高中数学人教A版选修1-2课件：第2章 推理与证明 2.1.2
人教版高中数学选修1-2(A版)课件：第二章 2.1.2演绎推理 (共87张PPT)
2019-2020学年人教A版数学选修1-2课件：第2章 推理与证明 2.1.2
(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的_判__断_____. 其一般推理形式为 大前提：M是P. 小前提：S是M. 结 论：___S_是__P____. 利用集合知识说明“三段论”：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的 一个子集，那么____S_中__所__有__元__素__也__都__具__有__性__质_P____. 3．在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的， 推理的形式是正确的，那么____结__论__必定是正确的．因而演绎推理是数学中严格 证明的工具，而合情推理的结论_____不__一__定_正确．
典例 2
已知在梯形ABCD中(如图)，DC＝DA，
AD∥BC.
求证：AC平分∠BCD.(用三段论证明)
[解析] ∵等腰三角形两底角相等， 大前提
△ADC是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角， 小前提
∴∠1＝∠2.
结论
∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等， 大前提
∠1和∠3是平行线AD、BC被AC截得的内错角， 小前提
第十八页，编辑于星期六：二十三点 二十四分。
〔跟踪练习 1〕 指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因： (1)整数是自然数，·········································································大前提 －3 是整数， ··················································································小前提 －3 是自然数． ··············································································结论 (2)常函数的导函数为 0，······························································大前提 函数 f(x)的导函数为 0， ································································小前提 f(x)为常函数．················································································结论
2019-2020学年高中人教A版数学选修1-2课件：第2章 推理与证明 2.2 2.2.1 第一课时 综合法
【证明】 (1)在△ABC 中，∵D，E 分别为 AB，BC 的中点， ∴DE∥AC，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，A1C1∥AC，∴ DE∥A1C1. 又∵DE⊄平面 A1C1F，A1C1⊂平面 A1C1F， ∴直线 DE∥平面 A1C1F.
(2)在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，A1A⊥平面 A1B1C1， ∵A1C1⊂平面 A1B1C1，∴A1A⊥A1C1. 又 A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面 ABB1A1，A1B1⊂平面 ABB1A1， A1A∩A1B1＝A1，∴A1C1⊥平面 ABB1A1. 又∵B1D⊂平面 ABB1A1，∴A1C1⊥B1D. 又 B1D⊥A1F，A1C1⊂平面 A1C1F，A1F⊂平面 A1C1F， A1C1∩A1F＝A1，∴B1D⊥平面 A1C1F. ∵B1D⊂平面 B1DE，∴平面 B1DE⊥平面 A1C1F.
第二章 推理与证明
2．2 直接证明与间接证明 2．2.1 综合法和分析法 第一课时 综合法
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梳理知识 夯实基础
目标导学
1．理解综合法的定义，掌握综合法的思维特点． 2．能熟练地运用综合法证明数学问题．
‖知识梳理‖ 1．综合法的含义 一般地，利用__已_知__条_件_____和某些数学定义、___定__理______、 __公_理________等，经过一系列的_推__理_论__证_____，最后推导出所要 _证__明_的__结_论__成_立___________，这种证明方法叫做综合法．
答案：a5＞b5
5．(2019·全国卷Ⅲ)图 1 是由矩形 ADEB，Rt△ABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形，其中 AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC ＝60°.将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连接 DG，如图 2.
高二数学人教A版选修1-2课件：第二章 推理与证明
专题一
专题二
专题二 直接证明与间接证明
1.综合法证明数学问题是“执因索果”,而分析法则是“执果索因”,二者一正一反,各有特点,综合法的特点是表述 简单条理清楚,分析法则便于解题思路的探寻.
2.分析法与综合法往往结合起来使用,即用分析法探寻解题思路,而用综合法书写过程,即“两头凑”,可使问题便 于解决.
专题一
专题二
【例1】 已知数列 归纳出Sn的计算公式.
8× 1 12 × 32
,
8× 32×
252,…,(2…������,-S1n为)82其×(2前������������n+项1的)2和, ,计算S1,S2,S3,S4,观察计算结果,并
思路分析:通过计算S1,S2,S3,S4的取值,发现它们的共同点有:都是分数,分母为奇数的平方,分子比分母少1,据
ABCD
中,������������������������'
+
������������ ������������'
+
������������ ������������'
+
������������������������' =4-������������-������������������+������������-������������������������������-+������������������������������-������������������ +������������-������������������ =4-������������������������--������������������������������������ =3.
人教A版高中数学选修1-2《二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.2 演绎推理》优质课教案_18
2．1.2演绎推理教学设计整体设计教材分析《演绎推理》是高中数学中的基本思维过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式，是正确进行逻辑推理必不可少的基础知识，是高考热点．演绎推理具有证明结论、整理和构建知识体系的作用，是公理体系中的基本推理方法．本节内容相对比较抽象，教学中应紧密结合已学过的生活实例和数学实例，让学生了解演绎推理的含义，并在上一节学习的基础上，了解合情推理与演绎推理之间的联系与差异，同时纠正推理过程中可能犯的典型错误，增强学生的好奇心，激发出潜在的创造力，使学生能正确应用合情推理和演绎推理去进行一些简单的推理，证明一些数学结论．课时划分1课时．教学目标1．知识与技能目标了解演绎推理的含义，了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别，能正确地运用演绎推理，进行简单的推理．2．过程与方法目标了解和体会演绎推理在日常生活和学习中的应用，培养学生的逻辑推理能力，使学生学会观察，大胆猜想，敢于归纳、挖掘其中所包含的推理思路和思想；明确演绎推理的基本过程，提高学生的创新能力．3．情感、态度与价值观通过本节课的学习，体验推理源于实践，又应用于实践的思想，激发学生学习的兴趣，培养学生勇于探索、创新的个性品质．重点难点重点：正确地运用演绎推理进行简单的推理证明．难点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别．教学过程引入新课观察与思考：新学期开始了，班里换了新的老师，他们是林老师、王老师和吴老师，三位老师分别教语文、数学、英语．已知：每个老师只教一门课；林老师上课全用汉语；英语老师是一个学生的哥哥；吴老师是一位女教师，她比数学老师活泼．问：三位老师各上什么课？活动设计：让学生带着浓厚的兴趣，先独立思考，然后小组交流．引导分析：启发学生把自己的思考过程借助于下列表格展示出来，从而解决问题．注意与学生交流．学情预测：开始学生的回答可能不全面、不准确，但在其他学生的不断补充、纠正下，会趋于准确．活动结果：林老师——数学，王老师——英语，吴老师——语文．设计意图本着“兴趣是最好的老师”的原则，结合生活中具体的实例，激发学生学习的兴趣，让学生体会“数学来源于生活”，创造和谐积极的学习气氛，体会演绎推理的现实意义．探究新知判断下列推理是合情推理吗？分析推理过程，明确它们的推理形式．(1)所有的金属都能导电，铜是金属，所以，铜能够导电．(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以，(2100＋1)不能被2整除．(3)三角函数都是周期函数，tanα是三角函数，所以，tanα是周期函数．活动设计：学生口答，教师板书．学情预测：学生积极思考片刻，有学生举手回答且回答准确．活动结果：以上推理不是合情推理，它们的推理形式如下：(1)所有的金属都能导电，第一段铜是金属，第二段所以，铜能够导电．第三段(2)一切奇数都不能被2整除，第一段(2100＋1)是奇数，第二段所以，(2100＋1)不能被2整除．第三段(3)三角函数都是周期函数，第一段tanα是三角函数，第二段所以，tanα是周期函数．第三段提出问题：对于上面的三个推理，它们的推理形式有什么特点？活动设计：学生独立思考，并自由发言．学情预测：通过观察和分析，学生有足够的能力来解决上面所提问题．活动结果：上面的例子都有三段，是以一般的判断为前提，得出一些个别的、具体的判断：(1)所有的金属都能导电，大前提铜是金属，小前提所以，铜能够导电．结论(2)一切奇数都不能被2整除，大前提(2100＋1)是奇数，小前提所以，(2100＋1)不能被2整除．结论(3)三角函数都是周期函数，大前提tanα是三角函数，小前提所以，tanα是周期函数．结论教师：演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．1．演绎推理是由一般到特殊的推理；2．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．设计意图通过对演绎推理概念的学习，体会以“三段论”模式来说明演绎推理的特点，从中概括出演绎推理的推理过程，对演绎推理是一般到特殊的推理有一个直观的认识，训练和培养学生的演绎推理能力．理解新知提出问题：在应用“三段论”进行推理的过程中，得到的推理结论一定正确吗？为什么？例如：(1)所有阔叶植物都是落叶的，葡萄树是阔叶植物，所以，葡萄树都是落叶的．(2)因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形，而菱形是所有边长都相等的凸多边形，所以菱形是正多边形．(3)英雄难过美人关，我难过美人关，所以，我是英雄．活动设计：学生独立思考，先有学生自由发言，然后教师小结并形成新知．学情预测：学生们在积极思考，对(2)(3)两个小题的结论产生分歧，意见不统一．活动结果：(1)推理形式正确，前提正确，结论正确．(2)推理形式正确，大前提错误，结论错误．(3)推理形式错误(大、小前提没有连接起来)，结论错误．教师：通过上面的学习，学生们对演绎推理和“三段论”模式都有了更深的了解，其中特别注意：(1)三段论的基本格式M—P(M是P)(大前提)S—M(S是M)(小前提)S—P(S是P)(结论)(2)三段论推理的依据，用集合的观点来理解：若集合M的所有元素都具有性质P，S 是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P.(3)在演绎推理中，只有前提和推理形式都正确，结论才是正确的．设计意图通过所举的例子，教师可以了解学生对演绎推理和三段论模式的理解程度，明确概念的内涵和外延，加深理解，及时更正学生在认识推理中产生的错误和偏差．提出问题：合情推理与演绎推理有什么区别与联系？活动设计：学生独立思考，先由学生自由发言，然后教师小结并形成新知．活动结果：设计意图通过比较合情推理与演绎推理的区别与联系，有助于学生更清晰地理解和掌握这两种推理方法，并能灵活应用．运用新知例1如图，在锐角三角形ABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，D ，E 是垂足，求证：AB 的中点M 到D ，E 的距离相等．思路分析：根据三段论的推理过程进行证明．证明：(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，——大前提 在△ABC 中，AD ⊥BC ，即∠ADB ＝90°，——小前提 所以△ABD 是直角三角形．——结论(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，——大前提 因为DM 是直角三角形ABD 斜边上的中线，——小前提 所以DM ＝12AB.——结论同理EM ＝12AB.所以DM ＝EM.点评：通过对上述问题的证明，挖掘其中包含的推理思路，使学生明确演绎推理的基本过程，突出演绎推理中的“大前提”“小前提”和“结论”．巩固练习由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理得出一个结论，则这个结论是( )A ．正方形的对角线相等B ．平行四边形的对角线相等C ．正方形是平行四边形D ．其他 答案：A例2证明函数f(x)＝－x 2＋2x 在(－∞，1)内是增函数．思路分析：证明本例所依据的大前提是：在某个区间(a ，b)内，如果f ′(x)>0，那么函数y ＝f(x)在这个区间内单调递增．小前提是f(x)＝－x 2＋2x 在(－∞，1)内有f ′(x)>0，这是证明本例的关键． 证明：f ′(x)＝－2x ＋2，因为当x ∈(－∞，1)时，有1－x>0， 所以f ′(x)＝－2x ＋2＝2(1－x)>0，于是，根据“三段论”，可知f(x)＝－x 2＋2x 在(－∞，1)内是增函数．点评：通过对上述问题的证明，挖掘其中包含的推理思路，使学生明确演绎推理的基本过程，并加深对演绎推理的认识．教师：许多学生能写出证明过程，但不一定非常清楚证明的逻辑规则，因此在表述证明过程时往往显得杂乱无章，通过这两个例子的教学，应当使这种状况得到改善．变练演编(1)已知a ，b ，m 均为正实数，且b<a ，求证：b a <b ＋ma ＋m.(2)已知△ABC 的三条边分别为a ，b ，c ，则1＋ <1＋.思路分析：(1)中根据演绎推理的证明过程进行证明；(2)中不必证明，答案不唯一． 证明：(1)不等式两边乘以同一个正数，不等式仍成立，——大前提 b<a ，m>0，——小前提 所以mb<ma.——结论不等式两边加上同一个数，不等式仍成立，——大前提 mb<ma ，ab ＝ab ，——小前提所以ab ＋mb<ab ＋ma ，即b(a ＋m)<a(b ＋m)．——结论 不等式两边除以同一个正数，不等式仍成立，——大前提 b(a ＋m)<a(b ＋m)，a(a ＋m)>0，——小前提所以，b (a ＋m )a (a ＋m )<a (b ＋m )a (a ＋m )，即b a <b ＋m a ＋m .——结论(2)c 1＋c <a ＋b 1＋a ＋b (答案不唯一，例如a1＋a <c ＋b 1＋c ＋b)． 点评：通过证明(1)中不等式成立，感知条件与结论的不唯一性，例如：已知a ，b ，m 均为正实数，若a<b ，求证：a b <a ＋mb ＋m.(2)中加强学生思维的灵活性、分析问题的深刻性．活动设计：学生讨论交流并回答问题，老师对不同的合理答案给予肯定，将所有发现的结论一一列举，并由学生予以评价．设计意图通过变练演编，使学生对演绎推理的认识不断加深，同时培养学生逻辑思维的严谨性． 达标检测1．下列表述正确的是( )①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A ．①②③B ．②③④C ．②④⑤D ．①③⑤2．有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误3．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内的所有直线；已知直线平面α，直线平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”，结论显然是错误的，这是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误 答案：1.D 2.C 3.A课堂小结1．知识收获：(1)演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括大前提——已知的一般原理；小前提——所研究的特殊情况；结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．2．方法收获：利用演绎推理判断进行证明的方法与步骤：①找出大前提；②找出小前提；③根据“三段论”推出结论．3．思维收获：培养和训练学生严谨缜密的逻辑思维．布置作业课本本节练习1、2、3.补充练习基础练习1．把“函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论．2．下面说法正确的有()(1)演绎推理是由一般到特殊的推理；(2)演绎推理得到的结论一定是正确的；(3)演绎推理的一般模式是“三段论”形式；(4)演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关．A．1个B．2个C．3个D．4个3．下列几种推理过程是演绎推理的是()A．5和22可以比较大小B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C．东升高中高二年级有15个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人D．预测股票走势图4．已知△ABC，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：a<b.证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A<∠B，∴a<b，画线部分是演绎推理的()A．大前提B．小前提C．结论D．三段论5．用演绎推理法证明y＝x是增函数时的大前提是______．答案：1.解：二次函数的图象是一条抛物线(大前提)，函数y＝x2＋x＋1是二次函数(小前提)，所以，函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线(结论)．2．C 3.A 4.B 5.增函数的定义拓展练习6．S为△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.求证：AB⊥BC.证明：如图，作AE⊥SB于E.∵平面SAB⊥平面SBC，∴AE⊥平面SBC，∴AE⊥BC.又∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.∵SA∩AE＝A，SA⊂平面SAB，AE⊂平面SAB，∴BC⊥平面SAB.∵AB⊂平面SAB，∴AB⊥BC.设计说明由于这节课概念性、理论性较强，一般的教学方式会使学生感到枯燥乏味，为此，激发学生的学习兴趣是上好本节课的关键．教学中始终要注意以学生为主，让学生在自我思考、相互交流中去总结概念“下定义”，去体会概念的本质属性．学生对于演绎推理和三段论的理解，需要经过一定时间的体会，先给出学生常见问题的解决步骤，结合以前所学的知识来解决问题，在教学中经常借助这些概念表达、阐述和分析问题．引导学生从日常生活中的推理问题出发，激发学生的学习兴趣，结合学生熟知的旧知识归纳新知识，同时在应用新知的过程中，将所学的知识条理化，使学生的认知结构更趋于合理．备课资料例1小王、小刘、小张参加了今年的高考，考完后在一起议论．小王说：“我肯定考上重点大学．”小刘说：“重点大学我是考不上了．”小张说：“要是不论重点不重点，我考上肯定没问题．”发榜结果表明，三人中考取重点大学、一般大学和没考上大学的各有一个，并且他们三个人的预言只有一个人是对的，另外两个人的预言都同事实恰好相反．可见() A．小王没考上，小刘考上一般大学，小张考上重点大学B．小王考上一般大学，小刘没考上，小张考上重点大学C．小王没考上，小刘考上重点大学，小张考上一般大学D．小王考上一般大学，小刘考上重点大学，小张没考上解析：根据推理知识得出结论．答案：C例2已知直线l、m，平面α、β，且l⊥α，m∥β，给出下列四个命题：(1)若α∥β，则l⊥m；(2)若l⊥m，则α∥β；(3)若α⊥β，则l∥m；(4)若l∥m，则α⊥β.其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：根据演绎推理的定义，逐一判断结论的正误．由直线和平面、平面和平面平行和垂直的判定定理、性质定理，可知应选B.答案：B点评：以准确、完整地理解条件为基础，才能判断命题的正误．例3函数y＝f(x)在(0,2)上是增函数，函数y＝f(x＋2)是偶函数，则f(1)，f(2.5)，f(3.5)的大小关系是______．解析：根据函数的性质进行判断．∵函数y＝f(x)在(0,2)上是增函数，∴0＜x＋2＜2，即－2＜x＜0.∴函数y＝f(x＋2)在(－2,0)上是增函数．又∵函数y＝f(x＋2)是偶函数，∴函数y＝f(x＋2)在(0,2)上是减函数．由图象可得f(2.5)>f(1)>f(3.5)．故应填f(2.5)>f(1)>f(3.5)．答案：f(2.5)>f(1)>f(3.5)点评：根据函数的基本性质，结合三段论的推理模式可得．例4已知lg2＝m，计算lg0.8.分析：利用所学的推理知识解决问题．解：lga n＝nlga(a>0)，——大前提lg8＝lg23，——小前提lg8＝3lg2.——结论lg ab＝lga－lgb(a>0，b>0)，——大前提lg0.8＝lg 810，——小前提所以lg0.8＝lg8－1＝3lg2－1＝3m－1.——结论点评：找出三段论的大前提与小前提即可得到答案．设计者：李效三2018年5月22日星期二。
新版高中数学人教A版选修1-2课件：第二章 推理与证明 2.2.1
∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD, ∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC. 而AE⊂平面PAC,∴CD⊥AE.
题型一
题型二
题型三
题型四
(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.
∵E是PC的中点,∴AE⊥PC.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练3】 如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所 在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.
典例透析
(1)证明:BC∥平面PDA; (2)证明:BC⊥PD; (3)求点C到平面PDA的距离. (1)证明因为四边形ABCD是长方形,所以BC∥AD. 因为BC⊄平面PDA,AD⊂平面PDA,所以BC∥平面PDA.
−
1)(������∈N*,n≥2),求证: 1 为等差数列.
������������
分析:(1)类比题目所给等式得到 Sn+1 与 an+1 之间的关系式→两式相减→说明{an}是等比数列
(2)利用(1)中的公比
q
得到
f(m)→化简式子
bn=
3 2
������
(bn-1)→证明
1 ������������
两式相减,得Sn=n·2n-1×20-1×21-…-1×2n-1=n·2n-2n+1=2n(n-1)+1.
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
利用综合法证明不等式
【例 2】 已知 a,b,c 是正实数,且 a+b+c=1. 求证:(1)a2+b2+c2≥13 ; (2) ������ + ������ + ������ ≤ 3.
2019-2020学年高中人教A版数学选修1-2课件：第2章 推理与证明 2.1 2.1.2
4．(2019·郑州期末)《论语·学路》中说：“名不正，则言不
顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则
刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民
无所措手足”．上述推理用的是( )
A．类比推理
B．归纳推理
C．演绎推理
D．一次三段论
答案：C
5．将下列演绎推理写成三段论的形式． (1)等腰三角形的两个底角相等，∠A，∠B 是等腰三角形的 两个底角，所以∠A＝∠B； (2)通项公式为 an＝2n＋3 的数列{an}是等差数列．
用三段论的形式写出下列演绎推理． (1)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角 线相等； (2)若两角是对顶角，则这两角相等，因为∠1≠∠2，所以 ∠1 与∠2 不是对顶角； (3)满足 2a2＝a1＋a3 的三个数 a1，a2，a3 成等差数列．
解：(1)矩形的对角线相等，大前提 正方形是矩形，小前提 正方形的对角线相等．结论 (2)若两个角是对顶角，则这两个角相等，大前提 ∠1 和∠2 不相等，小前提 ∠1 和∠2 不是对顶角．结论
D．推理形式错误
解析：若函数 f(x)在(a，b)内可导且单调递增，则在(a，b) 内 f′(x)≥0 恒成立，且 f′(x)不恒为 0，所以推理中大前提错误．
答案：A
题型三 演绎推理的应用
如图所示，正三棱柱 ABC－A1B1C1 的棱长均为 a， D，E 分别为 C1C 与 AB 的中点，A1B 交 AB1 于点 G.
3
是对数函数(小前提)，所以 y＝log1x 是增函数(结论)．” 3 (2)“因为过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提)，而
A、B、C 为空间三点(小前提)，所以过 A、B、C 三点只能确定 一个平面(结论)．”
高二数学人教A版选修1-2课件：第二章推理与证明
∵a>1，∴ax2－x1>1，且 ax1>0， ∴ax2－ax1＝(ax2－x1－1)ax1>0， 又∵x1＋1>0，x2＋1>0. ∴xx22－ ＋21－xx11－＋21＝x2－2x1x＋1＋11－x2x＋1－12 x2＋1 ＝x13＋x12－xx2＋1 1>0.
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高二数学人教A版选修1-2 课件：第二章推理与证明
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因为 4>π 是成立的，所以 π2Lπ2>L42 成立，从而圆的面积 大于正方形的面积.
第二章 章末归纳总结
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题型 4 综合法证明不等式 [例 4] 已知 a、b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.
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[解析] f(1)＝12＋1＋41＝43，f(2)＝22＋2＋41＝47， f(3)＝32＋3＋41＝53，f(4)＝42＋4＋41＝61， f(5)＝52＋5＋41＝71，f(6)＝62＋6＋41＝83， f(7)＝72＋7＋41＝97，f(8)＝82＋8＋41＝113， f(9)＝92＋9＋41＝131，f(10)＝102＋10＋41＝151. 由于 43,47,53,61,71,83,97,113,131,151 都为质数．于是猜 想当 n 取任何非负整数时 f(n)＝n2＋n＋41 的值为质数． 因为当 n＝40 时，f(40)＝402＋40＋41＝41×41，所以 f(40) 为合数，因此，上面由归纳推理得到的猜想不正确.
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[解析]
(1)错误．推理形式错误，演绎推理是由一般到特
殊的推理，3,5,7,11只是奇数的一部分，是特殊事例． (2)根据题意可知，此三段论的大前提、小前提和结论分别 为：不能被2整除的整数是奇数；35不能被2整除；35是奇数．
三段论在证明几何问题中的应用
已 知 在 梯 形 ABCD 中 ( 如 图 ) ， DC ＝ DA ，
我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由三段论 “三段论”是演绎推理的一般模式，包括： 一般原理 ； (1)大前提——已知的__________ 特殊情况 ； (2)小前提——所研究的__________ 判断 ． (3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的______
重点：演绎推理的含义及演绎推理规则．
难点：演绎推理的应用．
演绎推理 思维导航 日常生活中我们经常接触这样的推理形式：“所有金属都 导电，因为铁是金属，所以铁导电”，它是合情推理吗？这种
推理形式正确吗？
新知导学
1．演绎推理 一般性的原理 出发，推出__________ 某个特殊 情况下的结论， 从______________
2．判断演绎推理是否正确的方法
(1)看推理形式是否为由一般到特殊的推理，只有由一般到 特殊的推理才是演绎推理，这是最易出错的地方；
(2) 看大前提是否正确，大前提往往是定义、定理、性质
等，注意其中有无前提条件； (3) 看小前提是否正确，注意小前提必须在大前提范围之 内； (4)看推理过程是否正确，即看由大前提，小前提得到的结
(3)所有的循环小数都是有理数，大前提
·
0.332是循环小数，小前提
·
0.332是有理数．结论 (4)三角函数是周期函数，大前提 y＝sinx 是三角函数，小前提 y＝sinx 是周期函数．结论
[ 方法规律总结 ]
1. 分析演绎推理的构成时，要正确区分
大前提、小前提、结论，省略大前提的要补出来．
论是否正确．
(1)判断下面推理是否正确？为什么？ ∵奇数3,5,7,11是质数，9是奇数，∴9是质数． (2)“一切奇数都不能被2整除，35不能被2整除，所以35是 奇数．”把此演绎推理写成三段论的形式为： 大前提：________________________________________ 小前提：________________________________________ 结论：________________________________________
牛刀小试
1．演绎推理是( ) A．部分到整体，个别到一般的推理 B．特殊到特殊的推理 C．一般到特殊的推理 D．一般到一般的推理 [答案] C
2．(2015·厦门高二检测)“所有9的倍数都是3的倍数，某
奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数．”上述推理( A．小前提错 C．正确 [答案] C [解析] 9＝3×3，所以大前提是正确的，又小前提和推理 过程都正确，所以结论也正确，故上述推理正确． B．结论错 D．大前提错 )
AD∥BC．
求证：AC平分∠BCD．(用三段论证明)
[解析] ∵等腰三角形两底角相等，大前提
△ADC是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角，小前提 ∴∠1＝∠2.结论 ∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，大前提 ∠1和∠3是平行线AD、BC被AC截得的内错角，小前提
∴∠1＝∠3.结论
∵等于同一个角的两个角相等，大前提 ∠2＝∠1，∠3＝∠1，小前提 ∴∠2＝∠3，即AC平分∠BCD．结论
将下列推理写成“三段论”的形式： (1)向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方 向； (2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角
线相等；
·
(3)0.332是有理数； (4)y＝sinx(x∈R)是周期函数．
[分析]
首先分析出每个题的大前提、小前提及结论，再
写成三段论的形式． [解析] (1)向量是既有大小又有方向的量，大前提 零向量是向量，小前提 所以零向量也有大小和方向．结论 (2)每一个矩形的对角线都相等，大前提 正方形是矩形，小前提 正方形的对角线相等．结论
其一般推理形式为
大前提：M是P.
小前提：S是M. S是P 结 论：__________. 利用集合知识说明“三段论”：若集合M的所有元素都具 中所有元素也都具有性质P 有性质P，S是M的一个子集，那么S ________________________. 3 ．在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只 结论 必定是 要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么________ 正确的．因而演绎推理是数学中严格证明的工具，而合情推理 不一定 正确． 的结论__________
3．在三段论中，M、P、S的包含关系可表示为(
)
[答案] A [ 解析 ] 三段论中， S 是 M 的子集， M 可能是 P的子集，即 具有这种性质，也可能不是P的子集，即不具有这种性质．
4．给出下列结论：
①演绎推理的特征为，前提为真时，结论一定为真； ②演绎推理的特征为，前提为真时，结论可能为真； ③由合情推理得到的结论一定为真； ④演绎推理和合情推理都可以用于证明； ⑤合情推理不能用于证明，演绎推理可用于证明． 其中正确结论的序号为__________. [答案] ①⑤
5．判断下列推理是否正确？为什么？
“因为过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提)，而A、 B、C为空间三点(小前提)，所以过A、B、C三点只能确定一个 平面(结论)．” [解析] 不正确，因为大前提中的“三点”不共线，而小 前提中的“三点”没有不共线的限制条件．
典例探究学案
把演绎推理写成三段论形式
成才之路 ·数学
人教A版 ·选修1-1 1-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章
推理与证明
第二章 2.1 合情推理与演绎推理
2.1.2 演绎推理
1
自主预习学案
2
典例探究学案
3
课 时 作 业
自主预习学案
学习目标解读
结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的 重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简 单推理． 通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差 异．