2015-2016学年福建省泉州市晋江市二中高三(上)期中数学试卷和答案(理科)
【数学】2015-2016年福建省泉州市晋江市平山中学高三(上)期中数学试卷与答案(文科)
2015-2016学年福建省泉州市晋江市平山中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，合计60分）1．（5分）已知集合A={x|x2＞1}，B={x|log2x＞0}，则A∩B=（）A．{x|x＜﹣1}B．{x|＞0} C．{x|x＞1}D．{x|x＜﹣1或x＞1}2．（5分）下列函数既是偶函数，又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=﹣x2B．y=x3 C．y=log2|x|D．y=﹣3﹣x3．（5分）已知向量=（x，y），=（﹣1，2 ），且+=（1，3），则||等于（）A．B．C．D．4．（5分）设m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m⊥α，m⊥β，则α∥βC．若m∥α，α∩β=n，则m∥n D．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β5．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣106．（5分）平面向量与的夹角为，若，，则=（）A．B．C．4 D．127．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S n=3a n+1﹣3，则a n=（）A． B． C．3n﹣1 D．8．（5分）如图是某几何体的三视图，其中正视图为正方形，俯视图是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．9．（5分）已知a，b，c分别是△内角A，B，C的对边，且（b﹣c）（sinB+sinC）=（a﹣）•sinA，则角B的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．120°10．（5分）函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）A．（kπ﹣，kπ+），k∈z B．（2kπ﹣，2kπ+），k∈zC．（k﹣，k+），k∈z D．（，2k+），k∈z11．（5分）已知函数f（x）=，若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣2，1）D．（﹣1，2）12．（5分）已知函数f（x）=x+sinπx﹣3，则的值为（）A．4029 B．﹣4029 C．8058 D．﹣8058二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，合计20分）13．（5分）已知等比数列{a n}满足：a1+a3=1，a2+a4=2，则a4+a6=．14．（5分）设，向量，，若⊥，则tanθ=．15．（5分）已知函数，则的值为．16．（5分）已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a=．三、解答题（本大题共6大题．合计70分）17．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．18．（12分）设数列{a n}满的前n项和为S n，且S n+a n=2，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{}的前n项和T n．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为平行四边形，PD⊥平面ABCD，M 为PC中点．（1）求证：AP∥平面MBD；（2）若AD⊥PB，求证：BD⊥平面PAD．20．（12分）已知函数（ω＞0）的最大值为1，最小正周期为π．（Ⅰ）求常数ω及a的值；（Ⅱ）求函数f（x）在上的最值．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）证明；当x＞1时，f（x）＜x﹣1；（Ⅲ）确定实数k的所有可能取值，使得存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）＞k（x﹣1）．选修4-5：不等式选讲22．（10分）已知关于x的不等式|2x﹣1|﹣|x﹣1|≤log2a．（1）当a=8时，求不等式解集．（2）若不等式有解，求a的范围．2015-2016学年福建省泉州市晋江市平山中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，合计60分）1．（5分）已知集合A={x|x2＞1}，B={x|log2x＞0}，则A∩B=（）A．{x|x＜﹣1}B．{x|＞0} C．{x|x＞1}D．{x|x＜﹣1或x＞1}【解答】解：集合A={x|x2＞1}={x|x＞1或x＜﹣1}，B={x|log2x＞0=log21}={x|x ＞1}，A∩B={x|x＞1}，故选：C．2．（5分）下列函数既是偶函数，又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=﹣x2B．y=x3 C．y=log2|x|D．y=﹣3﹣x【解答】解：y=﹣x2，则函数为偶函数，在（0，+∞）上是减函数数，不满足条件．y=x3，则函数是奇函数，不满足条件．y=log2|x|是偶函数，当x＞0时y=log2x在（0，+∞）上为增函数，满足条件．y=﹣3﹣x，函数为非奇非偶函数，不满足条件，故选：C．3．（5分）已知向量=（x，y），=（﹣1，2 ），且+=（1，3），则||等于（）A．B．C．D．【解答】解：=（+）﹣=（1，3）﹣（﹣1，2）=（2，1），||==故选：C．4．（5分）设m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m⊥α，m⊥β，则α∥βC．若m∥α，α∩β=n，则m∥n D．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β【解答】解：对于A，由线面垂直的性质定理可得：若m∥n，m⊥α，则n⊥α是正确的，所以A正确；对于B，根据垂直于同一直线的两个平面互相平行，可知B正确；对于C，根据线面平行的性质，可知m平行于经过m的平面与平面α的交线，但不一定平行于n（α∩β=n），故C不正确；对于D，根据面面垂直的判定，可得D正确故选：C．5．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10【解答】解：∵a4=a1+6，a3=a1+4，a1，a3，a4成等比数列，∴a32=a1•a4，即（a1+4）2=a1×（a1+6），解得a1=﹣8，∴a2=a1+2=﹣6．故选：B．6．（5分）平面向量与的夹角为，若，，则=（）A．B．C．4 D．12【解答】解：由=（2，0），所以=，所以====12．所以．故选：B．7．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S n=3a n+1﹣3，则a n=（）A． B． C．3n﹣1 D．【解答】解：由S n=3a n+1﹣3，得S n﹣1=3a n﹣3（n≥2）．两式作差可得a n=3a n+1﹣3a n，即（n≥2）．∵a1=1，S n=3a n+1﹣3，∴，则．∴数列{a n}构成以1为首项，以为公比的等比数列，则．故选：A．8．（5分）如图是某几何体的三视图，其中正视图为正方形，俯视图是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体如图：四棱锥S﹣BCDE，是正方体的一部分，正方体的列出为2；所以几何体的体积是正方体体积的一半减去V S，﹣ABC所求几何体的体积为：=．故选：A．9．（5分）已知a，b，c分别是△内角A，B，C的对边，且（b﹣c）（sinB+sinC）=（a﹣）•sinA，则角B的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．120°【解答】解：∵由正弦定理，可得，sinB=，sinC=，sinA=，∴由（b﹣c）（sinB+sinC）=（a﹣）•sinA可得，（b﹣c）（b+c）=a（a﹣c），即有c2+a2﹣b2=ac，则cosB==，由于0＜B＜180°，则B=30°．故选：A．10．（5分）函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）A．（kπ﹣，kπ+），k∈z B．（2kπ﹣，2kπ+），k∈zC．（k﹣，k+），k∈z D．（，2k+），k∈z【解答】解：由函数f（x）=cos（ωx+ϕ）的部分图象，可得函数的周期为=2（﹣）=2，∴ω=π，f（x）=cos（πx+ϕ）．再根据函数的图象以及五点法作图，可得+ϕ=，k∈z，即ϕ=，f（x）=cos（πx+）．由2kπ≤πx+≤2kπ+π，求得2k﹣≤x≤2k+，故f（x）的单调递减区间为（，2k+），k∈z，故选：D．11．（5分）已知函数f（x）=，若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣2，1）D．（﹣1，2）【解答】解：当x≤0时，f（x）=x≤0，且函数单调递增，当x＞0时，f（x）=ln（x+1）＞0，且函数单调递增，故函数在R上为增函数，则不等式f（2﹣x2）＞f（x），等价为2﹣x2＞x，即x2+x﹣2＜0，解得﹣2＜x＜1，故实数x的取值范围是（﹣2，1），故选：C．12．（5分）已知函数f（x）=x+sinπx﹣3，则的值为（）A．4029 B．﹣4029 C．8058 D．﹣8058【解答】解：若x1+x2=2时，即x2=2﹣x1时，有f（x1）+f（x2）=x1+sinπx1﹣3+2﹣x1+sin（2π﹣πx1）﹣3=2﹣6=﹣4，即恒有f（x1）+f（x2）=﹣4，且f（1）=﹣2，则=2014[f（）+f （）]=2014×（﹣4）﹣2=﹣8058，故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，合计20分）13．（5分）已知等比数列{a n}满足：a1+a3=1，a2+a4=2，则a4+a6=8．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q：∵a1+a3=1，a2+a4=2，∴2=q（a1+a3）=q，则a4+a6=q2（a2+a4）=8．故答案为：8．14．（5分）设，向量，，若⊥，则tanθ=．【解答】解：向量=（sin2θ，cosθ），=（1，﹣cosθ），，∴sin2θ﹣cos2θ=0又0＜θ，tanθ=．故答案为：15．（5分）已知函数，则的值为．【解答】解：因为＞1，所以=f（﹣1）=f（），由≤1，所以f（）=sin（π×）=；故答案为：．16．（5分）已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a=1．【解答】解：函数f（x）=ax3+x+1的导数为：f′（x）=3ax2+1，f′（1）=3a+1，而f（1）=a+2，切线方程为：y﹣a﹣2=（3a+1）（x﹣1），因为切线方程经过（2，7），所以7﹣a﹣2=（3a+1）（2﹣1），解得a=1．故答案为：1．三、解答题（本大题共6大题．合计70分）17．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行，所以asinB﹣=0，由正弦定理可知：sinAsinB﹣sinBcosA=0，因为sinB ≠0，所以tanA=，可得A=；（Ⅱ）a=，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得7=4+c2﹣2c，解得c=3，△ABC的面积为：=．18．（12分）设数列{a n}满的前n项和为S n，且S n+a n=2，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵数列{a n}满的前n项和为S n，且S n+a n=2，n∈N*．∴n=1时，S1+a1=2，解得a1=1，n≥2时，S n+a n﹣S n﹣1﹣a n﹣1=0，∴2a n=a n﹣1，∵a1=1≠0，∴，∴数列{a n}是首项为1，公比为的等比数列．∴．（2）∵==，∴=n+1，∴数列{}的前n项和：T n=2+3+4+…n+（n+1）=．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为平行四边形，PD⊥平面ABCD，M 为PC中点．（1）求证：AP∥平面MBD；（2）若AD⊥PB，求证：BD⊥平面PAD．【解答】解：（1）设AC∩BD=H，连接MH，∵H为平行四边形ABCD对角线的交点，∴H为AC中点，又∵M为PC中点，∴MH为△PAC中位线，可得MH∥PA，MH⊂平面MBD，PA⊄平面MBD，所以PA∥平面MBD．（2）∵PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PD⊥AD，又∵AD⊥PB，PD∩PB=D，∴AD⊥平面PDB，结合BD⊂平面PDB，得AD⊥BD∵PD⊥BD，且PD、AD是平面PAD内的相交直线∴BD⊥平面PAD．20．（12分）已知函数（ω＞0）的最大值为1，最小正周期为π．（Ⅰ）求常数ω及a的值；（Ⅱ）求函数f（x）在上的最值．【解答】解：（1）由三角函数公式化简可得：f（x）=sin（2ωx+）+sin2ωx+a=cos2ωx+sin2ωx+a=2sin（2ωx+）+a，由题意可得2+a=1，解得a=﹣1，由=π可得ω=1；（2）由（1）可得f（x）=2sin（2x+）﹣1，∵x∈，∴2x+∈[0，]，∴当2x+=时，函数取最小值﹣﹣1；当2x+=时，函数取最大值1．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）证明；当x＞1时，f（x）＜x﹣1；（Ⅲ）确定实数k的所有可能取值，使得存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）＞k（x﹣1）．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx﹣，∴f′（x）=＞0（x＞0），∴0＜x＜，∴函数f（x）的单调增区间是（0，）；（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣（x﹣1），则F′（x）=当x＞1时，F′（x）＜0，∴F（x）在[1，+∞）上单调递减，∴x＞1时，F（x）＜F（1）=0，即当x＞1时，f（x）＜x﹣1；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，k=1时，不存在x0＞1满足题意；当k＞1时，对于x＞1，有f（x）＜x﹣1＜k（x﹣1），则f（x）＜k（x﹣1），从而不存在x0＞1满足题意；当k＜1时，令G（x）=f（x）﹣k（x﹣1）（x＞0），则G′（x）==0，可得x1=＜0，x2=＞1，当x∈（1，x2）时，G′（x）＞0，故G（x）在（1，x2）上单调递增，从而x∈（1，x2）时，G（x）＞G（1）=0，即f（x）＞k（x﹣1），综上，k的取值范围为（﹣∞，1）．选修4-5：不等式选讲22．（10分）已知关于x的不等式|2x﹣1|﹣|x﹣1|≤log2a．（1）当a=8时，求不等式解集．（2）若不等式有解，求a的范围．【解答】解：（1）由题意可得：|2x﹣1|﹣|x﹣1|≤3…（1分）当时，﹣2x+1+x﹣1≤3，x≥﹣3，即…（2分）当时，2x ﹣1+x ﹣1≤3，即…（3分）当x ≥1时，2x ﹣1﹣x +1≤3，即x ≤3…（4分） ∴该不等式解集为{x |﹣3≤x ≤3}．…（5分） （2）令f （x ）=|2x ﹣1|﹣|x ﹣1|，有题意可知：…（6分）又∵…（8分）∴…（9分）即=，…（10分）赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-xx>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x xfxfx①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。
福建省晋江市养正中学高三上学期期中考试数学(理)试题(有答案)(精选)
养正中学、惠安一中、安溪一中2017届高三上学期期中联合考试数学（理）科试卷满分：150分，考试时间：120分钟第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共2小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案涂在答题卡的相应位置.1、若集合{}{}1,0,1,|cos ,M N x x k k Z π=-==∈，则M C N =（ ） A ．∅ B ．0 C ．{}0 D ．{}1,1-2、已知命题12:1,log 0p x x ∀>>，命题3:,3xq x R x ∃∈≥，则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ∧⌝D ．()p q ⌝∧ 3、设函数()2,12,1xx b x f x x -<⎧=⎨≥⎩，若142f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则b =（ ） A ．-1 B ．23-C ．-1或23- D ．2 4、角α的终边过函数log (3)2a y x =-+的定点P ，则sin 2cos2αα+=（ ） A ．75 B.65C.4D.5 5、函数2()sin()f x x x =的图象大致为（ ）A B C D6、已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( ) A ．若//,//m n σσ，则//m n B ．若,m n σσ⊥⊂则m ⊥n C ．若,m m n σ⊥⊥，则//n σ D ．若//,m m n σ⊥，则n σ⊥ 7，直线2-=x y 及y 轴所围成的封闭图形的面积为（ ）A B C ．4 D ．6 8、使sin (0)y x ωω=>在区间]1,0[至少出现2次最大值，则ω的最小值为（ ） A ．π25 B ．π45 C ．π D ．π239、已知三棱锥ABCD 的棱长都相等，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( )A.16B.36C.13D.33 10、2sin 473sin17cos17-的值为A ．B ． 1-CD ．111.设函数()21ln 2f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为（ ） A ．()1,0- B ．()1,-+∞ C ．()0,+∞ D ．()(),10,-∞-+∞12.若函数()f x 在区间A 上，对a b c A ∀∈，，，()f a ，()f b ，()f c 为一个三角形的三边长，则称函数()f x 为“三角形函数”.已知函数()ln f x x x m =+在区间21[,]e e上是“三角形函数”，则实数m 的取值范围为（ ）A ．212(,)e e e + B ．2(,)e +∞ C. 1(,)e+∞ D ．22(,)e e ++∞ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题本大题共4小题，每小题5分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置.13、若幂函数()()21m f x m m x =--在()0,+∞上为增函数，则实数m 的值是 ．14、多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为 3cm ．15、已知,a b 为正实数，函数3()2xf x ax bx =++在[0,1]的最大值为4，则()f x 在[1,0]-的最小值为16、已知函数x x x f -=sin )(，若0)22()s i n 2(co s 2>--++m f m f θθ对任意的(0,)2πθ∈恒成立，则实数m 的取值范围为三、解答题本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）设集合{|12}A x x =-≤≤，22{|()0}B x x x m m =-+-<．(1)当12m <时，化简集合B ； (2) :p x A ∈，命题:q x B ∈，且命题p 是命题q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．18、（本小题满分12分）已知函数()()22sincos cos 0,f x x x x x ωωωωω=+->()f x 的图象相邻两条对称轴的距离为4π。
晋江二中2015-2016学年高三上期中考理科数学试题
晋江二中2015-2016学年高三上学期期中考试题理科数学（满分150分 时长120分钟 命卷人 林建彬）第Ⅰ卷（选择题部分共60分）一.选择题（每题5分共60分）1.计算220(12sin )2x dx π-⎰= （ ） （A ） 0 (B) 1 （C ）124π- (D) 12π- 2.有关命题的叙述，正确的个数为 ( )①命题“若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题”．② “1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件．③命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈， 均有210x x ++<”． ④命题“若sin sin x y =，则x y =”的逆否命题为真命题．(A) 1 (B)2 （C ）3 (D) 43. 已知集合{23}A x x =+<，{()(2)0}B x x m x =--<，且(1,)A B n ⋂=-，则m n -= ( )(A) -2 (B) 0 （C ）1 (D) 24. 已知函数()2x g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，若(0.2)a g =，(1.5)b f =，(0.2)c f = 则,,a b c 的大小关系是（ ）(A) a b c >> （B ）a c b >> (C) c a b >> （D ）c b a >>5. 已知()f x 满足(2)()f x f x +=和()()f x f x -=-，且当(0,1)x ∈时，()31x f x =-，则2015()2f = ( )(A ) 1 （B 1 (C) 1 （D ）16.已知25242sin -=α，⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈04，πα，则ααcos sin +等于 ( ) （A ） 51- (B) 51 (C) 57- （D ） 57 7.函数)2||,0,0)(sin()(πφωφω<>>+=A x A x f 的 部分图象如图示，则关于()y f x =的说法，错误．．的是 ( ) （A) 最小正周期为π(B) 向右平移6π个单位得到函数sin(2)6y x π=- (C)在区间[0,]2π上的值域为11[,]22- π8.若02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，cos()423πβ-=，则cos()2βα+=（ ）（A ）3 （B ）3- （C ）9 （D ）9- 9.如图所示，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连结EC 、ED ，则sin ∠CED ＝( )（A ） 31010 （B ）1010 (C) 510 (D) 51510.已知函数3()31f x x x =--，若对于区间[3,2]-上的任意12,x x 都有12()()f x f x t -≤，则实数t 的最小值是( )(A) 0 (B) 3 （C ） 19 (D) 2011.对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）(A) 1-是()f x 的零点 (B) 1是()f x 的极值点(C) 3是()f x 的极值 （D ） 点(2,8)在曲线()y f x =上12.已知,,a b c 分别为△ABC 三个内角,,A B C 的对边，若3A π=，则(cos )a C C = （ ）（A ）a b + (B) b c + （C ）a c + (D) a b c ++第Ⅱ卷（非选择题部分共90分）二.填空题(每小题5分共20分)13.已知函数3log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f =__________14．已知α是第二象限角，且sin 5α=tan()4πα+=____________15.在△ABC 中，B =120o ，AB A 的角平分线AD 则AC =_______.16.如图，单位圆O 与x 轴正半轴的交点为A ，点C 、B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为125(,)1313-，AOC α∠=,若1BC =，则2c o s s i n c 222ααα-的值为_____________三.解答题(共70分)17.（本题12分）已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )．(1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．（3）在锐角ABC ∆中，内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ,已知()2f A =，2a =，3B π=，求ABC∆的面积18.（本题10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为：1,2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为)4s i n (22πθρ+=． （Ⅰ）求曲线C 的平面直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于点,M N ，若点P 的坐标为(1,0)，求||||PM PN ⋅的值．19.（本题10分）某市A,B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐3名男生，2名女生，B 中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队（1）求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率.（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 得分布列和数学期望.20（本题12分）如图所示，四棱锥P ABCD -的底面为等腰梯形，//AB DC ，22AB AD ==，PA ABCD ⊥平面，60ABC ∠=︒（1） 求AC 的长（2） 证明：BC PC ⊥（3） 若PA AB =，求PC 与平面PAD 所成角的正弦值.21．（本题12分）已知锐角△ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，222tan A b c a =+- (1)求A 的大小；（2）设函数()sin()cos ,(0)6f x x x πϖϖϖ=-->，且()f x 图象上相领两最高点间的距离为π，求()f B 的取值范围22.（本题14分）已知函数()1()x f x e ax a R =--∈(2) 若1a =，求函数()f x 的单调区间；(3) 若函数()()ln F x f x x x =-在定义域内存在零点，试求实数a 的取值范围；(4) 若()ln(1)ln ,x g x e x =--且(())()f g x f x <在(0,)x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围理科数学一．选择题（每小题5分共60分）二．填空题（每小题5分共20分）13.______________________ 14.______________________ 15.______________________ 16.______________________三．解答题（共70分）17. （本题12分）19. （本题10分）21. （本题12分）。
人教版数学高三第一章解三角形单元测试精选(含答案)1
（1）求 BC 边长； （2）求 AB 边上中线 CD 的长.
【来源】北京 101 中学 2018-2019 学年下学期高一年级期中考试数学试卷
【答案】（1） 3 2 ；（2） 13 .
33．ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a 3, cos A 6 , B A ，
【答案】C
3．在 ABC 中，若 a b cb c a 3bc ，则 A （ ）
A． 90
B． 60
C．135
D．150
【来源】2015-2016 学年江西省金溪一中高一下期中数学试卷（带解析)
【答案】B
4．设在 ABC 中,角 A，B,C 所对的边分别为 a，b, c , 若 b cos C c cos B a sin A ,
【答案】C
21．设 ABC 的内角 A, B,C 所对边的长分别为 a, b, c ，若 b c 2a, 3sin A 5sin B ,
则角 C =（ ）
A．
3 3
C．
4
2
B．
3 5
D．
6
【来源】2013 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（安徽卷带解析)
【答案】B
22．在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 a2 b2 c2 tanB 3ac ，
A．3 6
B．9 6
C．3
D．6
【来源】福建省晋江市季延中学 2017-2018 学年高一下学期期末考试数学试题
【答案】A
2．已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且cc−−ba=sinCsi+nAsinB，则 B= (
)
A．π
6
泉州市晋江一中2015-2016学年高二上学期期中数学试卷 含解析
2015—2016学年福建省泉州市晋江一中高二(上）期中数学试卷一。
选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,请将答案涂至答题卡上)1．在△ABC中，a2﹣b2﹣c2﹣bc=0，则A等于()A．60°B．45°C．120°D．30°2．等差数列{a n}中,S10=120，那么a2+a9的值是（）A．12 B．24 C．16 D．483．△ABC的内角A，B,C的对边分别为a,b，c，已知b=2，B=,则c边长为（）A．2 B． C．D．4．若a＞b,c＞d，则下列不等关系中不一定成立的是（）A．a﹣b＞d﹣c B．a+d＞b+c C．a﹣c＞b﹣c D．a﹣c＜a﹣d5．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A． B．7 C．6 D．6．已知x,y满足约束条件，则z=2x+4y的最小值是（）A．﹣6 B．5 C．38 D．﹣107．在△ABC中，已知a2tanB=b2tanA,则此三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．直角或等腰三角形8．若数列｛a n｝的通项公式是a n=(﹣1）n（3n﹣2）,则a1+a2+…+a20=（)A．30 B．29 C．﹣30 D．﹣299．已知a＞0,b＞0，a+b=2,则的最小值是（）A．B．4 C．D．510．已知等差数列｛a n｝的公差d＜0,若a4a6=24，a2+a8=10，则该数列的前n项和S n的最大值为（)A．50 B．45 C．40 D．3511．若a＞0，b＞0，且a+b=4,则下列不等式中恒成立的是(）A．＞B．+≤1 C．≥2 D．≤12．对于函数y=f（x）（x∈I)，y=g（x)（x∈I）,若对于任意x∈I，存在x0,使得f(x）≥f(x0）,g （x）≥g（x0）且f（x0)=g（x0），则称f(x），g（x）为“兄弟函数”．已知函数是定义在区间上的“兄弟函数”,那么函数f（x)在区间上的最大值为()A．B．2 C．4 D．二.填空题：（本大题共5小题,每小题4分，共20分）13．在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于．14．已知等差数列{a n｝的前n项和为S n，a5=5,S5=15,则数列的前200项和为．15．记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是．16．若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是．17．已知，令T n=a1+2a2+22a3+…+2n﹣1a n,类比教材中求等比数列的前n项和的方法,可得3T n﹣2n a n=．三、解答题（本题共6小题,共70分）18．若不等式(1﹣a）x2﹣4x+6＞0的解集是｛x|﹣3＜x＜1｝．（1)解不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0(2)b为何值时,ax2+bx+3≥0的解集为R．19．如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距海里,问乙船每小时航行多少海里？20．数列{a n}的前n项和为S n，已知S n+a n=﹣n+1（n∈N＊）（1）设b n=a n+n，证明：数列｛b n｝是等比数列；（2）求数列｛a n｝的前n项和S n．21．在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且满足(2a﹣c）cosB=bcosC．（Ⅰ）求角B的大小;（Ⅱ)若b=，a+c=4,求△ABC的面积．22．某小区要将如图所示的一块三角形边角地修建成花圃．根据建造规划,要求横穿花圃的直线灌溉水道DE恰好把花圃分成面积相等的两部分（其中D在边AB上，E在边AC上）已知AB=AC=2a，∠BAC=120°(1）设AD=x，DE=y，试求y关于x的函数y=f（x）（解析式和定义域）；（2）为使得灌溉水道DE的建设费用最少，试确定点D的具体位置．23．200多年前，10岁的高斯充分利用数字1，2，3,…，100的“对称”特征，给出了计算1+2+3+…+100的快捷方法．教材示范了根据高斯算法的启示推导等差数列的前n项和公式的过程．实事上，高斯算法的依据是：若函数f（x）（x∈D)的图象关于点P（h,k）对称，则f（x）+f（2h﹣x）=2k对x∈D恒成立．已知函数h（x)=的图象过点．(1）求a的值；（2）化简；（3)设，b n=，记数列｛b n｝的前n项和为T n，若T n＜2λa n+1对一切n∈N＊恒成立，求λ的取值范围．2015—2016学年福建省泉州市晋江一中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一。
福建省晋江市平山中学2016届高三数学上学期期中试题理
平山中学2015年秋季高三年级期中考试数学（理科）试卷满分：150分 考试时间：120分钟温馨提示：请同学们注意卷面整洁，本次考试设书写分２分。
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．复数(1)(z i i i =-+为虚数单位）在复平面内所对应的点位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设全集为R ，集合2{|90},{|15}A x x B x x =-<=-<≤，则()R A C B =（ ）A.(3,0)-B.(3,1]--C.(3,1)--D.(3,3)-3．以下说法错误的是 （ ） A.命题“若x 2-3x +2=0,则x =1”的逆否命题为“若x ≠1,则x 2-3x +2≠0”B.“x =1”是“x 2-3x +2=0”的充分不必要条件C.若p ∧q 为假命题,则p ,q 均为假命题D.若命题p :∃x 0∈R,使得20x +x 0+1<0,则﹁p :∀x ∈R,则x 2+x +1≥04. 已知数列｛a n ｝的通项公式为2245n a n n =-+ 则｛a n ｝的最大项是（ ） A ．a 1B ．a 2C ．a 3D ．a 45．函数2()ln(1)(0)f x x x x=+->的零点所在的大致区间是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2，e ) D ．(3,4)6. 函数()2sin f x x x =-的图象大致是（ ）7.为了得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只要将sin ()y x x R =∈的图象( ) A ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 B ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变8．设n s 是等差数列｛n a ｝的前n 项和，已知1a =3，5a =11，则7s 等于 （ ） A ．13 B. 35 C. 49 D. 63 9．实数a =0.3b =，0.3c =的大小关系正确的是（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．b c a <<10． 若函数ϕπϕ则上是增函数且在是奇函数,)4,0(,)2cos(2)(+=x x f 的一个值为（ ）A ．2π-B ．0C ．2π D ．π11．已知函数221,1,(),1,x x f x x ax x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩若[(0)]4f f a =，则21a dx x ⎰=（ ）A.2ln 2B. 2ln 31C.2ln 3D.2ln 912．已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数．若关于x 的方程()f x kx k =+有三个不同的实根，则实数k 的取值范是（ ）A ．111[1,)(,]243--B ．111(1,][,)243--C ．111[,)(,1]342-- D ．111(,][,1)342-- 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．在,2ABC A AB ∆∠=中,=60,且ABC ∆的面积为2,则BC 的长为 . 14．已知135sin ,53)cos(-==-ββα且)0,2(),2,0(πβπα-∈∈,则sin α= . 15.函数()sin()(0,0,||)2f x A x k A πωϕωϕ=++>><的图象如图所示，则()f x 的表达式是()f x = . 16.已知函数()sin 2f x x x =-的图象为C ，则如下结论中正确的序号是 。
福建省晋江市第二中学2014-2015学年高二学期期中考试数学(理)试题
晋江二中2014-2015学年（下）高二年段期中考试题理科数学 (命卷人： )本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分.考试时间120分钟.选择题的答案一律写在答题卷上，凡写在试卷上的无效；解答题请写出完整步骤。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中有且只有一个选项是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1． 《新课程标准》规定,那些希望在理学、工科等方面发展的学生,除了修完数学必修内容和选修系列二的全部内容外,基本要求是还要在系列四的4个专题中选修2个专题,则每位同学的不同选课方案有( )种A.4B.6C.8D.12 2.函数2sin y x x =的导数为（ ）A ．22sin cos y x x x x '=+B ．22sin cos y x x x x '=-C ．2sin 2cos y x x x x '=+D ．2sin 2cos y x x x x '=- 3．下列积分值为2的是( )A. 102xdx ⎰ B . 10xe dx ⎰ C . 11edx x⎰ D .sin xdx π⎰4．已知某一随机变量 ξ 的概率分布列如下，且Eξ = 6.3，则a 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．85. 设函数()x f x xe =,则（ ）A ．1x =为()f x 的极大值点B ．1x =为()f x 的极小值点C ．1x =-为()f x 的极大值点D ．1x =-为()f x 的极小值点6．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为3181233y x x =-+-，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件 7. 在一个盒子中有大小一样的20个球，其中10个红球，10个白球，则在第一个人摸出1个红球的条件下，第二个人摸出1个白球的概率为（ ）(A)1019 (B) 519 (C) 12 (D) 1920 8.若n x x )2(-展开式中二项式系数之和为64，则展开式中常数项为 （ ）A ．20B ．－160C ．160D ．—2709． 位于坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向左或向右，并且向左、向右移动的概率都是12，质点P 移动6次后回到原点的概率是（ ）A ．612⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．63612C ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．33612C ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．6336612C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭10. 84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是 （ ）A ．56B ．84C ．112D ．16811. 如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体。
2015-2016年福建省泉州市晋江市季延中学高一上学期数学期中试卷带答案
2015-2016学年福建省泉州市晋江市季延中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共12题，每小题5分，共60分，1．（5分）已知集合A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，则集合A∪B=（）A．{5，8}B．{4，5，6，7，8}C．{3，4，5，6，7，8}D．{4，5，6，7，8}2．（5分）函数f（x）=+lg（x﹣1）+（x﹣2）0的定义域为（）A．{x|1＜x≤4}B．{x|1＜x≤4，且x≠2}C．{x|1≤x≤4，且x≠2}D．{x|x ≥4}3．（5分）已知函数f（x）=，则的值为（）A．B．C．﹣2 D．34．（5分）已知球的半径和圆柱体的底面半径都为1且体积相同，则圆柱的高为（）A．1 B．C．2 D．45．（5分）已知函数f（x）=x2﹣6x+7，x∈（2，5]的值域是（）A．（﹣1，2]B．（﹣2，2]C．[﹣2，2]D．[﹣2，﹣1）6．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（）A．y=x3 B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+1 D．y=2x7．（5分）已知函数f（x）=lnx+2x﹣6，则它的零点所在的区间为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）8．（5分）设实数，则a、b、c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c9．（5分）设方程|x2+3x﹣3|=a的解的个数为m，则m不可能等于（）A．1 B．2 C．3 D．410．（5分）幂函数y=f（x）的图象经过点（﹣2，﹣），则满足f（x）=27的x 的值是（）A．B．﹣ C．3 D．﹣311．（5分）已知偶函数f（x）=log a|x﹣b|在（﹣∞，0）上单调递增，则f（a+1）与f（b+2）的大小关系是（）A．f（a+1）≥f（b+2） B．f（a+1）＞f（b+2） C．f（a+1）≤f（b+2） D．f （a+1）＜f（b+2）12．（5分）定义在R上的奇函数f（x），满足f（）=0，且在（0，+∞）上单调递减，则xf（x）＞0的解集为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设集合A={x|x+m≥0}，B={x|﹣2＜x＜4}，全集U=R，且（∁U A）∩B=∅，求实数m的取值范围为．14．（5分）已知函数为定义在区间[﹣2a，3a﹣1]上的奇函数，则a+b=．15．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则四棱锥A﹣BB1D1D的体积为cm3．16．（5分）给出下列5个命题：①函数y=|x|与函数表示同一个函数；②奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点；③函数y=3x2+1的图象可由y=3x2的图象向上平移1个单位得到；④若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，4]；⑤设函数f（x）是在区间[a，b]上图象连续的函数，且f（a）•f（b）＜0，则方程f（x）=0在区间[a，b]上至少有一实根；其中正确命题的序号是．（填上所有正确命题的序号）三．解答题：本题6小题，共70分.17．（10分）计算下列各式的值：（1）（2）（lg5）2+2lg2﹣（lg2）2．18．（12分）已知函数f（x）=log a（x2+2），若f（5）=3；（1）求a的值；（2）求的值；（3）解不等式f（x）＜f（x+2）．19．（12分）已知集合A={x|x2﹣5x﹣6＜0}，集合B={x|6x2﹣5x+1≥0}，集合C={x|（x﹣m）（m+9﹣x）＞0}（1）求A∩B（2）若A∪C=C，求实数m的取值范围．20．（12分）如图所示，在边长为的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M，N，K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积．21．（12分）已知函数f（x）=x3+x．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（2）求证：f（x）是R上的增函数；（3）若f（m+1）+f（2m﹣3）＜0，求m的取值范围．（参考公式：a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2））22．（12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/时）．2015-2016学年福建省泉州市晋江市季延中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12题，每小题5分，共60分，1．（5分）已知集合A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，则集合A∪B=（）A．{5，8}B．{4，5，6，7，8}C．{3，4，5，6，7，8}D．{4，5，6，7，8}【解答】解：∵A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，∴A∪B={3，4，5，6，7，8}．故选：C．2．（5分）函数f（x）=+lg（x﹣1）+（x﹣2）0的定义域为（）A．{x|1＜x≤4}B．{x|1＜x≤4，且x≠2}C．{x|1≤x≤4，且x≠2}D．{x|x ≥4}【解答】解：要使函数有意义，只须，即，解得1＜x≤4且x≠2，∴函数f（x）的定义域为{x|1＜x≤4且x≠2}．故选：B．3．（5分）已知函数f（x）=，则的值为（）A．B．C．﹣2 D．3【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（）==﹣2，=f（﹣2）=3﹣2=．故选：A．4．（5分）已知球的半径和圆柱体的底面半径都为1且体积相同，则圆柱的高为（）A．1 B．C．2 D．4【解答】解：设圆柱的高为h，则V圆柱=π×12×h=h，V球==，∴h=．故选：B．5．（5分）已知函数f（x）=x2﹣6x+7，x∈（2，5]的值域是（）A．（﹣1，2]B．（﹣2，2]C．[﹣2，2]D．[﹣2，﹣1）【解答】解：由f（x）=x2﹣6x+7=（x﹣3）2﹣2，x∈（2，5]．∴当x=3时，f（x）min=﹣2．当x=5时，．∴函数f（x）=x2﹣6x+7，x∈（2，5]的值域是[﹣2，2]．故选：C．6．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（）A．y=x3 B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+1 D．y=2x【解答】解：A．y=x3是奇函数，∴该选项错误；B．y=|x|+1为偶函数；x＞0时，y=|x|+1=x+1为增函数，∴该选项正确；C．二次函数y=﹣x2+1在（0，+∞）上单调递减，∴该选项错误；D．指数函数y=2x的图象不关于y轴对称，不是偶函数，∴该选项错误．故选：B．7．（5分）已知函数f（x）=lnx+2x﹣6，则它的零点所在的区间为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【解答】解：易知函数f（x）=lnx+2x﹣6，在定义域R+上单调递增．因为当x→0时，f（x）→﹣∞；f（1）=﹣4＜0；f（2）=ln2﹣2＜0；f（3）=ln3＞0；f（4）=ln4+2＞0．可见f（2）•f（3）＜0，故函数在（2，3）上有且只有一个零点．故选：C．8．（5分）设实数，则a、b、c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c【解答】解：∵，b=20.1＞20=1，0＜＜0.90=1．∴a＜c＜b．故选：A．9．（5分）设方程|x2+3x﹣3|=a的解的个数为m，则m不可能等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：方程|x2+3x﹣3|=a的解的个数可化为函数y=|x2+3x﹣3|与y=a的图象的交点的个数，作函数y=|x2+3x﹣3|与y=a的图象如下，结合图象可知，m的可能值有2，3，4；故选A．10．（5分）幂函数y=f（x）的图象经过点（﹣2，﹣），则满足f（x）=27的x 的值是（）A．B．﹣ C．3 D．﹣3【解答】解：设幂函数为y=xα，因为图象过点（﹣2，﹣），所以有=（﹣2）α，解得：α=﹣3所以幂函数解析式为y=x﹣3，由f（x）=27，得：x﹣3=27，所以x=．故选：A．11．（5分）已知偶函数f（x）=log a|x﹣b|在（﹣∞，0）上单调递增，则f（a+1）与f（b+2）的大小关系是（）A．f（a+1）≥f（b+2） B．f（a+1）＞f（b+2） C．f（a+1）≤f（b+2） D．f （a+1）＜f（b+2）【解答】解：∵y=log a|x﹣b|是偶函数∴log a|x﹣b|=log a|﹣x﹣b|∴|x﹣b|=|﹣x﹣b|∴x2﹣2bx+b2=x2+2bx+b2整理得4bx=0，由于x不恒为0，故b=0由此函数变为y=log a|x|当x∈（﹣∞，0）时，由于内层函数是一个减函数，又偶函数y=log a|x﹣b|在区间（﹣∞，0）上递增故外层函数是减函数，故可得0＜a＜1综上得0＜a＜1，b=0∴a+1＜b+2，而函数f（x）=log a|x﹣b|在（0，+∞）上单调递减∴f（a+1）＞f（b+2）故选：B．12．（5分）定义在R上的奇函数f（x），满足f（）=0，且在（0，+∞）上单调递减，则xf（x）＞0的解集为（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，在（0，+∞）上单调递减，且f （）=0，∴f （﹣）=0，且在区间（﹣∞，0）上单调递减，∵当x＜0，当﹣＜x＜0时，f（x）＜0，此时xf（x）＞0当x＞0，当0＜x＜时，f（x）＞0，此时xf（x）＞0综上xf（x）＞0的解集为故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设集合A={x|x+m≥0}，B={x|﹣2＜x＜4}，全集U=R，且（∁U A）∩B=∅，求实数m的取值范围为m≥2．【解答】解：集合A={x|x+m≥0}={x|x≥﹣m}，全集U=R，所以C U A={x|x＜﹣m}，又B={x|﹣2＜x＜4}，且（∁U A）∩B=∅，所以有﹣m≤﹣2，所以m≥2．故答案为m≥2．14．（5分）已知函数为定义在区间[﹣2a，3a﹣1]上的奇函数，则a+b=2．【解答】解：∵f（x）是定义在[﹣2a，3a﹣1]上奇函数，∴定义域关于原点对称，即﹣2a+3a﹣1=0，∴a=1，∵函数为奇函数，∴f（﹣x）==﹣，即b•2x﹣1=﹣b+2x，∴b=1．即a+b=2，故答案为：2．15．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则四棱锥A﹣BB1D1D的体积为6cm3．【解答】解：过A作AO⊥BD于O，AO是棱锥的高，所以AO==，所以四棱锥A﹣BB1D1D的体积为V==6．故答案为：6．16．（5分）给出下列5个命题：①函数y=|x|与函数表示同一个函数；②奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点；③函数y=3x2+1的图象可由y=3x2的图象向上平移1个单位得到；④若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，4]；⑤设函数f（x）是在区间[a，b]上图象连续的函数，且f（a）•f（b）＜0，则方程f（x）=0在区间[a，b]上至少有一实根；其中正确命题的序号是③⑤．（填上所有正确命题的序号）【解答】解：①函数y=|x|，（x∈R）与函数，（x≥0）的定义域不同，它们不表示同一个函数；错；②奇函数y=，它的图象不通过直角坐标系的原点；故②错；③函数y=3（x﹣1）2的图象可由y=3x2的图象向右平移1个单位得到；正确；④若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域由0≤2x≤2，⇒0≤x≤1，它的定义域为：[0，1]；故错；⑤设函数f（x）是在区间[a．b]上图象连续的函数，且f（a）f（b）＜0，则方程f（x）=0在区间[a，b]上至少有一实根．故正确；故答案为：③⑤三．解答题：本题6小题，共70分.17．（10分）计算下列各式的值：（1）（2）（lg5）2+2lg2﹣（lg2）2．【解答】解：（1）=…（3分）==5…（5分）（2）（lg5）2+2lg2﹣（lg2）2=（lg5+lg2）（lg5﹣lg2）+2lg2…（7分）=．…（10分）18．（12分）已知函数f（x）=log a（x2+2），若f（5）=3；（1）求a的值；（2）求的值；（3）解不等式f（x）＜f（x+2）．【解答】解：（1）∵f（5）=3，∴log a（52+2）=3，即log a27=3解锝：a=3…（4分）（2）由（1）得函数f（x）=log3（x2+2），则=9=2…（8分）（3）不等式f（x）＜f（x+2），即为log3（x2+2）＜log3[（x+2）2+2]化简不等式得log3（x2+2）＜log3（x2+4x+6）…（10分）∵函数y=log3x在（0，+∞）上为增函数，且f（x）=log3（x2+2）的定义域为R．∴x2+2＜x2+4x+6…（12分）即4x＞﹣4，解得x＞﹣1，所以不等式的解集为：（﹣1，+∞）…（14分）19．（12分）已知集合A={x|x2﹣5x﹣6＜0}，集合B={x|6x2﹣5x+1≥0}，集合C={x|（x﹣m）（m+9﹣x）＞0}（1）求A∩B（2）若A∪C=C，求实数m的取值范围．【解答】解：由合A={x|x2﹣5x﹣6＜0}，集合B={x|6x2﹣5x+1≥0}，集合C={x|（x﹣m）（m+9﹣x）＞0}．∴A={x|﹣1＜x＜6}，，C={x|m＜x＜m+9}．（1），（2）由A∪C=C，可得A⊆C．即，解得﹣3≤m≤﹣1．20．（12分）如图所示，在边长为的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M，N，K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积．【解答】解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，由已知条件，解得，，，∴S=πrl+πr2=10π，∴21．（12分）已知函数f（x）=x3+x．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（2）求证：f（x）是R上的增函数；（3）若f（m+1）+f（2m﹣3）＜0，求m的取值范围．（参考公式：a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2））【解答】解：（1）f（x）是R上的奇函数证明：∵f（﹣x）=﹣x3﹣x=﹣（x3+x）=﹣f（x），∴f（x）是R上的奇函数（2）设R上任意实数x1、x2满足x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣x2）+[（x1）3﹣（x2）3]=（x1﹣x2）[（x1）2+（x2）2+x1x2+1]=（x1﹣x2）[（x1+x2）2+x22+1]＜0恒成立，因此得到函数f（x）是R上的增函数．（3）f（m+1）+f（2m﹣3）＜0，可化为f（m+1）＜﹣f（2m﹣3），∵f（x）是R上的奇函数，∴﹣f（2m﹣3）=f（3﹣2m），∴不等式进一步可化为f（m+1）＜f（3﹣2m），∵函数f（x）是R上的增函数，∴m+1＜3﹣2m，∴22．（12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/时）．【解答】解：（Ⅰ）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b再由已知得，解得故函数v（x）的表达式为．（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200当20≤x≤200时，当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．答：（Ⅰ）函数v（x）的表达式（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；xyB CAO2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。
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2015-2016学年福建省泉州市晋江市二中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）计算=（）A．0 B．1 C．D．2．（5分）有关命题的叙述，错误的个数为（）①命题“若p∨q为真命题，则p∧q为真命题”．②“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件．③命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”．④命题“sinx=siny，x=y”的逆否命题为真命题．A．1 B．2 C．3 D．43．（5分）已知集A={x||x+2|＜3}B={x|（x﹣m）（x﹣2）＜0}，且A∩B=（﹣1，n），则m﹣n=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．24．（5分）已知函g（x）=2x的图象与函y=f（x）的图象关于直y=x对称，a=g（0.2），b=f（1.5），c=f（0.2），a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a5．（5分）已知f（x）满足f（x+2）=f（x）和f（﹣x）=﹣f（x），且当x∈（0，1）时，f（x）=3x﹣1，则f（）=（）A．B．C．﹣ D．﹣6．（5分）已知sin2α=﹣，α∈（﹣，0），则sinα+cosα等于（）A．﹣ B．C．﹣ D．7．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜），f（x）的部分图象如图示，则关于y=f（x）错误的是（）A．最小正周期为πB．向右平移个单位得到函数y=sin（2x﹣）C．在区间[0，]上的值域为[﹣]D．向左平移个单位得到的图象关于y轴对称8．（5分）若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣）=，则cos（α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣9．（5分）如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE=1，连接EC、ED则sin∠CED=（）A．B．C．D．10．（5分）函数f（x）=x3﹣3x﹣1，若对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f （x1）﹣f（x2）|≤t，则实数t的最小值是（）A．20 B．18 C．3 D．011．（5分）对二次函数f（x）=ax2+bx+c（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A．﹣1是f（x）的零点 B．1是f（x）的极值点C．3是f（x）的极值D．点（2，8）在曲线y=f（x）上12．（5分）已知a、b、c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若A=，则a（cosC+sinC）=（）A．a+b B．b+c C．a+c D．a+b+c二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函f（x）=，则f（f（））=．14．（5分）已知α是第二象限角，且sin，则tan（）=．15．（5分）在△ABC中，B=120°，AB=，A的角平分线AD=，则AC=．16．（5分）如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C、B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为（，﹣），∠AOC=α，若|BC|=1，则cos2﹣sin cos﹣的值为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（12分）已知函数f（x）=2cos x（sin x+cos x）．（1）求f（）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．（3）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f（A）=2，a=2，B=，求△ABC的面积．18．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C的平面直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C交于点M，N，若点P的坐标为（1，0），求|PM|•|PN|的值．19．（10分）某市A、B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．（Ⅰ）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望．20．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥DC，AB=2AD=2，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°（1）求AC的长；（2）证明：BC⊥PC；（3）若PA=AB，求PC与平面PAD所成角的正弦值．21．（12分）已知锐角△ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，tanA=．（1）求A的大小；（2）设函数f（x）=sin（ωx﹣）﹣cosωx，（ω＞0），且f（x）图象上相领两最高点间的距离为π，求f（B）的取值范围．22．（14分）已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（a∈R）（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数F（x）=f（x）﹣xlnx在定义域内存在零点，试求实数a的取值范围；（3）若g（x）=ln（g x﹣1）lnx，且f（g（x））＜f（x）在x∈（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年福建省泉州市晋江市二中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）计算=（）A．0 B．1 C．D．【解答】解：==sinx=1．故选：B．2．（5分）有关命题的叙述，错误的个数为（）①命题“若p∨q为真命题，则p∧q为真命题”．②“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件．③命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”．④命题“sinx=siny，x=y”的逆否命题为真命题．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】①错误：若要p∨q为真命题，只要p，q有一个为真命题即可，有三种情况，而要p∧q为真命题，必须p，q都是真命题，显然条件只有一种情况满足②错误：“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件③错误：命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”．④错误：原命题是假命题，原命题和逆否命题是等价的，所以逆否命题也是假命题错误的命题个数是4，故选：D．3．（5分）已知集A={x||x+2|＜3}B={x|（x﹣m）（x﹣2）＜0}，且A∩B=（﹣1，n），则m﹣n=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【解答】解：A={x||x+2|＜3}={x|﹣3＜x+2＜3}={x|﹣5＜x＜1}=（﹣5，1）B={x|（x﹣m）（x﹣2）＜0}，且A∩B=（﹣1，n），如图所示：由此知m=﹣1，n=1，所以，则m﹣n=﹣2．故选：A．4．（5分）已知函g（x）=2x的图象与函y=f（x）的图象关于直y=x对称，a=g（0.2），b=f（1.5），c=f（0.2），a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：∵g（x）=2x的图象与函y=f（x）的图象关于直y=x对称，∴f（x）=log2x，则f（x）为增函数，则f（0.2）＜f（1.5）=log21.5＜1，则a=g（0.2）=20.2＞1，即a＞c＞b故选：B．5．（5分）已知f（x）满足f（x+2）=f（x）和f（﹣x）=﹣f（x），且当x∈（0，1）时，f（x）=3x﹣1，则f（）=（）A．B．C．﹣ D．﹣【解答】解：由f（x+2）=f（x）得函数的周期是2，f（﹣x）=﹣f（x），得函数f（x）为奇函数，则f（）=f（1007+）=f（），∵当x∈（0，1）时，f（x）=3x﹣1，∴f（）=﹣1=﹣1，即f（）=f（）=﹣1，故选：B．6．（5分）已知sin2α=﹣，α∈（﹣，0），则sinα+cosα等于（）A．﹣ B．C．﹣ D．【解答】解：∵s in2α=﹣，∴sinαcosα=﹣，①又∵α∈（﹣，0），∴sinα＜0，cosα＞0，又sin2α+cos2α=1，②联立①②解得sinα=，cosα=∴sinα+cosα=故选：B．7．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜），f（x）的部分图象如图示，则关于y=f（x）错误的是（）A．最小正周期为πB．向右平移个单位得到函数y=sin（2x﹣）C．在区间[0，]上的值域为[﹣]D．向左平移个单位得到的图象关于y轴对称【解答】解：根据函数的图象：=，所以：T=π，利用T=，解得：ω=2；当x=时，f（）=Asin（2×+φ）=1，|φ|＜，解得：A=1，φ=，所以f（x）=sin（2x+）；所以：①A正确；②向右平移个单位得到函数：y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣），正确；③∵x∈[0，]，2x+∈[，]，∴f（x）=sin（2x+）∈[﹣，1]，故错误；④向左平移个单位得到的函数：y=sin[2（x+）+]=sin（2x+）=cos2x，由余弦函数的图象和性质可知其图象关于y轴对称，故正确；故选：C．8．（5分）若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣）=，则cos（α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：∵0＜α＜，﹣＜β＜0，∴＜+α＜，＜﹣＜∴sin（+α）==，sin（﹣）==∴cos（α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]=cos（+α）cos（﹣）+sin （+α）sin（﹣）=故选：C．9．（5分）如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE=1，连接EC、ED则sin∠CED=（）A．B．C．D．【解答】解：法一：利用余弦定理在△CED中，根据图形可求得ED=，CE=，由余弦定理得cos∠CED=，∴sin∠CED==．故选B．法二：在△CED中，根据图形可求得ED=，CE=，∠CDE=135°，由正弦定理得，即．故选：B．10．（5分）函数f（x）=x3﹣3x﹣1，若对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f （x1）﹣f（x2）|≤t，则实数t的最小值是（）A．20 B．18 C．3 D．0【解答】解：对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，等价于对于区间[﹣3，2]上的任意x，都有f（x）max﹣f（x）min≤t，∵f（x）=x3﹣3x﹣1，∴f′（x）=3x2﹣3=3（x﹣1）（x+1），∵x∈[﹣3，2]，∴函数在[﹣3，﹣1]、[1，2]上单调递增，在[﹣1，1]上单调递减∴f（x）max=f（2）=f（﹣1）=1，f（x）min=f（﹣3）=﹣19∴f（x）max﹣f（x）min=20，∴t≥20∴实数t的最小值是20，故选：A．11．（5分）对二次函数f（x）=ax2+bx+c（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A．﹣1是f（x）的零点 B．1是f（x）的极值点C．3是f（x）的极值D．点（2，8）在曲线y=f（x）上【解答】解：可采取排除法．若A错，则B，C，D正确．即有f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x）=2ax+b，即有f′（1）=0，即2a+b=0，①又f（1）=3，即a+b+c=3②，又f（2）=8，即4a+2b+c=8，③由①②③解得，a=5，b=﹣10，c=8．符合a为非零整数．若B错，则A，C，D正确，则有a﹣b+c=0，且4a+2b+c=8，且=3，解得a∈∅，不成立；若C错，则A，B，D正确，则有a﹣b+c=0，且2a+b=0，且4a+2b+c=8，解得a=﹣不为非零整数，不成立；若D错，则A，B，C正确，则有a﹣b+c=0，且2a+b=0，且=3，解得a=﹣不为非零整数，不成立．故选：A．12．（5分）已知a、b、c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若A=，则a（cosC+sinC）=（）A．a+b B．b+c C．a+c D．a+b+c【解答】解：∵由正弦定理可得：a=2RsinA∴=2RsinAcosC=2RsinAcosC+3RsinC==2R（sinAcosC+cosAsinC+sinC）=2R[sin（A+C）+sinC]=2R（sinB+sinC）=b+c．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函f（x）=，则f（f（））=．【解答】解：由分段函数可知f（）=，f（f（））=f（﹣2）=．故答案为：．14．（5分）已知α是第二象限角，且sin，则tan（）=﹣．【解答】解：∵α是第二象限角，且sin，则cosα=﹣=﹣，∴tanα==﹣2，∴tan（）==﹣，故答案为：﹣．15．（5分）在△ABC中，B=120°，AB=，A的角平分线AD=，则AC=．【解答】解：由题意以及正弦定理可知：，即，∠ADB=45°，A=180°﹣120°﹣45°，可得A=30°，则C=30°，三角形ABC是等腰三角形，AC=2=．故答案为：．16．（5分）如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C、B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为（，﹣），∠AOC=α，若|BC|=1，则cos2﹣sin cos﹣的值为．【解答】解：∵点B的坐标为（，﹣），设∠A0B=θ∴sin（2π﹣θ）=﹣，cos（2π﹣θ）=，即sinθ=，cosθ=，∵∠AOC=α，若|BC|=1，∴θ+α=，则α=﹣θ，则cos2﹣sin cos﹣=cosα﹣sinα=cos（α+）=cos（﹣θ+）=cos（）=sinθ=，故答案为：三、解答题（共6小题，满分70分）17．（12分）已知函数f（x）=2cos x（sin x+cos x）．（1）求f（）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．（3）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f（A）=2，a=2，B=，求△ABC的面积．【解答】解：（1）f（）=2cos（sin+cos）=2．（2）f（x）=2cos x（sin x+cos x）=sin2x+cos2x+1=sin（2x+）+1．最小正周期T=π，由﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，可得﹣π+kπ≤x≤+kπ（k∈Z）∴单调递增区间是[﹣π+kπ，+kπ]（k∈Z）．（3）f（A）=sin（2A+）+1=2，∴A=，∵a=2，B=，∴c=1，b=，∴△ABC的面积S==．18．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C的平面直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C交于点M，N，若点P的坐标为（1，0），求|PM|•|PN|的值．【解答】解：（Ⅰ）由，得==2sinθ+2cosθ．所以ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ．即x2+y2﹣2x﹣2y=0．所以曲线C的平面直角坐标方程为x2+y2﹣2x﹣2y=0；（Ⅱ）由直线l的参数方程为：（t为参数），知直线l是过点P（1，0），且倾斜角为的直线，把直线的参数方程代入曲线C得，．所以|PM|•|PN|=|t1t2|=1．19．（10分）某市A、B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．（Ⅰ）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意，参加集训的男、女学生共有6人，参赛学生全从B 中抽出（等价于A中没有学生入选代表队）的概率为：=，因此A中学至少有1名学生入选代表队的概率为：1﹣=；（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，X表示参赛的男生人数，则X的可能取值为：1，2，3，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．X的分布列：和数学期望EX=1×=2．20．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥DC，AB=2AD=2，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°（1）求AC的长；（2）证明：BC⊥PC；（3）若PA=AB，求PC与平面PAD所成角的正弦值．【解答】解：（1）∵四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥DC，AB=2AD=2，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，∴AC===．证明：（2）取AB的中点，连接CE，则由题意知：△BCE为正三角形，∵∠ABC=60°，∴由等腰梯形知：∠BCD=120°，∵AD=CD=BC=1，AB=4，BD=AC=，∴AD2+BD2=AB2，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BD，又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，∴BD⊥平面PAD，且BC⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAD．解：（3）在平面ABCD中，过点C作CH∥BD交AD的延长线于点H，由（2）知：BD⊥平面PAD，∴CH⊥平面PAD，连接PH，则∠CPH即为PC与平面PAD所成角．在Rt△CHD中，CD=1，∠CDH=60°，∴CH=，在Rt△PHC中，PC==，∴在Rt△PHC中，sin∠CPH===．∴直线PC与平面PAD所成角的正弦值为．21．（12分）已知锐角△ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，tanA=．（1）求A的大小；（2）设函数f（x）=sin（ωx﹣）﹣cosωx，（ω＞0），且f（x）图象上相领两最高点间的距离为π，求f（B）的取值范围．【解答】解：（1）∵tanA=，∴tanA=，∴sinA=，∵0，∴；（2）f（x）=sin（ωx﹣）﹣cosωx=sin（ωx﹣）∵f（x）图象上相邻两最高点间的距离为π，∴T=π∴=π∴ω=2∴f（x）=sin（2x﹣）∴f（B）=sin（2B﹣）∵＜B＜，∴0＜2B﹣＜∴0＜sin（2B﹣）≤1∴0＜f（B）≤．22．（14分）已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（a∈R）（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数F（x）=f（x）﹣xlnx在定义域内存在零点，试求实数a的取值范围；（3）若g（x）=ln（g x﹣1）lnx，且f（g（x））＜f（x）在x∈（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=e x﹣x﹣1，∴f′（x）=e x﹣1＞0，x＞0f′（x）=e x﹣1＜0，x＜0∴函数f（x）的单调递增区间（0．+∞）；函数f（x）的单调递减区间（﹣∞，0）；（2）（2）F（x）=f（x）﹣x1nx的定义域为（0，+∞），由F（x）=0得，a=﹣lnx，（x＞0），令h（x）=）=﹣lnx，（x＞0），则h′（x）=，由于x＞0，e x﹣1＞0；当x＞1时，h′（x）＞0；当0＜x＜1，h′（x）＜0；故函数h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；故h（x）≥h（1）=e﹣1；又由（1）知，当a=1时，对∀x＞0，有f（x）＞f（lna）=0；即e x﹣1＞x，故＞1；∵x＞0，∴＞0，当x→0时，lnx→﹣∞，∴h（x）→+∞；当a＞e﹣1时，函数F（x）有两个不同的零点，当a=e﹣1时，函数F（x）有且级有一个零点，当a＜e﹣1时，函数F（x）没有零点；（3）由（2）知，当x＞0时，e x﹣1＞x，故对∀x＞0，g（x）＞0；构造函数H（x）=xe x﹣e x+1（x＞0），则H′（x）=xe x＞0；故函数H（x）在（0，+∞）上单调递增，则H（x）＞H（0），则∀x＞0，xe x﹣e x+1＞0成立，当a≤1时，由（1）知，f（x）在（lna，+∞）上单调递增，在（0，lna）上单调递减，帮当0＜x＜lna时，0＜g（x）＜x＜lna，所以f（g（x））＞f（x），则不满足题意，所以满足题意的a的取值范围是（﹣∞，1]．。