初三下册数学第27章知识点抛物线的性质
《抛物线的简单几何性质》 知识清单
《抛物线的简单几何性质》知识清单一、抛物线的定义平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。
二、抛物线的标准方程1、抛物线的标准方程有四种形式：＼（y^2 ＝ 2px （p>0)＼），焦点坐标为\（（＼frac{p}｛2}， 0)＼），准线方程为\（x ＝＼frac{p}｛2}＼）。
＼（y^2 ＝－2px （p>0)＼），焦点坐标为\（（＼frac{p}｛2}， 0)＼），准线方程为\（x ＝＼frac{p}｛2}＼）。
＼（x^2 ＝ 2py （p>0)＼），焦点坐标为\（（0, ＼frac{p}｛2}）＼），准线方程为\（y ＝＼frac{p}｛2}＼）。
＼（x^2 ＝－2py （p>0)＼），焦点坐标为\（（0, ＼frac{p}｛2}）＼），准线方程为\（y ＝＼frac{p}｛2}＼）。
2、＼（p\）的几何意义：＼（p\）表示焦点到准线的距离。
三、抛物线的范围1、对于\（y^2 ＝ 2px （p>0)＼），＼（x\geq 0\），＼（y\in R\）。
2、对于\（y^2 ＝－2px （p>0)＼），＼（x\leq 0\），＼（y\inR\）。
3、对于\（x^2 ＝ 2py （p>0)＼），＼（y\geq 0\），＼（x\in R\）。
4、对于\（x^2 ＝－2py （p>0)＼），＼（y\leq 0\），＼（x\inR\）。
四、抛物线的对称性1、抛物线\（y^2 ＝ 2px （p>0)＼）关于\（x\）轴对称。
2、抛物线\（y^2 ＝－2px （p>0)＼）关于\（x\）轴对称。
3、抛物线\（x^2 ＝ 2py （p>0)＼）关于\（y\）轴对称。
4、抛物线\（x^2 ＝－2py （p>0)＼）关于\（y\）轴对称。
五、抛物线的顶点抛物线的顶点是抛物线与对称轴的交点。
初三下册数学第27章知识点抛物线的性质
初三下册数学第27章知识点抛物线的性质
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1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上;当=b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a0时，抛物线向上开口;当a0时，抛物线向下开口。
|a|越大，那么抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab0)，对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即ab0)，对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0，c)
6.抛物线与x轴交点个数
=b^2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。
=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
=b^2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点。
X的取值是虚数
(x=-bb^2-4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a) 精品小编为大家提供的初三下册数学第27章知识点大家仔细阅读了吗?最后祝同学们学习进步。
九年级数学抛物线知识点
九年级数学抛物线知识点九年级数学中，抛物线作为一个重要的数学图形，是学生们需要掌握的知识点之一。
本文将介绍抛物线的定义、性质、方程和应用等方面的知识，帮助读者对抛物线有一个全面的了解。
1. 抛物线的定义抛物线是平面解析几何中的一种曲线，其形状类似于打开的U 形。
它由一个定点（焦点）和一个定直线（准线）确定。
抛物线上的任意一点到焦点和准线的距离相等，这个距离称为焦准距离。
抛物线对称于准线，焦点到准线的垂直距离称为焦准距。
2. 抛物线的性质（1）对称性：抛物线是关于准线对称的，即抛物线上的任意点P，它到焦点F和准线的距离相等于点P'关于准线的对称点到焦点F和准线的距离。
（2）焦点和准线的关系：抛物线上的任意一点P到焦点F的距离等于P到准线的垂直距离与焦准距的一半之和。
（3）切线方程：抛物线上任意一点P(x, y)处的切线方程为y = mx + (1 - m^2) / 4a。
（4）焦距和抛物线方程的关系：焦距等于抛物线方程中二次项系数的倒数的两倍。
3. 抛物线的方程抛物线的标准方程为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数，a≠0。
根据参数a的正负和值的大小可以判断抛物线的开口方向和是否与x轴相交。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下；当抛物线与x轴有公共点时，说明抛物线与x轴相交。
4. 抛物线的应用抛物线在现实生活中有广泛的应用。
例如，抛物线可以描述物体在竖直方向上抛出的轨迹。
在地理学中，抛物线可以用来描述火箭发射的轨迹；在建筑学中，抛物线的形状被广泛运用在门窗、拱桥和照明设计等方面；在摄影学中，抛物线则被用来描述摄影机的轨迹等等。
总结：通过本文的介绍，我们了解到抛物线的定义、性质、方程和应用等方面的知识。
掌握了这些基本概念后，我们可以更好地理解抛物线在数学和现实生活中的应用，提高数学问题的解题能力。
抛物线作为数学的基础知识，深入掌握后可以推广到更高级的数学学科中，为学生们打下坚实的数学基础。
抛物线和性质知识点大全
抛物线和性质知识点大全抛物线是一种二次函数图像，具有以下性质：1. 抛物线的对称轴与其开口方向垂直，对称轴方程可以通过将抛物线标准式中的$x$ 替换为 $-c$ 求出，其中 $c$ 是抛物线的横坐标的中心值。
对称轴上的任何一点都是抛物线的最高点或最低点。
2. 抛物线的焦点是一个特殊的点，它与抛物线的开口方向和大小有关。
焦点是抛物线上所有的反射光线汇聚成的点。
计算焦点可以利用以下公式：$F=\left(\frac{1}{4a},\frac{c}{4a}\right)$，其中 $a$ 是抛物线开口处的系数，$c$ 是对称轴的水平位置。
3. 抛物线上的任何一点到对称轴的距离都等于该点到焦点的距离，这是由于抛物线的定义所决定的。
这个性质可以用来找到抛物线上的点到对称轴的距离，以及在给定焦点和直线上的点的情况下，找到抛物线方程。
5. 抛物线的 $x$ 与 $y$ 轴的交点称为抛物线的零点。
因为抛物线是一个二次函数，所以它最多有两个零点。
6. 抛物线在对称轴两侧的图像是对称的，图像的形状类似于 "U"。
7. 抛物线的开口方向可以使用其系数的正负来确定。
如果系数为正，则抛物线向上开口；如果系数为负，则抛物线向下开口。
8. 当 $a>0$ 时，抛物线开口向上，最低点（即顶点）为全局最小值，并且当 $x$ 的值趋近于正无穷大或负无穷大时，函数值也趋近于正无穷大。
当 $a<0$ 时，抛物线开口向下，最高点（即顶点）为全局最大值，并且当 $x$ 的值趋近于正无穷大或负无穷大时，函数值也趋近于负无穷大。
9. 抛物线的导数是一个一次函数，其斜率在顶点处为零。
10. 任意两个点之间的抛物线弧长可以通过积分抛物线导数的平方再开平方根的方法求出。
九年级抛物线的知识点总结
九年级抛物线的知识点总结九年级的数学课程中，抛物线是一个重要的内容。
在这篇文章中，我们将对九年级抛物线的知识点进行总结和归纳，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握这一部分内容。
以下是九年级抛物线的知识点总结。
一、抛物线的基本概念抛物线是一种特殊的曲线，由于其外形独特，被广泛应用于物理、工程等领域。
在数学中，抛物线可以由二次函数表示，其一般形式为：y = ax^2 + bx + c。
其中，a、b、c为常数，且a不为0。
抛物线的图像呈现出对称性，以顶点为中心，向两侧呈开口。
二、抛物线的性质1. 对称性：抛物线是对称的，关于纵轴对称和关于顶点的对称性。
2. 最值点：抛物线的顶点是其最值点，当a大于0时，抛物线的顶点为最小值点；当a小于0时，抛物线的顶点为最大值点。
3. 判别式：抛物线关于x的判别式Δ=b^2-4ac与抛物线的开口、开口方向有关。
当Δ大于0时，抛物线开口向上或向下；当Δ等于0时，抛物线开口向上或向下；当Δ小于0时，抛物线开口向上或向下。
4. 坐标轴交点：抛物线与x、y坐标轴交点称为抛物线的零点。
求解抛物线零点的方法包括配方法、因式分解法、求根公式等。
三、抛物线的平移和压缩通过平移和压缩，我们可以改变抛物线的位置和形状。
平移是指将抛物线在坐标平面上沿着x轴或y轴方向移动一段距离。
压缩是指将抛物线在x轴或y轴上缩放，使其变矮或变胖。
四、抛物线的应用抛物线在日常生活中具有广泛的应用。
以下是几个常见的抛物线应用案例：1. 反射：抛物线的特性使其成为反射器的理想形状，例如车头灯的灯罩和卫星天线的反射器。
2. 投射：抛物线的形状让其成为抛射物的轨迹，例如抛物线形状的跳水板和抛球动作中的轨迹。
3. 焦点效应：抛物线的焦点效应被应用于太阳能反射器和卫星接收器等领域。
综上所述，九年级抛物线的知识点主要包括抛物线的基本概念、性质、平移和压缩以及应用。
在学习抛物线时，我们应理解抛物线的基本形式和性质，同时掌握如何求解抛物线的顶点、零点等关键概念和技巧。
初三数学抛物线知识点
初三数学抛物线知识点（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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《抛物线的简单性质》 知识清单
《抛物线的简单性质》知识清单一、抛物线的定义平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。
二、抛物线的标准方程抛物线的标准方程有四种形式：1、焦点在 x 轴正半轴上，方程为$y^2 ＝ 2px （p ＞ 0)＄，焦点坐标为$（＼frac{p}｛2}， 0)＄，准线方程为$x ＝＼frac{p}｛2}＄。
2、焦点在 x 轴负半轴上，方程为$y^2 ＝－2px （p ＞ 0)＄，焦点坐标为$（＼frac{p}｛2}， 0)＄，准线方程为$x ＝＼frac{p}｛2}＄。
3、焦点在 y 轴正半轴上，方程为$x^2 ＝ 2py （p ＞ 0)＄，焦点坐标为$（0, ＼frac{p}｛2}）＄，准线方程为$y ＝＼frac{p}｛2}＄。
4、焦点在 y 轴负半轴上，方程为$x^2 ＝－2py （p ＞ 0)＄，焦点坐标为$（0, ＼frac{p}｛2}）＄，准线方程为$y ＝＼frac{p}｛2}＄。
其中，p 表示焦点到准线的距离，p 的值决定了抛物线的开口大小和形状。
三、抛物线的简单性质1、范围对于抛物线$y^2 ＝ 2px （p ＞ 0)＄，x 的取值范围是$0, ＋＼infty)＄，y 的取值范围是 R；对于抛物线$x^2 ＝ 2py （p ＞ 0)＄，y 的取值范围是$0, ＋＼infty)＄，x 的取值范围是 R。
2、对称性抛物线关于其对称轴轴对称。
例如，＄y^2 ＝ 2px （p ＞ 0)＄关于 x 轴对称，＄x^2 ＝ 2py （p ＞ 0)＄关于 y 轴对称。
3、顶点抛物线的顶点是其对称轴与抛物线的交点。
例如，＄y^2 ＝ 2px （p ＞ 0)＄的顶点是原点$（0, 0)＄。
4、离心率抛物线的离心率 e ＝ 1，这意味着抛物线上任意一点到焦点的距离与到准线的距离相等。
5、焦半径抛物线上一点到焦点的距离叫做焦半径。
抛物线知识点总结
抛物线知识点总结一、抛物线的定义抛物线是一种特殊的二次曲线，它的数学定义是平面上一点到定点和直线的距离相等，这个定点就是抛物线的焦点，直线就是抛物线的准线。
在直角坐标系中，抛物线的标准方程为：y=ax2+bx+c，其中a≠0。
二、抛物线的性质1. 焦点和准线：抛物线的焦点和准线是抛物线的两个重要属性。
焦点是定点，准线是直线，它们共同决定了抛物线的形状和特性。
2. 对称性：抛物线是关于x轴对称的。
3. 切线和法线：抛物线上的任意一点，它的切线和法线都是经过这个点，且与x轴垂直。
4. 定理一：抛物线的焦点到准线的距离等于焦点到抛物线上任意一点的距离。
5. 定理二：抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离。
6. 焦距：抛物线上所有点到焦点的距离的最小值称为抛物线的焦距。
7. 平行于准线的矩形，被含在抛物线内部并且对称。
8. 定理三：抛物线的离心率等于1。
三、抛物线的方程1. 标准方程：y=ax2+bx+c，其中a≠0。
2. 顶点坐标：抛物线的顶点坐标为（-b/2a, c-b2/4a）。
3. 焦点坐标：抛物线的焦点坐标为（-b/2a, c-b2/4a+1/4a）。
4. 焦距：抛物线的焦距为1/|4a|。
四、抛物线的应用抛物线作为一种重要的数学曲线，在各种应用中都有着广泛的应用，如物理、工程、建筑等领域。
1. 物理：在物理学中，抛物线曲线被广泛应用于描述抛体运动的轨迹。
比如，抛体在空中的飞行轨迹、抛物线发射器等都涉及到抛物线的运动规律。
2. 工程：在建筑工程和土木工程中，抛物线曲线常常被用于设计拱形结构或者桥梁的曲线轨迹。
抛物线的弧形轨迹具有良好的支撑性能和稳定性，因此在工程设计中得到了广泛应用。
3. 航天航空：在航天航空技术中，抛物线曲线也被用于设计火箭轨迹和飞行器的运动路径。
比如，抛物线曲线可以描述卫星的发射和轨道运行规律。
4. 光学：在光学中，抛物线曲线也被应用于设计反射镜和折射镜的形状。
抛物线反射镜可以将平行光线汇聚到一个焦点上，因此在光学仪器和望远镜中得到了广泛应用。
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初三下册数学第27章知识点抛物线的性质
细心的朋友会发现，老师在讲解基础内容之后，总是给我们补充一些课外例、习题，这是大有裨益的，初中频道为大家准备了初三下册数学第27章知识点，欢迎阅读与选择!
1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上;当=b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a0时，抛物线向上开口;当a0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab0)，对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即ab0)，对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0，c)
6.抛物线与x轴交点个数
=b^2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。
=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
=b^2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点。
X的取值是虚数
(x=-bb^2-4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a) 精品小编为大家提供的初三下册数学第27章知识点大家仔细阅读了吗?最后祝同学们学习进步。