2015-2016学年福建省泉州市晋江市二中高三(上)期中数学试卷和答案(理科)
2015-2016学年福建省泉州市晋江市二中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）计算=（）A．0 B．1 C．D．2．（5分）有关命题的叙述，错误的个数为（）①命题“若p∨q为真命题，则p∧q为真命题”．②“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件．③命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”．④命题“sinx=siny，x=y”的逆否命题为真命题．A．1 B．2 C．3 D．43．（5分）已知集A={x||x+2|＜3}B={x|（x﹣m）（x﹣2）＜0}，且A∩B=（﹣1，n），则m﹣n=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．24．（5分）已知函g（x）=2x的图象与函y=f（x）的图象关于直y=x对称，a=g（0.2），b=f（1.5），c=f（0.2），a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a5．（5分）已知f（x）满足f（x+2）=f（x）和f（﹣x）=﹣f（x），且当x∈（0，1）时，f（x）=3x﹣1，则f（）=（）A．B．C．﹣ D．﹣6．（5分）已知sin2α=﹣，α∈（﹣，0），则sinα+cosα等于（）A．﹣ B．C．﹣ D．7．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜），f（x）的部分图象如图示，则关于y=f（x）错误的是（）A．最小正周期为πB．向右平移个单位得到函数y=sin（2x﹣）C．在区间[0，]上的值域为[﹣]D．向左平移个单位得到的图象关于y轴对称8．（5分）若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣）=，则cos（α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣9．（5分）如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE=1，连接EC、ED则sin∠CED=（）A．B．C．D．10．（5分）函数f（x）=x3﹣3x﹣1，若对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f （x1）﹣f（x2）|≤t，则实数t的最小值是（）A．20 B．18 C．3 D．011．（5分）对二次函数f（x）=ax2+bx+c（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A．﹣1是f（x）的零点 B．1是f（x）的极值点C．3是f（x）的极值D．点（2，8）在曲线y=f（x）上12．（5分）已知a、b、c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若A=，则a（cosC+sinC）=（）A．a+b B．b+c C．a+c D．a+b+c二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函f（x）=，则f（f（））=．14．（5分）已知α是第二象限角，且sin，则tan（）=．15．（5分）在△ABC中，B=120°，AB=，A的角平分线AD=，则AC=．16．（5分）如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C、B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为（，﹣），∠AOC=α，若|BC|=1，则cos2﹣sin cos﹣的值为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（12分）已知函数f（x）=2cos x（sin x+cos x）．（1）求f（）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．（3）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f（A）=2，a=2，B=，求△ABC的面积．18．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C的平面直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C交于点M，N，若点P的坐标为（1，0），求|PM|•|PN|的值．19．（10分）某市A、B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．（Ⅰ）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望．20．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥DC，AB=2AD=2，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°（1）求AC的长；（2）证明：BC⊥PC；（3）若PA=AB，求PC与平面PAD所成角的正弦值．21．（12分）已知锐角△ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，tanA=．（1）求A的大小；（2）设函数f（x）=sin（ωx﹣）﹣cosωx，（ω＞0），且f（x）图象上相领两最高点间的距离为π，求f（B）的取值范围．22．（14分）已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（a∈R）（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数F（x）=f（x）﹣xlnx在定义域内存在零点，试求实数a的取值范围；（3）若g（x）=ln（g x﹣1）lnx，且f（g（x））＜f（x）在x∈（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年福建省泉州市晋江市二中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）计算=（）A．0 B．1 C．D．【解答】解：==sinx=1．故选：B．2．（5分）有关命题的叙述，错误的个数为（）①命题“若p∨q为真命题，则p∧q为真命题”．②“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件．③命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”．④命题“sinx=siny，x=y”的逆否命题为真命题．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】①错误：若要p∨q为真命题，只要p，q有一个为真命题即可，有三种情况，而要p∧q为真命题，必须p，q都是真命题，显然条件只有一种情况满足②错误：“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件③错误：命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”．④错误：原命题是假命题，原命题和逆否命题是等价的，所以逆否命题也是假命题错误的命题个数是4，故选：D．3．（5分）已知集A={x||x+2|＜3}B={x|（x﹣m）（x﹣2）＜0}，且A∩B=（﹣1，n），则m﹣n=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【解答】解：A={x||x+2|＜3}={x|﹣3＜x+2＜3}={x|﹣5＜x＜1}=（﹣5，1）B={x|（x﹣m）（x﹣2）＜0}，且A∩B=（﹣1，n），如图所示：由此知m=﹣1，n=1，所以，则m﹣n=﹣2．故选：A．4．（5分）已知函g（x）=2x的图象与函y=f（x）的图象关于直y=x对称，a=g（0.2），b=f（1.5），c=f（0.2），a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：∵g（x）=2x的图象与函y=f（x）的图象关于直y=x对称，∴f（x）=log2x，则f（x）为增函数，则f（0.2）＜f（1.5）=log21.5＜1，则a=g（0.2）=20.2＞1，即a＞c＞b故选：B．5．（5分）已知f（x）满足f（x+2）=f（x）和f（﹣x）=﹣f（x），且当x∈（0，1）时，f（x）=3x﹣1，则f（）=（）A．B．C．﹣ D．﹣【解答】解：由f（x+2）=f（x）得函数的周期是2，f（﹣x）=﹣f（x），得函数f（x）为奇函数，则f（）=f（1007+）=f（），∵当x∈（0，1）时，f（x）=3x﹣1，∴f（）=﹣1=﹣1，即f（）=f（）=﹣1，故选：B．6．（5分）已知sin2α=﹣，α∈（﹣，0），则sinα+cosα等于（）A．﹣ B．C．﹣ D．【解答】解：∵s in2α=﹣，∴sinαcosα=﹣，①又∵α∈（﹣，0），∴sinα＜0，cosα＞0，又sin2α+cos2α=1，②联立①②解得sinα=，cosα=∴sinα+cosα=故选：B．7．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜），f（x）的部分图象如图示，则关于y=f（x）错误的是（）A．最小正周期为πB．向右平移个单位得到函数y=sin（2x﹣）C．在区间[0，]上的值域为[﹣]D．向左平移个单位得到的图象关于y轴对称【解答】解：根据函数的图象：=，所以：T=π，利用T=，解得：ω=2；当x=时，f（）=Asin（2×+φ）=1，|φ|＜，解得：A=1，φ=，所以f（x）=sin（2x+）；所以：①A正确；②向右平移个单位得到函数：y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣），正确；③∵x∈[0，]，2x+∈[，]，∴f（x）=sin（2x+）∈[﹣，1]，故错误；④向左平移个单位得到的函数：y=sin[2（x+）+]=sin（2x+）=cos2x，由余弦函数的图象和性质可知其图象关于y轴对称，故正确；故选：C．8．（5分）若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣）=，则cos（α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：∵0＜α＜，﹣＜β＜0，∴＜+α＜，＜﹣＜∴sin（+α）==，sin（﹣）==∴cos（α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]=cos（+α）cos（﹣）+sin （+α）sin（﹣）=故选：C．9．（5分）如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE=1，连接EC、ED则sin∠CED=（）A．B．C．D．【解答】解：法一：利用余弦定理在△CED中，根据图形可求得ED=，CE=，由余弦定理得cos∠CED=，∴sin∠CED==．故选B．法二：在△CED中，根据图形可求得ED=，CE=，∠CDE=135°，由正弦定理得，即．故选：B．10．（5分）函数f（x）=x3﹣3x﹣1，若对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f （x1）﹣f（x2）|≤t，则实数t的最小值是（）A．20 B．18 C．3 D．0【解答】解：对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，等价于对于区间[﹣3，2]上的任意x，都有f（x）max﹣f（x）min≤t，∵f（x）=x3﹣3x﹣1，∴f′（x）=3x2﹣3=3（x﹣1）（x+1），∵x∈[﹣3，2]，∴函数在[﹣3，﹣1]、[1，2]上单调递增，在[﹣1，1]上单调递减∴f（x）max=f（2）=f（﹣1）=1，f（x）min=f（﹣3）=﹣19∴f（x）max﹣f（x）min=20，∴t≥20∴实数t的最小值是20，故选：A．11．（5分）对二次函数f（x）=ax2+bx+c（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A．﹣1是f（x）的零点 B．1是f（x）的极值点C．3是f（x）的极值D．点（2，8）在曲线y=f（x）上【解答】解：可采取排除法．若A错，则B，C，D正确．即有f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x）=2ax+b，即有f′（1）=0，即2a+b=0，①又f（1）=3，即a+b+c=3②，又f（2）=8，即4a+2b+c=8，③由①②③解得，a=5，b=﹣10，c=8．符合a为非零整数．若B错，则A，C，D正确，则有a﹣b+c=0，且4a+2b+c=8，且=3，解得a∈∅，不成立；若C错，则A，B，D正确，则有a﹣b+c=0，且2a+b=0，且4a+2b+c=8，解得a=﹣不为非零整数，不成立；若D错，则A，B，C正确，则有a﹣b+c=0，且2a+b=0，且=3，解得a=﹣不为非零整数，不成立．故选：A．12．（5分）已知a、b、c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若A=，则a（cosC+sinC）=（）A．a+b B．b+c C．a+c D．a+b+c【解答】解：∵由正弦定理可得：a=2RsinA∴=2RsinAcosC=2RsinAcosC+3RsinC==2R（sinAcosC+cosAsinC+sinC）=2R[sin（A+C）+sinC]=2R（sinB+sinC）=b+c．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函f（x）=，则f（f（））=．【解答】解：由分段函数可知f（）=，f（f（））=f（﹣2）=．故答案为：．14．（5分）已知α是第二象限角，且sin，则tan（）=﹣．【解答】解：∵α是第二象限角，且sin，则cosα=﹣=﹣，∴tanα==﹣2，∴tan（）==﹣，故答案为：﹣．15．（5分）在△ABC中，B=120°，AB=，A的角平分线AD=，则AC=．【解答】解：由题意以及正弦定理可知：，即，∠ADB=45°，A=180°﹣120°﹣45°，可得A=30°，则C=30°，三角形ABC是等腰三角形，AC=2=．故答案为：．16．（5分）如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C、B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为（，﹣），∠AOC=α，若|BC|=1，则cos2﹣sin cos﹣的值为．【解答】解：∵点B的坐标为（，﹣），设∠A0B=θ∴sin（2π﹣θ）=﹣，cos（2π﹣θ）=，即sinθ=，cosθ=，∵∠AOC=α，若|BC|=1，∴θ+α=，则α=﹣θ，则cos2﹣sin cos﹣=cosα﹣sinα=cos（α+）=cos（﹣θ+）=cos（）=sinθ=，故答案为：三、解答题（共6小题，满分70分）17．（12分）已知函数f（x）=2cos x（sin x+cos x）．（1）求f（）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．（3）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f（A）=2，a=2，B=，求△ABC的面积．【解答】解：（1）f（）=2cos（sin+cos）=2．（2）f（x）=2cos x（sin x+cos x）=sin2x+cos2x+1=sin（2x+）+1．最小正周期T=π，由﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，可得﹣π+kπ≤x≤+kπ（k∈Z）∴单调递增区间是[﹣π+kπ，+kπ]（k∈Z）．（3）f（A）=sin（2A+）+1=2，∴A=，∵a=2，B=，∴c=1，b=，∴△ABC的面积S==．18．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C的平面直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C交于点M，N，若点P的坐标为（1，0），求|PM|•|PN|的值．【解答】解：（Ⅰ）由，得==2sinθ+2cosθ．所以ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ．即x2+y2﹣2x﹣2y=0．所以曲线C的平面直角坐标方程为x2+y2﹣2x﹣2y=0；（Ⅱ）由直线l的参数方程为：（t为参数），知直线l是过点P（1，0），且倾斜角为的直线，把直线的参数方程代入曲线C得，．所以|PM|•|PN|=|t1t2|=1．19．（10分）某市A、B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．（Ⅰ）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意，参加集训的男、女学生共有6人，参赛学生全从B 中抽出（等价于A中没有学生入选代表队）的概率为：=，因此A中学至少有1名学生入选代表队的概率为：1﹣=；（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，X表示参赛的男生人数，则X的可能取值为：1，2，3，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．X的分布列：和数学期望EX=1×=2．20．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥DC，AB=2AD=2，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°（1）求AC的长；（2）证明：BC⊥PC；（3）若PA=AB，求PC与平面PAD所成角的正弦值．【解答】解：（1）∵四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥DC，AB=2AD=2，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，∴AC===．证明：（2）取AB的中点，连接CE，则由题意知：△BCE为正三角形，∵∠ABC=60°，∴由等腰梯形知：∠BCD=120°，∵AD=CD=BC=1，AB=4，BD=AC=，∴AD2+BD2=AB2，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BD，又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，∴BD⊥平面PAD，且BC⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAD．解：（3）在平面ABCD中，过点C作CH∥BD交AD的延长线于点H，由（2）知：BD⊥平面PAD，∴CH⊥平面PAD，连接PH，则∠CPH即为PC与平面PAD所成角．在Rt△CHD中，CD=1，∠CDH=60°，∴CH=，在Rt△PHC中，PC==，∴在Rt△PHC中，sin∠CPH===．∴直线PC与平面PAD所成角的正弦值为．21．（12分）已知锐角△ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，tanA=．（1）求A的大小；（2）设函数f（x）=sin（ωx﹣）﹣cosωx，（ω＞0），且f（x）图象上相领两最高点间的距离为π，求f（B）的取值范围．【解答】解：（1）∵tanA=，∴tanA=，∴sinA=，∵0，∴；（2）f（x）=sin（ωx﹣）﹣cosωx=sin（ωx﹣）∵f（x）图象上相邻两最高点间的距离为π，∴T=π∴=π∴ω=2∴f（x）=sin（2x﹣）∴f（B）=sin（2B﹣）∵＜B＜，∴0＜2B﹣＜∴0＜sin（2B﹣）≤1∴0＜f（B）≤．22．（14分）已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（a∈R）（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数F（x）=f（x）﹣xlnx在定义域内存在零点，试求实数a的取值范围；（3）若g（x）=ln（g x﹣1）lnx，且f（g（x））＜f（x）在x∈（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=e x﹣x﹣1，∴f′（x）=e x﹣1＞0，x＞0f′（x）=e x﹣1＜0，x＜0∴函数f（x）的单调递增区间（0．+∞）；函数f（x）的单调递减区间（﹣∞，0）；（2）（2）F（x）=f（x）﹣x1nx的定义域为（0，+∞），由F（x）=0得，a=﹣lnx，（x＞0），令h（x）=）=﹣lnx，（x＞0），则h′（x）=，由于x＞0，e x﹣1＞0；当x＞1时，h′（x）＞0；当0＜x＜1，h′（x）＜0；故函数h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；故h（x）≥h（1）=e﹣1；又由（1）知，当a=1时，对∀x＞0，有f（x）＞f（lna）=0；即e x﹣1＞x，故＞1；∵x＞0，∴＞0，当x→0时，lnx→﹣∞，∴h（x）→+∞；当a＞e﹣1时，函数F（x）有两个不同的零点，当a=e﹣1时，函数F（x）有且级有一个零点，当a＜e﹣1时，函数F（x）没有零点；（3）由（2）知，当x＞0时，e x﹣1＞x，故对∀x＞0，g（x）＞0；构造函数H（x）=xe x﹣e x+1（x＞0），则H′（x）=xe x＞0；故函数H（x）在（0，+∞）上单调递增，则H（x）＞H（0），则∀x＞0，xe x﹣e x+1＞0成立，当a≤1时，由（1）知，f（x）在（lna，+∞）上单调递增，在（0，lna）上单调递减，帮当0＜x＜lna时，0＜g（x）＜x＜lna，所以f（g（x））＞f（x），则不满足题意，所以满足题意的a的取值范围是（﹣∞，1]．。
【数学】2015-2016年福建省泉州市晋江市平山中学高三(上)期中数学试卷与答案(文科)
2015-2016学年福建省泉州市晋江市平山中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，合计60分）1．（5分）已知集合A={x|x2＞1}，B={x|log2x＞0}，则A∩B=（）A．{x|x＜﹣1}B．{x|＞0} C．{x|x＞1}D．{x|x＜﹣1或x＞1}2．（5分）下列函数既是偶函数，又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=﹣x2B．y=x3 C．y=log2|x|D．y=﹣3﹣x3．（5分）已知向量=（x，y），=（﹣1，2 ），且+=（1，3），则||等于（）A．B．C．D．4．（5分）设m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m⊥α，m⊥β，则α∥βC．若m∥α，α∩β=n，则m∥n D．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β5．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣106．（5分）平面向量与的夹角为，若，，则=（）A．B．C．4 D．127．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S n=3a n+1﹣3，则a n=（）A． B． C．3n﹣1 D．8．（5分）如图是某几何体的三视图，其中正视图为正方形，俯视图是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．9．（5分）已知a，b，c分别是△内角A，B，C的对边，且（b﹣c）（sinB+sinC）=（a﹣）•sinA，则角B的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．120°10．（5分）函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）A．（kπ﹣，kπ+），k∈z B．（2kπ﹣，2kπ+），k∈zC．（k﹣，k+），k∈z D．（，2k+），k∈z11．（5分）已知函数f（x）=，若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣2，1）D．（﹣1，2）12．（5分）已知函数f（x）=x+sinπx﹣3，则的值为（）A．4029 B．﹣4029 C．8058 D．﹣8058二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，合计20分）13．（5分）已知等比数列{a n}满足：a1+a3=1，a2+a4=2，则a4+a6=．14．（5分）设，向量，，若⊥，则tanθ=．15．（5分）已知函数，则的值为．16．（5分）已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a=．三、解答题（本大题共6大题．合计70分）17．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．18．（12分）设数列{a n}满的前n项和为S n，且S n+a n=2，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{}的前n项和T n．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为平行四边形，PD⊥平面ABCD，M 为PC中点．（1）求证：AP∥平面MBD；（2）若AD⊥PB，求证：BD⊥平面PAD．20．（12分）已知函数（ω＞0）的最大值为1，最小正周期为π．（Ⅰ）求常数ω及a的值；（Ⅱ）求函数f（x）在上的最值．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）证明；当x＞1时，f（x）＜x﹣1；（Ⅲ）确定实数k的所有可能取值，使得存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）＞k（x﹣1）．选修4-5：不等式选讲22．（10分）已知关于x的不等式|2x﹣1|﹣|x﹣1|≤log2a．（1）当a=8时，求不等式解集．（2）若不等式有解，求a的范围．2015-2016学年福建省泉州市晋江市平山中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，合计60分）1．（5分）已知集合A={x|x2＞1}，B={x|log2x＞0}，则A∩B=（）A．{x|x＜﹣1}B．{x|＞0} C．{x|x＞1}D．{x|x＜﹣1或x＞1}【解答】解：集合A={x|x2＞1}={x|x＞1或x＜﹣1}，B={x|log2x＞0=log21}={x|x ＞1}，A∩B={x|x＞1}，故选：C．2．（5分）下列函数既是偶函数，又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=﹣x2B．y=x3 C．y=log2|x|D．y=﹣3﹣x【解答】解：y=﹣x2，则函数为偶函数，在（0，+∞）上是减函数数，不满足条件．y=x3，则函数是奇函数，不满足条件．y=log2|x|是偶函数，当x＞0时y=log2x在（0，+∞）上为增函数，满足条件．y=﹣3﹣x，函数为非奇非偶函数，不满足条件，故选：C．3．（5分）已知向量=（x，y），=（﹣1，2 ），且+=（1，3），则||等于（）A．B．C．D．【解答】解：=（+）﹣=（1，3）﹣（﹣1，2）=（2，1），||==故选：C．4．（5分）设m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m⊥α，m⊥β，则α∥βC．若m∥α，α∩β=n，则m∥n D．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β【解答】解：对于A，由线面垂直的性质定理可得：若m∥n，m⊥α，则n⊥α是正确的，所以A正确；对于B，根据垂直于同一直线的两个平面互相平行，可知B正确；对于C，根据线面平行的性质，可知m平行于经过m的平面与平面α的交线，但不一定平行于n（α∩β=n），故C不正确；对于D，根据面面垂直的判定，可得D正确故选：C．5．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10【解答】解：∵a4=a1+6，a3=a1+4，a1，a3，a4成等比数列，∴a32=a1•a4，即（a1+4）2=a1×（a1+6），解得a1=﹣8，∴a2=a1+2=﹣6．故选：B．6．（5分）平面向量与的夹角为，若，，则=（）A．B．C．4 D．12【解答】解：由=（2，0），所以=，所以====12．所以．故选：B．7．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S n=3a n+1﹣3，则a n=（）A． B． C．3n﹣1 D．【解答】解：由S n=3a n+1﹣3，得S n﹣1=3a n﹣3（n≥2）．两式作差可得a n=3a n+1﹣3a n，即（n≥2）．∵a1=1，S n=3a n+1﹣3，∴，则．∴数列{a n}构成以1为首项，以为公比的等比数列，则．故选：A．8．（5分）如图是某几何体的三视图，其中正视图为正方形，俯视图是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体如图：四棱锥S﹣BCDE，是正方体的一部分，正方体的列出为2；所以几何体的体积是正方体体积的一半减去V S，﹣ABC所求几何体的体积为：=．故选：A．9．（5分）已知a，b，c分别是△内角A，B，C的对边，且（b﹣c）（sinB+sinC）=（a﹣）•sinA，则角B的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．120°【解答】解：∵由正弦定理，可得，sinB=，sinC=，sinA=，∴由（b﹣c）（sinB+sinC）=（a﹣）•sinA可得，（b﹣c）（b+c）=a（a﹣c），即有c2+a2﹣b2=ac，则cosB==，由于0＜B＜180°，则B=30°．故选：A．10．（5分）函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）A．（kπ﹣，kπ+），k∈z B．（2kπ﹣，2kπ+），k∈zC．（k﹣，k+），k∈z D．（，2k+），k∈z【解答】解：由函数f（x）=cos（ωx+ϕ）的部分图象，可得函数的周期为=2（﹣）=2，∴ω=π，f（x）=cos（πx+ϕ）．再根据函数的图象以及五点法作图，可得+ϕ=，k∈z，即ϕ=，f（x）=cos（πx+）．由2kπ≤πx+≤2kπ+π，求得2k﹣≤x≤2k+，故f（x）的单调递减区间为（，2k+），k∈z，故选：D．11．（5分）已知函数f（x）=，若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣2，1）D．（﹣1，2）【解答】解：当x≤0时，f（x）=x≤0，且函数单调递增，当x＞0时，f（x）=ln（x+1）＞0，且函数单调递增，故函数在R上为增函数，则不等式f（2﹣x2）＞f（x），等价为2﹣x2＞x，即x2+x﹣2＜0，解得﹣2＜x＜1，故实数x的取值范围是（﹣2，1），故选：C．12．（5分）已知函数f（x）=x+sinπx﹣3，则的值为（）A．4029 B．﹣4029 C．8058 D．﹣8058【解答】解：若x1+x2=2时，即x2=2﹣x1时，有f（x1）+f（x2）=x1+sinπx1﹣3+2﹣x1+sin（2π﹣πx1）﹣3=2﹣6=﹣4，即恒有f（x1）+f（x2）=﹣4，且f（1）=﹣2，则=2014[f（）+f （）]=2014×（﹣4）﹣2=﹣8058，故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，合计20分）13．（5分）已知等比数列{a n}满足：a1+a3=1，a2+a4=2，则a4+a6=8．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q：∵a1+a3=1，a2+a4=2，∴2=q（a1+a3）=q，则a4+a6=q2（a2+a4）=8．故答案为：8．14．（5分）设，向量，，若⊥，则tanθ=．【解答】解：向量=（sin2θ，cosθ），=（1，﹣cosθ），，∴sin2θ﹣cos2θ=0又0＜θ，tanθ=．故答案为：15．（5分）已知函数，则的值为．【解答】解：因为＞1，所以=f（﹣1）=f（），由≤1，所以f（）=sin（π×）=；故答案为：．16．（5分）已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a=1．【解答】解：函数f（x）=ax3+x+1的导数为：f′（x）=3ax2+1，f′（1）=3a+1，而f（1）=a+2，切线方程为：y﹣a﹣2=（3a+1）（x﹣1），因为切线方程经过（2，7），所以7﹣a﹣2=（3a+1）（2﹣1），解得a=1．故答案为：1．三、解答题（本大题共6大题．合计70分）17．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行，所以asinB﹣=0，由正弦定理可知：sinAsinB﹣sinBcosA=0，因为sinB ≠0，所以tanA=，可得A=；（Ⅱ）a=，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得7=4+c2﹣2c，解得c=3，△ABC的面积为：=．18．（12分）设数列{a n}满的前n项和为S n，且S n+a n=2，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵数列{a n}满的前n项和为S n，且S n+a n=2，n∈N*．∴n=1时，S1+a1=2，解得a1=1，n≥2时，S n+a n﹣S n﹣1﹣a n﹣1=0，∴2a n=a n﹣1，∵a1=1≠0，∴，∴数列{a n}是首项为1，公比为的等比数列．∴．（2）∵==，∴=n+1，∴数列{}的前n项和：T n=2+3+4+…n+（n+1）=．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为平行四边形，PD⊥平面ABCD，M 为PC中点．（1）求证：AP∥平面MBD；（2）若AD⊥PB，求证：BD⊥平面PAD．【解答】解：（1）设AC∩BD=H，连接MH，∵H为平行四边形ABCD对角线的交点，∴H为AC中点，又∵M为PC中点，∴MH为△PAC中位线，可得MH∥PA，MH⊂平面MBD，PA⊄平面MBD，所以PA∥平面MBD．（2）∵PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PD⊥AD，又∵AD⊥PB，PD∩PB=D，∴AD⊥平面PDB，结合BD⊂平面PDB，得AD⊥BD∵PD⊥BD，且PD、AD是平面PAD内的相交直线∴BD⊥平面PAD．20．（12分）已知函数（ω＞0）的最大值为1，最小正周期为π．（Ⅰ）求常数ω及a的值；（Ⅱ）求函数f（x）在上的最值．【解答】解：（1）由三角函数公式化简可得：f（x）=sin（2ωx+）+sin2ωx+a=cos2ωx+sin2ωx+a=2sin（2ωx+）+a，由题意可得2+a=1，解得a=﹣1，由=π可得ω=1；（2）由（1）可得f（x）=2sin（2x+）﹣1，∵x∈，∴2x+∈[0，]，∴当2x+=时，函数取最小值﹣﹣1；当2x+=时，函数取最大值1．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）证明；当x＞1时，f（x）＜x﹣1；（Ⅲ）确定实数k的所有可能取值，使得存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）＞k（x﹣1）．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx﹣，∴f′（x）=＞0（x＞0），∴0＜x＜，∴函数f（x）的单调增区间是（0，）；（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣（x﹣1），则F′（x）=当x＞1时，F′（x）＜0，∴F（x）在[1，+∞）上单调递减，∴x＞1时，F（x）＜F（1）=0，即当x＞1时，f（x）＜x﹣1；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，k=1时，不存在x0＞1满足题意；当k＞1时，对于x＞1，有f（x）＜x﹣1＜k（x﹣1），则f（x）＜k（x﹣1），从而不存在x0＞1满足题意；当k＜1时，令G（x）=f（x）﹣k（x﹣1）（x＞0），则G′（x）==0，可得x1=＜0，x2=＞1，当x∈（1，x2）时，G′（x）＞0，故G（x）在（1，x2）上单调递增，从而x∈（1，x2）时，G（x）＞G（1）=0，即f（x）＞k（x﹣1），综上，k的取值范围为（﹣∞，1）．选修4-5：不等式选讲22．（10分）已知关于x的不等式|2x﹣1|﹣|x﹣1|≤log2a．（1）当a=8时，求不等式解集．（2）若不等式有解，求a的范围．【解答】解：（1）由题意可得：|2x﹣1|﹣|x﹣1|≤3…（1分）当时，﹣2x+1+x﹣1≤3，x≥﹣3，即…（2分）当时，2x ﹣1+x ﹣1≤3，即…（3分）当x ≥1时，2x ﹣1﹣x +1≤3，即x ≤3…（4分） ∴该不等式解集为{x |﹣3≤x ≤3}．…（5分） （2）令f （x ）=|2x ﹣1|﹣|x ﹣1|，有题意可知：…（6分）又∵…（8分）∴…（9分）即=，…（10分）赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-xx>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x xfxfx①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。
福建省晋江市养正中学高三上学期期中考试数学(理)试题(有答案)(精选)
养正中学、惠安一中、安溪一中2017届高三上学期期中联合考试数学（理）科试卷满分：150分，考试时间：120分钟第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共2小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案涂在答题卡的相应位置.1、若集合{}{}1,0,1,|cos ,M N x x k k Z π=-==∈，则M C N =（ ） A ．∅ B ．0 C ．{}0 D ．{}1,1-2、已知命题12:1,log 0p x x ∀>>，命题3:,3xq x R x ∃∈≥，则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ∧⌝D ．()p q ⌝∧ 3、设函数()2,12,1xx b x f x x -<⎧=⎨≥⎩，若142f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则b =（ ） A ．-1 B ．23-C ．-1或23- D ．2 4、角α的终边过函数log (3)2a y x =-+的定点P ，则sin 2cos2αα+=（ ） A ．75 B.65C.4D.5 5、函数2()sin()f x x x =的图象大致为（ ）A B C D6、已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( ) A ．若//,//m n σσ，则//m n B ．若,m n σσ⊥⊂则m ⊥n C ．若,m m n σ⊥⊥，则//n σ D ．若//,m m n σ⊥，则n σ⊥ 7，直线2-=x y 及y 轴所围成的封闭图形的面积为（ ）A B C ．4 D ．6 8、使sin (0)y x ωω=>在区间]1,0[至少出现2次最大值，则ω的最小值为（ ） A ．π25 B ．π45 C ．π D ．π239、已知三棱锥ABCD 的棱长都相等，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( )A.16B.36C.13D.33 10、2sin 473sin17cos17-的值为A ．B ． 1-CD ．111.设函数()21ln 2f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为（ ） A ．()1,0- B ．()1,-+∞ C ．()0,+∞ D ．()(),10,-∞-+∞12.若函数()f x 在区间A 上，对a b c A ∀∈，，，()f a ，()f b ，()f c 为一个三角形的三边长，则称函数()f x 为“三角形函数”.已知函数()ln f x x x m =+在区间21[,]e e上是“三角形函数”，则实数m 的取值范围为（ ）A ．212(,)e e e + B ．2(,)e +∞ C. 1(,)e+∞ D ．22(,)e e ++∞ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题本大题共4小题，每小题5分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置.13、若幂函数()()21m f x m m x =--在()0,+∞上为增函数，则实数m 的值是 ．14、多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为 3cm ．15、已知,a b 为正实数，函数3()2xf x ax bx =++在[0,1]的最大值为4，则()f x 在[1,0]-的最小值为16、已知函数x x x f -=sin )(，若0)22()s i n 2(co s 2>--++m f m f θθ对任意的(0,)2πθ∈恒成立，则实数m 的取值范围为三、解答题本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）设集合{|12}A x x =-≤≤，22{|()0}B x x x m m =-+-<．(1)当12m <时，化简集合B ； (2) :p x A ∈，命题:q x B ∈，且命题p 是命题q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．18、（本小题满分12分）已知函数()()22sincos cos 0,f x x x x x ωωωωω=+->()f x 的图象相邻两条对称轴的距离为4π。
晋江二中2015-2016学年高三上期中考理科数学试题
晋江二中2015-2016学年高三上学期期中考试题理科数学（满分150分 时长120分钟 命卷人 林建彬）第Ⅰ卷（选择题部分共60分）一.选择题（每题5分共60分）1.计算220(12sin )2x dx π-⎰= （ ） （A ） 0 (B) 1 （C ）124π- (D) 12π- 2.有关命题的叙述，正确的个数为 ( )①命题“若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题”．② “1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件．③命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈， 均有210x x ++<”． ④命题“若sin sin x y =，则x y =”的逆否命题为真命题．(A) 1 (B)2 （C ）3 (D) 43. 已知集合{23}A x x =+<，{()(2)0}B x x m x =--<，且(1,)A B n ⋂=-，则m n -= ( )(A) -2 (B) 0 （C ）1 (D) 24. 已知函数()2x g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，若(0.2)a g =，(1.5)b f =，(0.2)c f = 则,,a b c 的大小关系是（ ）(A) a b c >> （B ）a c b >> (C) c a b >> （D ）c b a >>5. 已知()f x 满足(2)()f x f x +=和()()f x f x -=-，且当(0,1)x ∈时，()31x f x =-，则2015()2f = ( )(A ) 1 （B 1 (C) 1 （D ）16.已知25242sin -=α，⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈04，πα，则ααcos sin +等于 ( ) （A ） 51- (B) 51 (C) 57- （D ） 57 7.函数)2||,0,0)(sin()(πφωφω<>>+=A x A x f 的 部分图象如图示，则关于()y f x =的说法，错误．．的是 ( ) （A) 最小正周期为π(B) 向右平移6π个单位得到函数sin(2)6y x π=- (C)在区间[0,]2π上的值域为11[,]22- π8.若02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，cos()423πβ-=，则cos()2βα+=（ ）（A ）3 （B ）3- （C ）9 （D ）9- 9.如图所示，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连结EC 、ED ，则sin ∠CED ＝( )（A ） 31010 （B ）1010 (C) 510 (D) 51510.已知函数3()31f x x x =--，若对于区间[3,2]-上的任意12,x x 都有12()()f x f x t -≤，则实数t 的最小值是( )(A) 0 (B) 3 （C ） 19 (D) 2011.对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）(A) 1-是()f x 的零点 (B) 1是()f x 的极值点(C) 3是()f x 的极值 （D ） 点(2,8)在曲线()y f x =上12.已知,,a b c 分别为△ABC 三个内角,,A B C 的对边，若3A π=，则(cos )a C C = （ ）（A ）a b + (B) b c + （C ）a c + (D) a b c ++第Ⅱ卷（非选择题部分共90分）二.填空题(每小题5分共20分)13.已知函数3log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f =__________14．已知α是第二象限角，且sin 5α=tan()4πα+=____________15.在△ABC 中，B =120o ，AB A 的角平分线AD 则AC =_______.16.如图，单位圆O 与x 轴正半轴的交点为A ，点C 、B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为125(,)1313-，AOC α∠=,若1BC =，则2c o s s i n c 222ααα-的值为_____________三.解答题(共70分)17.（本题12分）已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )．(1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．（3）在锐角ABC ∆中，内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ,已知()2f A =，2a =，3B π=，求ABC∆的面积18.（本题10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为：1,2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为)4s i n (22πθρ+=． （Ⅰ）求曲线C 的平面直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于点,M N ，若点P 的坐标为(1,0)，求||||PM PN ⋅的值．19.（本题10分）某市A,B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐3名男生，2名女生，B 中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队（1）求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率.（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 得分布列和数学期望.20（本题12分）如图所示，四棱锥P ABCD -的底面为等腰梯形，//AB DC ，22AB AD ==，PA ABCD ⊥平面，60ABC ∠=︒（1） 求AC 的长（2） 证明：BC PC ⊥（3） 若PA AB =，求PC 与平面PAD 所成角的正弦值.21．（本题12分）已知锐角△ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，222tan A b c a =+- (1)求A 的大小；（2）设函数()sin()cos ,(0)6f x x x πϖϖϖ=-->，且()f x 图象上相领两最高点间的距离为π，求()f B 的取值范围22.（本题14分）已知函数()1()x f x e ax a R =--∈(2) 若1a =，求函数()f x 的单调区间；(3) 若函数()()ln F x f x x x =-在定义域内存在零点，试求实数a 的取值范围；(4) 若()ln(1)ln ,x g x e x =--且(())()f g x f x <在(0,)x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围理科数学一．选择题（每小题5分共60分）二．填空题（每小题5分共20分）13.______________________ 14.______________________ 15.______________________ 16.______________________三．解答题（共70分）17. （本题12分）19. （本题10分）21. （本题12分）。
人教版数学高三第一章解三角形单元测试精选(含答案)1
（1）求 BC 边长； （2）求 AB 边上中线 CD 的长.
【来源】北京 101 中学 2018-2019 学年下学期高一年级期中考试数学试卷
【答案】（1） 3 2 ；（2） 13 .
33．ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a 3, cos A 6 , B A ，
【答案】C
3．在 ABC 中，若 a b cb c a 3bc ，则 A （ ）
A． 90
B． 60
C．135
D．150
【来源】2015-2016 学年江西省金溪一中高一下期中数学试卷（带解析)
【答案】B
4．设在 ABC 中,角 A，B,C 所对的边分别为 a，b, c , 若 b cos C c cos B a sin A ,
【答案】C
21．设 ABC 的内角 A, B,C 所对边的长分别为 a, b, c ，若 b c 2a, 3sin A 5sin B ,
则角 C =（ ）
A．
3 3
C．
4
2
B．
3 5
D．
6
【来源】2013 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（安徽卷带解析)
【答案】B
22．在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 a2 b2 c2 tanB 3ac ，
A．3 6
B．9 6
C．3
D．6
【来源】福建省晋江市季延中学 2017-2018 学年高一下学期期末考试数学试题
【答案】A
2．已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且cc−−ba=sinCsi+nAsinB，则 B= (
)
A．π
6
泉州市晋江一中2015-2016学年高二上学期期中数学试卷 含解析
2015—2016学年福建省泉州市晋江一中高二(上）期中数学试卷一。
选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,请将答案涂至答题卡上)1．在△ABC中，a2﹣b2﹣c2﹣bc=0，则A等于()A．60°B．45°C．120°D．30°2．等差数列{a n}中,S10=120，那么a2+a9的值是（）A．12 B．24 C．16 D．483．△ABC的内角A，B,C的对边分别为a,b，c，已知b=2，B=,则c边长为（）A．2 B． C．D．4．若a＞b,c＞d，则下列不等关系中不一定成立的是（）A．a﹣b＞d﹣c B．a+d＞b+c C．a﹣c＞b﹣c D．a﹣c＜a﹣d5．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A． B．7 C．6 D．6．已知x,y满足约束条件，则z=2x+4y的最小值是（）A．﹣6 B．5 C．38 D．﹣107．在△ABC中，已知a2tanB=b2tanA,则此三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．直角或等腰三角形8．若数列｛a n｝的通项公式是a n=(﹣1）n（3n﹣2）,则a1+a2+…+a20=（)A．30 B．29 C．﹣30 D．﹣299．已知a＞0,b＞0，a+b=2,则的最小值是（）A．B．4 C．D．510．已知等差数列｛a n｝的公差d＜0,若a4a6=24，a2+a8=10，则该数列的前n项和S n的最大值为（)A．50 B．45 C．40 D．3511．若a＞0，b＞0，且a+b=4,则下列不等式中恒成立的是(）A．＞B．+≤1 C．≥2 D．≤12．对于函数y=f（x）（x∈I)，y=g（x)（x∈I）,若对于任意x∈I，存在x0,使得f(x）≥f(x0）,g （x）≥g（x0）且f（x0)=g（x0），则称f(x），g（x）为“兄弟函数”．已知函数是定义在区间上的“兄弟函数”,那么函数f（x)在区间上的最大值为()A．B．2 C．4 D．二.填空题：（本大题共5小题,每小题4分，共20分）13．在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于．14．已知等差数列{a n｝的前n项和为S n，a5=5,S5=15,则数列的前200项和为．15．记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是．16．若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是．17．已知，令T n=a1+2a2+22a3+…+2n﹣1a n,类比教材中求等比数列的前n项和的方法,可得3T n﹣2n a n=．三、解答题（本题共6小题,共70分）18．若不等式(1﹣a）x2﹣4x+6＞0的解集是｛x|﹣3＜x＜1｝．（1)解不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0(2)b为何值时,ax2+bx+3≥0的解集为R．19．如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距海里,问乙船每小时航行多少海里？20．数列{a n}的前n项和为S n，已知S n+a n=﹣n+1（n∈N＊）（1）设b n=a n+n，证明：数列｛b n｝是等比数列；（2）求数列｛a n｝的前n项和S n．21．在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且满足(2a﹣c）cosB=bcosC．（Ⅰ）求角B的大小;（Ⅱ)若b=，a+c=4,求△ABC的面积．22．某小区要将如图所示的一块三角形边角地修建成花圃．根据建造规划,要求横穿花圃的直线灌溉水道DE恰好把花圃分成面积相等的两部分（其中D在边AB上，E在边AC上）已知AB=AC=2a，∠BAC=120°(1）设AD=x，DE=y，试求y关于x的函数y=f（x）（解析式和定义域）；（2）为使得灌溉水道DE的建设费用最少，试确定点D的具体位置．23．200多年前，10岁的高斯充分利用数字1，2，3,…，100的“对称”特征，给出了计算1+2+3+…+100的快捷方法．教材示范了根据高斯算法的启示推导等差数列的前n项和公式的过程．实事上，高斯算法的依据是：若函数f（x）（x∈D)的图象关于点P（h,k）对称，则f（x）+f（2h﹣x）=2k对x∈D恒成立．已知函数h（x)=的图象过点．(1）求a的值；（2）化简；（3)设，b n=，记数列｛b n｝的前n项和为T n，若T n＜2λa n+1对一切n∈N＊恒成立，求λ的取值范围．2015—2016学年福建省泉州市晋江一中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一。
福建省晋江市平山中学2016届高三数学上学期期中试题理
平山中学2015年秋季高三年级期中考试数学（理科）试卷满分：150分 考试时间：120分钟温馨提示：请同学们注意卷面整洁，本次考试设书写分２分。
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．复数(1)(z i i i =-+为虚数单位）在复平面内所对应的点位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设全集为R ，集合2{|90},{|15}A x x B x x =-<=-<≤，则()R A C B =（ ）A.(3,0)-B.(3,1]--C.(3,1)--D.(3,3)-3．以下说法错误的是 （ ） A.命题“若x 2-3x +2=0,则x =1”的逆否命题为“若x ≠1,则x 2-3x +2≠0”B.“x =1”是“x 2-3x +2=0”的充分不必要条件C.若p ∧q 为假命题,则p ,q 均为假命题D.若命题p :∃x 0∈R,使得20x +x 0+1<0,则﹁p :∀x ∈R,则x 2+x +1≥04. 已知数列｛a n ｝的通项公式为2245n a n n =-+ 则｛a n ｝的最大项是（ ） A ．a 1B ．a 2C ．a 3D ．a 45．函数2()ln(1)(0)f x x x x=+->的零点所在的大致区间是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2，e ) D ．(3,4)6. 函数()2sin f x x x =-的图象大致是（ ）7.为了得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只要将sin ()y x x R =∈的图象( ) A ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 B ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变8．设n s 是等差数列｛n a ｝的前n 项和，已知1a =3，5a =11，则7s 等于 （ ） A ．13 B. 35 C. 49 D. 63 9．实数a =0.3b =，0.3c =的大小关系正确的是（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．b c a <<10． 若函数ϕπϕ则上是增函数且在是奇函数,)4,0(,)2cos(2)(+=x x f 的一个值为（ ）A ．2π-B ．0C ．2π D ．π11．已知函数221,1,(),1,x x f x x ax x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩若[(0)]4f f a =，则21a dx x ⎰=（ ）A.2ln 2B. 2ln 31C.2ln 3D.2ln 912．已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数．若关于x 的方程()f x kx k =+有三个不同的实根，则实数k 的取值范是（ ）A ．111[1,)(,]243--B ．111(1,][,)243--C ．111[,)(,1]342-- D ．111(,][,1)342-- 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．在,2ABC A AB ∆∠=中,=60,且ABC ∆的面积为2,则BC 的长为 . 14．已知135sin ,53)cos(-==-ββα且)0,2(),2,0(πβπα-∈∈,则sin α= . 15.函数()sin()(0,0,||)2f x A x k A πωϕωϕ=++>><的图象如图所示，则()f x 的表达式是()f x = . 16.已知函数()sin 2f x x x =-的图象为C ，则如下结论中正确的序号是 。
福建省晋江市第二中学2014-2015学年高二学期期中考试数学(理)试题
晋江二中2014-2015学年（下）高二年段期中考试题理科数学 (命卷人： )本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分.考试时间120分钟.选择题的答案一律写在答题卷上，凡写在试卷上的无效；解答题请写出完整步骤。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中有且只有一个选项是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1． 《新课程标准》规定,那些希望在理学、工科等方面发展的学生,除了修完数学必修内容和选修系列二的全部内容外,基本要求是还要在系列四的4个专题中选修2个专题,则每位同学的不同选课方案有( )种A.4B.6C.8D.12 2.函数2sin y x x =的导数为（ ）A ．22sin cos y x x x x '=+B ．22sin cos y x x x x '=-C ．2sin 2cos y x x x x '=+D ．2sin 2cos y x x x x '=- 3．下列积分值为2的是( )A. 102xdx ⎰ B . 10xe dx ⎰ C . 11edx x⎰ D .sin xdx π⎰4．已知某一随机变量 ξ 的概率分布列如下，且Eξ = 6.3，则a 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．85. 设函数()x f x xe =,则（ ）A ．1x =为()f x 的极大值点B ．1x =为()f x 的极小值点C ．1x =-为()f x 的极大值点D ．1x =-为()f x 的极小值点6．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为3181233y x x =-+-，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件 7. 在一个盒子中有大小一样的20个球，其中10个红球，10个白球，则在第一个人摸出1个红球的条件下，第二个人摸出1个白球的概率为（ ）(A)1019 (B) 519 (C) 12 (D) 1920 8.若n x x )2(-展开式中二项式系数之和为64，则展开式中常数项为 （ ）A ．20B ．－160C ．160D ．—2709． 位于坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向左或向右，并且向左、向右移动的概率都是12，质点P 移动6次后回到原点的概率是（ ）A ．612⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．63612C ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．33612C ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．6336612C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭10. 84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是 （ ）A ．56B ．84C ．112D ．16811. 如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体。
2015-2016年福建省泉州市晋江市季延中学高一上学期数学期中试卷带答案
2015-2016学年福建省泉州市晋江市季延中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共12题，每小题5分，共60分，1．（5分）已知集合A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，则集合A∪B=（）A．{5，8}B．{4，5，6，7，8}C．{3，4，5，6，7，8}D．{4，5，6，7，8}2．（5分）函数f（x）=+lg（x﹣1）+（x﹣2）0的定义域为（）A．{x|1＜x≤4}B．{x|1＜x≤4，且x≠2}C．{x|1≤x≤4，且x≠2}D．{x|x ≥4}3．（5分）已知函数f（x）=，则的值为（）A．B．C．﹣2 D．34．（5分）已知球的半径和圆柱体的底面半径都为1且体积相同，则圆柱的高为（）A．1 B．C．2 D．45．（5分）已知函数f（x）=x2﹣6x+7，x∈（2，5]的值域是（）A．（﹣1，2]B．（﹣2，2]C．[﹣2，2]D．[﹣2，﹣1）6．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（）A．y=x3 B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+1 D．y=2x7．（5分）已知函数f（x）=lnx+2x﹣6，则它的零点所在的区间为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）8．（5分）设实数，则a、b、c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c9．（5分）设方程|x2+3x﹣3|=a的解的个数为m，则m不可能等于（）A．1 B．2 C．3 D．410．（5分）幂函数y=f（x）的图象经过点（﹣2，﹣），则满足f（x）=27的x 的值是（）A．B．﹣ C．3 D．﹣311．（5分）已知偶函数f（x）=log a|x﹣b|在（﹣∞，0）上单调递增，则f（a+1）与f（b+2）的大小关系是（）A．f（a+1）≥f（b+2） B．f（a+1）＞f（b+2） C．f（a+1）≤f（b+2） D．f （a+1）＜f（b+2）12．（5分）定义在R上的奇函数f（x），满足f（）=0，且在（0，+∞）上单调递减，则xf（x）＞0的解集为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设集合A={x|x+m≥0}，B={x|﹣2＜x＜4}，全集U=R，且（∁U A）∩B=∅，求实数m的取值范围为．14．（5分）已知函数为定义在区间[﹣2a，3a﹣1]上的奇函数，则a+b=．15．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则四棱锥A﹣BB1D1D的体积为cm3．16．（5分）给出下列5个命题：①函数y=|x|与函数表示同一个函数；②奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点；③函数y=3x2+1的图象可由y=3x2的图象向上平移1个单位得到；④若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，4]；⑤设函数f（x）是在区间[a，b]上图象连续的函数，且f（a）•f（b）＜0，则方程f（x）=0在区间[a，b]上至少有一实根；其中正确命题的序号是．（填上所有正确命题的序号）三．解答题：本题6小题，共70分.17．（10分）计算下列各式的值：（1）（2）（lg5）2+2lg2﹣（lg2）2．18．（12分）已知函数f（x）=log a（x2+2），若f（5）=3；（1）求a的值；（2）求的值；（3）解不等式f（x）＜f（x+2）．19．（12分）已知集合A={x|x2﹣5x﹣6＜0}，集合B={x|6x2﹣5x+1≥0}，集合C={x|（x﹣m）（m+9﹣x）＞0}（1）求A∩B（2）若A∪C=C，求实数m的取值范围．20．（12分）如图所示，在边长为的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M，N，K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积．21．（12分）已知函数f（x）=x3+x．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（2）求证：f（x）是R上的增函数；（3）若f（m+1）+f（2m﹣3）＜0，求m的取值范围．（参考公式：a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2））22．（12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/时）．2015-2016学年福建省泉州市晋江市季延中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12题，每小题5分，共60分，1．（5分）已知集合A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，则集合A∪B=（）A．{5，8}B．{4，5，6，7，8}C．{3，4，5，6，7，8}D．{4，5，6，7，8}【解答】解：∵A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，∴A∪B={3，4，5，6，7，8}．故选：C．2．（5分）函数f（x）=+lg（x﹣1）+（x﹣2）0的定义域为（）A．{x|1＜x≤4}B．{x|1＜x≤4，且x≠2}C．{x|1≤x≤4，且x≠2}D．{x|x ≥4}【解答】解：要使函数有意义，只须，即，解得1＜x≤4且x≠2，∴函数f（x）的定义域为{x|1＜x≤4且x≠2}．故选：B．3．（5分）已知函数f（x）=，则的值为（）A．B．C．﹣2 D．3【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（）==﹣2，=f（﹣2）=3﹣2=．故选：A．4．（5分）已知球的半径和圆柱体的底面半径都为1且体积相同，则圆柱的高为（）A．1 B．C．2 D．4【解答】解：设圆柱的高为h，则V圆柱=π×12×h=h，V球==，∴h=．故选：B．5．（5分）已知函数f（x）=x2﹣6x+7，x∈（2，5]的值域是（）A．（﹣1，2]B．（﹣2，2]C．[﹣2，2]D．[﹣2，﹣1）【解答】解：由f（x）=x2﹣6x+7=（x﹣3）2﹣2，x∈（2，5]．∴当x=3时，f（x）min=﹣2．当x=5时，．∴函数f（x）=x2﹣6x+7，x∈（2，5]的值域是[﹣2，2]．故选：C．6．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（）A．y=x3 B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+1 D．y=2x【解答】解：A．y=x3是奇函数，∴该选项错误；B．y=|x|+1为偶函数；x＞0时，y=|x|+1=x+1为增函数，∴该选项正确；C．二次函数y=﹣x2+1在（0，+∞）上单调递减，∴该选项错误；D．指数函数y=2x的图象不关于y轴对称，不是偶函数，∴该选项错误．故选：B．7．（5分）已知函数f（x）=lnx+2x﹣6，则它的零点所在的区间为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【解答】解：易知函数f（x）=lnx+2x﹣6，在定义域R+上单调递增．因为当x→0时，f（x）→﹣∞；f（1）=﹣4＜0；f（2）=ln2﹣2＜0；f（3）=ln3＞0；f（4）=ln4+2＞0．可见f（2）•f（3）＜0，故函数在（2，3）上有且只有一个零点．故选：C．8．（5分）设实数，则a、b、c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c【解答】解：∵，b=20.1＞20=1，0＜＜0.90=1．∴a＜c＜b．故选：A．9．（5分）设方程|x2+3x﹣3|=a的解的个数为m，则m不可能等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：方程|x2+3x﹣3|=a的解的个数可化为函数y=|x2+3x﹣3|与y=a的图象的交点的个数，作函数y=|x2+3x﹣3|与y=a的图象如下，结合图象可知，m的可能值有2，3，4；故选A．10．（5分）幂函数y=f（x）的图象经过点（﹣2，﹣），则满足f（x）=27的x 的值是（）A．B．﹣ C．3 D．﹣3【解答】解：设幂函数为y=xα，因为图象过点（﹣2，﹣），所以有=（﹣2）α，解得：α=﹣3所以幂函数解析式为y=x﹣3，由f（x）=27，得：x﹣3=27，所以x=．故选：A．11．（5分）已知偶函数f（x）=log a|x﹣b|在（﹣∞，0）上单调递增，则f（a+1）与f（b+2）的大小关系是（）A．f（a+1）≥f（b+2） B．f（a+1）＞f（b+2） C．f（a+1）≤f（b+2） D．f （a+1）＜f（b+2）【解答】解：∵y=log a|x﹣b|是偶函数∴log a|x﹣b|=log a|﹣x﹣b|∴|x﹣b|=|﹣x﹣b|∴x2﹣2bx+b2=x2+2bx+b2整理得4bx=0，由于x不恒为0，故b=0由此函数变为y=log a|x|当x∈（﹣∞，0）时，由于内层函数是一个减函数，又偶函数y=log a|x﹣b|在区间（﹣∞，0）上递增故外层函数是减函数，故可得0＜a＜1综上得0＜a＜1，b=0∴a+1＜b+2，而函数f（x）=log a|x﹣b|在（0，+∞）上单调递减∴f（a+1）＞f（b+2）故选：B．12．（5分）定义在R上的奇函数f（x），满足f（）=0，且在（0，+∞）上单调递减，则xf（x）＞0的解集为（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，在（0，+∞）上单调递减，且f （）=0，∴f （﹣）=0，且在区间（﹣∞，0）上单调递减，∵当x＜0，当﹣＜x＜0时，f（x）＜0，此时xf（x）＞0当x＞0，当0＜x＜时，f（x）＞0，此时xf（x）＞0综上xf（x）＞0的解集为故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设集合A={x|x+m≥0}，B={x|﹣2＜x＜4}，全集U=R，且（∁U A）∩B=∅，求实数m的取值范围为m≥2．【解答】解：集合A={x|x+m≥0}={x|x≥﹣m}，全集U=R，所以C U A={x|x＜﹣m}，又B={x|﹣2＜x＜4}，且（∁U A）∩B=∅，所以有﹣m≤﹣2，所以m≥2．故答案为m≥2．14．（5分）已知函数为定义在区间[﹣2a，3a﹣1]上的奇函数，则a+b=2．【解答】解：∵f（x）是定义在[﹣2a，3a﹣1]上奇函数，∴定义域关于原点对称，即﹣2a+3a﹣1=0，∴a=1，∵函数为奇函数，∴f（﹣x）==﹣，即b•2x﹣1=﹣b+2x，∴b=1．即a+b=2，故答案为：2．15．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则四棱锥A﹣BB1D1D的体积为6cm3．【解答】解：过A作AO⊥BD于O，AO是棱锥的高，所以AO==，所以四棱锥A﹣BB1D1D的体积为V==6．故答案为：6．16．（5分）给出下列5个命题：①函数y=|x|与函数表示同一个函数；②奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点；③函数y=3x2+1的图象可由y=3x2的图象向上平移1个单位得到；④若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，4]；⑤设函数f（x）是在区间[a，b]上图象连续的函数，且f（a）•f（b）＜0，则方程f（x）=0在区间[a，b]上至少有一实根；其中正确命题的序号是③⑤．（填上所有正确命题的序号）【解答】解：①函数y=|x|，（x∈R）与函数，（x≥0）的定义域不同，它们不表示同一个函数；错；②奇函数y=，它的图象不通过直角坐标系的原点；故②错；③函数y=3（x﹣1）2的图象可由y=3x2的图象向右平移1个单位得到；正确；④若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域由0≤2x≤2，⇒0≤x≤1，它的定义域为：[0，1]；故错；⑤设函数f（x）是在区间[a．b]上图象连续的函数，且f（a）f（b）＜0，则方程f（x）=0在区间[a，b]上至少有一实根．故正确；故答案为：③⑤三．解答题：本题6小题，共70分.17．（10分）计算下列各式的值：（1）（2）（lg5）2+2lg2﹣（lg2）2．【解答】解：（1）=…（3分）==5…（5分）（2）（lg5）2+2lg2﹣（lg2）2=（lg5+lg2）（lg5﹣lg2）+2lg2…（7分）=．…（10分）18．（12分）已知函数f（x）=log a（x2+2），若f（5）=3；（1）求a的值；（2）求的值；（3）解不等式f（x）＜f（x+2）．【解答】解：（1）∵f（5）=3，∴log a（52+2）=3，即log a27=3解锝：a=3…（4分）（2）由（1）得函数f（x）=log3（x2+2），则=9=2…（8分）（3）不等式f（x）＜f（x+2），即为log3（x2+2）＜log3[（x+2）2+2]化简不等式得log3（x2+2）＜log3（x2+4x+6）…（10分）∵函数y=log3x在（0，+∞）上为增函数，且f（x）=log3（x2+2）的定义域为R．∴x2+2＜x2+4x+6…（12分）即4x＞﹣4，解得x＞﹣1，所以不等式的解集为：（﹣1，+∞）…（14分）19．（12分）已知集合A={x|x2﹣5x﹣6＜0}，集合B={x|6x2﹣5x+1≥0}，集合C={x|（x﹣m）（m+9﹣x）＞0}（1）求A∩B（2）若A∪C=C，求实数m的取值范围．【解答】解：由合A={x|x2﹣5x﹣6＜0}，集合B={x|6x2﹣5x+1≥0}，集合C={x|（x﹣m）（m+9﹣x）＞0}．∴A={x|﹣1＜x＜6}，，C={x|m＜x＜m+9}．（1），（2）由A∪C=C，可得A⊆C．即，解得﹣3≤m≤﹣1．20．（12分）如图所示，在边长为的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M，N，K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积．【解答】解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，由已知条件，解得，，，∴S=πrl+πr2=10π，∴21．（12分）已知函数f（x）=x3+x．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（2）求证：f（x）是R上的增函数；（3）若f（m+1）+f（2m﹣3）＜0，求m的取值范围．（参考公式：a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2））【解答】解：（1）f（x）是R上的奇函数证明：∵f（﹣x）=﹣x3﹣x=﹣（x3+x）=﹣f（x），∴f（x）是R上的奇函数（2）设R上任意实数x1、x2满足x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣x2）+[（x1）3﹣（x2）3]=（x1﹣x2）[（x1）2+（x2）2+x1x2+1]=（x1﹣x2）[（x1+x2）2+x22+1]＜0恒成立，因此得到函数f（x）是R上的增函数．（3）f（m+1）+f（2m﹣3）＜0，可化为f（m+1）＜﹣f（2m﹣3），∵f（x）是R上的奇函数，∴﹣f（2m﹣3）=f（3﹣2m），∴不等式进一步可化为f（m+1）＜f（3﹣2m），∵函数f（x）是R上的增函数，∴m+1＜3﹣2m，∴22．（12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/时）．【解答】解：（Ⅰ）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b再由已知得，解得故函数v（x）的表达式为．（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200当20≤x≤200时，当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．答：（Ⅰ）函数v（x）的表达式（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；xyB CAO2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。
2023-2024学年福建省泉州五中、三明二中、三明九中等校高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年福建省泉州五中、三明二中、三明九中等校高三（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．图中的阴影部分表示的集合为（）A．A∩B∩C B．A∩B∩（∁U C）C．A∩（∁U B）∩C D．（∁U A）∩B∩C2．若Z1，Z2为复数，则“Z1﹣Z2是纯虚数”是“Z1，Z2互为共轭复数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．函数f(x)=(2−1)cosx的部分图象为（）1+e xA．B．C．D．4．故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑群．故宫宫殿房檐设计恰好使北房在冬至前后阳光满屋，夏至前后屋檐遮阴．已知北京地区夏至前后正午太阳高度角约为75°，冬至前后正午太阳高度角约为30°．图1是顶部近似为正四棱锥、底部近似为正四棱柱的宫殿，图2是其示意图，则其出檐AB的长度（单位：米）约为（）A ．3B ．4C ．6（√3−1）D ．3（√3+1） 5．已知数列{a n }满足a n −a n+1=a n a n+12n−1，且a 2＝﹣1，若a k ＝16a 8，则正整数k 为（ ） A ．13 B ．12 C ．11 D ．106．如图，AB 是圆O 的一条直径，且|AB |＝4．C ，D 是圆O 上的任意两点，|CD |＝2．点P 在线段CD 上，则PA →⋅PB →的取值范围是（ ）A ．[﹣1，2]B ．[√3，2]C ．[3，4]D ．[﹣1，0] 7．已知直线x =5π6，x =4π3是函数f(x)=4sin(ωx +π6)(ω＞0)图像相邻的两条对称轴，将f （x ）的图像向右平移π6个单位长度后，得到函数g （x ）的图像．若g （x ）在（﹣m ，m ）上恰有三个不同的零点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(7π12，11π12] B ．(7π12，13π12] C ．(5π12，13π12] D ．(5π12，11π12] 8．已知a ＝e 0.11，b ＝1.11.1，c ＝1.11，则（ ）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．设正实数a ，b 满足a +b ＝2，则下列说法正确的是（ ）A ．b a +2b 的最小值为3B ．ab 的最大值为1C ．√a +√b 的最小值为2D ．a 2+b 2的最小值为2 10．函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与f （x ）的图象交于M ，N 两点，且M 在y 轴上，则（ ）A ．函数f （x ）在(−3π2，−π)上单调递增 B ．圆的半径为2√73C ．函数f （x ）的图象关于点(−2π3，0)成中心对称 D ．函数f （x ）在[2021π12，2023π12]上单调递减 11．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AD ＝2AB ＝2AA 1＝4，E ，F 分别是棱AD ，B 1C 1的中点，点P 在侧面A 1ADD 1内，且BP →=xBE →+yBF →(x ，y ∈R)，则三棱锥P ﹣BB 1F 外接球表面积的取值可能是（ ）A ．10πB ．20πC ．12πD ．44π12．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1＝2a n （lna n +1）+1，则下列说法正确的有（ ）A ．2a 3a 1+a 2＜5B ．a n+1≤2a n 2+1C ．若n ≥2，则34≤∑1a i +1＜1n i=1 D ．∑ln(a i +1)≤(2n −1)ln2ni=1 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知sin （π6+α）=√33，α∈(−π4，π4)，则sin(π3−α)= ． 14．非零向量a →，b →满足b →=(√3，1)，〈a →，b →〉=π3，(a →−b →)⊥a →，则向量a →在向量b →方向上的投影向量为 ．（请用a →或b →表示）15．已知数列{a n }满足a 12+a 222+⋯+a n 2n =n(n ≤N ∗)，b n =λ(a n −1)−n 2+4n ，若数列{b n }为单调递增数列，则λ的取值范围为 ．16．法国的拿破仑提出过一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰好是一个等边三角形的三个顶点”，在△ABC 中，A ＝60°，以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为O 1，O 1，O 3，则∠O 1AO 3＝ ；若△O 1O 2O 3的面积为√3，则三角形中|AB |+|AC |的最大值为 ．四、解答题：共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知函数f(x)=√3sin(2x +φ)+cos(2x +φ)(|φ|＜π2)，将f （x ）的图象向左平移π3个单位长度，所得函数的图象关于y 轴对称．（1）求函数f （x ）的解析式；（2）若关于x 的方程f （x ）＝a 在[π6，512π]上恰有两个实数根，求实数a 的取值范围． 18．已知函数f （x ）＝lnx ﹣ax +1（a ∈R ）（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）若a ＝﹣2，是否存在实数m （m ∈N *），都有f （x ）≤m （x +1）恒成立，若存在求出实数m 的最小值，若不存在说明理由．19．设数列{a n }前n 项和S n 满足S n +a n =n−1n 2+n ，n ∈N *． （1）证明：数列{S n −1n+1}为等比数列； （2）记1b n =1n+1−S n ，求数列{b n (b n −1)(b n+1−1)}的前n 项和T n ． 20．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，△P AD 为等边三角形，M 为P A 的中点，PD ⊥AB ，平面P AD ⊥平面ABCD ．（1）证明：平面CDM ⊥平面P AB ；（2）若AD ∥BC ，AD ＝2BC ＜4，AB ＝2，直线PB 与平面MCD 所成角的正弦值为3√3434，求三棱锥P﹣MCD的体积．21．如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC，该曲线段是函数y ＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈（0，π）），x∈[﹣4，0]的图象，图象的最高点为B（﹣1，2）．边界的中间部分为长1千米的直线段CD，且CD∥EF．游乐场的后一部分边界是以O为圆心的一段圆弧DÊ．（1）求曲线段FGBC的函数表达式；（2）曲线段FGBC上的入口G距海岸线EF最近距离为1千米，现准备从入口G修一条笔直的景观路到O，求景观路GO长；（3）如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧DÊ上，且∠POE＝θ，求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时θ的值．22．已知函数f（x）＝x sin x+cos x．（1）求f（x）在x∈[﹣π，π]的单调区间与最值；（2）当a＞13时，若g(x)=f(x)−12ax2，证明：g（x）有且仅有两个零点．2023-2024学年福建省泉州五中、三明二中、三明九中等校高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．图中的阴影部分表示的集合为（）A．A∩B∩C B．A∩B∩（∁U C）C．A∩（∁U B）∩C D．（∁U A）∩B∩C解：由已知中阴影部分所表示的集合元素满足“是B的元素，也是A的元素，不是C的元素”，故阴影部分所表示的集合是A∩B∩（∁U C）．故选：B．2．若Z1，Z2为复数，则“Z1﹣Z2是纯虚数”是“Z1，Z2互为共轭复数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：先验证充分性：令Z1＝4i，Z2＝2i满足Z1﹣Z2是纯虚数，但是不满足Z1，Z2互为共轭复数，所以充分性不成立；再验证必要性：令Z1＝Z2＝1，满足Z1，Z2互为共轭复数，但是不满足Z1﹣Z2是纯虚数，所以必要性不成立，所以“Z1﹣Z2是纯虚数”是“Z1，Z2互为共轭复数”的既不充分也不必要条件．故选：D．3．函数f(x)=(2−1)cosx的部分图象为（）1+e xA．B．C．D．解：f（x）＝（21+e x−1）cos x=1−e x1+e x•cos x，定义域为R，∴f（﹣x）=1−e−x1+e−x•cos（﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数，故图象关于原点对称，故排除A，D；令f（x）＝0，则x=π2+kπ，k∈Z，故有无数个零点，故排除B．故选：C．4．故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑群．故宫宫殿房檐设计恰好使北房在冬至前后阳光满屋，夏至前后屋檐遮阴．已知北京地区夏至前后正午太阳高度角约为75°，冬至前后正午太阳高度角约为30°．图1是顶部近似为正四棱锥、底部近似为正四棱柱的宫殿，图2是其示意图，则其出檐AB的长度（单位：米）约为（）A．3B．4C．6（√3−1）D．3（√3+1）解：如图：由题意可得∠FCD＝30°，∠ADE＝75°，CD＝24，∴∠ADC＝180°﹣75°＝105°，∠CAD＝180°﹣30°﹣105°＝45°．△ACD中，由正弦定理可得24sin45°=ADsin30°，∴AD＝12√2．直角三角形ADB中，AB＝AD×sin∠ADB＝12√2×sin（90°﹣75°）＝12√2×sin（45°﹣30°）＝12√2×（sin45°cos30°﹣cos45°sin30°）＝12√2×（√22×√32−√22×12）＝6√3−6，∴AB的长度为6（√3−6）米，故选：C．5．已知数列{a n }满足a n −a n+1=a n a n+12n−1，且a 2＝﹣1，若a k ＝16a 8，则正整数k 为（ ） A ．13B ．12C ．11D ．10 解：由已知可得1a 2−1a 1=(12)0，1a 3−1a 2=(12)1，⋯⋯，1a n −1a n−1=(12)n−2， 以上各式累加可得，1a n −1a 1=(12)0+(12)1+⋯⋯+(12)n−2=1−(12)n−11−12=2−(12)n−2， 又a 2＝﹣1，代入1a 2−1a 1=2﹣（12）0＝1，即﹣1−1a 1=1，解得a 1=−12， 故a n =−2n−2， 令﹣2k ﹣2＝﹣16×26，解得k ＝12． 故选：B ．6．如图，AB 是圆O 的一条直径，且|AB |＝4．C ，D 是圆O 上的任意两点，|CD |＝2．点P 在线段CD 上，则PA →⋅PB →的取值范围是（ ）A ．[﹣1，2]B ．[√3，2]C ．[3，4]D ．[﹣1，0] 解：因为O 为圆心，即O 为AB 中点，所以PA →⋅PB →=(PO →+OA →)⋅(PO →+OB →)=PO →2+PO →⋅OB →+PO →⋅OA →+OA →⋅OB →=PO →2+PO →⋅(OB →+OA →)−OA →2=|PO →|2−4，因为|AB |＝4，|CD |＝2，所以圆心到直线CD 的距离d =√22−12=√3，因为点P 在线段CD 上，所以√3≤|PO →|≤2，即3≤|PO →|2≤4，则−1≤|PO →|2−4≤0，即PA →⋅PB →的取值范围是[﹣1，0]．故选：D ．7．已知直线x =5π6，x =4π3是函数f(x)=4sin(ωx +π6)(ω＞0)图像相邻的两条对称轴，将f （x ）的图像向右平移π6个单位长度后，得到函数g （x ）的图像．若g （x ）在（﹣m ，m ）上恰有三个不同的零点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(7π12，11π12] B ．(7π12，13π12] C ．(5π12，13π12] D ．(5π12，11π12] 解：由题意得4π3−5π6=T 2，即π2=πω，解得ω＝2，则f(x)=4sin(2x +π6)， f （x ）的图像向右平移π6个单位长度后，得到函数g(x)=4sin(2x −π6)， 又g （x ）在（﹣m ，m ）上恰有三个不同的零点，所以转化为h （x ）＝4sin x 在x ∈(−2m −π6，2m −π6)上有三个不同的零点，其中，m ＞0， 则−2m −π6＜−π6，要使h （x ）＝4sin x 在x ∈(−2m −π6，2m −π6)上有三个不同的零点， 则{−2π≤−2m −π6＜−ππ＜2m −π6≤2π或{−3π≤−2m −π6＜−2π0＜2m −π6≤π，解之得7π12＜m ≤11π12． 故选：A ．8．已知a ＝e 0.11，b ＝1.11.1，c ＝1.11，则（ ）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a解：下面先证明lnx ＜x ﹣1，（x ＞0且x ≠l ）．记f （x ）＝lnx ﹣（x ﹣1），则f ′（x ）=1x−1，令f′（x）＜0，得：0＜x＜1；令f′（x）＞0，得：x＞1；函数f（x）在（0，1）上单增，在（1，+∞）上单减，所以对任意x＞0，都有f（x）≤f（1）＝0，即lnx≤x﹣1恒成立，所以对任意x＞0且x≠1，都有f（x）＜f（1）＝0，即lnx＜x﹣1恒成立，故1.1ln1.1＜1.1×（1.1﹣1）＝0.11，故a＞b，构造函数g（x）＝（1+x）1.1﹣（1.1x+1），则g（x）＝1.1（1+x）0.1﹣1.1＝1.1[（1+x）0.1﹣1]，故当x＞0时，f（x）单调递增，故f（0.1）＝（1+0.1）1.1﹣（1.1×0.1+1）＝1.11.1﹣1.11＞0，即b＞c，综上a＞b＞c．故选：A．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．设正实数a，b满足a+b＝2，则下列说法正确的是（）A．ba+2b的最小值为3B．ab的最大值为1C．√a+√b的最小值为2D．a2+b2的最小值为2解：因为a＞0，b＞0，所以ba+2b=ba+a+bb=1+ba+ab≥2+1＝3，当且仅当a＝b＝1时取等号，A正确；由ab≤(a+b2)2=1，当且仅当a＝b＝1时，ab取得最大值1，B正确；（√a+√b）2＝a+b+2√ab=2+2√ab≤2+a+b＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号，故√a+√b≤2，即最大值为2，C错误；a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝4﹣2≥4−2×(a+b2)2=2，当且仅当a＝b＝1时取等号，a2+b2取得最小值2，D正确．故选：ABD．10．函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图中实线所示，图中圆C与f（x）的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则（）A ．函数f （x ）在(−3π2，−π)上单调递增 B ．圆的半径为2√73C ．函数f （x ）的图象关于点(−2π3，0)成中心对称 D ．函数f （x ）在[2021π12，2023π12]上单调递减 解：根据函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）的图象以及圆C 的对称性，可得M ，N 两点关于圆心C （c ，0）对称，所以c =π3，于是T 2=c +π6=π2⇒πω=π2⇒ω=2， 由ω＝2及A(−π6，0)，得−π3+φ=0+kπ，k ∈Z ⇒φ=π3+kπ，k ∈Z ， 由于|φ|＜π2，所以φ=π3， 所以f(x)=2sin(2x +π3)，f(0)=√3，从而M(0，√3)，故半径为|CM|=√(π3)2+3≠2√73，故B 错误； 当x ∈(−3π2，−π)时，2x +π3∈（−8π3，−5π3），因为y ＝sin x 在区间（−8π3，−5π3）上先减后增，所以原函数在（−3π2，﹣π）上先减后增，故A 错误； f （−2π3）＝2sin （﹣π）＝0，故C 正确； 当x ∈[2021π12，2023π12]时，2x +π3∈[2023π6，2025π6]，即2x +π3∈[336π+7π6，336π+9π6]，此时f （x ）为减函数，故D 正确．故选：CD ．11．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AD ＝2AB ＝2AA 1＝4，E ，F 分别是棱AD ，B 1C 1的中点，点P 在侧面A 1ADD 1内，且BP →=xBE →+yBF →(x ，y ∈R)，则三棱锥P ﹣BB 1F 外接球表面积的取值可能是（ ）A．10πB．20πC．12πD．44π解：连接EF、D1E、D1F，取A1D1的中点G，连接AG、GF，分别取BF、AG的中点H、I，连接HI，如图所示：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱AD，B1C1的中点，∴BF∥AG∥D1E，且BF＝AG＝D1E，∴四边形BED1F是平行四边形，∵BF、AG的中点H、I，连接HI，∴三棱锥P﹣BB1F外接球的球心O在直线HI上，连接OB、OP、IE、IP，设三棱锥P﹣BB1F外接球的半径为R，则R2＝OH2+HB2＝OI2+IP2，∵AD＝2AB＝2AA1＝4，∴HI＝2，HB＝IE=√2，∴R2＝OH2+2＝|2﹣OH|2+EP2+2，∴OH=14EP2+1，则当P与E重合时，OH＝1，此时三棱锥P﹣BB1F外接球的半径取得最小值√3，此时外接球的表面积为12π，当P与D1重合时，OH＝3，此时三棱锥P﹣BB1F外接球的半径取得最大值√11，此时外接球的表面积为44π，故三棱锥P﹣BB1F外接球表面积的取值范围是[12π，44π]，故选：BCD．12．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝2a n（lna n+1）+1，则下列说法正确的有（）A．2a3a1+a2＜5B．a n+1≤2a n2+1C．若n≥2，则34≤∑1a i+1＜1ni=1D．∑ln(a i+1)≤(2n−1)ln2ni=1解：对A选项，∵a1＝1，a n+1＝2a n（lna n+1）+1，∴a2＝2a1（lna1+1）+1＝2×1×（0+1）+1＝3，a3＝2a2（lna2+1）+1＝6ln3+7，∴2a3a1+a2=2(6ln3+7)1+3=3ln3+3.5，∵ln3＞lne＝1，∴3ln3＞3，∴2a3a1+a2=3ln3+3.5＞6.5，故A选项错误；对于B选项，∵a n+1＝2a n（lna n+1）+1，∴要证a n+1≤2a n2+1，即证2a n(lna n+1)+1≤2a n2+1，即证lna n+1≤a n，即证lna n+1﹣a n≤0，令a n＝x，则即证lnx+1﹣x≤0，x＞0，设f（x）＝lnx+1﹣x，x＞0，∴f′(x)=1−xx，x＞0，∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∴f（x）≤f（1）＝0，∴lnx+1﹣x≤0，∴a n+1≤2a n2+1，故选项B正确；对选项C，易知{a n}是递增数列，∴a n≥a1＝1，∴lna n+1≥1，∴a n+1＝2a n（lna n+1）+1≥2a n+1，∴a n+1+1a n+1≥2，∴a n+1a n−1+1⋅a n−1+1a n−2+1⋅⋯⋅a2a1≥2n−1，即a n+1≥2n−1(a1+1)=2n，∴1a n+1≤12n，∴∑ n i=11a i +1≤12+122+⋯+12n =12(1−12n )1−12=1−12n ＜1， 而当n ≥2时，则有∑ n i=11a i +1≥1a 1+1+1a 2+1=34，故选项C 正确； 对选项D ，令g(x)=2lnx −x +1x，x ＞0， ∴g ′(x)=−(x−1)2x 2≤0，∴g （x ）在（0，+∞）上单调递减， ∴当x ≥1时，g （x ）≤g （1）＝0，∴lnx ≤12(x −1x )，∴a n+1≤2a n [12(a n −1a n)+1]+1=a n 2+2a n ， ∴a n+1+1≤(a n +1)2，∴ln(a n+1+1)ln(a n +1)≤2， ∴ln(a n +1)ln(a n−1+1)⋅ln(a n−1+1)ln(a n−2+1)⋅⋯⋅ln(a 2+1)ln(a 1+1)≤2n ﹣1， ∴ln(a n +1)≤2n−1ln(a 1+1)=2n−1ln2，∴∑ n i=1(lna i +1)≤(1+2+⋯+2n−1)ln2=（2n ﹣1）ln 2，故选项D 正确． 故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知sin （π6+α）=√33，α∈(−π4，π4)，则sin(π3−α)= √63． 解：因为sin （π6+α）=√33，α∈(−π4，π4)， 所以cos(π6+α)=√63， 所以sin(π3−α)=cos(π6+α)=√63． 故答案为：√63． 14．非零向量a →，b →满足b →=(√3，1)，〈a →，b →〉=π3，(a →−b →)⊥a →，则向量a →在向量b →方向上的投影向量为 14b → ．（请用a →或b →表示） 解：因为(a →−b →)⊥a →，所以(a →−b →)⋅a →=a →2−a →⋅b →=0，故a →⋅b →=a →2，即|a →|⋅|b →|cos〈a →，b →〉=|a →|2，故|b →|cos〈a →，b →〉=|a →|，因为〈a →，b →〉=π3，所以12|b →|=|a →|， 又b →=(√3，1)，所以|b →|=√3+1=2，故|a →|=12|b →|=1，a →⋅b →=a →2=1， 所以向量a →在向量b →方向上的投影向量为(a →⋅b →)b →b →2=14b →． 故答案为：14b →． 15．已知数列{a n }满足a 12+a 222+⋯+a n 2n =n(n ≤N ∗)，b n =λ(a n −1)−n 2+4n ，若数列{b n }为单调递增数列，则λ的取值范围为 （38，+∞） ． 解：由题意可得n ＝1时，a 1＝2，当n ≥2时，a n 2n =n ﹣（n ﹣1）＝1，即a n ＝2n ，对n ＝1也成立， 则a n ＝2n ，n ∈N *，b n ＝λ（2n ﹣1）﹣n 2+4n ，若数列{b n }为单调递增数列，则b n +1＞b n 恒成立，即λ（2n +1﹣1）﹣（n +1）2+4（n +1）＞λ（2n ﹣1）﹣n 2+4n ，化为λ＞2n−32n 对n ∈N *恒成立． 设c n =2n−32n ，则c n +1﹣c n =2n−12n+1−2n−32n =5−2n 2n+1， 当n ＝1，2时，c 3＞c 2＞c 1，当n ≥3时，{c n }为递减数列，即c 3＞c 4＞c 5＞...，可得c 3为最大值，且为38， 则λ＞38． 故答案为：（38，+∞）． 16．法国的拿破仑提出过一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰好是一个等边三角形的三个顶点”，在△ABC 中，A ＝60°，以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为O 1，O 1，O 3，则∠O 1AO 3＝ 120° ；若△O 1O 2O 3的面积为√3，则三角形中|AB |+|AC |的最大值为 4 ．解：因为O1，O3为正三角形ABC'，△AB'C外接圆圆心，所以也是它们的中心，所以在△O1AB中，∠O1AB＝30°，同理∠O3AC＝30°，由∠BAC＝60°，所以∠O1AO3＝120°；由题意知△O1O2O3为等边三角形，设边长为m，则S△O1O2O3=12m2sin60°=√34m2=√3，解得|O1O3|＝m＝2，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，在△O1AB中，∠O1AB＝∠O1BA＝30°，可知∠AO1B＝120°，在等腰△BO1A中，由ABsin120°=O1Asin30°，解得O1A=√3，同理O3A=√3，在△O1AO3中，由余弦定理，得O1O32＝O1A2+O3A2﹣2O1A•O3A•cos120°，即4=c24+b23−2•bc3•（−12），即b2+c2+bc＝12，即（b+c）2﹣bc＝12，故（b+c）2﹣12≤(b+c2)2，解得b+c≤4，当仅当b＝c＝2时，取等号，故三角形中|AB|+|AC|的最大值为4，故答案为：120°；4．四、解答题：共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知函数f(x)=√3sin(2x+φ)+cos(2x+φ)(|φ|＜π2)，将f（x）的图象向左平移π3个单位长度，所得函数的图象关于y轴对称．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若关于x的方程f（x）＝a在[π6，512π]上恰有两个实数根，求实数a的取值范围．解：（1）f(x)=√3sin(2x+φ)+cos(2x+φ)=2sin(2x+π6+φ）的图象向左平移π3个单位，得到g（x）＝2sin（2x+5π6+φ）的图象关于y轴对称；由于|φ|＜π2， 故φ=−π3； 所以f （x ）＝2sin （2x −π6）； （2）根据x ∈[π6，512π]， 所以2x −π6∈[π6，2π3]， 故2sin(2x −π6)∈[1，2]； 当x =5π12时，f （5π12）=√3， 由于函数f （x ）＝2sin （2x −π6）与y ＝a 与恰有两个实数根， 所以a ∈[√3，2）．18．已知函数f （x ）＝lnx ﹣ax +1（a ∈R ）（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）若a ＝﹣2，是否存在实数m （m ∈N *），都有f （x ）≤m （x +1）恒成立，若存在求出实数m 的最小值，若不存在说明理由．解：（1）∵x ＞0，f ′(x)=1x−a ， 当 a ≤0时，f ′（x ）＞0，∴f （x ）在（0，+∞）单调递增，当 a ＞0时，f ′(x)=1−ax x， 令 f ′（x ）＞0，得x ＜1a ，f′(x)＜0，得x ＞1a， ∴f （x ）在(0，1a )单调递增，在(1a，+∞)单调递减， 综合得：当 a ≤0时，f （x ）在（0，+∞）单调递增；当 a ＞0时，f （x ）在(0，1a )单调递增，在(1a，+∞)单调递减； （2）∵a ＝﹣2，∴f （x ）＝lnx +2x +1，∴lnx +2x +1≤m （x +1），∴m ≥lnx+2x+1x+1， 令 g(x)=lnx+2x+1x+1，∴g ′(x)=1x +2−lnx (x+1)2， 令 u(x)=1x +2−lnx ，u′(x)=−1x 2−1x ＜0，∴u（x）在（0，+∞）单调递减，∵u(e2)=1e2+2−lne2=1e2+2−2＞0，∵u(e3)=1e3+2−lne3=1e3+2−3＜0，∴∃x0∈(e2，e3)，使得u′（x0）＝0，即1x0+2−lnx0=0，1x0+2=lnx0，当x∈（0，x0），u（x）＞0，g'（x）＞0，g（x）单调递增，x∈（x0，+∞），u（x）＜0，g'（x）＜0，g（x）单调递减，∴g(x)max=g(x0)=lnx0+2x0+1x0+1=1x0+2x0+3x0+1=2x2⬚0+3x0+1 x0(x0+1)=2+1x0，∵x0∈(e2，e3)，1x∈(0，1)，∴m≥3，∴m的最小值为3．19．设数列{a n}前n项和S n满足S n+a n=n−1n2+n，n∈N*．（1）证明：数列{S n−1n+1}为等比数列；（2）记1b n =1n+1−S n，求数列{b n(b n−1)(b n+1−1)}的前n项和T n．（1）证明：∵S n+a n=n−1n2+n，且a n＝S n﹣S n﹣1（n≥2），∴2S n−S n−1=2n+1−1n（n≥2），∴2(S n−1n+1)=S n−1−1n(n≥2)，∴S n−1n+1S n−1−1n=12(n≥2)，令n＝1，可得S1＝0，∴S1−12=−12，所以数列{S n−1n+1}是首项为−12，公比为12的等比数列．（2）解：由（1）可得S n−1n+1=(−12)(12)n−1=−(12)n，∴1b n=−(S n−1n+1)=12n，∴b n=2n，∴b n(b n−1)(b n+1−1)=2n(2n−1)(2n+1−1)=12n−1−12n+1−1，∴T n=(11−13)+(13−17)+(17−115)+⋯+(12n−1−12n+1−1)=1−12n+1−1．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△P AD为等边三角形，M为P A的中点，PD⊥AB，平面P AD⊥平面ABCD．（1）证明：平面CDM⊥平面P AB；（2）若AD∥BC，AD＝2BC＜4，AB＝2，直线PB与平面MCD所成角的正弦值为3√3434，求三棱锥P﹣MCD的体积．解：（1）证明：取AD中点为N，连接PN，因为△P AD为等边三角形，所以PN⊥AD，且平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，PN⊂面P AD，所以PN⊥平面ABCD，又AB⊂平面ABCD，所以PN⊥AB，又因为PD⊥AB，PN∩PD＝P，PN，PD⊂平面P AD，所以AB⊥平面P AD，又因为DM⊂平面P AD，所以AB⊥DM，因为M为AP中点，所以DM⊥P A，且P A∩AB＝A，P A，PB⊂平面P AD，所以DM⊥平面P AB，且DM⊂平面CDM，所以平面CDM⊥平面P AB．（2）由（1）可知，PN⊥AB且PD⊥AB，PN∩PD＝P，所以AB⊥平面P AD，且AD⊂平面P AD，所以AB ⊥AD ，以A 为坐标原点，分别以AB ，AD 所在直线为x ，y 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设AD ＝2a ，则可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，P(0，a ，√3a)，M(0，a 2，√3a 2)，C(2，a ，0)，D(0，2a ，0)，即PB →=(2，−a ，−√3a)，DC →=(2，−a ，0)，DM →=(0，−32a ，√32a)， 设平面MCD 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{DC →⋅n →=0DM →⋅n →=0，即{2x −ay =0−32ay +√32az =0，则可取n →=(a ，2，2√3)， 设直线PB 与平面MCD 所成角为θ，所以sinθ=|cos ＜PB →，n →＞|=|PB →⋅n →||PB →||n →|=√4+4a 2⋅√16+a 2=34， 解得a 2＝16，或a 2＝1，即a ＝4或1，当a ＝4时，则AD ＝2a ＝8，所以V P−MCD =13S PMD ⋅|AB|=13×12×4×4√3×2=16√33． 当a ＝1时，AD ＝2，所以V P−MCD =13S PMD ⋅|AB|=13×12×1×√3×2=√33． 21．如图，在海岸线EF 一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC ，该曲线段是函数y ＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，φ∈（0，π）），x ∈[﹣4，0]的图象，图象的最高点为B （﹣1，2）．边界的中间部分为长1千米的直线段CD ，且CD ∥EF ．游乐场的后一部分边界是以O 为圆心的一段圆弧DÊ． （1）求曲线段FGBC 的函数表达式；（2）曲线段FGBC 上的入口G 距海岸线EF 最近距离为1千米，现准备从入口G 修一条笔直的景观路到O，求景观路GO长；（3）如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧DÊ上，且∠POE＝θ，求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时θ的值．解：（1）由已知条件，得A＝2，又∵T4=3，T=2πω=12，∴ω=π6．又∵当x＝﹣1时，有y＝2sin（−π6+φ）＝2，∴φ=2π3．∴曲线段FGBC的解析式为y=2sin(π6x+2π3)，x∈[﹣4，0]．（2）由y=2sin(π6x+2π3)=1得x＝6k+（﹣1）k﹣4 （k∈Z），又x∈[﹣4，0]，∴k＝0，x＝﹣3．∴G（﹣3，1）．∴OG=√10．∴景观路GO长为√10千米．（3）如图，OC=√3，CD＝1，∴OD＝2，∠COD=π6，作PP1⊥x轴于P1点，在Rt△OPP1中，PP1＝OP sinθ＝2sinθ，在△OMP中，OPsin120°=OMsin(60°−θ)，∴OM=OP⋅sin(60°−θ)sin120°=4√3⋅sin(60°−θ)=2cosθ−2√33sinθ．S平行四边形OMPQ＝OM•PP1=(2cosθ−2√33sinθ)⋅2sinθ=4sinθcosθ−4√33sin2θ=2sin2θ+2√33cos2θ−2√33=4√33sin(2θ+π6)−2√33θ∈（0，π3）．当2θ+π6=π2时，即θ=π6时，平行四边形面积最大值为2√33．22．已知函数f（x）＝x sin x+cos x．（1）求f（x）在x∈[﹣π，π]的单调区间与最值；（2）当a＞13时，若g(x)=f(x)−12ax2，证明：g（x）有且仅有两个零点．解：（1）由f（x）＝x sin x+cos x，x∈[﹣π，π]，得f'（x）＝x cos x，x∈[﹣π，π]，令f'（x）＝0，则x＝0或x＝±π2，所以当﹣π＜x＜−π2或0＜x＜π2时，f'（x）＞0；当−π2＜x＜0或π2＜x＜π时，f'（x）＜0，所以f（x）的单调递增区间为[﹣π，−π2]和（0，π2]，单调递减区间为[−π2，0]和[π2，π]，所以f(x)max=f(−π2)=f(π2)=π2，f（x）min＝f（﹣π）＝f（π）＝﹣1．（2）证明：g(x)=f(x)−12ax2，则g（x）的定义域为（﹣∞，+∞），因为g(−x)=−xsin(−x)+cos(−x)−12a(−x)2=xsinx+cosx−12ax2=g（x），所以g（x）为偶函数．因为g（0）＝1＞0，所以当a＞13时，g（x）有且仅有两个零点等价于当a＞13时，g（x）在（0，+∞）上有且仅有一个零点．由g（x）＝x sin x+cos x−12ax2，得g'（x）＝x（cos x﹣a），当a⩾1时，若x＞0，则g′（x）＜0，所以g（x）在（0，+∞）上单调递减，因为g(π)=−1−12aπ2＜0，所以g（x）在（0，+∞）上有且仅有一个零点，当13＜a＜1时，存在θ∈(0，π2)，使得cosθ＝a，当0＜x＜θ时，f′（x）＞0，当2kπ+θ＜x＜2kπ+2π﹣θ，k∈N时，g′（x）＜0，当2kπ+2π﹣θ＜x＜2kπ+2π+θ，k∈N时，g′（x）＞0，所以g（x）在（0，θ）上单调递增，在（2kπ+θ，2kπ+2π﹣θ）（k∈N）上单调递减，在（2kπ+2π﹣θ，2kπ+2π+θ）（k∈N）上单调递增，由tanθ=√1a2−1，13＜a＜1，可得0＜tanθ＜2√2，当k∈N时，2kπ+2π+θ−tanθ＞2(π−√2)，所以g(2kπ+2π+θ)=−12a[(2kπ+2π+θ−tanθ)2−1]+12a＜−16[(2kπ+2π+θ−tanθ)2−1]+32=−(2kπ+2π+θ−tanθ)2−106＜0因此g（x）在（0，+∞）上有且仅有一个零点．综上，当a＞13时，g（x）有且仅有两个零点．。
泉州市晋江市养正中学2015-2016学年高一上学期期中数学试卷(国际部) 含解析
2015-2016学年福建省泉州市晋江市养正中学高一(上)期中数学试卷(国际部）一.选择题（5分*12题，共60分）1．下列式子中,不正确的是()A．3∈{x｜x≤4} B．{﹣3}∩R={﹣3｝C．{0｝∪∅=∅D．{﹣1}⊆{x|x＜0}2．函数的定义域为（)A． B．C．（﹣∞,2]D．［2，+∞）3．已知集合A=｛y|y≥﹣1},B=｛x｜x≥2｝，则下列结论正确的是（)A．﹣3∈A B．3∉B C．A∩B=B D．A∪B=B4．下列各组函数中表示同一函数的是（)A．f(x)=x与g（x）=（）2B．f（x）=lg(x﹣1）与g(x）=lg|x﹣1｜C．f（x）=x0与g（x）=1 D．f（x）=与g（t）=t+1（t≠1）5．已知函数f（x）=3x+2x的零点所在的一个区间是（）A．(﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1,2）6．函数f（x）=2x﹣2﹣x的图象（）A．关于y轴对称 B．关于原点对称C．关于x轴对称 D．关于直线y=x对称7．幂函数y=x3在[1,2］上的最大值与最小值之和为(）A．10 B．9 C．8 D．68．下列函数中不能用二分法求零点的是(）A．f(x）=3x+1 B．f（x)=x3C．f（x）=x2D．f（x）=lnx9．设，则a，b,c的大小关系是（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a10．函数y=a x﹣（a＞0，a≠1)的图象可能是（）A． B． C．D．11．上海A股市场的某股票,其股价在某一周内的周一、周二两天，每天下跌10%,周三、周四两天，每天上涨10％，则将该股票在这周四的收盘价与这周一的开盘价比较（周一开盘价恰为上周收盘价），变化的情况是（）A．下跌1。
99% B．上涨1。
99％C．不涨也不跌D．不确定12．对于实数a和b，定义运算“＊”a*b=设f（x）=（2x﹣1）＊（x﹣1），且关于x的方程f（x）=a（a∈R）恰有三个互不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．［0，]B．[0，］ C．（0，］∪（1，+∞) D．（0，）二．填空题（5分*4题,共20分）13．已知函数f（x)的定义域和值域都是｛1，2,3，4，5｝，其对应关系如表所示，则f（4）=．x 1 2 3 4 5f(x） 5 4 3 1 214．函数f（x）=a2x﹣4+2(a＞0且a≠1)的图象恒过定点是．15．已知f（x）为R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=3x,那么f（﹣2)的值为．16．已知函数f(x）=log a（2x﹣1）（a＞0,a≠1)在区间(0,1）内恒有f(x)＜0，则函数的单调递减区间是．三.解答题（6题共70分）17．已知A={x｜﹣1＜x＜2}，B=｛x｜x＞1}．(1）求A∩B和A∪B；(2）定义A﹣B={x|x∈A且x∉B},求A﹣B和B﹣A．18．求值（1）+lg25+lg4+（2）﹣+．19．已知函数f(x）=lg(2+x）﹣lg（2﹣x）．（1）判定函数f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）判定f（x）的单调性（不用证明），并求不等式f（1﹣x）+f（3﹣2x）＜0的解集．20．设函数f（x）=，且≤x≤9．（1）求f(3)的值;（2）求函数f（x）的最大值与最小值及与之对应的x的值．21．某公司生产一种产品，每年需投入固定成本25万元，此外每生产100件这样的产品，还需增加投入50万元,经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t件时，销售所得的收入为万元．（1）该公司这种产品的年生产量为x件,生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x 的函数为f（x），求f（x）;（2）当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大？22．已知二次函数g（x)=mx2﹣2mx+n+1（m＞0）在区间[0,3]上有最大值4,最小值0．（Ⅰ）求函数g(x）的解析式；（Ⅱ)设f（x）=．若f（2x）﹣k•2x≤0在x∈［﹣3，3］时恒成立，求k的取值范围．2015—2016学年福建省泉州市晋江市养正中学高一（上）期中数学试卷（国际部）参考答案与试题解析一。