齐次线性方程组基础解
(完整word版)齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)
线性方程组解的构造（解法）一、齐次线性方程组的解法【定义】r ()=r<n, 若AX=0（A为m n矩阵）的一组解为ξ1,ξ2,L ,ξn r, 且知足：A(1)ξ1,ξ2,L, ξn r线性没关 ;(2)AX=0的) 任一解都可由这组解线性表示 .则称ξ,ξ,L ,ξ为 AX=0的基础解系 .12n r称 X k1ξ1k2ξ2L k n rξn r为 AX = 0的通解。
此中 k1, k2, , k n-r为随意常数).齐次线性方程组的重点问题就是求通解，而求通解的重点问题是求基础解系.【定理】若齐次线性方程组AX=0有解，则(1)若齐次线性方程组AX=0（ A 为m n 矩阵）知足 r ( A)n ，则只有零解；(2)齐次线性方程组有非零解的充要条件是 r ( A) n .（注：当 m n 时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数队列式 A 0.）注： 1、基础解系不独一，可是它们所含解向量的个数同样，且基础解系所含解向量的个数等于n r ( A) .2、非齐次线性方程组AX B 的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组AX O 所对应的同解方程组。
由上述定理可知，若 m 是系数矩阵的行数（也即方程的个数）， n 是未知量的个数，则有：（ 1）当 m n 时， r ( A) m n ，此时齐次线性方程组必定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就必定有非零解；（ 2）当m n 时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数队列式 A0 ；（ 3）当m n 且 r ( A) n 时，若系数矩阵的队列式 A 0 ，则齐次线性方程组只有零解；（ 4）当m n 时，若 r ( A)n ，则存在齐次线性方程组的同解方程组；若 r ( A)n ，则齐次线性方程组无解。
1、求AX = 0 （ A 为m n矩阵）通解的三步骤（1）A行 C （行最简形）;写出同解方程组CX =0.(2)求出 CX =0的基础解系ξ1,ξ2,L,ξn r;(3)写出通解X k1ξ1k2ξ2 L k n rξn r此中 k1, k2, , k n-r为随意常数.2x 1 3x 2 x 3 5x 4 0, 3x 1 x 2 2x 3 x 4 0,【例题 1】 解线性方程组x 2 3x 3 6x 4 0,4x 1 x 12x 24x 37x 40.解法一： 将系数矩阵 A 化为阶梯形矩阵明显有 r ( A)4 n ，则方程组仅有零解，即x 1 x 2 x 3 x 4 0 .解法二： 因为方程组的个数等于未知量的个数（即 mn ）（注意： 方程组的个数不等于未知量的个数 （即m n ），不能够用队列式的方法来判断） ，进而可计算系数矩阵 A 的队列式：2 3 1 5 3 1 2 1 A1 3 327 0 ，知方程组仅有零解，即 x 1 x2 x3 x4 0 .4 6 1247注： 此法仅对 n 较小时方便x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 0, 3x 12x 2 x 3 x 4 3x 5 0,【例题 2】 解线性方程组x 2 2 x 3 2x 4 6x 5 0,5x 1 4x 23x 33x 4x 50.解： 将系数矩阵 A 化为简化阶梯形矩阵可得 r ( A) 2n ，则方程组有无量多解，其同解方程组 为x 1 x 3x 4 5x 5 ,（此中 x 3 ， x 4 ， x 5 为自由未知量）x 22x 3 2 x 46x 5.令 x 3 1 ， x 4 0 ， x 5 0 ，得 x 1 1, x 2 2 ； 令 x 3 0 ， x 4 1， x 5 0 ，得 x 1 1, x 2 2 ； 令 x 30 ， x 4 0 ， x 51，得 x 1 5, x 26 ，于是获得原方程组的一个 基础解系 为1 1 5 22611，20，30.0 1 01所以，原方程组的 通解 为Xk 1 1 k 2 2 k 3 3 （ k 1 ， k 2 ， k 3 R ） .二、非齐次线性方程组的解法求 AX = b 的解（ A m n, r ( A)r ）用初等行变换求解，不如设前r 列线性没关c 11 c12L c1 rL c1n d1 c22 L c2r L c2 n d2 O M M M行c rr L crn d r此中 c ii0(i 1,2,L , r ), 所以知( AMb)dr 1 0 M 0(1) d r 10 时,原方程组无解.(2)d r 1 0, r n 时,原方程组有独一解.(3) d r 10, r < n 时,原方程组有无量多解.其通解为 X0k1ξ1 k2ξ2 L kn rξn r， k1 , k2,L , k n r为随意常数。
齐次线性方程组解的性质
,
0
0
x5 0 0 1
即得对应的齐次线性方程组的基础解系
(1, 2,1, 0, 0) , 1
(1, 2, 0,1, 0) , 2
(5, 6, 0, 0,1). 3
于是所求通解为
k11 k22 k33 *
(4) 利用C写出导出组的同解方程组得到导出 组的基础解系
(5) 利用特解和基础解系写出通解
四、小结
１．齐次线性方程组基础解系的求法
（1）对系数矩阵 A进行初等变换，将其化为
最简形
1 0 b11 b1,nr
0 A~
1
br1
br
,nr
0
,
x5
0
0 1 0
(k
,
1
k
,
2
k
3
R).
由例（2）可归纳出求解非齐次线性 方程组的步骤：
(1) 对增广矩阵 B 进行初等行变换，将其化 为行最简形矩阵C
(2) 写出C对应的原方程组的同解方程组
(3) 确定自由未知量，对自由未知量取零值得 到一个特解
向
量b能
由
向
量组
1
,
2
,
,
线
n
性
表
示;
向量组1, 2 ,, n与向量组1, 2 ,, n , b等价;
矩阵A 1,2 ,,n 与矩阵B 1,2 ,,n , b
的秩相等.
４．线性方程组的解法
（1）应用克莱姆法则
特点：只适用于系数行列式不等于零的情形， 计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可 用来证明很多命题．
齐次线性求解技巧
齐次线性求解技巧齐次线性方程求解是线性代数中的一个重要问题。
齐次线性方程组由线性方程组的特殊情况，即右端项全为零的情况下，需要求解未知数的取值。
在求解齐次线性方程时，可以运用一些技巧来简化计算的复杂性。
本文将介绍几种常用的齐次线性方程求解技巧。
1. 齐次线性方程组的基础解系齐次线性方程组的基础解系是指方程组的解集中的一组解构成的向量组，它可以表示方程组所有解的线性组合。
求解齐次线性方程组时，我们需要找到其基础解系。
求解齐次线性方程组的基础解系的一种方法是通过高斯消元法。
我们可以将方程组的增广矩阵进行高斯消元，将其化为行阶梯形矩阵，然后找出其中的自由变量，自由变量对应的列向量就是基础解系的一部分。
例如，考虑一个齐次线性方程组：```x + 2y - z = 02x + y + 3z = 03x + 4y + 2z = 0```将其增广矩阵进行高斯消元，得到行阶梯形矩阵：```1 2 -1 00 -3 5 00 0 0 0```可以看到第三个变量z是自由变量，我们可以令z = 1，求解出x和y的值。
这样得到一组解向量(2, -1, 1)。
然后我们可以令z = 0，再次求解出x和y的值，得到另一组解向量(-2/3, -1/3, 0)。
所以基础解系为{(2, -1, 1), (-2/3, -1/3, 0)}。
2. 齐次线性方程组的解的性质在求解齐次线性方程组时，我们可以利用解的线性性质来简化计算。
首先，齐次线性方程组的零解，即所有未知数都等于零的解，一定是它的解。
此外，如果方程组有解，那么方程组的解集一定是一个线性空间。
其次，如果方程组有非零解，那么方程组的解集中一定包含无穷多个解。
这是因为对于任意非零解x和任意标量k，kx也是方程组的解。
另外，如果方程组有一组基础解系，那么这组基础解系能够生成方程组的所有解。
如果我们知道了方程组解的一个特解，那么可以从这个特解出发，使用基础解系的线性组合来得到方程组的其他解。
齐次线性方程组解的结构
crn kn 1kr 2 0kn
kn 0kr 1 0kr 2 1kn
于是
k1
k2
M
kr 1 1
kr 22
L
knnr
kn
因此方程组的每一个解向量，都可以由这nr个解向量
ξ1 ,ξ2 ,L ,ξnr 线性表示，
所以
ξ1 ,ξ2 ,L ,ξnr是方程组的基础解系.
a21 x1
a22
x2
L LL
a2n xn
b2 ,
am1x1 am2 x2 L amn xn bm
（2）
称为非齐次线性方程组(
b1 ,b2 ,L ,bm 不全为0).
如果把它的常数项都换成0，就得到相应的齐次线性方程组，称它为非齐次线性方程组(2)的导出方程组， 简称导出组.
定理 3 （非齐次线性方程组解的结构定理）如果非齐次线性方程组有 解，那么它的一个解与其导出方程组的解之和是非齐次线性方 程组的一个解，非齐次线性方程组的任意解都可以写成它的一 个特解与其导出方程组的解之和。
11
则
x
1
21
称为方程组(1) 的解向量，它也是向量方程的解．
n1
Ax 0.
就是该显方然程齐组次的线一性个方解程，组这总个是解有叫解做，零解，若方程组还x有1其他解0，, x那2么这些0解,L就叫,做x非n零解.0
方程组 Ax 有非0零解的充要条件是
齐次线性方程组的解有如下的性质
。
LL
xr cr ,r1xr 1 L crn xn .
xr1 1 0 0
取
xr 2
0, 1,
, 0,
xn
0 0
1
可得 从而得到(1)的n-r个解
2 基础解系的求解举例
基础解系的求解举例●基础解系即Ax =0解向量全体的一个最大无关组。
●基础解系中的向量共有________个； ●基础解系中的向量一定线性_____关； ●基础解系的向量一定是______向量。
●任意n -R (A )个线性无关的满足Ax =0的非零解向量， 都可以构成一个基础解系。
（1）齐次线性方程组解的结构()n R A =-注意 基础解系所含解向量的个数 =自由未知量的个数=未知量的个数－系数矩阵的秩（2）齐次线性方程组基础解系的几个重要性质 n-R (A )无 非零 Ax=0的通解，可以表示为基础解系的线性组合。
一、知识回顾例1 求齐次线性方程组123412341234030230x x x x x x x x x x x x --+=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩的一个基础解系，并给出通解．解 对系数矩阵施行初等行变换，化为行最简111111131123A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭110100120000r --⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭−−→形矩阵，有二、例题讲解得同解方程组 124342x x x x x =+⎧⎨=⎩241,0x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭24,x x 其中为任意常数. 令 01⎛⎫ ⎪⎝⎭12⎛⎫ ⎪⎝⎭131,0x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭代入原方程有 (方法一：先求基础解系，再得通解）121110,0201ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭从而得基础解系 12112211100201c c c c ξξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故原方程组的通解为其中是任意常数. 12,c c只需保证这两个向量线性无关11-⎛⎫ ⎪⎝⎭241,1x x ⎛⎛⎫= ⎪⎝⎭⎝另外，由同解方程组，如果取 02⎛⎫ ⎪⎝⎭132,2x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则得 122011,2211ηη⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可得不同的基础解系121122123420112211x x c c c c x x ηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭从而得通解其中是任意常数. 12,c c 显然，向量组 与向量组 等价，12,ηη12,ξξ两个通解形式虽不一样,但都含有两个任意常数, 都表示了方程组的任一 解．事实上，由第一章的方程组求解方法，可直接得： 1242234442x x x x x x x x x =+⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩得方程组的通解为 1211100201x c c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭现在我们知道：1211100201ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭及即原方程组的基础解系。
齐次线性方程组的基础解系及其应用
齐次线性方程组的基础解系及其应用齐次线性方程组一般表示成AX=0的形式，其主要结论有：（1）齐次线性方程组AX=0一定有解，解惟一的含义是只有零解，有非零解的含义是解不惟一（当然有无穷多解）。
有非零解的充要条件是R(A)<n ；（2）齐次线性方程组AX=0解的线性组合还是它的解，因而解集合构成向量空间，向量空间的极大线性无关组，叫基础解系；（3）齐次线性方程组AX=0，当系数矩阵的秩r(A)小于未知量的个数n 时，存在基础解系，并且基础解系中含有n-r(A)个解向量；（4）对于齐次线性方程组AX=0，如果r(A)<n ，则任意n-r(A)个线性无关的解都是 基础解系。
定理1:设A 是n m ⨯的矩阵，B 是s n ⨯的矩阵，并且AB=0，那么r(A)+r(B)n ≤分析：这是一个非常重要的结论，多年考试题与它有关。
同学们还要掌握本定理的证明方法。
证：设s B B B B ,,,21 的列向量为，则),,,(21s B B B B =，AB=0，即0),,,(21=s B B B A 所以 s j AB j ,,2,1,0 ==所以，s B B B ,,,21 都是齐次线性方程组AB=0的解r(B)=秩)(),,,(21A r n B B B s -≤所以 r(A)+r(B)n ≤评论：AB=0，对B 依列分块，时处理此类问题的惯用方法。
例1：要使,110,20121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ξξ都是线性方程组0=AX 的解，只要系数矩阵A 为(A)[-2 1 1 ] (B)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-110102 (C) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--110201 (D)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---110224110 解：由答案之未知量的个数是3。
,110,20121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ξξ都是线性方程组0=AX 的解，并且21,ξξ线性无关，所以 1)(2)(3≤≥-A r A r ，从而，.只有（A ）是正确的。
《线性代数》电子教程之十二(1)(基础解系)
程 解的充要条件是系数矩阵的秩 R( A) n.
组 的
▪ n个未知数的非齐次线性方程组 Ax b有解
解 的充要条件是系数矩阵 A的秩等于增广矩阵 B
的 的秩；且当 R( A) R(B) n时方程组有惟一解，
结 当 R( A) R(B) n 时方程组有无限多个解.
构3Biblioteka 二、齐次线性方程组的解的构造
组 数矩阵的秩与全体解向量的秩之间的关系，
熟悉基础解系的求法；理解非齐次线性方程
续 组的通解的构造.
()
2
一、复习
第 四
1. 系数矩阵是方阵的线性方程组
节 设A为方阵，若 det A 0，则线性方程组
线 Ax b有惟一解.（克莱默法则）
性 2. 系数矩阵是一般矩阵的线性方程组
方 ▪ n个未知数的齐次线性方程组 Ax 0有非零
1. 齐次线性方程组的解的性质
性质1 若 1 ,2 为Ax 0 的解，则 1 2也是 Ax 0的解. 性质2 若为Ax 0 的解，k为实数，则 k 也是 Ax 0的解.
4
2. 齐次线性方程组的解空间
设齐次线性方程组 Ax 0的所有解组成的集
合为 S ，显然 S 非空， 根据性质1知， S对于加法封闭，根据性质2知，
xr br1c1 br 2c2 br,nrcnr .
9
即
x1 b11c1 b12c2 b1,nrcnr ,
x2
b21c1
b22c2
b c 2,nr nr
,
xr
br1c1
br 2c2
br,nr cnr ,
xr1 c1 ,
xr2 c2
,
xn cnr .
S对于数乘封闭， 所以 S 是一个向量空间，称为的解空间.
齐次非齐次线性方程组的基础解系和通解的区别,和各自是什么形式.详细说明
齐次和非齐次的区别非齐次线性方程组解如何判别
常数项不同：齐次线性方程组的常数项全部为零，非齐次方程组的常数项不全为零。
表达式不同：齐次线性方程组表达式：Ax=0；非齐次方程组程度常数项不全为零： Ax=b。
如果系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，方程组无解；如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，方程组有解。
1齐次和非齐次的区别
1、常数项不同：
齐次线性方程组的常数项全部为零，非齐次方程组的常数项不全为零。
2、表达式不同：
齐次线性方程组表达式：Ax=0；非齐次方程组程度常数项不全为零： Ax=b。
2非齐次线性方程组解的判别
如果系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，方程组无解；如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，方程组有解。
在有解的情况下，如果系数矩阵的秩等于未知数的个数，非齐次线性方程组有唯一解。
如果系数矩阵的秩小于未知数的个数，非齐次线性方程组有无穷多解，如果有无穷多解，先求所对应齐次线性方程组的基础解系，再求出非齐次线性方程组的一个特解。
由此可知：如果非齐次线性方程组有无穷多解，则其对应的齐次线性方程组一定有非零解，且非齐次线性方程组的全部解（通解）可表示为：对应齐次线性方程组的通解+非齐次线性方程组的特解。
3齐次线性方程组求解步骤
（1）对系数矩阵A进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵；
（2）若r(A)=r=n（未知量的个数），则原方程组仅有零解，即x=0，求解结束；若r(A)=r<n （未知量的个数），则原方程组有非零解，进行以下步骤：
（3）继续将系数矩阵A化为行最简形矩阵，并写出同解方程组；
（4）选取合适的自由未知量，并取相应的基本向量组，代入同解方程组，得到原方程组的基础解系，进而写出通解。
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齐次线性方程组基础解
线性方程组解法是数学中一个重要的方面，它主要是用来解决一类特殊的方程及其特征。
例如，当某类线性方程组有无穷多个解时，它们可以求出该方程组的基础解，即齐次线性方程组的基础解。
齐次线性方程组是一种比较特殊的线性方程，它要求所有变量的系数都相等，并且右边的常数项也相等。
这种形式的线性方程组是直接可以解出基本解的，且求出的解是无穷多个。
定义：若给定方程组为
a1x1+a2x2+...+anxn=b (1)
其中a1=a2=...=an=a 且 b=0,称方程组(1)为齐次线性方程组。
解齐次线性方程组时，容易发现系数a1, a2,, an是相等的，这意味着齐次线性方程组的变量x1, x2,, xn都是按照一定比例变化的，即有以下解：
x1=k1
x2=k1x2
……
xn=k1xn
其中k1为任意实数，x1, x2,, xn则是它们之间的比例参数。
所以对于齐次线性方程组，解可以用如下形式表示：
X=(k1,k2k1,…,knk1)
即齐次线性方程组一共有无穷多个基础解，它们是以k1为基本解，其中k1为任意实数而定义的。
除此以外，还可以通过矩阵乘法的方法求解齐次线性方程组。
例如：
a1x1+a2x2+...+anxn=b (2)
将方程组(2)变换为矩阵形式
[a1,a2,...,an][x1,x2,...,xn]T=[b]T
即可以得到
[x1,x2,...,xn]T=1/a[b]T
从而求得基础解[x1,x2,...,xn]T，也就是齐次线性方程组的基础解。
综上所述，齐次线性方程组的基础解具有如下特点：1.系数要求相等；2.变量之间要求有一定比例；3.有无穷多个解；4.可以用矩阵乘法的方式求解齐次线性方程组的基础解。
齐次线性方程组的基础解，在实际的解决工程问题中，可以节省计算机的开销，减少计算量，提高问题的解决速度。
此外，其解可以用于求解决策问题、分析复杂的数据关系，为经济管理决策提供有力的支持。
总之，在计算机科学及现代统计学中，齐次线性方程组基础解是一种极其重要的概念，它不仅能够简化线性方程组的求解，而且解的结果能够更好地映射到实际的世界中，因此非常有用。