二次函数与三角形的面积问题

二次函数与三角形的面积问题
【教学目标】
1.能够根据二次函数中不同图形的特点选择合适的方法解答图形的面积。

2.通过观察、分析、概括、总结等方法了解二次函数面积问题的基本类型，并掌握二次函数中面积问
题的相关计算，从而体会数形结合思想和转化思想在二次函数中的应用。

3.掌握利用二次函数的解析式求出相关点的坐标，从而得出相关线段的长度，利用割补方法求图形的面积。

【教学重点和难点】
1.运用
2铅垂高
水平宽⨯
=
s；
2.运用y；
3.将不规则的图形分割成规则图形，从而便于求出图形的总面积。

【教学过程】
类型一：三角形的某一条边在坐标轴上或者与坐标轴平行
例1.已知：抛物线的顶点为D（1，-4），并经过点E（4，5），求:
（1）抛物线解析式；
（2）抛物线与x轴的交点A、B，与y轴交点C；
（3）求下列图形的面积△ABD、△ABC、△ABE、△OCD、△OCE。

解题思路：求出函数解析式________________；写出下列点的坐标：A______；B_______；C_______；求出下列线段的长：AO________；BO________；AB________；OC_________。

求出下列图形的面积△ABD、△ABC、△ABE、△OCD、△OCE。

一般地，这类题目的做题步骤：1.求出二次函数的解析式；2.求出相关点的坐标；3.求出相关线段的长；4.选择合适
方法求出图形的面积。

变式训练1.如图所示，已知抛物线()02
≠++=a c bx ax y 与x 轴相交于两点A ()0,1x ，
B ()0,2x ()21x x <，与y 轴负半轴相交于点
C ，若抛物线顶点P 的横坐标是1，A 、 B 两点间的距离为4，且△ABC 的面积为6。

（1）求点A 和B 的坐标； （2）求此抛物线的解析式； （3）求四边形ACPB 的面积。

类型二：三角形三边均不与坐标轴轴平行，做三角形的铅垂高。

（歪歪三角形拦腰来一刀）
关于2
铅垂高
水平宽⨯=
∆S 的知识点：如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的
三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 2
1
=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
想一想：在直角坐标系中，水平宽如何求？铅垂高如何求？
例2．如图2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .(1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结P A ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆；(3)是否存在一点P ，使S △P AB =8
9
S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.
解题思路：求出直线AB 的解析式是为了求出D ．点的纵坐标．．．．．D y ； 铅垂高，注意线段的长度非负性；分析P 点在直线AB 的上方还是下方?
x
A B
O
C
y
P
B
C
铅垂高
水平宽 h
a 图1
图-2
x
C
O
y A
B
D 1 1
变式训练2.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△P AB 是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△P AB的最大面积；若没有，请说明理由.
变式训练3.如图，抛物线c bx x y ++-=2
与x 轴交于A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.
一般地，①所谓的铅垂高度，实际上就是横坐标相同的两个点的纵坐标差的绝对值，数学表达式为
D
C y y C
D -=。

为了保证这个差值是正数，同学们可以用在铅垂线上靠上点的纵坐标减去靠下点的纵坐标.
因此，求出点D 的坐标，是求铅垂高度CD 的关键；
②所谓的水平宽，实际上就是，两个点的横坐标差的绝对值，数学表达式为
B
A x x A
B -=.为了保证这个
差值是正数，同学们可以用这两个靠右点的横坐标减去靠左点的横坐标.因此，求出点A 、B 的坐标，是求水平宽的关键.
③在解这类存在性问题时，通常先假设所要的点是存在的，然后利用给出的条件，认真加以推理求解.
【自主练习】
1．已知如图，矩形OABC 的长3OC=1，将△AOC 沿AC 翻折得△APC 。

（1）填空：∠PCB=____度，P 点坐标为（ ， ）； （2）若P ，A 两点在抛物线y=－
43
x 2
+bx+c 上，求b ，c 的值，并说明点C 在此抛物线上； （3）在（2）中的抛物线CP 段（不包括C ，P 点）上，是否存在一点M ，使得四边形MCAP 的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M 点的坐标；若不存在，请说明理由。

2．如图①， 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ．(1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(3) 如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．
图① 图②
第1题图
3. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数错误!未找到引用源。

的图象与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于C （0，-3）点， 点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点. （1）求这个二次函数的表达式．
（2）连结PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP 错误!未找到引用源。

C ， 那么是否存在点P ，使四边形POP 错误!未找到引用源。

C 为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积.
4．如图，抛物线y = ax 2 + bx + 4与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴交于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ． （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标；
（2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长；
（3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时，△EFK 的面积最大？并求出最大面积．
K N
C E
D
G A
x
y O
B F
C E
D
G A
x
y O
B F。