中考数学考点三角形讲解_考点解析
中考总复习解直角三角形
解直角三角形一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：●理解三角函数的定义和正弦、余弦、正切的概念，并能运用；●掌握特殊角三角函数值，并能运用特殊角的三角函数值进行计算和化简；●掌握互为余角和同角三角函数间关系；●掌握直角三角形的边角关系和解直角三角形的概念，并能运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理和锐角三角函数解直角三角形；●了解实际问题中的概念，并会用解直角三角形的有关知识解决实际问题．复习策略：●复习本专题应从四方面入手：（1）直角三角形在角方面的关系；（2）直角三角形在边方面的关系；（3）直角三角形的边角之间的关系；（4）怎样运用直角三角形的边角关系求直角三角形的未知元素．同时，解答这类题目时，应注重借助图形来解题，它能使已知条件、所求结论直观化，以便启迪思维，快捷解题．二、学习与应用知识点一：锐角三角函数“凡事预则立，不预则废”。
科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。
我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。
知识考点梳理认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，若有其它补充可填在右栏空白处。
详细内容请参看网校资源ID：#tbjx4#248924知识框图通过知识框图，先对本单元知识要点有一个总体认识。
（一）锐角三角函数：在Rt△ABC中，∠C是直角，如图（1）正弦：∠A的与的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA= ；（2）余弦：∠A的与的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA= ；（3）正切：∠A的与的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA= ；锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．（二）同角三角函数关系：（1）平方关系：sin2A+cos2A= ；（2）商数关系：tanA= ．（三）互余两角的三角函数关系sinA=cos（），cosA=sin（）．（四）特殊角的三角函数值（五）锐角三角函数的增减性（1）角度在0°～90°之间变化时，正弦值（正切值）随角度的增大（或减小）而（或）．（2）角度在0°～90°之间变化时，余弦值随角度的增大（或减小）而（或）．要点诠释：∠A在0°～90°之间变化时，＜sinA＜，＜cosA＜，tanA＞知识点二：解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程叫做解直角三角形．（一）三边之间的关系：a2+b2= （勾股定理）（二）锐角之间的关系：∠A+∠B= °（三）边角之间的关系：sinA= ，cosA= ，tanA=要点诠释：解直角三角形时，只要知道其中的个元素（至少有一个），就可以求出其余未知元素．知识点三：解直角三角形的实际应用（一）仰角和俯角：在视线与所成的角中，视线在上方的是仰角；视线在下方的是俯角．（二）坡角和坡度：坡面与的夹角叫做坡角．坡面的和的比叫做坡面的坡度（即坡角的值）常用i表示．（三）株距：相邻两树间的．（四）方位角与方向角：从某点的方向沿时针方向旋转到目标方向所形成的角叫做方位角．从方向或方向到目标方向所形成的小于°的角叫做方向角．经典例题-自主学习认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。
中考数学复习高频考点知识讲解与练习18---等腰三角形
中考数学复习高频考点知识讲解与练习第18讲等腰三角形【考点知识总汇】一、等腰三角形的判定与性质1.判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也（简写“”）。
2.性质（1）等腰三角形的两个底角（简写为“”）。
（2）等腰三角形顶角的、底边上的高和底边上的互相重合（简写成“三线合一”）。
（3）等腰三角形是图形，底边上的中线（或底边上的高或顶角的平分线）所在的直线是它的对称轴。
知识点总结：二、等边三角形的判定与性质1.判定（1）三个角的三角形是等边三角形。
（2）有一个角等于60 的三角形是等边三角形。
2.性质（1）等边三角形的三个内角都，并且每一个角都等于。
（2）等边三角形是轴对称图形，并且有条对称轴。
21AB知识点总结： 1.由于等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形具有等腰三角形的所有性质，但等边三角形具有的性质等腰三角形不一定具有。
2.等边三角形的性质和判定的题设和结论也正好相反，要注意区别。
三、线段的垂直平分线1.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离。
2.判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的上。
知识点总结：1.线段的垂直平分线的性质是证明线段相等或垂直的重要方法。
2.垂直平分线的性质与判定的题设和结论也正好相反，注意区别。
高频考点1、等腰三角形的性质与判定【范例】如图， 90=∠ABC ，E D ,分别在AC BC ,上，DE AD ⊥，且DE AD =，点F 是AE 的中点，FD 与AB 相交于点M 。
（1）求证：FCM FMC ∠=∠。
（2）AD 与MC 垂直吗？并说明理由。
得分要领：等腰三角形的“三线合一”，包括以下三个结论：如图，在△ABC 中，AC AB =。
1.若BC AD ⊥，则DC BD =，21∠=∠。
2.若DC BD =，则BC AD ⊥，21∠=∠。
3.若21∠=∠，则BC AD ⊥，DC BD =。
【考题回放】1.若等腰三角形的顶角为40 ，则它的底角数为（ ）A.40B.50C.60D.702.如图，在△ABC 中，AC AB =，且D 为BC 上一点，AD CD =，BD AB =，则B ∠的度数为（ ）A.30B.36C.40D.45第2题 第3题3.如图，在△ABC 中，AC AB =， 40=∠A ，点D 在AC 上，DC BD =，则ABD ∠的度数是。
专题16 全等三角形的核心知识点精讲(讲义)-备战2024年中考数学一轮复习考点帮
专题16 全等三角形的核心知识点精讲1.熟悉全等三角形常考5种模型2.掌握全等三角形性质，并运用全等三角形性质解答。
考点1：全等三角形的概念及性质考点2：全等三角形的判定模型一：平移型模型分析：此模型特征是有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行，常要在移动的方向上加（减）公共线段，构造线段相等，或利用平行线性质找到对应角相等.模型示例概念两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．性质1.两全等三角形的对应边相等，对应角相等．2.全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等．3.全等三角形的周长、面积相等．模型二：轴对称模型模型分析:所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意隐含条件，即公共边或公共角相等.模型三：旋转型模型解读：将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形．旋转后的图形与原图形存在两种情况：①无重叠：两个三角形有公共顶点，无重叠部分，一般有一对隐含的等角②有重叠：两个三角形含有一部分公共角，运用角的和差可得到等角.模型四：一线三垂直型模型解读：一线：经过直角顶点的直线；三垂直：直角两边互相垂直，过直角的两边向直线作垂直，利用“同角的余角相等”转化找等角【题型1：平移型】【典例1】（2023•广州）如图，B是AD的中点，BC∥DE，BC＝DE．求证：∠C＝∠E．1．（2022•淮安）已知：如图，点A、D、C、F在一条直线上，且AD＝CF，AB＝DE，∠BAC＝∠EDF．求证：∠B＝∠E．2．（2022•柳州）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝D F，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．（1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；（2）利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．【题型2：对称型】【典例2】（2023•福建）如图，OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB．求证：AB＝CD．1．（2023•长沙）如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AE＝6，CD＝8，求BD的长．2．（2022•西藏）如图，已知AD平分∠BAC，AB＝AC．求证：△ABD≌△ACD．【题型3：旋转型】【典例3】（2023•大连）如图，AC＝AE，BC＝DE，BC的延长线与DE相交于点F，∠ACF+∠AED＝180°．求证：AB＝AD．1．（2023•乐山）如图，已知AB与CD相交于点O，AC∥BD，AO＝BO，求证：AC＝BD．2．（2023•泸州）如图，点B在线段AC上，BD∥CE，AB＝EC，DB＝BC．求证：AD＝EB．3．（2023•西藏）如图，已知AB＝DE，AC＝DC，CE＝CB．求证：∠1＝∠2．【题型4：一线三等角】【典例4】（2023•陕西）如图，在△ABC中，∠B＝90°，作CD⊥AC，且使CD＝AC，作DE⊥BC，交BC 的延长线于点E．求证：CE＝AB．1．（2021•南充）如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD于点E，CF⊥A D于点F．求证：AF＝BE．一．选择题（共8小题）1．下列各组图案中，不是全等形的是（）A．B．C．D．2．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（）A．50°B．58°C．60°D．72°3．如图，△ABC≌△DEC，点E在AB边上，∠B＝70°，则∠ACD的度数为（）A．30°B．40°C．45°D．50°4．如图，△ABD≌△ACE，若AB＝6，AE＝4，则CD的长度为（）A．10B．6C．4D．25．如图，点B、F、C、E在一条直线上，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE，添加下列选项中的条件，能用HL 判定△ABC≌△DEF的是（）A．AC＝DF B．∠B＝∠E C．∠ACB＝∠DFE D．BC＝EF6．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B＝∠C B．BE＝CD C．BD＝CE D．AD＝AE7．如图，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，若BE＝CF，则Rt△BCF≌Rt△CBE的理由是（）A．AAS B．HL C．SAS D．ASA8．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC ＝（）A．28°B．59°C．60°D．62°二．填空题（共4小题）9．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，那么∠1的度数为．10．已知：如图，△ABC和△BAD中，∠C＝∠D＝90°，再添加一个条件就可以判断△ABC ≌△BAD．11．请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A'O'B'等于已知角∠AOB的示意图．请你根据所学的三角形全等的有关知识，说明画出∠A'O'B'＝∠AOB的依据是．12．如图，若AC平分∠BCD，∠B+∠D＝180°，AE⊥BC于点E，BC＝13cm，CD＝7cm，则BE＝．三．解答题（共4小题）13．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若∠D＝45°，求∠EGC的大小．14．如图，∠ACB＝90°，∠BAC＝45°，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是D，E，BE＝0.8，DE＝1.7，求AD的长．15．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD、△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q．（1）求证：△ABE≌△DBC；（2）求∠DMA的度数．16．如图，AC＝DC，E为AB上一点，EC＝BC，并且∠1＝∠2．（1）求证：△ABC≌△DEC；（2）若∠B＝75°，求∠3的度数．一．选择题（共7小题）1．如图，任意画一个∠A＝60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，有以下结论：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③AP＝PC；④BD+CE＝BC；⑤S△PBA：S△PCA＝AB：AC，其中正确的个数是（）个．A．5B．4C．3D．22．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，BE、CD为△ABC的角平分线．BE与CD相交于点F，FG平分∠BFC，有下列四个结论：①∠BFC＝120°；②BD＝CE；③BC＝BD+CE；④若BE⊥AC，△BDF≌△CE F．其中正确的是（）A．①③B．②③④C．①③④D．①②③④3．如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，BD，CE交于点F，连接A F，下列结论：①BD＝CE②∠AEF＝∠ADF③BD⊥CE④AF平分∠CAD⑤∠AFE＝45°其中结论正确的序号是（）A．①②③④B．①②④⑤C．①③④⑤D．①②③⑤4．如图，在Rt△AEB和Rt△AFC中，∠E＝∠F＝90°，BE＝CF，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，∠EAC＝∠F AB．有下列结论：①∠B＝∠C；②ED＝FD；③AC＝BE；④△ACN≌△ABM．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+2S2+2S3+S4＝（）A．6B．8C．10D．126．如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，B，C，D三点在一条直线上，AD与BE相交于点P，AC、B E相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列四个结论：①AD＝BE；②∠BMC＝∠ANC；③∠APM＝60°；④CP平分∠MCN．其中，一定正确的结论的个数是（）A．1B．2C．3D．47．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于D，DE⊥AB 交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，现有下列结论：①DE＝DF；②DE+DF＝AD；③MD平分∠E DF；④若AE＝3，则AB+AC＝6．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共5小题）8．如图，以△ABC的每一条边为边，在边AB的同侧作三个正三角形△ABD、△BCE和△ACF．已知这三个正三角形构成的图形中，甲、乙阴影部分的面积和等于丙、丁阴影部分的面积和．则∠FCE＝°．9．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣8，3），点B的坐标是．10．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，则下列结论中，正确的是（填序号）．①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB+CD．11．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②△OPC是等边三角形；③A C＝AO+AP；④S△ABC＝S四边形AOCP，其中正确的是．（填序号）12．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是AB的中点，E、F在射线AC 与射线CB上运动，且满足AE＝CF，则在运动过程中△DEF面积的最小值为．三．解答题（共4小题）13．如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．（1）如图1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，求证：AD＝BE；（2）如图2，若∠ACB＝∠DCE＝90°，CF为△DCE中DE边上的高，试猜想AE，CF，BE之间的关系，并证明你的结论．14．如图所示，等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ．（1）求证：AP＝AQ；（2）试判断△APQ是什么形状的三角形？并说明你的理由．15．（1）【模型启迪】如图1，在△ABC中，D为BC边的中点，连接AD并延长至点H，使DH＝AD，连接BH，则AC与BH的数量关系为，位置关系为．（2）【模型探索】如图2，在△ABC中，D为BC边的中点，连接AD，E为AC边上一点，连接BE交A D于点F，且BF＝AC．求证：AE＝EF．16．如图1，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点M，连接CM．（1）求证：BE＝AD；（2）用含α的式子表示∠AMB的度数（直接写出结果）；（3）当α＝90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明．1．（2023•甘孜州）如图，AB与CD相交于点O，AC∥BD，只添加一个条件，能判定△AOC≌△BOD的是（）A．∠A＝∠D B．AO＝BO C．AC＝BO D．AB＝CD2．（2023•北京）如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，AB ＜BC，∠A＝∠C＝90°，△EAB≌△BCD，连接DE．设AB＝a，BC＝b，DE＝c，给出下面三个结论：①a+b＜c；②a+b＞；③（a+b）＞c．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③3．（2022•黑龙江）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，请你添加一个条件，使△AOB≌△COD．4．（2023•成都）如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若BC＝8，CE＝5，则CF的长为．5．（2023•重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连接AD．过点B 作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为3．6．（2023•南通）如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，AC＝4，BD＝6，则AD+BC的最小值是．7．（2023•淮安）已知：如图，点D为线段BC上一点，BD＝AC，∠E＝∠ABC，DE∥AC．求证：DE＝B C．8．（2023•吉林）如图，点C在线段BD上，△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：AC＝DC．9．（2022•兰州）如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠B AD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大小．10．（2022•安顺）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，D是BC边上的一点，以AD为直角边作等腰Rt△ADE，其中∠DAE＝90°，连接CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠BAD＝22.5°时，求BD的长．。
中考数学考点专题复习 三角形与全等三角形
剖析
先看一个事实，如图，将等腰△ABC 的底边 BC 延长线上的任一点和顶 点 A 相连，所得的△DAB 和△DAC 无疑是不全等的，由此可知，有两边及 其一边的对角对应相等的两个三角形(简称“边边角”)不一定全等．因此， 在判定三角形全等时，一定要留心“边边角”，别上当哟．
正解 证明：∵EB＝EC，∴∠3＝∠4.又∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝ ∠2＋∠4，即∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC.在△AEB和△AEC中， ∵EB＝EC，∠1＝∠2，AB＝AC，∴△AEB≌△AEC(SAS)， ∴∠BAE＝∠CAE
的长可能是下列哪个值( B )
A．11
B．5 C．2 D．1
(2)(2015·巴中)若 a，b，c 为三角形的三边，且 a，b 满足 a2－9＋(b－
2)2＝0，则第三边 c 的取值范围是 1＜c＜5
．
【点评】 三角形三边关系性质的实质是“两点之间，线段最 短”．根据三角形的三边关系，已知三角形的两边a，b，可确 定三角形第三边长c的取值范围|a－b|＜c＜a＋b.
[对应训练] 1．(1)(2014·宜昌)已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第 三边的长可能是( )B A．5 B．10 C．11 D．12
(2)(2014·淮安)若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可 以为___4_．(只需填一个整数)
【例2】 (1)(2014·赤峰)如图，把一块含有30°角(∠A＝30°)的 直角三角板ABC的直角顶点放在矩形桌面CDEF的一个顶点C处，桌 面的另一个顶点F与三角板斜边相交于点F，如果∠1＝40°，那么 ∠AFE＝( ) D
A．40° B．50° C．60° D．70°
4．(2015·柳州)如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB 的是( D )
备战2023年中考数学一轮复习考点08 全等三角形
考点08 全等三角形全等三角形主要包括全等图形、全等三角形的概念与性质，全等三角形的判定和角平分线的性质。
在中考中，全等三角形的直接考查主要以选择和填空为主，有时也会以证明的形式考查，难度一般较小；但大多数情况下，全等三角形的知识多作为工具性质与其他几何知识结合，用于辅助证明线段相等、角相等，考查面较广，难度较大，需要考生能够熟练运用全等三角形的性质和判定定理。
一、全等三角形的性质；二、全等三角形的判定；三、角平分线的线的性质。
考向一：全等三角形的性质1.全等三角形的对应边相等，对应角相等；2.全等三角形的周长相等，面积相等；3.全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等．1．下列四个图形中，属于全等图形的是（ ）A ．③和④B ．②和③C ．①和③D ．①和②2．下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，ABC DBC ∆∆≌，45A ∠=︒，86ACD ∠=︒，则ABC ∠的度数为（ ）A ．102︒B ．92︒C ．100︒D ．98︒4．如图，将ABC 沿着BC 方向平移6cm 得到DEF △，若AB BC ⊥，10cm AB =，4cm DH =，则四边形HCFD 的面积为（ ）2cm ．A．40B．24C．48D．645．如图，△ABC≌△ADE，若∠B＝80°，∠E＝30°，则∠C的度数为（）A．80°B．35°C．70°D．30°考向二：全等三角形的判定（一）三角形全等的判定定理：1.边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；2.边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；3.角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；4.角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）；5.对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．（二）灵活运用定理三角形全等是证明线段相等，角相等的最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．应用三角形全等的判别方法注意以下几点：1. 条件充足时直接应用判定定理在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等.这种情况证明两个三角形全等的条件比较充分，只要认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．2. 条件不足，会增加条件用判定定理此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，即从求证入手，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．3. 条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判定定理在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．常见的几种辅助线添加：①遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”； ②遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形利用的思维模式是全等变换中的“旋转”；③遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理；④过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”； ⑤截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分之类的题目．1．在如图所示33⨯的小正方形组成的网格中，ABC 的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上．这样的三角形叫做格点三角形，图中能画出（ ）个与ABC 全等的格点三角形（不含ABC ）．A ．3B ．4C ．7D ．82．如图，B C ∠=∠，要使ABE ACD △△≌．则添加的一个条件不能是（ ）A ．ADC AEB ∠=∠ B ．AD AE =C ．AB AC =D ．BE CD =3．一块三角形玻璃不慎被小明摔成了四片碎片（如图所示），小明经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店，就可以让师傅配一块与原玻璃一样的玻璃．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（ ）A ．带其中的任意两块去都可以B ．带1、4或2、3去就可以了C ．带1、4或3、4去就可以了D ．带1、2或2、4去就可以了4．数学课上，同学们探讨利用不同画图工具画角的平分线的方法．小旭说：我用两块含30°的直角三角板就可以画角平分线．如图，取OM ＝ON ，把直角三角板按如图所示的位置放置，两直角边交于点P ，则射线OP 是∠AOB 的平分线，小旭这样画的理论依据是（ ）A ．SSAB ．HLC ．ASAD ．SSS5．如图，△ABC ≌△EBD ，∠E =50°，∠D =62°，则∠ABC 的度数是（ ）A ．68°B ．62°C ．60°D ．50°考向三：角平分线的线的性质1.角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.2.角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.3.三角形的角平分线：三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等.4.与角平分线有关的辅助线：在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.1．（2022·重庆八中模拟）下列命题是真命题的是（ ）A ．三角形的外心到这个三角形三边的距离相等B ．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点C ．三角形的三条高线所在的直线一定相交于三角形的内部D ．三角形的任意两边之和大于第三边2．如图，在ABC 中，ABC ∠，ACB ∠的平分线交于点O ，OD BC ⊥于D ，如果25cm AB =，20cm BC =，15cm AC =，且2150cm =ABC S △，那么OD 的长度是（ ）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm3．（2022·上海徐汇·二模）如图，两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，记两把尺的接触点为点P ．其中一把直尺边缘恰好和射线OA 重合，而另一把直尺的下边缘与射线OB 重合，上边缘与射线OA 于点M ，联结OP ．若∠BOP ＝28°，则∠AMP 的大小为（ ）A ．62°B ．56°C ．52°D ．46°4．工人师傅常用角尺平分一个任意角，具体做法如下：如图，已知AOB ∠是一个任意角，在边,OA OB 上分别取OM ON =，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M N ，重合，则过角尺顶点C 的射线OC 便是AOB ∠的平分线．在证明MOC NOC ≌时运用的判定定理是（ ）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS5．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，用尺规作图法作出射线AE ，AE 交BC 于点D ，CD =5，P 为AB 上一动点，则PD 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．51．下列命题错误的是（ ）A ．三角形的三条高交于一点B ．三角形的三条中线都在三角形内部C ．直角三角形的三条高交于一点，且交点在直角顶点处D ．三角形的三条角平分线交于一点，且这个交点到三角形三边的距离相等2．如图，已知ABC A BC ''≌，A C BC ''∥，∠C ＝25°，则ABA '∠的度数是（ ）A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°3．（2022·福建·模拟）如图，AD 是AEC △的角平分线，2AC AB =，若4ACD S =，则ABD △的面积为（ ）A ．3B ．2C ．32D ．14．如图，在Rt ABC 中，90,C BAC ∠=︒∠的平分线交BC 于点D ，DE //AB ，交AC 于点E ，DF AB ⊥于点F ，5,3DE DF ==，则下列结论错误的是（ ）A ．1BF =B ．3DC = C ．5AE =D ．9AC =5．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟）如图，已知ABC ，90C ∠=︒，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交边AB ，AC 于点M ，N ；②分别以M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径画弧，两弧在ABC 的内部相交于点P ；③作射线AP 交BC 于点D ．下列说法一定成立的是（ ）A ．BD AD =B ．BD CD >C ．>BD AC D ．2BD CD =6．（2022·河南·一模）在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD 平分BAC ∠的是（ ）A ．图2B ．图1与图2C ．图1与图3D ．图2与图37．（2022·山东威海·一模）如图，BD 是△ABC 的角平分线，AE ⊥BD ，垂足为M ．若∠ABC ＝30°，∠C ＝38°，则∠CDE 的度数为（ ）A ．68°B ．70°C ．71°D ．74°8．（2022·福建三明·模拟）如图，BD 平分∠ABC ，F ，G 分别是BA ，BC 上的点（BF BG ≠），EF EG =，则∠BFE 与∠BGE 的数量关系一定满足的是（ ）A ．90BFE BGE ∠+∠=B ．180BFE BGE ∠+∠=C ．2BFE BGE ∠=∠D ．90BFE BGE ∠-∠=9．（2022·重庆十八中两江实验中学一模）如图，在ABC 中，AD BC ⊥，垂足为点D ．下列条件中，不一定能推得ABD △与ACD 全等的条件是（ ）A ．AB AC = B ．BD CD =C ．B DAC ∠=∠D ．BAD CAD ∠=∠ 10．（2022·安徽滁州·二模）如图，OC 为∠AOB 的角平分线，点P 是OC 上的一点，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，F 为OC 上另一点，连接DF ，EF ，则下列结论：①OD ＝OE ；②DF ＝FE ； ③∠DFO ＝∠EFO ；④S △DFP ＝S △EFP ，正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．如图，D 为Rt ABC △中斜边BC 上的一点，且BD AB =，过D 作BC 的垂线，交AC 于E ．若6cm AE =，则DE 的长为 __cm ．12．如图，ABC ∆中，90,6,8ACB AC BC ︒∠===．点P 从A 点出发沿A →C →B 路径向终点B 点运动；点Q 从B 点出发沿B →C →A 路径向终点A 点运动．点P 和Q 分别以1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动．在某时刻，分别过P 和Q 作PE l ⊥于E ，QF l ⊥于F ．点P 运动________秒时，PEC ∆与QFC ∆全等．13．如图，在ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是BC 边上的高，BE 是AC 边的中线，CF 是∠ACB 的角平分线，CF 交AD 于点G ，交BE 于点H ，①ABE 的面积＝BCE 的面积；②∠F AG ＝∠FCB ；③AF ＝AG ；④BH ＝CH ．以上说法正确的是_____．14．如图，小虎用10块高度都是4cm 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC BC =，90ACB ∠=︒），点C 在DE 上，点A 和B 分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为______．15．如图，E ABC AD ≅∆∆，BC 的延长线经过点E ，交AD 于F ，105AED ∠=︒，10CAD ∠=︒，50B ∠=︒，则EAB ∠=__︒．16．（2022·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在△ABC 中，高AE 交BC 于点E ，若1452ABE C ∠+∠=︒，5CE =，△ABC 的面积为10，则AB 的长为___________．17．（2022·山东济南·三模）如图，正方形ABCD 的边长为3，P 、Q 分别在AB ，BC 的延长线上，且BP=CQ ，连接AQ 和DP 交于点O ，分别与边CD 和BC 交于点F 和E ，连接AE ，以下结论：①AQ ⊥DP ；②AOD S =OECF S 四边形；③OA 2=OE•OP ；④当BP =1时，tan ∠OAE =1316，其中正确的是______．（写出所有正确结论的序号）18．（2022·贵州铜仁·一模）如图，在ABC 中，8BC =，6AC =按下列步骤作图：步骤1：以点C 为圆心，小于AC 的长为半径作弧分别交BC 、AC 于点D 、E ；步骤2：分别以点D 、E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧交于点M ； 步骤3：作射线CM 交AB 于点F ，若 4.5AF =，则AB =______．19．（2022·湖北襄阳·一模）如图，已知AC BD =，A D ∠=∠，添加一个条件______，使AFC DEB △≌△（写出一个即可）．20．如图，在△ABC 中，90ACB ∠=︒，AC ＝8cm ，BC ＝10cm ．点C 在直线l 上，动点P 从A 点出发沿A →C 的路径向终点C 运动；动点Q 从B 点出发沿B →C →A 路径向终点A 运动．点P 和点Q 分别以每秒1cm 和2cm 的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，分别过点P 和Q 作PM ⊥直线l 于M ，QN ⊥直线l 于N ．则点P 运动时间为____秒时，△PMC 与△QNC 全等．21．已知：如图所示，PC PD C D =∠=∠，．求证：PCB PDA ≌．22．如图所示，点E 在线段BC 上，12∠=∠，AD AB AE AC ==，，求证：DE BC =23．（2022·江苏淮安·中考真题）已知：如图，点A 、D 、C 、F 在一条直线上，且AD CF =，AB DE =，BAC EDF ∠=∠．求证：B E ∠=∠．24．如图，己知正方形ABCD，点E是BC边上的一点，连接DE．(1)请用尺规作图法，在CD的延长线上截取线段DF，使=DF CE；（不要求写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，连接AF．求证：△AFD≌△DEC．25．（2022·陕西延安·二模）如图，已知ABC，请用尺规作图法在BC上求作一点E，使得点E到、的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）AB AC26．如图，已知等边ABC，AD是BC边上的高，请用尺规作图法，在AD上求作一点O，使∠=︒．（保留作图痕迹，不写作法）60BOD，，，与MN分别交于点27．如图，已知直线MN与▱ABCD的对角线AC平行，延长DA DC AB CB，，，．E H G F(1)求证：EF GH =；(2)若FG AC =，试判断AE 与AD 之间的数量关系，并说明理由．28．如图（1）所示，A ，E ，F ，C 在一条直线上，AE ＝CF ，过E ，F 分别作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，若AB ＝CD ，可以得到BD 平分EF ，为什么？若将△DEC 的边EC 沿AC 方向移动，变为图（2）时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由．29．如图，已知EB CF ∥，OA ＝OD ，AE ＝DF ．求证：(1)OB=OC ；(2)AB ∥CD ．30．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ．(1)当直线MN 绕点C 旋转到①的位置时，求证：①ADC △≌CEB ；②DE AD BE =+；(2)当直线MN 绕点C 旋转到②的位置时，求证：DE AD BE =-；(3)当直线MN 绕点C 旋转到③的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明．1．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为ABC ∆，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（ ）A ．,,AB BC CA B ．,,AB BC B ∠ C ．,,AB AC B ∠D ．,,∠∠A B BC4．（2021·江苏盐城·中考真题）工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在AOB ∠的两边OA 、OB 上分别在取OC OD =，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C 、D 重合，这时过角尺顶点M 的射线OM 就是AOB ∠的平分线．这里构造全等三角形的依据是（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS5．（2022·江苏南通·中考真题）如图，点B 、F 、C 、E 在一条直线上，AB ∥ED ，AC ∥FD ，要使△ABC ≌△DEF ，还需添加一个．．条件是________．（只需添一个）6．（2020·江苏扬州·中考真题）如图，在ABC 中，按以下步骤作图：①以点B 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB 、BC 于点D 、E ．②分别以点D 、E 为圆心，大于12DE 的同样长为半径作弧，两弧交于点F ． ③作射线BF 交AC 于点G ．如果8AB =，12BC =，ABG 的面积为18，则CBG 的面积为________．7．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，在ABCD 中，BE 、DG 分别平分ABC ADC ∠∠、，交AC 于点E G 、．(1)求证：,BE DG BE DG =∥；(2)过点E 作EF AB ⊥，垂足为F ．若ABCD 的周长为56，6EF =，求ABC ∆的面积．8．（2020·江苏南京·中考真题）如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB =AC ，∠B =∠C ，求证：BD =CE9．（2020·江苏镇江·中考真题）如图，AC 是四边形ABCD 的对角线，∠1＝∠B ，点E 、F 分别在AB 、BC 上，BE ＝CD ，BF ＝CA ，连接EF ．（1）求证：∠D ＝∠2；（2）若EF ∥AC ，∠D ＝78°，求∠BAC 的度数．1．（2022·江苏南京·二模）如图，在ABC 中，点D 在AC 上，BD 平分ABC ∠，延长BA 到点E ，使得BE BC =，连接DE ．若38ADE ∠=︒，则ADB ∠的度数是（ ）A ．68°B ．69°C ．71°D ．72°2．（2022·江苏常州·一模）如图，已知四边形ABCD 的对角互补，且BAC DAC ∠=∠，15AB =，12AD =．过顶点C 作CE AB ⊥于E ，则AE BE的值为（ ）A B ．9 C ．6 D ．7．23．（2022·江苏·南通市陈桥中学一模）如图，在锐角三角形ABC 中，AB =4，△ABC 的面积为10，BD 平分∠ABC ，若M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM +MN 的最小值为（ ）A ．4B ．5C ．4.5D ．64．（2022·江苏盐城·一模）如图，点E ，F 在AC 上，AD =BC ，DF =BE ，要使△ADF ≌△CBE ，还需要添加的一个条件是（ ）A ．∠A =∠CB ．∠D =∠BC ．AD ∥BC D ．DF ∥BE5．（2022·江苏南通·二模）如图，在ABC 中，按以下步骤作图：①以点B 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB ，BC 于点D ，E ；②分别以点D ，E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧在ABC ∠的内部交于点F ； ③作射线BF ，交AC 于点G ．如果6AB =，9BC =，ABG 的面积为9，则ABC 的面积为______．6．（2022·江苏·模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，CD ＝2，则点D 到AB 的距离是_________．7．（2022·江苏·南通市陈桥中学一模）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，以顶点A 为圆心、适当长为半径画弧，分别交AC 、AB 于点M 、N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若4CD =，5AB =，则ABD △的面积是________．8．（2022·江苏·苏州市振华中学校二模）已知：如图，AC BD =，AD BC =，AD ，BC 相交于点O ，过点O 作OE AB ⊥，垂足为E ．求证：(1)ABC BAD ≌．(2)AE BE =．9．（2022·江苏镇江·模拟）如图，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，BE ⊥AD 于点E ，CF ⊥AD 于点F ．(1)求证：△ABE ≌△CAF ；(2)若CF ＝5，BE ＝2，求EF 的长．10．（2022·江苏·宜兴市实验中学二模）如图，在△ABC 中，O 为BC 中点，BD ∥AC ，直线OD 交AC 于点E ．(1)求证：△BDO≌△CEO；(2)若AC=6，BD=4，求AE的长．11．（2022·江苏徐州·模拟）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝1∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是；（不需要证明）2（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并＝12证明．（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝1∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关2系，并证明．12．（2022·江苏盐城·一模）【提出问题】如图1，在等边三角形ABC内一点P，P A=3,PB=4,PC=5．求∠APB的度数？小明提供了如下思路：如图2，将△APC绕A点顺时针旋转60°至△AP'B ,则AP'=AP=3,P'C=PB=4,∠P'AC=∠P AB ,所以∠P'AC+∠CAP=∠P AC+∠BAP ,即∠P'AP=∠BAC=60° ,所以△AP'P为等边三角形,所以∠A P'P=60° ,……按照小明的解题思路，易求得∠APB= ；【尝试应用】如图3，在等边三角形ABC外一点P，P A=6,PB=10,PC=8．求∠APC的度数？【解决问题】如图4，平面直角坐标系xoy中，直线AB的解析式为y=－x+b(b>0),在第一象限内一点P，满足PB:PO:P A=1:2:3，则∠BPO= 度（直接写出答案）1．下列四个图形中，属于全等图形的是（ ）A ．③和④B ．②和③C ．①和③D ．①和②【答案】D【分析】根据全等图形的定义逐一判断即可．【详解】①和②，是全等图形，将①顺时针旋转180°即可和②完全重合，其它两个图形不符合 故选D ．2．下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】直接利用全等图形的概念进而得出答案． 【详解】解：图形分割成两个全等的图形，如图所示：故选B ．3．如图，ABC DBC ∆∆≌，45A ∠=︒，86ACD ∠=︒，则ABC ∠的度数为（ ）A ．102︒B ．92︒C ．100︒D ．98︒【答案】B【分析】根据全等三角形的性质得出ACB DCB ∠=∠，求出ACB ∠，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：ABC DBC ∆∆≌，ACB DCB ∴∠=∠，86ACD ∠=︒， 43ACB ︒∴∠=，45A ∠=︒，18092ABC A ACB ∴︒--∠︒∠=∠=；故选：B ．4．如图，将ABC 沿着BC 方向平移6cm 得到DEF △，若AB BC ⊥，10cm AB =，4cm DH =，则四边形HCFD 的面积为（ ）2cm ．A ．40B ．24C ．48D ．64【答案】C【分析】根据平移的性质可得ABC ≌DEF △，则四边形HCFD 的面积等于DEFEHCABCEHCABEH SSSSS -=-=梯形即可求解．【详解】解：∵将ABC 沿着BC 方向平移6cm 得到DEF △， ∴ABC ≌DEF △，6BE =cm ， ∴ABC 的面积等于DEF △的面积， 又AB BC ⊥，10cm AB =，4cm DH =， ∴1046HE DE DH AB DH =-=-=-=（cm ）， ∴四边形HCFD 的面积等于DEFEHCABCEHCABEH S SSSS -=-=梯形()12AB HE BE =+⋅ ()11066482=+⨯=（2cm ） 故选C ．5．如图，△ABC ≌△ADE ，若∠B ＝80°，∠E ＝30°，则∠C 的度数为（ ）A．80°B．35°C．70°D．30°【答案】D【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．【详解】解：△ABC≌△ADE，∠E＝30°，∠C=∠E＝30°，故选：D．考向二：全等三角形的判定（一）三角形全等的判定定理：1.边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；2.边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；3.角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；4.角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）；5.对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．（二）灵活运用定理三角形全等是证明线段相等，角相等的最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．应用三角形全等的判别方法注意以下几点：1. 条件充足时直接应用判定定理在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等.这种情况证明两个三角形全等的条件比较充分，只要认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．2. 条件不足，会增加条件用判定定理此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，即从求证入手，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．3. 条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判定定理在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．常见的几种辅助线添加：①遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”；②遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形利用的思维模式是全等变换中的“旋转”；③遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理；④过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；⑤截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分之类的题目．的小正方形组成的网格中，ABC的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上．这样1．在如图所示33的三角形叫做格点三角形，图中能画出（）个与ABC全等的格点三角形（不含ABC）．A．3B．4C．7D．8【答案】C【分析】根据SSS判定两三角形全等．认真观察图形可得答案．【详解】如图所示大正方形上都可作两个全等的三角形，所以共有八个全等三角形，除去ABC 外有7个与ABC 全等的三角形． 故选C ．2．如图，B C ∠=∠，要使ABE ACD △△≌．则添加的一个条件不能是（ ）A ．ADC AEB ∠=∠ B ．AD AE =C ．AB AC =D ．BE CD =【答案】A【分析】根据全等三角形的判定进行解答即可得． 【详解】解：在ABE 和ACD 中，AEB ADC A BB C ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴无法证明ABE ACD △△≌， 选项A 说法错误，符合题意； 在ABE 和ACD 中， A AB C AD AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE ACD △△≌（AAS ），选项B 说法正确，不符合题意； 在ABE 和ACD 中，A A AB AC BD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABE ACD △△≌（ASA ），选项C 说法正确，不符合题意； 在ABE 和ACD 中， A AB C BE CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE ACD △△≌（AAS ），选项D 说法正确，不符合题意； 故选A ．3．一块三角形玻璃不慎被小明摔成了四片碎片（如图所示），小明经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店，就可以让师傅配一块与原玻璃一样的玻璃．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（ ）A ．带其中的任意两块去都可以B ．带1、4或2、3去就可以了C ．带1、4或3、4去就可以了D ．带1、2或2、4去就可以了【答案】C【分析】带1、3去，只有两角，没有完整边不能确定三角形，带1、2或2、3去，只有一角，没有完整边，不能确定三角形，带2、4去，有一角，可以延长边还原出原三角形，带3、4可以用“角边角”确定三角形，带1、4可以用“角边角”确定三角形．即可得出答案【详解】解：带1、3去，只有两角，没有完整边不能确定三角形，带1、2或2、3去，只有一角，不能确定三角形，带2、4去，有一角，可以延长边还原出原三角形，带3、4可以用“角边角”确定三角形，带1、4可以用“角边角”确定三角形，所以A 、B 、D 不符合题意，C 符合题， 故选：C ．4．数学课上，同学们探讨利用不同画图工具画角的平分线的方法．小旭说：我用两块含30°的直角三角板就可以画角平分线．如图，取OM ＝ON ，把直角三角板按如图所示的位置放置，两直角边交于点P ，则射线OP 是∠AOB 的平分线，小旭这样画的理论依据是（ ）A ．SSAB ．HLC ．ASAD ．SSS【答案】B【分析】根据题意可得OP OP =，OM ON =，90PMO PNO ∠=∠=︒，根据全等三角形的判定方法，即可求解．【详解】解：根据题意可得OP OP =，OM ON =，90PMO PNO ∠=∠=︒， 根据全等三角形的判定方法可得()POM PON HL △≌△ 故选B5．如图，△ABC ≌△EBD ，∠E =50°，∠D =62°，则∠ABC 的度数是（ ）A ．68°B ．62°C ．60°D ．50°【答案】A【分析】根据三角形内角和定理求出∠EBD ，根据全等三角形的性质解答． 【详解】∵∠E ＝50°，∠D ＝62°， ∴∠EBD ＝180°−50°−62°＝68°， ∵△ABC ≌△EBD ， ∴∠ABC ＝∠EBD ＝68°， 故选：A ．考向三：角平分线的线的性质1.角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.2.角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.3.三角形的角平分线：三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等.4.与角平分线有关的辅助线：在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.1．（2022·重庆八中模拟）下列命题是真命题的是（ ） A ．三角形的外心到这个三角形三边的距离相等 B ．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点 C ．三角形的三条高线所在的直线一定相交于三角形的内部 D ．三角形的任意两边之和大于第三边 【答案】D【分析】根据三角形的外心、重心等有关性质，对选项逐个判断即可．【详解】解：A 、三角形的内心到这个三角形三边的距离相等，为假命题，不符合题意； B 、三角形的重心是这个三角形的三条中线的交点，为假命题，不符合题意；C 、只有锐角三角形的三条高线所在的直线相交于三角形的内部，为假命题，不符合题意；D 、三角形的任意两边之和大于第三边，为真命题，符合题意； 故选：D2．如图，在ABC 中，ABC ∠，ACB ∠的平分线交于点O ，OD BC ⊥于D ，如果25cm AB =，20cm BC =，15cm AC =，且2150cm =ABC S △，那么OD 的长度是（ ）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm【答案】D【分析】作OE AC ⊥交于点E ，作OF AB ⊥交于点F ，连接OA ，证明OD OE OF ==，再利用2150cm =++=ABC BOC AOB AOC S S S S △△△△即可求出OD 的长度．【详解】解：作OE AC ⊥交于点E ，作OF AB ⊥交于点F ，连接OA ，。
中考数学专题复习27特殊三角形(解析版)
特殊三角形考点1：等腰三角形的性质与判定1．（2021·江苏苏州市）如图．在Rt ABC △中.90C ∠=︒.AF EF =．若72CFE ∠=︒.则B ∠=______．【答案】54°【分析】首先根据等腰三角形的性质得出∠A =∠AEF .再根据三角形的外角和定理得出∠A +∠AEF =∠CFE .求出∠A 的度数.最后根据三角形的内角和定理求出∠B 的度数即可．【详解】∠ AF =EF .∠ ∠A =∠AEF .∠∠A +∠AEF =∠CFE=72°.∠ ∠A =36°.∠ ∠C =90°.∠A +∠B +∠C =180°.∠ ∠B =180°-∠A -∠C =54°．故答案为：54°．2．（2021·江苏南京市·中考真题）如图.在四边形ABCD 中.AB BC BD ==．设ABC α∠=.则ADC ∠=______（用含α的代数式表示）．【答案】11802α︒-【分析】由等腰的性质可得：∠ADB =1902ABD ︒-∠.∠BDC =1902CBD ︒-∠.两角相加即可得到结论．【详解】解：在∠ABD 中.AB =BD∠∠A =∠ADB =11(180)9022ABD ABD ︒-∠=︒-∠ 在∠BCD 中.BC =BD∠∠C =∠BDC =11(180)9022CBD CBD ︒-∠=︒-∠ ∠ABC ABD CBD α∠=∠+∠=∠ADC ADB CBD ∠=∠+∠ =11909022ABD CBD ︒-∠+︒-∠ =1180()2ABD CBD ︒-∠+∠ =11802ABC ︒-∠ =11802α︒- 故答案为：11802α︒-．3．（2021·四川资阳市·中考真题）将一张圆形纸片（圆心为点O ）沿直径MN 对折后.按图1分成六等份折叠得到图2.将图2沿虚线AB 剪开.再将AOB 展开得到如图3的一个六角星．若75CDE ∠=︒.则OBA ∠的度数为______．【答案】135°【分析】利用折叠的性质.根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理解题．【详解】解：连接OC.EO由折叠性质可得：∠EOC=3603012︒=︒.EC=DC.OC平分∠ECD∠∠ECO=11(180275)15 22ECD∠=︒-⨯︒=︒∠∠OEC=180°-∠ECO-∠EOC=135°即OBA∠的度数为135°故答案为：135°4．（2021·山东中考真题）如图.在ABC中.ABC∠的平分线交AC于点D.过点D作//DE BC；交AB于点E．（1）求证：BE DE =；（2）若80,40A C ∠=︒∠=︒.求BDE ∠的度数．【答案】（1）见详解；（2）30BDE ∠=︒【分析】（1）由题意易得,ABD CBD CBD EDB ∠=∠∠=∠.则有ABD EDB ∠=∠.然后问题可求证； （2）由题意易得60ABC ∠=︒.则有30ABD CBD ∠=∠=︒.然后由（1）可求解．【详解】（1）证明：∠BD 平分ABC ∠.∠ABD CBD ∠=∠.∠//DE BC .∠CBD EDB ∠=∠.∠ABD EDB ∠=∠.∠BE DE =；（2）解：∠80,40A C ∠=︒∠=︒.∠18060ABC A C ∠=︒-∠-∠=︒.由（1）可得30ABD CBD BDE ∠=∠=∠=︒．5．（2020•台州）如图.已知AB ＝AC .AD ＝AE .BD 和CE 相交于点O ．（1）求证：∠ABD ∠∠ACE ；（2）判断∠BOC 的形状.并说明理由．【分析】（1）由“SAS ”可证∠ABD ∠∠ACE ；（2）由全等三角形的性质可得∠ABD ＝∠ACE .由等腰三角形的性质可得∠ABC ＝∠ACB .可求∠OBC ＝∠OCB .可得BO ＝CO .即可得结论．【解答】证明：（1）∠AB ＝AC .∠BAD ＝∠CAE .AD ＝AE .∠∠ABD∠∠ACE（SAS）；（2）∠BOC是等腰三角形.理由如下：∠∠ABD∠∠ACE.∠∠ABD＝∠ACE.∠AB＝AC.∠∠ABC＝∠ACB.∠∠ABC﹣∠ABD＝∠ACB﹣∠ACE.∠∠OBC＝∠OCB.∠BO＝CO.∠∠BOC是等腰三角形．考点2：等边三角形的性质与判定6．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图.等边三角形ABC的边长为4.C的半3P为AB边上一动点.过点P作C的切线PQ.切点为Q.则PQ的最小值为________．【答案】3【分析】连接OC和PC.利用切线的性质得到CQ∠PQ.可得当CP最小时.PQ最小.此时CP∠AB.再求出CP.利用勾股定理求出PQ即可．【详解】解：连接QC和PC.∠PQ和圆C相切.∠CQ∠PQ.即∠CPQ始终为直角三角形.CQ为定值.∠当CP最小时.PQ最小.∠∠ABC是等边三角形.∠当CP∠AB时.CP最小.此时CP∠AB.∠AB=BC=AC=4.∠AP=BP=2.∠CP22-3AC AP∠圆C的半径CQ3∠PQ22-=3.CP CQ故答案为：3．7．（2020•台州）如图.等边三角形纸片ABC的边长为6.E.F是边BC上的三等分点．分别过点E.F沿着平行于BA.CA方向各剪一刀.则剪下的∠DEF的周长是．【分析】根据三等分点的定义可求EF的长.再根据等边三角形的判定与性质即可求解．【解析】∠等边三角形纸片ABC的边长为6.E.F是边BC上的三等分点.∠EF＝2.∠DE∠AB.DF∠AC.∠∠DEF是等边三角形.∠剪下的∠DEF的周长是2×3＝6．故答案为：6．8．（2020•凉山州）如图.点P、Q分别是等边∠ABC边AB、BC上的动点（端点除外）.点P、点Q以相同的速度.同时从点A、点B出发．（1）如图1.连接AQ、CP．求证：∠ABQ∠∠CAP；（2）如图1.当点P、Q分别在AB、BC边上运动时.AQ、CP相交于点M.∠QMC的大小是否变化？若变化.请说明理由；若不变.求出它的度数；（3）如图2.当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时.直线AQ、CP相交于M.∠QMC的大小是否变化？若变化.请说明理由；若不变.求出它的度数．【分析】（1）根据等边三角形的性质.利用SAS 证明∠ABQ ∠∠CAP 即可；（2）先判定∠ABQ ∠∠CAP .根据全等三角形的性质可得∠BAQ ＝∠ACP .从而得到∠QMC ＝60°；（3）先判定∠ABQ ∠∠CAP .根据全等三角形的性质可得∠BAQ ＝∠ACP .从而得到∠QMC ＝120°．【解析】（1）证明：如图1.∠∠ABC 是等边三角形∠∠ABQ ＝∠CAP ＝60°.AB ＝CA .又∠点P 、Q 运动速度相同.∠AP ＝BQ .在∠ABQ 与∠CAP 中.{AB =CA∠ABQ =∠CPA AP =BQ. ∠∠ABQ ∠∠CAP （SAS ）；（2）点P 、Q 在AB 、BC 边上运动的过程中.∠QMC 不变．理由：∠∠ABQ ∠∠CAP .∠∠BAQ ＝∠ACP .∠∠QMC 是∠ACM 的外角.∠∠QMC ＝∠ACP +∠MAC ＝∠BAQ +∠MAC ＝∠BAC∠∠BAC ＝60°.∠∠QMC ＝60°；（3）如图2.点P 、Q 在运动到终点后继续在射线AB 、BC 上运动时.∠QMC 不变 理由：同理可得.∠ABQ ∠∠CAP .∠∠BAQ ＝∠ACP .∠∠QMC 是∠APM 的外角.∠∠QMC ＝∠BAQ +∠APM .∠∠QMC ＝∠ACP +∠APM ＝180°﹣∠P AC ＝180°﹣60°＝120°.即若点P 、Q 在运动到终点后继续在射线AB 、BC 上运动.∠QMC 的度数为120°．考点3：直角三角形的性质9．（2020•衡阳）如图.在∠ABC 中.∠B ＝∠C .过BC 的中点D 作DE ∠AB .DF ∠AC .垂足分别为点E 、F ．（1）求证：DE ＝DF ；（2）若∠BDE ＝40°.求∠BAC 的度数．【分析】（1）根据DE ∠AB .DF ∠AC 可得∠BED ＝∠CFD ＝90°.由于∠B ＝∠C .D 是BC 的中点.AAS 求证∠BED ∠∠CFD 即可得出结论．（2）根据直角三角形的性质求出∠B ＝50°.根据等腰三角形的性质即可求解．【解答】（1）证明：∠DE ∠AB .DF ∠AC .∠∠BED ＝∠CFD ＝90°.∠D 是BC 的中点.∠BD ＝CD .在∠BED 与∠CFD 中.{∠BED =∠CFD∠B =∠CBD =CD. ∠∠BED ∠∠CFD （AAS ）.∠DE ＝DF ；（2）解：∠∠BDE ＝40°.∠∠B＝50°.∠∠C＝50°.∠∠BAC＝80°．10．（2020•泰安）小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上.抽象出如图（2）的平面图形.∠ACB与∠ECD恰好为对顶角.∠ABC＝∠CDE＝90°.连接BD.AB ＝BD.点F是线段CE上一点．探究发现：（1）当点F为线段CE的中点时.连接DF（如图（2））.小明经过探究.得到结论：BD∠DF．你认为此结论是否成立？．（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）将（1）中的条件与结论互换.即：BD∠DF.则点F为线段CE的中点．请判断此结论是否成立．若成立.请写出证明过程；若不成立.请说明理由．问题解决：（3）若AB＝6.CE＝9.求AD的长．【分析】（1）证明∠FDC+∠BDC＝90°可得结论．（2）结论成立：利用等角的余角相等证明∠E＝∠EDF.推出EF＝FD.再证明FD＝FC 即可解决问题．（3）如图3中.取EC的中点G.连接GD．则GD∠BD．利用（1）中即可以及相似三角形的性质解决问题即可．【解析】（1）如图（2）中.∠∠EDC＝90°.EF＝CF.∠DF＝CF.∠∠FCD＝∠FDC.∠∠ABC＝90°.∠∠A+∠ACB＝90°.∠BA＝BD.∠∠A＝∠ADB.∠∠ACB＝∠FCD＝∠FDC.∠∠ADB+∠FDC＝90°.∠∠FDB＝90°.∠BD∠DF．故答案为是．（2）结论成立：理由：∠BD∠DF.ED∠AD.∠∠BDC+∠CDF＝90°.∠EDF+∠CDF＝90°.∠∠BDC＝∠EDF.∠AB＝BD.∠∠A＝∠BDC.∠∠A＝∠EDF.∠∠A+∠ACB＝90°.∠E+∠ECD＝90°.∠ACB＝∠ECD.∠∠A＝∠E.∠∠E＝∠EDF.∠EF＝FD.∠∠E+∠ECD＝90°.∠EDF+∠FDC＝90°.∠FD ＝FC .∠EF ＝FC .∠点F 是EC 的中点．（3）如图3中.取EC 的中点G .连接GD ．则GD ∠BD ．∠DG =12EC =92. ∠BD ＝AB ＝6.在Rt∠BDG 中.BG =√DG 2+BD 2=√(92)2+62=152. ∠CB =152−92=3.在Rt∠ABC 中.AC =√AB 2+BC 2=√62+32=3√5.∠∠ACB ＝∠ECD .∠ABC ＝∠EDC .∠∠ABC ∠∠EDC .∠AC EC =BC CD. ∠3√59=3CD. ∠CD =9√55. ∠AD ＝AC +CD ＝3√5+9√55=24√55． 11．（2020•常德）已知D 是Rt∠ABC 斜边AB 的中点.∠ACB ＝90°.∠ABC ＝30°.过点D 作Rt∠DEF 使∠DEF ＝90°.∠DFE ＝30°.连接CE 并延长CE 到P .使EP ＝CE .连接BE .FP .BP .设BC 与DE 交于M .PB 与EF 交于N ．（1）如图1.当D .B .F 共线时.求证：∠EB ＝EP ；（2）如图2.当D .B .F 不共线时.连接BF .求证：∠BFD +∠EFP ＝30°．【分析】（1）∠证明∠CBP 是直角三角形.根据直角三角形斜边中线可得结论； ∠根据同位角相等可得BC ∠EF .由平行线的性质得BP ∠EF .可得EF 是线段BP 的垂直平分线.根据等腰三角形三线合一的性质可得∠PFE ＝∠BFE ＝30°；（2）如图2.延长DE 到Q .使EQ ＝DE .连接CD .PQ .FQ .证明∠QEP ∠∠DEC （SAS ）.则PQ ＝DC ＝DB .由QE ＝DE .∠DEF ＝90°.知EF 是DQ 的垂直平分线.证明∠FQP ∠∠FDB （SAS ）.再由EF 是DQ 的垂直平分线.可得结论．【解答】证明（1）∠∠∠ACB ＝90°.∠ABC ＝30°.∠∠A ＝90°﹣30°＝60°.同理∠EDF ＝60°.∠∠A ＝∠EDF ＝60°.∠AC ∠DE .∠∠DMB ＝∠ACB ＝90°.∠D 是Rt∠ABC 斜边AB 的中点.AC ∠DM .∠BM BC =BD AB =12. 即M 是BC 的中点.∠EP ＝CE .即E 是PC 的中点.∠ED ∠BP .∠∠CBP ＝∠DMB ＝90°.∠∠CBP 是直角三角形.∠BE =12PC ＝EP ； ∠∠∠ABC ＝∠DFE ＝30°.∠BC ∠EF .由∠知：∠CBP ＝90°.∠BP ∠EF .∠EB＝EP.∠EF是线段BP的垂直平分线.∠PF＝BF.∠∠PFE＝∠BFE＝30°；（2）如图2.延长DE到Q.使EQ＝DE.连接CD.PQ.FQ.∠EC＝EP.∠DEC＝∠QEP.∠∠QEP∠∠DEC（SAS）.则PQ＝DC＝DB.∠QE＝DE.∠DEF＝90°∠EF是DQ的垂直平分线.∠QF＝DF.∠CD＝AD.∠∠CDA＝∠A＝60°.∠∠CDB＝120°.∠∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP.∠∠FQP∠∠FDB（SAS）.∠∠QFP＝∠BFD.∠EF是DQ的垂直平分线.∠∠QFE＝∠EFD＝30°.∠∠QFP+∠EFP＝30°.∠∠BFD+∠EFP＝30°．考点4：勾股定理及其逆定理12．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图.ABC中.∠=︒==.将ADE沿DE翻折.使点A与点B重合.则CE的长为90,8,6ACB AC BC（）A．198B．2C．254D．74【答案】D【分析】先在RtABC中利用勾股定理计算出AB=10.再利用折叠的性质得到AE=BE.AD=BD=5.设AE=x.则CE=AC-AE=8-x.BE=x.在Rt∠BCE中根据勾股定理可得到x2=62+（8-x）2.解得x.可得CE．【详解】解：∠∠ACB=90°.AC=8.BC=6.∠AB22AC BC+∠∠ADE沿DE翻折.使点A与点B重合.∠AE=BE.AD=BD=12AB=5.设AE=x.则CE=AC-AE=8-x.BE=x.在Rt∠BCE中∠BE2=BC2+CE2.∠x2=62+（8-x）2.解得x=25 4.∠CE=2584-=74.故选：D．。
中考数学三角形考点和易错点总结
中考数学三角形考点和易错点总结
易错点1：三角形的概念以及三角形的角平分线，中线，高线的特征与区别。
易错点2：三角形三边之间的不等关系，注意其中的“任何两边”。
求最短间隔的方法。
易错点3：三角形的内角和，三角形的分类与三角形内外角性质，特别关注外角性质中的“不相邻”。
易错点4：全等形，全等三角形及其性质，三角形全等判定。
着重学会论证三角形全等，三角形相似与全等的综合运用以及线段相等是全等的特征，线段的倍分是相似的特征以及相似与三角函数的结合。
根据边边角不能得到两个三角形全等。
易错点5：两个角相等和平行经常是相似的根本构成要素，以及相似三角形对应高之比等于相似比，对应线段成比例，面积之比等于相似比的平方。
易错点6：等腰(等边)三角形的定义以及等腰(等边)三角形的判定与性质，运用等腰(等边)三角形的判定与性质解决有关计算与证明问题，这里需注意分类讨论思想的渗入。
易错点7：运用勾股定理及其逆定理计算线段的长，证明线段的数量关系，解决与面积有关的问题以及简单的实际问题。
易错点8：将直角三角形，平面直角坐标系，函数，开放性问题，探索性问题结合在一起综合运用探究各种解题方法。
易错点9：中点，中线，中位线，一半定理的归纳以及各自的性质。
易错点10：直角三角形判定方法：三角形面积确实定与底上的高(特别是钝角三角形)。
易错点11：三角函数的定义中对应线段的比经常出错以及特殊角的三角函数值。
三角形与多边形的概念及性质-2024年中考数学考点(全国通用)(解析版)
【中考高分指南】数学（选择+填空）【备战2024年中考·数学考点总复习】（全国通用）三角形与多边形的有关概念及性质一、三角形有关概念及性质1．三角形的分类（1）三角形按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.（2）三角形按边分类：①一般三角形：三边都不等的三角形；②等腰三角形：两边相等的三角形；③等边三角形：三边都相等的三角形2．三角形的边的关系（1）三角形任意两边之和大于第三边.（2）三角形任意两边之差小于第三边3．三角形的角的关系（1）三角形三个内角的和等于180°；特别地，当有一个内角是90° 时，其余的两个内角互余.（2）三角形的外角和等于360°.（3）三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，三角形的任意一个外角大于任意一个和它不相邻的内角4．三角形的中线（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线.（2）一个三角形有三条中线，都在三角形的内部，三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心.（3）三角形的一条中线把原三角形分成面积相等的两部分5．三角形的高（1）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高.（2）一个三角形有三条高，可能在三角形内部，也可能在三角形上，还可能在三角形的外部6．三角形的角平分线（1）在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 它区别于一个角的平分线在于它是线段，而一个角的平分线是射线.（2）三角形的内心：三角形的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心.这个点也是这个三角形内切圆的圆心.三角形的内心到三角形三条边的距离相等7．三角形的中位线（1）连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线.（2）一个三角形有3条中位线，都在三角形的内部.（3）三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半二、多边形1．多边形的内角和、外角和n边形的内角和为(n-2)·180°，外角和为360°.2．正多边形：在平面内，各内角都相等，各边也都相等的多边形叫做正多边形.3．多边形的对角线：在多边形中，连接互不相邻的两个顶点的线段.【考点1】三角形的相关概念与计算【例1】（2024·山东模拟）一位同学用三根木棒两两相交拼成如下图形，则其中符合三角形概念的是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】A.三条线段没有首尾顺次相接，不合题意B.三条线段没有首尾顺次相接，不合题意C.三条线段没有首尾顺次相接，不合题意D.不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接，是三角形，符合题意【例2】（2024·山东模拟）下列图形中具备稳定性的是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】解：A、图形不具备稳定性，不符合题意；B、图形具备稳定性，符合题意；C、图形不具备稳定性，不符合题意；D、图形不具备稳定性，不符合题意；故选：B．根据三角形具有稳定性解答即可．本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．【例3】（2023·湖南）下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )A. 1，3，4B. 2，2，7C. 4，5，7D. 3，3，6【答案】C【解析】解：∵1+3=4，∴1，3，4不能组成三角形，故A选项不符合题意；∵2+2<7，∴2，2，7不能组成三角形，故B不符合题意；∵4+5>7，∴4，5，7能组成三角形，故C符合题意；∵3+3=6，∴3，3，6不能组成三角形，故D不符合题意，故选：C．根据三角形的三边关系分别判断即可．本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．【例4】（2023·天津）如图，在△ABC中，AB=AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于BP+EP最小值的是( )A. BCB. CEC. ADD. AC【答案】B【分析】连接PC，由已知可得AD垂直平分BC，所以PB=PC，从而BP+EP=PC+PE，显然E，P，C三点共线时取得最小值．【解析】解：如图，连接PC，∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∴PB=PC，∴PB+PE=PC+PE，∵PE+PC≥CE，∴当P、C、E三点共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE，故选B．【例5】（2024·四川模拟）如图，△ABC≌△ADE，∠BAC=40°，∠E=115°，则∠B的度数是( )A. 40°B. 30°C. 45°D. 25°【答案】D【分析】【分析】由全等三角形的性质可得∠C=∠E=115°，再利用三角形的内角和定理即可求解．【解析】解：∵△ABC≌△ADE，∠E=115°，∴∠C=∠E=115°，∵∠BAC=40°，∴∠B=180°−∠C−∠BAC=25°．故选：D．【点评】本题主要考查全等三角形的性质，解答的关键是熟记全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等．三角形三边关系“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”的应用（1）在实际应用中，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形.（2）在实际应用中，已知两边，则第三边的取值范围为：两边之差<第三边<两边之和.（3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形.1.（2023·湖南）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是( )A. 1cm，2cm，3cmB. 3cm，8cm，5cmC. 4cm，5cm，10cmD. 4cm，5cm，6cm【答案】D【解析】解：A、∵1+2=3，∴长度为1cm，2cm，3cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；B、∵3+5=8，∴长度为3cm，8cm，5cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；C、∵4+5<10，∴长度为4cm，5cm，10cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；D、∵4+5>6，∴长度为4cm，5cm，6cm的三条线段能组成三角形，本选项符合题意；故选：D．根据两边之和大于第三边判断即可．本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键．2.（2024·全国模拟）已知a，b为等腰三角形的两边长，且a，b满足√ 2a−3b+5+(2a+3b−13)2=0，则此等腰三角形的周长为( )A. 8B. 6或8C. 7D. 7或8【答案】D【解析】解：∵√ 2a−3b+5+(2a+3b−13)2=0，∴{2a−3b+5=02a+3b−13=0，解得：{a=2b=3，当b 为底时，三角形的三边长为2，2，3，周长为7；当a 为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8，∴等腰三角形的周长为7或8，故选：D ．首先根据√ 2a −3b +5+(2a +3b −13)2=0，并根据非负数的性质列方程求得a 、b 的值，然后求得等腰三角形的周长即可．本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理，二元一次方程方程组，关键是根据2，3分别作为腰，由三边关系定理，分类讨论．3.（2024·河北模拟）设等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则其周长为( )A. 15B. 20C. 25D. 20或25【答案】C【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为5和10，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．【解析】解：分两种情况：当腰为5时，5+5=10，所以不能构成三角形;当腰为10时，5+10>10，所以能构成三角形，周长是：10+10+5=25．故选C ．【考点2】三角形的角平分线、中线、高【例1】（2023·四川）如图，在△ABC 中，∠CAD =90°，AD =3，AC =4，BD =DE =EC ，点F 是AB 边的中点，则DF =( )A. 54B. 52C. 2D. 1【答案】A【解析】解：∵∠CAD =90°，AD =3，AC =4，∴DC =√ AD 2+AC 2=√ 32+42=5，∵DE =EC ，DE +EC =DC =5，∴DE =EC =AE =52，∵BD =DE ，点F 是AB 边的中点，∴DF =12AE =54．故选：A ．先在直角△CAD中利用勾股定理求出DC=5，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AE=52，最后利用三角形的中位线定理求出DF=12AE=54．本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形的中位线定理，准确识图并且熟记相关定理与性质是解题的关键．【例2】（2024·陕西模拟）如图，AD是△ABC的中线，AB=5，AC=4.若△ACD的周长为10，则△ABD的周长为( )A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】D【分析】本题考查了三角形的中线，解题关键是求出AD+DC的长.根据三角形的中线的定义可得BD=CD，先求得AD+DC=6，然后求出△ABD的周长为AB+AD+DC，进而即可得到答案．【解析】解：△ACD的周长=AD+DC+AC=AD+DC+4=10，∴AD+DC=6，∵AD是ΔABC的中线，∴BD=DC，∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=5+6=11．故选：D．【例3】（2024·河南模拟）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则( )A. 线段CD是△ABC的AC边上的高线B. 线段CD是△ABC的AB边上的高线C. 线段AD是△ABC的BC边上的高线D. 线段AD是△ABC的AC边上的高线【答案】B【分析】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高的概念判断即可．【解析】解：A.线段CD 是△ABC 的AB 边上的高线，故本选项说法错误，不符合题意；B .线段CD 是△ABC 的AB 边上的高线，本选项说法正确，符合题意；C .线段AD 不是△ABC 的边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；D .线段AD 不是△ABC 的边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；故选B ．【例4】（2024·全国模拟）如图，AD ，CE 分别是△ABC 的中线和角平分线，若AB =AC ，∠CAD =20∘，则∠ACE 的度数是( )A. 20∘B. 35∘C. 40∘D. 70∘【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出∠ACB =70°是解题的关键．先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB =2∠CAD =40°，∠B =∠ACB =12(180°−∠CAB)=70°.再利用角平分线定义即可得出∠ACE =12∠ACB =35°．【解析】解：∵AD 是△ABC 的中线，AB =AC ，∠CAD =20°，∴∠CAB =2∠CAD =40°，∠B =∠ACB =12(180°−∠CAB)=70°．∵CE 是△ABC 的角平分线，∴∠ACE =12∠ACB =35°．故选B ．三角形中的重要线段∠CAD ∠BAC EC=½BC∠AFC=90°1.（2024·河南模拟）若线段AM，AN分别是△ABC的BC边上的高线和中线，则( )A. AM>ANB. AM≥C. AM<AND. AM≤AN 【答案】D【分析】此题考查垂线段问题，关键是根据垂线段最短解答．【解析】解：因为线段AM，AN分别是△ABC的BC边上的高线和中线，所以AM≤AN，故选：D．2.（2024·河北模拟）如图，将△ABC折叠，使点C落在BC边上C′处，展开后得到折痕l，则l是△ABC的( )A. 高B. 中线C. 中位线D. 角平分线【答案】A【解析】解：∵将△ABC折叠，使点C落在BC边上C′处，展开后得到折痕l，∴l⊥BC，即l是△ABC的高，故选：A．根据折叠性质可知，l⊥BC，由三角形高的定义即可得到答案．本题考查折叠性质及三角形高的定义，熟记相关性质及定义是解决问题的关键．3.（2024·广东模拟）如图，△ABC中，CD是AB边上的中线，AC=9cm，BC=3cm，那么△ACD和△BCD的周长的差是( )A. 3cmB. 6cmC. 12cmD. 无法确定【答案】B【解析】解：∵CD是AB边上的中线，∴AD=DB，∴△ACD的周长−△BCD的周长=(AC+CD+AD)−(BC+CD+BD)=AC−BC=9−3=6(cm)，故选：B．根据三角形的中线的概念得到AD=DB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．4.（2024·福建模拟）如图所示，AD，AE分别为△ABC的高线和角平分线，且∠B=76°，∠C=36°，则∠DAE 的度数为( )A. 20°B. 18°C. 38°D. 40°【答案】A【分析】此题主要考查了高线以及角平分线的定义，得出∠BAE的度数是解题关键．根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出∠BAD=14°，∠BAE=34°，进而得出∠DAE的度数，进而得出答案．【解析】解：∵AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=76°，∠C=36°，∴∠BAC=180°−∠B−∠C=68°，∠BAD=90°−76°=14°，∴∠BAE=12∠BAC=12×68°=34°，∴∠DAE=34°−14°=20°．故选A．【考点3】三角形的内心、外心【例1】（2024·河南模拟）如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕AD，再将△ABC折叠，使BC边落在AB边上，展开后得到折痕BE，若AD与BE的交点为O，则点O是( )A. △ABC的外心B. △ABC的内心C. △ABC的重心D. △ABC的中心【答案】B【解析】解：由题意得：∠BAD=∠CAD，∠ABE=∠CBE，∴O为角平分线的交点，则点O是△ABC的内心．故选：B．根据折叠的性质可知点O为角平分线的交点，可得结论．本题考查了翻折变换以及角平分线的性质，解题的关键是根据翻折变换的性质得出O为角平分线的交点．【例2】（2024·全国模拟）如图，在△ABC中，点D和E分别是边AB和AC的中点，连接DE，DC与BE交于点O，若△DOE的面积为1，则△ABC的面积为( )A. 6B. 9C. 12D. 13.5【答案】C【解析】解：∵点D和E分别是边AB和AC的中点，∴O点为△ABC的重心，∴OB=2OE，∴S△BOD=2S△DOE=2×1=2，∴S△BDE=3，∵AD=BD，∴S△ABE=2S△BDE=6，∵AE=CE，∴S△ABC=2S△ABE=2×6=12．故选C．利用O点为△ABC的重心得到OB=2OE，利用三角形面积公式得到S△BOD=2S△DOE=2，再利用AD=BD得到S△ABE=2S△BDE=6，然后利用AE=CE得到S△ABC=2S△ABE=12．本题考查了三角形的重心的性质的运用，三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．由△的三线组成的几个“心”：△三边中线交点—→重心—→性质：△的重心到一中线中点的距离=重心到这条中线定点距离的一半；△三条角平分线交点—→内心—→性质：△的内心到△三边的距离（垂线段）相等；△三边中垂线交点—→外心—→性质：△的外心到△三个顶点的距离（连接）相等；1.（2024·河北模拟）如图，在4×4的正方形格纸中，△ABC的顶点均在格点上，BC边与网格线交于点D，AC边过格点E，连接AD，BE相交于点O，则点O为△ABC的( )A. 重心B. 外心C. 内心D. 以上结果均不对【答案】A【解析】解：由图可知，点D、E是BC、AC的中点，∴AD、BE是△ABC的中线，∴点O是△ABC的重心，故选：A．根据三角形三条中线的交点是三角形的重心进行判断即可．本题考查了三角形的重心，熟练掌握三角形重心的定义是解题的关键．2.（2024·山东模拟）已知：如图1，在△ABC中，AB=AC.小明的作法如图2所示，则他作出的两条线的交点O是△ABC的( )A. 中心B. 内心C. 外心D. 重心【答案】C【解析】解：按如图作图痕迹可知，AD为∠BAC的角平分线，∵AB=AC，∴AD也是BC边的中线、高线，即BC边的垂直平分线，∵另一痕迹是AB边的垂直平分线，∴点O为边的垂直平分线的交点，∴点O为外心，故选：C．根据等腰三角形的“三线合一”定理可得，AD是垂直平分线，由另一痕迹是AB边的垂直平分线得点O为外心．本题考查了外心的判断，由痕迹判断尺规作图是解题关键．3.（2024·安徽模拟）下列说法中正确的是( )①等边三角形三条高的交点就是它的重心；②三角形的重心到一边的距离等于这边上中线长的三分之一；③三角形的重心到一边中点的距离等于这边上中线长的三分之一；④三角形的重心到一边的距离等于这边上高的三分之一A. ①③④B. ②③④C. ①②③D. ①②③④【答案】A【解析】解：①等边三角形三条高的交点既是它的垂心，也是重心，故正确；③三角形的重心到一边中点的距离等于这边上中线长的三分之一，故正确；如图，O为重心，过点O和点A分别作BC的垂线，垂足为E，F，则OE//AF，则△ODE∽△ADF，∴ODAD =OEAF=13，即三角形的重心到一边的距离等于这边上高的三分之一，故②错误，④正确；故选：A．根据三角形重心的性质分别判断，利用相似三角形的判定和性质判断相应推论．本题考查了三角形的重心，掌握相似三角形的判定和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．【考点4】三角形的中位线定理【例1】（2023·云南）如图，A，B两点被池塘隔开，A，B，C三点不共线．设AC，BC的中点分别为M，N.若MN=3米，则AB=( )A. 4米B. 6米C. 8米D. 10米【答案】B【解析】解：∵点M，N分别是AC和BC的中点，∴AB=2MN=6(m)，故选：B．根据三角形中位线定理计算即可．本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．【例2】（2023·四川）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连结OE.若AC=6，BD=8，则OE=( )A. 2B. 52C. 3D. 4【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OC=12AC，OB=12BD，AC⊥BD，∵AC=6，BD=8，∴OC=3，OB=4，∴CB=√ OB2+OC2=5，∵E为边BC的中点，∴OE=12BC=52．故选：B．由菱形的性质得到OC=12AC=3，OB=12BD=4，AC⊥BD，由勾股定理求出BC的长，由直角三角形斜边中线的性质，即可求出OE的长．本题考查菱形的性质，直角三角形斜边的中线，勾股定理，关键是由菱形的性质求出OC，OB的长，由勾股定理求出BC的长，由直角三角形斜边的中线的性质即可求出OE的长．【例3】（2023·辽宁）如图，AC，BC为⊙O的两条弦，D、G分别为AC，BC的中点，⊙O的半径为2.若∠C=45°，则DG的长为( )A. 2B. √ 3C. 32D. √ 2【答案】D【解析】解：如图，连接AO、BO、AB，∵∠C=45°，∴∠AOB=2∠C=90°，∵⊙O的半径为2，∴AO=BO=2，∴AB=2√ 2，∵点D、E分别是AC、BC的中点，∴DE=12AB=√ 2．故选：D．先根据圆周角定理得到∠AOB=2∠ACB=90°，则可判断△OAB为等腰直角三角形，然后根据勾股定理可得AB=2√ 2，再根据三角形的中位线定理可得DE=√ 2．此题主要考查了三角形的中位线定理，以及勾股定理，圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半1.（2023·四川）如图，在Rt△ABC中，AB=6cm，BC=8cm，D、E分别为AC、BC中点，连接AE、BD相交于点F，点G在CD上，且DG：GC=1：2，则四边形DFEG的面积为( )A. 2cm2B. 4cm2C. 6cm2D. 8cm2【答案】B【解析】解：连接DE，如图：∵D、E分别为AC、BC中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12AB=3cm，DE//AB，∴△DEF∽△BAF，∴S△DEF S△ABF =(DEAB)2=14，EFAF=DEAB=12，∴S△BEF S△ABF =EFAF=12，∴S△ABF=23S△ABE=23×12AB⋅BE=23×12×6×12×8=8(cm2)，∴S△DEF=14S△ABF=2(cm2)，∵S△DEC=12DE⋅CE=12×3×4=6(cm2)，DG：GC=1：2，∴S△DEG=13S△DEC=2(cm2)，∴S四边形DFGE=S△DEF+S△DEG=4(cm2)，∴四边形DFEG 的面积为4cm 2， 故选：B ．连接DE ，由D 、E 分别为AC 、BC 中点，可得DE =12AB =3cm ，DE//AB ，即得△DEF ∽△BAF ，故S△DEF S △ABF=(DE AB)2=14，EF AF=DE AB=12，可得S △ABF =23S △ABE =23×12AB ⋅BE =8(cm 2)，故S △DEF =14S △ABF =2(cm 2)，又S △DEC =12DE ⋅CE =6(cm 2)，DG ：GC =1：2，可得S △DEG =13S △DEC =2(cm 2)，从而S 四边形DFGE =S △DEF +S △DEG =4(cm 2)，本题考查相似三角形判定与性质，三角形中位线及应用，解题的关键是掌握相似三角形的性质及应用． 2.（2023·内蒙古）如图，⊙O 是锐角三角形ABC 的外接圆，OD ⊥AB ，OE ⊥BC ，OF ⊥AC.垂足分别为D ，E ，F ，连接DE ，EF ，FD.若DE +DF =6.5，△ABC 的周长为21，则EF 的长为( ) A. 8 B. 4 C. 3.5 D. 3 【答案】B【解析】解：∵OD ⊥AB ，OE ⊥BC ，OF ⊥AC ， ∴AD =BD ，AF =CF ，BE =CE ， ∴DE ，DF ，EF 是△ABC 的中位线， ∴DE =12AC,DF =12BC,EF =12AB ，∴DE +DF +EF =12(AB +BC +AC)=12×21=10.5， ∵DE +DF =6.5， ∴EF =10.5−6.5=4， 故选：B ．根据垂径定理得到AD =BD ，AF =CF ，BE =CE ，根据三角形的中位线定理得到DE +DF +EF =12(AB +BC +AC)=12×21=10.5，于是得到结论．本题考查了三角形外接圆与外心，三角形中位线定理，垂径定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．【考点5】多边形的内角和与外角和【例1】（2023·湖南）七边形的内角和为( ) A. 540°B. 720°C. 900°D. 1 080°【答案】C【分析】本题考查了多边形的内角和定理．熟记“n边形的内角和为(n−2)·180°”是解题的关键．利用多边形的内角和=(n−2)·180°即可解决问题．【解析】解：根据多边形的内角和可得：(7−2)×180°=900°．故选C．【例2】（2023·甘肃）如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1=( )A. 45°B. 60°C. 110°D. 135°【答案】A【解析】解：∵正八边形的外角和为360°，∴每一个外角为360°÷8=45°．故选：A．由多边形的外角和定理直接可求出结论．本题考查了多边形外角和定理，掌握外角和定理是解题的关键．【例3】（2023·北京）若正多边形的一个外角是60∘，则该正多边形的内角和为( )A. 360∘B. 540∘C. 720∘D. 900∘【答案】C【分析】本题主要考查的是多边形的内角和和外角和定理的有关知识，根据多边形的外角和等于360°，先求出这个多边形的边数，然后再利用多边形的内角和公式进行求解即可．【解析】解：由多边形的外角和为360∘可知，这个正多边形的边数为360∘÷60∘=6，由多边形内角和公式可知内角和为180∘×(6−2)=720∘．故选C．（1）多边形的内角和：n边形的内角和等于（n-2）·180°;（2）多边形的外角和：360°.1.（2023·湖北）五边形的外角和为( )A. 180°B. 360°C. 540°D. 720°【答案】B【分析】此题考查了多边形内角与外角，比较简单，只要识记多边形的外角和是360°即可．多边形外角和都等于360°，则四边形的外角和为360度．【解析】解：∵多边形外角和=360°，∴四边形的外角和为360°．故选：B．2.（2023·广东）如图，直线AB//CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，则∠GHM的大小是．【答案】40°【解析】如图，延长PM、EG K，PM延长线交AB于点L．∵AB//CD，∴∠ALM=∠LND=∠CNP=50°，∴∠MKG=∠BFG+∠ALM=80°．∵∠HMN=30°，∴∠HMK=150°∵∠FGH=90°，∴∠KGH=90°，∴∠GHM=360°−∠HMK−∠MKG−∠KGH=360°−150°−80°−90°=40°．3.（2023·江苏）如图，五边形ABCDE是正五边形，l1//l2，若∠1=20°，则∠2=_____°．【答案】56【分析】本题主要考查了平行线的性质以及多边形的内角与外角，解题的关键是连接AC，利用内错角相等建立等量关系．连接AC，依据平行线的性质，即可得到等式∠2+∠ACB=∠1+∠CAE，据此可得∠2的度数．【解析】解：如图所示，连接AC，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠B=∠BAE=108°，∠ACB=∠CAB=36°，∴∠CAE=108°−36°=72°，∵l1//l2，∴∠2+∠ACB=∠1+∠CAE，即∠2+36°=20°+72°，解得∠2=56°，故答案为56．4.（2023·山东）已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是边形．【答案】五【分析】本题考查了多边形的内角和定理，熟记公式是解题的关键.根据多边形的内角和公式求出边数即可．【解析】解：设多边形的边数是n，则(n−2)·180°=540°，解得n=5，故答案为五．。
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中考数学考点三角形讲解_考点解析
考前我们要精神饱满，身强力壮。
每天坚持课外身体锻炼，及时消除疲劳，及时给大脑补氧;大家知道中考数学考点三角形吗?下面我们就给大家详细介绍一下吧!我们积累了一些经验，在此拿出来与大家分享下，请大家互相指正。
三角形
易错点1：三角形的概念以及三角形的角平分线，中线，高线的特征与区别。
易错点2：三角形三边之间的不等关系，注意其中的“任何两边”。
最短距离的方法。
易错点3：三角形的内角和，三角形的分类与三角形内外角性质，特别关注外角性质中的“不相邻”。
易错点4：全等形，全等三角形及其性质，三角形全等判定。
着重学会论证三角形全等，三角形相似与全等的综合运用以及线段相等是全等的特征，线段的倍分是相似的特征以及相似与三角函数的结合。
边边角两个三角形不一定全等。
易错点5：两个角相等和平行经常是相似的基本构成要素，以及相似三角形对应高之比等于相似比，对应线段成比例，面积之比等于相似比的平方。
易错点6：等腰(等边)三角形的定义以及等腰(等边)三角形的判定与性质，运用等腰(等边)三角形的判定与性质解决有关计算与证明问题，这里需注意分类讨论思想的渗入。
易错点7：运用勾股定理及其逆定理计算线段的长，证明线段的数量关系，解决与面积有关的问题以及简单的实际问题。
(2012年25题考点)
易错点8：将直角三角形，平面直角坐标系，函数，开放性问题，探索性问题结合在一起综合运用探究各种解题方法。
易错点9：中点，中线，中位线，一半定理的归纳以及各自的性质。
易错点10：直角三角形判定方法：三角形面积的确定与底上的高(特别是钝角三角形)易错点11：三角函数的定义中对应线段的比经常出错以及特殊角的三角函数值。
相信大家已经了解中考数学考点三角形了吧!感谢大家对我们网站的支持!。