2018版高中数学人教版A版必修五2.5 等比数列的前n项和(一)
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高中数学 2.5 等比数列的前n项和 第1课时 等比数列的前n项和 新人教A版必修5
S1=a1 S2=a1+a2=a1+a1q
=a1(1+q) S3=a1+a2+a3=a1+a1q +a1q2
=a1(1+q+q2) S4=a1+a2+a3+a4=a1+a1q+a1q2+a1q3
=a1(1+q+q2+q3)
观察：
S2
a1 (1 q)(1 1 q
q)
a1(1 q2 ) 1 q
S3
a1
四粒麦子……依此
？
类推，每一格上的
麦子数都是前一格
的两倍，国王一听，
几粒麦子，加起来
也不过一小袋，他
就答应了宰相的要
求.实际上国王能
满足宰相的要求吗？
1.掌握等比数列的前n项和公式.(重点） 2.掌握前n项和公式的推导方法.（重点） 3.对前n项和公式能进行简单应用.（难点）
探究：等比数列的前n项和公式
等比数列的前n项和公式
Sn
a1(1 qn) 1q
a1 anq, q 1 1q
Sn na1 , q 1
Sn a1 a2
错位相减法
二知
an 三
求
通项 公式
a1, q , n an,Sn
求和 公式
=
1 243
,可
得
1＝ 243
2 7× q 8 ,
又 由 q < 0 ,可 得
q = -1, 3
于
是
当
n
=
8时
，
S8
=
27
1
-
-
1 3
8
1
-
=a1(1+q) S3=a1+a2+a3=a1+a1q +a1q2
=a1(1+q+q2) S4=a1+a2+a3+a4=a1+a1q+a1q2+a1q3
=a1(1+q+q2+q3)
观察：
S2
a1 (1 q)(1 1 q
q)
a1(1 q2 ) 1 q
S3
a1
四粒麦子……依此
？
类推，每一格上的
麦子数都是前一格
的两倍，国王一听，
几粒麦子，加起来
也不过一小袋，他
就答应了宰相的要
求.实际上国王能
满足宰相的要求吗？
1.掌握等比数列的前n项和公式.(重点） 2.掌握前n项和公式的推导方法.（重点） 3.对前n项和公式能进行简单应用.（难点）
探究：等比数列的前n项和公式
等比数列的前n项和公式
Sn
a1(1 qn) 1q
a1 anq, q 1 1q
Sn na1 , q 1
Sn a1 a2
错位相减法
二知
an 三
求
通项 公式
a1, q , n an,Sn
求和 公式
=
1 243
,可
得
1＝ 243
2 7× q 8 ,
又 由 q < 0 ,可 得
q = -1, 3
于
是
当
n
=
8时
，
S8
=
27
1
-
-
1 3
8
1
-
数学 必修5 新课标人教A版 第二章 2.5 2.5.1 等比数列
当 a1＝2，q＝3 时， Sn＝a111－－qqn＝23n2－1>400⇒3n>401，∴n≥6； 当 a1＝－2，q＝－3 时， Sn＝－2[－－43n－1]>400⇒(－3)n>801， ∵n∈N*，且必须为偶数，∴n≥8，且 n 为偶数．
题型 3 等差数列和等比数列的综合应用 【例 3】(2012 年山东)已知等差数列{an}的前 5 项和为 105， 且 a10＝2a5. (1)求数列{an}的通项公式； (2)对任意 m∈N*，将数列{an}中不大于 72m 的项的个数记 为 bm.求数列{bm}的前 m 项和 Sm.
(1)若 a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，求 S5； (2)若a3＝2，S4＝5S2，求{an}的通项公式． 思维突破：求等比数列前 n 项和或已知前 n 项和求数列的 通项的思路都是根据已知条件建立方程组求出 a1 与 q.
解：(1)由已知，得
a1＋a1q2＝10，
a11＋q2＝10，
解：设公比为 q，∵S2n≠2Sn，∴q≠1.由已知，得
Sn＝a111－－qqn＝80，
①
S2n＝a111－－qq2n＝6560. ②
由②÷①，解得 qn＝81，q>1(∵S2n－Sn>Sn)，可知最大项为 an＝a1qn－1. ③
qn＝81 代入①③，得 a1＝2，q＝3. (1)前 100 项之和 S100＝211－－33100＝3100－1.
项和公式应注意公式成立的前提条件． 2．等比数列{ an}的前 n 项和的两个公式涉及几个量？至少
知道几个量才能求解其他的几个量？ 答案：涉及五个量．已知 a1，an，q，n，Sn 中任意三个，
可求其余两个，称为“知三求二”．
高中数学必修五课件：2.5-1《等比数列的前n项和》(人教A版必修5)
以1为首项，2 为公比的等比数列的前64项的求和问题，即： 62 63 …… ① S 1 2 4 8 2 2
64
把上式左右两边同乘以2 得：
2S 64
2 4 8 16+ ……
2 2
63
64
②
由②- ①得：
S 64 2 1
例2. 某商场第1年销售计算机5000台，如果平均每年的销 售量比上一年增加10％，那么从第1年起，约几年内可使 总销售量达到30000台（保留到个位）？ 解：根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同， 所以从第1年起，每年的销售量组成一个等比数列 { an } 其中 , ％=1.1 , 可得： 可得：
等比数列的前n项和（一）
1
（一）知识回顾：
1.等比数列的定义：
a n 1 an
（ q 0, n N ） q（常数）
n 1
2.通项公式：
an a1 q
成等比数列
3.等比数列的主要性质： ① a, G , b
G ab (G,a,b ≠ 0)
2
②在等比数列{ n }中，若 m n p q 则 am an a p aq ( m, n, p, q N )
两边取对数，得：
利用计算器得：
(年 )
7
答：约5年内可以使总销售量达到30000台。
例3.求和：
……
解 :当 时 …… …… + ……
8
例3.求和：
……
9
例4.求数列 （1+2+ 1,(1+2)， 解 :∵ …… ( ), …… …… 前n項和。
∴
…… …… ……
10
64
把上式左右两边同乘以2 得：
2S 64
2 4 8 16+ ……
2 2
63
64
②
由②- ①得：
S 64 2 1
例2. 某商场第1年销售计算机5000台，如果平均每年的销 售量比上一年增加10％，那么从第1年起，约几年内可使 总销售量达到30000台（保留到个位）？ 解：根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同， 所以从第1年起，每年的销售量组成一个等比数列 { an } 其中 , ％=1.1 , 可得： 可得：
等比数列的前n项和（一）
1
（一）知识回顾：
1.等比数列的定义：
a n 1 an
（ q 0, n N ） q（常数）
n 1
2.通项公式：
an a1 q
成等比数列
3.等比数列的主要性质： ① a, G , b
G ab (G,a,b ≠ 0)
2
②在等比数列{ n }中，若 m n p q 则 am an a p aq ( m, n, p, q N )
两边取对数，得：
利用计算器得：
(年 )
7
答：约5年内可以使总销售量达到30000台。
例3.求和：
……
解 :当 时 …… …… + ……
8
例3.求和：
……
9
例4.求数列 （1+2+ 1,(1+2)， 解 :∵ …… ( ), …… …… 前n項和。
∴
…… …… ……
10
高中数学 第二章 数列 2.5 等比数列的前n项和 第1课时
由 a1＋a2＋a3＝6，且 q＝－12，得 a1＝8，
可得 a2＝a1q＝8×－12＝－4，
a1（1－q7） 所以 a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝S7－a1－a2＝ 1－q －a1－a2＝811－－－ －12127－8－(－4)＝181. 答案：A
2．等比数列前 n 项和公式的变式 若{an}是等比数列，且公比 q≠1，则前 n 项和 Sn＝ 1－a1q(1－qn)＝A(qn－1)，其中 A＝q－a11.
[思考尝试·夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)求等比数列{an}的前 n 项和时可直接套用公式 Sn
＝a1（11－－qqn）来求．(
所以 a4＝a1q3＝8×123＝1， S6＝a1（11－－qq6）＝8×11－－12126＝643.
归纳升华 (1)等比数列前 n 项和公式为 Sn＝a1（11－－qqn）(q≠1)， 当 q＝1 时，Sn＝na1.
a1－anq (2)等比数列另一个前 n 项和公式为 Sn＝首项为 a 的数列既是等差数列又是等比数列，则
其前 n 项和为 Sn＝na.( ) (3)若某数列的前 n 项和公式为 Sn＝－aqn＋a(a≠0，
q≠0 且 q≠1，n∈N*)，则此数列一定是等比数列．( )
解析：(1)错误．在求等比数列前 n 项和时，首先应看公 比 q 是否为 1，若 q≠1，可直接套用，否则应讨论求和．(2) 正确．若数列既是等差数列，又是等比数列，则是非零常数 列，所以前 n 项和为 Sn＝na.(3)正确．根据等比数列前 n 项 和公式 Sn＝a1（11－－qqn）(q≠0 且 q≠1)变形为：
Sn＝1－a1 q－1－a1 q
qn(q≠0
且
q≠1)，若令
可得 a2＝a1q＝8×－12＝－4，
a1（1－q7） 所以 a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝S7－a1－a2＝ 1－q －a1－a2＝811－－－ －12127－8－(－4)＝181. 答案：A
2．等比数列前 n 项和公式的变式 若{an}是等比数列，且公比 q≠1，则前 n 项和 Sn＝ 1－a1q(1－qn)＝A(qn－1)，其中 A＝q－a11.
[思考尝试·夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)求等比数列{an}的前 n 项和时可直接套用公式 Sn
＝a1（11－－qqn）来求．(
所以 a4＝a1q3＝8×123＝1， S6＝a1（11－－qq6）＝8×11－－12126＝643.
归纳升华 (1)等比数列前 n 项和公式为 Sn＝a1（11－－qqn）(q≠1)， 当 q＝1 时，Sn＝na1.
a1－anq (2)等比数列另一个前 n 项和公式为 Sn＝首项为 a 的数列既是等差数列又是等比数列，则
其前 n 项和为 Sn＝na.( ) (3)若某数列的前 n 项和公式为 Sn＝－aqn＋a(a≠0，
q≠0 且 q≠1，n∈N*)，则此数列一定是等比数列．( )
解析：(1)错误．在求等比数列前 n 项和时，首先应看公 比 q 是否为 1，若 q≠1，可直接套用，否则应讨论求和．(2) 正确．若数列既是等差数列，又是等比数列，则是非零常数 列，所以前 n 项和为 Sn＝na.(3)正确．根据等比数列前 n 项 和公式 Sn＝a1（11－－qqn）(q≠0 且 q≠1)变形为：
Sn＝1－a1 q－1－a1 q
qn(q≠0
且
q≠1)，若令
数学必修Ⅴ人教新课标A版2-5-1等比数列的前n项和课件(77张)
a1
1 qn
1 q
，
当q=1时,Sn=na1.
⇓
等比数列的前n项和公式
Sn=___n_aa1_11，_a_qqn_q_(1_q__1_)__或Sn=___na_a1 1_1，1_q_qq_n_1_.(_q__1_)_
主题2:等比数列前n项和的性质
给定等比数列{an}:1,2,22,23,…,2n,…
因为q≠1,所以Sn=
a1 anq 1 q
a1
1 qn 1q
.
【预习小测】
1.等比数列 1，1，1 ,…的前10项和等于 ( )
248
A. 1 B. 511C.1 023D. 1
1 024
512
1 024
512
【解析】选C.因为数列 1，1，，1 …是首项为 ，1
248
2
公比为 1的等比数列，所以
(1)当q≠1时,Sn=
a1(1 qn 1 q
)
=-
a1 ·qn+
1 q
a1 ,若设A=
1 q
a1 , 1 q
则Sn=-Aqn+A,故Sn是由一个关于n的指数式和一个常数
的和构成的,且指数式的系数与常数项互为相反数.
(2)若等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sm,S2m-Sm, S3m-S2m,…成公比为_q_m的等比数列.
=511.
4.在等比数列{an}中,q=2,n=5,Sn=62,则a1=_______.
【解析】因为q=2,n=5,Sn=62,
所以 a1 1=qn62,即 1 q
a1=116222,5所 以a1=2.
答案:2
5.已知Sn是等比数列{an}的前n项和,若S4=1,S8=3,则 S12=________. 【解析】由Sn为等比数列的前n项和, 所以(S8-S4)2=S4·(S12-S8) 即(3-1)2=1×(S12-3),所以S12=7. 答案:7
最新-2018高中数学 第2章251等比数列的前n项和课件 新人教A版必修5 精品
2．5 等比数列的前n项和 2．5.1 等比数列的前n项和
学习目标
1.理解并掌握等比数列前n项和公式及其推导 过程． 2．能够应用前n项和公式解决等比数列有关问 题． 3．进一步提高解方程(组)的能力，以及整体代换 思想的应用能力．
2.
5.1 等
课前自主学案
比
数
列
课堂互动讲练
的
前
n
Hale Waihona Puke 知能优化训练项an＝log5bn，其中bn＞0，求数列{bn}的前n项和．
解：设{bn}的前 n 项和为 Sn′， 当 n＝1 时，a1＝S1＝1.当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1 ＝3－2n， 又∵an＝log5bn， ∴bn＝53－2n.
∵bbn＋n 1＝535－32－n2＋n 1＝215，b1＝5， ∴{bn}是以 5 为首项，215为公比的等比数列， ∴Sn′＝5[11－－221155n]＝12245(1－215n)．
a1＋a1q2＝10，
a1q3＋a1q5＝54，
即
a11＋q2＝10，
①
a1q31＋q2＝54. ②
∵a1≠0,1＋q2≠0， ∴②÷①得，q3＝18，即 q＝12，∴a1＝8. ∴a4＝a1q3＝8×(12)3＝1，
S5＝a111－－qq5＝8×[11－－12125]＝321.
变式训练 1 在等比数列{an}中， (1)已知 a1＝3，an＝96，Sn＝189，求 n；
课堂互动讲练
考点突破 等比数列前n项和的有关计算
Sn＝a11－－aqnq，Sn＝a111－－qqn(q≠1)均为等比数列的 求和公式，一共涉及 a1，an，Sn，n，q 五个量， 通常已知其中三个，可求另外两个，而且方法就 是解方程组，这也是求解等比数列问题的基本方 法．
学习目标
1.理解并掌握等比数列前n项和公式及其推导 过程． 2．能够应用前n项和公式解决等比数列有关问 题． 3．进一步提高解方程(组)的能力，以及整体代换 思想的应用能力．
2.
5.1 等
课前自主学案
比
数
列
课堂互动讲练
的
前
n
Hale Waihona Puke 知能优化训练项an＝log5bn，其中bn＞0，求数列{bn}的前n项和．
解：设{bn}的前 n 项和为 Sn′， 当 n＝1 时，a1＝S1＝1.当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1 ＝3－2n， 又∵an＝log5bn， ∴bn＝53－2n.
∵bbn＋n 1＝535－32－n2＋n 1＝215，b1＝5， ∴{bn}是以 5 为首项，215为公比的等比数列， ∴Sn′＝5[11－－221155n]＝12245(1－215n)．
a1＋a1q2＝10，
a1q3＋a1q5＝54，
即
a11＋q2＝10，
①
a1q31＋q2＝54. ②
∵a1≠0,1＋q2≠0， ∴②÷①得，q3＝18，即 q＝12，∴a1＝8. ∴a4＝a1q3＝8×(12)3＝1，
S5＝a111－－qq5＝8×[11－－12125]＝321.
变式训练 1 在等比数列{an}中， (1)已知 a1＝3，an＝96，Sn＝189，求 n；
课堂互动讲练
考点突破 等比数列前n项和的有关计算
Sn＝a11－－aqnq，Sn＝a111－－qqn(q≠1)均为等比数列的 求和公式，一共涉及 a1，an，Sn，n，q 五个量， 通常已知其中三个，可求另外两个，而且方法就 是解方程组，这也是求解等比数列问题的基本方 法．
人教A版高中数学必修五课件2.5.1等比数列的前n项和(一).pptx
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四、练习
1.根据下列各题中的条件,求出相应等比数列{an} 的前n 项和Sn。
( 1 ) a1 3, q 2, n 6 189
(2)
a1
8,
q
1 2
, an
1 2
31 2
2.在等比数列{an} 中，
( 1 ) 已知a1 1.5, a4 96, 求q和S4
(
2
)
已知q
1 2
,
S5
31 8
,
求a1和a5
1 (-2)n
3. 1 2 4 8 16 L (2)n1 ___3___
三、例题
例 2.在等比数列
an 中 ,
S3
7 2
,
S6
63 2
,求 an
.
解
: 若q
1, 则
S6
2S3,这与已知 S3
7 2
,
S6
63 是矛盾 2
的,所以q 1.从而
S3
a1
1 q3 1 q
7 2
a1 a1q a1q2 L a1qn1
qSn
a1q a1q2 L a1qn1 a1qn
上述两式相减得 (1 q)Sn a1 a1qn
故当q≠1时，
Sn
a1(1 qn 1q
)
错位相 减法
二、新课
等比数列的前n项和公式：
S由n特San别n=地aa1，q1na(n11-当1a1代(q11q1q入=n1可)时(q得，qqSn（nS1)=n)naq1aa11111aq）nqaq(nqq 1()q 1)
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2.5.1等比数列的前n项和
第一课时
2018版高中数学 第二章 数列 2.5 等比数列的前n项和(一) 新人教A版必修5
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本课结束
第二章 数 列
§2.5 等比数列的前n项和(一)
学习 目标
1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路. 2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单 问题.
栏目 索引
知识梳理 题型探究 当堂检测
自主学习 重点突破 自查自纠
知识梳理
知识点一 等比数列前n项和公式 1.等比数列前n项和公式
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81. (1)求an及其前n项和Sn； 解 设{an}的公比为q，依题意得
a1q＝3 a1q4＝81
，解得aq1＝＝31
，
因此，an＝3n－1，Sn＝111－－33n＝3n－2 1.
解析答案
1 (2)设 bn＝1＋log3an，求数列bn·bn＋1的前 10 项和 T10.
＋a5＋a6＋a7等于( )
11
19
A. 8
B.16
9
3
C.8
D.4
解析答案
12345
3.设等比数列{an}的公比 q＝3，前 n 项和为 Sn，则Sa42等于___4_30____. 解析 由题意得 S4＝a111－－334＝40a1，又 a2＝3a1， ∴Sa42＝430.
解析答案
12345
4.等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和是___1_2_0___. 解析 ∵a5＝a2·q3，∴q3＝2943＝27. ∴公比q＝3，从而a1＝3， ∴S4＝a111－－qq4＝311－－334＝120.
解析答案
12345
5．设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝ ________，S5＝________．
本课结束
第二章 数 列
§2.5 等比数列的前n项和(一)
学习 目标
1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路. 2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单 问题.
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知识梳理 题型探究 当堂检测
自主学习 重点突破 自查自纠
知识梳理
知识点一 等比数列前n项和公式 1.等比数列前n项和公式
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81. (1)求an及其前n项和Sn； 解 设{an}的公比为q，依题意得
a1q＝3 a1q4＝81
，解得aq1＝＝31
，
因此，an＝3n－1，Sn＝111－－33n＝3n－2 1.
解析答案
1 (2)设 bn＝1＋log3an，求数列bn·bn＋1的前 10 项和 T10.
＋a5＋a6＋a7等于( )
11
19
A. 8
B.16
9
3
C.8
D.4
解析答案
12345
3.设等比数列{an}的公比 q＝3，前 n 项和为 Sn，则Sa42等于___4_30____. 解析 由题意得 S4＝a111－－334＝40a1，又 a2＝3a1， ∴Sa42＝430.
解析答案
12345
4.等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和是___1_2_0___. 解析 ∵a5＝a2·q3，∴q3＝2943＝27. ∴公比q＝3，从而a1＝3， ∴S4＝a111－－qq4＝311－－334＝120.
解析答案
12345
5．设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝ ________，S5＝________．
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a1＝b1＋b2， 11＝2b1＋d， 由 即 a2＝b2＋b3， 17＝2b1＋3d，
可解得 b1＝4，d＝3. 所以 bn＝3n＋1.
（an＋1） (2)令 cn＝ n ，求数列{cn}的前 n 项和 Tn. （bn＋2）
n＋1
解
（6n＋6）n＋1 n＋1. 由(1)知 cn＝ ＝ 3( n ＋ 1)· 2 . n （3n＋3）
第二章 数 列
§2.5 等比数列的前n项和(一)
学习 目标
1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.
2.会用等比数列的前 n 项和公式解决有关等比数列的一些简单
问题.
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知识点一
等比数列前n项和公式
1.等比数列前n项和公式
4 1 ＋ 2 d ＋ q ＝21， d＝2， 由题意有 q＞0 且 解得 2 1＋4d＋q ＝13， q＝2.
∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，bn＝2n－1.
解析答案
an (2)求数列{b }的前 n 项和 Sn. n
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2
求数列{nxn}的前n项和.
a11－q5 31 所以 a1＝8，从而 S5＝ ＝2. 1－q
解析答案
(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q. 解 因为a2an－1＝a1an＝128，
所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根.
a1＝2， an＝2， 从而 或 an＝64 a1＝64.
1 n－1 1 ∴an＝15· 2 或－5· (－2)n－1.
解析答案
题型二 例2
Байду номын сангаас
错位相减法求和
设 {an} 是等差数列， {bn} 是各项都为正数的等比数列，且 a1 ＝ b1
＝1，a3＋b5＝21，a5＋b3＝13. (1)求{an}，{bn}的通项公式； 解 设{an}的公差为d，{bn}的公比为q.
方法一
a1＋a1q2＝10， 由题意知 3 5 5 a1q ＋a1q ＝ ， 4
a1＝8， 解得 1 q ＝ ， 2
方法二
a11－q5 31 从而 S5＝ ＝2. 1－q 1 1 3 得 q ＝8，从而 q＝2. 由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，
又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，
a11－qn a1－anq ＝ q≠1， 1－q (1)公式：Sn＝ 1－q na 1 q＝ 1.
(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q＝1的情况.
答案
2.等比数列前n项和公式的使用
a1（1－q ） 公比 q≠1 时，公式 Sn＝ 适用于已知 a1，q 和项数 n，而公式 1－q
a1－anq 1 又 Sn＝ ＝126，所以 q 为 2 或2. 1－q
反思与感悟
跟踪训练1
在等比数列{an}中，
(1)若 a1＝ 2，an＝16 2，Sn＝11 2，求 n 和 q；
a1－anq 2－16 2q 解 由 Sn ＝ 得 11 2＝ ， 1－q 1－q
∴q＝－2，
又由 an＝a1qn－1 得 16 2＝ 2(－2)n－1，
解析
n＋1 2 1 － 8 4 7 3n＋1 f(n)＝2＋2 ＋2 ＋„＋2 ＝ 1－8
2 n＋1 ＝7(8 －1).
答案
知识点二
错位相减法
1．推导等比数列前n项和的方法 一般地，等比数列{an}的前n项和可写为： Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，① 用公比q乘①的两边，可得 qSn＝a1＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn，② 由①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，
n
a1－anq Sn＝ 更适用于已知 a1，q 和末项 an，使用时依据条件灵活选用． 1－q
思考 设f(n)＝2＋24＋27＋„＋23n＋1 (n∈N*)，则f(n)等于( B )
2 n A.7(8 －1) 2 n＋2 C.7(8 －1) 2 n＋ 1 B.7(8 －1) 2 n＋3 D.7(8 －1)
a1（1－qn） 整理得 Sn＝ (q≠1)． 1－q
2．我们把上述方法叫 错位相减法 ，一般适用于数列{an· bn}前n项和的
求解，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且q≠1.
答案
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重点突破
题型一
等比数列基本量的计算
例1 在等比数列{an}中，
(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；
解
a11＋q＝30， 由题意知 2 a 1 ＋ q ＋ q ＝155， 1
a1＝180， a1＝5， 解得 或 5 q＝－ . q＝5， 6
5n 1 080×[1－－6 ] 1 5 从而 Sn＝4×5n＋1－4或 Sn＝ . 11
解析答案
解
∴n＝5.
解析答案
(2)已知S4＝1，S8＝17，求an. 解 若q＝1，则S8＝2S4，不合题意，∴q≠1，
a11－q4 a11－q8 ∴S4＝ ＝1，S8＝ ＝17， 1－q 1－q
1－q8 4 两式相除得 ＝ 17 ＝ 1 ＋ q ， 4 1－q
∴q＝2或q＝－2，
1 1 ∴a1＝15或 a1＝－5，
所以 Tn＝－3n· 2n＋2.
又 Tn＝c1＋c2＋…＋cn.得 Tn＝3× [2× 22＋3× 23＋…＋(n＋1)× 2n＋1]． 2Tn＝3× [2× 23＋3× 24＋…＋(n＋1)× 2n＋2]． 两式作差，得－Tn＝3× [2× 22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)× 2n＋2]
n 4 （ 1 － 2 ） n＋2 n＋2 4 ＋ －（ n ＋ 1 ） × 2 ＝3× ＝－ 3 n · 2 . 1－2
解析答案
题型三 等差、等比数列的综合问题 例3 已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋ bn＋1.
(1)求数列{bn}的通项公式；
解析答案
解
(1)由题意知，当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5.
当 n＝1 时，a1＝S1＝11，符合上式． 所以 an＝6n＋5.设数列{bn}的公差为 d，
可解得 b1＝4，d＝3. 所以 bn＝3n＋1.
（an＋1） (2)令 cn＝ n ，求数列{cn}的前 n 项和 Tn. （bn＋2）
n＋1
解
（6n＋6）n＋1 n＋1. 由(1)知 cn＝ ＝ 3( n ＋ 1)· 2 . n （3n＋3）
第二章 数 列
§2.5 等比数列的前n项和(一)
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1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.
2.会用等比数列的前 n 项和公式解决有关等比数列的一些简单
问题.
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知识点一
等比数列前n项和公式
1.等比数列前n项和公式
4 1 ＋ 2 d ＋ q ＝21， d＝2， 由题意有 q＞0 且 解得 2 1＋4d＋q ＝13， q＝2.
∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，bn＝2n－1.
解析答案
an (2)求数列{b }的前 n 项和 Sn. n
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2
求数列{nxn}的前n项和.
a11－q5 31 所以 a1＝8，从而 S5＝ ＝2. 1－q
解析答案
(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q. 解 因为a2an－1＝a1an＝128，
所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根.
a1＝2， an＝2， 从而 或 an＝64 a1＝64.
1 n－1 1 ∴an＝15· 2 或－5· (－2)n－1.
解析答案
题型二 例2
Байду номын сангаас
错位相减法求和
设 {an} 是等差数列， {bn} 是各项都为正数的等比数列，且 a1 ＝ b1
＝1，a3＋b5＝21，a5＋b3＝13. (1)求{an}，{bn}的通项公式； 解 设{an}的公差为d，{bn}的公比为q.
方法一
a1＋a1q2＝10， 由题意知 3 5 5 a1q ＋a1q ＝ ， 4
a1＝8， 解得 1 q ＝ ， 2
方法二
a11－q5 31 从而 S5＝ ＝2. 1－q 1 1 3 得 q ＝8，从而 q＝2. 由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，
又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，
a11－qn a1－anq ＝ q≠1， 1－q (1)公式：Sn＝ 1－q na 1 q＝ 1.
(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q＝1的情况.
答案
2.等比数列前n项和公式的使用
a1（1－q ） 公比 q≠1 时，公式 Sn＝ 适用于已知 a1，q 和项数 n，而公式 1－q
a1－anq 1 又 Sn＝ ＝126，所以 q 为 2 或2. 1－q
反思与感悟
跟踪训练1
在等比数列{an}中，
(1)若 a1＝ 2，an＝16 2，Sn＝11 2，求 n 和 q；
a1－anq 2－16 2q 解 由 Sn ＝ 得 11 2＝ ， 1－q 1－q
∴q＝－2，
又由 an＝a1qn－1 得 16 2＝ 2(－2)n－1，
解析
n＋1 2 1 － 8 4 7 3n＋1 f(n)＝2＋2 ＋2 ＋„＋2 ＝ 1－8
2 n＋1 ＝7(8 －1).
答案
知识点二
错位相减法
1．推导等比数列前n项和的方法 一般地，等比数列{an}的前n项和可写为： Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，① 用公比q乘①的两边，可得 qSn＝a1＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn，② 由①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，
n
a1－anq Sn＝ 更适用于已知 a1，q 和末项 an，使用时依据条件灵活选用． 1－q
思考 设f(n)＝2＋24＋27＋„＋23n＋1 (n∈N*)，则f(n)等于( B )
2 n A.7(8 －1) 2 n＋2 C.7(8 －1) 2 n＋ 1 B.7(8 －1) 2 n＋3 D.7(8 －1)
a1（1－qn） 整理得 Sn＝ (q≠1)． 1－q
2．我们把上述方法叫 错位相减法 ，一般适用于数列{an· bn}前n项和的
求解，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且q≠1.
答案
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重点突破
题型一
等比数列基本量的计算
例1 在等比数列{an}中，
(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；
解
a11＋q＝30， 由题意知 2 a 1 ＋ q ＋ q ＝155， 1
a1＝180， a1＝5， 解得 或 5 q＝－ . q＝5， 6
5n 1 080×[1－－6 ] 1 5 从而 Sn＝4×5n＋1－4或 Sn＝ . 11
解析答案
解
∴n＝5.
解析答案
(2)已知S4＝1，S8＝17，求an. 解 若q＝1，则S8＝2S4，不合题意，∴q≠1，
a11－q4 a11－q8 ∴S4＝ ＝1，S8＝ ＝17， 1－q 1－q
1－q8 4 两式相除得 ＝ 17 ＝ 1 ＋ q ， 4 1－q
∴q＝2或q＝－2，
1 1 ∴a1＝15或 a1＝－5，
所以 Tn＝－3n· 2n＋2.
又 Tn＝c1＋c2＋…＋cn.得 Tn＝3× [2× 22＋3× 23＋…＋(n＋1)× 2n＋1]． 2Tn＝3× [2× 23＋3× 24＋…＋(n＋1)× 2n＋2]． 两式作差，得－Tn＝3× [2× 22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)× 2n＋2]
n 4 （ 1 － 2 ） n＋2 n＋2 4 ＋ －（ n ＋ 1 ） × 2 ＝3× ＝－ 3 n · 2 . 1－2
解析答案
题型三 等差、等比数列的综合问题 例3 已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋ bn＋1.
(1)求数列{bn}的通项公式；
解析答案
解
(1)由题意知，当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5.
当 n＝1 时，a1＝S1＝11，符合上式． 所以 an＝6n＋5.设数列{bn}的公差为 d，