中考数学复习二次函数与三角形的面积问题

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二次函数-面积问题备战2023年中考数学考点微专题

考向3.10 二次函数-面积问题例1、（2021·四川雅安·中考真题）已知二次函数223y x bx b =+-．（1）当该二次函数的图象经过点1,0A 时，求该二次函数的表达式；（2）在(1) 的条件下，二次函数图象与x 轴的另一个交点为点B ，与y 轴的交点为点C ,点P 从点A 出发在线段AB 上以每秒2个单位长度的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ 面积的最大值;（3）若对满足1≥x 的任意实数x ，都使得0y ≥成立，求实数b 的取值范围．解：（1）把1,0A 代入223y x bx b =+-，得：20123b b =+-，解得：b =1，∴该二次函数的表达式为：223y x x =+-；（2）令y =0代入223y x x =+-，得：2023x x =+-，解得：11x =或23x =-，令x =0代入223y x x =+-得：y =-3， ∴A (1，0)，B (-3，0)，C (0，-3)，设运动时间为t ，则AP =2t ，BQ =t ， ∴BP =4-2t ，过点M 作MQ ⊥x 轴， ∵OB =OC =3， ∴∠OBC =45°，∴BMQ 是等腰直角三角形，∴MQ =22BQ =22t ， ∴△BPQ 的面积=()11222242BP MQ t t -⋅=⋅=()222122t --+，∴当t =1时，△BPQ 面积的最大值=22；（3）抛物线223y x bx b =+-的对称轴为：直线x =-b ，开口向上，设2()23y f x x bx b ==+-，∵对1≥x 的任意实数x ，都使得0y ≥成立，∴()110b f -≤⎧⎨≥⎩或()10b f b ->⎧⎨-≥⎩，∴-1≤b ≤1或-3≤b ＜-1， ∴-3≤b ≤1．1、二次函数面积问题的几种形式（1）直接用面积公式；（2）三角形的面积等于铅直高度与水平宽度积的一半；(3)平行线等面积法（通过做平行线辅助线完成）。

中考数学二次函数问题中三角形面积最值问题解题策略

中考数学二次函数问题中三角形面积最值问题解题策略考点分析：二次函数与三角形的综合解答题一般涉及到这样几个方面：1.三角形面积最值问题2.特殊三角形的存在问题包括等腰等边和直角三角形。

这类题目一般出现在压轴题最后两道上，对知识的综合运用要求比较高。

解决此类题目的基本步骤与思路:1.抓住目标三角形，根据动点设点坐标2.根据所设未知数去表示三角形的底和高，一般常用割补法去求解三角形的面积从而得出面积的关系式3. 根据二次函数性质求出最大值.4.特殊三角形问题首先要画出三角形的大概形状，分类讨论的去研究。

例如等腰三角形要弄清楚以哪两条边为要，直角三角形需要搞清楚哪个角作为直角都需要我们去分类讨论。

注意事项：1.简单的直角三角形可以直接利用底乘高进行面积的表示2.复杂的利用“补”的方法构造矩形或者大三角形，整体减去部分的思想.3.利用“割”的方法时，一般选用横割或者竖割，也就是做坐标轴的垂线。

4.利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。

5.围绕不同的直角进行分类讨论，注意检验答案是否符合要求。

6.在勾股定理计算复杂的情况下，灵活的构造K字形相似去处理。

原题：在（1）中的抛物线上的第二象限是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出P点的坐标及△PBC的面积最大值，若没有，请说明理由。

考试题型，大多类似于此。

求面积最大值的动点坐标，并求出面积最大值。

一般解题思路和步骤是，设动点P的坐标，然后用代数式表达各线段的长。

通过公式计算，得出二次函数顶点式，则坐标和最值，即出。

解法一：补形，割形法。

方法要点是，把所求图像的面积适当的割补，转化成有利于面积表达的常规几何图形。

请看解题步骤。

解法二：铅锤定理，面积=铅锤高度×水平宽度÷2。

这是三角形面积表达方法的一种非常重要的定理。

铅锤定理，在教材上没有，但是大多数数学老师都会作为重点，在课堂上讲解。

因为，铅锤定理，在很多地方都用的到。

这里，也有铅锤定理的简单推导，建议大家认真体会。

2023年中考数学专题复习：二次函数综合题(面积问题)

2023年中考数学专题复习：二次函数综合题（面积问题）1．如图所示，二次函数22y x x m =-++的图像与x 轴的一个交点为A （3，0），另一个交点为B ，且与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的解析式；(2)求点B 、点C 的坐标；(3)若抛物线的顶点是M ，求△ACM 的面积．2．如图，抛物线2y x bx c =++经过()1,0A -、()4,5B 两点，点E 是线段AB 上一动点，过点E 作x 轴的垂线，交抛物线于点F ．(1)求抛物线的解析式；(2)求线段EF 的最大值；(3)抛物线与x 轴的另一个交点为点C ，在抛物线上是否存在一个动点P ，使得25ACP ABC S S ∆∆=？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，二次函数23y ax bx=++的图像与x正半轴相交于点B，负半轴相交于点A，其中A点坐标是（－1，0），B点坐标是（3，0）．(1)求此二次函数的解析式；(2)如图1，点P在第一象限的抛物线上运动，过点P作PD x⊥轴于点D，交线段BC于点E，线段BC把△CPD 分割成两个三角形的面积比为1∶2，求P点坐标；(3)如图2，若点H在抛物线上，点F在x轴上，当以B、C、H、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标．4．如图，已知直线y＝43x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．(1)求抛物线的表达式；(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-12x2+bx+c经过点A（-2，0）．与点C（0，4）．与x轴的正半轴交于点B．(1)求抛物线的表达式；(2)如果D是抛物线上一点，AD与线段BC相交于点E，且AD将四边形ABDC分成面积相等的两部分，求DE AE的值；(3)如果P是x轴上一点，∠PCB=∠ACO，求∠PCO的正切值．6．如图，抛物线23y ax bx =+-交x 轴于()30A -,，()10B ,两点，与y 轴交于点.C 连接AC ，BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P 为抛物线在第三象限的一个动点，PM x ⊥轴于点M ，交AC 于点G ，PE AC ⊥于点E ，当PGE 的面积为1时，求点P 的坐标；(3)如图2，若Q 为抛物线上一点，直线OQ 与线段AC 交于点N ，是否存在这样的点Q ，使得以A ，O ，N 为顶点的三角形与ABC 相似．若存在，请求出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．7．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A （－4，0），B （0，－4），C （2，0）三点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．(3)若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y ＝－x 上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．8．如图，二次函数23y ax bx =++的图象经过点A （-1，0），B （3，0），与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的解析式；(2)第一象限内的二次函数23y ax bx =++图象上有一动点P ，x 轴正半轴上有一点D ，且OD =2，当S △PCD =3时，求出点P 的坐标；(3)若点M 在第一象限内二次函数图象上，是否存在以CD 为直角边的Rt MCD ，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．9．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y =ax 2+4x +c 与直线AB 相交于点A (0，1)和点B (3，4)．(1)求该抛物线的解析式；(2)设C 为直线AB 上方的抛物线上一点，连接AC ，BC ，以AC ，BC 为邻边作平行四边形ACBP ，求四边形ACBP 面积的最大值；(3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y =a 1x 2+b 1x +c 1（a 1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D ，是否存在点E 使得△ADE 是以AD 为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出．．．．点E 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴的交点为C ()0,3-，顶点为()1,4D -．(1)求抛物线的表达式；(2)若平行于x轴的直线与抛物线交于M，N两点，与抛物线的对称轴交于点H，若点H到x轴的距离是线，求线段MN的长；段MN长的12(3)若经过C，D两点的直线与x轴相交于点E，F是y轴上一点，且AF∥CD，在抛物线上是否存在点P，使直线PB恰好将四边形AECF的周长和面积同时平分？如果存在, 求出点P的坐标；如果不存在，请说明理．11．如图，已知抛物线y＝ax2+4x+c经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点，其对称轴与x轴交于点C．(1)求该抛物线和直线BC的解析式；(2)设抛物线与直线BC相交于点D，求△ABD的面积；(3)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAB的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣2，0）、B （6，0）两点，与y 轴交于点 C ．直线l 与抛物线交于A 、D 两点，与y 轴交于点E ，点D 的坐标为（4，3）．(1)求抛物线的解析式与直线l 的解析式；(2)若点P 是抛物线上的点且在直线l 上方，连接P A 、PD ，求△P AD 面积最大值；(3)由（2）并求出点 P 的坐标．13．已知抛物线2y ax c =+过点()2,0A -和()1,3D -两点，交x 轴于另一点B ．(1)求抛物线解析式；(2)如图1，点P 是BD 上方抛物线上一点，连接AD ，BD ，PD ，当BD 平分ADP 时，求P 点坐标；(3)将抛物线图象绕原点O 顺时针旋转90°形成如图2的“心形”图案，其中点M ，N 分别是旋转前后抛物线的顶点，点E 、F 是旋转前后抛物线的交点．①直线EF 的解析式是______；②点G 、H 是“心形”图案上两点且关于EF 对称，则线段GH 的最大值是______．14．如图，抛物线2142y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．(1)求A ，B ，C 三点的坐标，并直接写出直线AC 的函数表达式；(2)若D 是第一象限内抛物线上一动点，且△BCD 的面积等于△AOC 的面积，求点D 的坐标；(3)在（2）的条件下，连接AD ，试判断在抛物线上是否存在点M ，使∠MDA ＝∠ACO ？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．15．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，直线y x b =+与x 轴交于点()4,0A ，与y 轴交于点B ，过A ，B 两点的抛物线交x 轴于另一点C ，且2OA OC =，点F 是直线AB 下方抛物线上的动点，连接F A ，FB ．(1)求抛物线解析式；(2)当点F 与抛物线的顶点重合时，ABF 的面积为______；．(3)求四边形F AOB 面积的最大值及此时点F 的坐标．(4)在（3）的条件下，点Q 为平面内y 轴右侧的一点，是否存在点Q 及平面内另一点M ，使得以A ，F ，Q ，M 为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．16．抛物线224y ax ax =--交x 轴于(2,0)A -、B 两点，交y 轴于C ；直线AD 交抛物线于第一象限内点D ，且D 的横坐标为5，(1)求抛物线解析式；(2)点E 为直线AD 下方抛物线上一动点，且21ADE S =，求点E 的坐标；(3)抛物线上是否存在点P ，使PCO DAO CBO ∠+∠=∠，若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OA ，OC 分别在x 轴和y 轴上，3OA =，4OC =，抛物线24y ax bx =++经过点B ，且与x 轴交于点()1,0D -和点E ．(1)求抛物线的表达式：(2)若P 是第一象限抛物线上的一个动点，连接CP ，PE ，当四边形OCPE 的面积最大时，求点P 的坐标，此时四边形OCPE 的最大面积是多少；(3)若N 是抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在一点M ，使以点C ，D ，M ，N 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，说明理由．18．如图，抛物线与x 轴交于点()2,0B -、()4,0C 两点，与y 轴交于点()0,2A ；(1)求出此抛物线的解析式；(2)如图1，在直线AC 上方的抛物线上有一点M ，求AMC S △的最大值；(3)如图2，将线段OA 绕x 轴上的动点(),0P m 顺时针旋转90°得到线段O A ''，若线段O A ''与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m 的取值范围；19．如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，OA =OC =3．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P 为直线AC 下方抛物线上一点，连接BP 并交AC 于点Q ，若AC 分ABP △的面积为1：2两部分，请求出点P 的坐标；(3)在y 轴上是否存在一点N ，使得45BCO BNO ∠+∠=︒，若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．20．已知二次函数2(0)y x bx c a =++≠的图像与x 轴的交于A 、(1,0)B 两点，与y 轴交于点(0,3)C -．(1)求二次函数的表达式及A 点坐标；(2)D 是二次函数图像上位于第三象限内的点，求点D 到直线AC 的距离取得最大值时点D 的坐标；(3)M 是二次函数图像对称轴上的点，在二次函数图像上是否存在点N ．使以M 、N 、B 、O 为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N 的坐标（不写求解过程）．答案1．(1)2y x 2x 3=-++(2)()0,3C 、()1,0B -(3)32．(1)223y x x =-- (2)254(3)存在，点P 的坐标为(12)或(12)+或()12-或(12)-3．(1)2y x 2x 3=-++(2)P 点坐标115(,)24或(2,3)(3)F 点坐标为：(1,0)、(5,0)、)2,0、()2-4．(1)y ＝﹣43x 2﹣83x +4 (2)S 最大＝252，D （﹣32，5） (3)存在，Q （﹣2，198）5．(1)抛物线解析式为y =-12x 2+x +4； (2)14DE AE =； (3)∠PCO 的正切值13或3．6．(1)223y x x =+-(2)()14P --，或()23--，(3)存在，坐标为⎝⎭或⎝⎭或或(-7．(1)2142y x x =+- (2)24=--S m m ，4(3)()4,4Q -或(2-+-或(2--+或()4,4-8．(1)2+23y x x =-+(2)P 1（32，154），P 2（2，3）(3)存在点M 其坐标为1M 43539（，）或2M9．(1)241y x x =-++ (2)274(3)存在，E （4，3）或（-2，5）或（-3，2）或（3，0）．10．(1)223y x x =--(2)1或1-(3)在抛物线上存在点3(4P -，15)16-，使直线PB 恰好将四边形AECF 的周长和面积同时平分11．(1)y ＝﹣12x 2+4x ﹣6，y ＝32x ﹣6 (2)152(3)存在，点Q 的坐标为（4，﹣2）12．(1)（1）y =-14x 2+x +3，y =12x +1 (2)274(3)(1,154)(2)232,39P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)①y x =； 14．(1)A (－2，0)，B (4，0)，C (0，4)，24y x =+(2)(2，4)(3)存在，(－23，289)或(－6，－20)15．(1)2142y x x =-- (2)3(3)FAOB S 四边形有最大值12，此时点F 的坐标为()2,4-(4)存在，点Q 的坐标()18,2Q -，()26,6Q -，()35,3Q -，()41,1Q -16．(1)2142y x x =-- (2)191,2E ⎛⎫- ⎪⎝⎭；E 2（2，-4） (3)存在，（8，20）17．(1)y ＝－x 2＋3x ＋4(2)P （2，6）；四边形OCPE 的面积最大为16(3)存在； M 113,28⎛⎫- ⎪⎝⎭或M 252728,⎛⎫ ⎪⎝⎭或M 355,22⎛⎫- ⎪⎝⎭或M 453,22⎛⎫- ⎪⎝⎭18．(1)211242y x x =-++ (2)2(3)34m -≤-或32m -≤(2)（-2，-3）或（-1，-4）(3)（0，2）或（0，-2）20．(1)223y x x =+-，(3,0)A - (2)315,24D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭(3)存在，(2,3)--或(0,3)-或(2,5)。

二次函数与三角形的综合-中考数学函数考点全突破

二次函数与三角形的综合-中考数学函数考点全突破一、考点分析：二次函数与三角形的综合解答题一般涉及到这样几个方面：1.三角形面积最值问题2.特殊三角形的存在问题包括等腰等边和直角三角形。

这类题目一般出现在压轴题最后两道上，对知识的综合运用要求比较高。

一解决此类题目的基本步骤与思路1.抓住目标三角形，根据动点设点坐标2.根据所设未知数去表示三角形的底和高，一般常用割补法去求解三角形的面积从而得出面积的关系式3.根据二次函数性质求出最大值.4.特殊三角形问题首先要画出三角形的大概形状，分类讨论的去研究。

例如等腰三角形要弄清楚以哪两条边为要，直角三角形需要搞清楚哪个角作为直角都需要我们去分类讨论。

注意事项：1.简单的直角三角形可以直接利用底乘高进行面积的表示2.复杂的利用“补”的方法构造矩形或者大三角形，整体减去部分的思想3.利用“割”的方法时，一般选用横割或者竖割，也就是做坐标轴的垂线。

4.利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。

5.围绕不同的直角进行分类讨论，注意检验答案是否符合要求。

6.在勾股定理计算复杂的情况下，灵活的构造K字形相似去处理。

二、二次函数问题中三角形面积最值问题（一）例题演示1.如图，已知抛物线(a为常数，且a＞0)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为﹣5．(1)求抛物线的函数表达式；(2)P为直线BD下方的抛物线上的一点，连接PD、PB,求△PBD面积的最大值．DBOAyxC解答：(1)抛物线令y＝0，解得x＝－2或x＝4，∴A(－2，0)，B(4，0)．∵直线经过点B(4，0)，∴，解得，∴直线BD解析式为：当x＝－5时，y＝3，∴D(－5，3)∵点D(－5，)在抛物线上，∴，∴．∴抛物线的函数表达式为：．(2)设P(m,)∴∴△BPD面积的最大值为．【试题精炼】2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），经过点A的直线l：与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且．（1）直接写出点A的坐标，并用含a的式子表示直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）.（2）点E为直线l下方抛物线上一点，当△ADE的面积的最大值为时，求抛物线的函数表达式；HF解答：1）A（－1，0）∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4∴，∴.∴直线l的函数表达式为y＝ax＋a（2）过点E作EH∥y轴，交直线l于点H设E（x，ax2－2ax－3a），则H（x，ax＋a）.∴∴.∴△ADE的面积的最大值为，∴，解得.∴抛物线的函数表达式为.【中考链接】3.如图，直线l：y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；解答：（1）令x=0代入y=﹣3x+3，∴y=3，∴B（0，3），把B （0，3）代入y=ax2﹣2ax+a+4，∴3=a+4，∴a=﹣1，∴二次函数解析式为：y=﹣x2+2x+3；（2）令y=0代入y=﹣x2+2x+3，∴0=﹣x2+2x+3，∴x=﹣1或3，∴抛物线与x轴的交点横坐标为﹣1和3，∴S=DM•BE+DM•OE=DM（BE+OE）=DM•OB=××3==（m﹣）2+∵0＜m＜3，∴当m=时，S有最大值，最大值为；二、二次函数问题中直角三角形问题（一）例题演示如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．解答：（1）依题意得：，解得，∴抛物线解析式为.把B（，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，得，解得，∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；（2）设P（，t），又∵B（－3，0），C（0，3），∴BC2=18，PB2=（+3）2+t2=4+t2，PC2=（）2+（t－3）2=t26t+10，①若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t2－6t+10解得：t=；②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2即：18+t2－6t+10=4+t2解得：t=4，③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2－6t+10=18解得：，.综上所述P的坐标为（，）或（，4）或（，）或（，）．【试题精炼】如图，二次函数（其中a，m是常数，且a>0，m>0）的图象与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0，－3)，点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD．过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．（1）用含m的代数式表示a；（2）)求证：为定值；（3）设该二次函数图象的顶点为F．探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接CF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）以线段GF、AD、AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时点G的横坐标为－3m.【解析】试题分析：（1）将C点代入函数解析式即可求得.（2）令y=0求A、B的坐标，再根据，CD∥AB，求点D的坐标，由△ADM∽△AEN,对应边成比例，将求的比转化成求比，结果不含m即为定值.（3）连接FC并延长，与x轴负半轴的交点即为所求点G..过点F作FH⊥x轴于点H，在Rt△CGO和Rt△FGH中根据同角的同一个三角函数相等，可求OG（用m表示），然后利用勾股定理求GF和AD（用m表示），并求其比值，由（2）是定值，所以可得AD∶GF∶AE=3∶4∶5，由此可根据勾股定理逆定理判断以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，直接得点G的横坐标.试题解析：解：（1）将C （0，-3）代入函数表达式得，∴.（2）证明：如答图1，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N.由解得x1=－m，x2=3m．∴A(－m，0)，B(3m，0).∵CD∥AB，∴点D的坐标为（2m，－3）．∵AB平分∠DAE．∴∠DAM=∠EAN．∵∠DMA=∠ENA=900，∴△ADM∽△AEN,∴.设点E的坐标为（x,）,∴,∴x=4m.∴为定值.（3）存在，如答图2，连接FC并延长，与x轴负半轴的交点即为所求点G.由题意得：二次函数图像顶点F的坐标为（m，-4），过点F作FH⊥x轴于点H，在Rt△CGO和Rt△FGH 中,∵tan∠CGO＝,tan∠FGH＝,∴=．∴OG=“3m,“由勾股定理得，GF=，AD=∴.由（2）得，∴AD∶GF∶AE=3∶4∶5．∴以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时点G的横坐标为－3m.考点：1.二次函数综合题；2.定值和直角三角形存在性问题；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.二次函数的性质；5.勾股定理和逆定理；6相似三角形的判定和性质；7.锐角三角函数定义.【中考链接】如图所示，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC斜靠在两坐标轴上放在第二象限，点C的坐标为（－1，0）．B点在抛物线y＝x2＋x－2的图像上，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，且B点的横坐标为－3．(1)求BC所在直线的函数关系式．(2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解答：（1）∵C点坐标为（-1,0），∴BD=CO=1．∵B点的横坐标为-3，∴B点坐标为（-3,1）设BC所在直线的函数关系式为y=kx+b，则有，解得∴BC所在直线的函数关系式为y=x．（2）①若以为AC直角边，点C为直角顶点，如图所示，作CP1⊥AC，因为BC⊥AC，所以点P1为直线BC与对称轴直线的交点，即点P1的横坐标为-。

中考数学压轴题：二次函数中的面积问题(含答案)

学生/课程年级日期学科时段课型数学授课教师核心内容二次函数中求面积最值，图形平移或折叠面积问题1.会利用函数的图象性质来研究几何图形的面积最值问题；教学目标重、难点2.掌握几种求图形面积的常见解题方法与技巧，如：割补法、平行等积变换法等。

3.掌握图形平移或折叠变换过程中找等量关系列函数解析式求图形面积问题的一般方法．割补法求三角形面积，动态问题一般解题思路。

了解学生的学习情况S△ = a h或S△ = a d (d表示已知点到直线的距离)以动点作垂直(平行)x轴的直线，即铅垂高，再分别过点A,C作PF的高，即和为水平宽。

S△ = ×水平宽×铅垂高如下图：①等底等高的两个三角形面积相等．②底在同一条直线上并且相等，该底所对角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等．如图，AD∥BC中，AC与BD交点O，则S△ABC = S△DBC，S△AOB = S△COD2如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝mx －8mx＋4m＋2（m＞0）与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（x ，10），C（x ，0），且x －x ＝4，直线AD∥x轴，在x轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线，直线AD2 2 1的交点分别为P，Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值．图形面积的求法常见有三种，分别是：(1)_______________________________(2)_______________________________(3)_______________________________[学有所获答案] (1)直接公式求法割补法平行线等积变换法(2)(3) 2 如图，已知抛物线y ＝x ＋bx ＋c 与轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）与轴交于点C （0，－3），对称轴是直线x＝1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ，点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交抛物线于P ，Q 两点（点P 在第三象限）（1）求抛物线的函数表达式和直线BC 的函数表达式；（2）当△CDE 是直角三角形，且∠CDE ＝90°时，求出点P 的坐标；（3）当△PBC 的面积为时，求点E 的坐标．2 如图，已知抛物线y ＝ x ＋ax ＋4a 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴负半轴交于点C 且OB ＝OC ，点P 为抛物线上的一个动点，且点P 位于x 轴下方，点P 与点C 不重合．（1）求该抛物线的解析式；（2）若△PAC 的面积为，求点P 的坐标；（3）若以A ，B ，C ，P 为顶点的四边形面积记作S ，则S 取何值时，对应的点P 有且只有2个?将（）的图像如何平移到的图像。

2020年初三数学下册中考专题复习二次函数面积最值问题(含答案)

2020年初三数学下册中考专题复习二次函数面积最值问题1．如图，关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N 从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．2．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°得到平行四边形A′B′OC′．抛物线y＝﹣x2+2x+3经过点A、C、A′三点．（1）求A、A′、C三点的坐标；（2）求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′OC′重叠部分△C′OD的面积；（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并写出此时M的坐标．3．如图，直线AB和抛物线的交点是A（0，﹣3），B（5，9），已知抛物线的顶点D的横坐标是2．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）在x轴上是否存在一点C，与A，B组成等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不在，请说明理由；（3）在直线AB的下方抛物线上找一点P，连接PA，PB使得△PAB的面积最大，并求出这个最大值．4．如图，抛物线C1：y＝x2﹣2x与抛物线C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，它们相交于O，C两点，且分别与x轴的正半轴交于点B，点A，OA＝2OB．（1）求抛物线C2的解析式；（2）在抛物线C2的对称轴上是否存在点P，使PA+PC的值最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由；（3）M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点，连接MO，MC，M运动到什么位置时，△MOC面积最大？并求出最大面积．5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．6．如图，二次函数y＝﹣x2+3x+m的图象与x轴的一个交点为B（4，0），另一个交点为A，且与y轴相交于C点（1）求m的值及C点坐标；（2）在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M，使得它与B，C两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M点坐标；若不存在，请简要说明理由（3）P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；②点P的横坐标为t（0＜t＜4），当t为何值时，四边形PBQC的面积最大，请说明理由．7．如图，抛物线y＝ax2+bx+与直线AB交于点A（﹣1，0），B（4，），点D是抛物线A、B两点间部分上的一个动点（不与点A、B重合），直线CD与y轴平行，交直线AB于点C，连接AD，BD．（1）求抛物线的表达式；（2）设点D的横坐标为m，△ADB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出当S 取最大值时的点C的坐标．8．如图A（0，3），B（3，0），C（1，0）分别是抛物线：y＝ax2+bx+c（a≠0）上的三点，点P为抛物线上一动点．（1）求此抛物线的解析式．（2）当△PAB是以AB为一直角边的直角三角形时，求此时点P的坐标．（3）若点P在抛物线上A、B两点之间移动时，是否存在一个位置，使△PAB的面积最大？若存在，请求此时点P的坐标．若不存在，请说明理由．9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，3）、B（﹣1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E．点P为直线AE上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）当t为何值时，△PAE的面积最大？并求出最大面积；（3）是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C （0，﹣3）（1）求出该抛物线的函数关系式及对称轴（2）点P是抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t（0＜t＜3）．当△PCB的面积的最大值时，求点P的坐标（3）在（1）的条件下，点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，若以BC为边，以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求P点的坐标．11．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于C（0，3），直线y＝+m经过点C，与抛物线的另一交点为点D，点P是直线CD上方抛物线上的一个动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E，设点P的横坐标为m．（1）求抛物线解析式并求出点D的坐标；（2）连接PD，△CDP的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△CPE是等腰三角形时，请直接写出m的值．12．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为﹣8．点P是直线AB上方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为E，交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D，交x轴于点F．（1）求该抛物线的解析式；（2）求sin∠ACE的值；（3）连接PA、PB（如图2所示），设△PAB的面积为S，点P的横坐标为x，求S关于x的函数关系式，并求出S的最大值．13．如图，⊙M的圆心M（﹣1，2），⊙M经过坐标原点O，与y轴交于点A．经过点A的一条直线l解析式为：y＝﹣x+4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x轴上点D（2，0）和点C（﹣4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：直线l是⊙M的切线；（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E；PF∥y轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小．若存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．14．如图，已知抛物线y＝ax2﹣x+c与x轴相交于A、B两点，并与直线y＝x﹣2交于B、C两点，其中点C是直线y＝x﹣2与y轴的交点，连接AC．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：△ABC为直角三角形；（3）△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFG？（顶点D、E、F、G在△ABC各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由．15．如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E （0，4）．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x＝1交x轴于点B．连接EC，AC．点P，Q为动点，设运动时间为t秒．（1）填空：点A坐标为；抛物线的解析式为．（2）在图①中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？（3）在图②中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P做PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？16．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x＝﹣1，P为抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）当点P的纵坐标为2时，求点P的横坐标；（3）当点P在运动过程中，求四边形PABC面积最大时的值及此时点P的坐标．17．如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积．18．如图，已知抛物线y＝﹣+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知B点的坐标为B（8，0）．（1）求抛物线的解析式及其对称轴方程．（2）连接AC、BC，试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由．（3）在抛物线上BC之间是否存在一点D，使得△DBC的面积最大？若存在请求出点D 的坐标和△DBC的面积；若不存在，请说明理由．19．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣4，0）、B（1，0）两点，与y轴交于C点，对称轴x＝﹣，点N（n，0）是线段AB上的一个动点（N与A、B两点不重合），请回答下列问题：（1）求出抛物线的解析式，并写出C点的坐标；（2）试求出当n为何值时，△ANC恰能构成是等腰三角形．（3）如图2，过N作NF∥BC，与AC相交于D点，连结CN，请问在N点的运动过程中，△CDN的面积是否存在最大值；若存在，试求出该最大面积，若不存在，请说明理由．20．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（5，0），与y轴交于点C（0，3）．该抛物线与直线相交于C，D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M，N．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）连结PC，PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；（3）连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ 与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．详细答案一．解答题（共20小题）1．【解答】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y＝x2+bx+c，解得：b＝﹣4，c＝3，∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣4x+3；（2）令y＝0，则x2﹣4x+3＝0，解得：x＝1或x＝3，∴B（3，0），∴BC＝3，点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，①当CP＝CB时，PC＝3，∴OP＝OC+PC＝3+3或OP＝PC﹣OC＝3﹣3∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；②当BP＝BC时，OP＝OB＝3，∴P3（0，﹣3）；③当PB＝PC时，∵OC＝OB＝3∴此时P与O重合，∴P4（0，0）；综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，﹣3）或（0，0）；（3）如图2，设A运动时间为t，由AB＝2，得BM＝2﹣t，则DN＝2t，∴S△MNB＝×（2﹣t）×2t＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣1）2+1，即当M（2，0）、N（2，2）或（2，﹣2）时△MNB面积最大，最大面积是1．2．【解答】解：（1）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1，则C（﹣1，0），A ′（3，0）；当x＝0时，y＝3，则A（0，3）；（2）∵四边形ABOC为平行四边形，∴AB∥OC，AB＝OC，而C（﹣1，0），A（0，3），∴B（1，3）＝×3×1＝，∴OB＝＝，S△AOB又∵平行四边形ABOC旋转90°得平行四边形A′B′OC′，∴∠ACO＝∠OC′D，OC′＝OC＝1，又∵∠ACO＝∠ABO，∴∠ABO＝∠OC′D．又∵∠C′OD＝∠AOB，∴△C′OD∽△BOA，∴＝（）2＝（）2＝，＝×＝；∴S△C′OD（3）设M点的坐标为（m，﹣m2+2m+3），0＜m＜3，作MN∥y轴交直线AA′于N，易得直线AA′的解析式为y＝﹣x+3，则N（m，﹣m+3），∵MN＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，∴S△AMA′＝S△ANM+S△MNA′＝MN•3＝（﹣m2+3m）＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，∴当m＝时，S△AMA'的值最大，最大值为，此时M点坐标为（）．3．【解答】解：（1）抛物线的顶点D的横坐标是2，则x＝﹣＝2…①，抛物线过是A（0，﹣3），则：函数的表达式为：y＝ax2+bx﹣3，把B点坐标代入上式得：9＝25a+5b﹣3…②，联立①、②解得：a＝，b＝﹣，c＝﹣3，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣3，当x＝2时，y＝﹣，即顶点D的坐标为（2，﹣）；（2）A（0，﹣3），B（5，9），则AB＝13，①当AB＝AC时，设点C坐标（m，0），则：（m）2+（﹣3）2＝132，解得：m＝±4，即点C坐标为：（4，0）或（﹣4，0）；②当AB＝BC时，设点C坐标（m，0），则：（5﹣m）2+92＝132，解得：m＝5，即：点C坐标为（5，0）或（5﹣2，0），③当AC＝BC时，设点C坐标（m，0），则：点C为AB的垂直平分线于x轴的交点，则点C坐标为（，0），故：存在，点C的坐标为：（4，0）或（﹣4，0）或（5，0）或（5﹣2，0）或（，0）；（3）过点P作y轴的平行线交AB于点H，设：AB所在的直线过点A（0，﹣3），则设直线AB的表达式为y＝kx﹣3，把点B坐标代入上式，9＝5k﹣3，则k＝，故函数的表达式为：y＝x﹣3，设：点P坐标为（m，m2﹣m﹣3），则点H坐标为（m，m﹣3），S△P AB＝•PH•x B＝（﹣m2+12m），取得最大值为：，当m＝2.5时，S△P AB答：△PAB的面积最大值为．4．【解答】解：（1）令：y＝x2﹣2x＝0，则x＝0或2，即点B（2，0），∵C1、C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，则a＝﹣1，则点A（4，0），将点A的坐标代入C2的表达式得：0＝﹣16+4b，解得：b＝4，故抛物线C2的解析式为：y＝﹣x2+4x；（2）联立C1、C2表达式并解得：x＝0或3，故点C（3，3），作点C关于C2对称轴的对称点C′（1，3），连接AC′交函数C2的对称轴与点P，此时PA+PC的值最小为：线段AC′的长度＝3，此时点P（2，2）；（3）直线OC的表达式为：y＝x，过点M作y轴的平行线交OC于点H，设点M（x，﹣x2+4x），则点H（x，x），＝MH×x C＝（﹣x2+4x﹣x）＝﹣x2+x，则S△MOC∵﹣＜0，故x＝，最大值为．故当点M（，）时，S△MOC5．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，把A、B、C三点坐标代入可得，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣3x﹣4；（2）作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图1，∴PO＝PC，此时P点即为满足条件的点，∵C（0，﹣4），∴D（0，﹣2），∴P点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可得x2﹣3x﹣4＝﹣2，解得x＝（小于0，舍去）或x＝，∴存在满足条件的P点，其坐标为（，﹣2）；（3）∵点P在抛物线上，∴可设P（t，t2﹣3t﹣4），过P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图2，∵B（4，0），C（0，﹣4），∴直线BC解析式为y＝x﹣4，∴F（t，t﹣4），∴PF＝（t﹣4）﹣（t2﹣3t﹣4）＝﹣t2+4t，＝S△PFC+S△PFB＝PF•OE+PF•BE＝PF•（OE+BE）＝PF•OB＝（﹣t2+4t）∴S△PBC×4＝﹣2（t﹣2）2+8，最大值为8，此时t2﹣3t﹣4＝﹣6，∴当t＝2时，S△PBC∴当P点坐标为（2，﹣6）时，△PBC的最大面积为8．6．【解答】解：（1）将B（4，0）代入y＝﹣x2+3x+m，解得，m＝4，∴二次函数解析式为y＝﹣x2+3x+4，令x＝0，得y＝4，∴C（0，4），（2）存在，理由：∵B（4，0），C（0，4），∴直线BC解析式为y＝﹣x+4，当直线BC向上平移b单位后和抛物线只有一个公共点时，△MBC面积最大，∴，∴x2﹣4x+b＝0，∴△＝16﹣4b＝0，∴b＝4，∴，∴M（2，6），（3）①如图，∵点P在抛物线上，∴设P（m，﹣m2+3m+4），当四边形PBQC是菱形时，点P在线段BC的垂直平分线上，∵B（4，0），C（0，4）∴线段BC的垂直平分线的解析式为y＝x，∴m＝﹣m2+3m+4，∴m＝1±，∴P（1+，1+）或P（1﹣，1﹣），②如图，设点P（t，﹣t2+3t+4），过点P作y轴的平行线l，过点C作l的垂线，∵点D在直线BC上，∴D（t，﹣t+4），∵PD＝﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+4t，BE+CF＝4，＝2S△PCB＝2（S△PCD+S△PBD）＝2（PD×CF+PD×BE）＝4PD＝﹣4t2+16t，∴S四边形PBQC∵0＜t＜4，＝16∴当t＝2时，S四边形PBQC最大7．【解答】解：（1）∵由题意得解得：，∴y＝﹣x2+2x+．（2）设直线AB为：y＝kx+b．则，解得直线AB的解析式为y＝+．如图所示：记CD与x轴的交点坐标为E．过点B作BF⊥DC，垂足为F．设D（m，﹣m2+2m+）则C（m，m+）．∵CD＝（﹣m2+2m+）﹣（m+）＝m2+m+2，∴S＝AE•DC+CD•BF＝CD（AE+BF）＝DC＝m2+m+5．∴S＝m2+m+5．∵﹣＜0，∴当m＝时，S有最大值．∴当m＝时，m+＝×+＝．∴点C（，）．8．【解答】解：（1）将A（0，3），B（3，0），C（1，0）代入y＝ax2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3．（2）设点P的坐标为（m，m2﹣4m+3）．∵点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（3，0），∴AP2＝（m﹣0）2+（m2﹣4m+3﹣3）2＝m4﹣8m3+17m2，BP2＝（m﹣3）2+（m2﹣4m+3）2＝m4﹣8m3+23m2﹣30m+18，AB2＝（3﹣0）2+（0﹣3）2＝18．分两种情况考虑：①当∠BAP＝90°时，AB2+AP2＝BP2，即18+m4﹣8m3+17m2＝m4﹣8m3+23m2﹣30m+18，整理，得：m2﹣5m＝0，解得：m1＝0（舍去），m2＝5，∴点P的坐标为（5，8）；②当∠ABP＝90°时，AB2+BP2＝AP2，即18+m4﹣8m3+23m2﹣30m+18＝m4﹣8m3+17m2，整理，得：m2﹣5m+6＝0，解得：m3＝2，m3＝3（舍去），∴点P的坐标为（2，﹣1）．综上所述：当△PAB是以AB为一直角边的直角三角形时，点P的坐标为（5，8）或（2，﹣1）．（3）存在，如图过点P作PD∥y轴交直线AB于点D．设直线AB的解析式为y＝kx+d（k≠0），将A（0，3），B（3，0）代入y＝kx+d，得：，解得：，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3．设点P的坐标为（n，n2﹣4n+3）（0＜n＜3），则点D的坐标为（n，﹣n+3），∴PD＝（﹣n+3）﹣（n2﹣4n+3）＝﹣n2+3n，＝OB•PD＝﹣n2+n＝﹣（n﹣）2+．∴S△P AB∵﹣＜0，取得最大值，此时最大值为，∴当n＝时，S△P AB∴当△PAB的面积取最大值时，点P的坐标为（，﹣）．9．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）∵A（0，3），D（2，3），∴抛物线对称轴为x＝1，∴E（3，0），设直线AE的解析式为y＝kx+3，∴3k+3＝0，解得，k＝﹣1，∴直线AE的解析式为y＝﹣x+3，如图1，作PM∥y轴，交直线AE于点M，设P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+3），∴PM＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t，∴＝＝，∴t＝时，△PAE的面积最大，最大值是．（3）由图可知∠PEA≠90°，∴只能有∠PAE＝90°或∠APE＝90°，①当∠PAE＝90°时，如图2，作PG⊥y轴，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA＝45°，∴∠PAG＝∠APG＝45°，∴PG＝AG，∴t＝﹣t2+2t+3﹣3，即﹣t2+t＝0，解得t＝1或t＝0（舍去），②当∠APE＝90°时，如图3，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，则PK＝﹣t2+2t+3，AQ＝t，KE＝3﹣t，PQ＝﹣t2+2t+3﹣3＝﹣t2+2t，∵∠APQ+∠KPE＝∠APQ+∠PAQ＝90°，∴∠PAQ＝∠KPE，且∠PKE＝∠PQA，∴△PKE∽△AQP，∴，∴，即t2﹣t﹣1＝0，解得：t＝或t＝＜0（舍去），综上可知存在满足条件的点P，t的值为1或．10．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣3），∴﹣3＝a（0+1）（0﹣3），∴a＝1∴设抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，对称轴为直线x＝1；（2）设P（t，t2﹣2t﹣3），S△PCB＝S△POC+S△POB﹣S△BOC＝×3t+×3×|t2﹣2t﹣3|﹣＝∵a＝＜0，∴函数有最大值，当t＝时，面积最大，∴P（）（3）设Q（1，n）），①当PQ、PC为平行四边形的对角线时，P（4，n+3），∴42﹣2×4﹣3＝n+3，n＝2，∴P（4，5）；②当CQ、BP为平行四边形的对角线时，P（﹣2，n﹣3），∴（﹣2）2﹣2×（﹣2）﹣3＝n﹣3，n＝8，∴P（﹣2，5）；综上所述，以BC为边，以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，P点的坐标（4，5），（﹣2，5）．11．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，3）分别代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；把C（0，3）代入y＝﹣x+m，解得m＝3，∴直线CD的解析式为y＝﹣x+3，解方程组，解得或，∴D点坐标为（，）；（2）存在．设P（m，﹣m2+2m+3），则E（m，﹣m+3），∴PE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+m，＝••（﹣m2+m）＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，∴S△PCD当m＝时，△CDP的面积存在最大值，最大值为；（3）当PC＝PE时，m2+（﹣m2+2m+3﹣3）2＝（﹣m2+m）2，解得m＝0（舍去）或m＝；当CP＝CE时，m2+（﹣m2+2m+3﹣3）2＝m2+（﹣m+3﹣3）2，解得m＝0（舍去）或m＝（舍去）或m＝；当EC＝EP时，m2+（﹣m+3﹣3）2＝（﹣m2+m）2，解得m＝（舍去）或m ＝，综上所述，m的值为或或．12．【解答】解：（1）当x＝﹣8时，y＝x﹣＝﹣，则B（﹣8，﹣），当y＝0时，x﹣＝0，解得x＝2，则A（2，0），把B（﹣8，﹣），A（2，0）代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，∴抛物线的解析式y＝﹣x2﹣x+；（2）当x＝0时，y＝x﹣＝﹣，则G（0，﹣），在Rt△AOG中，∵OG＝，OA＝2，∴AG＝＝，∴sin∠AGO＝＝＝，∵PC⊥x轴，∴PC∥OG，∴∠ACE＝∠AGO，∴sin∠ACE＝；（3）设P（x，﹣x2﹣x+），则C（x，x﹣），∴PC＝﹣x2﹣x+﹣（x﹣）＝﹣x2﹣x+4，∴S＝•（2+8）•（﹣x2﹣x+4）＝﹣x2﹣x+20＝﹣（x+3）2+，当x＝﹣3时，S的最大值为．13．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）（x+4），将点M的坐标代入得：﹣9a＝2，解得：a＝﹣．∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+．（2）连接AM，过点M作MG⊥AD，垂足为G．把x＝0代入y＝﹣x+4得：y＝4，∴A（0，4）．将y＝0代入得：0＝﹣x+4，解得x＝8，∴B（8，0）．∴OA＝4，OB＝8．∵M（﹣1，2），A（0，4），∴MG＝1，AG＝2．∴tan∠MAG＝tan∠ABO＝．∴∠MAG＝∠ABO．∵∠OAB+∠ABO＝90°，∴∠MAG+∠OAB＝90°，即∠MAB＝90°．∴l是⊙M的切线．（3）∵∠PFE+∠FPE＝90°，∠FBD+∠PFE＝90°，∴∠FPE＝∠FBD．∴tan∠FPE＝．∴PF：PE：EF＝：2：1．∴△PEF的面积＝PE•EF＝×PF•PF＝PF2．∴当PF最小时，△PEF的面积最小．设点P的坐标为（x，﹣x2﹣x+），则F（x，﹣x+4）．∴PF＝（﹣x+4）﹣（﹣x2﹣x+）＝﹣x+4+x2+x﹣＝x2﹣x+＝（x﹣）2+．∴当x＝时，PF有最小值，PF的最小值为．∴P（，）．∴△PEF的面积的最小值为＝×（）2＝．14．【解答】（1）解：∵直线y＝x﹣2交x轴、y轴于B、C两点，∴B（4，0），C（0，﹣2），∵y＝ax2﹣x+c过B、C两点，∴，解得，∴y＝x2﹣x﹣2．（2）证明：如图1，连接AC，∵y＝x2﹣x﹣2与x负半轴交于A点，∴A（﹣1，0），在Rt△AOC中，∵AO＝1，OC＝2，∴AC＝，在Rt△BOC中，∵BO＝4，OC＝2，∴BC＝2，∵AB＝AO+BO＝1+4＝5，∴AB2＝AC2+BC2，∴△ABC为直角三角形．（3）解：△ABC内部可截出面积最大的矩形DEFG，面积为，理由如下：①一点为C，AB、AC、BC边上各有一点，如图2，此时△AGF∽△ACB∽△FEB．设GC＝x，AG＝﹣x，∵，∴，∴GF＝2﹣2x，∴S＝GC•GF＝x•（2）＝﹣2x2+2x＝﹣2[（x﹣）2﹣]＝﹣2（x﹣）2+，即当x＝时，S最大，为．②AB边上有两点，AC、BC边上各有一点，如图3，此时△CDE∽△CAB∽△GAD，设GD＝x，∵，∴，∴AD＝x，∴CD＝CA﹣AD＝﹣x，∵，∴，∴DE＝5﹣x，∴S＝GD•DE＝x•（5﹣x）＝﹣x2+5x＝﹣[（x﹣1）2﹣1]＝﹣（x﹣1）2+，即x＝1时，S最大，为．综上所述，△ABC内部可截出面积最大的矩形DEFG，面积为．15．【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为x＝1，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4），点A在DE上，∴点A坐标为（1，4），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，把C（3，0）代入抛物线的解析式，可得a（3﹣1）2+4＝0，解得a＝﹣1．故抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，即y＝﹣x2+2x+3；（2）依题意有：OC＝3，OE＝4，∴CE＝＝＝5，当∠QPC＝90°时，∵cos∠QCP＝＝，∴＝，解得t＝；当∠PQC＝90°时，∵cos∠QCP＝＝，∴＝，解得t＝．∴当t＝或t＝时，△PCQ为直角三角形；（3）∵A（1，4），C（3，0），设直线AC的解析式为y＝kx+b，则，解得．故直线AC的解析式为y＝﹣2x+6．∵P（1，4﹣t），将y＝4﹣t代入y＝﹣2x+6中，得x＝1+，∴Q点的横坐标为1+，将x＝1+代入y＝﹣（x﹣1）2+4中，得y＝4﹣．∴Q点的纵坐标为4﹣，∴QF＝（4﹣）﹣（4﹣t）＝t﹣，＝S△AFQ+S△CFQ∴S△ACQ＝FQ•AG+FQ•DG＝FQ（AG+DG）＝FQ•AD＝×2（t﹣）＝﹣+t＝﹣（t2+4﹣4t﹣4）＝﹣（t﹣2）2+1，∴当t＝2时，△ACQ的面积最大，最大值是1．16．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A和点B（1，0），与y 轴交于点C（0，3），其对称轴l为x＝﹣1，∴A（﹣3，0），∴解得：，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴顶点坐标为（﹣1，4）．（2）设点P（x，2）即y＝﹣x2﹣2x+3＝2，解得x1＝﹣1或x2＝﹣﹣1，∴点P（﹣1，2）或（﹣﹣1，2）．（3）设点P（x，y），则y＝﹣x2﹣2x+3，＝S△OBC+S△OAP+S△OPC，∵S四边形BCP A∴＝，∵﹣＜0，∴当x＝﹣时，四边形PABC的面积有最大值，所以点P（﹣，）．17．【解答】解：（1）设抛物线为y＝a（x﹣4）2﹣1，∵抛物线经过点A（0，3），∴3＝a（0﹣4）2﹣1，；∴抛物线为；（2）相交．证明：连接CE，则CE⊥BD，当时，x1＝2，x2＝6．A（0，3），B（2，0），C（6，0），对称轴x＝4，∴OB＝2，AB＝＝，BC＝4，∵AB⊥BD，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∠OBA+∠EBC＝90°，∴△AOB∽△BEC，∴＝，即＝，解得CE＝，∵＞2，故抛物线的对称轴l与⊙C相交．（3）如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q；可求出AC的解析式为；设P点的坐标为（m，），则Q点的坐标为（m，）；∴PQ＝﹣m+3﹣（m2﹣2m+3）＝﹣m2+m．＝S△P AQ+S△PCQ＝×（﹣m2+m）×6∵S△P AC＝﹣（m﹣3）2+；∴当m＝3时，△PAC的面积最大为；此时，P点的坐标为（3，）．18．【解答】解：（1）∵B点的坐标为B（8，0），∴﹣16+8b+4＝0，解得b＝，∴抛物线的解析式为y═﹣+x+4，对称轴方程为x＝﹣＝3；（2）∵由（1）知，抛物线的对称轴方程为x＝3，B（8，0）∴A（﹣2，0），C（0，4），∴OA＝2，OC＝4，OB＝8，∴tan∠ACO＝tan∠CBO＝，∴∠ACO＝∠CBO．∵∠AOC＝∠COB＝90°，∴△AOC∽△COB．（3）设BC解析式为y＝kx+b，把（8，0），（0，4）分别代入解析式得，，解得，解得y＝﹣x+4，作DH⊥x轴，交BC于H．设D（t，﹣t2+t+4），H（t，﹣t+4），S△BCD＝DH•OB＝×（﹣t2+t+4+t﹣4）×8＝﹣t2+8t＝﹣（t2﹣8t+42﹣16）＝﹣（t﹣4）2+16，当t＝4时，△DBC的最大面积为16，此时D点坐标为（4，6）．19．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣4，0）、B（1，0）两点，不妨设抛物线的解析式为y＝﹣（x+4）（x﹣1），即y＝﹣x2﹣x+2．∴C（0，2）．（2）分两种情形：①当AN＝AC时，如图1中，∵AC＝＝2，∴n﹣（﹣4）＝2，∴n＝2﹣4．②当NA＝NC时，如图2中，在Rt△NOC中，OC＝2，∵NC＝NA＝n﹣（﹣4）＝n+4，ON＝n，∴n2+22＝（n+）2，解得n＝﹣．综上所述，当n＝2﹣4或﹣时，△ANC是等腰三角形．（3）如图3中，由题意可知：直线BC的解析式为y＝﹣2x+2，直线AC的解析式为y＝x+2，设N（n，0），易知N在线段OB上时，△CDN的面积较小，不妨设n＜0，∵ND∥BC，设ND的解析式为y＝﹣2x+b，代入（n，0）可得b＝2n，∴ND的解析式为y＝﹣2x+2n，由，可得点D的纵坐标：y D＝（8+2n），＝S△AOC﹣S△ADN﹣S△CON∴S△CDN＝[2×4﹣2|n|﹣（8+2n）（n+4）＝﹣（n+）2+，∵﹣＜0，∴当n＝﹣时，△DCN的面积最大，最大值为．20．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0）、点B（5，0）和点C（0，3），因为与y轴相较于点C，所以c＝3．∴，解得，∴该抛物线对应的函数解析式为y＝x2﹣x+3；（2）∵点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，∴可设P（t，t2﹣t+3）（1＜t＜5），∵直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N，∴M（t，0），N（t，t+3），∴PN＝t+3﹣（t2﹣t+3）＝﹣（t﹣）2+直线CD与抛物线解析式可得，解得或，∴C（0，3），D（7，），分别过C、D作直线PN的垂线，垂足分别为E、F，如图1，则CE＝t，DF＝7﹣t，＝S△PCN+S△PDN＝PN•CE+PN•DF＝PN＝[﹣（t﹣）2+]＝﹣（t ∴S△PCD﹣）2+，∴当t＝时，△PCD的面积有最大值，最大值为；（3）存在．∵∠CQN＝∠PMB＝90°，∴当△CNQ与△PBM相似时，有或两种情况，∵CQ⊥PM，垂足为Q，∴Q（t，3），且C（0，3），N（t，t+3），∴CQ＝t，NQ＝t+3﹣3＝t，∴，∵P（t，t2﹣t+3），M（t，0），B（5，0），∴BM＝5﹣t，PM＝0﹣（t2﹣t+3）＝﹣t2+t﹣3，当时，则PM＝BM，即﹣t2+t﹣3＝（5﹣t），解得t＝2或t＝5（舍去），此时P（2，﹣）；当时，则BM＝PM，即5﹣t＝（﹣t2+t﹣3），解得t＝或t＝5（舍去），此时P（，﹣）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（2，﹣）或（，﹣）．。

2022年中考数学复习之二次函数压轴题40个问题

中考复习之二次函数压轴40个问题主要题型：1.二次函数之面积问题2.二次函数之特殊三角形的存在性问题3.二次函数之特殊四边形的存在性问题4.二次函数之线段最值问题5.二次函数之角度问题题目：如图,抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝OC＝３，OA＝１，顶点为D第1问.如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D.求二次函数的解析式；解:设:设二次函数解为y=a(x+1)(x-3)将(0,3)代入得a=-1,故二次函数解析式为y=-x2+2x +3第2问.如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OB=OC=3,OA=1.顶点为D1.判断∆BCD的形状；解:D(1,4),B(3,0),C(0,3),方法一:BC=32,CD=2,BD=25,BC2+CD2=BD2,故∆BCD是直角三角形；方法二:KCD =1,KBC=-1,KCD∙KBC=-1,故CD⊥CB,所以∆BCD是直角三角形；yxBCAODyxBCAODyxBCAODyxBCAOD第3问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OB=OC=3,OA=1.顶点为D, 2. 四边形ABDC 的面积解:BC:y =-x +3,铅垂法:E(1,2)DE=2,S BCD ∆=21∙2∙3=3 S ABDC 四=21∙4∙3+3=9第4问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D, 1. P 为直线BC 上方抛物线上一点,求∆PBC 面积最大值及P 点坐标；解:方法一:设P(m,-m+2m+3)S PBC ∆=21∙3∙[-m 2+2m+3-(m+3)] =23(-m 2+3m),当m=23时,S 有最大值,此时P(23,415)S m ax =827 方法二:平移BC 至抛物线相切时,面积可取最大值设切线为y =-x +n,与抛物线y =-x 2+2x+3联立得x2-3x +n -3=0,∆=0,n=23,y =415,故P(23,415)S m ax =827y xBCAODy xBCAODEy xBCAOD第5问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D5点M 为BC 上方抛物线上一点,过点M 作y 轴的平行线交BC 于点N,求MN 的最大值；解:设点M(m,-m 2+2m+3),BC:y =-x +3,则点N(m,-m+3)MN=-m 2+2m+3-(-m+3)=-m 2+3m 当m=23时,MN m ax =49第6问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OC=3,OA=1,顶点为D, 6. 在对称轴上找一点P,使∆ACP 的周长最小,并求出最小值解:点A 、B 关于对称轴对称,连接BP,则BP=AP,PA+PC=PB+PC,当点B 、P 、C 三点共线时,可取最小值,此时P(1,2),∆ACP 周长的最小值为10+32第7问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1. 在y 轴上找一点E,使∆BDE 为直角三角形,求出E 点坐标, 方法一:y xBCAOPDy xBCAODy xNBCAODMy xBCAOD P1.DE ⊥BE 时,设E(0,m)易知∆DEF~∆EBO,OE DF =BO EF ,即m 1=34m-,m=3或1,故E 1(0,1)、E 2(0,3)2. DE ⊥DB 时,设E(0,m)易知∆DEN~∆BDM,BM DN =DM EN ,即m 1=34m -,m=27故E ；(0,27)3. DB ⊥BE 时,设E(0,m),易知∆DBF~∆BEG,BG DF =EG BF ,即m -2=34,m=-23,故E 4(0,-23)第8问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1. 在y 轴上找一点F,使∆BDF 为等腰三角形,求出F 点坐标；2. BD=DF,设F(0,m),22)4()01(m -+-=25,m=4+9 或4-19,F 1(0,4+19);F 2(0,4-19)yxFBCAODExyN MBCAODExy GFEBCAODxy BCAODF2.BD=BF,设F(0,m),22)0()03(m -+-=25,m=±11,F 1(0,11),F 2(0,-11)3.DF=BF,设F(0,m),22)0()03(m -+-=22)4()01(m -+-,m=1,F 4(0,1)第9问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1. 求抛物线上一点N,使S ABN ∆=S ABC ∆；解:设N 点的坐标(m,n),则∆ABC 与∆ABN 底相同,故n=±3,-m 2+2m+3=3或者-m 2+2m+3=3得m 1=0,m 2=2,m 3=1-7,m 4=1+7,N(0,3),(2,3),(1-7,-3),(1+7,-3)第10问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D, 1. 在抛物线上找一点Q,使S BDQ ∆=S AOC ∆解:设Q(m,-m 2+2m+3),S AOC ∆=23,BD ：y =-2x +6,铅垂高QS=|-m 2+2m+3-(-2m+6)| S BDQ ∆=|-m 2+2m+3-(-2m+6)|∙21∙1=23得m=0或4Q(0,3),(4,-5),xBCAODFBCAOD FBCAODFBCAODN第11问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.在抛物线上找一点E,使BE 平分∆ABC 的面积；解:BE 平分∆ABC 的面积,故BE 经过AC 的中点,AC 中点(-21,23),BE:y =-73x +79; 与抛物线联立得-x 2+2x +3=-73+79x =-74或722,E(-74;4919)或(722；491849)第12问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA =1,顶点为D 1.在对称轴上找一点M,使|MB -MC|取最大值,并求出最大值；解:点B 关于对称轴对称的点A,连接MA,则MB=MA,MA -MC<AC, 当点A 、C 、M 共线时,|MB -MA|m ax =AC=10, AC:y =3x x +3,M(1,6)第13问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.M 、N 为对称轴上的两点(M 在N 点上方),且MN=1,求四边形ACNM 周长的最小值；解:A 关于对称轴对称的点B,连接BN,则BN=AN,将点向下平移1个单位得C’、N,则C’N=CM, 故CM+BN=C’N+BN,当C’、N 、B 共线时,取最小值(CM+BN)m in =13,故ACNM 周长得最小值为1+10+13BCAODQABCODEABCODM第14问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.E 在抛物线对称轴上,在抛物线上找一点F,使得点四边形ACFE 为平行四边形；解:设E(1,m)F(n,-n 2+2n+3),A(-1,0),C(0,3),A 平行至点C 与E 平移至点F, n=1+1=2,m+3=-n 2+2n+3,m=0,故E(1,0)F(2,3)第15问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.M 为y 轴上一点,在坐标平面内找一点N,使A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为菱形；解:当 ACM 为等腰三角形时,问题转化为等腰三角形问题 1.ACNM 为菱形时,M(0,3),N(1,0),2.AMCN 为菱形时,M(0,34),N(-1,35),3.ACMN 为菱形时,M(0,3+10),N(-1,10)ABCODMNABCODM NC'ABCODEFABCODMN ABCONDM4.ACMN 为菱形时,M(0,3-10),N(-1,-10)第16问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.E 为x 轴上一点,以BE 为边的正方形BEFG ；另一点G 在抛物线上,求点F 坐标；设E(m,0)则EF=|-m 2+2m+3|由EF=EB 得3-m=|-m 2+2m+3|,m=0或m=-2故F(0,3)或F(-2,-5)第17问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.P 是抛物线上任意一点,过点P 作PE ⊥y 轴于点E,交直线BC 于点G ；过点G 作GF ⊥x 轴,连接EF,求EF 的最小值；连接OG,则OG=EF,当OG ⊥BC 时,OG 最小,即EF 最小,故EF m in =233x C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D1.M 在抛物线上CB 上方一点过点M 作y 轴的平行线,交BC 于点E,则ME 的最大值是多少? 解:设M(m,-m 2+2m+3),BC :y =-x +3,E(m,3-m),ME=-m 2+2m+3-(3-m)=-m 2+3m,当m=23ABCONDMABCNODMGCABO EFF CABOE GFEGCABOPFEGCABOP时,ME m ax =49第19问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.求一点P,使∠POC=∠PCO ；解:点P 在OC 得垂直平分线上,-x2+2x +3=23,x =1±210P 1(1-210,23)P 2(1+210,23)第20问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D1.E(2,-2),M 为x 轴上一点,且∠EMO=∠CMO ； 1.M 在右侧时,易知∆CMO~∆EMG,设M(m,0)则有2-m m =23,m=6 2.M 在左侧时,同理易知∆CMO~∆EMG ,m m --2=23,m=6(舍) 第21问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.P 是直线y =x 上的动点,当直接y =x 平分∠APB 时,求点P 的坐标；如图,∆PAO ≅∆PEO,此时OE=OA=1,故E(0,-1),EB ：y =31x -1,与y =x 得x =-23,P(-23,-23) ECABOMPPCABOCABOEMG第22问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.点P 在抛物线上,且∠ABP=∠CBD,求P 坐标；解:C(0,3)D(1,4)B(3,0)tan ∠CBD=31,故tan ∠PBO=31,OE=1或者OF=1,PB ：y =-31x +1或y 且=31x -1,联立可得P 1(-32,911)P 2(-23,-23)第23问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D1.在抛物线上找一点P,使∠ACP=450；方法1:∠OCB=∠ACP=450,得∠ACO=∠ECB,故tan ∠ECB=31,作EH ⊥BC,设BH=m,则EH=m;CH=3m,故4m=32,m=423,E(23,0)故CE:y =-2x +3,联立得P(4,-5) 方法2:由12345模型得tan ∠ECO=21得E(23,0)第24问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.P 在抛物线上,∠DBP=450；由tan ∠CBD=31,∠CBD+∠CBP=450,而∠PBO+∠CBP=450,故tan ∠PBO=31,BP:y =-31x +1,P(-32,911) ECABOPPEFCABODPPHECABOPDP第25问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.点P 在抛物线上,∠PCB=150,求点P 的坐标；解:由∠BCO=450得∠PCO=30或∠PCO=600,故PC:y =-3x +3或y =-33x +3联立得P(2+3,-23)P(2+33,3328-)第26问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D1.直线y =31x -1与y 轴交于点E,求∠EBC -∠CBD ；由tan ∠DBC=tan ∠EBO=31,故∠EBC -∠CBD=450第27问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.过点P(3,0)作直线与抛物线交于F 、G 、FM 、GN 分别垂直于x 轴,求PM,PN ；设F(1x ,1y )G(2x ,2y ),直线y =k (x +3)与抛物线y =-2x +2x +3联立得2x +(k -2)x +3k -3=0;1x +2x =2-k ,1x •2x =3k -3,PM •PN=(1x +3)(2x +3)=1x •2x +3(1x +2x )+9=12CABOPDPPF CABODPEECABODENMGFCABOPD第28问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为DP 是第一象限抛物线上,PE ⊥AB,求BEAE的值,若PE 2=AE •BE,求P 点坐标设P(m,-m 2+2m+3),AE=m+1,BE=3-m,BE AE =mm -+31,(m+1)(3-m)=(-m 2+2m+3)2得m=1+3,P(1+3,1)第29问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D M 为直线y =33x 3上的点,N(0,-1),求23BM+MN 的最小值, 过点B 作I ⊥x 轴,MH ⊥I,∠MBH=600,MH=23BM,23BM+MN=MH+MN,当N 、M 、H 共线且垂直于I 时取最值(23BM+MN)min=3第30问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D M 为直线y =33x 3上的点,求21BM+OM 的最小值过点B 作I:y =3x -33,MH ⊥I,∠MBH=300,MH=21BH,21BH+OM=MH+OM,当Q 、M 、H共线且垂直于I 时取最值(21BM+MN )min=233xy EBCAOPxy BCA O MN H第31问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D M 为直线y =33x 3上的点,求22BM+OM 的最小值过点B 作I,I 与直线MN 夹角450,MH ⊥I,∠MBH=450,MH=22BM,22BM+OM=MH+OM,当Q 、M 、H 共线且垂直于I 时取最值两着色三角形相似,得cos150=426,(21BM +MN)min=423-63第32问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D在AB 上是否存在点M,使CM+21BM 取最小值. 过点B 作I,I 与x 轴夹角为300,MH=21BM,21BM+CM=MH+CM,当C 、M 、H 共线且垂直于I 时取最值(21BM+CM)min=2333+第33问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为Dxy BCAMO Hxy BCAMOHxy BCAO M EHM 是抛物线上一点,作MH ⊥x 轴,交BC 于点E,当ME:EH=3:2时,求M 点的横坐标, 设M(m,-m 2+2m+3),则E(m,3-m),ME=-m 2+2m+3-(3-m),EH=3-m,ME:EH=3：2 即有-m 2+2m+3-(3-m)=23(3-m) m=23第34问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于顶点为D P 是抛物线上一点,且∠PAB=2CBD,求P 点坐标. tan ∠CBD=31,tan ∠PAB=tan2∠CBD=43(12345模型) 设P(m,-m 2+2m+3)(1)tan ∠PAB=1322+++-m m m =43,m=49,P(49,1639)(2)tan ∠PAB=1322+--m m m =43,m=415,P(415,1657)第35问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为DF(1,415)直线y =417,(1)证明:M 上任意一点到直线y =417距离等于到F 点的距离, M(m,-m 2+2m+3),MH=417-(-m 2+2m+3)=m 2-2m+45MF=222)41532()1(-++-+-m m m =m 2-2m+45,故MH=MF xyEBCAOMHxy BCAODPP第36问:如图,抛物线与x 轴交于、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为DF(1,415)直线y =417,(2)证明:N(2,-1)M 为抛物线上一点,求NM+MF 的最小值由(1)可知MF=MH,故NM+MF=MN+MH,(NM+MF)min=421第37问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D ∠BAC 的角平分线交y 轴于点M,绕点M 作直线I,与x 轴交于点E,与A 交于点F,求证:AE 1+AF 1为定值过点M 、F 、C 作x 轴的平行线,交AC 于点G,交AM 于点H 、I ，易知:∆AEM~∆HFM,∆AFH~∆ACI,AO GM =AC CG ,CI GM =AC AG ,相加得AO GM +CI GM =AC CG +ACAG=1 即有AO 1+AC 1=GM 1,同理可得AE 1+AF 1=GM1=1+1010第38问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D P 为第四象限抛物线上一点,且tan ∠APC=21,求出点P 的坐标；过点C 作CE ⊥AC,取一点E 使CE=2AC,过点C 作MN||x 轴,作A M ⊥MN 、EN ⊥MN,易知∆ACM~∆CEN,CN=6,EN=2,E(6,1),P 为以AE 为直径的圆与抛物线的交点AE 的中点F,F(25,21) xy BCOFMHxy BCNOFMHA过点易知AE HF AFACGM AO =CG AC ，GM CI =AGAC，GM AO +GM CI =CG AC +AGAC =1即有1AO +1AC =1GM，同1AE +1AF =1GM =11010xy H G FEMBCOIPF=225,设P(m,-m 2+2m+3),PF 2=(m -25)2+(-m 2+2m+325)2=225m=255,y =2531--,P(255,2531--)第39问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 直线y =x -3与抛物线交于点P,在x 轴正半轴上找一点E,使tan(∠PBO+∠PEO)=25 在x 轴上找一点F,使tan ∠HPF=25,∠HPF=450+∠BPH=∠PBO+∠PEO=450+∠PEO, 故∠BPF=∠PEO,故∆BEP~∆BPF,BP BE =BF BP ,即253-m =21525,m -3=320,m=329故E(329,0)第40问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 对称轴与BC 交于点E,在直线BC 上找一点P,使∆ABP 与∆DEB 相似,∠BED=1350=∠ABP,故P 在CB 的延长线上,DE=2,BE=22,AB=3,1.当∆EDB~∆BAP,AB DE =BP EB ,即42=BP22,BP=42,P(7,-4) 2.∆EDB~∆BPA 时,BP=22,P(5,-2)AxyN MPFEBCOAH PE FAxyIHEBCODP 1P 2。

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二次函数与三角形的面积问题
1.运用2
铅垂高
水平宽⨯=
s ；
2.运用y ；
3.将不规则的图形分割成规则图形，从而便于求出图形的总面积。

类型一：三角形的某一条边在坐标轴上或者与坐标轴平行
例1.已知：抛物线的顶点为D （1，-4），并经过点E （4，5），求: （1）抛物线解析式；
（2）抛物线与x 轴的交点A 、B ，与y 轴交点C ；（3）求下列图形的面积△ABD 、△ABC 、△ABE 、△OCD 、△OCE 。

解题思路：求出函数解析式________________；写出下列点的坐标：A______；B_______；C_______；求出下列线段的长：AO________；BO________；AB________；OC_________。

求出下列图形的面积△ABD 、△ABC 、△ABE 、△OCD 、△OCE 。

一般地，这类题目的做题步骤：1.求出二次函数的解析式；2.求出相关点的坐标；3.求出相关线段的长；4.选择合适
方法求出图形的面积。

训练1.如图所示，已知抛物线()02
≠++=a c bx ax y 与x 轴相交于两点A ()0,1x ， B ()0,2x ()21x x <，
与y 轴负半轴相交于点C ，若抛物线顶点P 的横坐标是1，A 、 B 两点间的距离为4，且△ABC 的面积为6。

（1）求点A 和B 的坐标；
（2）求此抛物线的解析式；（3）求四边形ACPB 的面积。

类型二：三角形三边均不与坐标轴轴平行，做三角形的铅垂高。

（歪歪三角形拦腰来一刀）
关于2
铅垂高
水平宽⨯=
∆S 的知识点：如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的
三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 2
1
=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
想一想：在直角坐标系中，水平宽如何求？铅垂高如何求？
例2．如图2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .(1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结P A ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆；(3)是否存在一点P ，使S △P AB =
8
9S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.
解题思路：求出直线AB 的解析式是为了求出D ．点的纵坐标．．．．．D y ；
x A
B O
C
y
P
B
C
铅垂高
水平宽 h
a 图1
图-2
x
C
O
y A
B
D
1 1
(3)x
y A
B
C
P
E O
x
y A B
C
Q O 铅垂高D C y y CD -=，注意线段的长度非负性；分析P 点在直线AB 的上方还是下方
训练2.如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB .（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△P AB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△P AB 的最大面积；若没有，请说明理由.
训练3.如图，抛物线c bx x y ++-=2
与x 轴交于A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上
是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，
请说明理由.
一般地，①所谓的铅垂高度，实际上就是横坐标相同的两个点的纵坐标差的绝对值，数学表达式为D
C
y y CD -=。

为了保证这个差值是正数，同学们可以用在铅垂线上靠上点的纵坐标减去靠下点的纵坐标.
因此，求出点D 的坐标，是求铅垂高度CD 的关键；
②所谓的水平宽，实际上就是，两个点的横坐标差的绝对值，数学表达式为
B
A x x A
B -=.为了保证这个
差值是正数，同学们可以用这两个靠右点的横坐标减去靠左点的横坐标.因此，求出点A 、B 的坐标，是求水平宽的关键.
③在解这类存在性问题时，通常先假设所要的点是存在的，然后利用给出的条件，认真加以推理求解.
练习
1．已知如图，矩形OABC 的长3OC=1，将△AOC 沿AC 翻折得△APC 。

（1）填空：∠PCB=____度，P 点坐标为（，）；（2）若P ，A 两点在抛物线y=－
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x 2
+bx+c 上，求b ，c 的值，并说明点C 在此抛物线上；（3）在（2）中的抛物线CP 段（不包括C ，P 点）上，是否存在一点M ，使得四边形MCAP 的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M 点的坐标；若不存在，请说明理由。

2．如图①，已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ．(1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理
C
B
A O y
x
D
B A O y
x
P 第1题图
由．(3) 如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．
图① 图② 3. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数c bx x y ++=2
的图象与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于C （0，-3）点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点. （1）求这个二次函数的表达式．
（2）连结PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP /
C ，那么是否存在点P ，使四边形POP /
C 为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积.
4．如图，抛物线y = ax 2 + bx + 4与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴交于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长；
（3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时，△EFK 的面积最大？并求出最大面积．
K N C
E D
G A
x
y O
B F C
E
D
G A
x
y O B F。