二次函数与三角形最大面积3种求法

）））））））））二次函数与三角形最大面积的3种求法一．解答题（共7小题）21．（2012?广西）已知抛物线y=ax+2x+c的图象与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点D，使得点D到点B、C的距离之和最小，并求出点D的坐标；（3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．茂名）如图，抛物线与x轴交于点A和点B，与y2．（2013?轴交于点C，已知点B的坐标为（3，0）．（1）求a的值和抛物线的顶点坐标；（2）分别连接AC、BC．在x轴下方的抛物线上求一点M，使△AMC与△ABC的面积相等；（3）设N是抛物线对称轴上的一个动点，d=|AN﹣CN|．探究：是否存在一点N，使d的值最大？若存在，请直接写出点N的坐标和d的最大值；若不存在，请简单说明理由．3．（2011?茂名）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C （5，0），抛物线对称轴l与x轴相交于点M．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）点P在抛物线上，且以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标；（3）连接AC．探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由．）．））））））））），）5，0，0），C（（黔西南州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点A0，4），B （1．4（2012?．x轴相交于点M抛物线的对称轴l与）求抛物线对应的函数解析式和对称轴；（1为顶点的四边形的四条边的长度为四个连续的PM、）上的一点，若以A、O、（2）设点P为抛物线（x＞5 的坐标；正整数，请你直接写出点P的面积最大？若存在，请你求NAC，使△，探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N（3）连接AC N的坐标；若不存在，请说明理由．出点2，C的直线l与抛物线交于点x与轴交于A、B两点，过点A．5（2013?新疆）如图，已知抛物线y=ax+bx+3 3）．），C点坐标是（4，，其中A点的坐标是（10 （1）求抛物线的解析式；的坐标，若不的周长最小？若存在，求出点D）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD（2）在（1 存在，请说明理由；点的坐标．ACE的最大面积及E且位于直线1）中抛物线上的一个动点，AC的下方，试求△（）（3若点E是2 0）两点．，，1（，0）B（﹣3Ax+bx+c﹣江津区）如图，抛物线2009．6（?y=x与轴交于）求该抛物线的解析式；（）．）））））））））（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．27．如图，已知二次函数y=ax+bx+c经过点A（1，0），C（0，3），且对称轴为直线x=﹣1．（1）求二次函数的表达式；（2）在抛物线上是否存在点P，使△PAB得面积为10，请写出所有点P的坐标．））））））））））．）））））））））二次函数与三角形最大面积的3种求法参考答案与试题解析一．解答题（共7小题）21．（2012?广解：（1）∵抛物线y=ax+2x+c的图象经过点A（3，0）和点B（0，3），西）解答：∴，解得a=﹣1，c=3，2．x+2x+3∴抛物线的解析式为：y=﹣=1，x= （2）对称轴为2令y=﹣x+2x+3=0，解得x=3，x=﹣1，∴C（﹣1，0）．21如图1所示，连接AB，与对称轴x=1的交点即为所求之D点，由于A、C两点关于对称轴对称，则此时DB+DC=DB+DA=AB最小．设直线AB的解析式为y=kx+b，由A（3，0）、B（0，3）可得：，解得k=﹣1，b=3，∴直线AB解析式为y=﹣x+3．当x=1时，y=2，∴D点坐标为（1，2）．（3）结论：存在．如图2所示，设P（x，y）是第一象限的抛物线上一点，过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y，AN=OA﹣ON=3﹣x．S=S+S﹣S AOB△△PNA△ABPPNOB梯形=（OB+PN）?ON+PN?AN﹣OA?OB=（3+y）?x+y?（3﹣x）﹣×3×3=（x+y）﹣，2，代入上式得：x+2x+3﹣x，y）在抛物线上，∴y=∵P（22，﹣）+ ﹣（x3x）=﹣（x==S（x+y）﹣﹣ABP△取得最大值．∴当x=时，S ABP△2，∴P（，+2x+3=时，当x=y=﹣x）．）．所以，在第一象限的抛物线上，存在一点P，使得△ABP的面积最大；P点的坐标为（，））））））））））．）））））））））2．（2013?茂名）解答：2﹣x+2经过点B（3，0），解：（1）∵抛物线y=ax∴9a﹣×3+2=0，解得a=﹣，2﹣x+2，∴y=﹣x222+，）+2=﹣（﹣x+2=﹣（xx++3x）﹣∵y=x）；∴顶点坐标为（﹣，2﹣，x+2的对称轴为直线x=（2）∵抛物线y=﹣x﹣0），，和点B，点B的坐标为（3轴交于点与xA 0）．∴点A的坐标为（﹣6，y=2，时，又∵当x=0 ）．C点坐标为（0，2∴，y=kx+b 设直线AC的解析式为，则，解得．的解析式为y=x+2AC∴直=ABAM A的距离相等∴与到的下方，与点M都在ACB又∵点∥AC，BM∴，y=设直线BM的解析式为x+n））））））））））．））））））））），×3+n=03B（，0）代入，得将点，﹣1解得n=．﹣1∴直线BM的解析式为y=x，，解得，由；4）M点的坐标是（﹣9，﹣∴的值最大．理由如下：﹣CN|）在抛物线对称轴上存在一点N，能够使d=|AN（32，和点x轴交于点AB∵抛物线y=﹣x﹣x+2与关于抛物线的对称轴对称．∴点A和点B最大．﹣CN|=|BN﹣CN|=BC于点N，连接AN，则AN=BN，此时d=|AN连接BC并延长，交直线x=﹣）两点的坐标代入，0，23，0），C（y=mx+t设直线BC的解析式为，将B（，得，x+2，的解析式为y=﹣∴直线BC，（﹣）+2=3x=当﹣时，y=﹣×BC==的最大值为．的坐标为（﹣，3），d∴点N?茂名）3．（2011 ，（x﹣5）解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）解答：，，4）代入上式得：a=把点A（022，﹣﹣﹣3）x+4=（x5（∴y=x﹣1）（x﹣）=x∴抛物线的对称轴是：x=3；（2）P点坐标为：（6，4），由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3，又∵的坐标MA∴以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，∴四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，在Rt△AOM中，AM= ，=5= ∵抛物线对称轴过点M，））））））））））．）））））））））∴在抛物线x＞5的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5，即PM=5，此时点P横坐标为6，即AP=6；故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立，即P（6，4）；（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．2t+4）（0＜t＜t，t﹣5），设N点的横坐标为t，此时点N（过点N作NG∥y轴交AC于G；作AM⊥NG于M，由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：y=﹣x+4；把x=t代入得：y=﹣t+4，则G（t，﹣t+4），22 +4t，）﹣=﹣tt+4此时：NG=﹣x+4﹣（t ∵AM+CF=CO，22）2（t﹣5=NG=S ∴=S+SAM×NG+NG×CF=?OC=（﹣t+4t）×﹣2t+10t=﹣CGN△ACN△ANG△2+，，∴当t=时，△CAN面积的最大值为2t+4=﹣3﹣，由t=，得：y=t）．（，﹣3∴N201黔西南州解答解）根据已知条件可设抛物线的解析式y=将点A（0，4）代入上式解得：a=，22，﹣）3=）x﹣﹣x（x+4=5x）﹣（即可得函数解析式为：y=x1（﹣x=3故抛物线的对称轴是：；））））））））））．）））））））））（2）P点坐标为：（6，4），由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3，又∵点P的坐标中x＞5，∴MP＞2，AP＞2；∴以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，∴四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，在Rt△AOM中，AM===5，∵抛物线对称轴过点M，∴在抛物线x＞5的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5，即PM=5，此时点P横坐标为6，即AP=6；故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立，即P（6，4）；（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．2t+4）（0＜t＜5），N点的横坐标为t，此时点N（t，t﹣设过点N作NG∥y轴交AC于G，作AM⊥NG于M，由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：y=﹣x+4；把x=t代入y=﹣x+4，则可得G（t，﹣t+4），22，﹣tt﹣+4t=t+4）﹣（此时：NG=﹣x+4 ，∵AM+CE=CO22）t﹣﹣5=tNGNG+=+SS∴=SAM×NG×CE=?OC=（﹣+4t）×﹣2t+10t=2（CGN△ANG△ACN△2+，，∴当t=时，△CAN面积的最大值为2t+4=﹣3﹣，，得：由t=y=t3，﹣）．（∴N））））））））））．）））））））））5．（2013?新疆）2解答：解：（1）∵抛物线y=ax+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3），∴，解得，2所以，抛物线的解析式为y=x﹣4x+3；（2）∵点A、B关于对称轴对称，∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小，设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），则，，解得所以，直线AC的解析式为y=x﹣1，22∵y=x﹣4x+3=（x﹣2）﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，当x=2时，y=2﹣1=1，∴抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；（3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m，联立，2消掉y得，x﹣5x+3﹣m=0，2△=（﹣5）﹣4×1×（3﹣m）=0，m时，A的距离最大AC的面最大此时x=，y=﹣=﹣，∴点E的坐标为（，﹣），））））））））））．）））））））））设过点E的直线与x轴交点为F，则F（，0），∴AF=﹣1=，∵直线AC的解析式为y=x﹣1，∴∠CAB=45°，∴点F到AC的距离为AF?sin45°=×=，又∵AC==3，∴△ACE的最大面积=×3×=，此时E点坐标为（，﹣．）2009?江津区）6．（2解答：+bx+c0）代y=﹣x中得（﹣（1）将A（1，0），B3，解：2分）（3分）∴（2 4分）﹣2x+3；（∴抛物线解析式为：y=﹣x分）（2）存在（5 对称B两点关于抛物线的对称轴x=﹣1理由如下：由题知A、周长最小Q 点，此时△AQC∴直线BC与x=﹣1的交点即为22x+3 ﹣﹣xy=∵0，3）∴C的坐标为：（（6分）BC直线解析式为：y=x+3Q点坐标即为解得7分），（﹣12）；（∴Q 8分）（3）存在．点，2x+（理由如下：设S=S﹣﹣∵S=S BOC△△BPCBPCOBPCO四边形四边形S就最大，若S有最大值，则BPC△BPCO四边形+S（9分）=S∴S BPE△PEOCBPCO直角梯形四边形PE+OC?BEPE+OE （）=））））））））））．）））））））））22xx）（﹣（﹣x﹣2x+3）+（﹣=（x+3）2x+3+3）﹣==最大值﹣时，S当x=BPCO四边形（10分）∴S最大=BPC△2 2x+3=时，﹣x﹣当x=﹣11分）∴点P坐标为（﹣，）．（解．7 答：）根据题意得：，解：（1 3，，b=2，c=﹣解得：a=12 3．∴抛物线解析式为y=x+2x﹣2，x+2x﹣3=0（2）令y=0，则，或x=﹣3解得x=1 ，∴AB=4 ，P的纵坐标为h∵△PAB得面积为10，设×|h|=10，∴AB ∴|h|=5，22 4，3=（x+1）﹣﹣∵y=x+2x ），∴顶点坐标为（﹣1，﹣4 ，∴P的纵坐标不能为﹣5 ，∴，h=52﹣3，代入得5=x+2x 4；解得x=2，x=﹣，5）．，2∴点P的坐标为（，5）（﹣4精品文档考试教学资料施工组织设计方案））））））））））．。