二次函数中的三角形面积
二次函数中三角形面积最大值问题的处理方法
二次函数中三角形面积最大值问题的处理方法二次函数是高中数学中一个经常出现的重要知识点，它在数学中有着广泛的应用，其中一个重要的应用就是处理三角形面积最大值问题。
在本文中，我们将介绍二次函数在处理三角形面积最大值问题中的基本方法和应用技巧。
1. 三角形面积最大值问题的基本原理三角形面积最大值问题指的是给定三边长度为a、b、c，求出以这三条边为边长的三角形的面积最大值。
根据海伦公式，三角形面积公式为：S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]其中p=(a+b+c)/2，是三角形半周长。
我们可以通过求解出上式的最大值来得到三角形的最大面积。
2. 二次函数相关知识介绍二次函数是形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c 是常数，而x是自变量。
二次函数在数学中有着广泛的应用，其标准形式为：y=ax^2+bx+c（a≠0）其中a表示二次函数的开口方向和大小，常被称为二次函数的开口因子；b表示二次函数的对称轴的位置，常被称为二次函数的对称轴；c表示二次函数在y轴上的截距，即当x=0时，二次函数的函数值。
3. 二次函数求解三角形面积最大值的应用在二次函数求解三角形面积最大值的应用中，我们可以将三角形面积公式中的p表示为：p=(a+b+c)/2 = (x+y+z)/2然后使用二次函数y=f(x)表示√[p(p-a)(p-b)(p-c)]，其中x、y、z分别表示三角形的三边长度a、b、c。
由于p=(x+y+z)/2是一个常数，因此我们可以将其视为一个固定值，从而将y=f(x)表示为：y=√[(x+y+z)/2(x+y+z)/2-x(x+y+z)/2-y(x+y+z)/2+z(x+y+z)/2]化简得：y=√[xyz(x+y+z)]这就是一个二次函数的标准形式。
通过求解这个二次函数的最大值，我们就可以得到三角形的最大面积。
4. 二次函数求解三角形面积最大值的具体方法为了求解上述的二次函数的最大值，我们需要使用二次函数y=f(x)的顶点公式：x=-b/2a，y=f(-b/2a)其中x=-b/2a即为二次函数的对称轴坐标，f(-b/2a)即为二次函数的顶点坐标。
二次函数中三角形面积问题
二次函数中三角形面积问题【典型例题】:如图，二次函数y=-x²+2x+3与y轴,x轴交于点A ,B，点C是直线AB上方抛物线上的一个动点（不与点A ，B重合），求△ABC面积的最大值．【方法一】竖割法：过点C作CD⊥x轴，垂足为D，交AB于点E，S△ABC＝S△ACE ＋S△BCE ＝1/2CE·(xc--xA)+1/2CE·(xB-xC)=1/2OB·CE解：令x=0, y=3 点C的坐标为（0，3）；令y=0, 则-x²+2x+3=0 ，解得：x1=-1 x2=3 点B的坐标为（3，0），设AB所在直线的解析式为y=kx+b.求出直线AB所在直线的解析式为y=-x+3.设点E的坐标为（m,-m+3) ,则点C的坐标为（m, -m2+2m+3)CE=y C-y E= -m2+2m+3-(-m+3)= -m2+3mS△ABC＝S△ACE ＋S△BCE ＝1/2CE·(xc--xA)+1/2CE·(xB-xC)=1/2OB·CE=1/2×3( -m2+3m)=--3m2/2+9m/2S△ABC最大值＝4ac-b2/4a=27/8【方法二】割补法：连接OC，S△ABC＝S△OAC ＋S△OBC－S△OAB解：S△ABC＝S△OAC＋S△OBC－S△OAB＝1/2×OA·X C+1/2×OB·Y C-1/2×OA×OB＝1/2×3×m+1/2×3×(-m2+2m+3)-1/2×3×3＝-3m2/2+9m/2S△ABC最大值＝4ac-b2/4a=27/8【方法三】平移法:平移直线AB，当直线AB与抛物线只有一个交点时，此时三角形ABC的面积最大。
解：设和y=-x+3平行的动直线的解析式为y=-x+b,用y=-x+b和y=-x²+2x+3联立方程组得：-x+b=-x²+2x+3，整理得：x²－3x+b-3=0当Δ＝0时，b=21/4,此时的点C的坐标为（3/2,9/2)。
2024年中考数学二次函数中三角形面积最值及平行四边形存在性问题(必考知识点)
一、知识梳理1．三角形面积公式：S 2024年中考数学二次函数中三角形面积最值及平行四边形存在性问题（必考知识点）=21×底×高2．平行四边形的性质：对边相等、对角相等、对角线互相平分3．判别式法求最值：通过判别式判断二次方程的根的情况，进而求出最值二、问题分析1．三角形面积最值存在性问题：∙利用二次函数的性质和对称性，找到合适的底和高，计算三角形的面积；∙设置关于底和高的二次方程，利用判别式判断方程的根的情况，进而求出面积的最值。
2．平行四边形存在性问题：∙利用二次函数的对称性和性质，找到满足平行四边形性质的点；∙利用平行四边形的性质证明这些点构成平行四边形。
三、例题解析【例1】已知抛物线y=x2−2x和直线y=2x+b相交于A、B两点，且∠AOB=90°，其中O为坐标原点。
求△AOB的面积。
【答案】联立方程组：y=x2−2x，y=2x+b.消去y得：x2−4x−b=0.由于直线与抛物线有两个交点，所以判别式Δ>0：Δ=16+4b>0⇒b>−4.设交点A、B坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，由韦达定理得：x1+x2=4，x1x2=−b.由于∠AOB=90，所以x1x2+y1y2=0。
代入y1=2x1+b和y2=2x2+b，解得：−b+(2x1+b)(2x2+b)=0.化简得：−b−4b+8b+b2=0⇒b2+3b=0.解得：b=−3或b=0。
当b=0时，A、B坐标分别为(0，0)和(4，8)，点A和点O重合，不符合条件。
因此，b =−3，代入方程组得A (1，-1)，B (3，3)。
所以，△AOB 的面积为：S =21×∣O A ∣×∣O B ∣=21×2211）（）（-+×2233）（）（+=21×2×18=3.【例2】抛物线6221y 2--=x x 与x 轴相交于点A 、点B ，与y 轴相交于点C 。
二次函数图象中三角形面积计算问题_陆文娟
2012 年ຫໍສະໝຸດ 二次函数图象中三角形面积计算问题陆文娟
（ 江苏省江阴市新桥中学， 214426 ）
二次函数图象中的三角形面积计算及其 最值问题是初中数学中的重要题型之一 ． 笔 者对如何熟练且准确地求解二次函数图象中 的三角形面积， 进行了初步整理， 现供同学们 参考． 一、 三角形的一边在坐标轴上 例1 抛物线 y = 1 （ x － 4） 2 顶点为 C， 与 2
B， 求 ABC 的面积． 直线 y = x 分别交于点 A、
% y B A O C x
4） ， C（ 2 ， 0 ） 三点 ． （ 1 ） 求抛物线的解析式； （ 2 ） 若点 M 为第三象限内抛物线上一动 点， 点 M 的横坐标为 m， AMB 的面积为 S． 求
图1
解析
0） ， A（ 2 ， 2） ， B（ 8 ， 8） ． 易得 C（ 4 ，
D A M O B C x
m (1 2
2
+m －4
)
=－
1 2 m － 2 m． 2 1 1 MD（ x M － x A ） + MD（ x B － x M ） 2 2 1 MD（ x B － x A ） = － m2 － 4 m． 2 通过添加辅助线， 转化成有一边
则 S = S ADM + S BDM = 1 2 x 2 =
櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷
{
(
P3 （
x1 = y1 =
3 + 槡 17 ， 2
－7 + 槡 17 －7 － 槡 17 ； y2 = ． 2 2
17 － 7 + 槡 17 ， ∴ P2 3 + 槡 ， 2 2 17 － 7 － 槡 17 ． P3 3 － 槡 ， 2 2 综上所述， 点 P 的坐标为： P1 （ 2 ， 1） ， P2 （ 3 + 槡 17 － 7 + 槡 17 ， ）， 2 2
二次函数中三角形面积问题的三种求解方法
二次函数中三角形面积问题的三种求解方法二次函数是一种广泛应用于数学解题中的重要运算工具，有时需要根据给定的几何图形求解相关表达式，比如求出三角形的面积。
三角形面积问题在很多学科中都有着广泛的应用，下面将介绍三种求解三角形面积的方法，这三种方法均基于二次函数的概念。
第一种求解三角形面积的方法是通过使用二次函数的半径求解。
首先，根据给定的三角形边长，使用勾股定理求出该三角形的半径，然后用半径公式计算出三角形的面积，半径公式为πr/2，其中π是常数3.14159。
这种方法的优点是简单易行，只需要掌握勾股定理和半径公式即可求解三角形的面积。
第二种求解三角形面积的方法是使用三角函数求解。
有些三角形的边长有着特殊的关系，可以使用三角函数求出三角形的面积。
举例来说，如果某三角形的三条边长分别为a,b,c，那么可以使用以下公式求出此三角形的面积：S= a*b*sin(c)/2。
这种方法的优点是可以准确求出三角形的面积，但是要掌握的知识比较多，需要熟练掌握三角函数的概念。
第三种求解三角形面积的方法是使用二次函数求解。
如果给定三角形的三条边长都可以用二次函数表示，那么可以使用椭圆公式求解三角形的面积。
椭圆公式为S=∫ab√(f(x))dx，其中f(x)表示三角形边长可以表示为二次函数的表达式，a,b表示积分下限和上限。
这种方法的优点是准确度高，但使用难度也比较大，需要掌握椭圆公式和二次函数的概念。
以上就是介绍了三种求解三角形面积的方法。
不同的求解方法都有各自的优势和局限性，在不同场景下要根据实际情况选择合适的求解方法，使用二次函数可以有效地求出三角形的面积。
二次函数中有关三角形面积的计算
二次函数中有关三角形面积的计算
例1 如图,经过点A(8,0)、B(0,4)的抛物线y=ax c
x 27
2（1）求抛物线的解析式；
（2）若一条与y 轴重合的直线l 以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA 、AB 和抛物线于点C 、D 和点E ，连接EA 、EB 、AB ，设直线l 移动的时间为t （0<t<4）秒，当t 为何值时，△ABE 的面积最大，最大面积是多少？
2.如图，已知抛物线c
y2经过A、B两点，A、B两点的坐标分
x
bx
别为（-1，0）、（0，-3）
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x 轴的另一个交点，点D为y 轴上一点，若DC=DE，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点P为第四象限内抛物线上一动点，点P的横坐标为m , △DCP面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值。
二次函数中的三角形面积问题
探究
例1. 如图，抛物线 y = - x2 - 2x +3
与x轴交于点A、B(点A在点B右侧)， 与y轴交于点C，若点E为第二象限 抛物线上一动点，连接BE、CE， 求四边形BOCE面积的最大值，并 求此时E点的坐标． （至少用2种方法）
中考链接
【中考链接1】
如图，已知二次函数
的图象与直
线 AC 相交于A ，C 两点，与 x 轴的另一个交点为 B ,
（2）连结 AC ，点 P 是位于线段 BC 上方的抛物线上一动
点，若直线 PC 将 △ABC 的面积分成 1 : 3 两部分，求
此时点 P 的坐标．
二次函数中的三角形面积问题
A
A
HB A
C
DB
C B
C
A
C D B
思想：化难为易、化斜为直 方法：公式法、割补法、铅垂法 、切线法
边在坐标轴上， 取三角形的底边
时，一般以坐标
轴上线段或以与 坐标轴平行的线 段为底边
底边
三边
数坐在标形 结均在不坐合
轴上 标轴上
三边均不在坐标 轴上的三角形采 用割或补的方法 把它转化成易于 求出面积的图形
抛物线的顶点为 D，对称轴与 x 轴的交点为 E，连接
BC．其中A(-3,0),B(1,0)
（1）求直线 AC 的函数表达式；
（2）在抛物线上是否存在一点 M（不与C重合），使
S△ACM = S△ABC ？ 若存在，求出点 M 的坐标；若不存
在，请说明理由．
探究
例2. 如图，已知抛物线 y = - x2 - 2x +3过点 O
ι 的直线 将
分成△面AB积C为
1 : 2的两部分，求该直线与抛物线的交
二次函数中的三角形面积问题教案
二次函数中的三角形面积问题教案《二次函数中的三角形面积问题教案》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！作业内容二次函数中的三角形面积问题教案球溪高级中学郭燕教学目标知识与技能1.复习巩固二次函数的性质;2.通过观察分析，能够概括总结出二次函数中三角形面积问题的基本类型;3.能够用直接法和割补法求二次函数中的三角形面积;过程与方法在求面积的过程中，体会数形结合和转化思想在二次函数三角形面积问题中的应用。
情感态度与价值观5.进一步培养学生学习数学的兴趣和增强学生学习的自信心6.在转化，建模的过程中，体验解决问题的方法，培养学生合作交流意识和探索精神。
二、教学重难点重点：直接法和割补法(铅垂法)求二次函数中的三角形面积问题;难点：二次函数中三角形面积的最值问题。
三、教学过程【复习旧知】1.已知二次函数，请用五点法在方格纸上画出草图，并结合图像尽可能多地写出你认为正确的结论。
师生活动：学生作图，思考，发言;教师总结二次函数的性质可从开口方向，顶点，与坐标轴的交点，对称轴，最值，增减性，对称性等方面研究。
设计意图：复习巩固五点法作二次函数草图，同时简单回顾二次函数的性质。
【问题探究】若二次函数与x轴交于A，B两点(B在A的左边)，与y轴交于点C，顶点为点D。
【问题1】：任意连接ABCDO五点中的三个点，能组成哪些三角形?师生活动：学生思考后举手口答。
设计意图：引入今天的复习课内容——二次函数中的三角形面积问题。
【追问1】：在这四个三角形中，哪些三角形的面积比较好求，请写下来。
【追问2】：这些三角形面积为什么相对容易求解?——有一边在坐标轴上。
师生活动：学生思考求解，并积极发言，同时观察分析，总结规律。
设计意图：会利用公式直接计算至少有一边在坐标轴上的三角形面积。
【追问3】：若二次函数与y轴的交点关于对称轴的对称点为点E，你能求出和的面积吗?【追问4】：这两个三角形面积为什么也相对容易求解?——有一边平行于坐标轴。
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C(3,1)
B (4,3) C(-1,1)
引题
如图：抛物线 y x 2 x 3 与 x 轴 交于A、B两点（点A在点B的左侧），与 y 轴交于点C，点D是抛物线的顶点。
2
y D
F
C
B(3,0)
C(O,3) D(1,4)
F(0,4)
o
B
x
割补法 △BCD
引题
如图：抛物线 y x 2 x 3 与 x 轴 交于A、B两点（点A在点B的左侧），与 y 轴交于点C，点D是抛物线的顶点。
9 1 9 2 S PAB S CAB , 3 ( x 3x) 3 8 2 8
练习：如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，连结
OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB． （1）求点B的坐标； （2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式； （3）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方， 那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及 △PAB的最大面积；若没有，请说明理由．
y
C
A h
铅垂高
C
B D 1 O 1 图1 A B
x
水平宽 a 图2
水平宽 铅垂高 S 2
解： (1)抛物线解析式为 y1 ( x 1) 2 4,即y1 x 2 2 x 3
直线AB解析式为 y2 x 3.
y C B D
1
(2) C(1,4),当x 1 时，y1 4, y2 2.
二次函数中的三角形面积
陶朱初中 金戈
引题
如图：抛物线 y x 2 x 3 与 x 轴 交于A、B两点（点A在点B的左侧），与 y 轴交于点C，点D是抛物线的顶点。
2
y D
C
A
o y D
C
B
x
y
C
y D
y D
C
A
o
B
x
A
o
B
x
o
B
x
A
o
x
△ABC
△ABD
△BCD
△ACD
以A、B、C、D为顶点的三角形有哪些？
2
y
C
A(-1,0) B(3,0) C(0,3)
A
o
B
x
△ABC
1 S ABC AB CO 2 1 S 2 x 3 与 x 轴 交于A、B两点（点A在点B的左侧），与 y 轴交于点C，点D是抛物线的顶点。
2
A
h
A
D
铅垂高
C
B
D
水平宽
a
x
a
图12-1
y A
B A(-1,5) B(4,7) C C(2,1) x
o
割补法
新公式法
运用:
例：如图1，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，
交y轴于点B。 （1）求抛物线和直线AB的解析式； （2）求△CAB的面积S△CAB ； （3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点， 9 是否存在一点P，使S△PAB＝ S ，若存在，求出P点的坐标； 8 △CAB 若不存在，请说明理由。
2
y D
C
E
B(3,0)
C(O,3) D(1,4)
直线BC的解析式：y= –x+3
B
o
x
E(1,2)
△BCD
1 S△BCD= ×2×(1+2)= 3 2
DE=2
引题
2 y x 2x 3 与 x 轴 如图：抛物线
交于A、B两点（点A在点B的左侧），与 y 轴交于点C，点D是抛物线的顶点。
P
CAB的铅锤高 CD 4 2 2.
1 S CAB 3 2 3 2 （3）设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h
Q
1
PQ y1 y2 (x2 2x 3) (x 3) x2 3x
A x
O
3 x 代入y 1 x 2 2x 3, 2 15 3 15 P（ ， ） y1 2 4 4
y
B
C
A
P
O M x
小 结：
二次函数中三角形面积的求法：
1、公 式 法
2、“割补法”
3、新公式法：水平宽与铅垂高乘积的一半
注意：点的坐标与线段长度之间的相互转化
学数学要善于反思与归纳，掌握
解决问题的方法，知一题懂一类，这 样你能达到事半功倍的效果！
y
C
E
D
A
o
x
△ACD
延伸拓展
我们如果把△ABC 放到直角坐标系中，
A( x , y ), B( x , y ), C( x , y ), D( x , y ), 水平宽： a x x 铅垂高： h AD y y , C B
A, A
B B
C C
D D
1 1 S ABC ah ( xc xB )( y A yD ) 2 2 y
y D
A(-1,0) B(3,0) D(1,4)
A
o D/ B
△ABD
1 S ABD AB DD 2 x 1 S ABD 4 4 8 2
可以直接利用面积公式：
三角形的一边平行（或垂直）于一条坐标轴
y A A y
B
B
o
C
C
x
o A(-1,6)
x
A(1,5) B(6,5)
引题
如图：抛物线 y x 2 x 3 与 x 轴 交于A、B两点（点A在点B的左侧），与 y 轴交于点C，点D是抛物线的顶点。
2
y D
C
A
o y D
C
B
x
y
C
y D
y D
C
A
o
B
x
A
o
B
x
o
B
x
A
o
x
△ABC
△ABD
△BCD
△ACD
如何求这些三角形的面积呢？
引题
如图：抛物线 y x 2 x 3 与 x 轴 交于A、B两点（点A在点B的左侧），与 y 轴交于点C，点D是抛物线的顶点。