中考数学抛物线及三角形面积专题复习题.doc
中考数学总复习《二次函数压轴题(面积问题)》专题训练-附含答案

中考数学总复习《二次函数压轴题(面积问题)》专题训练-附含答案学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________1.如图,在平面直角坐标系中,抛物线2y ax x c =-+与y 轴交于点()0,4A -,与x 轴交于点()4,0B ,连接AB .(1)求抛物线的解析式.(2)P 是AB 下方抛物线上的一动点,过点P 作x 轴的平行线交AB 于点C ,过点P 作PD x ⊥轴于点D .①求PC PD +的最大值.①连接PA ,PB ,是否存在点P ,使得线段PC 把PAB 的面积分成3:5两部分?若存在,请直接写出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.2.综合与探究如图1,抛物线212y x bx c =-++经过点(4,0)B 和(0,2)C ,与x 轴的另一个交点为A ,连接AC ,BC .(1)求该抛物线的解析式及点A 的坐标;(2)如图1,点D 是线段AC 的中点,连接BD .点E 是抛物线上一点,若ABE BCD S S =△△,设点E 的横坐标为x ,请求出x 的值;(3)试探究在抛物线上是否存在一点P ,使得45PBO OBC ∠+∠=︒?若存在,请直接写出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.3.如图抛物线2y ax bx c =++经过点()1,0A -,点()0,3C ,且OB OC =.(1)求抛物线的解析式及其对称轴;(2)点D 、E 是直线1x =上的两个动点,且1DE =,点D 在点E 的上方,求四边形ACDE 的周长的最小值.(3)点P 为抛物线上一点,连接CP ,直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3:5两部分,求点P 的坐标.4.已知二次函数23y ax bx a =+-经过点()1,0A -和()0,3C ,与x 轴交于另一点B ,抛物线的顶点为D .(1)求此二次函数解析式;(2)连接DC 、BC 和DB ,判断BCD △的形状并说明理由;(3)在对称轴右侧抛物线上找一点P ,使得P 、D 、C 构成以PC 为底边的等腰三角形,求出点P 的坐标及此时四边形PBCD 的面积.5.如图,抛物线214y x bx c =-++与x 轴交于点,A B 两点(点A 在点B 的右侧),点()()8,02,0A B -、,与y 轴交于点C .(1)求抛物线的解析式; (2)点D 为抛物线的顶点,过点D 作DE AC ∥交抛物线于点E ,点P 为抛物线上点,D E 之间的一动点,连接,,,,AC AE AP CE CP ,线段,AP CE 交于点G ,记CPG △的面积为1,S AEG △的面积为2S ,且12S S S =-,求S 的最大值及此时点P 的坐标;(3)在(2)的条件下,将拋物线沿射线AC 方向平移5个单位长度后得到新抛物线,点Q 是新拋物线对称轴上一动点,在平面内确定一点R ,使得以点P Q B R 、、、为顶点的四边形是矩形.直接写出所有符合条件的点R 的坐标.6.如图,有一个长为30米的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度18a =米)围成的中间隔有一道篱笆的长方形花圃设花圃的宽AB 为x 米,面积为y 平方米.(1)求y 与x 的函数关系式,并直接写出自变量x 的取值范围;(2)如何设计才能使长方形花圃面积最大;并求其最大面积.7.如图,过原点的抛物线212y x bx c =-++与x 轴的另一个交点为A ,且抛物线的对称轴为直线2x =,点B 为顶点(1)求抛物线的解析式(2)如图(1),点C 为直线OB 上方抛物线上一动点,连接AB,BC 和AC ,线段AC 交直线OB 于点E ,若CBE △的面积为1S ,ABE 的面积为2S ,求12S S 的最大值 (3)如图(2),设直线()20y kx k k =-≠与抛物线交于D ,F 两点,点D 关于直线2x =的对称点为D ,直线D F '与直线2x =交于点P ,求证:BP 的长是定值.8.抛物线2y x bx c =-++经过点A ,B ,C ,已知()1,0A -和()0,3C .(1)求抛物线的解析式及顶点E 的坐标;(2)点D 在BC 上方的抛物线上.①如图1,若CAB ABD ∠=∠,求点D 的坐标;①如图2,直线BD 交y 轴于点N ,过点B 作AD 的平行线交y 轴于点M ,当点D 运动时,求CBD AMNS S △△的最大值及此时点D 的坐标. 9.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,抛物线244y ax ax =-+交x 轴于点A 、B (A 左B右),交y 轴于点C ,直线123y x =-+,经过B 点,交y 轴于点D .(1)如图1,求a 的值;(2)如图2,点P 在第一象限内的抛物线上,过点A 、B 作x 轴的垂线,分别交直线PD 于点E 和F ,若PF DE =,求点P 的坐标;(3)如图3,在(2)的条件下,点Q 在第一象限内的抛物线上,过点Q 作QH DP ⊥于点H ,交直线BD 于点R ,连接EQ 和ER ,当QE ER =时,求ERQ △的面积.10.已知抛物线213222y x x =-++与x 轴交于B 、C 两点(点B 在点C 的左侧),与y 轴交于点A .(1)判断ABC 的形状,并说明理由.(2)设点(,)P m n 是抛物线在第一象限部分上的点,过点P 作PH x ⊥轴于H ,交AC 于点Q ,设四边形OAPC 的面积为S ,求S 关于m 的函数关系式,并求使S 最大时点P 的坐标和QHC △的面积;(3)在(2)的条件下,点N 是坐标平面内一点,抛物线的对称轴上是否存在点M ,使得以P 、C 和M 、N 为顶点的四边形是菱形,若存在,写出点M 的坐标,并选择一个点写出过程,若不存在,请说明理由.11.已知,如图,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,直线6y x =+与x 轴相交于点B ,与y 轴交于点C ,点A 是x 轴正半轴上一点,且满足2tan 3ACO ∠=.(1)若抛物线2y ax bx c =++经过A 、B 和C 三点,求抛物线的解析式;(2)若点M 是第二象限内抛物线上的一个动点,过点M 作MP y ∥轴,交BC 于点P ,连接OP ,在第一象限内找一点Q ,过点Q 作⊥OQ OP 且OQ OP =,连接PQ ,MQ ,设MPQ 的面积为S ,点P 的横坐标为t ,求S 与t 的函数关系式,并直接写出自变量的取值范围;(3)在(2)的条件下,设PQ 与y 轴相交于点R ,若53=PR PC 时,求点P 的坐标. 12.已知抛物线22y ax ax c =-+过点()10A -,和()03C ,,与x 轴交于另一点B .(1)求抛物线的解析式;(2)若抛物线的顶点为D ,在直线BC 上方抛物线上有一点P (与D 不重合),BCP 面积与BCD △面积相等,求点P 的坐标;(3)若点E 为抛物线对称轴上一点,在平面内是否存在点F ,使得以E 、F 和B 、C 为顶点的四边形是菱形,若存在,请直接写出F 点的坐标;若不存在,请说明理由.13.如图,抛物线过点()08D ,,与x 轴交于()20A -,,()40B ,两点.(1)求抛物线的解析式;(2)若点C 为二次函数的顶点,求BCD S △.14.如图,O 为平面直角坐标系坐标原点,抛物线22y ax ax c =-+经过点()6,0B ,点()0,6C 与x 轴交于另一点A .(1)求抛物线的解析式;(2)D 点为第一象限抛物线上一点,连接AD 和BD ,设点D 的横坐标为t ,ABD △的面积为S ,求S 关于t 的函数解析式(不要求写出自变量t 的取值范围);(3)在(2)的条件下,P 为第四象限抛物线上一点,连接PA 交y 轴于点E ,点F 在线段BC 上,点G 在直线AD 上,若1tan 2DAO ∠=,四边形BEFG 为菱形,求点P 的坐标. 15.已知抛物线2()20y ax x c a =++≠与x 轴交于点(1,0)A -和点B ,与直线3y x =-+交于点B 和点C ,M 为抛物线的顶点,直线ME 是抛物线的对称轴.(1)求抛物线的解析式及点M 的坐标;(2)点P 为直线BC 上方抛物线上一点,连接PB ,PC ,当PBC 的面积取最大值时,求点P 的坐标.参考答案:1.(1)2142y x x =-- (2)① PC PD +取得最大值254 ① 53,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或 316,2⎛⎫+- ⎪⎝⎭2.(1)213222y x x =-++ (1,0)-; (2)3172+或3172-或3332+或3332- (3)存在,517(,)39--或113(,)39-3.(1)故抛物线的表达式为:223y x x =-++,函数的对称轴为:1x =;(2)10113++(3)()4,5-或()8,45-4.(1)223y x x =-++(2)BCD △为直角三角形(3)点P 的坐标为()2,3,四边形PBCD 的面积为45.(1)213442y x x =-++ (2)S 的最大值为1,()4,6P(3)()7,3或()5,3-6.(1)2330S x x =-+ 410x ≤<;(2)当宽AB 为5米,长15BC =米时,长方形花圃的最大面积为75平方米.7.(1)2122y x x =-+ (2)188.(1)()1,4(2)①()2,3D ;①CBD AMN S S △△的最大值为916,此时315,24D ⎛⎫ ⎪⎝⎭9.(1)13a =- (2)()4,4P(3)1010.(1)直角三角形(2)244S m m =-++ (2,3)P 1QHC S =(3)存在,点M 坐标为3651(,)22+或3651(,)22-或333(,)22或333(,)22-或31(,)22,理由见解析11.(1)211642=--+y x x (2)()2396042S t t t =---<< (3)()()124,2,2,4P P --12.(1)223y x x =-++(2)()23P ,(3)存在,点F 的坐标为()417,或()417-,或()2314-+,或()2314--,13.(1)228y x x =-++(2)614.(1)211642y x x =-++ (2)2553042S t t =-++ (3)()8,6P -15.(1)抛物线的解析式为223y x x =-++,点M 的坐标为(1,4)(2)315,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭。
2021年九年级数学中考复习专题:二次函数综合(考察动点坐标、长度、面积等)(一)

2021年九年级数学中考复习专题:二次函数综合(考察动点坐标、长度、面积等)(一)1.如图,抛物线y=x2+bx+c过点A(3,0),B(1,0),交y轴于点C,点P是该抛物线上一动点,点P从C点沿抛物线向A点运动(点P不与A重合),过点P作PD∥y轴交直线AC于点D.(1)求抛物线的解析式;(2)求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值;(3)△APD能否构成直角三角形?若能,请直接写出所有符合条件的点P坐标;若不能,请说明理由.2.如图1,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,已知点B坐标为(3,0),点C坐标为(0,3).(1)求抛物线的表达式;(2)点P为直线BC上方抛物线上的一个动点,当△PBC的面积最大时,求点P的坐标;(3)如图2,点M为该抛物线的顶点,直线MD⊥x轴于点D,在直线MD上是否存在点N,使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.3.如图,抛物线y=ax2+bx+2交x轴于点A(﹣3,0)和点B(1,0),交y轴于点C.已知点D的坐标为(﹣1,0),点P为第二象限内抛物线上的一个动点,连接AP、PC、CD.(1)求这个抛物线的表达式.(2)当四边形ADCP面积等于4时,求点P的坐标.(3)①点M在平面内,当△CDM是以CM为斜边的等腰直角三角形时,直接写出满足条件的所有点M的坐标;②在①的条件下,点N在抛物线对称轴上,当∠MNC=45°时,直接写出满足条件的所有点N的坐标.4.如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,点A,B分别位于原点的左、右两侧,BO=3AO=3,过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C,D,BC=CD.(1)求b,c的值;(2)求直线BD的函数解析式;(3)点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方,点Q在射线BA上.当△ABD与△BPQ相似时,请直接写出所有满足条件的点Q的坐标.5.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴相交于A,B两点(点A位于点B的左侧),与y轴相交于点C,M是抛物线的顶点,直线x=1是抛物线的对称轴,且点C的坐标为(0,3).(1)求抛物线的解析式;(2)已知P为线段MB上一个动点,过点P作PD⊥x轴于点D.若PD=m,△PCD的面积为S.①求S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;②当S取得最值时,求点P的坐标.(3)在(2)的条件下,在线段MB上是否存在点P,使△PCD为等腰三角形?如果存在,请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.6.如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3),抛物线的对称轴与直线BC交于点D.(1)求抛物线的表达式;(2)在抛物线的对称轴上找一点M,使|BM﹣CM|的值最大,求出点M的坐标;(3)点E为直线BC上一动点,过点E作y轴的平行线EF,与抛物线交于点F问是否存在点E,使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似?若存在,直接写出点E的坐标.7.如图1,抛物线y=x2+bx+c交x轴于A,B两点,其中点A的坐标为(1,0),与y轴交于点C(0,﹣3).(1)求抛物线的函数解析式;(2)点D为y轴上一点,如果直线BD与直线BC的夹角为15°,求线段CD的长度;(3)如图2,连接AC,点P在抛物线上,且满足∠PAB=2∠ACO,求点P的坐标.8.已知二次函数图象过点A(﹣2,0),B(4,0),C(0,4).(1)求二次函数的解析式.(2)如图,当点P为AC的中点时,在线段PB上是否存在点M,使得∠BMC=90°?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.(3)点K在抛物线上,点D为AB的中点,直线KD与直线BC的夹角为锐角θ,且tanθ=,求点K的坐标.9.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A(0,2),与x轴交于B(﹣3,0)、C两点(点B在点C的左侧),抛物线的顶点为D.(1)求抛物线的表达式;(2)用配方法求点D的坐标;(3)点P是线段OB上的动点.①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E,若PE=PC,求点E的坐标;②在①的条件下,点F是坐标轴上的点,且点F到EA和ED的距离相等,请直接写出线段EF的长;③若点Q是射线OA上的动点,且始终满足OQ=OP,连接AP,DQ,请直接写出AP+DQ的最小值.10.如图1,已知:抛物线y=a(x+1)(x﹣3)交x轴于A,C两点,交y轴于点B,且OB =2CO.(1)求二次函数解析式;(2)在二次函数图象(如图2)位于x轴上方部分有两个动点M、N,且点N在点M的左侧,过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点,当四边形MNHG为矩形时,求该矩形周长的最大值;(3)抛物线对称轴上是否存在点P,使得△ABP为直角三角形?若存在,请直接写出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.参考答案1.解:(1)∵抛物线y=x2+bx+c过点A(3,0),B(1,0),∴,解得,∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3;(2)令x=0,则y=3,∴点C(0,3),则直线AC的解析式为y=﹣x+3,设点P(x,x2﹣4x+3),∵PD∥y轴,∴点D(x,﹣x+3),∴PD=(﹣x+3)﹣(x2﹣4x+3)=﹣x2+3x=﹣(x﹣)2+,∵a=﹣1<0,∴当x=时,线段PD的长度有最大值;(3)①∠APD是直角时,点P与点B重合,此时,点P(1,0),②∵y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,∴抛物线的顶点坐标为(2,﹣1),∵A(3,0),∴点P为在抛物线顶点时,∠PAD=45°+45°=90°,此时,点P(2,﹣1),综上所述,点P(1,0)或(2,﹣1)时,△APD能构成直角三角形.2.解:(1)∵点B(3,0),点C(0,3)在抛物线y=﹣x2+bx+c图象上,∴,解得:,∴抛物线解析式为:y=﹣x2+2x+3;(2)∵点B(3,0),点C(0,3),∴直线BC解析式为:y=﹣x+3,如图,过点P作PH⊥x轴于H,交BC于点G,设点P(m,﹣m2+2m+3),则点G(m,﹣m+3),∴PG=(﹣m2+2m+3)﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m,=×PG×OB=×3×(﹣m2+3m)=﹣(m﹣)2+,∵S△PBC有最大值,∴当m=时,S△PBC∴点P(,);(3)存在N满足条件,理由如下:∵抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点,∴点A(﹣1,0),∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,∴顶点M为(1,4),∵点M为(1,4),点C(0,3),∴直线MC的解析式为:y=x+3,如图,设直线MC与x轴交于点E,过点N作NQ⊥MC于Q,∴DE=4=MD,∴∠NMQ=45°,∵NQ⊥MC,∴∠NMQ=∠MNQ=45°,∴MQ=NQ,∴MQ=NQ=MN,设点N(1,n),∵点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离,∴NQ=AN,∴NQ2=AN2,∴(MN)2=AN2,∴(|4﹣n|)2=4+n2,∴n2+8n﹣8=0,∴n=﹣4±2,∴存在点N满足要求,点N坐标为(1,﹣4+2)或(1,﹣4﹣2).3.解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+2交x轴于点A(﹣3,0)和点B(1,0),∴抛物线的表达式为:y=a(x+3)(x﹣1)=a(x2+2x﹣3)=ax2+2ax﹣3a,即﹣3a=2,解得:a=﹣,故抛物线的表达式为:y=﹣x2﹣x+2;(2)连接OP,设点P(x,﹣x2﹣x+2),∵抛物线y=﹣x2﹣x+2交y轴于点C,∵S =S 四边形ADCP =S △APO +S △CPO ﹣S △ODC =×AO ×y P +×OC ×|x P |﹣×CO ×OD =4,∴×3×(﹣x 2﹣x +2)+×2×(﹣x )﹣×1×2=4,∴x 1=﹣1,x 2=﹣2, ∴点P (﹣1,)或(﹣2,2);(3)①如图2,若点M 在CD 左侧,连接AM ,∵∠MDC =90°,∴∠MDA +∠CDO =90°,且∠CDO +∠DCO =90°, ∴∠MDA =∠DCO ,且AD =CO =2,MD =CD , ∴△MAD ≌△DOC (SAS )∴AM =DO ,∠MAD =∠DOC =90°, ∴点M 坐标(﹣3,1),若点M 在CD 右侧,同理可求点M '(1,﹣1); ②如图3,∵抛物线的表达式为:y =﹣x 2﹣x +2=﹣(x +1)2+;∴对称轴为:直线x =﹣1,∴点D在对称轴上,∵MD=CD=M'D,∠MDC=∠M'DC=90°,∴点D是MM'的中点,∵∠MCD=∠M'CD=45°,∴∠MCM'=90°,∴点M,点C,点M'在以MM'为直径的圆上,当点N在以MM'为直径的圆上时,∠M'NC=∠M'MC=45°,符合题意,∵点C(0,2),点D(﹣1,0)∴DC=,∴DN=DN'=,且点N在抛物线对称轴上,∴点N(﹣1,),点N'(﹣1,﹣)延长M'C交对称轴与N'',∵点M'(1,﹣1),点C(0,2),∴直线M'C解析式为:y=﹣3x+2,∴当x=﹣1时,y=5,∴点N''的坐标(﹣1,5),∵点N''的坐标(﹣1,5),点M'(1,﹣1),点C(0,2),∴N''C==M'C,且∠MCM'=90°,∴MM'=MN'',∴∠MM'C=∠MN''C=45°∴点N''(﹣1,5)符合题意,综上所述:点N的坐标为:(﹣1,)或(﹣1,﹣)或(﹣1,5).4.解:(1)∵BO=3AO=3,∴点B(3,0),点A(﹣1,0),∴抛物线解析式为:y=(x+1)(x﹣3)=x2﹣x﹣,∴b=﹣,c=﹣;(2)如图1,过点D作DE⊥AB于E,∴CO∥DE,∴,∵BC=CD,BO=3,∴=,∴OE=,∴点D横坐标为﹣,∴点D坐标为(﹣,+1),设直线BD的函数解析式为:y=kx+b,由题意可得:,解得:,∴直线BD的函数解析式为y=﹣x+;(3)∵点B(3,0),点A(﹣1,0),点D(﹣,+1),∴AB=4,AD=2,BD=2+2,对称轴为直线x=1,∵直线BD:y=﹣x+与y轴交于点C,∴点C(0,),∴OC=,∵tan∠CBO==,∴∠CBO=30°,如图2,过点A作AK⊥BD于K,∴AK=AB=2,∴DK===2,∴DK=AK,∴∠ADB=45°,如图,设对称轴与x轴的交点为N,即点N(1,0),若∠CBO=∠PBO=30°,∴BN=PN=2,BP=2PN,∴PN=,BP=,当△BAD∽△BPQ,∴,∴BQ==2+,∴点Q(1﹣,0);当△BAD∽△BQP,∴,∴BQ==4﹣,∴点Q(﹣1+,0);若∠PBO=∠ADB=45°,∴BN=PN=2,BP=BN=2,当△DAB∽△BPQ,∴,∴,∴BQ=2+2∴点Q(1﹣2,0);当△BAD∽△PQB,∴,∴BQ==2﹣2,∴点Q(5﹣2,0);综上所述:满足条件的点Q的坐标为(1﹣,0)或(﹣1+,0)或(1﹣2,0)或(5﹣2,0).5.解:(1)∵直线x=1是抛物线的对称轴,且点C的坐标为(0,3),∴c=3,﹣=1,∴b=2,∴抛物线的解析式为:y=﹣x2+2x+3;(2)①∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,∴点M(1,4),∵抛物线的解析式为:y=﹣x2+2x+3与x轴相交于A,B两点(点A位于点B的左侧),∴0=﹣x2+2x+3∴x1=3,x2=﹣1,∴点A(﹣1,0),点B(3,0),∵点M(1,4),点B(3,0)∴直线BM解析式为y=﹣2x+6,∵点P在直线BM上,且PD⊥x轴于点D,PD=m,∴点P(3﹣,m),∴S△PCD=×PD×OD=m×(3﹣)=﹣m2+m,∵点P在线段BM上,且点M(1,4),点B(3,0),∴0<m≤4∴S与m之间的函数关系式为S=﹣m2+m(0<m≤4)②∵S=﹣m2+m=﹣(m﹣3)2+,∴当m=3时,S有最大值为,∴点P(,3)∵0<m≤4时,S没有最小值,综上所述:当m=3时,S有最大值为,此时点P(,3);(3)存在,若PC=PD=m时,∵PD=m,点P(3﹣,m),点C(0,3),∴(3﹣﹣0)2+(m﹣3)2=m2,∴m1=18+6(舍去),m2=18﹣6,∴点P(﹣6+3,18﹣6);若DC=PD=m时,∴(3﹣﹣0)2+(﹣3)2=m2,∴m3=﹣2﹣2(舍去),m4=﹣2+2,∴点P(4﹣,﹣2+2);若DC=PC时,∴(3﹣﹣0)2+(m﹣3)2=(3﹣﹣0)2+(﹣3)2,∴m5=0(舍去),m6=6(舍去)综上所述:当点P的坐标为:(﹣6+3,18﹣6)或(4﹣,﹣2+2)时,使△PCD为等腰三角形.6.解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(1,0)、B(3,0)、C(0,3),∴,解得,∴抛物线的表达式为y=x2﹣4x+3;(2)∵抛物线对称轴是线段AB的垂直平分线,∴AM=BM,由三角形的三边关系,|BM﹣CM|=|AM﹣CM|<AC,∴点A、C、M三点共线时,|BM﹣CM|最大,设直线AC的解析式为y=mx+n,则,解得,∴直线AC的解析式为y=﹣3x+3,又∵抛物线对称轴为直线x=﹣=2,∴x=2时,y=﹣3×2+3=﹣3,故,点M的坐标为(2,﹣3);(3))∵OB=OC=3,OB⊥OC,∴△BOC是等腰直角三角形,∵EF∥y轴,直线BC的解析式为y=﹣x+3,∴△DEF只要是直角三角形即可与△BOC相似,∵D(2,1),A(1,0),B(3,0),∴点D垂直平分AB且到点AB的距离等于AB,∴△ABD是等腰直角三角形,∴∠ADB =90°,如图,①点F 是直角顶点时,点F 的纵坐标与点D 的纵坐标相同,是1,∴x 2﹣4x +3=1,整理得x 2﹣4x +2=0,解得x =2±, 当x =2﹣时,y =﹣(2﹣)+3=1+, 当x =2+时,y =﹣(2+)+3=1﹣, ∴点E 1(2﹣,1+)E 2(2+,1﹣), ②点D 是直角顶点时,易求直线AD 的解析式为y =x ﹣1,联立,解得,,当x =1时,y =﹣1+3=2,当x =4时,y =﹣4+3=﹣1,∴点E 3(1,2),E 4(4,﹣1),综上所述,存在点E 1(2﹣,1+)或E 2(2+,1﹣)或E 3(1,2)或E 4(4,﹣1),使以D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCO 相似.7.解:(1)∵抛物线y =x 2+bx +c 交x 轴于点A (1,0),与y 轴交于点C (0,﹣3),∴,解得:,∴抛物线解析式为:y=x2+2x﹣3;(2)∵抛物线y=x2+2x﹣3与x轴于A,B两点,∴点B(﹣3,0),∵点B(﹣3,0),点C(0,﹣3),∴OB=OC=3,∴∠OBC=∠OCB=45°,如图1,当点D在点C上方时,∵∠DBC=15°,∴∠OBD=30°,∴tan∠DBO==,∴OD=×3=,∴CD=3﹣;若点D在点C下方时,∵∠DBC=15°,∴∠OBD=60°,∴tan∠DBO==,∴OD=3,∴DC=3﹣3,综上所述:线段CD的长度为3﹣或3﹣3;(3)如图2,在BO上截取OE=OA,连接CE,过点E作EF⊥AC,∵点A(1,0),点C(0,﹣3),∴OA=1,OC=3,∴AC===,∵OE=OA,∠COE=∠COA=90°,OC=OC,∴△OCE≌△OCA(SAS),∴∠ACO=∠ECO,CE=AC=,∴∠ECA=2∠ACO,∵∠PAB=2∠ACO,∴∠PAB=∠ECA,=AE×OC=AC×EF,∵S△AEC∴EF==,∴CF===,∴tan∠ECA==,如图2,当点P在AB的下方时,设AP与y轴交于点N,∵∠PAB=∠ECA,∴tan∠ECA=tan∠PAB==,∴ON=,∴点N(0,﹣),又∵点A(1,0),∴直线AP解析式为:y=x﹣,联立方程组得:,解得:或,∴点P坐标为:(﹣,﹣),当点P在AB的上方时,同理可求直线AP解析式为:y=﹣x+,联立方程组得:,解得:或,∴点P坐标为:(﹣,),综上所述:点P的坐标为(﹣,),(﹣,﹣).8.解:(1)∵二次函数图象过点B(4,0),点A(﹣2,0),∴设二次函数的解析式为y=a(x+2)(x﹣4),∵二次函数图象过点C(0,4),∴4=a(0+2)(0﹣4),∴a=﹣,∴二次函数的解析式为y=﹣(x+2)(x﹣4)=﹣x2+x+4;(2)存在,理由如下:如图1,取BC中点Q,连接MQ,∵点A(﹣2,0),B(4,0),C(0,4),点P是AC中点,点Q是BC中点,∴P(﹣1,2),点Q(2,2),BC==4,设直线BP解析式为:y=kx+b,由题意可得:,解得:∴直线BP的解析式为:y=﹣x+,∵∠BMC=90°∴点M在以BC为直径的圆上,∴设点M(c,﹣c+),∵点Q是Rt△BCM的中点,∴MQ=BC=2,∴MQ2=8,∴(c﹣2)2+(﹣c+﹣2)2=8,∴c=4或﹣,当c=4时,点B,点M重合,即c=4,不合题意舍去,∴c=﹣,则点M坐标(﹣,),故线段PB上存在点M(﹣,),使得∠BMC=90°;(3)如图2,过点D作DE⊥BC于点E,设直线DK与BC交于点N,∵点A(﹣2,0),B(4,0),C(0,4),点D是AB中点,∴点D(1,0),OB=OC=4,AB=6,BD=3,∴∠OBC=45°,∵DE⊥BC,∴∠EDB=∠EBD=45°,∴DE=BE==,∵点B(4,0),C(0,4),∴直线BC解析式为:y=﹣x+4,设点E(n,﹣n+4),∴﹣n+4=,∴n=,∴点E(,),在Rt△DNE中,NE===,①若DK与射线EC交于点N(m,4﹣m),∵NE=BN﹣BE,∴=(4﹣m)﹣,∴m=,∴点N(,),∴直线DK解析式为:y=4x﹣4,联立方程组可得:,解得:或,∴点K坐标为(2,4)或(﹣8,﹣36);②若DK与射线EB交于N(m,4﹣m),∵NE=BE﹣BN,∴=﹣(4﹣m),∴m=,∴点N(,),∴直线DK解析式为:y=x﹣,联立方程组可得:,解得:或,∴点K坐标为(,)或(,),综上所述:点K的坐标为(2,4)或(﹣8,﹣36)或(,)或(,).9.解:(1)∵抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A(0,2),与x轴交于B(﹣3,0),∴∴∴抛物线解析式为:y=x2﹣x+2;(2)∵y=x2﹣x+2=﹣(x+1)2+,∴顶点D坐标(﹣1,);(3)①∵抛物线y=x2﹣x+2与x轴交于B(﹣3,0)、C两点,∴点C(1,0)设点E(m,m2﹣m+2),则点P(m,0),∵PE=PC,∴m2﹣m+2=1﹣m,∴m=1(舍去),m=﹣,∴点E(﹣,)②如图,连接AE交对称轴于点N,连接DE,作EH⊥DN于H,交y轴于点F,∵点A(0,2),点E(﹣,),∴直线AE解析式为y=﹣x+2,∴点N坐标(﹣1,)∴DH==,HN==,∴DH=NH,且EH⊥DN,∴∠DEH=∠NEH,∴点F到AE,DE的距离相等,∴DN∥y轴,EH⊥DN,∴EH⊥y轴,∴EF=;③在x轴正半轴取点H,使OH=OA=2,∵OH=OA,∠AOP=∠QOH=90°,OP=OQ,∴△AOP≌△HOQ(SAS)∴AP=QH,∴AP+DQ=DQ+QH≥DH,∴点Q在DH上时,DQ+AP有最小值,最小值为DH的长,∴AP+DQ的最小值==.10.解:(1)对于抛物线y=a(x+1)(x﹣3),令y=0,得到a(x+1)(x﹣3)=0,解得x=﹣1或3,∴C(﹣1,0),A(3,0),∴OC=1,∵OB=2OC=2,∴B(0,2),把B(0,2)代入y=a(x+1)(x﹣3)中得:2=﹣3a,a=﹣∴二次函数解析式为=;(2)设点M的坐标为(m,),则点N的坐标为(2﹣m,),MN=m﹣2+m=2m﹣2,GM=矩形MNHG的周长C=2MN+2GM=2(2m﹣2)+2()==∴当时,C有最大值,最大值为;(3)∵A(3,0),B(0,2),∴OA=3,OB=2,由对称得:抛物线的对称轴是:x=1,∴AE=3﹣1=2,设抛物线的对称轴与x轴相交于点E,当△ABP为直角三角形时,存在以下三种情况:①如图1,当∠BAP=90°时,点P在AB的下方,∵∠PAE+∠BAO=∠BAO+∠ABO=90°,∴∠PAE=∠ABO,∵∠AOB=∠AEP,∴△ABO∽△PAE,∴,即,∴PE=3,∴P(1,﹣3);②如图2,当∠PBA=90°时,点P在AB的上方,过P作PF⊥y轴于F,同理得:△PFB∽△BOA,∴,即,∴BF=,∴OF=2+=,∴P(1,);③如图3,以AB为直径作圆与对称轴交于P1、P2,则∠AP1B=∠AP2B=90°,设P1(1,y),∵AB2=22+32=13,由勾股定理得:AB2=P1B2+P1A2,∴12+(y﹣2)2+(3﹣1)2+y2=13,解得:y=1±,∴P(1,1+)或(1,1﹣),综上所述,点P的坐标为(1,﹣3)或(1,)或(1,1+)或(1,1﹣)。
备考2023年中考数学一轮复习-图形的性质_三角形_三角形的面积-综合题专训及答案

备考2023年中考数学一轮复习-图形的性质_三角形_三角形的面积-综合题专训及答案三角形的面积综合题专训1、(2018赤峰.中考真卷) 阅读下列材料:如图1.在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,可以得到:证明:过点A作AD⊥B C,垂足为D.在Rt△ABD中,∴∴同理:∴(1)通过上述材料证明:(2)运用(1)中的结论解决问题:如图2,在中,,求AC的长度.(3)如图3,为了开发公路旁的城市荒地,测量人员选择A、B、C三个测量点,在B点测得A在北偏东75°方向上,沿笔直公路向正东方向行驶18km到达C点,测得A在北偏西45°方向上,根据以上信息,求A、B、C三点围成的三角形的面积.(本题参考数值:sin15°≈0.3,sin120°≈0.9,≈1.4,结果取整数)2、(2019长春.中考真卷) 图①、图②、图③均是6×6的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,小正方形的边长为1,点A、B、C、D、E、F均在格点上。
在图①、图②、图③中,只用无刻度的直尺,在给定的网格中按要求画图,所画图形的顶点均在格点上,不要求写出画法。
(1)在图①中以线段AB为边画一个△ABM,使其面积为6。
(2)在图②中以线段CD为边画一个△CDN,使其面积为6。
(3)在图③中以线段EF为边画一个四边形EFGH,使其面积为9,且∠EFG=90° 3、(2018连云港.中考真卷) 在数学兴趣小组活动中,小亮进行数学探究活动,△ABC是边长为2的等边三角形,E是AC上一点,小亮以BE为边向BE的右侧作等边三角形BEF,连接CF.(1)如图1,当点E在线段AC上时,EF、BC相交于点D,小亮发现有两个三角形全等,请你找出来,并证明;(2)当点E在线段AC上运动时,点F也随着运动,若四边形ABFC的面积为,求AE的长;(3)如图2,当点E在AC的延长线上运动时,CF、BE相交于点D,请你探求△ECD的面积S1与△DBF的面积S2之间的数量关系,并说明理由;(4)如图2,当△ECD的面积S1=时,求AE的长.4、(2019灌南.中考模拟) 正方形ABCD的边长为1,点O是BC边上的一个动点(与B,C不重合),以O为顶点在BC所在直线的上方作∠MON=90°(1)当OM经过点A时,①请直接填空:ON(可能,不可能)过D点:(图1仅供分析)②如图2,在ON上截取OE=OA,过E点作EF垂直于直线BC,垂足为点F,作EH⊥CD 于H,求证:四边形EFCH为正方形;③如图2,将②中的已知与结论互换,即在ON上取点E(E点在正方形ABCD外部),过E点作EF垂直于直线BC,垂足为点F,作EH⊥CD于H,若四边形EFCH 为正方形,那么OE与OA是否相等?请说明理由;(2)当点O在射线BC上且OM不过点A时,设OM交边AB于G,且OG=2.在ON上存在点P,过P点作PK垂直于直线BC,垂足为点K,使得S△PKO = S△OBG,连接GP,则当BO为何值时,四边形PKBG的面积最大?最大面积为多少?5、(2019.中考模拟) 如图,已知AD是△ABC的中线,∠ADC=45°,把△ADC沿AD 对折,点C落在点E的位置,连接BE,若BC=6cm.(1)求BE的长;(2)当AD=4cm时,求四边形BDAE的面积.6、(2018嘉兴.中考模拟) 如图,已知一次函数y=x﹣2与反比例函数y= 的图象交于A、B两点.(1)求A、B两点的坐标;(2)观察图象,直接写出一次函数值小于反比例函数值的x的取值范围;(3)坐标原点为O,求△AOB的面积.7、(2019河南.中考模拟) 如图,抛物线y=ax2+bx+6过点A(6,0),B(4,6),与y 轴交于点C.(1)求该抛物线的解析式;(2)如图1,直线l的解析式为y=x,抛物线的对称轴与线段BC交于点P,过点P作直线l的垂线,垂足为点H,连接OP,求△OPH的面积;(3)把图1中的直线y=x向下平移4个单位长度得到直线y=x-4,如图2,直线y=x-4与x轴交于点G.点P是四边形ABCO边上的一点,过点P分别作x轴、直线l的垂线,垂足分别为点E,F.是否存在点P,使得以P,E,F为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.8、(2017揭西.中考模拟) 在矩形ABCD中,AB=4cm,AD=6cm,延长AB到E,使BE=2AB,连接CE,动点F从A出发以2cm/s的速度沿AE方向向点E运动,动点G从E点出发,以3cm/s的速度沿E→C→D方向向点D运动,两个动点同时出发,当其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止,设动点运动的时间为t秒.(1)当t为何值时,FC与EG互相平分;(2)连接FG,当t<时,是否存在时间t使△EFG与△EBC相似?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.(3)设△EFG的面积为y,求出y与t的函数关系式,求当t为何值时,y有最大值?最大值是多少?9、(2019汇川.中考模拟) 如图,在中,,,点在上,经过点的与相切于点,交于点.(1)求证:平分;(2)若,求图中阴影部分的面积(结果保留).10、(2019顺城.中考模拟) 如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx﹣与y轴交于点C,与x轴交于点A(﹣1,0),B(3,0).(1)求这个抛物线的解析式;(2)将△AOC以每秒一个单位的速度沿x轴向右平移,平移时间为t秒,平移后的△A′O′C′与△BOC重叠部分的面积为S,A与B重合时停止平移,求S与t的函数关系式;(3)点P在x轴上,连接CP,点B关于直线CP的对称点为B′,若点B′落在这个抛物线的对称轴上,请直接写出所有符合条件的点P的坐标.11、(2019德惠.中考模拟) 等腰Rt△ACB,∠ACB=90°,AC=BC,点A、C分别在x 轴、y轴的正半轴上.(1)如图1,求证:∠BCO=∠CAO(2)如图2,若OA=5,OC=2,求B点的坐标=18.分别以AC、(3)如图3,点C(0,3),Q、A两点均在x轴上,且S△CQACQ为腰在第一、第二象限作等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM,连接MN交y轴于P 点,OP的长度是否发生改变?若不变,求出OP的值;若变化,求OP的取值范围.12、(2020新泰.中考模拟) 如图1,抛物线y=﹣[(x﹣2)2+n]与x轴交于点A (m﹣2,0)和B(2m+3,0)(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连结BC.(1)求m、n的值;(2)如图2,点N为抛物线上的一动点,且位于直线BC上方,连接CN、BN.求△NBC面积的最大值;(3)如图3,点M、P分别为线段BC和线段OB上的动点,连接PM、PC,是否存在这样的点P,使△PCM为等腰三角形,△PMB为直角三角形同时成立?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.13、(2019平邑.中考模拟) 如图1,在平面直角坐标系中,直线与抛物线交于两点,其中, .该抛物线与轴交于点,与轴交于另一点.(1)求的值及该抛物线的解析式;(2)如图2.若点为线段上的一动点(不与重合).分别以、为斜边,在直线的同侧作等腰直角△ 和等腰直角△ ,连接,试确定△ 面积最大时点的坐标.(3)如图3.连接、,在线段上是否存在点,使得以为顶点的三角形与△ 相似,若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.14、(2020南充.中考真卷) 如图,边长为1的正方形ABCD中,点K在AD上,连接BK,过点A,C作BK的垂线,垂足分别为M,N,点O是正方形ABCD的中心,连接OM,ON.(1)求证:AM=BN;(2)请判断△OMN的形状,并说明理由;(3)若点K在线段AD上运动(不包括端点),设AK=x,△OMN的面积为y,求y关于x的函数关系式(写出x的范围);若点K在射线AD上运动,且△OMN的面积为,请直接写出AK长.15、(2020吉林.中考真卷) 如图,是等边三角形,,动点P从点A出发,以的速度沿向点B匀速运动,过点P作,交折线于点Q,以为边作等边三角形,使点A,D在异侧.设点P的运动时间为,与重叠部分图形的面积为.(1)的长为________ (用含的代数式表示).(2)当点D落在边上时,求x的值.(3)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围.三角形的面积综合题答案1.答案:2.答案:3.答案:4.答案:5.答案:6.答案:7.答案:8.答案:9.答案:10.答案:11.答案:12.答案:13.答案:14.答案:15.答案:。
2019中考数学压轴题分类复习之抛物线与三角形的综合问题

2019中考数学压轴题分类复习之抛物线与三角形的综合问题例题1:如图1,对称轴为直线x=的抛物线经过B(2,0)、C(0,4)两点,抛物线与x轴的另一交点为A(1)求抛物线的解析式;(2)若点P为第一象限内抛物线上的一点,设四边形COBP的面积为S,求S的最大值;(3)如图2,若M是线段BC上一动点,在x轴是否存在这样的点Q,使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.分析:(1)由对称轴的对称性得出点A的坐标,由待定系数法求出抛物线的解析式;(2)作辅助线把四边形COBP分成梯形和直角三角形,表示出面积S,化简后是一个关于S的二次函数,求最值即可;(3)画出符合条件的Q点,只有一种,①利用平行相似得对应高的比和对应边的比相等列比例式;②在直角△OCQ和直角△CQM利用勾股定理列方程;两方程式组成方程组求解并取舍.解:(1)由对称性得:A(﹣1,0),设抛物线的解析式为:y=a(x+1)(x﹣2),把C(0,4)代入:4=﹣2a,a=﹣2,∴y=﹣2(x+1)(x﹣2),∴抛物线的解析式为:y=﹣2x2+2x+4;(2)如图1,设点P(m,﹣2m2+2m+4),过P作PD⊥x轴,垂足为D,∴S=S梯形+S△PDB=m(﹣2m2+2m+4+4)+(﹣2m2+2m+4)(2﹣m),S=﹣2m2+4m+4=﹣2(m﹣1)2+6,∵﹣2<0,∴S有最大值,则S大=6;(3)如图2,存在这样的点Q,使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形,理由是:设直线BC的解析式为:y=kx+b,把B(2,0)、C(0,4)代入得:,解得:,∴直线BC的解析式为:y=﹣2x+4,设M(a,﹣2a+4),过A作AE⊥BC,垂足为E,则AE的解析式为:y=x+,则直线BC与直线AE的交点E(1.4,1.2),设Q(﹣x,0)(x>0),∵AE∥QM,∴△ABE∽△QBM,∴①,由勾股定理得:x2+42=2×[a2+(﹣2a+4﹣4)2]②,由①②得:a1=4(舍),a2=,当a=时,x=,∴Q(﹣,0).同步练习:1.如图,已知二次函数y=﹣x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点A(3,1),点C(0,4),顶点为点M,过点A作AB∥x轴,交y轴于点D,交该二次函数图象于点B,连结BC.(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标;(2)若将该二次函数图象向下平移m(m>0)个单位,使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部(不包括△ABC的边界),求m的取值范围;(3)点P是直线AC上的动点,若点P,点C,点M所构成的三角形与△BCD相似,请直接写出所有点P的坐标(直接写出结果,不必写解答过程).。
最新九年级中考数学复习:二次函数综合题(特殊三角形问题)

2023年九年级中考数学复习:二次函数综合题(特殊三角形问题)1.抛物线y=ax2+c交x轴于A、B(1,0)两点,且经过(2,3).(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,直线y=kx+3交y轴于点G,交抛物线y=ax2+c于点E和F,F在y轴右侧,若△GOF的面积为△GOE面积的2倍,求k值;(3)如图2,点P是第二象限的动点,分别连接P A、PB,并延长交直线y=-2于M、N 两点. 若M、N两点的横坐标分别为m、n,试探究m、n之间的数量关系.2.如图,已知抛物线2=++与直线y=0.5x+3相交于A,B两点,交△轴于C,0.5y x bx cD两点,连接AC,BC,已知A(0,3),C(-3,0).(1)求抛物线的表达式;(2)在抛物线对称轴l上找一点M,使|MB一MD|的值最大,并求出这个最大值;(3)点P为y轴右侧抛物线上的一动点,连接P A,过点P作PQ△P A交y轴于点Q,是否存在点P,使得以A,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.3.如图,抛物线与x轴交于A和B两点(点B位于点A右侧),与y轴交于点C,对称轴是直线x=2,且OA=1,OC=3,连接AC,BC.(1)求此抛物线的函数解析式;(2)设抛物线的顶点为点P,请在x轴上找到一个点D,使以点P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似?(3)此抛物线的对称轴和以AC为直径的圆是什么位置关系?如果是相切或相交,请直接写出切点或交点的坐标(不必写演推过程);如果是相离,请简要说明理由.4.如图1,已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴分别交于A(−3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点,连接AD、CD、AC、BC.(1)请直接写出抛物线的表达式及顶点D的坐标;(2)求证:△ACD是直角三角形;(3)判断△ACB和△OAD的数量关系,并说明理由;(4)如图2,点F是线段AD上一个动点,以A,F,O为顶点的三角形是否与△ABC相似?若相似,请直接写出点F的坐标;若不相似,请说明理由.5.抛物线y=ax2﹣2x+c经过点A(3,0),点C(0,﹣3),直线y=﹣x+b经过点A,交抛物线于点E.抛物线的对称轴交AE于点B,交x轴于点D,交直线AC于点F.(1)求抛物线的解析式;(2)如图△,点P 为直线AC 下方抛物线上的点,连接P A ,PC ,△BAF 的面积记为S 1,△P AC 的面积记为S 2,当S 2=38S 1时.求点P 的横坐标;(3)如图△,连接CD ,点Q 为平面内直线AE 下方的点,以点Q ,A ,E 为顶点的三角形与△CDF 相似时(AE 与CD 不是对应边),请直接写出符合条件的点Q 的坐标. 6.如图,抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于点()1,0A 、()3,0B ,与y 轴交于点C ,联结AC 、BC .(1)求该抛物线的表达式及顶点D 的坐标;(2)如果点P 在抛物线上,CB 平分ACP ∠,求点P 的坐标:(3)如果点Q 在抛物线的对称轴上,DBQ 与ABC 相似.求点Q 的坐标.7.如图1,已知二次函数y =ax2+bx +c (a ≠0)的图象与x 轴交于A (﹣1,0),B (3,0)两点,与y 轴交于点C (0,﹣2),顶点为D ,对称轴交x 轴于点E .(1)求该二次函数的解析式;(2)设M 为该抛物线上直线BC 下方一点,过点M 作x 轴的垂线,交线段BC 于点N ,线段MN 是否存在最大值?若存在,请求出其最大值;若不存在,请说明理由;(3)连接CE (如图2),设点P 是位于对称轴右侧该抛物线上一点,过点P 作PQ △x 轴,垂足为Q .连接PE ,请求出当△PQE 与△COE 相似时点P 的横坐标.8.如图,直线y kx b =+与x 轴、y 轴分别交于A ,B 两点,抛物线2y ax bx c =++经过A ,B 两点,点C 的坐标为()1,0-,3AO CO ==,点C 关于点B 的对称点M 刚好落在抛物线上,连接AM .(1)求点M 的坐标;(2)求抛物线的解析式;(3)过点M 作MD 平行于y 轴交AB 于点D ,若点E 为抛物线上的一点,点F 在x 轴上,连接AE ,AF ,EF .是否存在点F 使得△ADM 与△AEF 相似?若存在,请直接写出点F 的坐标;若不存在,请说明理由.9.如图1,已知在平面直角坐标系xOy 中,四边形OABC 是边长为3的正方形,其中顶点A ,C 分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上,抛物线2y x bx c =-++经过A ,C 两点,与x 轴交于另一个点D .(1)△求点A ,B ,C 的坐标;△求b ,c 的值.(2)若点P 是边BC 上的一个动点,连结AP ,过点P 作PM △AP ,交y 轴于点M (如图2所示).当点P 在BC 上运动时,点M 也随之运动.设BP =m ,CM =n ,试用含m 的代数式表示n ,并求出n 的最大值.10.平面直角坐标系中,已知抛物线1C :()21y x m x m =-++-(m 为常数)与x 轴交于点A ,B 两点(点A 在点B 左边),与y 轴交于点C .(1)若4m =,求点A ,B ,C 的坐标;(2)如图1,在(1)的条件下,D 为抛物线x 轴上方一点,连接BD ,若90DBA ACB ∠∠+=︒,求点D 的坐标;(3)如图2,将抛物线1C 向左平移n 个单位长度(0n >)与直线AC 交于M ,N (点M 在点N 右边),若2AM CN =,求m ,n 之间的数量关系.11.如图,直线y x n =-+与x 轴交于点()3,0A ,与y 轴交于点B ,抛物线2y x bx c =-++经过点A ,B .(1)求n 的值及抛物线的解析式;(2)(),0E m 为x 轴上一动点,过点E 作ED x ⊥轴,交直线AB 于点D ,交抛物线于点P ,连接BP .△点E 在线段OA 上运动,若BPD △与ADE 相似,求点E 的坐标;△若抛物线的顶点为Q ,AQ 与CB 的延长线交于点H ,点E 在x 轴的正半轴上运动,若PBD CBO H ∠+∠=∠.请求写出m 的值.12.如图1,平面直角坐标系xOy 中,直线y =-12x -2与x 轴交于点A ,与y 轴交于点C .抛物线y =14x 2+bx +c 经过点A 、点C ,且与x 轴交于另一点B ,连接BC .(1)求抛物线的解析式;(2)点P 是抛物线上一动点.△当点P 在直线AC 下方的抛物线上运动时,如图2,连接AP ,CP .求四边形ABCP 面积的最大值及此时点P 的坐标;△当点P 在x 轴上方的抛物线上运动时,过点P 作PM △x 轴于点M ,连接BP .是否存在点P ,使△PMB 与△AOC 相似?若存在,请直接写出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.13.如图,抛物线y 2b c x ++与x 轴交于点A 、B ,点A 、B 分别位于原点的左、右两侧,BO =3AO =3,过点B 的直线与y 轴正半轴和抛物线的交点分别为C 、D ,BC.(1)求b、c的值;(2)求直线BD的直线解析式;(3)点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方,点Q在射线BA上.当△ABD与△BPQ相似时,请直接写出所有满足条件的点Q的坐标.14.如图,抛物线23(0)y ax bx a=+-≠的顶点E的横坐标为1,与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,直线113y x=-+过点B,与y轴交于点D.(1)求抛物线的解析式;(2)证明:ABD CBE∠=∠;(3)是否存在点1O,使点1O到A,B,C,D的距离都相等,若存在,求出点1O坐标,若不存在,请说明理由.(4)设抛物线与直线DB另一交点为Q,F为线段BQ上一点(不含端点),连接AF,一动点P从点A出发,沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FQ个单位的速度运动到Q后停止,当点F的坐标是多少时,点P在整个运动过程中用时最少?(直接写出答案)15.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴交于点A 、B ,与y 轴交于点C ,且OC =2OB =6OA =6,点P 是第一象限内抛物线上的动点.(1)求抛物线的解析式;(2)连接BC 与OP ,交于点D ,当PD :OD 的值最大时,求点P 的坐标;(3)点P 在抛物线上运动,点N 在y 轴上运动,是否存在点P 、点N .使△CPN =90°,且△CPN 与△BOC 相似,若存在,请直接写出点P 的坐标,若不存在,说明理由.16.在平面直角坐标系xOy 中,抛物线y =﹣x 2+bx +c 与x 轴分别交于点A ,点B (3,0),与y 轴交于点C (0,3).(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,连接BC ,点D 是直线BC 上方抛物线上一动点,连接AD 交BC 于点E ,若AE =2ED ,求点D 的坐标;(3)直线y =kx ﹣2k +1与抛物线交于M ,N 两点,取点P (2,0),连接PM ,PN ,求△PMN 面积的最小值.17.综合与探究如图,直线3y x =-+与x 轴,y 轴分别交于B ,C 两点,抛物线2y x bx c =-++经过点B ,C ,与x 轴的另一交点为A ,顶点为D .(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标.(2)连接CD,BD,求点D到BC的距离h.(3)P为对称轴上一点,在抛物线上是否存在点Q,使得PDQ与BOC相似?若存在,请直接写出Q点坐标;若不存在,请说明理由.18.如图,已知直线223y x=-与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线226y x bx=-++经过点A,与x轴的另一个交点为C,交y轴于点D.(1)求抛物线的函数表达式及点D的坐标;(2)点M是y轴上的点,在y轴右侧的抛物线上是否存在点P,使得PMD△与BOC相似,且点M与点O为对应点,若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.19.如图,在平面直角坐标系中,直线y=2x+6与x轴交于点A,与y轴交点C,抛物线y=-2x2+bx+c过A,C两点,与x轴交于另点B.(1)求抛物线的解析式.(2)在直线AC 上方的抛物线上有一动点E ,连接BE ,与直线AC 相交于点F ,当EF =12BF 时,求sin△EBA 的值.(3)点N 是抛物线对称轴上一点,在(2)的条件下,若点E 位于对称轴左侧,在抛物线上是否存在一点M ,使以M ,N ,E ,B 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.20.如图,一次函数3y x =-+的图象与x 轴和y 轴分别交于点B 和点C ,二次函数2y x bx c =-++的图象经过B ,C 两点,并与x 轴交于点A .点(),0M m 是线段OB 上一个动点(不与点O 、B 重合),过点M 作x 轴的垂线,分别与二次函数图象和直线BC 相交于点D 和点E ,连接CD .(1)求这个二次函数的解析式.(2)△求DE 、CE 的值(用含m 的代数式表示).△当以C ,D ,E 为顶点的三角形与△ABC 相似时,求m 的值.(3)点F 是平面内一点,是否存在以C ,D ,E ,F 为顶点的四边形为菱形?若存在,请直接写出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.参考答案:1.(1)21y x =- (2)k =(3) 1.-2.(1)215322y x x =++(3)在点P (1,6)3.(1)y =x 2-4x +3(2)点D 的坐标是(0,0)或(73,0) (3)相交,交点的坐标是(2,1)或(2,2)4.(1)抛物线解析式为y =-x 2-2x +3;顶点D 的坐标为(-1,4);(2)见解析(3)△OAD =△ACB(4)相似,F 点的坐标为(-65,185)或(-2,2).5.(1)y =x 2﹣2x ﹣3(2)P 352(3)Q 点坐标为(﹣7,5)或(﹣12,5)或(3,﹣10)或(3,﹣5)6.(1)2=+43y x x --,(21)D , (2)111639⎛⎫ ⎪⎝⎭,- (3)(2,−2)或12,3⎛⎫ ⎪⎝⎭7.(1)224233y x x =--(2)线段MN 存在最大值,最大值为32(3)点P 的横坐标为5或28.(1)(M(2)2y x x =(3)存在,()()()()()11,0,3,0,,0,5,0,7,0,13,03⎛⎫-- ⎪⎝⎭9.(1)△A (3,0),B (3,3),C (0,3);△23b c =⎧⎨=⎩ (2)2133324n m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭(0≤m ≤3);3410.(1)A (1,0),B (4,0),C (0,﹣4)(2)D (83,209) (3)93m n =-11.(1)n =3,y =-x 2+2x +3.(2)△(1,0)或(2,0).△m =5或73.12.(1)211242y x x =+- (2)△四边形ABCP 面积的最大值为8,此时点P 为(-2,-2);△存在符合条件的点P ,点P 坐标为(-6,4)或(-12,28)或(4,4)13.(1)132b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(2)y=+(3)Q 1(,0)、Q 2(0)、Q 3,0)、Q 4(,0) 14.(1)2 2 3y x x =--(2)见解析(3)存在点()111O -,,使点P 到A ,B ,C ,D 的距离都相等(4)F 的坐标为41,3⎛⎫- ⎪⎝⎭时,点P 在整个运动过程中用时最少15.(1)y =﹣2x 2+4x +6(2)点P 的坐标为315(,)22(3)存在,点P 的坐标分别为(3,0)或(1,8)或939(,)48或755(,)4816.(1)y =﹣x 2+2x +3(2)(1,4)或(2,3)17.(1)223y x x =-++,顶点D (1,4)(2)h =(3)Q (0,3)或(2,3)18.(1)2246y x x =-++;(0,6)D(2)存在,点P 的坐标为755,48⎛⎫ ⎪⎝⎭或939,48⎛⎫ ⎪⎝⎭或(1,8)或(3,0)19.(1)抛物线的解析式为y =-2x 2-4x +6;(2)sin△EBA ; (3)M 的坐标为(2,-10)或(-4,-10)或(0,6).20.(1)223y x x =-++(2)△23DE m m =-,CE ;△m 的值为32或53(3)存在以C ,D ,E ,F 为顶点的四边形为菱形,点M 的坐标为(1,0)或(2,0)或(3,0).。
中考数学压轴题抛物线与动点精选

动点与抛物线专题复习一、平行四边形与抛物线1、(2012•钦州)如图甲,在平面直角坐标系中,A、B的坐标分别为(4,0)、(0,3),抛物线y=x2+bx+c经过点B,且对称轴是直线x=﹣.(1)求抛物线对应的函数解析式;(2)将图甲中△ABO沿x轴向左平移到△DCE(如图乙),当四边形ABCD是菱形时,请说明点C和点D都在该抛物线上;(3)在(2)中,若点M是抛物线上的一个动点(点M不与点C、D重合),经过点M作MN∥y轴交直线CD于N,设点M的横坐标为t,MN的长度为l,求l与t之间的函数解析式,并求当t为何值时,以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形.(参考公式:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(﹣,),对称轴是直线x=﹣.)2、(2012•鸡西)如图,在平面直角坐标系中,已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上,并且OA、OB的长分别是方程x2﹣7x+12=0的两根(OA<OB),动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点0运动;同时,动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动,设点P、Q运动的时间为t秒.(1)求A、B两点的坐标.(2)求当t为何值时,△APQ与△AOB相似,并直接写出此时点Q的坐标.(3)当t=2时,在坐标平面内,是否存在点M,使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出M点的坐标;若不存在,请说明理由.3.(2012•恩施州)如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A(﹣1,0),C(2,3)两点,与y轴交于点N.其顶点为D.(1)抛物线及直线AC的函数关系式;(2)设点M(3,m),求使MN+MD的值最小时m的值;(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意一点,过点E作EF∥BD 交抛物线于点F,以B,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求点E的坐标;若不能,请说明理由;(4)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值.二、梯形与抛物线1、已知,在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,AB=2.若以O为坐标原点,OA所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,点B在第一象限内.将Rt△OAB沿OB折叠后,点A落在第一象限内的点C处.(1)求点C的坐标;(2)若抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过C、A两点,求此抛物线的解析式;(3)若上述抛物线的对称轴与OB交于点D,点P为线段DB上一动点,过P作y轴的平行线,交抛物线于点M,问:是否存在这样的点P,使得四边形CDPM为等腰梯形?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.2、(2012•泉州)如图,O为坐标原点,直线l绕着点A(0,2)旋转,与经过点C(0,1)的二次函数y=x2+h的图象交于不同的两点P、Q.(1)求h的值;(2)通过操作、观察,算出△POQ的面积的最小值(不必说理);(3)过点P、C作直线,与x轴交于点B,试问:在直线l的旋转过程中,四边形AOBQ是否为梯形?若是,请说明理由;若不是,请指出四边形的形状.3.(2012•玉林)如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形AOCD的顶点A的坐标是(0,4),现有两动点P,Q,点P从点O出发沿线段OC(不包括端点O,C)以每秒2个单位长度的速度匀速向点C运动,点Q从点C出发沿线段CD(不包括端点C,D)以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动.点P,Q同时出发,同时停止,设运动时间为t(秒),当t=2(秒)时,PQ=2.(1)求点D的坐标,并直接写出t的取值范围.(2)连接AQ并延长交x轴于点E,把AE沿AD翻折交CD延长线于点F,连接EF,则△AEF的面积S是否随t的变化而变化?若变化,求出S与t的函数关系式;若不变化,求出S的值.(3)在(2)的条件下,t为何值时,四边形APQF是梯形?三、等腰三角形、菱形与抛物线1、(2012•龙岩)在平面直角坐标系xOy中,一块含60°角的三角板作如图摆放,斜边AB在x轴上,直角顶点C在y轴正半轴上,已知点A(﹣1,0).(1)请直接写出点B、C的坐标:B、C;并求经过A、B、C三点的抛物线解析式;(2)现有与上述三角板完全一样的三角板DEF(其中∠EDF=90°,∠DEF=60°),把顶点E放在线段AB上(点E是不与A、B两点重合的动点),并使ED所在直线经过点C.此时,EF所在直线与(1)中的抛物线交于点M.①设AE=x,当x为何值时,△OCE∽△OBC;②在①的条件下探究:抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形?若存在,请写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.3、(2012•湛江)如图,在平面直角坐标系中,直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上.O为原点,点A的坐标为(6,0),点B的坐标为(0,8).动点M从点O出发.沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动,同时动点N从点A出发,沿AB向终点B以每秒个单位的速度运动.当一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动,设动点M、N运动的时间为t秒(t>0).(1)当t=3秒时.直接写出点N的坐标,并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式;(2)在此运动的过程中,△MNA的面积是否存在最大值?若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由;(3)当t为何值时,△MNA是一个等腰三角形?4、如图,直线l 1经过点A(﹣1,0),直线l2经过点B(3,0),l1、l2均为与y轴交于点C(0,),抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A、B、C三点.(1)求抛物线的函数表达式;(2)抛物线的对称轴依次与x轴交于点D、与l2交于点E、与抛物线交于点F、与l1交于点G.求证:DE=EF=FG;(3)若l1⊥l2于y轴上的C点处,点P为抛物线上一动点,要使△PCG为等腰三角形,请写出符合条件的点P的坐标,并简述理由.5、如图,在平面直角坐标系中,直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合,AB∥OC,∠AOC=90°,∠BCO=45°,BC=12,点C的坐标为(﹣18,0).(1)求点B的坐标;(2)若直线DE交梯形对角线BO于点D,交y轴于点E,且OE=4,OD=2BD,求直线DE 的解析式;(3)若点P是(2)中直线DE上的一个动点,在坐标平面内是否存在点Q,使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.6、(2012•铁岭)如图,已知抛物线经过原点O和x轴上一点A(4,0),抛物线顶点为E,它的对称轴与x轴交于点D.直线y=﹣2x﹣1经过抛物线上一点B(﹣2,m)且与y轴交于点C,与抛物线的对称轴交于点F.(1)求m的值及该抛物线对应的解析式;(2)P(x,y)是抛物线上的一点,若S△ADP=S△ADC,求出所有符合条件的点P的坐标;(3)点Q是平面内任意一点,点M从点F出发,沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动,设点M的运动时间为t秒,是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形?若能,请直接写出点M的运动时间t的值;若不能,请说明理由.四、直角三角形与抛物线1、(2012•广州)如图,抛物线y=与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.(1)求点A、B的坐标;(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,求点D的坐标;(3)若直线l过点E(4,0),M为直线l上的动点,当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线l的解析式.2、(2012•河池)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系,抛物线y=﹣x2+x+4经过A、B两点.(1)写出点A、点B的坐标;(2)若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移,分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M和点P,连接P A、PB.设直线l移动的时间为t(0<t<4)秒,求四边形PBCA的面积S(面积单位)与t(秒)的函数关系式,并求出四边形PBCA的最大面积;(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在一点P,使得△P AM是直角三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.3.(2012•海南)如图,顶点为P(4,﹣4)的二次函数图象经过原点(0,0),点A在该图象上,OA交其对称轴l于点M,点M、N关于点P对称,连接AN、ON,(1)求该二次函数的关系式;(2)若点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时,请解答下面问题:①证明:∠ANM=∠ONM;②△ANO能否为直角三角形?如果能,请求出所有符合条件的点A的坐标;如果不能,请说明理由.4、(2012•云南)如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+2交x轴于点P,交y轴于点A.抛物线y=x2+bx+c的图象过点E(﹣1,0),并与直线相交于A、B两点.(1)求抛物线的解析式(关系式);(2)过点A作AC⊥AB交x轴于点C,求点C的坐标;(3)除点C外,在坐标轴上是否存在点M,使得△MAB是直角三角形?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.五、相似三角形与抛物线1、(2012•福州)如图1,已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过A(3,0)、B(4,4)两点.(1)求抛物线的解析式;(2)将直线OB向下平移m个单位长度后,得到的直线与抛物线只有一个公共点D,求m 的值及点D的坐标;(3)如图2,若点N在抛物线上,且∠NBO=∠ABO,则在(2)的条件下,求出所有满足△POD∽△NOB的点P坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应).3、(2012•遵义)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点O,交x轴于点A,其顶点B的坐标为(3,﹣).(1)求抛物线的函数解析式及点A的坐标;(2)在抛物线上求点P,使S△POA=2S△AOB;(3)在抛物线上是否存在点Q,使△AQO与△AOB相似?如果存在,请求出Q点的坐标;如果不存在,请说明理由.4.(2012•黄冈)如图,已知抛物线的方程C1:y=﹣(x+2)(x﹣m)(m>0)与x轴相交于点B、C,与y轴相交于点E,且点B在点C的左侧.(1)若抛物线C1过点M(2,2),求实数m的值;(2)在(1)的条件下,求△BCE的面积;(3)在(1)条件下,在抛物线的对称轴上找一点H,使BH+EH最小,并求出点H的坐标;(4)在第四象限内,抛物线C1上是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.5、(2012•常德)如图,已知二次函数的图象过点A(﹣4,3),B(4,4).(1)求二次函数的解析式:(2)求证:△ACB是直角三角形;(3)若点P在第二象限,且是抛物线上的一动点,过点P作PH垂直x轴于点H,是否存在以P、H、D为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.6(2012•鞍山)如图,直线AB交x轴于点B(4,0),交y轴于点A(0,4),直线DM⊥x 轴正半轴于点M,交线段AB于点C,DM=6,连接DA,∠DAC=90°.(1)直接写出直线AB的解析式;(2)求点D的坐标;(3)若点P是线段MB上的动点,过点P作x轴的垂线,交AB于点F,交过O、D、B三点的抛物线于点E,连接CE.是否存在点P,使△BPF与△FCE相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.7.(2012•阜新)在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A(﹣3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C.(1)求这个二次函数的关系解析式;(2)点P是直线AC上方的抛物线上一动点,是否存在点P,使△ACP的面积最大?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;考生注意:下面的(3)、(4)、(5)题为三选一的选做题,即只能选做其中一个题目,多答时只按作答的首题评分,切记啊!(3)在平面直角坐标系中,是否存在点Q,使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由;(4)点Q是直线AC上方的抛物线上一动点,过点Q作QE垂直于x轴,垂足为E.是否存在点Q,使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由;(5)点M为抛物线上一动点,在x轴上是否存在点Q,使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由.六、抛物线中的翻折问题1、(2012•天门)如图,抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A(﹣1,0),B(4,0)两点,交y轴于点C,与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D,点P是抛物线上一动点.(1)求抛物线解析式及点D坐标;(2)点E在x轴上,若以A,E,D,P为顶点的四边形是平行四边形,求此时点P的坐标;(3)过点P作直线CD的垂线,垂足为Q,若将△CPQ沿CP翻折,点Q的对应点为Q′.是否存在点P,使Q′恰好落在x轴上?若存在,求出此时点P的坐标;若不存在,说明理由.2、(2010•恩施州)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),与y轴交于C(0,﹣3)点,点P是直线BC下方的抛物线上一动点.(1)求这个二次函数的表达式.(2)连接PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四边形POP′C,那么是否存在点P,使四边形POP′C为菱形?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.(3)当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.动点与抛物线专题复习答案一、平行四边形与抛物线1、解:(1)由于抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点B(0,4),则c=4;∵抛物线的对称轴x=﹣=﹣,∴b=5a=;即抛物线的解析式:y=x2+x+4.(2)∵A(4,0)、B(3,0)∴OA=4,OB=3,AB==5;若四边形ABCD是菱形,则BC=AD=AB=5,∴C(﹣5,3)、D(﹣1,0).将C(﹣5,3)代入y=x2+x+4中,得:×(﹣5)2+×(﹣5)+4=3,所以点C在抛物线上;同理可证:点D也在抛物线上.(3)设直线CD的解析式为:y=kx+b,依题意,有:,解得∴直线CD:y=﹣x﹣.由于MN∥y轴,设M(t,t2+t+4),则N(t,﹣t﹣);①t<﹣5或t>﹣1时,l=MN=(t2+t+4)﹣(﹣t﹣)=t2+t+;②﹣5<t<﹣1时,l=MN=(﹣t﹣)﹣(t2+t+4)=﹣t2﹣t﹣;若以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形,由于MN∥CE,则MN=CE=3,则有:t2+t+=3,解得:t=﹣3±2;﹣t2﹣t﹣=3,解得:t=﹣3;综上,l=且当t=﹣3±2或﹣3时,以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形.2、解:(1)解方程x2﹣7x+12=0,得x1=3,x2=4,∵OA<OB,∴OA=3,OB=4.∴A(0,3),B(4,0).(2)在Rt△AOB中,OA=3,OB=4,∴AB=5,∴AP=t,QB=2t,AQ=5﹣2t.△APQ与△AOB相似,可能有两种情况:(I)△APQ∽△AOB,如图(2)a所示.则有,即,解得t=.此时OP=OA﹣AP=,PQ=AP•tanA=,∴Q(,);(II)△APQ∽△ABO,如图(2)b所示.则有,即,解得t=.此时AQ=,AH=AQ•cosA=,HQ=AQ•sinA=,OH=OA﹣AH=,∴Q(,).综上所述,当t=秒或t=秒时,△APQ与△AOB相似,所对应的Q点坐标分别为(,)或(,).(3)结论:存在.如图(3)所示.∵t=2,∴AP=2,AQ=1,OP=1.过Q点作QE⊥y轴于点E,则QE=AQ•sin∠QAP=,AE=AQ•cos∠QAP=,∴OE=OA﹣AE=,∴Q(,).∵▱APQM1,∴QM1⊥x轴,且QM1=AP=2,∴M1(,);∵▱APQM2,∴QM2⊥x轴,且QM2=AP=2,∴M2(,);如图(3),过M3点作M3F⊥y轴于点F,∵▱AQPM3,∴M3P=AQ,∠QAE=∠M3PF,∴∠PM3F=∠AQE;在△M3PF与△QAE中,∵∠QAE=∠M3PF,M3P=AQ,∠PM3F=∠AQE,∴△M3PF≌△QAE,∴M3F=QE=,PF=AE=,∴OF=OP+PF=,∴M3(﹣,).∴当t=2时,在坐标平面内,存在点M,使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形.点M的坐标为:M1(,),M2(,),M3(﹣,).3.解:(1)由抛物线y=﹣x2+bx+c过点A(﹣1,0)及C(2,3)得,,解得,故抛物线为y=﹣x2+2x+3又设直线为y=kx+n过点A(﹣1,0)及C(2,3)得,解得故直线AC为y=x+1;(2)作N点关于直线x=3的对称点N′,则N′(6,3),由(1)得D(1,4),故直线DN′的函数关系式为y=﹣x+,当M(3,m)在直线DN′上时,MN+MD的值最小,则m=﹣×=;(3)由(1)、(2)得D(1,4),B(1,2)∵点E在直线AC上,设E(x,x+1),①当点E在线段AC上时,点F在点E上方,则F(x,x+3),∵F在抛物线上,∴x+3=﹣x2+2x+3,解得,x=0或x=1(舍去)∴E(0,1);②当点E在线段AC(或CA)延长线上时,点F在点E下方,则F(x,x﹣1)由F在抛物线上∴x﹣1=﹣x2+2x+3解得x=或x=∴E(,)或(,)综上,满足条件的点E为E(0,1)、(,)或(,);(4)过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q,交x轴于点H;过点C作CG⊥x轴于点G,如图2,设Q(x,x+1),则P(x,﹣x2+2x+3)又∵S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC﹣S△AGC=(x+1)(﹣x2+2x+3)+(﹣x2+2x+3+3)(2﹣x)﹣×3×3=﹣x2+x+3=﹣(x﹣)2+∴△APC的面积的最大值为.二、梯形与抛物线1、解:(1)过点C作CH⊥x轴,垂足为H;∵在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,AB=2,∴OB=4,OA=2;由折叠的性质知:∠COB=30°,OC=AO=2,∴∠COH=60°,OH=,CH=3;∴C点坐标为(,3).(2)∵抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过C(,3)、A(2,0)两点,∴,解得;∴此抛物线的函数关系式为:y=﹣x2+2x.(3)存在.因为y=﹣x2+2x的顶点坐标为(,3),即为点C,MP⊥x轴,垂足为N,设PN=t;因为∠BOA=30°,所以ON=t,∴P(t,t);作PQ⊥CD,垂足为Q,ME⊥CD,垂足为E;把x=t代入y=﹣x2+2x,得y=﹣3t2+6t,∴M(t,﹣3t2+6t),E(,﹣3t2+6t),同理:Q(,t),D(,1);要使四边形CDPM为等腰梯形,只需CE=QD,即3﹣(﹣3t2+6t)=t﹣1,解得t=,t=1(舍),∴P点坐标为(,),∴存在满足条件的P点,使得四边形CDPM为等腰梯形,此时P点坐标为(,).2、解:(1)∵抛物线y=x2+h经过点C(0,1),∴+h=1,解得h=1.(2)依题意,设抛物线y=x2+1上的点,P(a,a2+1)、Q(b,b2+1)(a<0<b)过点A的直线l:y=kx+2经过点P、Q,∴a2+1=ak+2…①b2+1=bk+2…②①×b﹣②×a得:(a2b﹣b2a)+b﹣a=2(b﹣a),化简得:b=﹣;∴S△POQ=OA•|x Q﹣x P|=•OA•|﹣﹣a|=(﹣)+(﹣a)≥2•=4 由上式知:当﹣=﹣a,即|a|=|b|(P、Q关于y轴对称)时,△POQ的面积最小;即PQ∥x轴时,△POQ的面积最小,且POQ的面积最小为4.(3)连接BQ,若l与x轴不平行(如图),即PQ与x轴不平行,依题意,设抛物线y=x2+1上的点,P(a,a2+1)、Q(b,b2+1)(a<0<b)直线BC:y=k1x+1过点P,∴a2+1=ak1+1,得k1=﹣a,即y=ax+1.令y=0得:x B=﹣,同理,由(2)得:b=﹣∴点B与Q的横坐标相同,∴BQ∥y轴,即BQ∥OA,又∵AQ与OB不平行,∴四边形AOBQ是梯形,据抛物线的对称性可得(a>0>b)结论相同.故在直线l旋转的过程中:当l与x轴不平行时,四边形AOBQ是梯形;当l与x轴平行时,四边形AOBQ是正方形.3.解:(1)由题意可知,当t=2(秒)时,OP=4,CQ=2,在Rt△PCQ中,由勾股定理得:PC===4,∴OC=OP+PC=4+4=8,又∵矩形AOCD,A(0,4),∴D(8,4).点P到达终点所需时间为=4秒,点Q到达终点所需时间为=4秒,由题意可知,t的取值范围为:0<t<4.(2)结论:△AEF的面积S不变化.∵AOCD是矩形,∴AD∥OE,∴△AQD∽△EQC,∴,即,解得CE=.由翻折变换的性质可知:DF=DQ=4﹣t,则CF=CD+DF=8﹣t.S=S梯形AOCF+S△FCE﹣S△AOE=(OA+CF)•OC+CF•CE﹣OA•OE=[4+(8﹣t)]×8+(8﹣t)•﹣×4×(8+)化简得:S=32为定值.所以△AEF的面积S不变化,S=32.(3)若四边形APQF是梯形,因为AP与CF不平行,所以只有PQ∥AF.由PQ∥AF可得:△CPQ∽△DAF,∴,即,化简得t2﹣12t+16=0,解得:t1=6+2,t2=6﹣2,由(1)可知,0<t<4,∴t1=6+2不符合题意,舍去.∴当t=(6﹣2)秒时,四边形APQF是梯形.三、等腰三角形、菱形与抛物线1、解:(1)∵点A(﹣1,0),∴OA=1,由图可知,∠BAC是三角板的60°角,∠ABC是30°角,所以,OC=OA•tan60°=1×=,OB=OC•cot30°=×=3,所以,点B(3,0),C(0,),设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,则,解得,所以,抛物线的解析式为y=﹣x2+x+;(2)①∵△OCE∽△OBC,∴=,即=,解得OE=1,所以,AE=OA+OE=1+1=2,即x=2时,△OCE∽△OBC;②存在.理由如下:抛物线的对称轴为x=﹣=﹣=1,所以,点E为抛物线的对称轴与x轴的交点,∵OA=OE,OC⊥x轴,∠BAC=60°,∴△ACE是等边三角形,∴∠AEC=60°,又∠DEF=60°,∴∠FEB=60°,∴∠BAC=∠FEB,∴EF∥AC,由A(﹣1,0),C(0,)可得直线AC的解析式为y=x+,∵点E(1,0),∴直线EF的解析式为y=x﹣,联立,解得,(舍去),∴点M的坐标为(2,),EM==2,分三种情况讨论△PEM是等腰三角形,当PE=EM时,PE=2,所以,点P的坐标为(1,2)或(1,﹣2),当PE=PM时,∵∠FEB=60°,∴∠PEF=90°﹣60°=30°,PE=EM÷cos30°=×2÷=,所以,点P的坐标为(1,),当PM=EM时,PE=2EM•cos30°=2×2×=2,所以,点P的坐标为(1,2),综上所述,抛物线对称轴上存在点P(1,2)或(1,﹣2)或(1,)或(1,2),使△PEM是等腰三角形.3、解:(1)由题意,A(6,0)、B(0,8),则OA=6,OB=8,AB=10;当t=3时,AN=t=5=AB,即N是线段AB的中点;∴N(3,4).设抛物线的解析式为:y=ax(x﹣6),则:4=3a(3﹣6),a=﹣;∴抛物线的解析式:y=﹣x(x﹣6)=﹣x2+x.(2)过点N作NC⊥OA于C;由题意,AN=t,AM=OA﹣OM=6﹣t,NC=NA•sin∠BAO=t•=t;则:S△MNA=AM•NC=×(6﹣t)×t=﹣(t﹣3)2+6.∴△MNA的面积有最大值,且最大值为6.(3)Rt△NCA中,AN=t,NC=AN•sin∠BAO=t,AC=AN•cos∠BAO=t;∴OC=OA﹣AC=6﹣t,∴N(6﹣t,t).∴NM==;又:AM=6﹣t,AN=t(0<t<6);①当MN=AN时,=t,即:t2﹣8t+12=0,t1=2,t2=6(舍去);②当MN=MA时,=6﹣t,即:t2﹣12t=0,t1=0(舍去),t2=;③当AM=AN时,6﹣t=t,即t=;综上,当t的值取2或或时,△MAN是等腰三角形.4、解:(1)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(﹣1,0),B(3,0),C(0,)三点,∴,解得a=,b=,c=,∴抛物线的解析式为:y=x2x.(2)设直线l1的解析式为y=kx+b,由题意可知,直线l1经过A(﹣1,0),C(0,)两点,∴,解得k=,b=,∴直线l1的解析式为:y=x;直线l2经过B(3,0),C(0,)两点,同理可求得直线l2解析式为:y=x.∵抛物线y=x2x=(x﹣1)2,∴对称轴为x=1,D(1,0),顶点坐标为F(1,);点E为x=1与直线l2:y=x的交点,令x=1,得y=,∴E(1,);点G为x=1与直线l1:y=x的交点,令x=1,得y=,∴G(1,).∴各点坐标为:D(1,0),E(1,),F(1,),G(1,),它们均位于对称轴x=1上,∴DE=EF=FG=.(3)如右图,过C点作C关于对称轴x=1的对称点P1,CP1交对称轴于H点,连接CF.△PCG为等腰三角形,有三种情况:①当CG=PG时,如右图,由抛物线的对称性可知,此时P1满足P1G=CG.∵C(0,),对称轴x=1,∴P1(2,).②当CG=PC时,此时P点在抛物线上,且CP的长度等于CG.如右图,C(1,),H点在x=1上,∴H(1,),在Rt△CHG中,CH=1,HG=|y G﹣y H|=|﹣()|=,∴由勾股定理得:CG==2.∴PC=2.如右图,CP1=2,此时与①中情形重合;又Rt△OAC中,AC==2,∴点A满足PC=2的条件,但点A、C、G在同一条直线上,所以不能构成等腰三角形.③当PC=PG时,此时P点位于线段CG的垂直平分线上.∵l1⊥l2,∴△ECG为直角三角形,由(2)可知,EF=FG,即F为斜边EG的中点,∴CF=FG,∴F为满足条件的P点,∴P2(1,);又cos∠CGE==,∴∠CGE=30°,∴∠HCG=60°,又P1C=CG,∴△P1CG为等边三角形,∴P1点也在CG的垂直平分线上,此种情形与①重合.综上所述,P点的坐标为P1(2,)或P2(1,).5、解:(1)过点B作BF⊥x轴于F在Rt△BCF中∵∠BCO=45°,BC=6∴CF=BF=12∵C的坐标为(﹣18,0)∴AB=OF=6∴点B的坐标为(﹣6,12).(2)过点D作DG⊥y轴于点G∵AB∥DG∴△ODG∽△OBA∵===,AB=6,OA=12∴DG=4,OG=8∴D(﹣4,8),E(0,4)设直线DE解析式为y=kx+b(k≠0)∴∴∴直线DE解析式为y=﹣x+4.(3)结论:存在.设直线y=﹣x+4分别与x轴、y轴交于点E、点F,则E(0,4),F(4,0),OE=OF=4,EF=4.如答图2所示,有四个菱形满足题意.①菱形OEP1Q1,此时OE为菱形一边.则有P1E=P1Q1=OE=4,P1F=EF﹣P1E=4﹣4.易知△P1NF为等腰直角三角形,∴P1N=NF=P1F=4﹣2;设P1Q1交x轴于点N,则NQ1=P1Q1﹣P1N=4﹣(4﹣2)=2,又ON=OF﹣NF=2,∴Q1(2,﹣2);②菱形OEP2Q2,此时OE为菱形一边.此时Q2与Q1关于原点对称,∴Q2(﹣2,2);③菱形OEQ3P3,此时OE为菱形一边.此时P3与点F重合,菱形OEQ3P3为正方形,∴Q3(4,4);④菱形OP4EQ4,此时OE为菱形对角线.由菱形性质可知,P4Q4为OE的垂直平分线,由OE=4,得P4纵坐标为2,代入直线解析式y=﹣x+4得横坐标为2,则P4(2,2),由菱形性质可知,P4、Q4关于OE或x轴对称,∴Q4(﹣2,2).综上所述,存在点Q,使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形;点Q的坐标为:Q1(2,﹣2),Q2(﹣2,2),Q3(4,4),Q4(﹣2,2).6、解:(1)∵点B(﹣2,m)在直线y=﹣2x﹣1上∴m=3 即B(﹣2,3)又∵抛物线经过原点O∴设抛物线的解析式为y=ax2+bx∵点B(﹣2,3),A(4,0)在抛物线上∴,解得:.∴设抛物线的解析式为.(2)∵P(x,y)是抛物线上的一点,∴,若S△ADP=S△ADC,∵,,又∵点C是直线y=﹣2x﹣1与y轴交点,∴C(0,1),∴OC=1,∴,即或,解得:.∴点P的坐标为.(3)结论:存在.∵抛物线的解析式为,∴顶点E(2,﹣1),对称轴为x=2;点F是直线y=﹣2x﹣1与对称轴x=2的交点,∴F(2,﹣5),DF=5.又∵A(4,0),∴AE=.如右图所示,在点M的运动过程中,依次出现四个菱形:①菱形AEM1Q1.∵此时DM1=AE=,∴M1F=DF﹣DE﹣DM1=4﹣,∴t1=4﹣;②菱形AEOM2.∵此时DM2=DE=1,∴M2F=DF+DM2=6,∴t2=6;③菱形AEM3Q3.∵此时EM3=AE=,∴DM3=EM3﹣DE=﹣1,∴M3F=DM3+DF=(﹣1)+5=4+,∴t3=4+;④菱形AM4EQ4.此时AE为菱形的对角线,设对角线AE与M4Q4交于点H,则AE⊥M4Q4,∵易知△AED∽△M4EH,∴,即,得M4E=,∴DM4=M4E﹣DE=﹣1=,∴M4F=DM4+DF=+5=,∴t4=.综上所述,存在点M、点Q,使得以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形;时间t的值为:t1=4﹣,t2=6,t3=4+,t4=.四、直角三角形与抛物线1、解:(1)令y=0,即=0,解得x1=﹣4,x2=2,∴A、B点的坐标为A(﹣4,0)、B(2,0).(2)S△ACB=AB•OC=9,在Rt△AOC中,AC===5,设△ACD中AC边上的高为h,则有AC•h=9,解得h=.如答图1,在坐标平面内作直线平行于AC,且到AC的距离=h=,这样的直线有2条,分别是l1和l2,则直线与对称轴x=﹣1的两个交点即为所求的点D.设l1交y轴于E,过C作CF⊥l1于F,则CF=h=,∴CE==.设直线AC的解析式为y=kx+b,将A(﹣4,0),B(0,3)坐标代入,得到,解得,∴直线AC解析式为y=x+3.直线l1可以看做直线AC向下平移CE长度单位(个长度单位)而形成的,∴直线l1的解析式为y=x+3﹣=x﹣.则D1的纵坐标为×(﹣1)﹣=,∴D1(﹣4,).同理,直线AC向上平移个长度单位得到l2,可求得D2(﹣1,)综上所述,D点坐标为:D1(﹣4,),D2(﹣1,).(3)如答图2,以AB为直径作⊙F,圆心为F.过E点作⊙F的切线,这样的切线有2条.连接FM,过M作MN⊥x轴于点N.∵A(﹣4,0),B(2,0),∴F(﹣1,0),⊙F半径FM=FB=3.又FE=5,则在Rt△MEF中,ME==4,sin∠MFE=,cos∠MFE=.在Rt△FMN中,MN=MN•sin∠MFE=3×=,FN=MN•cos∠MFE=3×=,则ON=,∴M点坐标为(,)直线l过M(,),E(4,0),设直线l的解析式为y=kx+b,则有,解得,所以直线l的解析式为y=x+3.同理,可以求得另一条切线的解析式为y=x﹣3.综上所述,直线l的解析式为y=x+3或y=x﹣3.2、解:(1)抛物线y=﹣x2+x+4中:令x=0,y=4,则B(0,4);令y=0,0=﹣x2+x+4,解得x1=﹣1、x2=8,则A(8,0);∴A(8,0)、B(0,4).(2)△ABC中,AB=AC,AO⊥BC,则OB=OC=4,∴C(0,﹣4).由A(8,0)、B(0,4),得:直线AC:y=﹣x+4;依题意,知:OE=2t,即E(2t,0);∴P(2t,﹣2t2+7t+4)、Q(2t,﹣t+4),PQ=(﹣2t2+7t+4)﹣(﹣t+4)=﹣2t2+8t;S=S△ABC+S△P AB=×8×8+×(﹣2t2+8t)×8=﹣8t2+32t+32=﹣8(t﹣2)2+64;∴当t=2时,S有最大值,且最大值为64.(3)∵PM∥y轴,∴∠AMP=∠ACO<90°;而∠APM是锐角,所以△P AM若是直角三角形,只能是∠P AM=90°;由A(8,0)、C(0,﹣4),得:直线AC:y=x﹣4;所以,直线AP可设为:y=﹣2x+h,代入A(8,0),得:﹣16+h=0,h=16∴直线AP:y=﹣2x+16,联立抛物线的解析式,得:,解得、∴存在符合条件的点P,且坐标为(3,10).3.解:(1)∵二次函数的顶点坐标为(4,﹣4),∴设二次函数的解析式为y=a(x﹣4)2﹣4,又二次函数过(0,0),∴0=a(0﹣4)2﹣4,解得:a=,∴二次函数解析式为y=(x﹣4)2﹣4=x2﹣2x;(2)①证明:过A作AH⊥l于H,l与x轴交于点D,如图所示:设A(m,m2﹣2m),又O(0,0),∴直线AO的解析式为y=x=(m﹣2)x,则M(4,m﹣8),N(4,﹣m),H(4,m2﹣2m),∴OD=4,ND=m,HA=m﹣4,NH=ND﹣HD=m2﹣m,在Rt△OND中,tan∠ONM==,在Rt△ANH中,tan∠ANM====,∴tan∠ONM=tan∠ANM,则∠ANM=∠ONM;②△ANO不能为直角三角形,理由如下:分三种情况考虑:(i)若∠ONA为直角,由①得:∠ANM=∠ONM=45°,∴△AHN为等腰直角三角形,∴HA=NH,即m﹣4=m2﹣m,整理得:m2﹣8m+16=0,即(m﹣4)2=0,解得:m=4,此时点A与点P重合,故不存在A点使△ONA为直角三角形;(ii)若∠AON为直角,根据勾股定理得:OA2+ON2=AN2,∵OA2=m2+(m2﹣2m)2,ON2=42+m2,AN2=(m﹣4)2+(m2﹣2m+m)2,∴m2+(m2﹣2m)2+42+m2=(m﹣4)2+(m2﹣2m+m)2,整理得:m(m﹣4)2=0,解得:m=0或m=4,此时A点与P点重合或与原点重合,故∠AON不能为直角;(iii)若∠NAO为直角,可得∠NAM=∠ODM=90°,且∠AMN=∠DMO,∴△AMN∽△DMO,又∠MAN=∠ODN=90°,且∠ANM=∠OND,∴△AMN∽△DON,∴△AMN∽△DMO∽△DON,∴=,即=,整理得:(m﹣4)2=0,解得:m=4,此时A与P重合,故∠NAO不能为直角,综上,点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时,△ANO不能为直角三角形4、解:(1)直线解析式为y=x+2,令x=0,则y=2,∴A(0,2),∵抛物线y=x2+bx+c的图象过点A(0,2),E(﹣1,0),∴,解得.∴抛物线的解析式为:y=x2+x+2.(2)∵直线y=x+2分别交x轴、y轴于点P、点A,∴P(6,0),A(0,2),∴OP=6,OA=2.∵AC⊥AB,OA⊥OP,∴Rt△OCA∽Rt△OP A,∴,∴OC=,又C点在x轴负半轴上,∴点C的坐标为C(,0).(3)抛物线y=x2+x+2与直线y=x+2交于A、B两点,令x2+x+2=x+2,解得x1=0,x2=,∴B(,).如答图①所示,过点B作BD⊥x轴于点D,则D(,0),BD=,DP=6﹣=.点M在坐标轴上,且△MAB是直角三角形,有以下几种情况:①当点M在x轴上,且BM⊥AB,如答图①所示.设M(m,0),则MD=﹣m.∵BM⊥AB,BD⊥x轴,∴,即,解得m=,∴此时M点坐标为(,0);②当点M在x轴上,且BM⊥AM,如答图①所示.设M(m,0),则MD=﹣m.∵BM⊥AM,易知Rt△AOM∽Rt△MDB,∴,即,化简得:m2﹣m+=0,解得:x1=,x2=,∴此时M点坐标为(,0),(,0);(说明:此时的M点相当于以AB为直径的圆与x轴的两个交点)③当点M在y轴上,且BM⊥AM,如答图②所示.此时M点坐标为(0,);④当点M在y轴上,且BM′⊥AB,如答图②所示.设M′(0,m),则AM=2﹣=,BM=,MM′=﹣m.易知Rt△ABM∽Rt△MBM′,∴,即,解得m=,∴此时M点坐标为(0,).综上所述,除点C外,在坐标轴上存在点M,使得△MAB是直角三角形.符合条件的点M有5个,其坐标分别为:(,0)、(,0)、(,0)、(0,)或(0,).五、相似三角形与抛物线1、解:(1)∵抛物线y=y=ax2+bx(a≠0)经过A(3,0)、B(4,4)∴,解得:∴抛物线的解析式是y=x2﹣3x.(2)设直线OB的解析式为y=k1x,由点B(4,4),得:4=4k1,解得:k1=1∴直线OB的解析式为y=x,∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为:y=x﹣m,∵点D在抛物线y=x2﹣3x上,∴可设D(x,x2﹣3x),又点D在直线y=x﹣m上,∴x2﹣3x=x﹣m,即x2﹣4x+m=0,∵抛物线与直线只有一个公共点,∴△=16﹣4m=0,解得:m=4,此时x1=x2=2,y=x2﹣3x=﹣2,∴D点的坐标为(2,﹣2).(3)∵直线OB的解析式为y=x,且A(3,0),∴点A关于直线OB的对称点A′的坐标是(0,3),设直线A′B的解析式为y=k2x+3,过点(4,4),∴4k2+3=4,解得:k2=,∴直线A′B的解析式是y=,∵∠NBO=∠ABO,∴点N在直线A′B上,∴设点N(n,),又点N在抛物线y=x2﹣3x上,∴=n2﹣3n,解得:n1=﹣,n2=4(不合题意,舍去)∴N点的坐标为(﹣,).方法一:如图1,将△NOB沿x轴翻折,得到△N1OB1,则N1(,),B1(4,﹣4),∴O、D、B1都在直线y=﹣x上.∵△P1OD∽△NOB,∴△P1OD∽△N1OB1,∴,∴点P1的坐标为(,).将△OP1D沿直线y=﹣x翻折,可得另一个满足条件的点P2(,),综上所述,点P的坐标是(,)或(,).2、解:(1)设函数解析式为:y=ax2+bx+c,由函数经过点A(﹣4,0)、B(1,0)、C(﹣2,6),可得,解得:,故经过A、B、C三点的抛物线解析式为:y=﹣x2﹣3x+4;(2)设直线BC的函数解析式为y=kx+b,由题意得:,解得:,即直线BC的解析式为y=﹣2x+2.故可得点E的坐标为(0,2),从而可得:AE==2,CE==2,故可得出AE=CE;(3)相似.理由如下:设直线AD的解析式为y=kx+b,则,解得:,即直线AD的解析式为y=x+4.联立直线AD与直线BC的函数解析式可得:,解得:,即点F的坐标为(﹣,),则BF==,AF==,又∵AB=5,BC==3,∴=,=,∴=,又∵∠ABF=∠CBA,∴△ABF∽△CBA.故以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似.3、解:(1)由函数图象经过原点得,函数解析式为y=ax2+bx(a≠0),又∵函数的顶点坐标为(3,﹣),∴,解得:,故函数解析式为:y=x2﹣x,由二次函数图象的对称性可得点A的坐标为(6,0);(2)∵S△POA=2S△AOB,∴点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍,即点P的纵坐标为2,代入函数解析式得:2=x2﹣x,解得:x1=3+,x2=3﹣,即可得满足条件的有两个,P1(3+,2),P2(3﹣,2).(3)存在.过点B作BP⊥OA,则tan∠BAP==,故可得∠BOA=60°,设Q1坐标为(x,x2﹣x),过点Q1作Q1F⊥x轴,∵△OAB∽△OQ1A,∴∠Q1OA=30°,故可得OF=Q1F,即x=(x2﹣x),解得:x=9或x=0(舍去),即可得Q1坐标为(9,3),根据函数的对称性可得Q2坐标为(﹣3,3).4.解:(1)依题意,将M(2,2)代入抛物线解析式得:2=﹣(2+2)(2﹣m),解得m=4.(2)令y=0,即(x+2)(x﹣4)=0,解得x1=﹣2,x2=4,∴B(﹣2,0),C(4,0)在C1中,令x=0,得y=2,∴E(0,2).∴S△BCE=BC•OE=6.(3)当m=4时,易得对称轴为x=1,又点B、C关于x=1对称.如答图1,连接BC,交x=1于H点,此时BH+CH最小(最小值为线段CE的长度).设直线EC:y=kx+b,将E(0,2)、C(4,0)代入得:y=x+2,当x=1时,y=,∴H(1,).(4)分两种情形讨论:①当△BEC∽△BCF时,如答图2所示.则,∴BC2=BE•BF.由(2)知B(﹣2,0),E(0,2),即OB=OB,∴∠EBC=45°,∴∠CBF=45°,作FT⊥x轴于点F,则BT=TF.∴可令F(x,﹣x﹣2)(x>0),又点F在抛物线上,∴﹣x﹣2=﹣(x+2)(x﹣m),∵x+2>0(∵x>0),∴x=2m,F(2m,﹣2m﹣2).。
2021年九年级中考数学复习高频考点提升练《抛物线压轴题中的三角形问题》 考题专题练习

2021年中考数学复习高频考点提升练《抛物线压轴题中的三角形问题》经典考题专题练习1.如图,在平面直角坐标系中,函数223(0)y ax ax a a=-++>的图像交x轴于点A、B,交y轴于点C,它的对称轴交x轴于点E.过点C作CD∥x轴交抛物线于点D,连接DE 并延长交y轴于点F,交抛物线于点G.直线AF交CD于点H,交抛物线于点K,连接HE、GK.(1)点E的坐标为:;(2)当△HEF 是直角三角形时,求a 的值;2.如图,二次函数y=ax 2+bx+4的图象与x轴交于点A(-1.0),B(4.0),与y轴交于点C,抛物线的顶点为D,其对称轴与线段BC交于点E.垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F,动直线l在抛物线的对称轴的右侧(不含对称轴)沿x轴正方向移动到B点.(1)求出二次函数y=ax2+bx+4和BC所在直线的表达式;(2)连接CP,CD,在移动直线l移动的过程中,抛物线上是否存在点P,使得以点P,C,F为顶点的三角形与△DCE相似,如果存在,求出点P的坐标,如果不存在,请说明理由.CA O EFBPDlxy3. 如图,已知抛物线y=ax2+bx+6经过两点A(﹣1,0),B(3,0),C是抛物线与y轴的点.(1)求抛物线的解析式;(2)点P(m,n)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动,设△PBC的面积为S,求S关于m的函数表达式(指出自变量m的取值范围)和S的最大值;(3)点M在抛物线上运动,点N在y轴上运动,是否存在点M、点N使得∠CMN=90°,且△CMN与△OBC相似,如果存在,请求出点M和点N的坐标.4. 在平面直角坐标系xOy中,把与x轴交点相同的二次函数图像称为“共根抛物线”.如图,抛物线L1:223212--=xxy的顶点为D,交x轴于点A、B(点A在点B左侧),交y轴于点C.抛物线L2与L1是“共根抛物线”,其顶点为P.(1)若抛物线L2经过点(2,- 12),求L2对应的函数表达式;(2)当BP-CP的值最大时,求点P的坐标;(3)设点Q是抛物线L1上的一个动点,且位于其对称轴的右侧.若△DPQ与△ABC相似,求其“共根抛物线”L2的顶点P的坐标.5. 已知直线1:210=-+l y x 交y 轴于点A ,交x 轴于点B ,二次函数的图象过,A B两点,交x 轴于另一点C ,4=BC ,且对于该二次函数图象上的任意两点()111,P x y ,()222,P x y ,当125>≥x x 时,总有12>y y . (1)求二次函数的表达式;(2)若直线2:(10)=+≠l y mx n n ,求证:当2=-m 时,21l l ;(3)E 为线段BC 上不与端点重合的点,直线3:2=-+l y x q 过点C 且交直线AE 于点F ,求∆ABE 与∆CEF 面积之和的最小值.6. 如图1所示,在平面直角坐标系中,抛物线F 1:2264()515y a x =-+与x 轴交于点A (65-,0)和点B ,与y 轴交于点C .(1)求抛物线F 1的表达式;(2)如图2,将抛物线F 1先向左平移1个单位,再向下平移3个单位,得到抛物线F 2,若抛物线F 1与抛物线F 2相交于点D ,连接BD ,CD ,BC . ①求点D 的坐标;②判断△BCD 的形状,并说明理由;(3)在(2)的条件下,抛物线F 2上是否存在点P ,使得△BDP 为等腰直角三角形,若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.7. 如图,在平面直角坐标系xoy 中,已知直线122y x =-与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B ,过A 、B 两点的抛物线2y ax b c =++与x 轴交于另一点()1,0C -. (1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线上是否存在一点P ,使PAB OAB S S ∆∆=?若存在,请求出点P 的坐标,若不存在,请说明理由;8. 如图,抛物线y =ax 2+bx -6与x 轴相交于A ,B 两点,与y 轴相交于点C ,OA =2,OB =4,直线l 是抛物线的对称轴,在直线l 右侧的抛物线上有一动点D ,连接AD ,BD ,BC ,CD . (1)求抛物线的函数表达式;(2)若点D 在x 轴的下方,当△BCD 的面积是29时,求△ABD 的面积;9. 如图所示,抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴交于点A ,B 两点,与y 轴DA O CB l-11 -1 xy交于点C ,且点A 的坐标为(-2,0),点C 的坐标为(0,6),对称轴为直线x =1.点D 是抛物线上的一个动点,设点D 的横坐标为m (1<m <4),连接AC ,BC ,DC ,DB .(1)求抛物线的函数表达式;(2)当△BCD 的面积等于△AOC 的面积的34时,求m 的值;10.如图,抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 左边),与y 轴交于点C .直线122y x =-经过B 、C 两点. (1)求抛物线的解析式;(2)点P 是抛物线上的一动点,过点P 且垂直于x 轴的直线与直线BC 及x 轴分别交于点D 、M .PN BC ⊥,垂足为N .设(),0M m .①点P 在抛物线上运动,若P 、D 、M 三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点(三点重合除外).请直接写出符合条件的m 的值;②当点P 在直线BC 下方的抛物线上运动时,是否存在一点P ,使PNC △与AOC △相似.若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.11.已知直线y =kx ﹣2与抛物线y =x 2﹣bx +c (b ,c 为常数,b >0)的一个交点为A (﹣1,0),点M (m ,0)是x 轴正半轴上的动点.(1)当直线γ=kx ﹣2与抛物线y =x 2﹣bx +c (b ,c 为常数,b >0)的另一个交点为该抛物线的顶点E 时,求k ,b ,c 的值及抛物线顶点E 的坐标; (2)在(1)的条件下,设该抛物线与y 轴的交点为C ,若点Q 在抛物线上,且点Q 的横坐标为b ,当S △EQM 12=S △ACE 时,求m 的值; 、12. 如图所示,抛物线y =x 2﹣2x ﹣3与x 轴相交于A 、B 两点,与y 轴相交于点C ,点M 为抛物线的顶点. (1)求点C 及顶点M 的坐标.(2)若点N 是第四象限内抛物线上的一个动点,连接BN 、CN 求△BCN 面积的最大值及此时点N 的坐标.(3)直线CM 交x 轴于点E ,若点P 是线段EM 上的一个动点,是否存在以点P 、E 、O 为顶点的三角形与△ABC 相似.若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.13. 如图,抛物线26y ax x c =-+交x 轴于, A B 两点,交y 轴于点C .直线5y x =-+经过点,B C .(1)求抛物线的解析式;(2)抛物线的对称轴l 与直线BC 相交于点P ,连接,AC AP ,判定APC △的形状,并说明理由;14.如图,抛物线的顶点为A (h ,-1),与y 轴交于点B 1(0,)2,点F (2,1)为其对称轴上的一个定点.(1)求这条抛物线的函数解析式;(2)已知直线l 是过点C (0,-3)且垂直于y 轴的定直线,若抛物线上的任意一点P (m ,n )到直线l 的距离为d ,求证:PF =d ;(3)已知坐标平面内的点D (4,3),请在抛物线上找一点Q ,使△DFQ 的周长最小,并求此时△DFQ 周长的最小值及点Q 的坐标.15. 在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于A (﹣1,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C(0,﹣2).(1)求抛物线的函数表达式;(2)如图1,点D为第四象限抛物线上一点,连接AD,BC交于点E,连接BD,的最大值;记△BDE的面积为S1,△ABE的面积为S2,求S1S2(3)如图2,连接AC,BC,过点O作直线l∥BC,点P,Q分别为直线l和抛物线上的点.试探究:在第一象限是否存在这样的点P,Q,使△PQB∽△CAB.若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.。
2017年中考数学复习指导抛物线内接三角形面积的计算通法

抛物线内接三角形面积的计算通法一、问题的提出(2016年酒泉中考题)如图1(1),已知抛物线经过(3,0)A ,(0,3)B 两点.(1)求此抛物线的解析式和直线AB 的解析式;(2)如图1(1),动点E ,从O 点出发,沿着OA 的方向以1个单位/秒的速度向终点A 匀速运动,同时,动点F 从点A 出发,沿着AB /秒的速度向终点B 匀速运动,当EF 中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动.连结EF ,设运动时间为t 秒,当t 为何值时,AEF V 为直角三角形?(3)如图1(2),取一根橡皮筋,两端点分别固定在A ,B 处,用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线AB 上方的抛物线上移动,动点P 与A ,B 两点构成无数个三角形,在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形?如果存在,求出最大面积,并指出此时点P 的坐标;如果不存在,请简要说明理由.本题第(3)问是求抛物线内接不规则三角形的最大面积问题,解这类问题有没有一种通用的方法呢?值得我们探究.二、几种特殊情况1.抛物线内接三角形有一边在x 轴上:(这里约定A 点的横坐标记为A x ,A 点的纵坐 标记为为A y )如图2(1),有1122ABC A B C S AB OC x x y ∆=⨯=-⨯. 如图2(2),有1122ABC A B C S AB DC x x y ∆=⨯=-⨯. 如图2(3),有 1122ABC A B C S AB DC x x y ∆=⨯=-⨯. 2.抛物线内接三角形有一边与x 轴平行:如图3(1),有1122ABC A B C D S AB DC x x y y ∆=⨯=-⨯-, 或1122ABC B A D C S AB OC x x y y ∆=⨯=-⨯-; 如图3(2),有 1122ABC A B C D S AB DC x x y y ∆=⨯=-⨯-, 或1122ABCB A DC S AB OC x x y y ∆=⨯=-⨯-.在以上特殊情况下,只要求出A 、B 、C 、D 的坐标,代入即可以求出抛物线内接三角形的面积.三、建立模型当抛物线内接三角形的三边均不与坐标轴平行时(如图4),三角形的面积又该怎么计算呢?解题的基本思路是将任意三角形转化为上述特殊的三角形,然后类比解决.如图4,过点C 作“轴的垂线交AB 于点D ,则ABC ∆被分成了两个以CD 为一公共边的三角形.过点A 作AE CD ⊥于点E ,过B 作BF CD ⊥于点F ,则11()22ABC CDA ABC S S S CD AE CD BF CD AE BF ∆∆∆=+=⨯+⨯=⨯+,C D CD y y =-,C A B C AE BF x x x x +=-+-.A CB x x x <<Q ,A B AE BF x x ∴+=-,12ABC A B C D S x x y y ∆∴=---. 综合上述,已知三角形三个顶点坐标,可得抛物线内接ABC ∆的面积公式: 设,A B D a x x h y C y =-=-- .a 为两点的横坐标之差,可看成是两点之间的水平距离,可以称为水平宽; h 表示的是两点的纵坐标之差,可称为铅直高.在坐标系中,不规则三角形的面积公式可表示为:12ABC S ah ∆=. 此公式适用于坐标系中的任意三角形,它和一般三角形的面积公式形成了完美的一致. 当三角形的三个顶点都在抛物线上时,点的横坐标不可能州样,不妨设A C B x x x <<. 则A a x x B =--,即是水平宽.过点C 作x 轴的垂线,与直线AB 的交点记为D ,则C D h y y =-,即是铅直高,于是有1122ABC A B C D S ah x x y y ∆==-⋅-. 四、问题解决上述问题中,过点P 作//PN x 轴,垂足为N ,交AB 于点M (如图1(2)),抛物线解析式为223y x x =-++,直线AB 的解析式为3y x =-+.设(,3)N x x -+,则2(,23)M x x x -++.于是有 12ABC A B P M S x x y x ∆=-⋅- 21(30)(23)(3)2x x x ⎡⎤=-⋅-++--+⎣⎦ 23922x x =-+23327()228x =--+, 即当32x =时,ABP V 面积最大,最大面积是278,此时P 点的坐标为327(,)28. 五、模型应用(动点B 在定点A 与C 之内)例1 如图5,二次函数与x 轴交于点C ,与y 轴交于点A ,B 为直线AC 下方抛物线上一点,求ABC V 面积的最大值.解 易得点(0,4)A -,点(6,0)C ,则水平宽6A C a x x =-=.直线AC 的解析式为243y x =-. 设点B 的坐标为213(,4)34x x x --, 则点D 的坐标为2(,4)3x x -. 铅垂高22144(4)323B D h y y x x =-=----2123x x =-+, 故222116(2)6(3)923ABC S x x x x x ∆=⨯⨯-+=-+=--+. 06x <<Q ,当3x =时,即当点(3,5)B -时,ABC ∆面积最大,最大面积是9.评注 题中的ABC ∆满足公式中的,A C 为定点,B 为一动点,但在运动过程中,B 的横坐标介于,A C 的横坐标之间,所以直接套用公式即得.由此题可看出,在这种动点问题中,水平宽是两个定点间的水平跨度,铅直高即是由动点向x 轴作垂线,垂线与两定点的连线交于一点,动点和这个交点在竖直方向的跨度.六、模型拓展(动点P 在定点A 与C 之外)例2 如图6(1),二次函数与x 轴交于点C ,与y 轴交于点A ,直线AB 与x 轴平行,且点B 在抛物线上,点P 是直线AC 上方抛物线上的动点,是否存在点P ,使2P A C A B C S S ∆∆=,若存在,求出点P 的坐标,若不存在,说明理由.解析 由题意不难得出8ABC S ∆=,要使2PAC ABC S S ∆∆=,即求16PAC S ∆=.因为PAC ∆为动点三角形,由通用公式PAC S ah ∆=,其中a 为水平宽,6C A a x x =-=, h 为铅直高,应该过动点P 向x 轴作垂线;交直线AC 于点D ,则P D h y y =-.问题是此时动点P 不在两定点,A C 之间,而是运动到了两定点,A C 之外,那么通用公式还成立吗?由图6(2)可知,当动点P 在两定点,A C 之外时,1122PAC PDC PDA S S S PD CE PD AF ∆∆∆=-=⨯-⨯ 111()()222C A PD CE AF PD x x ah =-=⨯-=. 由此可见,当动点运动到两定点之外时,通用公式依然成立.区别是:动点在两定点之间时,动点图形的面积是两个规则图形的面积之和,用的是加法运算;动点在两定点之外时,动点图形的面积是两个规则图形的面积之差,用的是减法运算.。
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2019-2020 年中考数学抛物线与三角形面积专题复习题
抛物线与三角形面积问题涉及代数、几何知识,有一定难度。
本文通过举例来谈这类题的解法。
一、顶点在抛物线y=ax2 +bx+c 的三角形面积的一般情况有:
(1)、以抛物线与x 轴的两交点和抛物线的顶点为顶点的三角形,其底边的长是抛物线与x 轴两交点间的距离,高的长是抛物线顶点的纵坐标的绝对值。
其面积为:
S = |x 1-x 2 | · ||=··||
(2)、以抛物线与 x 轴、 y 轴的三个交点为顶点的三角形。
其底边的长是
抛物线与 x 轴两交点间的距离,高的长是抛物线与y 轴上的截距 ( 原点与 y 轴交点构成的线段长 ) 的绝对值。
其面积为:
S =· |x1-x2|· |c|=··|c|
(3)、三角形三个顶点在抛物线其他位置时,应根据图形的具体特征,灵
活运用几何和代数的有关知识。
二、1.求内接于抛物线的三角形面积。
例1.已知抛物线的顶点 C(2,),它与 x 轴两交点 A、B 的横坐标是方程x2-4x+3=0 的两根,求 ABC的面积。
解:由方程 x2 -4x+3=0,得 x1=1, x 2=3,
∴AB=|x 2-x 1|=|3-1|=2.
∴ S ABC × ×
= 2= .
例 2.已知二次函数 y= x2+3x+2 的图像与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于D点,顶点为 C,求四边形 ACBD的面积。
解:如图 1,S 四边形ACBD=S ABC+S ABD
=×× | |+ ××|2|= .
例 3.如图:已知抛物线 y=x2-2x+3 与直线 y=2x
B,抛物线与 y 轴相交于 C 点,求ABC的面积。
相交于A、
解:由
得点 A 的坐标为( 1,2),点 B 的坐标为( 3,6);抛
物线与 y 轴交点 C 的坐标为
( 0, 3)如图 2,由 A、B、C三点的坐标可知, AB= =2 ,
BC= =3 ,AC= =。
2 2 2
∵ AC +BC=AB,
∴ ABC为直角三角形,并且∠BCA=90,
∴ S ABC= ·× ×
3 。
AC BC= =3
2.求抛物线的解析式
例4.已知抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于点 A、B,其对称轴为直线 x=-2 ,顶点为 M,且 S AMB=8,求它的解析式。
解:∵对称轴为直线x=-2,
∴-=-2, ∴ b=4,
∴y=x 2+4x+c,
∵ S AMB ··
| |= ·
| |=8
,
=
∴c=0, ∴ y=x 2+4x.
例5.设二次函数 y=ax2+bx+c 的图像与 x 轴交于点 A、B,与 y 轴交于点 C,若AC=20,
∠ACB=90°, S ACB=150,求二次函数的解析式。
解:如图 3,∵ S ACB=AC·BC,
即150= × 20·BC,∴ BC=15,
∴ AB===25,
又∵ OC⊥AB,∴ S ACB=AB·OC
即150= × 25·OC,∴ OC=12,故 C点坐标为( 0, 12),
∴ AO==16, OB=AB-AO=25-16=9,
∴点 A 为( -16 ,0),点 B 为( 9,0),
∵二次函数的图像过A、 B、 C 三点,
∴解得,
∴所求解析式为: y=-x2 -x+12.
3.求抛物线解析式中字母系数的值。
例6.已知抛物线 y=x2-mx+m-2,
(1)求证:不论 m为何实数,抛物线与 x 轴总有两个交点;
(2) 若以抛物线与 x 轴、y 轴三交点为顶点的三角形面积为4,求m的值。
解:
(1)=(-m) 2-4 ×1×(m-2)=m2-4m+8=(m-2) 2+4>0,
∴不论 m为何实数,抛物线与 x 轴总有两个交点。
(2)S =··|c|=··|m-2|=4.
即(m-2) 4+4(m-2) 2-320=0
解得 m=6或 m=-2.
例7.设 O和 B 为抛物线 y=-3x 2-2x+k 与 x 轴的两个相异交点, O为原点, M 为抛物线的顶点,当 OMB为等腰直角三角形时,求 k 的值。
解:如图 4,作 MN⊥x 轴于 N 点,∵OMB为等腰直角三角形,∴ MN=OB,即||=·,
∴ k =0, k
2 =- .
1
又∵ 抛物线与 x 轴有两个相异交点,∴=(-2) 2-4 ×(-3)k=4+12k>0.
∴k>- ,故取 k=0。