高中数学人教A版选修1-2课件：第2章 推理与证明 2.1.2
[解析]
(1)错误．推理形式错误，演绎推理是由一般到特
殊的推理，3,5,7,11只是奇数的一部分，是特殊事例． (2)根据题意可知，此三段论的大前提、小前提和结论分别 为：不能被2整除的整数是奇数；35不能被2整除；35是奇数．
三段论在证明几何问题中的应用
已 知 在 梯 形 ABCD 中 ( 如 图 ) ， DC ＝ DA ，
我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由三段论 “三段论”是演绎推理的一般模式，包括： 一般原理 ； (1)大前提——已知的__________ 特殊情况 ； (2)小前提——所研究的__________ 判断 ． (3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的______
重点：演绎推理的含义及演绎推理规则．
难点：演绎推理的应用．
演绎推理 思维导航 日常生活中我们经常接触这样的推理形式：“所有金属都 导电，因为铁是金属，所以铁导电”，它是合情推理吗？这种
推理形式正确吗？
新知导学
1．演绎推理 一般性的原理 出发，推出__________ 某个特殊 情况下的结论， 从______________
2．判断演绎推理是否正确的方法
(1)看推理形式是否为由一般到特殊的推理，只有由一般到 特殊的推理才是演绎推理，这是最易出错的地方；
(2) 看大前提是否正确，大前提往往是定义、定理、性质
等，注意其中有无前提条件； (3) 看小前提是否正确，注意小前提必须在大前提范围之 内； (4)看推理过程是否正确，即看由大前提，小前提得到的结
(3)所有的循环小数都是有理数，大前提
·
0.332是循环小数，小前提
·
0.332是有理数．结论 (4)三角函数是周期函数，大前提 y＝sinx 是三角函数，小前提 y＝sinx 是周期函数．结论
[ 方法规律总结 ]
1. 分析演绎推理的构成时，要正确区分
大前提、小前提、结论，省略大前提的要补出来．
论是否正确．
(1)判断下面推理是否正确？为什么？ ∵奇数3,5,7,11是质数，9是奇数，∴9是质数． (2)“一切奇数都不能被2整除，35不能被2整除，所以35是 奇数．”把此演绎推理写成三段论的形式为： 大前提：________________________________________ 小前提：________________________________________ 结论：________________________________________
牛刀小试
1．演绎推理是( ) A．部分到整体，个别到一般的推理 B．特殊到特殊的推理 C．一般到特殊的推理 D．一般到一般的推理 [答案] C
2．(2015·厦门高二检测)“所有9的倍数都是3的倍数，某
奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数．”上述推理( A．小前提错 C．正确 [答案] C [解析] 9＝3×3，所以大前提是正确的，又小前提和推理 过程都正确，所以结论也正确，故上述推理正确． B．结论错 D．大前提错 )
AD∥BC．
求证：AC平分∠BCD．(用三段论证明)
[解析] ∵等腰三角形两底角相等，大前提
△ADC是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角，小前提 ∴∠1＝∠2.结论 ∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，大前提 ∠1和∠3是平行线AD、BC被AC截得的内错角，小前提
∴∠1＝∠3.结论
∵等于同一个角的两个角相等，大前提 ∠2＝∠1，∠3＝∠1，小前提 ∴∠2＝∠3，即AC平分∠BCD．结论
将下列推理写成“三段论”的形式： (1)向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方 向； (2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角
线相等；
·
(3)0.332是有理数； (4)y＝sinx(x∈R)是周期函数．
[分析]
首先分析出每个题的大前提、小前提及结论，再
写成三段论的形式． [解析] (1)向量是既有大小又有方向的量，大前提 零向量是向量，小前提 所以零向量也有大小和方向．结论 (2)每一个矩形的对角线都相等，大前提 正方形是矩形，小前提 正方形的对角线相等．结论
其一般推理形式为
大前提：M是P.
小前提：S是M. S是P 结 论：__________. 利用集合知识说明“三段论”：若集合M的所有元素都具 中所有元素也都具有性质P 有性质P，S是M的一个子集，那么S ________________________. 3 ．在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只 结论 必定是 要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么________ 正确的．因而演绎推理是数学中严格证明的工具，而合情推理 不一定 正确． 的结论__________
3．在三段论中，M、P、S的包含关系可表示为(
)
[答案] A [ 解析 ] 三段论中， S 是 M 的子集， M 可能是 P的子集，即 具有这种性质，也可能不是P的子集，即不具有这种性质．
4．给出下列结论：
①演绎推理的特征为，前提为真时，结论一定为真； ②演绎推理的特征为，前提为真时，结论可能为真； ③由合情推理得到的结论一定为真； ④演绎推理和合情推理都可以用于证明； ⑤合情推理不能用于证明，演绎推理可用于证明． 其中正确结论的序号为__________. [答案] ①⑤
5．判断下列推理是否正确？为什么？
“因为过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提)，而A、 B、C为空间三点(小前提)，所以过A、B、C三点只能确定一个 平面(结论)．” [解析] 不正确，因为大前提中的“三点”不共线，而小 前提中的“三点”没有不共线的限制条件．
典例探究学案
把演绎推理写成三段论形式
成才之路 ·数学
人教A版 ·选修1-1 1-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章
推理与证明
第二章 2.1 合情推理与演绎推理
2.1.2 演绎推理
1
自主预习学案
2
典例探究学案
3
课 时 作 业
自主预习学案
学习目标解读
结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的 重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简 单推理． 通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差 异．
人教版高中数学选修1-2(A版)课件：第二章 2.1.2演绎推理 (共87张PPT)
2019-2020学年人教A版数学选修1-2课件：第2章 推理与证明 2.1.2
(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的_判__断_____. 其一般推理形式为 大前提：M是P. 小前提：S是M. 结 论：___S_是__P____. 利用集合知识说明“三段论”：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的 一个子集，那么____S_中__所__有__元__素__也__都__具__有__性__质_P____. 3．在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的， 推理的形式是正确的，那么____结__论__必定是正确的．因而演绎推理是数学中严格 证明的工具，而合情推理的结论_____不__一__定_正确．
典例 2
已知在梯形ABCD中(如图)，DC＝DA，
AD∥BC.
求证：AC平分∠BCD.(用三段论证明)
[解析] ∵等腰三角形两底角相等， 大前提
△ADC是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角， 小前提
∴∠1＝∠2.
结论
∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等， 大前提
∠1和∠3是平行线AD、BC被AC截得的内错角， 小前提
第十八页，编辑于星期六：二十三点 二十四分。
〔跟踪练习 1〕 指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因： (1)整数是自然数，·········································································大前提 －3 是整数， ··················································································小前提 －3 是自然数． ··············································································结论 (2)常函数的导函数为 0，······························································大前提 函数 f(x)的导函数为 0， ································································小前提 f(x)为常函数．················································································结论
2019-2020学年高中人教A版数学选修1-2课件：第2章 推理与证明 2.2 2.2.1 第一课时 综合法
【证明】 (1)在△ABC 中，∵D，E 分别为 AB，BC 的中点， ∴DE∥AC，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，A1C1∥AC，∴ DE∥A1C1. 又∵DE⊄平面 A1C1F，A1C1⊂平面 A1C1F， ∴直线 DE∥平面 A1C1F.
(2)在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，A1A⊥平面 A1B1C1， ∵A1C1⊂平面 A1B1C1，∴A1A⊥A1C1. 又 A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面 ABB1A1，A1B1⊂平面 ABB1A1， A1A∩A1B1＝A1，∴A1C1⊥平面 ABB1A1. 又∵B1D⊂平面 ABB1A1，∴A1C1⊥B1D. 又 B1D⊥A1F，A1C1⊂平面 A1C1F，A1F⊂平面 A1C1F， A1C1∩A1F＝A1，∴B1D⊥平面 A1C1F. ∵B1D⊂平面 B1DE，∴平面 B1DE⊥平面 A1C1F.
第二章 推理与证明
2．2 直接证明与间接证明 2．2.1 综合法和分析法 第一课时 综合法
自主学习导航
梳理知识 夯实基础
目标导学
1．理解综合法的定义，掌握综合法的思维特点． 2．能熟练地运用综合法证明数学问题．
‖知识梳理‖ 1．综合法的含义 一般地，利用__已_知__条_件_____和某些数学定义、___定__理______、 __公_理________等，经过一系列的_推__理_论__证_____，最后推导出所要 _证__明_的__结_论__成_立___________，这种证明方法叫做综合法．
答案：a5＞b5
5．(2019·全国卷Ⅲ)图 1 是由矩形 ADEB，Rt△ABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形，其中 AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC ＝60°.将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连接 DG，如图 2.
高二数学人教A版选修1-2课件：第二章 推理与证明
专题一
专题二
专题二 直接证明与间接证明
1.综合法证明数学问题是“执因索果”,而分析法则是“执果索因”,二者一正一反,各有特点,综合法的特点是表述 简单条理清楚,分析法则便于解题思路的探寻.
2.分析法与综合法往往结合起来使用,即用分析法探寻解题思路,而用综合法书写过程,即“两头凑”,可使问题便 于解决.
专题一
专题二
【例1】 已知数列 归纳出Sn的计算公式.
8× 1 12 × 32
,
8× 32×
252,…,(2…������,-S1n为)82其×(2前������������n+项1的)2和, ,计算S1,S2,S3,S4,观察计算结果,并
思路分析:通过计算S1,S2,S3,S4的取值,发现它们的共同点有:都是分数,分母为奇数的平方,分子比分母少1,据
ABCD
中,������������������������'
+
������������ ������������'
+
������������ ������������'
+
������������������������' =4-������������-������������������+������������-������������������������������-+������������������������������-������������������ +������������-������������������ =4-������������������������--������������������������������������ =3.
人教A版高中数学选修1-2《二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.2 演绎推理》优质课教案_18
2．1.2演绎推理教学设计整体设计教材分析《演绎推理》是高中数学中的基本思维过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式，是正确进行逻辑推理必不可少的基础知识，是高考热点．演绎推理具有证明结论、整理和构建知识体系的作用，是公理体系中的基本推理方法．本节内容相对比较抽象，教学中应紧密结合已学过的生活实例和数学实例，让学生了解演绎推理的含义，并在上一节学习的基础上，了解合情推理与演绎推理之间的联系与差异，同时纠正推理过程中可能犯的典型错误，增强学生的好奇心，激发出潜在的创造力，使学生能正确应用合情推理和演绎推理去进行一些简单的推理，证明一些数学结论．课时划分1课时．教学目标1．知识与技能目标了解演绎推理的含义，了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别，能正确地运用演绎推理，进行简单的推理．2．过程与方法目标了解和体会演绎推理在日常生活和学习中的应用，培养学生的逻辑推理能力，使学生学会观察，大胆猜想，敢于归纳、挖掘其中所包含的推理思路和思想；明确演绎推理的基本过程，提高学生的创新能力．3．情感、态度与价值观通过本节课的学习，体验推理源于实践，又应用于实践的思想，激发学生学习的兴趣，培养学生勇于探索、创新的个性品质．重点难点重点：正确地运用演绎推理进行简单的推理证明．难点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别．教学过程引入新课观察与思考：新学期开始了，班里换了新的老师，他们是林老师、王老师和吴老师，三位老师分别教语文、数学、英语．已知：每个老师只教一门课；林老师上课全用汉语；英语老师是一个学生的哥哥；吴老师是一位女教师，她比数学老师活泼．问：三位老师各上什么课？活动设计：让学生带着浓厚的兴趣，先独立思考，然后小组交流．引导分析：启发学生把自己的思考过程借助于下列表格展示出来，从而解决问题．注意与学生交流．学情预测：开始学生的回答可能不全面、不准确，但在其他学生的不断补充、纠正下，会趋于准确．活动结果：林老师——数学，王老师——英语，吴老师——语文．设计意图本着“兴趣是最好的老师”的原则，结合生活中具体的实例，激发学生学习的兴趣，让学生体会“数学来源于生活”，创造和谐积极的学习气氛，体会演绎推理的现实意义．探究新知判断下列推理是合情推理吗？分析推理过程，明确它们的推理形式．(1)所有的金属都能导电，铜是金属，所以，铜能够导电．(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以，(2100＋1)不能被2整除．(3)三角函数都是周期函数，tanα是三角函数，所以，tanα是周期函数．活动设计：学生口答，教师板书．学情预测：学生积极思考片刻，有学生举手回答且回答准确．活动结果：以上推理不是合情推理，它们的推理形式如下：(1)所有的金属都能导电，第一段铜是金属，第二段所以，铜能够导电．第三段(2)一切奇数都不能被2整除，第一段(2100＋1)是奇数，第二段所以，(2100＋1)不能被2整除．第三段(3)三角函数都是周期函数，第一段tanα是三角函数，第二段所以，tanα是周期函数．第三段提出问题：对于上面的三个推理，它们的推理形式有什么特点？活动设计：学生独立思考，并自由发言．学情预测：通过观察和分析，学生有足够的能力来解决上面所提问题．活动结果：上面的例子都有三段，是以一般的判断为前提，得出一些个别的、具体的判断：(1)所有的金属都能导电，大前提铜是金属，小前提所以，铜能够导电．结论(2)一切奇数都不能被2整除，大前提(2100＋1)是奇数，小前提所以，(2100＋1)不能被2整除．结论(3)三角函数都是周期函数，大前提tanα是三角函数，小前提所以，tanα是周期函数．结论教师：演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．1．演绎推理是由一般到特殊的推理；2．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．设计意图通过对演绎推理概念的学习，体会以“三段论”模式来说明演绎推理的特点，从中概括出演绎推理的推理过程，对演绎推理是一般到特殊的推理有一个直观的认识，训练和培养学生的演绎推理能力．理解新知提出问题：在应用“三段论”进行推理的过程中，得到的推理结论一定正确吗？为什么？例如：(1)所有阔叶植物都是落叶的，葡萄树是阔叶植物，所以，葡萄树都是落叶的．(2)因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形，而菱形是所有边长都相等的凸多边形，所以菱形是正多边形．(3)英雄难过美人关，我难过美人关，所以，我是英雄．活动设计：学生独立思考，先有学生自由发言，然后教师小结并形成新知．学情预测：学生们在积极思考，对(2)(3)两个小题的结论产生分歧，意见不统一．活动结果：(1)推理形式正确，前提正确，结论正确．(2)推理形式正确，大前提错误，结论错误．(3)推理形式错误(大、小前提没有连接起来)，结论错误．教师：通过上面的学习，学生们对演绎推理和“三段论”模式都有了更深的了解，其中特别注意：(1)三段论的基本格式M—P(M是P)(大前提)S—M(S是M)(小前提)S—P(S是P)(结论)(2)三段论推理的依据，用集合的观点来理解：若集合M的所有元素都具有性质P，S 是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P.(3)在演绎推理中，只有前提和推理形式都正确，结论才是正确的．设计意图通过所举的例子，教师可以了解学生对演绎推理和三段论模式的理解程度，明确概念的内涵和外延，加深理解，及时更正学生在认识推理中产生的错误和偏差．提出问题：合情推理与演绎推理有什么区别与联系？活动设计：学生独立思考，先由学生自由发言，然后教师小结并形成新知．活动结果：设计意图通过比较合情推理与演绎推理的区别与联系，有助于学生更清晰地理解和掌握这两种推理方法，并能灵活应用．运用新知例1如图，在锐角三角形ABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，D ，E 是垂足，求证：AB 的中点M 到D ，E 的距离相等．思路分析：根据三段论的推理过程进行证明．证明：(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，——大前提 在△ABC 中，AD ⊥BC ，即∠ADB ＝90°，——小前提 所以△ABD 是直角三角形．——结论(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，——大前提 因为DM 是直角三角形ABD 斜边上的中线，——小前提 所以DM ＝12AB.——结论同理EM ＝12AB.所以DM ＝EM.点评：通过对上述问题的证明，挖掘其中包含的推理思路，使学生明确演绎推理的基本过程，突出演绎推理中的“大前提”“小前提”和“结论”．巩固练习由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理得出一个结论，则这个结论是( )A ．正方形的对角线相等B ．平行四边形的对角线相等C ．正方形是平行四边形D ．其他 答案：A例2证明函数f(x)＝－x 2＋2x 在(－∞，1)内是增函数．思路分析：证明本例所依据的大前提是：在某个区间(a ，b)内，如果f ′(x)>0，那么函数y ＝f(x)在这个区间内单调递增．小前提是f(x)＝－x 2＋2x 在(－∞，1)内有f ′(x)>0，这是证明本例的关键． 证明：f ′(x)＝－2x ＋2，因为当x ∈(－∞，1)时，有1－x>0， 所以f ′(x)＝－2x ＋2＝2(1－x)>0，于是，根据“三段论”，可知f(x)＝－x 2＋2x 在(－∞，1)内是增函数．点评：通过对上述问题的证明，挖掘其中包含的推理思路，使学生明确演绎推理的基本过程，并加深对演绎推理的认识．教师：许多学生能写出证明过程，但不一定非常清楚证明的逻辑规则，因此在表述证明过程时往往显得杂乱无章，通过这两个例子的教学，应当使这种状况得到改善．变练演编(1)已知a ，b ，m 均为正实数，且b<a ，求证：b a <b ＋ma ＋m.(2)已知△ABC 的三条边分别为a ，b ，c ，则1＋ <1＋.思路分析：(1)中根据演绎推理的证明过程进行证明；(2)中不必证明，答案不唯一． 证明：(1)不等式两边乘以同一个正数，不等式仍成立，——大前提 b<a ，m>0，——小前提 所以mb<ma.——结论不等式两边加上同一个数，不等式仍成立，——大前提 mb<ma ，ab ＝ab ，——小前提所以ab ＋mb<ab ＋ma ，即b(a ＋m)<a(b ＋m)．——结论 不等式两边除以同一个正数，不等式仍成立，——大前提 b(a ＋m)<a(b ＋m)，a(a ＋m)>0，——小前提所以，b (a ＋m )a (a ＋m )<a (b ＋m )a (a ＋m )，即b a <b ＋m a ＋m .——结论(2)c 1＋c <a ＋b 1＋a ＋b (答案不唯一，例如a1＋a <c ＋b 1＋c ＋b)． 点评：通过证明(1)中不等式成立，感知条件与结论的不唯一性，例如：已知a ，b ，m 均为正实数，若a<b ，求证：a b <a ＋mb ＋m.(2)中加强学生思维的灵活性、分析问题的深刻性．活动设计：学生讨论交流并回答问题，老师对不同的合理答案给予肯定，将所有发现的结论一一列举，并由学生予以评价．设计意图通过变练演编，使学生对演绎推理的认识不断加深，同时培养学生逻辑思维的严谨性． 达标检测1．下列表述正确的是( )①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A ．①②③B ．②③④C ．②④⑤D ．①③⑤2．有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误3．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内的所有直线；已知直线平面α，直线平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”，结论显然是错误的，这是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误 答案：1.D 2.C 3.A课堂小结1．知识收获：(1)演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括大前提——已知的一般原理；小前提——所研究的特殊情况；结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．2．方法收获：利用演绎推理判断进行证明的方法与步骤：①找出大前提；②找出小前提；③根据“三段论”推出结论．3．思维收获：培养和训练学生严谨缜密的逻辑思维．布置作业课本本节练习1、2、3.补充练习基础练习1．把“函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论．2．下面说法正确的有()(1)演绎推理是由一般到特殊的推理；(2)演绎推理得到的结论一定是正确的；(3)演绎推理的一般模式是“三段论”形式；(4)演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关．A．1个B．2个C．3个D．4个3．下列几种推理过程是演绎推理的是()A．5和22可以比较大小B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C．东升高中高二年级有15个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人D．预测股票走势图4．已知△ABC，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：a<b.证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A<∠B，∴a<b，画线部分是演绎推理的()A．大前提B．小前提C．结论D．三段论5．用演绎推理法证明y＝x是增函数时的大前提是______．答案：1.解：二次函数的图象是一条抛物线(大前提)，函数y＝x2＋x＋1是二次函数(小前提)，所以，函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线(结论)．2．C 3.A 4.B 5.增函数的定义拓展练习6．S为△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.求证：AB⊥BC.证明：如图，作AE⊥SB于E.∵平面SAB⊥平面SBC，∴AE⊥平面SBC，∴AE⊥BC.又∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.∵SA∩AE＝A，SA⊂平面SAB，AE⊂平面SAB，∴BC⊥平面SAB.∵AB⊂平面SAB，∴AB⊥BC.设计说明由于这节课概念性、理论性较强，一般的教学方式会使学生感到枯燥乏味，为此，激发学生的学习兴趣是上好本节课的关键．教学中始终要注意以学生为主，让学生在自我思考、相互交流中去总结概念“下定义”，去体会概念的本质属性．学生对于演绎推理和三段论的理解，需要经过一定时间的体会，先给出学生常见问题的解决步骤，结合以前所学的知识来解决问题，在教学中经常借助这些概念表达、阐述和分析问题．引导学生从日常生活中的推理问题出发，激发学生的学习兴趣，结合学生熟知的旧知识归纳新知识，同时在应用新知的过程中，将所学的知识条理化，使学生的认知结构更趋于合理．备课资料例1小王、小刘、小张参加了今年的高考，考完后在一起议论．小王说：“我肯定考上重点大学．”小刘说：“重点大学我是考不上了．”小张说：“要是不论重点不重点，我考上肯定没问题．”发榜结果表明，三人中考取重点大学、一般大学和没考上大学的各有一个，并且他们三个人的预言只有一个人是对的，另外两个人的预言都同事实恰好相反．可见() A．小王没考上，小刘考上一般大学，小张考上重点大学B．小王考上一般大学，小刘没考上，小张考上重点大学C．小王没考上，小刘考上重点大学，小张考上一般大学D．小王考上一般大学，小刘考上重点大学，小张没考上解析：根据推理知识得出结论．答案：C例2已知直线l、m，平面α、β，且l⊥α，m∥β，给出下列四个命题：(1)若α∥β，则l⊥m；(2)若l⊥m，则α∥β；(3)若α⊥β，则l∥m；(4)若l∥m，则α⊥β.其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：根据演绎推理的定义，逐一判断结论的正误．由直线和平面、平面和平面平行和垂直的判定定理、性质定理，可知应选B.答案：B点评：以准确、完整地理解条件为基础，才能判断命题的正误．例3函数y＝f(x)在(0,2)上是增函数，函数y＝f(x＋2)是偶函数，则f(1)，f(2.5)，f(3.5)的大小关系是______．解析：根据函数的性质进行判断．∵函数y＝f(x)在(0,2)上是增函数，∴0＜x＋2＜2，即－2＜x＜0.∴函数y＝f(x＋2)在(－2,0)上是增函数．又∵函数y＝f(x＋2)是偶函数，∴函数y＝f(x＋2)在(0,2)上是减函数．由图象可得f(2.5)>f(1)>f(3.5)．故应填f(2.5)>f(1)>f(3.5)．答案：f(2.5)>f(1)>f(3.5)点评：根据函数的基本性质，结合三段论的推理模式可得．例4已知lg2＝m，计算lg0.8.分析：利用所学的推理知识解决问题．解：lga n＝nlga(a>0)，——大前提lg8＝lg23，——小前提lg8＝3lg2.——结论lg ab＝lga－lgb(a>0，b>0)，——大前提lg0.8＝lg 810，——小前提所以lg0.8＝lg8－1＝3lg2－1＝3m－1.——结论点评：找出三段论的大前提与小前提即可得到答案．设计者：李效三2018年5月22日星期二。
新版高中数学人教A版选修1-2课件：第二章 推理与证明 2.2.1
∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD, ∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC. 而AE⊂平面PAC,∴CD⊥AE.
题型一
题型二
题型三
题型四
(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.
∵E是PC的中点,∴AE⊥PC.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练3】 如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所 在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.
典例透析
(1)证明:BC∥平面PDA; (2)证明:BC⊥PD; (3)求点C到平面PDA的距离. (1)证明因为四边形ABCD是长方形,所以BC∥AD. 因为BC⊄平面PDA,AD⊂平面PDA,所以BC∥平面PDA.
−
1)(������∈N*,n≥2),求证: 1 为等差数列.
������������
分析:(1)类比题目所给等式得到 Sn+1 与 an+1 之间的关系式→两式相减→说明{an}是等比数列
(2)利用(1)中的公比
q
得到
f(m)→化简式子
bn=
3 2
������
(bn-1)→证明
1 ������������
两式相减,得Sn=n·2n-1×20-1×21-…-1×2n-1=n·2n-2n+1=2n(n-1)+1.
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
利用综合法证明不等式
【例 2】 已知 a,b,c 是正实数,且 a+b+c=1. 求证:(1)a2+b2+c2≥13 ; (2) ������ + ������ + ������ ≤ 3.
2019-2020学年高中人教A版数学选修1-2课件：第2章 推理与证明 2.1 2.1.2
4．(2019·郑州期末)《论语·学路》中说：“名不正，则言不
顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则
刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民
无所措手足”．上述推理用的是( )
A．类比推理
B．归纳推理
C．演绎推理
D．一次三段论
答案：C
5．将下列演绎推理写成三段论的形式． (1)等腰三角形的两个底角相等，∠A，∠B 是等腰三角形的 两个底角，所以∠A＝∠B； (2)通项公式为 an＝2n＋3 的数列{an}是等差数列．
用三段论的形式写出下列演绎推理． (1)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角 线相等； (2)若两角是对顶角，则这两角相等，因为∠1≠∠2，所以 ∠1 与∠2 不是对顶角； (3)满足 2a2＝a1＋a3 的三个数 a1，a2，a3 成等差数列．
解：(1)矩形的对角线相等，大前提 正方形是矩形，小前提 正方形的对角线相等．结论 (2)若两个角是对顶角，则这两个角相等，大前提 ∠1 和∠2 不相等，小前提 ∠1 和∠2 不是对顶角．结论
D．推理形式错误
解析：若函数 f(x)在(a，b)内可导且单调递增，则在(a，b) 内 f′(x)≥0 恒成立，且 f′(x)不恒为 0，所以推理中大前提错误．
答案：A
题型三 演绎推理的应用
如图所示，正三棱柱 ABC－A1B1C1 的棱长均为 a， D，E 分别为 C1C 与 AB 的中点，A1B 交 AB1 于点 G.
3
是对数函数(小前提)，所以 y＝log1x 是增函数(结论)．” 3 (2)“因为过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提)，而
A、B、C 为空间三点(小前提)，所以过 A、B、C 三点只能确定 一个平面(结论)．”
高二数学人教A版选修1-2课件：第二章推理与证明
∵a>1，∴ax2－x1>1，且 ax1>0， ∴ax2－ax1＝(ax2－x1－1)ax1>0， 又∵x1＋1>0，x2＋1>0. ∴xx22－ ＋21－xx11－＋21＝x2－2x1x＋1＋11－x2x＋1－12 x2＋1 ＝x13＋x12－xx2＋1 1>0.
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高二数学人教A版选修1-2 课件：第二章推理与证明
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因为 4>π 是成立的，所以 π2Lπ2>L42 成立，从而圆的面积 大于正方形的面积.
第二章 章末归纳总结
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题型 4 综合法证明不等式 [例 4] 已知 a、b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.
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[解析] f(1)＝12＋1＋41＝43，f(2)＝22＋2＋41＝47， f(3)＝32＋3＋41＝53，f(4)＝42＋4＋41＝61， f(5)＝52＋5＋41＝71，f(6)＝62＋6＋41＝83， f(7)＝72＋7＋41＝97，f(8)＝82＋8＋41＝113， f(9)＝92＋9＋41＝131，f(10)＝102＋10＋41＝151. 由于 43,47,53,61,71,83,97,113,131,151 都为质数．于是猜 想当 n 取任何非负整数时 f(n)＝n2＋n＋41 的值为质数． 因为当 n＝40 时，f(40)＝402＋40＋41＝41×41，所以 f(40) 为合数，因此，上面由归纳推理得到的猜想不正确.
2019-2020人教A版数学选修1-2 第2章 2.1 2.1.2 演绎推理课件PPT
B [对于 A，小前提与大前提之间逻辑错误，不符合演绎推理三段论 形式；对于 B，符合演绎推理三段论形式且推理正确；对于 C，大小前提 颠倒，不符合演绎推理三段论形式；对于 D，大小前提及结论颠倒，不符 合演绎推理三段论形式．]
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用三段论证明几何问题 【例 2】 如图所示，D，E，F 分别是 BC，CA，AB 边上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：DE＝AF.写出 “三段论”形式的演绎推理．
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[解] (1)大前提：平行四边形的对角线互相平分，小前提：菱形是平 行四边形，
结论：菱形的对角线互相平分． (2)大前提：等腰三角形的两底角相等， 小前提：∠A，∠B 是等腰三角形的底角， 结论：∠A＝∠B.
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(3)大前提：数列{an}中，如果当 n≥2 时，an－an－1 为常数，则{an}为 等差数列，
“①小宏在 2018 年的高考中考入了重点本科院 中，②是大前提，③
校；②小宏在 2018 年的高考中只要正常发挥就能考 是小前提，①是结论．] 入重点本科院校；③小宏在 2018 年的高考中正常发
挥”中，“小前提”是________(填序号)．
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3．下列几种推理过程是演绎推理的是________． ① [①是演绎推 ①两条平行直线与第三条直线相交，内错角相 理；②是归纳推理； 等，如果∠A 和∠B 是两条平行直线的内错角，则∠A ③④是类比推理．] ＝∠B；②金导电，银导电，铜导电，铁导电，所以 一切金属都导电；③由圆的性质推测球的性质；④科 学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．
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1．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( ) A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π 是无理数；结论： π 是无限不循环小数 B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π 是无限不循环小 数；结论：π 是无理数 C．大前提：π 是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理 数；结论：π 是无理数 D．大前提：π 是无限不循环小数；小前提：π 是无理数；结论：无 限不循环小数是无理数
2018高中数学人教A版选修1-2课件：第二章 推理与证明 2-1-2
重难聚焦
1.怎样认识演绎推理? 剖析:(1)演绎推理的前提是一般性原理,演绎推理所得的结论是 蕴涵于前提之中的个别、特殊事实,即结论完全蕴涵于前提之中. (2)在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系,只要前提是 真实的,推理的形式是正确的,那么其结论也必定是正确的.因而演 绎推理是数学中严格证明的工具. (3)演绎推理是一种收敛性的思维方式,具有条理清晰、令人信服 的论证作用,有助于数学的理论化和系统化.
典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四
反思三段论由大前提、小前提和结论组成,大前提提供一般原理, 小前提提供特殊情况,两者结合起来,体现了一般原理与特殊情况 的内在联系.在用三段论写推理过程时,关键是明确命题的大前提、 小前提,而大前提、小前提在书写过程中是可以省略的.
典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四
知识梳理
2.三段论
一般模式 大前提 小前提 结论 已知的一般原理 所研究的特殊情况 根据一般原理,对特殊情况做 出的判断 常用格 式 M是P S是M S是P
名师点拨三段论推理的依据. 用集合的观点来讲,若集合M中的所有元素都具有性质P,S是M的 子集,那么S中的所有元素也都具有性质P. 三段论推理的论断基础是这样一个公理:“凡肯定(或否定)了某一 类对象的全部,也就肯定(或否定)了这一类对象的各部分或个体”. 简言之,“全体概括个体”.M,P,S这三个概念之间的包含关系表现为: 若概念P包含了概念M,则必包含了M中的任一概念S(如图①);若概 念P排斥概念M,则必排斥M中的任一概念S(如图②).
【变式训练1】 将下列演绎推理写成三段论的形式: (1)若∠A,∠B是等腰三角形的两底角,则∠A=∠B; (2)通项公式an=2n+3表示的数列{an}为等差数列; (3)因为2100+1是奇数,所以2100+1不能被2整除. 解(1)因为等腰三角形两底角相等,大前提 又因为∠A,∠B是等腰三角形的两底角,小前提 所以∠A=∠B.结论 (2)因为在数列{an}中,如果当n≥2时,an-an-1为同一个常数,则{an} 为等差数列,大前提 又因为对通项公式an=2n+3,若n≥2,则an-an-1=2n+3-[2(n1)+3]=2(常数),小前提 所以通项公式an=2n+3表示的数列{an}为等差数列.结论