偏导数的定义与计算方法
偏导数的定义及其计算法
但函数在该点处并不连续. 偏导数存在
2010年4月19日10时44 分 偏导数(27)
连续.
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4、偏导数的几何意义
设 M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z = f ( x , y ) 上一点,
如图
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偏导数(27)
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几何意义:
( y ≠ 0)
x 1 =− 2 sgn 2 x +y y
∂z 不存在． ≠0 ∂y x = 0 y
2010年4月19日10时44 分 偏导数(27)
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例 4
已知理想气体的状态方程 pV = RT
∂ p ∂V ∂ T ⋅ ⋅ = −1. （ R 为常数） ，求证： ∂V ∂T ∂ p
RT ∂p RT ⇒ =− 2; 证 p= V ∂V V RT ∂V R ∂T V pV V= ⇒ = ; = ; T= ⇒ p ∂T p ∂p R R ∂p ∂V ∂T RT R V RT = − 1. ⋅ ⋅ =− 2 ⋅ ⋅ =− ∂V ∂T ∂p V p R pV
f ( x + ∆x , y , z ) − f ( x , y , z ) , f x ( x , y , z ) = lim ∆x → 0 ∆x f ( x , y + ∆y , z ) − f ( x , y , z ) , f y ( x , y , z ) = lim ∆y → 0 ∆y
f ( x , y , z + ∆z ) − f ( x , y , z ) f z ( x , y , z ) = lim . ∆z → 0 ∆z
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9-2偏导数
(与求导顺序无关时 应选择方便的求导顺序 与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序) 与求导顺序无关时
练习
y ∂ 2z ∂ 2z （1）设z = arctan ,求 2 , x ∂x ∂x ∂y
（2）设z = xf ( x 2 − y 2 ),
(3) 已知 u = f ( r )，r =
∂u ∂r x = f ′( r ) ⋅ = f ′( r )， ∂x ∂x r
∂z ∂ f , , zy , ∂y ∂y
′ f y ( x, y) , f y ( x, y)
y= y0
显然有
fx (x0, y0 ) = fx( x, y) x=x0 ，
fy ( x0, y0 ) = f y ( x, y) x=x0 .
y= y0
偏导数的概念可以推广到二元以上的函数
如 三 元函 数 u = f ( x , y , z ) 的 偏导 数为
这两个二阶混合偏导数相等． 这两个二阶混合偏导数相等． 相等
即
∂2z ∂2z ( x, y)∈D. = ∂x∂y ∂y∂x
即二阶混合偏导数在连续的条件下, 即二阶混合偏导数在连续的条件下,求导与次序无关
此定理可以推广． 此定理可以推广． 推广
例8
1 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u 证明函数u = 满足方程 2 + 2 + 2 = 0, r ∂x ∂y ∂z 其中r = x 2 + y 2 + z 2 ，
注意 思考
∂ 2z ∂ 2z 此时 有 = ∂ x ∂ y ∂ y∂ x
混合偏导数都相等吗？ 混合偏导数都相等吗？
(不一定 不一定) 不一定
问题： 具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？ 问题： 具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？
偏导数的定义及其计算法
偏导数的定义及其计算法偏导数是多元函数在其中一点上的变化率的一种度量，它描述了函数在其中一方向上的变化速率。
偏导数的定义非常简单，它是将函数的其他自变量视为常数，而对其中一自变量求导得到的导数。
对于一个多元函数 f(x1, x2, ..., xn)，它的偏导数可以用∂f/∂xi 或者 fxi 来表示，其中∂表示偏导数的符号，xi 表示自变量 xi 的偏导数。
偏导数的计算方法基本与一元函数的导数计算类似，但在计算过程中需要将其他的自变量视为常数。
举个例子来说明偏导数的计算：假设有一个二元函数f(x1,x2)=x1^2+x2^2，我们要计算该函数关于自变量x1的偏导数∂f/∂x1在计算过程中，我们将x2视为常数，即f(x1,x2)=x1^2+C^2，其中C 表示x2的常数值。
然后我们对f(x1,x2)关于x1求导数，得到f'(x1,x2)=2x1、最后得到∂f/∂x1=f'x1=2x1，即关于x1的偏导数。
在实际应用中，偏导数常常用于优化算法、极值问题的求解等方面。
在多元函数中，偏导数的大小和符号可以用于判断函数的变化趋势和极值点的位置。
除了一阶偏导数，我们还可以计算高阶偏导数。
高阶偏导数描述的是函数对自变量一次、二次、三次...的变化率。
例如，二元函数的二阶偏导数就是对一阶偏导数再次求导，即∂^2f/∂x1^2，表示f(x1,x2)对x1的变化率的变化率。
对于多元函数而言，偏导数的计算可以推广到n阶偏导数，并且可以使用偏导数的混合形式。
例如，对于三元函数f(x1,x2,x3)，我们可以计算∂^2f/∂x1∂x2，表示对x1求偏导后再对x2求偏导。
总结来说，偏导数是多元函数关于其中一自变量的变化率的度量。
计算偏导数的方法与一元函数的导数计算类似，但需要将其他自变量视为常数。
偏导数在实际应用中具有广泛的用途，如优化算法、极值问题的求解等。
除了一阶偏导数，我们还可以计算高阶偏导数和混合偏导数。
偏导数的定义及其计算法
f (x+∆x, y)− f (x, y) . fx(x, y) = lim ∆x ∆x→0 偏导函数的符号
∂z , ∂f , z , 或 f (x, y) . >>> x x ∂x ∂x
偏导函数
f (x0 + ∆x, y0) − f (x0, y0) . f x(x0, y0) = lim ∆x ∆x→0 f (x+∆x, y)− f (x, y) . fx(x, y) = lim ∆x ∆x→0
∂p ∂V ∂T ⋅ ⋅ =− RT ⋅ R ⋅V =− RT =−1 . 所以 pV ∂V ∂T ∂p V 2 p R 本例说明一个问题: 偏导数的记号是一个整体记号,不能 看作分子分母之商.
偏导数的几何意义 fx(x0, y0)=[ f(x, y0)]x′ 是截线z=f(x, y0)在点(x0, y0)处的切线Tx 对x轴的斜率. fy(x0, y0)=[ f(x0, y)]y′ 是截线z=f(x0, y)在点(x0, y0)处的切线Ty 对y轴的斜率.
例3 设 z = xy(x > 0, x ≠1) , 求证: x ∂z + 1 ∂z =2z . 3 y ∂x ln x ∂y 证 ∂z = yx y−1 , ∂z = x y ln x . ∂y ∂x x ∂z + 1 ∂z = x yx y−1 + 1 x y ln x = x y + x y =2z . y ∂x ln x ∂y y ln x 例4 求r = x2 + y2 + z2 的偏导数. 4
偏导数的概念还可推广到二元以上的函数. 例如, 三元函数u=f(x, y, z)在点(x, y, z)处对x的偏导数定义 为
f (x+∆x, y, z)− f (x, y, z) , fx(x, y, z) = lim ∆x ∆x→0 其中(x, y, z)是函数u=f(x, y, z)的定义域的内点.
偏导数的定义及其计算法
(x2 + y2 ≠ 0) 在点O(0,0)处；
(x2 + y2 = 0)
解 根据偏导数的定义，有
f x (0,0)
=
lim
Δx → 0
f
(0
+
Δx,0) Δx
−
f
(0,0)
=
lim
Δx ⋅ 0 (Δx + 0)2 + 02
−0
Δx→0
Δx
= lim 0 Δx→0 Δx
= lim 0 = 0
Δx→0
= tan β x
α
z
Ty
Tx 曲面z = f (x,y)
L
M
0
(x0 , y0 )
平面 x=x0.y.β二、高阶偏导数
一般说来，函数f(x,y)的偏导数
zx
=
∂f
(x, ∂x
y),
zy
=
∂f
(x, y) ∂y
还是x、y的二元函数.如果这两个函数对自变量x和y
的偏导数也存在，则称这些偏导数为f(x,y)的二阶偏
其中,点(x,y,z)是函数u = f (x, y, z)的定义域的内点.
从偏导数的定义可以清楚地知道，求多元函数的 偏导数，并不需要新的方法，求多元函数对哪个自变 量的偏导数，就是将其他自变量看成常量，而将多元 函数看成一元函数去求导，因此，一元函数的求导法 则和求导公式，对多元函数的偏导数仍然适用.
f (x, y0
y)
即
⎧z =
⎨ ⎩
y
=
f (x, y0
y０)
z Tx
L
M
0
曲面z = f (x,y)
平面 y =y0
偏导数知识点公式总结
偏导数知识点公式总结一、偏导数的概念1.1 偏导数的定义偏导数是多元函数对其中一个自变量的导数。
对于一个函数 $f(x_1, x_2, ..., x_n)$，它的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ 表示在$x_i$方向上的变化率。
偏导数的定义可以表示为：$$\frac{\partial f}{\partial x_i} = \lim_{\Delta x_i \to 0} \frac{f(x_1, x_2, ..., x_i + \Delta x_i, ..., x_n) - f(x_1, x_2, ..., x_i, ..., x_n)}{\Delta x_i}$$1.2 偏导数的图示解释偏导数可以通过函数曲面的切线来解释。
对于函数 $z = f(x, y)$，在点$(x_0, y_0, z_0)$处的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}$可以理解为曲面在$x$方向的斜率，即曲面在$x$方向上的变化率。
同样地，$\frac{\partial f}{\partial y}$表示曲面在$y$方向上的变化率。
这样的解释有助于我们更直观地理解偏导数的含义。
二、偏导数的性质2.1 对称性对于二元函数 $f(x, y)$，它的偏导数满足对称性，即$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$。
这一性质表明，在计算混合偏导数时，可以不必考虑自变量的顺序。
2.2 连续性在函数的定义域内，若偏导数存在且连续，则函数规定可微。
这一性质是偏导数与函数连续性的关系，对于函数的导数性质有着重要的影响。
2.3 性质总结：和与积对于函数 $u = u(x, y)$ 和 $v = v(x, y)$，它们的偏导数具有和与积的运算法则。
偏导数的定义和计算方法
偏导数的定义和计算方法偏导数是数学中的一个概念，用于描述标量函数关于一些变量的变化率。
当需要研究多元函数时，偏导数可以帮助我们更好地理解和运用函数。
下面将介绍偏导数的定义和计算方法。
一、偏导数的定义在多元函数中， x 和 y （或更多的变量）的取值可能会相互影响，这样导致的函数变化会比较复杂。
为了深入研究这种情况下的函数特性，我们需要使用偏导数。
偏导数可以理解为，将其它变量视为常数，只从一个变量的角度来观察函数的变化率。
比如，对于一个函数 f(x,y)，f 对 x 的偏导数，记作∂f/∂x，表示当 y 固定， x 发生小量变化时， f 的变化率。
偏导数的定义如下：偏导数的计算方法就是对变量求偏导数，即把其它变量视为常数，只对一个变量进行求导。
下面我们将介绍一些具体的计算方法。
二、偏导数的计算方法1. 常数的偏导数为 0如果一个变量是常数，那么它的偏导数就为 0。
因为在求偏导数时，我们只考虑其它变量的变化对函数的影响，而常数固定不变，因此偏导数为 0。
示例：对于函数 f(x,y) = 3x + 5，∂f/∂y = 0，因为常数 5 对函数没有影响。
2. 求导法则对于多元函数，我们可以运用求导法则来求偏导数。
下面是一些求导法则：（1）加减法则：偏导数的加减顺序可以交换。
（2）乘法法则：f(x,y) = u(x,y) * v(x,y)，则有∂f/∂x = ∂u/∂x * v+ u * ∂v/∂x。
（3）除法法则：f(x,y) = u(x,y) / v(x,y)，则有（4）复合函数法则：如果 z = f(x,y)，x = g(t) 且 y = h(t)，则3. 链式法则链式法则是求导法则的一个重要应用，用于求解复合函数的偏导数。
下面是链式法则的公式：偏导数计算方法较为简单，但是需要注意的是，当变量较多时，求解偏导数可能需要耗费较多的时间和劳动。
因此，在实际问题中可以运用各种数学工具，如微积分软件等，来简化计算。
3.2 偏导数
第二节 偏导数
4. 二元函数偏导数的几何意义
f x (x0
,
y0 )
的几何意义是空间曲线
z
y
= =
f (x , y0
y) ,
在点(x0 , y0 , z0)处的切线斜率.
z
在右图中，曲线方程为 y
z = x2 sin( y) , y = −π / 2 ,
切点为(1 , -π / 2 , -1).
xy
y)
=
x2
+
y2
,
x2
+
y2
≠0,
0 ,
x2 + y2 = 0 ,
在点(0 , 0)对 x 的偏导数为
z
x
lim fx (0 , 0) =
∆x→0
f (0 + ∆x , 0) − f (0 , 0) = 0 ; ∆x
在点(0 , 0)对 y 的偏导数为
lim f y (0 , 0) =
自变量 y = 1，得到一元函数 z = x2+1，然后求此一元函
数的导数．这种解决问题的方法，在其他地方也会碰到,
因此，需要进行研究，于是产生了偏导数.
第二节 偏导数
2. 偏导数的定义
定义 设函数 z = f (x , y)在点(x0 , y0)的某一邻域内有
定义，当 y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有增量 ∆x 时，相应的
∆y→0
∆y
记作
∂z ∂f
∂y
x= x0
, ∂y
x= x0
, zy
x= x0 y= y0
,
f y (x0
,
y0 ) .
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偏导数的定义与计算方法
偏导数是数学中的一个重要概念。
它可以在多变量函数中反映出每个变量对函数的影响程度。
偏导数的计算方法和一元函数的导数有所不同，下面将详细介绍偏导数的定义、性质以及计算方法。
一、偏导数的定义
在多元函数中，每个自变量的取值都会影响函数值的大小。
因此，在计算偏导数时，需要将其他自变量看作常数，只考虑某一个自变量对函数的影响。
对于一个函数f(x1,x2,...xn)，对于自变量xi的偏导数定义为：
∂f/∂xi=lim (Δxi→0) (f(x1,x2,...,xi+Δxi,...xn)-
f(x1,x2,...,xi,...xn))/Δxi
其中，Δxi表示自变量xi的增量，是一个很小的数。
当Δxi趋近于0时，称之为f对xi的偏导数。
二、偏导数的性质
1. 偏导数存在性
对于连续的多元函数，偏导数一定存在。
但对于非连续的函数，偏导数可能不存在。
2. 二阶偏导数
如果一个函数的一阶偏导数存在，则可以进行二次偏导数的计算。
二次偏导数的计算方法和一次偏导数类似，只需要在一次偏
导数的式子中再次取偏导数即可。
3. 高阶偏导数
类似于二次偏导数，多元函数的任意阶偏导数也可以进行计算。
高阶偏导数的符号和计算方法与一阶偏导数相同。
4. 取偏导数的顺序
不同的偏导数的计算顺序有可能会影响计算结果。
例如，
f(x,y)=x^2y^2，如果先对x求偏导数，再对y求偏导数，得到的结
果为：
∂f/∂x=2xy^2，∂f/∂y=2x^2y
如果先对y求偏导数，再对x求偏导数，得到的结果为：
∂f/∂y=2xy^2，∂f/∂x=2x^2y
由于偏导数的计算顺序不同，导致结果也不同。
因此，在取偏
导数时，需要注意顺序。
三、偏导数的计算方法
1. 公式法
偏导数的计算可以使用公式法。
首先需要将待求的函数
f(x1,x2,...xn)展开为多项式形式，然后按照偏导数的定义进行计算。
例如，对于函数f(x,y)=x^2+y^2，需要求∂f/∂x和∂f/∂y。
展开为
多项式形式得：
f(x,y)=x^2+y^2
∂f/∂x=2x
∂f/∂y=2y
求解时，只需要将多项式中的自变量替换成求偏导数的自变量，然后按照偏导数的定义计算。
2. 几何法
偏导数也可以用几何法来解释。
对于函数f(x,y)，偏导数∂f/∂x
对应于x轴方向的斜率，偏导数∂f/∂y对应于y轴方向的斜率。
例如，对于函数f(x,y)=x^2+y^2，需要求∂f/∂x和∂f/∂y。
在平面
直角坐标系中，函数f(x,y)对应的图像是一个抛物面。
当x固定时，该抛物面与y轴垂直，此时y轴方向的斜率为0，因此∂f/∂y=0；
当y固定时，该抛物面与x轴垂直，此时x轴方向的斜率为0，因此∂f/∂x=0。
因此，对于这个函数，所有的一阶偏导数都为0。
以上就是偏导数的定义、性质以及计算方法的详细介绍。
偏导数是多元函数的重要概念，对于理解多元函数的性质，以及实际问题的建模有着重要意义。