集中；其左陪集为对应于一 等价关系的等价类，其等价关系a1 ~ a2当且仅当a1−1a2会在H内。H的左 陪集之数目称之为H在G内的“指数”，并标记为[G:H]。 拉格朗日定理叙述著对一个有限群G和一个子群H而言， 其中o(G)和o(H)分别为G和H的目。特别地是，每一个G的子群的目(和每一 个G内元素的目)都必须为o(G)的因子。 右陪集为相类比之定义：Ha = {ha : h∈H}。其亦有对应于一适当之等价关系的等价类，且其个数亦会相等于 [G:H]。 若对于每个在G内的a，aH=Ha，则H称之为正规子群。每一个指数2的子群 皆为正规的：左陪集和右陪集都简单地为此一子群和其补集。
然而，在给出的运算下该集合是一个幺半群。 例7.16 在一般意义下的乘法运算下，所有非零实数组成的集合构成一个群。 a≠0的逆是1/a。
离散数学第7章
1 v2e4v4e3v3e2v2
初级回路(圈)
2 v2e5v5e6v4e3v3e2v2
初级回路(圈)
3 v2e4v4e3v3e2v2e5v5e6v4e3v3e2v2 复杂回路
…………
5、图中最短的回路。 如图：
6、性质。
定理：在一个
n
阶图中，若从顶点vi
到
v
存在
j
通路(vi vj ) ，则从 vi 到 vj 存在长度小于等于
n 1的通路。
推论：在一个
n
阶图中，若从顶点vi
到
v
存在
j
通路(vi vj ) ，则从 vi 到 vj 存在长度小于等于
n 1的初级通路。
6、性质。
定理：在一个 n 阶图中，若vi 到自身存在回路， 则从 vi 到自身存在长度小于等于n 的回路。 推论：在一个 n 阶图中，若vi 到自身存在一个 简单回路，则从vi到自身存在长度小于等于 n
如例1的(1)中，
v1
v5
e1与 v1, v2 关联的次数均为1， e1
e6
e2 与 v2 关联的次数为2， e2 v2 e4 e5
v4
边 e1, e4, e5, e6都是相邻的， v5 为孤立点，v4 为悬挂点，
e3 v3
e6 为悬挂边，e2 为环，e4, e5 为平行边，重数2，
G 为多重图。
孤立点——无边关联的点。
环——一条边关联的两个顶点重合，称此边
为环 (即两顶点重合的边)。
3、相关概念。 (2) 悬挂点——只有一条边与其关联的点，所
对应的边叫悬挂边。 (3) 平行边——关联于同一对顶点的若干条边
称为平行边。平行边的条数称为重数。 多重图——含有平行边的图。 简单图——不含平行边和环的图。
离散数学第七讲群、环、域
一、群的定义和性质
群是半群和独异点的特定情况, 有关半群和独异点的性 质在群中也成立, 群的性质还有：
定理1: 如果〈G , *〉是一个群, 则对于任何a、b∈G, (a) 存在一个唯一的元素x, 使得a * x=b (b) 存在一个唯一的元素y, 使得y * a=b
证：(a) 至少有一个x满足a * x=b, 即x= a-1 * b, 因为 a * (a-1 * b)=(a * a-1) * b= e * b=b 如果x是G中满足a * x=b的任意元素, 则 x=e * x=(a-1 * a) * x = a-1 * (a * x) = a-1 * b 所以, x= a-1 * b是满足a * x=b的唯一元素。
17
三、子群
定义7: 设〈G , *〉是一个群, S是G的非空子集, 并满足以
下条件:
(1) 对任意a、b∈S有a * b∈S ; (2) 对任意a∈S有a-1 ∈S; (3) e∈S, e是〈G ,*〉的么元, 则称〈S ,*〉是〈G ,*〉的子群。 如 〈I ,+〉是〈R ,+〉的子群， 〈N ,+〉不是。
∴ h(a-1) = ［h(a)］-1。
22
四、群同态
定义9:设h是从〈G , *〉到〈H , *′〉的群同态,如果G的 一个子集K 的每一元素都被映入H的么元eH , 再没有 其它元素映入eH , 则K 称为同态h的核, 记为ker(h)。
定理15：从群〈G , *〉到群〈H, *′〉的同态h的核ker(h) 形成群〈G , *〉
19
三、子群
定理13：设〈G, *〉是一个有限群, 如果对任意元素a、 b∈S, 有a * b∈S, 那么〈S , *〉是〈G , *〉
离散数学 第七章 图论
每一条边都是有向边 的图称有向图。
G′＝<V′，E′>＝<{v1′，v2′，v3′， v4′，v5′}，{<v1′，v2′>，<v2′， v3′>，<v3′，v4′>，<v2′，v4′>}>
如果在图中一些边是有向 边，另一些边是无向边， 则称这个图是混合图。
G″＝<V″，E″>＝<{ v1″，v2″，v3″，
v4″，}，{( v1″，v4″)，(v2″，v4″)，<v1″，
v3″>，<v3″，v4″>}>
11
在一个图中，若两个节点由一条有向 边或一条无向边相关联，则这两个节点 称为邻接点。
在一个图中不与任何节点相邻接的节 点，称为孤立节点。仅由孤立节点组成 的图称为零图，仅由一个孤立节点组成 的图称为平凡图。
证明 在Kn中，任意两点间都有边相连， n 个结点 中任取两点的组合数为：
Cn2
1 2
n(n
1)
故Kn的边数为 |E| ＝ n(n-1)/2 。
21
注意：
如果在Kn中，对每条边任意确定一个方 向，就称该图为 n 个结点的有向完全图。 显然，它的边数也为 n(n-1)/2 。
给定任意一个含有 n 个结点的图 G ，总 可以把它补成一个具有同样结点的完全 图，方法是把那些没有联上的边添加上 去。
且E E ，V V ，则称 G 为 G 的子图。
例：如图 7-1.7 中 (b) 和 (c) 都是 (a) 的子图。
24
如果 G 的子图包含 G 的所有结点，则 称该子图为 G 的生成子图。 如图 7-1.8 中 (b) 和 (c) 都是 (a) 的生成子图。
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用a-1表示a的逆元，且规定 a n (a1 )n
则对任何整数都有
a a a
m n
mn
(a ) a
m n
mn
定义：若在一个环Ｒ里
a 0, b 0 但 ab 0
则称a是环Ｒ的一个左零因子，b是环Ｒ的一个右零因子。
例 Ｒ＝｛所有模n的剩余类｝规定R中的加法和乘法如 下：
[a] [b] [a b] [a][b] [ab]
第七章 环论与格
§ 7.1 环论
7.1.1 环
定义：一个交换群叫做一个加群，假如将群的代数运算叫 做加法，并且用称号+表示。 因此在加群里n个元 a1 , a2 ,, an 的和有意义，这个和
n
用符号 ai 即： ai a1 a2 an
i 1
n
加群中的单位元用0表示，称为零元。元a的逆元用-a表示， 称为负元。 则有运算规则： 0 a a 0 a
环的分类：
环 交换环 有单位元环 无零因子环
整环
域
除环
(a)b a(b) ab
(a)(b) ab
a(b1 b2 bn ) ab1 ab2 abn
a b
i 1 i j 1
m
n
j
a1b1 a1bn amb1 ambn
(na) b a(nb) n(ab)
注：一个环Ｒ中的单位元常用1表示，且规定
a0 1
定义（含单位元的环）：（R，。）是单元半 群 常见的环：整数环，有理数环，实数环。 推论：（R，。）不可能构成群。 （因为0元无逆元）
运算规则：
(a b)c ac bc c(a b) ca cb
0a a 0 0 （0为Ｒ中零元）
1 0 1 1 如 A 0, B 0 1 0 1 1
但ＡＢ＝０
定理 在一个没有零因子的环里两个消去律成立。反之 一个环里消去律成立，则这个环没有零因子。
a 0, ab ac b c a 0, ba ca b c
证明：因为Ｒ没有零因子，所以由定Βιβλιοθήκη （子环）：子环的判定定理：
7.1.2 整环
定义：一个环Ｒ叫做一个整环，若 １、乘法适合交换律： ２、有单位元１:
ab ba
1a a1 a
3、Ｒ没有零因子： ab 0 a 0或b 0 其中a,b为Ｒ中任意元素。 例如：整数环，有理数环，实数环都是整环。
性质： 1、整环满足消去律； 2、（Zm，+m，xm）是整环的充要条件是m是 素数； 3、在整环中，可以进行加减乘除运算。 （P97 定理7.2）
0a a 0 0（0为Ｒ中零元）
n(a b) na nb
定义 一个集合（Ｒ，+，。）叫做环，假如
1、Ｒ是个加群，即Ｒ对于一个叫做加法的代数运算来说作 成一个交换群；
2、关于乘法满足结合律：
a(bc) (ab)c
a(b c) ab ac (b c) ba bc
i 1
a a a a 0
(a) a ac b c ba
(a b) a b, (a b) a b
规定:
n na a a a (n)a (na), 0a 0
则有：
ma na (m n)a m na mn a
规定：
n n a aa a
则有：
a a a
m n m n
m n mn
(a ) a
定义：一个有单位元环的一个元b叫做元a的逆元，假如
ab ba 1
逆元唯一性：环一个元a若有逆元，则最多只有一个逆元。
注：不是环中所有元都有逆元，如整数环中除１和-1外 其余元都滑逆元。
可以验证Ｒ是一个环，称为模n的剩余类环。 若n不是素数，则 n=ab, n 不整除 a, b,
[a] 0,[b] 0 但 [a][b] [ab] [n] [0]
所以n非平凡因子均为Ｒ的零因子。
例 数域 R 上一切 n 阶方阵对于矩阵的加法和乘法来说做 成一个有单位元的环， 则当 n 2 时有非0矩阵乘积为０矩阵，所以有零因子。
7.1.3 域
例：Ｒ只包括一个元a加法和乘法规定为：
a a a, aa a
则Ｒ是个环，它只一个元a既是0元，也是a的逆元等。 例：全体有理数作成的集合对于普通数的加法和乘法作成 一个环，显然对于任意一个非０有理数a，都有逆元a-1。 定义：一个环 F 叫做一个域，若
１、F 至少包含一个不等于零的元； ２、有一个单位元； 3、可换的； 4、每一个不等零的元都逆元。
常见的域： 有理数域 实数域； 复数域。 整数环不是域
域的性质：
１、无零因子（等价于满足消去律）。
因为
a 0, ab 0 a1ab b 0
２、不等零的元对于乘法来说作成一个群 F＊
称为乘法群。 3、域是整环。整环不一定是域，但有限整环是域。 注：域由两个群构成，分配律是一这两个群之间联系的桥 梁。
3、关于乘法与加法满足分配律：
定义：一个环Ｒ叫做交换环，假如
ab ba
其中a,b为Ｒ中任意元。 所以有：a
n n
b (ab)n
定义：一个环Ｒ的一个元e叫做一个单位元，假如有
ea ae a
其中a为Ｒ中任意元。
注：不是所有环都有单位元，如下例。
例 Ｒ＝｛所有偶数｝，Ｒ对于普通数的加法和乘法作成 一个环，但Ｒ没有单位元。 单位元的唯一性：一个环Ｒ如果有单位元则其单位元是唯 一的。
a0 和
ab ac ab ac 0 a(b c) 0
得
b c 0 即 b c 消去律成立。
反之，假设消去律成立，因为
ab 0 ab a 0
所以由消去律知若 a
0则 b0
所以环Ｒ没有零因子。
推论: 一个环若有一个消去律成立，则另一个消去律 也成立。