高中数学人教A版必修4 1.1.2 弧度制 作业 Word版含解析
高中数学人教A版必修4第一章三角函数1.1.2弧度制 答案和解析
高中数学人教A 版必修4第一章三角函数1.1.2弧度制学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列说法中，错误的是( ) A ．半圆所对的圆心角是π rad B ．周角的大小等于2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度2．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( )A ．143πB ．143π-C ．718πD ．718π-3．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )A ．403π B ．203π C ．2003πD ．4003π4．把114π-表示成θ＋2kπ(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是( ) A ．34π-B ．4π-C ．4π D ．34π 5．一段圆弧的长度等于其圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数为（ ）A ．2π B ．3π C D6．集合{|,}42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈中角所表示的范围(阴影部分)是( )A ．B ．C ．D ．二、双空题 7．12rad ＝________度，________ rad ＝－300°.8．(1)1°的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为________米； (2)1 rad 的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为______米．三、填空题9．已知圆心角为60的扇形，其半径为3，则该扇形的面积为___． 10．钟表的时间经过了一小时，则时针转过了________rad .四、解答题 11．已知α＝2 000°.(1)把α写成2kπ＋β [k ∈Z ，β∈[0，2π)]的形式； (2)求θ，使得θ与α的终边相同，且θ∈(4π，6π)．12．用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合．13．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.求α(∠AOB )所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .参考答案1．D 【解析】 【详解】由弧度制的定义可知：长度等于半径的弧所对的圆心角的大小是1弧度， 则长度等于半径的弦所对的圆心角的大小不是1弧度， D 的说法错误，很明显ABC 的说法正确. 本题选择D 选项. 2．B 【解析】显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了73周，转过的弧度为73-×2π＝143π-. 本题选择B 选项.点睛：一定要注意角的正负，特别是表的指针所成的角为负角. 3．A 【解析】24042401803ππ==， 所以弧长l ＝|α|·r ＝43π×10＝403π. 本题选择A 选项. 4．A 【解析】 令－114π＝θ＋2kπ(k ∈Z )，则θ＝－114π－2kπ(k ∈Z )． 取k ≤0的值，k ＝－1时，θ＝－34π，|θ|＝34π； k ＝－2时，θ＝54π，|θ|＝5344ππ>；k ＝0时，θ＝－114π，|θ|＝11344ππ>. 本题选择A 选项. 5．C【解析】试题分析：设圆内接正方形的边长为a，所以弧长等于a的圆弧所对的圆心角为2lrα===C.考点：弧长公式.6．C【解析】分析：分k为偶数和k为奇数讨论，即可得到答案.详解：由集合{},42k k k Zππαπαπ+≤≤+∈，当k为偶数时，集合{},42k k k Zππαπαπ+≤≤+∈与{|}42ππαα≤≤表示相同的角，位于第一象限；当k为奇数时，集合{},42k k k Zππαπαπ+≤≤+∈与{53|}42ππαα≤≤表示相同的角，位于第三象限；所以集合{},42k k k Zππαπαπ+≤≤+∈中表示的角的范围为选项C，故选C.点睛：本题考查了角的表示，其中分k为偶数和k为奇数两种讨论是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.7．1553π-【解析】由题意有：180151212π==，53003001803ππ-=-⨯=-.8．180π1【解析】(1)因为|α|＝1°＝180π，l＝1，所以1180180lrπαπ===米.(2)因为l ＝1，|α|＝1，所以1lr α==米.9．32π 【分析】现将60转化为弧度制，然后利用扇形面积公式计算扇形面积. 【详解】60转化为弧度制是π3，故扇形的面积为2211π3π32232r α=⨯⨯=. 【点睛】本小题主要考查弧度制和角度制的相互转化，考查扇形的面积公式，属于基础题. 10．6π-【解析】由题意可知，一小时时针顺时针旋转：3603012=， 据此可得时针转过的弧度为：301806rad ππ-=-. 11．(1)10109αππ=+；(2)469π.【解析】 试题分析：(1)由题意首先将2 000°化为360°的整数倍，然后转化为弧度制可得10109αππ=+； (2)由题意可知θ＝2kπ＋109π，k ∈Z ，结合角的范围可知，取2k =，此时469πθ=.试题解析：(1)α＝2 000°＝5×360°＋200°＝10π＋π. (2)θ与α的终边相同，故θ＝2kπ＋π，k ∈Z ， 又θ∈(4π，6π)，所以k ＝2时，θ＝4π＋π＝.12．(1)5|22,612k k k Z ππθπθπ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭；(2)|,62k k k Z ππθπθπ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭. 【解析】试题分析：(1)与330°角的终边相同的角的弧度制为6π-，且57512π=，据此可得终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为5|22,612k k k Z ππθπθπ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭； (2)由题意可知：730,21066ππ==，则终边在直线AB 上的角为α＝kπ＋6π，k ∈Z ，又终边在y 轴上的角为β＝kπ＋2π，k ∈Z ，故终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为|,62k k k Z ππθπθπ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭.试题解析：(1)如题图①，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－，而75°＝75×＝，所以终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为.(2)如题图②，因为30°＝，210°＝，这两个角的终边所在的直线相同，因此终边在直线AB 上的角为α＝kπ＋，k ∈Z ， 又终边在y 轴上的角为β＝kπ＋，k ∈Z ， 从而终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为.点睛：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成集合：{}{}|2,|360,S k k Z k k Z ββαπββα==+∈==+⨯∈.即任何一个与角a 的终边相同的角都可以表示为角α与周角的整数倍的和.13．103π；503π⎛ ⎝⎭. 【解析】 试题分析：由题意可知△AOB 是等边三角形，所以α＝∠AOB ＝3π.则弧长l ＝103π，由扇形面积公式可得其面积为50=3S 扇形π，据此计算可得弓形的面积为5032π⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 试题解析：由⊙O 的半径r ＝10＝AB ，知△AOB 是等边三角形， 所以α＝∠AOB ＝60°＝. 所以弧长l ＝a ·r ＝×10＝，所以S 扇形＝lr ＝××10＝， 又S △AOB ＝·AB ·5＝×10×5＝，所以S ＝S 扇形－S △AOB ＝50.点睛：在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．。
人教A版精编高中数学必修4课时作业2弧度制 Word版含答案
课时作业2.弧度制时间：45分钟..分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分) 1．－120°化为弧度为(..) A ．－56π B ．－π2 C ．－23πD ．－34π解析：由于1°＝π180rad ，所以－120°＝－120×π180＝－2π3，故选C. 答案：C2．若圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则(..)A ．扇形面积不变B ．扇形的圆心角不变C ．扇形的面积增大到原来的2倍D ．扇形的圆心角增大到原来的2倍 解析：∵l ＝|α|R ，∴|α|＝l R .当R ，l 均变为原来的2倍时，|α|不变．而S ＝12|α|R 2中，∵α不变，∴S 变为原来的4倍．答案：B3．用弧度制表示终边与角150°相同的角的集合为(..)A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫β|β＝－5π6＋2k π，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫β|β＝5π6＋k ·360°，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫β|β＝2π3＋2k π，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫β|β＝5π6＋2k π，k ∈Z解析：150°＝150×π180＝5π6，故与角150°相同的角的集合为{β|β＝5π6＋2k π，k ∈Z }． 故选D. 答案：D4．把－11π4表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ的值是(..) A ．－3π4 B ．－π4 C.π4D.3π4解析：∵－11π4＝－2π－3π4，∴－11π4与－3π4是终边相同的角，且此时⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3π4＝3π4是最小的．答案：A5．集合P ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，Q ＝{α|－4≤α≤4}，则P ∩Q ＝(..)A ．∅B ．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}C ．{α|－4≤α≤4}D ．{α|0≤α≤π} 解析：如图．P ∩Q ＝{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}． 答案：B6．已知某中学上午第一节课的上课时间是8点，那么，当第一节课铃声响起时，时钟的时针、分针把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是(..)A.π2B.3π2C.2π3D.4π3解析：8点时，时钟的时针正好指向8，分针正好指向12，由于时钟的每两个数字之间的圆心角是30°，即π6，故此时时针、分针把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是π6×4＝2π3.故选C.答案：C二、填空题(每小题8分，共计24分)7．用弧度制表示终边落在x 轴上方的角的集合为________． 解析：若角α的终边落在x 轴上方，则2k π<α<2k π＋π(k ∈Z )． 答案：{α|2k π<α<2k π＋π，k ∈Z }8．已知扇形的周长是6 cm ，面积为2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________．解析：设圆心角为α，半径为r ，弧长为l ，则⎩⎨⎧l ＋2r ＝6，12lr ＝2，解得r ＝1，l ＝4或r ＝2，l ＝2，∴α＝lr ＝1或4. 答案：1或49．若角α的终边与角π6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________.解析：与α终边相同的角的集合为{α|α＝2k π＋π3，k ∈Z }．∵α∈(－4π，4π)，∴－4π<2k π＋π3<4π，化简得：－136<k <116.∵k ∈Z ，∴k ＝－2，－1,0,1， ∴α＝－113π，－53π，π3，73π. 答案：－113π，－53π，π3，73π三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分) 10．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界)．解：(1)如图①中以OB 为终边的角330°，可看成－30°，化为弧度，即－π6，而75°＝75×π180＝5π12，∴{θ|2k π－π6<θ<2k π＋5π12，k ∈Z }． (2)如图②，∵30°＝π6，210°＝7π6， ∴{θ|2k π＋π6<θ<2k π＋π2，k ∈Z }∪ {θ|2k π＋7π6<θ<2k π＋3π2，k ∈Z } ＝{θ|2k π＋π6<θ<2k π＋π2，k ∈Z }∪ {θ|(2k ＋1)π＋π6<θ<(2k ＋1)π＋π2，k ∈Z } ＝{θ|k π＋π6<θ<k π＋π2，k ∈Z }．11．如图所示，动点P ，Q 从点A (4,0)出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3rad ，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6rad ，求P 、Q 第一次相遇时所用的时间及P 、Q 点各自走过的弧长．解：设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t s ，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π，解得t ＝4，所以第一次相遇所用的时间为4 s ，所以P 点走过的弧长为43π×4＝163π，Q 点走过的弧长为83π.12．如图所示的圆中，已知圆心角∠AOB ＝2π3，半径OC 与弦AB 垂直，垂足为点D .若CD 的长为a ，求的长及其与弦AB 所围成的弓形ACB 的面积．解：设圆半径为r的长为m ，由题意，得m r ＝2π3.而∠AOD ＝π3，∴OD ＝12OA ＝r2. ∴CD ＝12OC ＝r2＝a .∴r ＝2a . ∴m ＝4πa 3，S 扇形OACB ＝12r ·m ＝4πa 23. 又AB ＝2AD ＝23a ，S △OAB ＝12OD ·AB ＝12·a ·23a ＝3a 2.∴S 弓形ACB ＝⎝⎛⎭⎪⎫4π3－3a 2.。
高中数学必修四课时作业2：1.1.2 弧度制
1．1.2 弧度制一、基础达标 1．－300°化为弧度是( )A ．－43πB ．－53π C ．－54π D ．－76π[答案] B 2．集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π±π2，k ∈Z 的关系是 ( )A ．A ＝B B ．A ⊆BC ．B ⊆AD ．以上都不对[答案] A3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin 2 C.2sin 1 D ．2sin 1 [答案] C[解析] r ＝1sin 1，∴l ＝|α|r ＝2sin 1.4．下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z ) C ．k ·360°－315°(k ∈Z ) D ．k π＋5π4(k ∈Z )[答案] C5．已知α是第二象限角，且|α＋2|≤4，则α的集合是______．[答案] (－1.5π，－π)∪(0.5π，2][解析] ∵α是第二象限角，∴π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ， ∵|α＋2|≤4，∴－6≤α≤2，当k ＝－1时，－1.5π＜α＜－π，当k ＝0时，0.5π＜α≤2， 当k 为其它整数时，满足条件的角α不存在．6．如果一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________． [答案] 34[解析] 由于S ＝12lR ，若l ′＝32l ，R ′＝12R ，则S ′＝12l ′R ′＝12×32l ×12R ＝ 34S .7．已知α＝1，β＝60°，γ＝π3，δ＝－π6，试比较这四个角的大小． 解 β＝60°＝π3＞1＞－π6， ∴β＝γ＞α＞δ. 二、能力提升8．扇形圆心角为π3，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为( )A ．1∶3B ．2∶3C ．4∶3D ．4∶9 [答案] B[解析] 设扇形的半径为R ，扇形内切圆半径为r ，则R ＝r ＋rsin π6＝r ＋2r ＝3r .∴S 内切圆＝πr 2.S 扇形＝12αR 2＝12×π3×R 2＝12×π3×9r 2＝32πr 2.∴S 内切圆∶S 扇形＝2∶3. 9．第四象限角集合可写成( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ 2k π－π2＜α＜2k π，k ∈Z B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＜α＜2k π＋π2，k ∈ZC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪k π－π2＜α＜k π，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪k π＜α＜k π＋π2，k ∈Z[答案] A10．已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }， 集合B ＝{x |－4≤x ≤4}，则A ∩B ＝________. [答案] [－4，－π]∪[0，π] [解析] 如图所示，∴A ∩B ＝[－4，－π]∪[0，π]．11．用30 cm 长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解 设扇形的圆心角为α，半径为r ，面积为S ，弧长为l ，则有l ＋2r ＝30，∴l ＝30－2r ，从而S ＝12·l ·r ＝12(30－2r )·r ＝－r 2＋15r ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫r －1522＋2254.∴当半径r ＝152 cm 时，l ＝30－2×152＝15 cm ， 扇形面积的最大值是2254 cm 2，这时α＝lr ＝2 rad.∴当扇形的圆心角为2rad ，半径为152cm 时，面积最大，为2254 cm 2.12.如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P 从点A (1,0)出发，依逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P 点在1 s 内转过的角度为θ (0<θ<π)，经过2 s 达到第三象限，经过14 s 后又回到了出发点A 处，求θ.解 因为0<θ<π，且2k π＋π<2θ<2k π＋3π2(k ∈Z )， 则必有k ＝0，于是π2<θ<3π4， 又14θ＝2n π(n ∈Z )，所以θ＝n π7， 从而π2<n π7<3π4，即72<n <214， 所以n ＝4或5，故θ＝4π7或5π7. 三、探究与创新13．已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c (c >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 解 (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓， ∵α＝60°＝π3，R ＝10，∴l ＝αR ＝10π3(cm)．S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－12×2×10×sin π6×10×cos π6 ＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32 (cm 2)．(2)扇形周长c ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴α＝c －2RR ，∴S 扇＝12αR 2＝12·c －2R R ·R 2＝12(c －2R )R ＝－R 2＋12cR ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫R －c 42＋c 216.当且仅当R ＝c 4，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是c 216.。
高中数学人教A版必修4第一章三角函数1.1.2弧度制(1) 答案和解析
高中数学人教A 版必修4第一章三角函数1.1.2弧度制（1）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1． 下列命题中，正确的是( )A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧B ．1弧度是长度为半径长的弧C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角2．1920︒转化为弧度数为（ ）A ．163B ．323C ．163πD ．323π 3．296π是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 4．若一圆弧的长等于其所在圆的内接正三角形的边长，那么其圆心角的弧度数是A ．3πB ．23πCD ．25．集合P ＝{x |2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z}，Q ＝{α|－4≤α≤4}．则P ∩Q ＝( )A ．∅B ．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}C ．{α|－4≤α≤4}D ．{α|0≤α≤π}二、填空题6．用弧度制表示终边落在x 轴上方的角的集合为________．7． 如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的32倍，则该弧所对的圆心角是原来的________倍．8． 若角α的终边与85π的终边相同，则在[0,2π]上，终边与4α的终边相同的角有________．三、解答题9． 已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2kπ(k ∈Z ,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；(2)求γ，使γ与α的终边相同，且,22ππγ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. 10．如图，动点,P Q 从点()4,0A 出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒转3π弧度，点Q 按顺时针方向每秒转6π弧度，求,P Q 第一次相遇时所用的时间及,P Q 点各自走过的弧长.11． 如图，已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB 的面积．参考答案1．D【解析】逐一考查所给的命题：A . 弧度制表示角度，则1弧度不是1度的圆心角所对的弧B . 弧度制表示角度，1弧度不是长度为半径长的弧由弧度的定义可知选项C 说法错误，D 说法正确.本题选择D 选项.2．D【解析】已知180°对应π弧度，则1920︒转化为弧度数为1920321803ππ=. 本题选择D 选项.3．B【解析】 295466πππ=+，则296π与56π终边相同，它是第二象限角. 本题选择B 选项.4．C【解析】试题分析：设圆半径为r ，所以由弧度制定r÷故选C ． 考点：本题主要考查角度制与弧度制的概念及其互化．点评：牢记概念，并注意两种度量制度的转化．5．B【解析】令k ＝0，±1，在数轴上标注出P 与Q 如图所示，可知选B.6．{α|2kπ<α<2kπ＋π，k ∈Z }【解析】由题意结合终边相同的角的表示方法可知终边落在x 轴上方的角的集合为{α|2kπ<α<2kπ＋π，k ∈Z }.7．3【解析】设圆的半径为R ，弧长为l ，此时l R α=则变换之后的半径为12R ，弧长为32l ， 该弧所对的圆心角为332'12l l RR α==， 则'3αα=，即该弧所对的圆心角是原来的3倍. 8．29719,,,510510ππππ 【详解】 由题意可知：()825k k Z αππ=+∈，则()2425k k Z αππ=+∈， 当0k =时，245απ=；当1k =时，9410απ=； 当2k =时，745απ=；当3k =时，19410απ=； 而当4k =时，[]120,245αππ=∉；当1k =-时，[]10,2410αππ=-∉； 综上可得：终边与4α的终边相同的角有29719,,,510510ππππ. 点睛：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成集合： {}{}|2,|360,S k k Z k k Z ββαπββα==+∈==+⨯∈.即任何一个与角α的终边相同的角都可以表示为角α与周角的整数倍的和.9．(1)()14329αππ=+-⨯,α是第四象限角；(2)49γπ=-. 【解析】试题分析：(1)由题意－800°＝－3×360°＋280°，而280°＝149π，据此可得：()14329αππ=+-⨯,α是第四象限角；(2)由题意结合(1)的结论可知γ＝2kπ＋149π，k ∈Z ，结合题意，则取k ＝－1得49γπ=-. 试题解析： (1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝π，∴α＝－800°＝＋(－3)×2π. ∵α与角终边相同，∴α是第四象限角．(2)∵与α终边相同的角可写为2kπ＋，k ∈Z 的形式，而γ与α的终边相同，∴γ＝2kπ＋，k ∈Z .又γ∈，∴－<2kπ＋<，k ∈Z ，解得k ＝－1，∴γ＝－2π＋＝－. 10．,P Q 第一次相遇时所用的时间为4s .P 点走过的弧长为163π，Q 点走过的弧长为83π. 【分析】 设出两点相遇时间，用两点所走过的弧长之和为2π建立方程，解方程求得时间，进而求得,P Q 两点所走过的弧长.【详解】依题意知圆的半径为4，设,P Q 第一次相遇时所用的时间是ts ，则236t t πππ+-⨯=.解得4t =，即,P Q 第一次相遇时所用的时间为4s . P 点走过的弧长为416433ππ⨯=，Q 点走过的弧长为28433ππ⨯=. 【点睛】本小题主要考查角速度有关计算，考查方程的思想，属于基础题.11．12π-【解析】试题分析：角度制转化为弧度制，12023π=，据此可得弧长AB 为4π，由扇形面积公式求得扇形的面积为12π，由几何关系可得△ABO 的面积为，据此可知弓形ACB 的面积为12π-试题解析：∵120°＝π＝π，∴l＝6×π＝4π，∴AB的长为4π.∵S扇形OAB＝lr＝×4π×6＝12π，如图所示，作OD⊥AB，有S△OAB＝×AB×OD＝×2×6cos 30°×3＝9.∴S弓形ACB＝S扇形OAB－S△OAB＝12π－9.∴弓形ACB的面积为12π－9.点睛：在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．。
高中人教a版数学必修4：第2课时 弧度制 word版含解析
第2课时 弧度制1.2．理解弧度制的定义，能够对弧度和角度进行正确的换算．1．我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，即用弧度制度量时，这样的圆心角等于1 rad.2．弧长计算公式：l ＝|α|·r (α是圆心角的弧度数)；扇形面积公式S ＝12l ·r 或S ＝12|α|·r 2(α是弧度数且0<α<2π)．3一、选择题 1．－315°化为弧度是( )A ．－43πB ．－5π3C ．－7π4D ．－76π答案：C解析：－315°×π180＝－7π42．在半径为2 cm 的圆中，有一条弧长为π3cm ，它所对的圆心角为( )A.π6B.π3C.π2D.2π3 答案：A解析：设圆心角为θ，则θ＝π32＝π6.3．与角－π6终边相同的角是( )A.5π6B.π3C.11π6D.2π3 答案：C解析：与角－π6终边相同的角的集合为αα＝－π6＋2k π，k ∈Z ，当k ＝1时，α＝－π6＋2π＝11π6，故选C. 4．下列叙述中正确的是( )A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧B ．1弧度是长度为半径的弧C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位 答案：D解析：由弧度的定义，知D 正确．5．已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 为( ) A ．∅B ．{α|－4≤α≤π}C ．{α|0≤α≤π}D ．{α|－4≤α≤－π}∪{α|0≤α≤π} 答案：D解析：求出集合A 在[－4,4]附近区域内的x 的数值，k ＝0时，0≤x ≤π；k ＝1时，4<2π≤x ≤3π；在k ＝－1时，－2π≤x ≤－π，而－2π＜－4，－π＞－4，从而求出A ∩B .6．下列终边相同的一组角是( )A ．k π＋π2与k ·90°，(k ∈Z )B ．(2k ＋1)π与(4k ±1)π，(k ∈Z )C ．k π＋π6与2k π±π6，(k ∈Z )D.k π3与k π＋π3，(k ∈Z ) 答案：B解析：(2k ＋1)π与(4k ±1)π，k ∈Z ，都表示π的奇数倍． 二、填空题7．在半径为2的圆中，弧长为4的弧所对的圆心角的大小是________rad. 答案：2解析：根据弧度制的定义，知所求圆心角的大小为42＝2 rad.8．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫αα＝k π2－π3，k ∈Z ，N ＝{α|－π<α<π}，则M ∩N ＝________.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－56π，－π3，π6，23π解析：由－π<k π2－π3<π，得－43<k <83.∵k ∈Z ，∴k ＝－1,0,1,2，∴M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－56π，－π3，π6，23π.9．时钟从6时50分走到10时40分，这时分针旋转了________弧度．答案：－23π3解析：时钟共走了3小时50分钟，分针旋转了－⎝⎛⎭⎫3×2π＋56·2π＝－23π3三、解答题10．一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为2 km ，一列火车以30 km/h 的速度通过，求火车经过10 s 后转过的弧度数．解：∵圆弧半径R ＝2 km ＝2 000 m ，火车速度v ＝30 km/h ＝253m/s ，∴经过10 s 后火车转过的弧长l＝253×10＝2503(m)，∴火车经过10 s 后转过的弧度数|α|＝l R ＝25032 000＝124.11．已知角α＝2010°.(1)将α改写成θ＋2k π(k ∈Z,0≤θ<2π)的形式，并指出α是第几象限角； (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角； (3)在区间[0,5π)上找出与α终边相同的角．解：(1)2 010°＝2 010×π180＝67π6＝5×2π＋7π6.又π<7π6<3π2，角α与角7π6的终边相同，故α是第三象限角．(2)与α终边相同的角可以写为r ＝7π6＋2k π(k ∈Z )．又－5π≤r <0，∴k ＝－3，－2，－1.∴与α终边相同的角为－296π，－176π，－56π.(3)令0≤r ＝76π＋2k π＜5π，∴k ＝0,1，∴与α终边相同的角为76π，196π.能力提升12．如下图所示，在某机械装置中，小正六边形沿着大正六边形的边顺时针方向滚动，小正六边形的边长是大正六边形边长的一半．如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中，射线OA 围绕点O 旋转了θ角，其中O 为小正六边形的中心，则θ等于( )A ．－4πB ．－6πC ．－8πD ．－10π 答案：B解析：小正六边形沿着大正六边形滚动一条边并且到下一条边上时，射线OA 旋转了π3＋2π3＝π，则小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置时，共旋转了π×6＝6π.又射线OA 按顺时针方向旋转，则θ＝－6π，故选B.13．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝m π＋π6，m ∈Z ， N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝n π2－π3，n ∈Z ， P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π2＋π6，k ∈Z ，试确定M 、N 、P 之间满足的关系．解：解法一：集合M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝m π＋π6，m ∈Z ； N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝n π2－π3，n ∈Z ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2m π2－π3或x ＝2m ＋12π－π3，m ∈Z＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝m π－π3或x ＝m π＋π6，m ∈Z ； P ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π2＋π6，k ∈Z ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2m 2π＋π6或x ＝2m －12π＋π6，m ∈Z＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝m π＋π6或x ＝m π－π3，m ∈Z . 所以M N ＝P .解法二：M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝m π＋π6，m ∈Z ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝6m ＋16π，m ∈Z＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝3·(2m )＋16π，m ∈Z ；N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝n π2－π3，n ∈Z ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝3n －26π，n ∈Z ；P ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π2＋π6，k ∈Z ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝3k ＋16π，k ∈Z＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝3n －26π，n ∈Z ＝N .所以M ⊆N ＝P .。
人教版高中数学必修四1.1任意角和弧度制1.1.2含答案
1.1.2 弧度制 课时目标 1.理解角度制与弧度制的概念，掌握角的不同度量制度，能对弧度和角度进行正确的变换.2.掌握并会应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．1．角的单位制(1)角度制：规定周角的________为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．(2)弧度制：把长度等于________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作________．(3)角的弧度数求法：如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么l ，α，r 之间存在的关系是：____________；这里α的正负由角α的________________决定．正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个________，零角的弧度数是________．2．角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度360°＝________ rad 2π rad ＝________180°＝______ rad π rad ＝________1°＝______rad ≈ 0.017 45 rad1 rad ＝______≈57°18′ 3.扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R ，弧长为l ，α (0<α<2π)为其圆心角，则度量单位类别α为角度制 α为弧度制扇形的弧长 l ＝________ l ＝______扇形的面积 S ＝________ S ＝______＝______一、选择题1．集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π±π2，k ∈Z 的关系是( ) A ．A ＝B B ．A ⊆BC ．B ⊆AD ．以上都不对2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin 2 C.2sin 1D ．2sin 1 3．扇形周长为6 cm ，面积为2 cm 2，则其中心角的弧度数是( ) A ．1或4 B ．1或2 C ．2或4 D ．1或54．已知集合A ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 等于( )A ．∅B ．{α|－4≤α≤π}C ．{α|0≤α≤π}D ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}5．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是( ) A.π4 B ．－π4 C.34π D ．－34π 6．扇形圆心角为π3，半径长为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ) A ．1∶3 B ．2∶3 C ．4∶3 D ．4∶9二、填空题7．将－1 485°化为2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式是________．8．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为____．9．若2π<α<4π，且α与－7π6角的终边垂直，则α＝______. 10．若角α的终边与角π6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________________.三、解答题11．把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角：(1)－1 500°；(2)236π；(3)－4.12．已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？能力提升13．已知一圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长，那么其圆心角的弧度数的绝对值为________．14．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c (c >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应． 2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π”这一关系式．易知：度数×π180＝弧度数，弧度数×⎝⎛⎭⎫180π＝度数． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度．1.1.2 弧度制答案知识梳理1．(1)1360 (2)半径长 1 rad (3)|α|＝l r终边的旋转方向 正数 负数 0 2．2π 360° π 180° π180 ⎝⎛⎭⎫180π° 3.απR 180 αR απR 2360 12αR 2 12lR 作业设计1．A2．C [r ＝1sin 1，∴l ＝|α|r ＝2sin 1.] 3．A [设扇形半径为r ，圆心角为α，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋αr ＝612αr 2＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1α＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2α＝1.] 4．C [集合A 限制了角α终边只能落在x 轴上方或x 轴上．] 5．D [∵－114π＝－2π＋⎝⎛⎭⎫－34π，∴θ＝－34π.] 6．B [设扇形内切圆半径为r ， 则r ＋r sin π6＝r ＋2r ＝a .∴a ＝3r ，∴S 内切＝πr 2. S 扇形＝12αr 2＝12×π3×a 2＝12×π3×9r 2＝32πr 2. ∴S 内切∶S 扇形＝2∶3.]7．－10π＋74π 解析 ∵－1 485°＝－5×360°＋315°，∴－1 485°可以表示为－10π＋74π. 8．25解析 216°＝216×π180＝6π5，l ＝α·r ＝6π5r ＝30π，∴r ＝25. 9.73π或103π 解析 －76π＋72π＝146π＝73π，－76π＋92π＝206π＝103π. 10．－11π3，－5π3，π3，7π3解析 由题意，角α与π3终边相同，则π3＋2π＝73π， π3－2π＝－53π，π3－4π＝－113π. 11．解 (1)－1 500°＝－1 800°＋300°＝－10π＋5π3， ∴－1 500°与53π终边相同，是第四象限角． (2)236π＝2π＋116π，∴236π与116π终边相同，是第四象限角． (3)－4＝－2π＋(2π－4)，∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．12．解 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r .∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100. ∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010＝2 rad. 13．4 2解析 设圆半径为r ，则内接正方形的边长为2r ，圆弧长为42r .∴圆弧所对圆心角|θ|＝42r r＝4 2. 14．解 (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓， ∵α＝60°＝π3，R ＝10，∴l ＝αR ＝10π3(cm)． S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－12×102×sin 60°＝50⎝⎛⎭⎫π3－32 (cm 2)． (2)扇形周长c ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴α＝c －2R R， ∴S 扇＝12αR 2＝12·c －2R R ·R 2＝12(c －2R )R ＝－R 2＋12cR ＝－(R －c 4)2＋c 216. 当且仅当R ＝c 4，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是c 216.附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。
人教A版数学必修四1.1.2弧度制能力提升(含答案解析).docx
1．已知集合A ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 等于( )A ．∅B ．{α|－4≤α≤4}C ．{α|0≤α≤π}D ．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}解析：选D.令k ＝－1,0可得集合A 分别为{α|－2π≤α≤－π，k ∈Z }和{α|0≤α≤π，k ∈Z }，所以A ∩B ＝{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}．2．一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为2 km ，一列火车以30 km/h 的速度通过，10 s 间转过________弧度．解析：10 s 间列车转过的扇形弧长为103 600×30＝112(km)， 转过的角α＝1122＝124(弧度)． 答案：1243．已知α＝2 000°.(1)把α写成β＋2k π(k ∈Z ，β∈[0,2π))的形式；(2)求θ，使得θ与α的终边相同，且θ∈(4π，6π)．解：(1)α＝2 000°＝200°＋5×360°＝109π＋10π； (2)θ与α的终边相同，故θ＝109π＋2k π，k ∈Z ； 又θ∈(4π，6π)，所以k ＝2时，θ＝109π＋4π＝46π9. 4.如图，圆心在原点，半径为R 的圆交x 轴正半轴于点A ，P 、Q 是圆上的两个动点，它们同时从点A 出发沿圆周做匀速运动．点P 逆时针方向每秒转π3，点Q 顺时针方向每秒转π6，试求它们出发后第五次相遇时的位置及各自走过的弧长．解：令经过t s 后第一次相遇．(π3＋π6)t ＝2π， 即t ＝4(s)．则第5次相遇在20 s 时．当t ＝20 s 时，点P 走过的弧长为π3×20＝203π， 点Q 走过的弧长为π6×20＝103π. 因为203π＝6π＋23π， 则两点相遇时所在位置为23π处．。
2022-2021学年高一数学人教A版必修4学案：1.1.2 弧度制 Word版含答案
1．1.2弧度制明目标、知重点 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.把握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．1．度量角的单位制(1)角度制用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的1 360.(2)弧度制①弧度制的定义长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．②任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个正数；负角的弧度数是一个负数；零角的弧度数是零．③角的弧度数的计算假如半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的确定值是|α|＝lr. 2．角度制与弧度制的换算(1)角度化弧度弧度化角度360°＝2π rad2π rad＝360°180°＝π radπ rad＝180°1°＝π180rad≈0.017 45 rad 1 rad＝⎝⎛⎭⎫180π°≈57.30°(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系度0°1°30°45°60°90°弧度0π180π6π4π3π2度120°135°150°180°270°360°弧度2π334π5π6π3π22π3.扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则度量单位类别α为角度制α为弧度制扇形的弧长l＝απR180l＝α·R扇形的面积S＝απR2360S＝12l·R＝12α·R2[情境导学]学校几何争辩过角的度量，规定周角的1360作为1°的角．我们把用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，在角度制下，当两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进制非十进制，总给我们带来不少困难．那么我们能否重新选择角单位，使在该单位制下两角的加减运算与十进制下的加减法运算一样呢？今日我们就来争辩这种新的单位制—弧度制．探究点一弧度制思考11弧度的角是怎样规定的？1弧度的角和圆半径的大小有关吗？你能作出一个1弧度的角吗？答把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度的角是一个定值，与所在圆的半径无关．如图所示，∠AOB就是1弧度的角．思考2假如一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l，那么α的弧度数与l、r之间有着怎样的关系？请你完成下表，找出某种规律．AB的长OB旋转的方向∠AOB的弧度数∠AOB的度数0没旋转00°π2r顺时针方向－π2－90°πr逆时针方向π180°2πr顺时针方向－2π－360°πr180逆时针方向π1801°r逆时针方向1⎝⎛⎭⎫180π°（规律：假如一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么α的弧度数的确定值是l r ，即|α|＝lr.小结 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.假如半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的确定值是|α|＝lr .这里，α的正负由角α的终边的旋转方向打算．思考3 角度制与弧度制换算时，机敏运用下表中的对应关系，请补充完整．例1 (1)把67°30′化成弧度； (2)把－7π12化成角度．解 (1)∵67°30′＝⎝⎛⎭⎫6712°， ∴67°30′＝π180rad ×6712＝38π rad.(2)－7π12＝－7π12×⎝⎛⎭⎫180π°＝－105°.反思与感悟 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad ＝180°即可求解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以⎝⎛⎭⎫180π°即可． 跟踪训练1 将下列角按要求转化： (1)－22°30′＝________rad ； (2)8π5＝________°. 答案 (1)－π8(2)288探究点二 弧度制下的弧长公式和扇形面积公式思考 我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公式，请依据“一周角(即360°)的弧度数为2π”这一事实化简上述公式．(设半径为r ，圆心角弧度数为α)． 答 半径为r ，圆心角为n °的扇形弧长公式为l ＝n πr180，扇形面积公式为S 扇＝n πr 2360.∵l 2πr ＝|α|2π，∴l ＝|α|r . ∵S 扇S 圆＝S 扇πr 2＝|α|2π，∴S 扇＝12|α|r 2.∴S 扇＝12|α|r 2＝12lr .例2 已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r . ∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100.∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2， 此时θ＝l r ＝40－2×1010rad ＝2 rad.所以当扇形的圆心角为2 rad ，半径为10 cm 时，扇形的面积最大为100 cm 2.反思与感悟 机敏运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数的最值问题． 跟踪训练2 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． 解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4， ∴l ＝4－2R ，依据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad.探究点三 利用弧度制表示终边相同的角导引 在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2k π＋α(k ∈Z )，其中α的单位必需是弧度． 思考1 利用弧度制表示出终边落在坐标轴上的角的集合．终边所在的位置角的集合 x 轴 {α|α＝k π，k ∈Z } y 轴 {α|α＝k π＋π2，k ∈Z }坐标轴{α|α＝k π2，k ∈Z }思考2 利用弧度制表示出终边落在各个象限的角的集合．α终边所 在的象限 角α的集合 Ⅰ {α|2k π<α<2k π＋π2，k ∈Z }Ⅱ {α|2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z }Ⅲ {α|2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z }Ⅳ{α|2k π＋3π2<α<2k π＋2π，k ∈Z }例3 把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角： (1)－1 500°； (2)23π6； (3)－4.解 (1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°. ∴－1 500°可化成－10π＋5π3，是第四象限角．(2)∵23π6＝2π＋11π6，∴23π6与11π6终边相同，是第四象限角． (3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，π2<2π－4<π.∴－4与2π－4终边相同，是其次象限角．反思与感悟 在同一问题中，单位制度要统一，角度制与弧度制不能混用． 跟踪训练3 (1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α<2π； (2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α的终边相同，求β. 解 (1)∵－1 480°＝－74π9＝－10π＋16π9，又0<169π<2π，∴－1 480°＝169π＋2×(－5)π.(2)∵β与α终边相同，∴β＝α＋2k π＝169π＋2k π(k ∈Z )．又β∈[－4π，0]，∴β1＝169π－2π＝－29π，β2＝169π－4π＝－209π.∴β＝－29π或β＝－209π.1．时针经过一小时，时针转过了( ) A.π6 rad B ．－π6 rad C.π12 rad D ．－π12 rad 答案 B解析 时针经过一小时，转过－30°， 又－30°＝－π6rad ，故选B.2．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的中心角的弧度数是( ) A ．1 B ．1或2 C ．1或4 D ．2或4 答案 C解析 设扇形半径为r ，中心角弧度数为α，则由题意得⎩⎨⎧2r ＋αr ＝6，12αr 2＝2，解得{ r ＝1，α＝4或{r ＝2，α＝1.3．已知两角的和是1弧度，两角的差是1°，则这两个角分别为____________． 答案 12＋π360，12－π360解析 设这两个角为α，β弧度，不妨设α>β， 则⎩⎨⎧α＋β＝1，α－β＝π180，解得α＝12＋π360，β＝12－π360.4．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是________．答案 －34π解析 －114π＝－2π＋⎝⎛⎭⎫－34π ＝2×(－1)π＋⎝⎛⎭⎫－34π. ∴θ＝－34π.[呈重点、现规律]1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad ”这一关系式． 角的度数与弧度数换算关系：度数×π180rad ＝弧度数，弧度数×⎝⎛⎭⎫180π°＝度数． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要留意角的单位取弧度．一、基础过关1．－300°化为弧度是( ) A ．－43π B ．－53πC ．－54πD ．－76π答案 B2．集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝{α|α＝2k π±π2，k ∈Z }的关系是( )A ．A ＝B B ．A ⊆BC ．B ⊆AD ．以上都不对 答案 A3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin 2 C.2sin 1 D ．2sin 1 答案 C解析 r ＝1sin 1，∴l ＝|α|r ＝2sin 1.4．下列表示中不正确的是( )A ．终边在x 轴上的角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z }B ．终边在y 轴上的角的集合是{α|α＝π2＋k π，k ∈Z }C ．终边在坐标轴上的角的集合是{α|α＝k π2，k ∈Z }D ．终边在直线y ＝x 上的角的集合是{α|α＝π4＋2k π，k ∈Z }答案 D解析 终边在直线y ＝x 上的角的集合应是{α|α＝π4＋k π，k ∈Z }．5．设角α、β满足－180°<α<β<180°，则α－β的范围是________． 答案 (－360°，0°) 解析 ∵α<β，∴α－β<0°，又－180°<α<180°，－180°<－β<180°， ∴－360°<α－β<360°，综上可知α－β的范围是－360°<α－β<0°.6．假如一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．答案 34解析 由于S ＝12lR ，若l ′＝32l ，R ′＝12R ，则S ′＝12l ′R ′＝12×32l ×12R ＝34S .7．用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界，如图所示)．解 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π－π6≤α≤2k π＋5π12，k ∈Z .(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π＋π6≤α≤k π＋π2，k ∈Z .二、力气提升8．扇形圆心角为π3，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( )A ．1∶3B ．2∶ 3C ．4∶3D ．4∶9 答案 B解析 设扇形的半径为R ，扇形内切圆半径为r ， 则R ＝r ＋rsin π6＝r ＋2r ＝3r .∴S 内切圆＝πr 2.S 扇形＝12αR 2＝12×π3×R 2＝12×π3×9r 2＝32πr 2.∴S 内切圆∶S 扇形＝2∶3.9．设扇形的周长为6，面积为2，则扇形的圆心角(单位：弧度)是( ) A ．1 B ．4 C ．π D ．1或4 答案 D解析 设扇形的半径为x ，所以弧长为6－2x ，扇形的圆心角为6－2x x ，由于扇形的面积为2，所以12(6－2x )x＝2，解得x ＝1或x ＝2，所以扇形的圆心角为4或1.10．已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }，集合B ＝{x |－4≤x ≤4}，则A ∩B ＝______________. 答案 [－4，－π]∪[0，π] 解析 如图所示，∴A ∩B ＝[－4，－π]∪[0，π]．11．用30 cm 长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ 解 设扇形的圆心角为α，半径为r ，面积为S ，弧长为l ，则有l ＋2r ＝30，∴l ＝30－2r ， 从而S ＝12·l ·r ＝12(30－2r )·r＝－r 2＋15r ＝－⎝⎛⎭⎫r －1522＋2254. ∴当半径r ＝152 cm 时，l ＝30－2×152＝15 cm ，扇形面积的最大值是2254 cm 2，这时α＝lr＝2 rad.∴当扇形的圆心角为2 rad ，半径为152 cm 时，面积最大，最大面积为2254cm 2.12.如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P 从点A (1,0)动身，依逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P 点在1 s 内转过的角度为θ (0<θ<π)，经过2 s 达到第三象限，经过14 s 后又回到了动身点A 处，求θ.解 由于0<θ<π，且2k π＋π<2θ<2k π＋3π2(k ∈Z )，则必有k ＝0，于是π2<θ<3π4，又14θ＝2n π(n ∈Z )，所以θ＝n π7，n ∈Z ，从而π2<n π7<3π4，即72<n <214，所以n ＝4或5，故θ＝4π7或5π7.三、探究与拓展13．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是确定值c (c >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 解 (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓， ∵α＝60°＝π3，R ＝10，∴l ＝αR ＝10π3(cm)．S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－2×12×10×sin π6×10×cos π6＝50⎝⎛⎭⎫π3－32 (cm 2)．(2)扇形周长c ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴α＝c －2RR ，∴S 扇＝12αR 2＝12·c －2R R ·R 2＝12(c －2R )R＝－R 2＋12cR ＝－⎝⎛⎭⎫R －c 42＋c 216. 当且仅当R ＝c4，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是c 216.。
高一数学人教A版必修四教案：1.1.2 弧度制 Word版含答案
1.1.2弧度制一、教学目标：1、知识与技能（1）理解并掌握弧度制的定义；（2）领会弧度制定义的合理性；（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；（4）熟练地进行角度制与弧度制的换算；（5）角的集合与实数集R 之间建立的一一对应关系.(6) 使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.2、过程与方法创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器.3、情态与价值通过本节的学习，使同学们掌握另一种度量角的单位制---弧度制，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应，为下一节学习三角函数做好准备.二、教学重、难点重点: 理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用. 难点: 理解弧度制定义，弧度制的运用.三、学法与教学用具在我们所掌握的知识中，知道角的度量是用角度制，但是为了以后的学习，我们引入了弧度制的概念，我们一定要准确理解弧度制的定义，在理解定义的基础上熟练掌握角度制与弧度制的互化.教学用具:计算器、投影机、三角板四、教学设想【创设情境】有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里）显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里.在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制.【探究新知】1．角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等.弧度制是什么呢？1弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周呢？直角等于多少弧度？弧度制与角度制之间如何换算？请看课本67P P ~，自行解决上述问题.2.弧度制的定义[展示投影]长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，yxAαOB或1弧度，或1(单位可以省略不写).3.探究:如图,半径为r 的圆的圆心与原点重合,角α的终边与x 轴的正半轴重合,交圆于点A ,终边与圆交于点B .请完成表格.-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.4.思考:如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是,那么a 的弧度数是多少?角α的弧度数的绝对值是：rl=α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径. 5.根据探究中180rad π︒=填空:1___rad ︒=,1___rad =度显然,我们可以由此角度与弧度的换算了. 6.例题讲解例1.按照下列要求,把'6730︒化成弧度:(1) 精确值；(2) 精确到0.001的近似值.例2.将3.14rad 换算成角度(用度数表示,精确到0.001).注意:角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π︒=,另外注意计算器计算非特殊角的方法.7. 填写特殊角的度数与弧度数的对应表:角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.8.例题讲评例3.利用弧度制证明下列关于扇形的公式:(1)l R α=; (2)212S R α=; (3)12S lR =. 其中R 是半径,是弧长,(02)ααπ<<为圆心角,S 是扇形的面积. 例4.利用计算器比较sin1.5和sin85︒的大小.注意:弧度制定义的理解与应用,以及角度与弧度的区别.9.练习 教材10P .9.学习小结(1)你知道角弧度制是怎样规定的吗?(2)弧度制与角度制有何不同,你能熟练做到它们相互间的转化吗?五、评价设计1．作业：习题1.1 A 组第7,8,9题． 2．要熟练掌握弧度制与角度制间的换算,以及异同．能够使用计算器求某角的各三角函数值．。
2019-2020高中数学(人教A版)必修四限时训练：1.1.2弧度制 Word版含解析
姓名，年级：时间：第一章 1.1 1。
1.2【基础练习】1．将1 920°转化为弧度数为（）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!【答案】D【解析】1 920°＝5×360°＋120°＝5×2π＋错误!＝错误!。
故选D．2．已知扇形的周长为12 cm，面积为8 cm2，则扇形圆心角的弧度数为( ）A．1 B．4C．1或4 D．2或4【答案】C【解析】设扇形的弧长为l,半径为r，则2r＋l＝12，S扇形＝错误!lr＝8,解得r＝4，l＝4或者r＝2，l＝8.∴扇形的圆心角的弧度数是错误!＝1或错误!＝4。
故选C．3．半径为3 cm的圆中，错误!的圆心角所对的弧长为（)A．错误! cm B．错误! cmC．错误! cm D．错误! cm【答案】A【解析】由题意可得圆心角α＝错误!，半径r＝3，∴弧长l＝αr＝错误!×3＝错误!。
故选A．4．下列转化结果错误的是( )A．67°30′化成弧度是错误! rad B．－错误!π化成度是－600°C．－150°化成弧度是错误! rad D．错误!化成度是15°【答案】C【解析】1°＝错误!，对于A，67°30′＝67°30′×错误!＝错误!，A正确;对于B，－错误!π＝－错误!π×错误!°＝－600°，B正确；对于C,－150°＝－错误!×150°＝－错误!π≠错误!π，C错误；对于D，错误!＝错误!×错误!°＝15°，D正确．故选C．5．已知两角和为1弧度且两角差为1°,则这两个角的弧度数分别是________．【答案】错误!＋错误!，错误!－错误!【解析】设两个角的弧度分别为x，y，因为1°＝π180rad，所以有错误!解得错误!即所求两角的弧度数分别为错误!＋错误!，错误!－错误!.6．如图所示，图中公路弯道处的弧长l＝________。
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[A.基础达标]
1．下列说法中，错误的是( )
A ．半圆所对的圆心角是π rad
B ．周角的大小等于2π
C ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
解析：选D.根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A 、B 、C 均正确，D 错误．
2．一条弦长等于圆的半径，则这条弦所对的圆心角的弧度数是( )
A ．1
B.π6
C.π3 D ．π 解析：选C.因为弦长等于圆的半径，所以弦所对的圆心角为π3
. 3．在半径为8 cm 的圆中，5π3
的圆心角所对的弧长为( ) A.403π cm B.203
π cm C.2003π cm D.4003
π cm 解析：选A.根据弧长公式，得l ＝5π3×8＝40π3
(cm)． 4．把角750°化成α＋2k π(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式，则α＝( )
A.π6
B.π3
C.π12
D.2π3
解析：选A.因为750°＝750×π180＝25π6＝4π＋π6，所以α＝π6
. 5．集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π2
，k ∈Z }中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
解析：选C.当k ＝2m ，m ∈Z 时，
2m π＋π4≤α≤2m π＋π2
，m ∈Z ； 当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，
2m π＋5π4≤α≤2m π＋3π2
，m ∈Z ，故选C. 6．在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，则角A ，B ，C 的弧度数分别为________． 解析：A ＋B ＋C ＝π，
又A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，所以A ＝3π3＋5＋7＝π5，
B ＝5π3＋5＋7＝π3
，C ＝7π15. 答案：π5，π3，7π15
7．把弧度化成角度数：(1)5π6
＝________； (2)－3.16≈________(用度、分、秒表示)．
解析：(1)5π6＝56
×180°＝150°. (2)－3.16＝－3.16×(180π
)°≈－3.16×57.30° ＝－181.068°≈－181°4′5″.
答案：(1)150° (2)－181°4′5″
8．已知扇形的圆心角为60°，半径为3，则扇形的面积是________．
解析：因为60°＝π3 rad ，则扇形的面积S ＝12×π3×32＝32
π. 答案：32
π 9．将下列各角化成弧度制下的角，并指出是第几象限角．
(1)－1 725°；(2)－60°＋360°·k (k ∈Z )．
解：(1)－1 725°＝75°－5×360°＝－5×2π＋5π12＝－10π＋5π12
，是第一象限角． (2)－60°＋360°·k ＝－π180×60＋2π·k ＝－π3
＋2k π(k ∈Z )，是第四象限角． 10．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.
求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .
解：由⊙O 的半径r ＝10＝AB ，
知△AOB 是等边三角形，
∴α＝∠AOB ＝60°＝π3
. ∴弧长l ＝α·r ＝π3×10＝10π3
， ∴S 扇形＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3
， 而S △AOB ＝12·AB ·53＝12×10×53＝5032
， ∴S ＝S 扇形－S △AOB ＝50(π3－32
)． [B.能力提升]
1．集合M ＝{x |x ＝k π2＋π4，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k π4＋π2
，k ∈Z }，则有( ) A ．M ＝N B ．M N
C ．M N
D ．M ∩N ＝∅
解析：选C.因为集合M 是表示终边在第一、三象限或第二、四象限的角平分线上的角的集合．集合N 是表示终边在坐标轴(四个位置)上和在第一、三象限或第二、四象限的角平分线上的角的集合．所以M N .
2．扇形圆心角为π3
，半径为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ) A ．1∶3 B ．2∶3
C ．4∶3
D ．4∶9
解析：选B.如图，设内切圆半径为r ，则r ＝a 3
，
所以S 圆＝π·(a 3)2＝πa 29，S 扇＝12a 2·π3＝πa 26
， 所以S 圆S 扇＝23
. 3．若扇形的周长是16 cm ，圆心角是2 rad ，则扇形的面积是________ cm 2.
解析：设扇形的半径是r cm ，弧长为l cm ，
则⎩⎪⎨⎪⎧ l ＋2r ＝16，l r ＝2，
解得l ＝8，r ＝4.
则扇形的面积是12
lr ＝16 (cm 2)． 答案：16
4．一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为2 km ，一列火车用30 km/h 的速度通过，10 s 内转过的弧度为________．
解析：10 s 内列车转过的圆形弧长为103 600×30＝112
(km)． 转过的角α＝1122＝124
(弧度)． 答案：124
5．已知扇形的周长为24，当扇形的圆心角为多大时，扇形的面积最大？
解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，面积为S .
依题意2r ＋l ＝24，
S ＝12
l ·r ＝12
·r (24－2r ) ＝(12－r )r ＝－r 2＋12r ＝－(r －6)2＋36，
故当r ＝6时S max ＝36.
此时l ＝24－2r ＝12，即圆心角α＝l r
＝2. 即当圆心角为2弧度时，面积最大为36.
6．(选做题)如图，动点P ，Q 从点A (4,0)出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6
弧度，求P ，Q 第一次相遇时所用的时间及P ，Q 点各自走过的弧长．
解：设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t ，
则t ·π3
＋t ·⎪⎪⎪⎪－π6＝2π， 解得t ＝4.
所以第一次相遇时所用的时间是4秒，
第一次相遇时点P 已经运动到角π3·4＝43
π的终边与圆的交点位置，点Q 已经运动到角－2π3
的终边与圆的交点位置， 所以点P 走过的弧长为43π×4＝163
π， 点Q 走过的弧长为⎪⎪⎪⎪－2π3×4＝23π×4＝83
π.。