(精品讲义)第2部分复习课(二)圆锥曲线与方程word版含答案2
2017-2018学年高中数学人教A版浙江专版选修2-1讲义：
复习课(二) 圆锥曲线与方程程在解答题中也会涉及，是高考解析几何的必考内容．[考点精要]椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程[典例] (1)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A ．x 23＋y 24＝1B ．x 24＋y 23＝1C ．x 24＋y 22＝1D ．x 24＋y 23＝1(2)已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________________．[解析] (1)右焦点为F (1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在x 轴上；c ＝1．又离心率为ca ＝12，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，故选D ． (2)由题意可知抛物线的准线方程为x ＝－2，∴双曲线的半焦距c ＝2．又双曲线的离心率为2，∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1．[答案] (1)D (2)x 2－y 23＝1[类题通法]求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤． (1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)．(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小．[题组训练]1．(天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A ．x 221－y 228＝1B ．x 228－y 221＝1C ．x 23－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1解析：选D 由双曲线的渐近线y ＝ba x 过点(2，3)， 可得3＝ba×2．①由双曲线的焦点(－a 2＋b 2，0)在抛物线y 2＝47x 的准线x ＝－7上，可得 a 2＋b 2＝7．②由①②解得a ＝2，b ＝3， 所以双曲线的方程为x 24－y 23＝1．2．(全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．解析：由题意知a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2(0<m <4，r >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4＝r 2，(4－m )2＝r 2，解得⎩⎨⎧m ＝32，r 2＝254.所以圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254． 答案：⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝2543．方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示曲线C ，给出以下命题：①曲线C 不可能为圆； ②若1<t <4，则曲线C 为椭圆； ③若曲线C 为双曲线，则t <1或t >4；④若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则1<t <52．其中真命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)．解析：显然当t ＝52时，曲线为x 2＋y 2＝32，方程表示一个圆；而当1<t <4，且t ≠52时，方程表示椭圆；当t <1或t >4时，方程表示双曲线；而当1<t <52时，4－t >t －1>0，方程表示焦点在x 轴上的椭圆，故③④为真命题．答案：③④圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的核心内容，高考非常重视对圆锥曲线几何性质的考查，试卷中一般以选择题或者填空题的形式考查圆锥曲线的几何性质(主要是椭圆和双曲线的离心率)，在解答题中与圆锥曲线方程的其他知识一起进行综合考查．[考点精要]椭圆、双曲线、抛物线的几何性质[典例] (1)(山东高考)已知双曲线E ：x a 2－y b2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．(2)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为________．[解析] (1)如图，由题意知|AB |＝2b 2a ，|BC |＝2c ． 又2|AB |＝3|BC |，∴2×2b 2a＝3×2c ，即2b 2＝3ac ，∴2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2并整理得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)． (2)设椭圆C 1和双曲线C 2的离心率分别为e 1和e 2，则e 1＝a 2－b 2a ，e 2＝a 2＋b 2a ．因为e 1·e 2＝32，所以a 4－b 4a 2＝32，即⎝⎛⎭⎫b a 4＝14，∴b a ＝22． 故双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x ，即x ±2y ＝0．[答案] (1)2 (2)x ±2y ＝0 [类题通法]求解离心率三种方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是y 轴上都有关系式a 2－b 2＝c 2(a 2＋b 2＝c 2)以及e ＝ca ，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．[题组训练]1．如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．其四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A ． 2B ． 3C ．32D ．62解析：选D 焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|＋|AF 2|＝4， |AF 1|2＋|AF 2|2＝12，所以可解得|AF 2|－|AF 1|＝22， 故a ＝2，所以双曲线的离心率e ＝32＝62，选D ． 2．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．解析：不妨设A 在x 轴上方，由于AB 过F 2且垂直于x 轴，因此可得A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－b2a ，由OD ∥F 2B ，O 为F 1F 2的中点可得D ⎝⎛⎭⎫0，－b 22a ，所以AD ＝⎝⎛⎭⎫－c ，－3b 22a ，F B 1＝⎝⎛⎭⎫2c ，－b 2a ，又AD ⊥F 1B ，所以AD ·F B 1＝－2c 2＋3b 42a 2＝0，即3b 4＝4a 2c 2，又b 2＝a 2－c 2，所以可得3(a 2－c 2)＝2ac ，两边同时除以a 2，得3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33或－3，又e ∈(0,1)，故椭圆C 的离心率为33． 答案：333．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ．若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且|FA |＝c ，则双曲线的渐近线方程为________．解析：c 2＝a 2＋b 2，①由双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c 知， 双曲线过点⎝⎛⎭⎫c ，－p 2，即c 2a 2－p24b 2＝1．② 由|FA |＝c ，得c 2＝a 2＋p 24，③由①③得p 2＝4b 2．④ 将④代入②，得c 2a 2＝2．∴a 2＋b 2a2＝2，即ba ＝1，故双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，即x ±y ＝0． 答案：x ±y ＝0高考试题中解析几何的解答题一般不会单纯考查圆锥曲线，试题中一般都有直线问题参与，这使得解析几何试题具有广泛的命题背景，当直线与圆锥曲线问题综合时就产生了如：直线与圆锥曲线的位置关系(相交、相切、相离)，直线与曲线交汇产生的一些几何量的范围和最值，动直线(或曲线)过定点等一系列热点问题，这些热点问题都是高考所重视的．[考点精要]直线与圆锥曲线有关的问题(1)直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有：Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交于两点；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切于一点；Δ<0⇔直线与圆锥曲线无交点．(2)直线l 截圆锥曲线所得的弦长|AB |＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2或⎝⎛⎭⎫1＋1k 2(y 1－y 2)2，其中k是直线l 的斜率，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是直线与圆锥曲线的两个交点A ，B 的坐标，且(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，x 1＋x 2，x 1x 2可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出．[典例] 已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3．(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆与直线y ＝kx ＋m (k ≠0)相交于不同的两点M ，N ，当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．[解] (1)依题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2＝1(a >1)，则右焦点F (a 2－1，0)， 由题设，知|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3，故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1．(2)设点P 为弦MN 的中点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1， 得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0， 由于直线与椭圆有两个交点， 所以Δ>0，即m 2<3k 2＋1， ① 所以x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1， 所以k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk ，又|AM |＝|AN |，所以AP ⊥MN ，则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k ，即2m ＝3k 2＋1， ②把②代入①得2m >m 2， 解得0<m <2， 由②得k 2＝2m －13>0， 解得m >12，故所求m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，2． [类题通法]有关直线与圆锥曲线综合问题的求解方法(1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，化简后得到关于x (或y )的一元二次方程，则直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：①相交：Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ>0⇒直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有Δ>0，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故Δ>0是直线与双曲线相交的充分不必要条件；Δ>0⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有Δ>0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故Δ>0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，而不是必要条件．②相切：Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ＝0⇔直线与双曲线相切；Δ＝0⇔直线与抛物线相切．③相离：Δ<0⇔直线与椭圆相离；Δ<0⇔直线与双曲线相离；Δ<0⇔直线与抛物线相离． (2)直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题．解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等．[题组训练]1．平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1,0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1,0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是________．解析：设机器人所在位置为A (x ，y )，依题意得点A 在以F (1,0)为焦点，x ＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y 2＝4x ．过点P (－1,0)，斜率为k 的直线为y ＝k (x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋k得ky 2－4y ＋4k ＝0． 当k ＝0时，显然不符合题意；当k ≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k ·4k <0，化简得k 2－1>0，解得k >1或k <－1，因此k 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)2．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12．(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则 x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－1， 由此可得b 2(x 2＋x 1)a 2(y 2＋y 1)＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1．因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2．又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3． 因此a 2＝6，b 2＝3． 所以M 的方程为x 26＋y 23＝1．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1解得⎩⎨⎧x ＝433，y ＝－33或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝ 3.因此|AB |＝463． 由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n ⎝⎛⎭⎫－533<n <3，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y 23＝1得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0． 于是x 3,4＝－2n ±2(9－n 2)3．因为直线CD 的斜率为1， 所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝439－n 2．由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝8699－n 2．当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863．所以四边形ACBD 面积的最大值为863．1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是( )A ．2B ． 3C ． 2D ．32解析：选C 由题可知y ＝b a x 与y ＝－b a x 互相垂直，可得－b a ·ba＝－1，则a ＝b ．由离心率的计算公式，可得e 2＝c 2a 2＝a 2＋b2a2＝2，e ＝2．2．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：选B 由题可知抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a 4，令x ＝0，可得点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，－a 2，所以S △OAF ＝12×|a |4×|a |2＝4，得a ＝±8，故抛物线的方程为y 2＝±8x ．3．已知一动圆P 与圆O ：x 2＋y 2＝1外切，而与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋8＝0内切，则动圆的圆心P 的轨迹是( )A ．双曲线的一支B ．椭圆C ．抛物线D ．圆解析：选A 由题意，知圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝1，则圆C 与圆O 相离，设动圆P 的半径为R ．∵圆P 与圆O 外切而与圆C 内切，∴R >1，且|PO |＝R ＋1，|PC |＝R －1．又|OC |＝3，∴|PO |－|PC |＝2<|OC |，即点P 在以O ，C 为焦点的双曲线的右支上．4．我们把由半椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(x ≥0)与半椭圆y 2b 2＋x 2c 2＝1(x <0)合成的曲线称作“果圆”(其中a 2＝b 2＋c 2，a >b >c >0)，如图所示，其中点F 0，F 1，F 2是相应椭圆的焦点．若△F 0F 1F 2是边长为1的等边三角形，则a ，b 的值分别为( )A ．72，1 B ．3，1 C ．5,3D ．5,4解析：选A ∵|OF 2|＝b 2－c 2＝12，|OF 0|＝c ＝3|OF 2|＝32，∴b ＝1，∴a 2＝b 2＋c 2＝1＋34＝74，得a ＝72．5．已知抛物线的方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为( )A ．522＋2B ．522＋1 C ．522－2D ．522－1 解析：选D 因为抛物线的方程为y 2＝4x ，所以焦点坐标为F (1,0)，准线方程为x ＝－1．因为点P 到y 轴的距离为d 1，所以到准线的距离为d 1＋1．又d 1＋1＝|PF |，所以d 1＋d 2＝d 1＋1＋d 2－1＝|PF |＋d 2－1．焦点F 到直线l 的距离记为d ，则d ＝|1－0＋4|2＝52＝522，而|PF |＋d 2≥d ＝522，所以d 1＋d 2＝|PF |＋d 2－1≥522－1，即d 1＋d 2的最小值为522－1．6．双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝64有公共焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为( )A ．y 2－3x 2＝36B ．x 2－3y 2＝36C ．3y 2－x 2＝36D ．3x 2－y 2＝36解析：选A 由4x 2＋y 2＝64得x 216＋y 264＝1，c 2＝64－16＝48， ∴c ＝43，e ＝438＝32．∴双曲线中，c ′＝43，e ′＝23＝c ′a ′．∴a ′＝32c ′＝6，b ′2＝48－36＝12． ∴双曲线方程为y 236－x 212＝1，即y 2－3x 2＝36． 7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，其上一点P (3，y )到两焦点的距离分别是6．5和3．5，则该椭圆的标准方程为________．解析：由椭圆的定义，知2a ＝6．5＋3．5＝10，a ＝5．又⎩⎪⎨⎪⎧(3＋c )2＋y 2＝6.52，(3－c )2＋y 2＝3.52，解得c ＝52， 从而b 2＝a 2－c 2＝754， 所以椭圆的标准方程为x 225＋4y 275＝1． 答案：x 225＋4y 275＝1 8．已知直线l 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若OA ·OB ＝－4，则直线l 恒过的定点M 的坐标是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＋y 1y 2＝－4．当直线l 的斜率不存在时，设其方程为x ＝x 0(x 0>0)，则x 20－4x 0＝－4，解得x 0＝2；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝4x ，得ky 2－4y ＋4b ＝0，得y 1y 2＝4b k ，则x 1x 2＝y 21y 2216＝b 2k 2，得b 2k 2＋4b k ＝－4，∴b k＝－2，有b ＝－2k ，直线y ＝kx －2k ＝k (x －2)恒过定点(2,0)．又直线x ＝2也恒过定点(2,0)，得点M 的坐标为(2,0)．答案：(2,0)9．已知A (0，－4)，B (3,2)，抛物线y 2＝x 上的点到直线AB 的最短距离为________．解析：直线AB 为2x －y －4＝0，设抛物线y 2＝x 上的点P (t ，t 2)，d ＝|2t －t 2－4|5＝t 2－2t ＋45＝(t －1)2＋35≥35＝355． 答案：35510．如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长、短轴端点分别为A ，B ，F 1，F 2分别是其左、右焦点．从椭圆上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，且AB 与OM 是共线向量．(1)求椭圆的离心率e ；(2)设Q 是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，求∠F 1QF 2的取值范围．解：(1)∵F 1(－c,0)，则x M ＝－c ，y M ＝b 2a ，∴k OM ＝－b 2ac ．由题意，知k AB ＝－b a ，∵OM 与AB 是共线向量，∴－b 2ac ＝－b a ，∴b ＝c ，得e ＝22． (2)设|F 1Q |＝r 1，|F 2Q |＝r 2，∠F 1QF 2＝θ，∴r 1＋r 2＝2a ．又|F 1F 2|＝2c ，由余弦定理，得cos θ＝r 21＋r 22－4c 22r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝a 2r 1r 2－1≥a 2⎝⎛⎭⎫r 1＋r 222－1＝0， 当且仅当r 1＝r 2时等号成立，∴cos θ≥0，∴θ∈⎝⎛⎦⎤0，π2．11．如图，焦距为2的椭圆E 的两个顶点分别为A ，B ，且AB 与n ＝(2，－1)共线．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线y ＝kx ＋m 与椭圆E 有两个不同的交点P 和Q ，且原点O 总在以PQ 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围．解：(1)因为2c ＝2，所以c ＝1，又AB ＝(－a ，b )，且AB ∥n ，所以2b ＝a ，所以2b 2＝b 2＋1，所以b 2＝1，a 2＝2，所以椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1． (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，把直线方程y ＝kx ＋m 代入椭圆方程x 22＋y 2＝1， 消去y ，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－22k 2＋1， Δ＝16k 2－8m 2＋8>0，即m 2<2k 2＋1，(*)因为原点O 总在以PQ 为直径的圆的内部，所以OP ·OQ <0，即x 1x 2＋y 1y 2<0，又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－2k 22k 2＋1， 由2m 2－22k 2＋1＋m 2－2k 22k 2＋1<0得m 2<23k 2＋23， 依题意且满足(*)得m 2<23， 故实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－63，63． 12．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．(1)求椭圆的方程；(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B ．已知点A 的坐标为(－a,0)，点Q (0，y 0)在线段AB 的垂直平分线上，且OA ·OB ＝4，求y 0的值． 解：(1)由e ＝c a ＝32，得3a 2＝4c 2． 再由c 2＝a 2－b 2，得a ＝2b ．由题意可知12×2a ×2b ＝4，即ab ＝2． 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，ab ＝2，得a ＝2，b ＝1． 所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1． (2)由(1)可知A (－2,0)．设B 点的坐标为(x 1，y 1)，直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x 24＋y 2＝1消去y 并整理，得 (1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋(16k 2－4)＝0．由－2x 1＝16k 2－41＋4k 2，得x 1＝2－8k 21＋4k 2． 从而y 1＝4k 1＋4k 2． 设线段AB 的中点为M ，则M 的坐标为⎝⎛⎭⎫－8k 21＋4k 2，2k 1＋4k 2．以下分两种情况：①当k ＝0时，点B 的坐标为(2,0)，线段AB 的垂直平分线为y 轴，于是OA ＝(－2，－y 0)，OB ＝(2，－y 0)．由OA ·OB ＝4，得y 0＝±22． ②当k ≠0时，线段AB 的垂直平分线方程为y －2k 1＋4k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x ＋8k 21＋4k 2． 令x ＝0，解得y 0＝－6k 1＋4k 2． 由OA ＝(－2，－y 0)，OB ＝(x 1，y 1－y 0)． OA ·OB ＝－2x 1－y 0(y 1－y 0)＝－2×(2－8k 2)1＋4k 2＋6k 1＋4k 2⎝⎛⎭⎫4k 1＋4k 2＋6k 1＋4k 2 ＝4×(16k 4＋15k 2－1)(1＋4k 2)2＝4， 整理得7k 2＝2，故k ＝±147．所以y 0＝±2145． 综上，y 0＝±22或y 0＝±2145．。
数学人教B选修2-1讲义：第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 第4课时 Word版含答案
第4课时 直线与椭圆的位置关系(三)题型一 定点问题例1 设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝22，且过点⎝⎛⎭⎫－1，－62. (1)求椭圆E 的方程；(2)设椭圆E 的左顶点是A ，若直线l ：x －my －t ＝0与椭圆E 相交于不同的两点M ，N (M ，N 与A 均不重合)，若以MN 为直径的圆过点A ，试判定直线l 是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标．考点 椭圆中的定值、定点问题题点 椭圆中的定点问题解 (1)由e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12， 可得a 2＝2b 2，椭圆方程为x 22b 2＋y 2b2＝1， 代入点⎝⎛⎭⎫－1，－62可得b 2＝2，a 2＝4， 故椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)由x －my －t ＝0得x ＝my ＋t ，把它代入E 的方程得(m 2＋2)y 2＋2mty ＋t 2－4＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－2mt m 2＋2，y 1y 2＝t 2－4m 2＋2， x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2t ＝4t m 2＋2， x 1x 2＝(my 1＋t )(my 2＋t )＝m 2y 1y 2＋tm (y 1＋y 2)＋t 2＝2t 2－4m 2m 2＋2.因为以MN 为直径的圆过点A ，所以AM ⊥AN ，所以AM →·AN →＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2＝2t 2－4m 2m 2＋2＋2×4t m 2＋2＋4＋t 2－4m 2＋2＝3t 2＋8t ＋4m 2＋2＝(t ＋2)(3t ＋2)m 2＋2＝0. 因为M ，N 与A 均不重合，所以t ≠－2，所以t ＝－23，直线l 的方程是x ＝my －23，直线l 过定点T ⎝⎛⎭⎫－23，0， 由于点T 在椭圆内部，故满足判别式大于0，所以直线l 过定点T ⎝⎛⎭⎫－23，0. 反思感悟 求定点问题，需要注意两个方面：一是抓“特值”，涉及的定点多在两条坐标轴上，所以可以先从斜率不存在或斜率为0的特殊情况入手找出定点，为解题指明方向．二是抓“参数之间的关系”，定点问题多是直线过定点，所以要抓住问题的核心，实质就是求解直线方程中参数之间的关系，所以要熟悉直线方程的特殊形式，若直线的方程为y ＝kx ＋b ，则直线y ＝kx ＋b 恒过点(0，b )，若直线方程为y ＝k (x －a )，则直线恒过点(a,0)．跟踪训练1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝22，短轴长为2 2. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图所示，椭圆C 的左顶点为A ，过原点O 的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线P A ，QA 分别与y 轴交于M ，N 两点．试问以MN 为直径的圆是否经过定点(与直线PQ 的斜率无关)？并说明理由．考点题点解 (1)由椭圆C 的短轴长为22，得b ＝2，又由e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22，得a 2＝4， ∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1. (2)设P (x 0，y 0)，则Q (－x 0，－y 0)，且x 204＋y 202＝1， 即x 20＋2y 20＝4.易知A (－2,0)，∴直线P A 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)， ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2y 0x 0＋2， 直线QA 的方程为y ＝y 0x 0－2(x ＋2)， ∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2y 0x 0－2. 可得MN 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2x 0y 0x 20－4， 根据两点间距离公式可得|MN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8y 0x 20－4， ∴以MN 为直径的圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2x 0y 0x 20－42＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4y 0x 20－42， 即x 2＋y 2－4x 0y 0x 20－4y ＋4y 20x 20－4＝0， 又∵x 20－4＝－2y 20， ∴以MN 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＋2x 0y 0y －2＝0， 令y ＝0，则x 2－2＝0，解得x ＝±2，∴以MN 为直径的圆过定点(2，0)和(－2，0)．题型二 定值问题例2 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1过A (2,0)，B (0,1)两点． (1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．考点 椭圆中的定值、定点问题题点 椭圆中的定值问题(1)解 由题意得a ＝2，b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. 又c ＝a 2－b 2＝3，所以离心率e ＝c a ＝32. (2)证明 设P (x 0，y 0)(x 0<0，y 0<0)，则x 20＋4y 20＝4.又A (2,0)，B (0,1)，所以直线P A 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)． 令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2， 从而|BM |＝1－y M ＝1＋2y 0x 0－2. 直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1. 令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1， 从而|AN |＝2－x N ＝2＋x 0y 0－1. 所以四边形ABNM 的面积S ＝12|AN |·|BM | ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 0y 0－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2y 0x 0－2＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋42(x 0y 0－x 0－2y 0＋2)＝2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2. 从而四边形ABNM 的面积为定值．反思感悟 (1)求定值问题的常用方法：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．(2)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思路是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类问题中选择消元的方向是非常关键的．跟踪训练2 已知点M 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，且|F 1F 2|＝4，∠F 1MF 2＝60°，△F 1MF 2的面积为433. (1)求椭圆C 的方程；(2)设N (0,2)，过点P (－1，－2)作直线l ，交椭圆C 于异于N 的A ，B 两点，直线NA ，NB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1＋k 2为定值．(1)解 在△F 1MF 2中，由12|MF 1||MF 2|sin 60°＝433，得|MF 1||MF 2|＝163. 由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1||MF 2|·cos 60°＝(|MF 1|＋|MF 2|)2－2|MF 1||MF 2|(1＋cos 60°)，解得|MF 1|＋|MF 2|＝4 2.从而2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝42，即a ＝2 2.由|F 1F 2|＝4得c ＝2，从而b ＝2， 故椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1. (2)证明 当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，显然k ≠0，则其方程为y ＋2＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 28＋y 24＝1，y ＋2＝k (x ＋1)，得(1＋2k 2)x 2＋4k (k －2)x ＋2k 2－8k ＝0.Δ＝56k 2＋32k >0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k (k －2)1＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－8k 1＋2k 2. 从而k 1＋k 2＝y 1－2x 1＋y 2－2x 2＝2kx 1x 2＋(k －4)(x 1＋x 2)x 1x 2＝2k －(k －4)·4k (k －2)2k 2－8k＝4. 当直线l 的斜率不存在时，可得A ⎝⎛⎭⎫－1，142，B ⎝⎛⎭⎫－1，－142，得k 1＋k 2＝4. 综上，k 1＋k 2为定值．题型三 存在性问题例3 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1的右焦点为F (c,0)且a >b >c >0，设短轴的一个端点为D ，原点O 到直线DF 的距离为32，过原点和x 轴不重合的直线与椭圆E 相交于C ，G 两点，且|GF →|＋|CF →|＝4. (1)求椭圆E 的方程；(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 与椭圆E 相交于不同的两点A ，B 且使得OP →2＝4P A →·PB →成立？若存在，试求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)由椭圆的对称性知|GF →|＋|CF →|＝2a ＝4，∴a ＝2. 又原点O 到直线DF 的距离为32， ∴bc a ＝32，∴bc ＝3， 又a 2＝b 2＋c 2＝4，a >b >c >0，∴b ＝3，c ＝1.故椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线l 与x 轴垂直时不满足条件．故可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1，代入椭圆方程得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0，∴x 1＋x 2＝8k (2k －1)3＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－16k －83＋4k 2， Δ＝32(6k ＋3)>0，∴k >－12. ∵OP →2＝4P A →·PB →，即4[(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)]＝5，∴4(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 2)＝5，即4[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 2)＝5，∴4⎣⎢⎡⎦⎥⎤16k 2－16k －83＋4k 2－2×8k (2k －1)3＋4k 2＋4(1＋k 2) ＝4×4＋4k 23＋4k 2＝5， 解得k ＝±12，k ＝－12不符合题意，舍去． ∴存在满足条件的直线l ，其方程为y ＝12x . 反思感悟 解决探索性问题的注意事项探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法．跟踪训练3 已知椭圆C ：x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)的离心率为32，椭圆C 的短轴的一个端点P 到焦点的距离为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线l ：y ＝kx ＋3与椭圆C 交于A ，B 两点，是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．考点题点解 (1)∵椭圆的离心率为32，椭圆C 的短轴的一个端点P 到焦点的距离为2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ c a ＝32，b 2＋c 2＝a 2＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1， ∴椭圆C 的方程为x 2＋y 24＝1. (2)存在．将y ＝kx ＋3代入椭圆方程，可得(4＋k 2)x 2＋23kx －1＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个根，∴x 1＋x 2＝－23k 4＋k 2，x 1x 2＝－14＋k 2. 由题意知OA ⊥OB ，则x 1x 2＋y 1y 2＝0，又y 1＝kx 1＋3，y 2＝kx 2＋3，∴x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋3k (x 1＋x 2)＋3＝0，∴(1＋k 2) ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＋k 2＋3k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23k 4＋k 2＋3＝0， ∴k ＝±112.1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点⎝⎛⎭⎫1，22，且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形．(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆右顶点A 的两条斜率乘积为－12的直线分别交椭圆于M ，N 两点，试问：直线MN是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过，请说明理由． 考点题点解 (1)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝c ，1a 2＋12b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝1⇒x 22＋y 2＝1. (2)当MN 的斜率存在时，设MN 的方程为y ＝kx ＋m ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋2y 2＝2，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝8(2k 2－m 2＋1)>0，x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2， 即⎩⎪⎨⎪⎧ m 2<2k 2＋1，x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2，所以k MA ·k NA ＝y 1x 1－2·y 2x 2－2＝kx 1＋m x 1－2·kx 2＋m x 2－2＝－12. 所以(2k 2＋1)x 1x 2＋(2km －2)(x 1＋x 2)＋2m 2＋2＝0，即m 2＋2km ＝0⇒m ＝0或m ＝－2k (舍去)．所以直线MN ：y ＝kx 过定点(0,0)．当MN 斜率不存在时，M ，N 为短轴两端点，显然也符合题意， 所以直线MN 恒过定点(0,0)．2.如图，已知椭圆两焦点F 1，F 2在y 轴上，短轴长为22，离心率为22，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且PF 1→·PF 2→＝1，过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线P A ，PB 分别交椭圆于A ，B 两点．(1)求P 点坐标；(2)求证：直线AB 的斜率为定值．考点题点(1)解 设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1， 由题意可得a ＝2，b ＝2，c ＝2，所以椭圆方程为y 24＋x 22＝1， 则F 1(0，2)，F 2(0，－2)．设P (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则PF 1→＝(－x 0，2－y 0)，PF 2→＝(－x 0，－2－y 0)，∴PF 1→·PF 2→＝x 20－(2－y 20)＝1，∵点P (x 0，y 0)在曲线上，则x 202＋y 204＝1. ∴x 20＝4－y 202， 从而4－y 202－(2－y 20)＝1，得y 0＝2， 则点P 的坐标为(1，2)．(2)证明 由(1)知PF 1∥x 轴，直线P A ，PB 斜率互为相反数， 设PB 斜率为k (k >0)，则PB 的直线方程为y －2＝k (x －1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y －2＝k (x －1)，x 22＋y 24＝1，得(2＋k 2)x 2＋2k (2－k )x ＋(2－k )2－4＝0，设B (x B ，y B )，则x B ＝2k (k －2)2＋k 2－1＝k 2－22k －22＋k 2， 同理可得x A ＝k 2＋22k －22＋k 2， 则x A －x B ＝42k 2＋k2， y A －y B ＝－k (x A －1)－k (x B －1)＝8k 2＋k 2， 所以直线AB 的斜率k AB ＝y A －y B x A －x B＝2为定值． 3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，短轴端点到焦点的距离为2. (1)求椭圆C 的方程；(2)设A ，B 为椭圆C 上任意两点，O 为坐标原点，且OA ⊥OB .求证：原点O 到直线AB 的距离为定值，并求出该定值．考点 直线与圆锥曲线的位置关系问题题点 直线与圆锥曲线的综合问题(1)解 由题意知，e ＝c a ＝32，b 2＋c 2＝2，又a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝2，c ＝3，b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明 ①当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为x ＝±255， 此时，原点O 到直线AB 的距离为255. ②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 则Δ＝(8km )2－4(1＋4k 2)(4m 2－4)＝16(1＋4k 2－m 2)>0，x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2， 则y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝m 2－4k 21＋4k 2，由OA ⊥OB ，得x 1x 2＋y 1y 2＝5m 2－4－4k 21＋4k 2＝0，即m 2＝45(1＋k 2)， 所以原点O 到直线AB 的距离为|m |1＋k 2＝255， 综上，原点O 到直线AB 的距离为定值255. 4．中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆上有M ⎝⎛⎭⎫1，423，N ⎝⎛⎭⎫－322，2两点． (1)求椭圆的标准方程；(2)在椭圆上是否存在点P (x ，y )到定点A (a,0)(其中0<a <3)的距离的最小值为1？若存在，求P 点的坐标；若不存在，请说明理由．考点题点解 (1)设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )．因为椭圆过M ，N 两点，所以⎩⎨⎧ m ＋329n ＝1，92m ＋2n ＝1⇒⎩⎨⎧ m ＝19，n ＝14， 所以椭圆方程为x 29＋y 24＝1. (2)假设存在点P (x ，y )满足题设条件， 所以|AP |2＝(x －a )2＋y 2. 又因为x 29＋y 24＝1，所以y 2＝4⎝⎛⎭⎫1－x 29， 所以|AP |2＝(x －a )2＋4⎝⎛⎭⎫1－x 29＝59⎝⎛⎭⎫x －95a 2＋4－45a 2. 因为|x |≤3,0<a <3，若95a ≤3， 即当0<a ≤53时， |AP |2的最小值为4－45a 2， 由题意得4－45a 2＝1⇒a ＝±152∉⎝⎛⎦⎤0，53； 若95a >3，即53<a <3， 当x ＝3时，|AP |2取得最小值，为(3－a )2，依题意(3－a )2＝1，解得a ＝4或a ＝2，因为4∉⎝⎛⎭⎫53，3，2∈⎝⎛⎭⎫53，3，所以a ＝2. 此时P 点的坐标是(3,0)，故当a ＝2时，存在这样的点P 满足条件，P 点坐标为(3,0)．。
数学人教B选修2-1讲义：第二章 圆锥曲线与方程 2.4.1 Word版含答案
§2.4拋物线2.4.1抛物线的标准方程学习目标 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．知识点一抛物线的定义1．平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．2．定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1∶1)．知识点二抛物线的标准方程由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y2＝2px(p>0)，y2＝－2px(p>0)，x2＝2py(p>0)，x2＝－2py(p>0)．现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下：1．到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线．( × ) 2．拋物线标准方程中的p 表示焦点到准线的距离．( √ ) 3．拋物线的方程都是二次函数．( × ) 4．抛物线的开口方向由一次项确定．( √ )题型一 求抛物线的标准方程例1 分别求符合下列条件的抛物线的标准方程． (1)经过点(－3，－1)；(2)焦点为直线3x －4y －12＝0与坐标轴的交点． 考点 抛物线的标准方程 题点 求抛物线的方程解 (1)因为点(－3，－1)在第三象限， 所以设所求抛物线的标准方程为 y 2＝－2px (p >0)或x 2＝－2py (p >0)． 若抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p >0)， 则由(－1)2＝－2p ×(－3)，解得p ＝16；若抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p >0)， 则由(－3)2＝－2p ×(－1)，解得p ＝92.故所求抛物线的标准方程为y 2＝－13x 或x 2＝－9y .(2)对于直线方程3x －4y －12＝0， 令x ＝0，得y ＝－3；令y ＝0，得x ＝4，所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)． 当焦点为(0，－3)时，p2＝3，所以p ＝6，此时抛物线的标准方程为x 2＝－12y ； 当焦点为(4,0)时，p2＝4，所以p ＝8，此时抛物线的标准方程为y 2＝16x .故所求抛物线的标准方程为x 2＝－12y 或y 2＝16x . 反思感悟 用待定系数法求抛物线标准方程的步骤注意：当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y 2＝mx (m ≠0)或x 2＝ny (n ≠0)，这样可以减少讨论情况的个数．跟踪训练1 根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)准线方程为y ＝23；(2)焦点在y 轴上，焦点到准线的距离为5. 考点 抛物线的标准方程 题点 求抛物线的方程解 (1)易知抛物线的准线交y 轴于正半轴，且p 2＝23，则p ＝43，故所求抛物线的标准方程为x 2＝－83y .(2)已知抛物线的焦点在y 轴上，可设方程为x 2＝2my (m ≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m |＝5，m ＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x 2＝10y 和x 2＝－10y .题型二 抛物线定义的应用命题角度1 利用抛物线定义求轨迹(方程)例2 已知动圆M 与直线y ＝2相切，且与定圆C ：x 2＋(y ＋3)2＝1外切，求动圆圆心M 的轨迹方程． 考点 抛物线的定义 题点 抛物线定义的直接应用解 设动圆圆心为M (x ，y )，半径为r ，由题意可得M 到C (0，－3)的距离与到直线y ＝3的距离相等．由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C (0，－3)为焦点，以y ＝3为准线的一条抛物线，其方程为x 2＝－12y .反思感悟 解决轨迹为抛物线问题的方法抛物线的轨迹问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以先将条件转化，再利用抛物线的定义求解．后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的条件，有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件．跟踪训练2 已知动圆M 经过点A (3,0)，且与直线l ：x ＝－3相切，求动圆圆心M 的轨迹方程．考点 抛物线的定义 题点 抛物线定义的直接应用解 设动点M (x ，y )，⊙M 与直线l ：x ＝－3的切点为N ， 则|MA |＝|MN |，即动点M 到定点A (3,0)和定直线l ：x ＝－3的距离相等，∴点M 的轨迹是抛物线，且以A (3,0)为焦点，以直线l ：x ＝－3为准线， ∴p2＝3，∴p ＝6， 故动圆圆心M 的轨迹方程是y 2＝12x . 命题角度2 利用抛物线定义求最值例3 如图，已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求|P A |＋|PF |的最小值，并求此时P 点坐标．考点 求抛物线的最值问题 题点 根据抛物线定义转换求最值解 将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝±6.∵6>2，∴A 在抛物线内部．设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知|P A |＋|PF |＝|P A |＋d .由图可知，当P A ⊥l 时，|P A |＋d 最小，最小值为72.即|P A |＋|PF |的最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2. ∴点P 坐标为(2,2)． 引申探究若将本例中的点A (3,2)改为点(0,2)，求点P 到点A 的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值．解 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离． 由图可知，P 点，A 点和抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫12，0三点共线时距离之和最小，所以最小距离d ＝⎝⎛⎭⎫0－122＋(2－0)2＝172.反思感悟抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等．跟踪训练3已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是()A. 3B. 5 C．2 D.5－1考点求抛物线的最值问题题点根据抛物线定义转换求最值答案 D解析由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d＋|PF|的最小值为|2＋3|22＋(－1)2＝5，所以d＋|PF|－1的最小值为5－1.抛物线的实际应用问题典例河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距多少m时，小船开始不能通航？考点抛物线的标准方程题点抛物线方程的应用解如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)， 由题意可知，点B (4，－5)在抛物线上， 故p ＝85，得x 2＝－165y .当船面两侧和抛物线接触时，船开始不能通航， 设此时船面宽为AA ′，则A (2，y A )， 由22＝－165y A ，得y A ＝－54.又知船面露出水面上的部分高为0.75 m ， 所以h ＝|y A |＋0.75＝2(m)．所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m 时，小船开始不能通航．[素养评析] 首先确定与实际问题相匹配的数学模型．此问题中拱桥是抛物线型，故利用抛物线的有关知识解决此问题，操作步骤为： (1)建系：建立适当的坐标系． (2)假设：设出合适的抛物线标准方程． (3)计算：通过计算求出抛物线的标准方程． (4)求解：求出需要求出的量．(5)还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题．1．抛物线y 2＝x 的准线方程为( ) A ．x ＝14 B ．x ＝－14 C ．y ＝14 D ．y ＝－14答案 B解析 抛物线y 2＝x 的开口向右，且p ＝12，所以准线方程为x ＝－14.2．已知抛物线y ＝2px 2过点(1,4)，则抛物线的焦点坐标为( ) A ．(1,0) B.⎝⎛⎭⎫116，0 C.⎝⎛⎭⎫0，116 D ．(0,1) 考点 求抛物线的焦点坐标及准线方程 题点 求抛物线的焦点坐标 答案 C解析 由抛物线y ＝2px 2过点(1,4)，可得p ＝2， ∴抛物线的标准方程为x 2＝14y ，则焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，116，故选C. 3．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点P (m ，－2)到焦点的距离为4，则m 的值为( )A ．4B ．－2C ．4或－4D ．12或－2 答案 C解析 由题意可设抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p >0)，由定义知点P 到准线的距离为4，故p2＋2＝4， ∴p ＝4，∴x 2＝－8y .将点P 的坐标代入x 2＝－8y ， 得m ＝±4.4．若抛物线y 2＝2px (p >0)上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p ＝________. 答案 2解析 因为抛物线上的动点到焦点的距离为动点到准线的距离，所以抛物线上的动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即p2＝1，p ＝2.5．若抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________. 答案 2 2解析 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程是x ＝－p2，因为抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点F 1(－2，0)， 所以－p2＝－2，解得p ＝2 2.1．焦点在x 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y 2＝mx (m ≠0)，此时焦点为F ⎝⎛⎭⎫m 4，0，准线方程为x ＝－m4；焦点在y 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x 2＝my (m ≠0)，此时焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，m 4，准线方程为y ＝－m 4. 2．设M 是抛物线上一点，焦点为F ，则线段MF 叫做抛物线的焦半径．若M (x 0，y 0)在抛物线y 2＝2px (p >0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF |＝x 0＋p2.一、选择题1．关于抛物线x ＝4y 2，下列描述正确的是( ) A ．开口向上，焦点坐标为(0,1) B ．开口向上，焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，116 C ．开口向右，焦点坐标为(1,0) D ．开口向右，焦点坐标为⎝⎛⎭⎫116，0 答案 D解析 由x ＝4y 2得y 2＝14x ，∴开口向右，焦点坐标为⎝⎛⎭⎫116，0. 2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标为( ) A ．(－1,0) B ．(1,0) C ．(0，－1) D ．(0,1) 答案 B解析 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程为x ＝－p 2，由题设知－p2＝－1，即p ＝2，故焦点坐标为()1，0.3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( ) A.12 B ．1 C ．2 D ．4 答案 C解析 抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p2，它与圆相切，所以必有3－⎝⎛⎭⎫－p 2＝4，p ＝2. 4．若动点P 与定点F (1,1)和直线l ：3x ＋y －4＝0的距离相等，则动点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．直线 答案 D解析 方法一 设动点P 的坐标为(x ，y )．则(x －1)2＋(y －1)2＝|3x ＋y －4|10.整理，得x 2＋9y 2＋4x －12y －6xy ＋4＝0， 即(x －3y ＋2)2＝0，∴x －3y ＋2＝0. 所以动点P 的轨迹为直线．方法二 显然定点F (1,1)在直线l ：3x ＋y －4＝0上，则与定点F 和直线l 距离相等的动点P 的轨迹是过F 点且与直线l 垂直的一条直线．5．若点P 在抛物线y 2＝x 上，点Q 在圆(x －3)2＋y 2＝1上，则|PQ |的最小值是( ) A.3－1 B.102－1 C ．2 D.112－1 答案 D解析 设圆(x －3)2＋y 2＝1的圆心为O ′(3,0)， 要求|PQ |的最小值，只需求|PO ′|的最小值． 设点P 坐标为(y 20，y 0)， 则|PO ′|＝(y 20－3)2＋y 20＝(y 20)2－5y 20＋9＝⎝⎛⎭⎫y 20－522＋114， ∴|PO ′|的最小值为112， 从而|PQ |的最小值为112－1. 6．抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A.1716 B.1516 C.78 D ．0 答案 B解析 抛物线方程化为x 2＝14y ，准线为y ＝－116，由于点M 到焦点的距离为1，所以M 到准线的距离也为1，所以M 点的纵坐标等于1－116＝1516.7．已知直线l 与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，A 点的坐标为(8,8)，则线段AB 的中点到准线的距离是( )A.254B.252C.258D ．25 答案 A解析 抛物线的焦点F 的坐标为(2,0)，直线l 的方程为y ＝43(x －2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43(x －2)，y 2＝8x ，得B 点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－2. ∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝2＋8＋2＋12＝252. ∴AB 的中点到准线的距离为254. 8．已知点P 是抛物线x 2＝4y 上的动点，点P 在x 轴上的射影是点Q ，点A 的坐标是(8,7)，则|P A |＋|PQ |的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10考点 抛物线的定义题点 抛物线定义与其它知识结合的应用答案 C解析 抛物线的焦点为F (0,1)，准线方程为y ＝－1，根据抛物线的定义知，|PF |＝|PM |＝|PQ |＋1.∴|P A |＋|PQ |＝|P A |＋|PM |－1＝|P A |＋|PF |－1≥|AF |－1＝82＋(7－1)2－1＝10－1＝9. 当且仅当A ，P ，F 三点共线时，等号成立，则|P A |＋|PQ |的最小值为9.二、填空题9．已知抛物线y 2＝2x 上一点P (m,2)，则m ＝________，点P 到抛物线的焦点F 的距离为________．答案 2 52解析 将(m,2)代入抛物线中得4＝2m ，得m ＝2，由抛物线的定义可知点P 到抛物线的焦点F 的距离为2＋12＝52. 10．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则点B 到该抛物线准线的距离为________．答案 324解析 如图所示，由已知，得点B 的纵坐标为1，横坐标为p 4，即B ⎝⎛⎭⎫p 4，1.将其代入y 2＝2px ，得1＝2p ×p 4，解得p ＝2，故点B 到准线的距离为p 2＋p 4＝34p ＝324.11．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝________.答案 8解析 如图所示，直线AF 的方程为y ＝－3(x －2)，与准线方程x ＝－2联立得A (－2,43)．设P (x,43)，代入抛物线方程y 2＝8x ，得8x ＝48，∴x ＝6，∴|PF |＝x ＋2＝8.三、解答题12．已知拋物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，拋物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求m 的值，拋物线方程和准线方程．解 设所求拋物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2.∵M (m ，－3)在拋物线上，且|MF |＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＝6p ， m 2＋⎝⎛⎭⎫－3＋p 22＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4，m ＝±26， ∴m ＝±26， 拋物线方程为x 2＝－8y ，准线方程为y ＝2.13．平面上动点P 到定点F (1,0)的距离比点P 到y 轴的距离大1，求动点P 的轨迹方程． 考点 抛物线的定义题点 抛物线定义的直接应用解 方法一 由题意，动点P 到定点F (1,0)的距离比到y 轴的距离大1，由于点F (1,0)到y 轴的距离为1，故当x <0时，直线y ＝0上的点适合条件；当x ≥0时，原命题等价于点P 到点F (1,0)与到直线x ＝－1的距离相等，故点P 的轨迹是以F 为焦点，x ＝－1为准线的抛物线，方程为y 2＝4x .故所求动点P 的轨迹方程为y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，0，x <0. 方法二 设点P 的坐标为(x ，y )，则有(x －1)2＋y 2＝|x |＋1，两边平方并化简得y 2＝2x ＋2|x |.∴y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，0，x <0. 即点P 的轨迹方程为y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ，x ≥0，0，x <0.14．如果P 1，P 2，…，P n 是抛物线C ：y 2＝4x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，…，x n ，F 是抛物线C 的焦点，若x 1＋x 2＋…＋x n ＝10，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |等于( )A ．n ＋10B ．n ＋20C ．2n ＋10D ．2n ＋20答案 A解析 由抛物线的方程y 2＝4x 可知其焦点为(1,0)，准线为x ＝－1，由抛物线的定义可知|P 1F |＝x 1＋1，|P 2F |＝x 2＋1，…，|P n F |＝x n ＋1，所以|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝x 1＋1＋x 2＋1＋…＋x n ＋1＝(x 1＋x 2＋…＋x n )＋n ＝n ＋10.15.如图所示，抛物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点F 在y 轴上，准线l 与圆x 2＋y 2＝1相切．(1)求抛物线C 的方程；(2)若点A ，B 都在抛物线C 上，且FB →＝2OA →，求点A 的坐标．考点 抛物线的标准方程题点 求抛物线的方程解 (1)依题意，可设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)，其准线l 的方程为y ＝－p 2. ∵准线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，∴圆心(0,0)到准线l 的距离d ＝0－⎝⎛⎭⎫－p 2＝1， 解得p ＝2.故抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21＝4y 1， ①x 22＝4y 2， ② 由题意得F (0,1)，∴FB →＝(x 2，y 2－1)，OA →＝(x 1，y 1)，∵FB →＝2OA →，∴(x 2，y 2－1)＝2(x 1，y 1)＝(2x 1,2y 1)，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2x 1，y 2＝2y 1＋1，代入②得4x 21＝8y 1＋4， 即x 21＝2y 1＋1，又x 21＝4y 1，所以4y 1＝2y 1＋1，解得y 1＝12，x 1＝±2， 即点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫2，12或⎝⎛⎭⎫－2，12.。
高三理科数学二轮复习讲义：模块二 专题五 第二讲 圆锥曲线的方程与性质 Word版含解析
专题五 解析几何第二讲 圆锥曲线的方程与性质高考导航以某一圆锥曲线或两种曲线组合为载体，考查的角度有定义、方程和性质，尤其是离心率、焦点三角形和焦点弦问题是考查的重点.1．(2017·浙江卷)椭圆x 29＋y 24＝1的离心率是( ) A.133 B.53 C.23 D.59[解析]由题意得，a ＝3，b ＝2，∴c ＝a 2－b 2＝5，∴离心率e ＝c a ＝53，故选B.[答案]B2．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1D.x 24－y 23＝1[解析]解法一：由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为x 24－y 25＝k (k >0)，即x 24k －y 25k ＝1，∵双曲线与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，∴4k ＋5k ＝12－3，解得k ＝1，故双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.解法二：∵椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(±3,0)，双曲线与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，∴a 2＋b 2＝(±3)2＝9①，∵双曲线的一条渐近线为y ＝52x ，∴b a ＝52②，联立①②可解得a 2＝4，b 2＝5.∴双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1. [答案]B3．(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析]不妨设C ：y 2＝2px (p >0)，A (x 1,22)，则x 1＝(22)22p ＝4p ，由题意可知|OA |＝|OD |，得⎝ ⎛⎭⎪⎫4p 2＋8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22＋5，解得p ＝4.故选B. [答案]B4．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A.63B.33C.23D.13[解析]以线段A 1A 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝a 2，该圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切， ∴|b ×0－a ×0＋2ab |b 2＋(－a )2＝a ，即2b ＝a 2＋b 2， ∴a 2＝3b 2，∵a 2＝b 2＋c 2，∴c 2a 2＝23，∴e ＝c a ＝63.[答案]A5．(2017·全国卷Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.[解析]如图所示，设N (0，m )．又F (2,0)，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，m 2.设M 代入y 2＝8x ，得m 24＝8，解得m ＝±4 2. ∴|FN |＝(2－0)2＋(0－m )2＝36＝6.[答案]6考点一 圆锥曲线的定义与标准方程圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)；(2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)；(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M .[对点训练]1．(2017·惠州二模)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点是(2，0)，且截直线x ＝2所得弦长为436，则该椭圆的方程为( )A.x 212＋y 28＝1B.x 28＋y 212＝1C.x 24＋y 26＝1D.x 26＋y 24＝1[解析]由已知得c ＝2，直线x ＝2过椭圆的右焦点，且垂直于x 轴，由⎩⎨⎧ x ＝c ，x 2a 2＋y 2b 2＝1可得y ＝±b 2a ，∴截直线x ＝2所得弦长为2b 2a ，由⎩⎨⎧2b 2a ＝436，a 2－b 2＝2得a 2＝6，b 2＝4.∴所求椭圆的方程为x 26＋y 24＝1.[答案]D2．(2017·惠阳二模)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 216－y 29＝1的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1F 2P ＝( )A.45B.35C.5564 D ．－2340[解析]由题意可知，a ＝4，b ＝3，∴c ＝5，设|PF 1|＝2x ，|PF 2|＝x ，则|PF 1|－|PF 2|＝x ＝2a ＝8，故|PF 1|＝16，|PF 2|＝8，又|F 1F 2|＝10，利用余弦定理可得cos ∠F 1F 2P ＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2|·|F 1F 2|＝－2340. [答案]D3．(2017·湖南六校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1，F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为( )A.x 216－y 29＝1B.x 23－y 24＝1C.x 29－y 216＝1D.x 24－y 23＝1[解析]以F 1，F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，又因为点(3,4)在圆上，所以32＋42＝c 2，所以c ＝5，双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，且点(3,4)在这条渐近线上，所以b a ＝43，又a 2＋b 2＝c 2＝25，解得a ＝3，b ＝4，所以双曲线的方程为x 29－y 216＝1，故选C.[答案]C4．(2017·武汉市武昌区高三二调)已知抛物线Γ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点P 在Γ上且|PK |＝2|PF |，则△PKF 的面积为________．[解析]由已知得，F (2,0)，K (－2,0)，过P 作PM 垂直于准线，则|PM |＝|PF |，又|PK |＝2|PF |，∴|PM |＝|MK |＝|PF |，∴PF ⊥x 轴，△PFK 的高等于|PF |，不妨设P (m 2,22m )(m >0)，则m 2＋2＝4，解得m ＝2，故△PKF 的面积S ＝4×22×2×12＝8.[答案]8求解圆锥曲线标准方程的思路方法(1)定型，就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程．(2)计算，即利用定义或待定系数法求出方程中的a 2，b 2或p .【特别提醒】 抛物线定义的实质是抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的转化．考点二 圆锥曲线的几何性质1．在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝c a ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2. 2．在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝c a ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2. 3．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b a x .[对点训练]1．(2017·惠州市高三三调)设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A. 3B. 2 C ．2 D ．3[解析]设双曲线C 的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由于直线l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l 的方程为x ＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y 2b 2＝1中得y 2＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2a 2－1＝b 4a 2，∴y ＝±b 2a ，故|AB |＝2b 2a ，依题意 2b 2a ＝4a ，∴b 2a 2＝2，∴c 2－a 2a 2＝e 2－1＝2，∴e ＝3，选A.[答案]A2．(2017·临汾二模)若直线y ＝－3x 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)交于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C 的离心率为( ) A.32 B.3－12 C.3－1 D ．4－2 3[解析]设椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，由题意可得|OF 2|＝|OA |＝|OB |＝|OF 1|＝c .由y ＝－3x 得∠AOF 2＝2π3，∠AOF 1＝π3，∴|AF 2|＝3c ，|AF 1|＝c .由椭圆的定义知，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，∴c ＋3c ＝2a ，∴e ＝c a ＝3－1.[答案]C3．(2017·南昌调研)已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0[解析]由题意，不妨设|PF 1|>|PF 2|，则根据双曲线的定义得， |PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，解得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，而c >a ，所以|PF 2|<|F 1F 2|，所以∠PF 1F 2＝30°，所以(2a )2＝(2c )2＋(4a )2－2×2c ×4a cos30°，得c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x ，即2x ±y ＝0.故选A.[答案]A4．(2017·山西四校联考)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，若在双曲线上存在点P 满足2|PF 1→＋PF 2→|≤|F 1F 2→|，则双曲线C 的离心率的取值范围是________．[解析]设O 为坐标原点，由2|PF 1→＋PF 2→|≤|F 1F 2→|，得4|PO →|≤2c (2c为双曲线的焦距)，∴|PO →|≤12c ，又由双曲线的性质可得|PO →|≥a ，于是a ≤12c ，e ≥2，即e 的取值范围是[2，＋∞)．[答案][2，＋∞)应用圆锥曲线性质的2个注意点(1)明确圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．考点三 抛物线中的最值问题抛物线中的最值问题一般情况下都与抛物线的定义有关，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．[解析](1)由题意得圆x2＋(y－4)2＝1的圆心A(0,4)，半径r＝1，抛物线的焦点F(1,0)．由抛物线的几何性质可得：点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是|AF|－r＝1＋16－1＝17－1.选C.(2)过P作PM⊥l于M，则由抛物线定义知|PM|＝|PF|，故|P A|＋|PF|＝|P A|＋|PM|.当A、P、M三点共线时，|P A|＋|PM|最小，此时点P坐标为(2,2)，故选C.[答案](1)C (2)C[探究追问] 若本例(2)中A 点坐标改为(－3,2)，其他条件不变，则|P A |－|PF |的最小值为________．[解析]当P A ∥x 轴时，|P A |－|PF |取得最小值，此时|P A |－|PF |＝52.[答案]52与抛物线最值有关问题的两种转化(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”解决．[对点训练]1．(2017·郑州检测)已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( )A.34B.32 C ．1 D ．2[解析]由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过点A 作AA 1⊥l 交l 于点A 1，过点B 作BB 1⊥l 交l 于点B 1，设弦AB 的中点为M ，过点M 作MM 1⊥l 交l 于点M 1，则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|2.因为|AB |≤|AF |＋|BF |(F 为抛物线的焦点)，即|AF |＋|BF |≥6，所以|AA 1|＋|BB 1|≥6，2|MM 1|≥6，|MM 1|≥3，故点M 到x 轴的距离d ≥2，选D.[答案]D2．已知点F为抛物线y2＝－8x的焦点，O为坐标原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|＝4，则|P A|＋|PO|的最小值为()A．6 B．2＋4 2C．213 D．4 3[解析]由已知可得抛物线y2＝－8x的焦点为F(－2,0)，准线方程为x＝2.设点A的坐标为(x0，y0)，根据抛物线的定义可得2－x0＝4，所以x0＝－2，y0＝±4.O关于准线的对称点为O′(4,0)，则当点P为AO′与准线x＝2的交点时，|P A|＋|PO|有最小值，且最小值为|AO′|＝213.[答案]C热点课题18方程思想在圆锥曲线几何性质中的应用[感悟体验]1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与椭圆的一个交点为P ，若∠F 1PF 2＝45°，则椭圆的离心率为( ) A.24 B.22 C.3－1 D.2－1[解析]根据题意可知，在Rt △PF 1F 2中，|PF 2|＝b 2a ，|F 1F 2|＝2c ，∠F 1PF 2＝45°，所以|F 1F 2|＝|PF 2|，所以b 2a ＝2c ，又b 2＝a 2－c 2，代入整理得c 2＋2ac －a 2＝0，所以e 2＋2e －1＝0，即e ＝－1±2，又0<e <1，所以e ＝2－1.[答案]D2．(2017·贵阳监测)已知点P 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)左支上一点，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，且PF 1⊥PF 2，PF 2与两条渐近线相交于M 、N 两点(如图)，点N 恰好平分线段PF 2，则双曲线的离心率是________．[解析]由题意可知，ON 为△PF 1F 2的中位线，∴PF 1∥ON ，∴tan ∠PF 1F 2＝tan ∠NOF 2＝k ON ＝b a ，∴⎩⎨⎧ |PF 2||PF 1|＝b a，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝2a ，|PF 2|＝2b . 又|PF 2|－|PF 1|＝2a ，∴2b －2a ＝2a ，b ＝2a ，c ＝a 2＋b 2＝5a ， e ＝c a ＝ 5.[答案] 5。
数学人教B选修2-1讲义：第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 Word版含答案
§2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程的概念学习目标 1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.3.学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法．知识点曲线与方程的概念一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程．一个二元方程总可以通过移项写成F(x，y)＝0的形式，其中F(x，y)是关于x，y的解析式．在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系：①曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解；②以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．那么，方程F(x，y)＝0叫做曲线的方程；曲线C叫做方程的曲线．特别提醒：(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法．曲线C的点集和方程F(x，y)＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上．定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏．(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x，y)建立了一一对应关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质．如果曲线l上的点的坐标满足方程F(x，y)＝0，则1．曲线l的方程是F(x，y)＝0.(×)2．方程F(x，y)＝0的曲线是l.(×)3．坐标不满足方程F(x，y)＝0的点不在曲线l上．(√)4．坐标满足方程F(x，y)＝0的点在曲线l上．(×)题型一曲线与方程的概念理解与应用命题角度1曲线与方程的判定例1已知坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上，那么()A．曲线C上的点的坐标都适合F(x，y)＝0B．凡坐标不适合F(x，y)＝0的点都不在曲线C上C．不在曲线C上的点的坐标必不适合F(x，y)＝0D．不在曲线C上的点的坐标有些适合F(x，y)＝0，有些不适合F(x，y)＝0答案 C解析“不在曲线C上的点的坐标必不适合F(x，y)＝0”是“坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上”的逆否命题．所以C正确．反思感悟解决“曲线”与“方程”的判定问题(即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线)，只要一一检验定义中的两个条件是否都满足，并作出相应的回答即可．判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程．跟踪训练1设方程F(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，那么下列命题正确的是()A．坐标满足方程F(x，y)＝0的点都不在曲线C上B．曲线C上的点的坐标都不满足方程F(x，y)＝0C．坐标满足方程F(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D．一定有不在曲线C上的点，其坐标满足方程F(x，y)＝0答案 D解析“坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上”不正确，即“坐标满足方程F(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的．“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故A，C错，B显然错．命题角度2 曲线与方程的概念应用例2 证明与两条坐标轴的距离的积是常数k (k >0)的点的轨迹方程是xy ＝±k . 证明 ①如图，设M (x 0，y 0)是轨迹上的任意一点．因为点M 与x 轴的距离为|y 0|，与y 轴的距离为|x 0|， 所以|x 0|·|y 0|＝k ，即(x 0，y 0)是方程xy ＝±k 的解． ②设点M 1的坐标(x 1，y 1)是方程xy ＝±k 的解， 则x 1y 1＝±k ，即|x 1|·|y 1|＝k .而|x 1|，|y 1|正是点M 1到纵轴、横轴的距离，因此点M 1到这两条直线的距离的积是常数k ，点M 1是曲线上的点．由①②可知，xy ＝±k 是与两条坐标轴的距离的积为常数k (k >0)的点的轨迹方程．反思感悟 解决此类问题要从两方面入手(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”，称为纯粹性； (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程． 跟踪训练2 写出方程(x ＋y －1)x －1＝0表示的曲线．解 由方程(x ＋y －1)x －1＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x ＋y －1＝0或x －1＝0.即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1，∴方程表示直线x ＝1和射线x ＋y －1＝0(x ≥1)． 题型二 曲线与方程关系的应用 例3 已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上； (2)若点M ⎝⎛⎭⎫m 2，－m 在此方程表示的曲线上，求m 的值．解 (1)∵12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，∴P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，Q (2，3)不在此曲线上．(2)∵M ⎝⎛⎭⎫m 2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，∴⎝⎛⎭⎫m22＋(－m －1)2＝10，解得m ＝2或m ＝－185.引申探究本例中曲线方程不变，若点N (a,2)在圆外，求实数a 的取值范围． 解 结合点与圆的位置关系，得 a 2＋(2－1)2>10，即a 2>9， 解得a <－3或a >3，故所求实数a 的取值范围为(－∞，－3)∪(3，＋∞)．反思感悟 判断曲线与方程关系问题时，可以利用曲线与方程的定义；也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断．跟踪训练3 若曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )(a ∈R )，求k 的取值范围． 解 ∵曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )， ∴a 2＋a 2＋2a ＋k ＝0.∴k ＝－2a 2－2a ＝－2⎝⎛⎭⎫a ＋122＋12. ∴k ≤12，∴k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12.由方程判断曲线典例 方程(x ＋y －1)x 2＋y 2－4＝0所表示的曲线的轨迹是( )考点 题点 答案 D解析 原方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x 2＋y 2≥4或x 2＋y 2＝4.其中当x ＋y －1＝0时，x 2＋y 2－4需有意义，等式才成立，即x 2＋y 2≥4，此时它表示直线x ＋y －1＝0上不在圆x 2＋y 2＝4内的部分； 当x 2＋y 2＝4时方程表示整个圆， 所以方程对应的曲线是D.[素养评析] (1)由具体的方程判断曲线的步骤(2)由方程判断曲线是建立起数与形的联系，提升数形结合能力，形成数学直观想象的素养．1．方程y ＝3x －2 (x ≥1)表示的曲线为( ) A ．一条直线 B ．一条射线 C ．一条线段 D ．不能确定答案 B解析 方程y ＝3x －2表示的曲线是一条直线，当x ≥1时，它表示一条射线． 2．方程xy 2－x 2y ＝2x 所表示的曲线( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于直线x －y ＝0对称 答案 C解析 同时以－x 代替x ，以－y 代替y ，方程不变，所以方程xy 2－x 2y ＝2x 所表示的曲线关于原点对称．3．方程4x 2－y 2＋6x －3y ＝0表示的图形为________． 答案 两条相交直线解析 原方程可化为(2x －y )(2x ＋y ＋3)＝0，即2x －y ＝0或2x ＋y ＋3＝0，∴原方程表示直线2x －y ＝0和直线2x ＋y ＋3＝0.4．若曲线ax 2＋by 2＝4过点A (0，－2)，B ⎝⎛⎭⎫12，3，则a ＝________，b ＝________. 答案 4 1解析 ∵曲线过A (0，－2)，B ⎝⎛⎭⎫12，3两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧4b ＝4，14a ＋3b ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝4.5．方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是________． 答案 4个点解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0，y 2－4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2，∴方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是4个点．1．判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．2．已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．一、选择题1．“曲线C 上的点的坐标都是方程F (x ，y )＝0的解”是“曲线C 的方程是F (x ，y )＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 结合曲线方程的定义易得．2．若曲线C 的方程为y ＝2x －1(1<x <5)，则下列四个点中在曲线C 上的是( ) A ．(0,0) B ．(7,15) C ．(2,3) D ．(4,4) 答案 C解析 由y ＝2x －1(1<x <5)得A ，B 的横坐标不满足题意，D 项中坐标代入后不满足方程，故选C.3．方程|x |＋|y |＝|xy |＋1表示的曲线是( ) A ．一条直线 B ．一个正方形 C ．一个圆 D ．四条直线 答案 D解析 由|x |＋|y |＝|xy |＋1得(|x |－1)(|y |－1)＝0，即x ＝±1或y ＝±1，因此该方程表示四条直线． 4．下列方程对应的曲线是同一条曲线的是( ) ①y ＝a log a x ；②y ＝x 2；③y ＝log a a x ；④y ＝3x 3. A ．①② B ．③④ C ．②④ D ．①③ 答案 B解析 由y ＝log a a x ＝x ，y ＝3x 3＝x ，得③④表示同一条曲线．5．过坐标原点O 作单位圆x 2＋y 2＝1的两条互相垂直的半径OA ，OB ，若在该圆上存在一点C ，使得OC →＝aOA →＋bOB →(a ，b ∈R )，则以下说法正确的是( )A ．点P (a ，b )一定在单位圆内B ．点P (a ，b )一定在单位圆上C ．点P (a ，b )一定在单位圆外D ．当且仅当ab ＝0时，点P (a ，b )在单位圆上 答案 B解析 ∵OC →2＝(aOA →＋bOB →)2，且OA →⊥OB →，∴a 2＋b 2＋2abOA →·OB →＝a 2＋b 2＝1，因此点P (a ，b )一定在单位圆上，故选B.6．方程|x |－|y |＝0表示的图形是下图中的( )答案 C解析 由|x |－|y |＝0知y ＝±x ，即表示一、三象限角平分线或二、四象限角平分线． 7．关于方程x (x 2＋y 2－1)＝0和x 2＋(x 2＋y 2－1)2＝0所表示的图形叙述正确的是( ) A ．表示的图形都是一条直线和一个圆 B ．表示的图形都是两个点C ．前者表示一条直线和一个圆，后者表示两个点D ．前者表示两个点，后者表示一条直线和一个圆 考点 曲线与方程的意义 题点 方程是否表示同一曲线 答案 C解析 x (x 2＋y 2－1)＝0⇔x ＝0或x 2＋y 2＝1， 表示直线x ＝0和圆x 2＋y 2＝1.x 2＋(x 2＋y 2－1)2＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，x 2＋y 2－1＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝±1，表示点(0,1)，(0，－1)．故选C.8．下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是( )答案 D解析对于A，点(0，－1)满足方程，但不在曲线上，排除A；对于B，点(1，－1)满足方程，但不在曲线上，排除B；对于C，曲线上第三象限的点，由于x<0，y<0，不满足方程，排除C.二、填空题9．设命题甲：点P的坐标适合方程F(x，y)＝0，命题乙：点P在曲线C上，命题丙：点Q 的坐标不适合方程F(x，y)＝0，命题丁：点Q不在曲线C上，已知甲是乙的必要条件，但不是充分条件，那么丙是丁的________条件．答案充分不必要解析依题意可知，曲线C上的点都满足方程，但以满足方程F(x，y)＝0的解为坐标的点不一定都在曲线C上，那么逆否命题为不满足方程的解为坐标的点一定不在曲线C上，从而丙是丁的充分条件，但不是必要条件．10．方程(x－1)2＋y－2＝0表示的是____________．答案点(1,2)解析由(x－1)2＋y－2＝0，知(x－1)2＝0且y－2＝0，即x＝1且y＝2，所以(x－1)2＋y－2＝0表示的是点(1,2)．11．给出下列说法：①方程yx－2＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为－2的直线；②到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝－2；③方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示四个点．其中正确说法的序号是________．考点曲线与方程的意义题点曲线与方程的综合应用答案③解析对于①，方程yx－2＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为－2的直线(除掉点(2,0))，所以①错误；对于②，到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝－2或y＝2，所以②错误；对于③，方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示点(－2,2)，(－2，－2)，(2，－2)，(2,2)四个点，所以③正确．三、解答题12．判断下列命题是否正确．(1)以坐标原点为圆心，r 为半径的圆的方程是y ＝r 2－x 2； (2)过点A (2,0)平行于y 轴的直线l 的方程为|x |＝2. 考点 曲线与方程的概念 题点 曲线方程的求解与证明 解 (1)不正确．设(x 0，y 0)是方程y ＝r 2－x 2的解，则y 0＝r 2－x 20，即x 20＋y 20＝r 2.两边开平方取算术平方根，得x 20＋y 20＝r 即点(x 0，y 0)到原点的距离等于r ，点(x 0，y 0)是这个圆上的点．因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．但是，以原点为圆心、r 为半径的圆上的一点如点⎝⎛⎭⎫r 2，－32r 在圆上，却不是y ＝r 2－x 2的解，这就不满足曲线上的点的坐标都是方程的解．所以，以原点为圆心，r 为半径的圆的方程不是y ＝r 2－x 2，而应是y ＝±r 2－x 2.(2)不正确．直线l 上的点的坐标都是方程|x |＝2的解．然而，坐标满足|x |＝2的点不一定在直线l 上，因此|x |＝2不是直线l 的方程，直线l 的方程为x ＝2.13．已知曲线C 的方程为x ＝4－y 2，说明曲线C 是什么样的曲线，并求该曲线与y 轴围成的图形的面积． 解 由x ＝4－y 2，得x 2＋y 2＝4.又x ≥0，∴方程x ＝4－y 2表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，从而该曲线C与y 轴围成的图形是半圆，其面积S ＝12π·4＝2π.所以所求图形的面积为2π.14．已知方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a >0)所确定的两条曲线有两个交点，则a 的取值范围是( ) A ．a >1B ．0<a <1C ．0<a <1或a >1D ．a ∈∅答案 A解析 ∵a >0，∴方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a >0)的图象大致如图，高中数学课程要使方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a >0)所确定的两条曲线有两个交点，则要求y ＝a |x |在y 轴右侧的斜率大于y ＝x ＋a 的斜率，∴a >1.15．方程|x －1|＋|y －1|＝1表示的曲线所围成的图形的面积是________．考点 曲线与方程的意义题点 曲线与方程的综合应用答案 2解析 方程|x －1|＋|y －1|＝1可写成⎩⎪⎨⎪⎧ x >1，y ≥1，x ＋y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ x >1，y <1，x －y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤1，y ≥1，y －x ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，y <1，x ＋y ＝1， 图形如图所示，它是边长为2的正方形，其面积为2.。
2019-2020学年选修2-1苏教版：第2章圆锥曲线与方程2.4.1Word版含答案
2019-2020学年苏教版数学精品资料§2.4抛物线2.4.1抛物线的标准方程学习目标 1.掌握抛物线的标准方程.2.明确抛物线标准方程中p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．知识点抛物线的标准方程思考抛物线的标准方程有何特点？答案(1)对称轴为坐标轴；(2)p为大于0的常数，其几何意义表示焦点到准线的距离；(3)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称；(4)焦点、准线到原点的距离都等于p 2 .梳理由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y2＝2px(p>0)，y2＝－2px(p>0)，x2＝2py(p>0)，x2＝－2py(p>0)．现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下：图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p>0)p2，0x＝－p2y2＝－2px(p>0)－p2，0x＝p2x2＝2py(p>0)0，p2y＝－p2x2＝－2py(p>0)0，－p2y＝p21．抛物线的方程都是y关于x的二次函数．(×)2．方程x2＝2py(p＞0)表示开口向上的抛物线．(√)3．抛物线的焦点到准线的距离为p.(√)4．抛物线的开口方向由一次项确定．(√)类型一由抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程例1已知抛物线的方程y＝ax2(a≠0)，求它的焦点坐标和准线方程．解将抛物线方程化为标准方程x2＝1ay(a≠0)，则抛物线焦点在y轴上，(1)当a＞0时，p＝12a，∴焦点坐标F0，14a，准线方程y＝－1 4a.(2)当a＜0时，p＝－12a，∴焦点坐标F0，14a，准线方程y＝－14a，综合(1)(2)知抛物线y＝ax2(a≠0)的焦点坐标是F0，14a，准线方程是y＝－14a.反思与感悟根据抛物线的方程求焦点坐标和准线方程时，应首先把方程化为标准形式，再分清抛物线是四种中的哪一种，然后写出焦点及准线方程．跟踪训练1(1)若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________；准线方程为________．答案2x＝－1解析因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以p2＝1，p＝2，准线方程为x＝－p2＝－1.(2)求下列抛物线的焦点坐标和准线方程．①y2＝40x；②4x2＝y；③3y2＝5x；④6y2＋11x＝0. 解①焦点坐标为(10,0)，准线方程为x＝－10.②由4x2＝y得x2＝14 y.∵2p＝14，∴p＝18.∴焦点坐标为0，116，准线方程为y＝－116.③由3y2＝5x，得y2＝53x.∵2p＝53，∴p＝56.∴焦点坐标为512，0，准线方程为x＝－512.④由6y2＋11x＝0，得y2＝－116x，故焦点坐标为－1124，0，准线方程为x＝1124.类型二求解抛物线的标准方程例2根据下列条件分别求抛物线的标准方程．(1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，AF＝5.解(1)双曲线方程可化为x29－y216＝1，左顶点为(－3,0)，由题意设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)且－p2＝－3，∴p＝6，∴抛物线的方程为y2＝－12x.(2)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)，由抛物线定义得5＝AF＝m＋p 2.又(－3)2＝2pm，∴p＝±1或p＝±9，故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x.反思与感悟抛物线标准方程的求法(1)定义法：建立适当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程．(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值．跟踪训练2已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程．解设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，则焦点F－p2，0，由题意，得m2＝6p，m2＋－3＋p22＝5，解得p＝4，m＝26或p＝4，m＝－2 6.故所求的抛物线方程为y2＝－8x，m＝±2 6.抛物线的焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x＝2.类型三抛物线在实际生活中的应用例3河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5m时，水面宽为8m，一小船宽4m，高2m，载货后船露出水面上的部分高34m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？解如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意可知，点B(4，－5)在抛物线上，故p＝85，得x2＝－165y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA′，则A(2，y A)，由22＝－165y A，得y A＝－54.又知船面露出水面上的部分高为34m，所以h＝|y A|＋34＝2(m)．所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2m时，小船开始不能通航．反思与感悟涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解．跟踪训练3喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5m，且与OA所在的直线相距4m，水流落在以O为圆心，半径为9m的圆上，则管柱OA的长是多少？解如图所示，以点B为坐标原点，过点B与地面平行的直线为x轴，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，因为点C(5，－5)在抛物线上，所以25＝－2p·(－5)，因此2p＝5，所以抛物线的方程为x2＝－5y，点A(－4，y0)在抛物线上，所以16＝－5y0，即y0＝－165，所以OA的长为5－165＝1.8(m)．所以管柱OA的长为 1.8m.1．已知抛物线的准线方程为x＝7，则抛物线的标准方程为________．答案y2＝－28x解析可设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，由准线方程为x＝7知，p2＝7，即p＝14.故抛物线的标准方程为y2＝－28x.2．已知点(－2,3)与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的距离是5，则p的值为________．答案 4解析焦点的坐标为p2，0，由两点间的距离公式得－2－p22＋32＝5?p＝4.3．若抛物线y2＝2px(p>0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p＝________.答案 2解析因为抛物线上的动点到焦点的距离为动点到准线的距离，所以抛物线上的动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即p2＝1，p＝2.4．若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝________. 答案2 2解析抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程是x＝－p 2，因为抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点F1(－2，0)，所以－p2＝－2，解得p＝2 2.5．已知M为抛物线y2＝4x上一动点，F为抛物线的焦点，定点N(2,3)，则MN＋MF的最小值为________．答案10解析将x＝2代入抛物线方程，得y＝±2 2.∵3>22，∴点N在抛物线的外部．MN＋MF≥NF，而F(1,0)，则NF＝2－12＋32＝10，∴MN＋MF≥10，当N，M，F三点共线时有最小值，最小值为10.1．焦点在x轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y2＝mx(m≠0)，此时焦点为F m4，0，准线方程为x＝－m4；焦点在y轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x2＝my(m≠0)，此时焦点为F0，m4，准线方程为y＝－m4.2．设M是抛物线上一点，焦点为F，则线段MF叫做抛物线的焦半径．若M(x0，y0)在抛物线y2＝2px(p>0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径MF＝x0＋p2.一、填空题1．抛物线y＝14x2的准线方程是________．答案y＝－1解析由y＝14x2，得x2＝4y，则抛物线的焦点在y轴正半轴上，且2p＝4，即p＝2，因此准线方程为y＝－p 2＝－1.2．以坐标原点为顶点，(－1,0)为焦点的抛物线的方程为____________________．答案y2＝－4x解析由题意可设抛物线的方程为y2＝－2px(p>0)，则有－p2＝－1，得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝－4x.3．经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为________．答案y2＝x或x2＝－8y解析设所求抛物线的标准方程为y2＝2mx(m≠0)或x2＝2ny(n≠0)，代入点P(4，－2)，解得m＝12或n＝－4，所以所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－8y.4．以双曲线x216－y29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为________．答案y2＝16x解析∵双曲线的方程为x216－y29＝1，∴右顶点为(4,0)．设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，则p2＝4，即p＝8，∴抛物线的标准方程为y2＝16x.5．已知抛物线C1：y＝2x2与抛物线C2关于直线y＝x对称，则C2的准线方程是________．答案x＝－1 8解析y＝2x2关于y＝x对称的曲线为抛物线y2＝12x，其准线方程为x＝－18.6．已知一个圆的圆心C在抛物线y2＝4x上，并且与x轴、抛物线的准线都相切，则此圆的半径为________．答案 2解析设圆心C(x0，y0)，则y20＝4x0，①依题意得，半径r＝|y0|＝|x0＋1|，②由①②得x0＝1，故圆的半径r＝2.7．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是________．答案x2＝±12y解析因为顶点与焦点距离等于3，∴2p＝12，又∵对称轴是y轴，∴抛物线的方程为x2＝±12y.8．抛物线方程为7x＋4y2＝0，则焦点坐标为________．答案－716，0解析方程化为y 2＝－74x ，抛物线开口向左，2p ＝74，p 2＝716，故焦点坐标为－716，0. 9．设抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，点A(0,2)．若线段FA 的中点B 在抛物线上，则点B到该抛物线准线的距离为________．答案324解析如图所示，由已知，得点B 的纵坐标为1，横坐标为p 4，即B p 4，1.将其代入y 2＝2px ，得1＝2p ×p 4，解得p ＝2，故点B 到准线的距离为p 2＋p 4＝34p ＝324.10．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标为________．答案(1,2)或(1，－2)解析设A(x 0，y 0)，F(1,0)，OA →＝(x 0，y 0)，AF →＝(1－x 0，－y 0)，OA →·AF →＝x 0(1－x 0)－y 20＝－4. ∵y 20＝4x 0，∴x 0－x 20－4x 0＋4＝0，即x 20＋3x 0－4＝0，x 0＝1或x 0＝－4(舍)．∴x 0＝1，y 0＝±2.则点A 的坐标为(1,2)或(1，－2)．11．若点P 在抛物线y 2＝x 上，点Q 在圆(x －3)2＋y 2＝1上，则PQ 的最小值是________．答案112－1 解析设圆(x －3)2＋y 2＝1的圆心为O ′(3,0)，要求PQ 的最小值，只需求PO ′的最小值．设点P 坐标为(y 20，y 0)，则PO ′＝y 20－32＋y 20＝y40－5y 20＋9＝y 20－522＋114，∴PO ′的最小值为112，从而PQ 的最小值为112－1.二、解答题12．已知抛物线的顶点在原点，它的准线过x2a2－y2b2＝1的一个焦点，而且与x轴垂直．又抛物线与此双曲线交于点32，6，求抛物线和双曲线的方程．解因为交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x轴，所以可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，将点32，6代入方程得p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x.准线方程为x＝－1，由此可知双曲线方程中c＝1，焦点为(－1,0)，(1,0)，点32，6到两焦点距离之差2a＝1，所以双曲线的标准方程为x214－y234＝1.13．已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且AF＋BF＝8，线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6,0)，求抛物线的方程．解设抛物线的方程为y2＝2px(p>0), 则其准线方程为x＝－p2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵AF＋BF＝8，∴x1＋p2＋x2＋p2＝8，即x1＋x2＝8－p.∵Q(6,0)在线段AB的中垂线上，∴QA＝QB，即6－x12＋－y12＝6－x22＋－y22，又y21＝2px1，y22＝2px2，∴(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0.∵AB与x轴不垂直，∴x1≠x2.故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，即p＝4.从而抛物线方程为y2＝8x.三、探究与拓展14．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，AF＋BF＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为________．答案5 4解析设A(x A，y A)，B(x B，y B)，∵AF＋BF＝x A＋x B＋12＝3，∴x A＋x B＝5 2 .∴线段AB的中点到y轴的距离为x A＋x B2＝54.15．设点P是抛物线y2＝4x上的一个动点．(1)求点P到A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，求PB＋PF的最小值．解(1)如图，抛物线的焦点为F(1,0)，准线为x＝－1，由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．于是，问题转化为在曲线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．显然，连结AF交曲线于点P，故最小值为22＋12＝ 5.(2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，此时，P1Q＝P1F，那么PB＋PF≥P1B＋P1Q＝BQ＝4，即最小值为 4.。
2018_2019学年高中数学复习课(二)圆锥曲线与方程讲义(含解析)新人教A版选修1_1
复习课(二) 圆锥曲线与方程圆锥曲线的定义及标准方程在高考中主要以选择题或填空题的形式进行考查，标准方程在解答题中也会涉及，是高考解析几何的必考内容．[考点精要]椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程[典例] (1)椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( )A ．2B ．4C ．6D.32(2)(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1(3)双曲线16x 2－9y 2＝144的左、右两焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝64，则∠F 1PF 2＝________.[解析] (1)设椭圆的另一个焦点为F 2，因为椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，即|MF 1|＝2，又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10，所以|MF 2|＝8.因为N 是MF 1的中点，O 是F 1F 2的中点，所以|ON |＝12|MF 2|＝4.(2)根据双曲线C 的渐近线方程为y ＝52x ， 可知b a ＝52.① 又椭圆x 212＋y 23＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，所以a 2＋b 2＝9.②根据①②可知a 2＝4，b 2＝5， 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.(3)双曲线方程16x 2－9y 2＝144 化简为x 29－y 216＝1，即a 2＝9，b 2＝16，所以c 2＝25，解得a ＝3，c ＝5，所以F 1(－5,0)，F 2(5,0)． 设 |PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，由双曲线的定义知|m －n |＝2a ＝6， 又已知m ·n ＝64， 在△PF 1F 2中，由余弦定理知 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝m 2＋n 2－c 22m ·n＝m －n2＋2m ·n －4c22m ·n＝36＋2×64－4×252×64＝12.所以∠F 1PF 2＝60°.[答案] (1)B (2)B (3)60° [类题通法]求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤． (1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)．(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小．[题组训练]1．若中心在坐标原点的椭圆的长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是(215，0)，则椭圆的标准方程是( )A.x 230＋y 220＝1B.x 240＋y 220＝1C.x 275＋y 215＝1 D.x 280＋y 220＝1解析：选D 不妨设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，依题意得，2a 2b ＝ab＝2⇒a ＝2b ，∵c ＝215，c 2＝a 2－b 2，∴(215)2＝(2b )2－b 2⇒b 2＝20，得a 2＝4b 2＝80，故所求椭圆的标准方程为x 280＋y 220＝1.2．已知P 为抛物线y ＝12x 2上的动点，点P 在x 轴上的射影为Q ，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，172，则|PA |＋|PQ |的最小值是( )A.152 B.172C.192D ．10解析：选C 抛物线的准线方程为y ＝－12.设抛物线的焦点为F ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.根据抛物线的定义可得|PQ |＝|PF |－12，所以|PA |＋|PQ |＝|PF |＋|PA |－12.所以|PA |＋|PQ |的最小值为|FA |－12＝192.圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的核心内容，高考非常重视对圆锥曲线几何性质的考查，试卷中一般以选择题或者填空题的形式考查圆锥曲线的几何性质(主要是椭圆和双曲线的离心率)，在解答题中与圆锥曲线方程的其他知识一起进行综合考查．[考点精要]椭圆、双曲线、抛物线的几何性质[典例] (1)已知双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则双曲线的离心率为( )A.53B.54C.53或54D. 3(2)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F .设线段AB 的中点为M ，若2MA ―→·MF ―→＋BF ―→2≥0，则该椭圆的离心率的取值范围为( )A ．(0，3－1]B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0，2－1][解析] (1)由双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，得b a ＝34或a b ＝34，又离心率e ＝1＋b 2a2， 所以e ＝53或e ＝54.(2)因为A (－a,0)，B (0，b )，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，b2，F (c,0)， 所以MA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－b 2，MF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋a2，－b 2，BF ―→＝(c ，－b )，又2MA ―→·MF ―→＋BF ―→2≥0，所以2a 2－2ac －c 2≥0，即e 2＋2e －2≤0， 结合0＜e ＜1得0＜e ≤3－1. [答案] (1)C (2)A [类题通法] 求解离心率三种方法[题组训练]1．如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在x 轴上，且焦距为3的椭圆，则椭圆的短轴长为________．解析：方程x 2＋ky 2＝2可化为x 22＋y 22k＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋2k＝2⇒2k ＝54，∴短轴长为2×52＝ 5.答案： 52．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点且垂直于双曲线实轴的直线交双曲线于A ，B 两点．若以AB 为直径的圆恰过双曲线的一个顶点，则双曲线的离心率是________．解析：设双曲线的左顶点为P ，A 位于第一象限，B 位于第四象限，把x ＝c 代入双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1，得到|AF |＝y A ＝b 2a ，又|PF |＝c ＋a ，依题意知|AF |＝|PF |，∴b 2a＝c ＋a ⇒b2＝ac ＋a 2，又b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2＝ac ＋a 2，两边同除以a 2得到⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－ca－2＝0⇒e 2－e －2＝0，又∵e >1，∴e ＝2.答案：23．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F .若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且|FA |＝c ，则双曲线的渐近线方程为________．解析：c 2＝a 2＋b 2，①由双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c 知，双曲线过点⎝⎛⎭⎪⎫c ，－p 2，即c 2a 2－p 24b 2＝1.② 由|FA |＝c ，得c 2＝a 2＋p 24，③由①③得p 2＝4b 2.④将④代入②，得c 2a 2＝2.∴a 2＋b 2a 2＝2，即ba＝1，故双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，即x ±y ＝0. 答案：x ±y ＝0高考试题中解析几何的解答题一般不会单纯考查圆锥曲线，试题中一般都有直线问题参与，这使得解析几何试题具有广泛的命题背景，当直线与圆锥曲线问题综合时就产生了如：直线与圆锥曲线的位置关系(相交、相切、相离)，直线与曲线交汇产生的一些几何量的范围和最值，动直线(或曲线)过定点等一系列热点问题，这些热点问题都是高考所重视的．[考点精要]直线与圆锥曲线有关的问题(1)直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有：Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交于两点；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切于一点；Δ<0⇔直线与圆锥曲线无交点．(2)直线l 截圆锥曲线所得的弦长|AB |＝＋k2x 1－x 22或⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2y 1－y 22，其中k 是直线l 的斜率，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是直线与圆锥曲线的两个交点A ，B 的坐标，且(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，x 1＋x 2，x 1x 2可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出．[典例] 已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆与直线y ＝kx ＋m (k ≠0)相交于不同的两点M ，N ，当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．[解] (1)依题意可设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1(a >1)，则右焦点F (a 2－1，0)， 由题设，知|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3，故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设点P 为弦MN 的中点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0， 由于直线与椭圆有两个交点， 所以Δ>0，即m 2<3k 2＋1， ① 所以x P ＝x M ＋x N2＝－3mk3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1，所以k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk，又|AM |＝|AN |，所以AP ⊥MN ，则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k，即2m ＝3k 2＋1， ②把②代入①得2m >m 2， 解得0<m <2， 由②得k 2＝2m －13>0，解得m >12，故所求m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2. [类题通法]有关直线与圆锥曲线综合问题的求解方法(1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，化简后得到关于x (或y )的一元二次方程，则直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：①相交：Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ>0⇒直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有Δ>0，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故Δ>0是直线与双曲线相交的充分不必要条件；Δ>0⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有Δ>0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故Δ>0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，而不是必要条件．②相切：Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ＝0⇔直线与双曲线相切；Δ＝0⇔直线与抛物线相切．③相离：Δ<0⇔直线与椭圆相离；Δ<0⇔直线与双曲线相离；Δ<0⇔直线与抛物线相离． (2)直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题．解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等．[题组训练]1．直线l 与抛物线C ：y 2＝2x 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若直线OA ，OB 的斜率k 1，k 2满足k 1k 2＝23，则直线l 过定点( )A ．(－3,0)B ．(0，－3)C ．(3,0)D ．(0,3)解析：选A 设直线l 的方程为x ＝my ＋b ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为k 1k 2＝23，所以y 1x 1·y 2x 2＝23.又y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，所以y 1y 2＝6.将直线l ：x ＝my ＋b 代入抛物线C ：y 2＝2x 得y 2－2my －2b ＝0，所以y 1y 2＝－2b ＝6，所以b ＝－3，即直线l ：x ＝my －3，所以直线l 过定点(－3,0)．2．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值． 解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－1， 由此可得b 2x 2＋x 1a y 2＋y 1＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3. 因此a 2＝6，b 2＝3. 所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0， x 26＋y 23＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝433，y ＝－33或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝ 3.因此|AB |＝463.由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－533<n <3，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y23＝1得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0.于是x 3,4＝－2n ±－n 23.因为直线CD 的斜率为1，所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝439－n 2.由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝869 9－n 2.当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863.所以四边形ACBD 面积的最大值为863.1．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是( )A ．2 B. 3 C. 2D.32解析：选C 由题可知y ＝b a x 与y ＝－b a x 互相垂直，可得－b a ·b a＝－1，则a ＝b .由离心率的计算公式，可得e 2＝c 2a ＝a 2＋b 2a＝2，e ＝ 2.2．已知F 是抛物线y ＝14x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是( )A ．x 2＝2y －1 B ．x 2＝2y －116C ．x 2＝y －12D ．x 2＝2y －2解析：选A 焦点为F (0,1)，设P (p ，q )，则p 2＝4q .设Q (x ，y )是线段PF 的中点，则x ＝p 2，y ＝q ＋12，即p ＝2x ，q ＝2y －1，代入p 2＝4q 得，(2x )2＝4(2y －1)， 即x 2＝2y －1.3．已知直线y ＝kx ＋1与双曲线x 2－y 24＝1交于A ，B 两点，且|AB |＝82，则实数k 的值为( )A ．±7B ．±3或±413C ．± 3D ．±413解析：选B 由直线与双曲线交于A ，B 两点，得k ≠±2.将y ＝kx ＋1代入x 2－y 24＝1得(4－k 2)x 2－2kx －5＝0，则Δ＝4k 2＋4(4－k 2)×5＞0，k 2＜5.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 4－k 2，x 1x 2＝－54－k2，所以|AB |＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 4－k 22＋204－k 2＝82，解得k ＝±3或±413. 4.我们把由半椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(x ≥0)与半椭圆y 2b 2＋x 2c2＝1(x <0)合成的曲线称作“果圆”(其中a 2＝b 2＋c 2，a >b >c >0)，如图所示，其中点F 0，F 1，F 2是相应椭圆的焦点．若△F 0F 1F 2是边长为1的等边三角形，则a ，b 的值分别为( )A.72，1 B.3，1 C ．5,3D ．5,4解析：选 A ∵|OF 2|＝b 2－c 2＝12，|OF 0|＝c ＝3|OF 2|＝32，∴b ＝1，∴a 2＝b 2＋c2＝1＋34＝74，得a ＝72.5.如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．其四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62解析：选D 焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|＋|AF 2|＝4， |AF 1|2＋|AF 2|2＝12，所以可解得|AF 2|－|AF 1|＝22， 故a ＝2，所以双曲线的离心率e ＝32＝62，选D. 6．若过点A (0，h )(h ＞1)的两条直线l 1和l 2与椭圆E ：x 22＋y 2＝1都只有一个交点，且l 1⊥l 2，则h 的值为( )A. 3B. 5 C ．2D. 6解析：选A 由题意知l 1，l 2的斜率都存在且不为0. 设l 1：y ＝kx ＋h ，则由l 1⊥l 2，知l 2：y ＝－1kx ＋h ，将l 1：y ＝kx ＋h 代入x 22＋y 2＝1得x 22＋(kx ＋h )2＝1，即(1＋2k 2)x 2＋4khx ＋2h 2－2＝0， 由l 1与椭圆E 只有一个交点知Δ＝16k 2h 2－4(1＋2k 2)(2h 2－2)＝0，即1＋2k 2＝h 2. 同理，由l 2与椭圆E 只有一个交点知，1＋2k2＝h 2，得1k2＝k 2，即k 2＝1，从而h 2＝1＋2k 2＝3，即h ＝ 3.7．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长为4，离心率为5，则双曲线的方程为________．解析：因为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长为4，所以a ＝2，由离心率为5，可得c a＝5，c ＝25， 所以b ＝c 2－a 2＝20－4＝4， 则双曲线的方程为x 24－y 216＝1.答案：x 24－y 216＝18．已知A (0，－4)，B (3,2)，抛物线y ＝x 2上的点到直线AB 的最短距离为________． 解析：直线AB 为2x －y －4＝0，设抛物线y ＝x 2上的点P (t ，t 2)，d ＝|2t －t 2－4|5＝t 2－2t ＋45＝t －2＋35≥35＝355.答案：3559．(2017·全国卷Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.解析：法一：依题意，抛物线C ：y 2＝8x 的焦点F (2,0)，因为M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，M 为FN 的中点，设M (a ，b )(b >0)，所以a ＝1，b ＝22，所以N (0,42)，|FN |＝4＋32＝6. 法二：如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF .由题意知，F (2,0)，|FO |＝|AO |＝2. ∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ， ∴|MP |＝12|FO |＝1.又|BP |＝|AO |＝2， ∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3， 故|FN |＝2|MF |＝6. 答案：610．如图，已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为32，若它的一个顶点恰好是抛物线x 2＝42y 的焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线x ＝2与椭圆C 交于P ，Q 两点，点P 位于第一象限，A ，B 是椭圆C 上位于直线x ＝2两侧的动点．若直线AB 的斜率为12，求四边形APBQ 面积的最大值．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．∵抛物线x 2＝42y 的焦点是(0，2)， ∴b ＝ 2. 由c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，得a ＝22， ∴椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线AB 的方程为y ＝12x ＋t ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 22＝1，y ＝12x ＋t ，得x 2＋2tx ＋2t 2－4＝0，则x 1＋x 2＝－2t ，x 1x 2＝2t 2－4.在x 28＋y 22＝1中，令x ＝2，得P (2,1)，Q (2，－1)． ∴四边形APBQ 的面积S ＝S △APQ ＋S △BPQ＝12|PQ |·|x 2－x 1|＝12×2×|x 2－x 1| ＝|x 2－x 1| ＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝4t 2－t 2－＝－4t 2＋16. ∴当t ＝0时，S max ＝4.∴四边形APBQ 面积的最大值为4.11．已知经过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p ＞0)相交于B ，C . (1)当直线l 的斜率是12时，AC ―→＝14AB ―→，求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的垂直平分线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围． 解：(1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，由已知得， 直线l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4，得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0，则y 1＋y 2＝8＋p 2，y 1y 2＝4，又因为AC ―→＝14AB ―→，所以y 2＝14y 1或y 1＝4y 2.由p ＞0得，y 1＝4，y 2＝1，p ＝2， 所以抛物线G 的方程为x 2＝4y . (2)由题意知l 的斜率存在．设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝k x ＋，得x 2－4kx －16k ＝0. ①所以x 0＝x 1＋x 22＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k .所以BC 的垂直平分线的方程为y －2k 2－4k ＝－1k(x －2k )，所以BC 的垂直平分线在y 轴上的截距为b ＝2k 2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2， 对于方程①由Δ＝16k 2＋64k ＞0得k ＞0或k ＜－4. 所以b ∈(2，＋∞)．所以b 的取值范围为(2，＋∞)．。
数学人教B选修2-1讲义：第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 第3课时 Word版含答案
第3课时 直线与椭圆的位置关系(二)题型一 弦长问题例1 已知动点P 与平面上两定点A (－2，0)，B (2，0)连线的斜率的积为定值－12.(1)试求动点P 的轨迹方程C ；(2)设直线l ：y ＝kx ＋1与曲线C 交于M ，N 两点，当|MN |＝423时，求直线l 的方程. 考点 题点解 (1)设动点P 的坐标是(x ，y )， 由题意得k P A ·k PB ＝－12.∴yx ＋2·yx －2＝－12，化简整理得x 22＋y 2＝1.故P 点的轨迹方程C 是x 22＋y 2＝1(x ≠±2)．(2)设直线l 与曲线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋2y 2＝2，得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0.Δ＝16k 2－4(1＋2k 2)＝8k 2－4>0， ∴x 1＋x 2＝－4k1＋2k 2，x 1·x 2＝0.|MN |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2＝423，整理得k 4＋k 2－2＝0，解得k 2＝1或k 2＝－2(舍)． ∴k ＝±1，经检验符合题意． ∴直线l 的方程是y ＝±x ＋1， 即x －y ＋1＝0或x ＋y －1＝0.反思感悟 求弦长的两种方法(1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长．(2)联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：|P 1P 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2⎝⎛⎭⎫或|P 1P 2|)＝1＋1k2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2，其中x 1，x 2(y 1，y 2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长．跟踪训练1 已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点F ，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长． 考点 题点解 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 由椭圆方程知a 2＝4，b 2＝1，∴c ＝a 2－b 2＝3，∴F (3，0)，∴直线l 的方程为y ＝x －3，将其代入椭圆方程，并化简、整理得5x 2－83x ＋8＝0， ∴x 1＋x 2＝835，x 1x 2＝85，∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·(83)2－4×5×85＝85.题型二 中点弦问题例2 已知椭圆x 216＋y 24＝1的弦AB 的中点M 的坐标为(2,1)，求直线AB 的方程．考点 题点解 方法一 根与系数的关系、中点坐标公式法 由椭圆的对称性，知直线AB 的斜率存在， 设直线AB 的方程为y －1＝k (x －2)．将其代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两根， 于是x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1.又M 为线段AB 的中点，∴x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1＝2，解得k ＝－12.故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 方法二 点差法设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2. ∵M (2,1)为线段AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2. 又A ，B 两点在椭圆上，则x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16， 两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0，于是(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2)＝－44×2＝－12，即k AB ＝－12.故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 方法三 对称点法(或共线法)设所求直线与椭圆的一个交点为A (x ，y )， 由于点M (2,1)为线段AB 的中点， 则另一个交点为B (4－x,2－y )． ∵A ，B 两点都在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝16， ①(4－x )2＋4(2－y )2＝16. ②①－②，得x ＋2y －4＝0.即点A 的坐标满足这个方程，根据对称性，点B 的坐标也满足这个方程，而过A ，B 两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 反思感悟 解决椭圆中点弦问题的两种方法①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．②点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的两个不同的点，M (x 0，y 0)是线段AB 的中点，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y22b 2＝1， ②由①－②，得1a 2(x 21－x 22)＋1b 2(y 21－y 22)＝0，变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0，即k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.跟踪训练2 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 考点 题点 答案 D解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y22b 2＝1. ②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＝－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2.∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2). ∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，∴k AB ＝b 2a 2.而k AB ＝0－(－1)3－1＝12，∴b 2a 2＝12，∴a 2＝2b 2，∴c 2＝a 2－b 2＝b 2＝9，∴b ＝c ＝3，a ＝32， ∴E 的方程为x 218＋y 29＝1.题型三 与椭圆有关的最值或范围问题 例3 已知椭圆C ：4x 2＋y 2＝1.(1)P (m ，n )是椭圆C 上一点，求m 2＋n 2的取值范围；(2)设直线y ＝x ＋m 与椭圆C 相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，求△AOB 面积的最大值及△AOB 面积最大时的直线方程． 考点 直线与椭圆的位置关系题点 椭圆中的定点、定值、取值范围问题解 (1)m 2＋n 2表示原点O 到椭圆C 上点P 的距离的平方， 则m 2＋n 2∈⎣⎡⎦⎤14，1.(2)可求得O 到AB 的距离d ＝|m |2， 将y ＝x ＋m 代入4x 2＋y 2＝1， 消去y 得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0. 所以x 1＋x 2＝－2m5，x 1x 2＝m 2－15，|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋12·⎝⎛⎭⎫－2m 52－4·m 2－15＝2510－8m 2，Δ＝(2m )2－4×5(m 2－1)＝20－16m 2>0，－52<m <52，所以S △AOB ＝12|AB |·d＝12×2510－8m 2·|m |2＝25⎝⎛⎭⎫54－m 2m 2 ≤25·⎝⎛⎭⎫54－m 2＋m 22＝14.当且仅当54－m 2＝m 2时，上式取“＝”．此时m ＝±104∈⎝⎛⎭⎫－52，52. 所以△AOB 面积的最大值为14，面积最大时直线方程为x －y ±104＝0. 反思感悟 求最值问题的基本策略(1)求解形如|P A |＋|PB |的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时|P A |＋|PB |取得最值．(2)求解形如|P A |的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围．(3)求解形如ax ＋by 的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决． (4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．跟踪训练3 已知点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左、右端点，点P 在椭圆上，直线AP 的斜率为33，设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值． 考点 题点解 直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0. 设点M 的坐标是(m,0)，则M 到直线AP 的距离是|m ＋6|2，于是|m ＋6|2＝|m －6|，又－6≤m ≤6，解得m ＝2，所以点M (2,0)． 设椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离为d ，有 d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49⎝⎛⎭⎫x －922＋15， 由于－6≤x ≤6.所以当x ＝92时，d 取最小值15.运用“设而不求”法研究直线和椭圆位置关系问题典例 已知椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，过点A (－a,0)，B (0，b )的直线倾斜角为π6，原点到该直线的距离为32. (1)求椭圆的方程；(2)斜率大于零的直线过D (－1,0)与椭圆分别交于点E ，F ，若ED →＝2DF →，求直线EF 的方程； (3)对于D (－1,0)，是否存在实数k ，使得直线y ＝kx ＋2分别交椭圆于点P ，Q ，且|DP |＝|DQ |，若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由． 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 求椭圆中的直线方程 解 (1)由b a ＝33，12ab ＝12×32×a 2＋b 2，得a ＝3，b ＝1，所以椭圆的方程是x 23＋y 2＝1.(2)设EF ：x ＝my －1(m >0)代入x 23＋y 2＝1，得(m 2＋3)y 2－2my －2＝0. 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．由ED →＝2DF →，得y 1＝－2y 2， 由y 1＋y 2＝－y 2＝2mm 2＋3，y 1y 2＝－2y 22＝－2m 2＋3得⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m m 2＋32＝1m 2＋3， ∴m ＝1或m ＝－1(舍去)，直线EF 的方程为x ＝y －1，即x －y ＋1＝0. (3)记P (x 1′，y 1′)，Q (x 2′，y 2′)． 将y ＝kx ＋2代入x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋12kx ＋9＝0，(*) x 1′，x 2′是此方程的两个相异实根． 设PQ 的中点为M ，则x M ＝x 1′＋x 2′2＝－6k3k 2＋1， y M ＝kx M ＋2＝23k 2＋1，由|DP |＝|DQ |，得DM ⊥PQ ，∴k DM ＝y Mx M ＋1＝23k 2＋1－6k 3k 2＋1＋1＝－1k ，∴3k 2－4k ＋1＝0，得k ＝1或k ＝13.但k ＝1，k ＝13均使方程(*)没有两相异实根．故这样的k 不存在．[素养评析] 本例(2)(3)均采用了“设而不求”的数学运算策略，特别(3)利用定点D 与弦端点的几何关系，由设而不求的思想方法，转换成坐标关系，构造出关于k 的方程，减小了数学运算的难度，提高了解题效率.1．若直线l ：2x ＋by ＋3＝0过椭圆C ：10x 2＋y 2＝10的一个焦点，则b 等于( ) A ．1 B ．±1 C ．－1 D ．±2考点 题点 答案 B解析 因为椭圆x 2＋y 210＝1的焦点F 1(0，－3)，F 2(0,3)，所以b ＝1或－1.2．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得的弦的中点坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫23，53B.⎝⎛⎭⎫43，73 C.⎝⎛⎭⎫－23，13 D.⎝⎛⎭⎫－132，－172 考点 题点 答案 C解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 24＋y 22＝1，消去y ，得3x 2＋4x －2＝0，设直线与椭圆交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－43，故AB 的中点横坐标x 0＝x 1＋x 22＝－23.纵坐标y 0＝x 0＋1＝－23＋1＝13.3．已知椭圆的方程是x 2＋2y 2－4＝0，则以M (1,1)为中点的弦所在直线的方程是( ) A ．x ＋2y －3＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x －2y ＋3＝0D ．2x －y ＋3＝0考点 直线与椭圆的位置关系 题点 求椭圆中的直线方程 答案 A解析 由题意易知所求直线的斜率存在，设过点M (1,1)的直线方程为y ＝k (x －1)＋1，即y ＝kx ＋1－k .由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2－4＝0，y ＝kx ＋1－k ，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋(4k －4k 2)x ＋2k 2－4k －2＝0， 所以x 1＋x 22＝12×4k 2－4k 1＋2k 2＝1，解得k ＝－12，所以所求直线方程为y ＝－12x ＋32，即x ＋2y －3＝0.4．过椭圆x 216＋y 29＝1的右焦点F 作与x 轴垂直的直线与椭圆交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆的面积是________． 考点 题点 答案81π16解析 由题意可知，在x 216＋y 29＝1中，c ＝16－9＝7，故F (7，0)． 当x ＝7时，y ＝±31－716＝±94， 所以|AB |＝92，所以以AB 为直径的圆的面积是π×⎝⎛⎭⎫942＝81π16.5．求过点(3,0)且斜率为45的直线被椭圆x 225＋y 216＝1所截得的线段的长度．考点 题点解 过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程代入椭圆方程得x 225＋(x －3)225＝1，即x 2－3x －8＝0. ∴x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－8. ∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋1625·9＋32＝415.解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为：(1)设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)；(2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于x 或y 的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为x 1＋x 2，x 1·x 2或y 1＋y 2，y 1·y 2，进而求解．一、选择题1．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( ) A ．2 B.455 C.4105 D.8105答案 C解析 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t ，消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0， 则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5. ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·⎝⎛⎭⎫－85t 2－4×4(t 2－1)5＝425·5－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝4105. 2．已知F 是椭圆x 225＋y 29＝1的一个焦点，AB 为过椭圆中心的一条弦，则△ABF 面积的最大值为( )A ．6B ．15C ．20D ．12考点题点答案 D解析 S ＝12|OF |·|y 1－y 2|≤12|OF |·2b ＝12. 3．已知F 1为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，直线l ：y ＝x －1与椭圆C 交于A ，B 两点，那么|F 1A |＋|F 1B |的值为( ) A.423 B.833 C.823 D.1623考点题点答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝2，y ＝x －1，联立得3x 2－4x ＝0， 可知A (0，－1)，B ⎝⎛⎭⎫43，13，又F 1(－1,0)，∴|F 1A |＋|F 1B |＝2＋523＝823. 4．椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22，则m n 的值是( ) A.22 B.233 C.922 D.2327考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆相交时弦中点问题答案 A解析 联立方程组可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－x ，mx 2＋ny 2＝1， 即(m ＋n )x 2－2nx ＋n －1＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝n m ＋n ，y 0＝1－x 0＝1－n m ＋n ＝m m ＋n， 所以k OP ＝y 0x 0＝m n ＝22. 5．已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若椭圆的离心率为22，焦距为2，则线段AB 的长是( ) A.223 B ．2 C. 2 D.423考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆相交求弦长与三角形面积答案 D 解析 由题意得椭圆方程为x 22＋y 2＝1， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－x ＋1，化简得3x 2－4x ＝0， 得x ＝0或x ＝43，代入直线方程得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1或⎩⎨⎧ x ＝43，y ＝－13，不妨设A (0,1)，B ⎝⎛⎭⎫43，－13， 所以|AB |＝⎝⎛⎭⎫43－02＋⎝⎛⎭⎫－13－12＝423. 6．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点．设O 为坐标原点，则OA →·OB →等于( )A ．－3B ．－13C ．－13或－3 D ．±13考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆相交的其他问题答案 B解析 由x 22＋y 2＝1，得a 2＝2，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝1，焦点为(±1,0)． 不妨设直线l 过右焦点，倾斜角为45°，直线l 的方程为y ＝x －1.代入x 22＋y 2＝1得x 2＋2(x －1)2－2＝0， 即3x 2－4x ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1·x 2＝0，x 1＋x 2＝43，y 1y 2＝(x 1－1)(x 2－1)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝1－43＝－13， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0－13＝－13. 7．设斜率为22的直线l 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为( ) A.33 B.12 C.22 D.13考点题点答案 C解析 两个交点横坐标是－c ，c ，所以两个交点分别为⎝⎛⎭⎫－c ，－22c ，⎝⎛⎭⎫c ，22c ， 代入椭圆方程得c 2a 2＋c 22b2＝1， 两边乘以2a 2b 2，则c 2(2b 2＋a 2)＝2a 2b 2，∵b 2＝a 2－c 2，c 2(3a 2－2c 2)＝2a 4－2a 2c 2，2a 4－5a 2c 2＋2c 4＝0，(2a 2－c 2)(a 2－2c 2)＝0，c 2a 2＝2或12， ∵0<e <1，∴e ＝c a ＝22. 二、填空题8．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆相交求弦长与三角形面积答案 53解析 由已知可得直线方程为y ＝2x －2，|OF |＝1，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧ x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得A (0，－2)，B ⎝⎛⎭⎫53，43，所以S △AOB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝53. 9．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是________．答案 3解析 由题意知a ＝2，所以|BF 2|＋|AF 2|＋|AB |＝4a ＝8，因为|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，所以AB 的最小值为3，当且仅当AB ⊥x 轴时，取得最小值，此时A ⎝⎛⎭⎫－c ，32，B ⎝⎛⎭⎫－c ，－32，代入椭圆方程得c 24＋94b 2＝1，又c 2＝a 2－b 2＝4－b 2，所以4－b 24＋94b 2＝1，即1－b 24＋94b 2＝1，所以b 24＝94b 2，解得b 2＝3，所以b ＝ 3. 10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点是M (－4,1)，则椭圆的离心率是________．考点题点答案 32解析 设直线x －y ＋5＝0与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝2，直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1.由⎩⎨⎧ x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2×x 1＋x 2y 1＋y 2＝1，∴b 2a 2＝14， 故椭圆的离心率e ＝c a ＝1－b 2a 2＝32. 11．已知P (1,1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为________________．答案 x ＋2y －3＝0解析 方法一 易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y －1＝k (x －1)，弦所在的直线与椭圆相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －1)，x 24＋y 22＝1，消去y 得，(2k 2＋1)x 2－4k (k －1)x ＋2(k 2－2k －1)＝0，∴x 1＋x 2＝4k (k －1)2k 2＋1，又∵x 1＋x 2＝2， ∴4k (k －1)2k 2＋1＝2，解得k ＝－12. 故此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)， 即x ＋2y －3＝0.方法二 易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k ，弦所在的直线与椭圆相交于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 212＝1，①x 224＋y 222＝1，② ①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2＝0， ∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴x 1－x 22＋y 1－y 2＝0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12. ∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0. 三、解答题12．已知椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，经过点F 1的一条直线与椭圆交于A ，B 两点．(1)求△ABF 2的周长；(2)若直线AB 的倾斜角为π4，求弦长|AB |. 考点题点解 (1)椭圆x 24＋y 23＝1，a ＝2，b ＝3，c ＝1， 由椭圆的定义，得|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝4，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝4，又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |，∴△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＝8.(2)由(1)可得F 1(－1,0)，∵AB 的倾斜角为π4，则AB 的斜率为1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 故直线AB 的方程为y ＝x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 24＋y 23＝1，整理得7y 2－6y －9＝0， 由根与系数的关系得y 1＋y 2＝67，y 1y 2＝－97， 则由弦长公式|AB |＝1＋1k 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝1＋1·⎝⎛⎭⎫672－4×⎝⎛⎭⎫－97＝247. 13．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是线段AB 的中点，O 为坐标原点，若|AB |＝22，直线OC 的斜率为22，求椭圆的方程． 考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆相交时弦中点问题解 易知a >0，b >0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由题意得ax 21＋by 21＝1，①ax 22＋by 22＝1，② ②－①，得a (x 1＋x 2)(x 2－x 1)＋b (y 2＋y 1)(y 2－y 1)＝0.∵y 2－y 1x 2－x 1＝k AB ＝－1，y 2＋y 1x 2＋x 1＝k OC ＝22， ∴b ＝2a .又|AB |＝1＋k 2AB |x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22，∴|x 2－x 1|＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y ＝1，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0， ∴x 1＋x 2＝2ba ＋b ，x 1x 2＝b －1a ＋b ， ∴|x 2－x 1|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b ＝4， 将b ＝2a 代入上式，得a ＝13，b ＝23， ∴所求椭圆的方程为x 23＋23y 2＝1.14．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若点A 的坐标为(3,0)，|AM →|＝1，且PM →·AM →＝0，则|PM →|的最小值是________．考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆相交的其他问题答案 3解析 由|AM →|＝1，A (3,0)，知点M 在以A (3,0)为圆心，1为半径的圆上运动，∵PM →·AM →＝0且P 在椭圆上运动，∴PM ⊥AM ，即PM 为⊙A 的切线，连接P A (如图)，则|PM →|＝|P A →|2－|AM →|2 ＝|P A →|2－1 ，∴当|P A →|min ＝a －c ＝5－3＝2时，|PM →|min ＝ 3.15．已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q ，延长QP 到点M ，使QP →＝PM →.(1)求点M 的轨迹E 的方程；(2)过点C (m,0)作圆O 的切线l ，交(1)中的曲线E 于A ，B 两点，求△AOB 面积的最大值．解 (1)设M (x ，y )，∵QP →＝PM →，∴P 为QM 的中点，又有PQ ⊥y 轴，∴P ⎝⎛⎭⎫x 2，y ，∵点P 是圆O ：x 2＋y 2＝1上的点，∴⎝⎛⎭⎫x 22＋y 2＝1，即点M 的轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)由题意可知直线l 与y 轴不垂直，故可设l ：x ＝ty ＋m ，t ∈R ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵l 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切，∴|m |t 2＋1＝1，即m 2＝t 2＋1，① 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，x ＝ty ＋m 消去x ，并整理得(t 2＋4)y 2＋2mty ＋m 2－4＝0， 其中Δ＝4m 2t 2－4(t 2＋4)(m 2－4)＝48>0，∴y 1＋y 2＝－2mtt 2＋4，y 1y 2＝m 2－4t 2＋4.② ∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝t 2＋1(y 1＋y 2)2－4y 1y 2，将①②代入上式得|AB |＝t 2＋14m 2t 2(t 2＋4)2－4(m 2－4)t 2＋4＝43|m |m 2＋3，|m |≥1， ∴S △AOB ＝12|AB |·1＝12·43|m |m 2＋3＝23|m |＋3|m |≤2323＝1， 当且仅当|m |＝3|m |，即m ＝±3时，等号成立， ∴△AOB 面积的最大值为1.。
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复习课(二) 圆锥曲线与方程圆锥曲线的定义及标准方程会涉及，是高考解析几何的必考内容．椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程椭圆双曲线抛物线定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|且大于零)的点的轨迹平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹标准 方程x 2a 2＋y 2b 2＝1或 y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0)x 2a 2－y 2b 2＝1或 y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0) y 2＝2px 或 y 2＝－2px 或 x 2＝2py 或 x 2＝－2py (p >0)关系 式a 2－b 2＝c 2a 2＋b 2＝c 2[典例] (1)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A ．x 23＋y 24＝1B ．x 24＋y 23＝1C ．x 24＋y 22＝1D ．x 24＋y 23＝1(2)已知抛物线y 2＝8x的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________________．[解析] (1)右焦点为F (1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在x 轴上；c ＝1．又离心率为c a ＝12，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，故选D ． (2)由题意可知抛物线的准线方程为x ＝－2，∴双曲线的半焦距c ＝2．又双曲线的离心率为2，∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1． [答案] (1)D (2)x 2－y 23＝1 [类题通法]求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤． (1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)．(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小． 1．(天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A ．x 221－y 228＝1B ．x 228－y 221＝1C ．x 23－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1解析：选D 由双曲线的渐近线y ＝ba x 过点(2，3)，可得3＝ba×2．①由双曲线的焦点(－a 2＋b 2，0)在抛物线y 2＝47x 的准线x ＝－7上，可得 a 2＋b 2＝7．②由①②解得a ＝2，b ＝3， 所以双曲线的方程为x 24－y 23＝1．2．(全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．解析：由题意知a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2(0<m <4，r >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4＝r 2，?4－m ?2＝r 2，解得⎩⎨⎧m ＝32，r 2＝254.所以圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254． 答案：⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝2543．方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示曲线C ，给出以下命题：①曲线C 不可能为圆； ②若1<t <4，则曲线C 为椭圆； ③若曲线C 为双曲线，则t <1或t >4；④若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则1<t <52．其中真命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)．解析：显然当t ＝52时，曲线为x 2＋y 2＝32，方程表示一个圆；而当1<t <4，且t ≠52时，方程表示椭圆；当t <1或t >4时，方程表示双曲线；而当1<t <52时，4－t >t －1>0，方程表示焦点在x 轴上的椭圆，故③④为真命题．答案：③④圆锥曲线的几何性质试卷中一般以选择题或者填空题的形式考查圆锥曲线的几何性质(主要是椭圆和双曲线的离心率)，在解答题中与圆锥曲线方程的其他知识一起进行综合考查．椭圆、双曲线、抛物线的几何性质椭圆 双曲线 抛物线 标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0) x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0) y 2＝2px (p >0)关系式 a 2－b 2＝c 2 a 2＋b 2＝c 2图形 封闭图形无限延展，有渐近线无限延展，没有渐近线对称性 对称中心为原点 无对称中心 两条对称轴一条对称轴顶点 四个 两个 一个 离心率 0<e <1 e >1 e ＝1 准线方程x ＝－p 2决定形状的因素e 决定扁平程度e 决定开口大小2p 决定开口大小[典例] (1)(山东高考)已知双曲线E ：x a 2－y b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．(2)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为________． [解析] (1)如图，由题意知|AB |＝2b 2a ，|BC |＝2c ． 又2|AB |＝3|BC |，∴2×2b 2a ＝3×2c ，即2b 2＝3ac ，∴2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2并整理得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)．(2)设椭圆C 1和双曲线C 2的离心率分别为e 1和e 2，则e 1＝a 2－b 2a ，e 2＝a 2＋b 2a ．因为e 1·e 2＝32，所以a 4－b 4a 2＝32，即⎝⎛⎭⎫b a 4＝14，∴b a ＝22．故双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x ，即x ±2y ＝0．[答案] (1)2 (2)x ±2y ＝0 [类题通法]求解离心率三种方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是y 轴上都有关系式a 2－b 2＝c 2(a 2＋b 2＝c 2)以及e ＝ca ，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．1．如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．其四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A ． 2B ． 3C ．32D ．62解析：选D 焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|＋|AF 2|＝4， |AF 1|2＋|AF 2|2＝12，所以可解得|AF 2|－|AF 1|＝22， 故a ＝2，所以双曲线的离心率e ＝32＝62，选D ． 2．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．解析：不妨设A 在x 轴上方，由于AB 过F 2且垂直于x 轴，因此可得A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－b2a ，由OD ∥F 2B ，O 为F 1F 2的中点可得D ⎝⎛⎭⎫0，－b 22a ，所以AD ＝⎝⎛⎭⎫－c ，－3b 22a ，F B 1＝⎝⎛⎭⎫2c ，－b2a ，又AD ⊥F 1B ，所以AD ·F B 1＝－2c 2＋3b 42a 2＝0，即3b 4＝4a 2c 2，又b 2＝a 2－c 2，所以可得3(a 2－c 2)＝2ac ，两边同时除以a 2，得3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33或－3，又e ∈(0,1)，故椭圆C 的离心率为33．答案：333．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ．若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且|FA |＝c ，则双曲线的渐近线方程为________．解析：c 2＝a 2＋b 2，①由双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c 知， 双曲线过点⎝⎛⎭⎫c ，－p 2，即c 2a 2－p24b2＝1．② 由|FA |＝c ，得c 2＝a 2＋p 24，③ 由①③得p 2＝4b 2．④ 将④代入②，得c 2a 2＝2．∴a 2＋b 2a2＝2，即ba ＝1，故双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，即x ±y ＝0． 答案：x ±y ＝0直线与圆锥曲线的位置关系这使得解析几何试题具有广泛的命题背景，当直线与圆锥曲线问题综合时就产生了如：直线与圆锥曲线的位置关系(相交、相切、相离)，直线与曲线交汇产生的一些几何量的范围和最值，动直线(或曲线)过定点等一系列热点问题，这些热点问题都是高考所重视的．直线与圆锥曲线有关的问题(1)直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有：Δ>0?直线与圆锥曲线相交于两点；Δ＝0?直线与圆锥曲线相切于一点；Δ<0?直线与圆锥曲线无交点．(2)直线l 截圆锥曲线所得的弦长|AB |＝?1＋k 2??x 1－x 2?2或⎝⎛⎭⎫1＋1k 2?y 1－y 2?2，其中k 是直线l 的斜率，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是直线与圆锥曲线的两个交点A ，B 的坐标，且(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，x 1＋x 2，x 1x 2可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出．[典例] 已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3．(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆与直线y ＝kx ＋m (k ≠0)相交于不同的两点M ，N ，当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围． [解] (1)依题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2＝1(a >1)，则右焦点F (a 2－1，0)，由题设，知|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3，故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1．(2)设点P 为弦MN 的中点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0， 由于直线与椭圆有两个交点， 所以Δ>0，即m 2<3k 2＋1， ① 所以x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk3k 2＋1， 从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1， 所以k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk ，又|AM |＝|AN |，所以AP ⊥MN ，则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k ，即2m ＝3k 2＋1， ②把②代入①得2m >m 2， 解得0<m <2， 由②得k 2＝2m －13>0， 解得m >12，故所求m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，2． [类题通法]有关直线与圆锥曲线综合问题的求解方法(1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，化简后得到关于x (或y )的一元二次方程，则直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：①相交：Δ>0?直线与椭圆相交；Δ>0?直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有Δ>0，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故Δ>0是直线与双曲线相交的充分不必要条件；Δ>0?直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有Δ>0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故Δ>0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，而不是必要条件．②相切：Δ＝0?直线与椭圆相切；Δ＝0?直线与双曲线相切；Δ＝0?直线与抛物线相切． ③相离：Δ<0?直线与椭圆相离；Δ<0?直线与双曲线相离；Δ<0?直线与抛物线相离．(2)直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题．解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等．1．平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1,0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1,0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是________．解析：设机器人所在位置为A (x ，y )，依题意得点A 在以F (1,0)为焦点，x ＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y 2＝4x ．过点P (－1,0)，斜率为k 的直线为y ＝k (x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋k 得ky 2－4y ＋4k ＝0． 当k ＝0时，显然不符合题意；当k ≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k ·4k <0，化简得k 2－1>0，解得k >1或k <－1，因此k 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)2．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12．(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值． 解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－1， 由此可得b 2?x 2＋x 1?a 2?y 2＋y 1?＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1．因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2．又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3． 因此a 2＝6，b 2＝3． 所以M 的方程为x 26＋y 23＝1．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1解得⎩⎨⎧x ＝433，y ＝－33或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝ 3.因此|AB |＝463． 由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n ⎝⎛⎭⎫－533<n <3，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y 23＝1得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0． 于是x 3,4＝－2n ±2?9－n 2?3．因为直线CD 的斜率为1， 所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝439－n 2．由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝8699－n 2．当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863．所以四边形ACBD 面积的最大值为863．1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是( )A ．2B ． 3C ． 2D ．32解析：选C 由题可知y ＝b a x 与y ＝－b a x 互相垂直，可得－b a ·ba ＝－1，则a ＝b ．由离心率的计算公式，可得e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a2＝2，e ＝2． 2．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：选B 由题可知抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a 4，令x ＝0，可得点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，－a 2，所以S △OAF ＝12×|a |4×|a |2＝4，得a ＝±8，故抛物线的方程为y 2＝±8x ．3．已知一动圆P 与圆O ：x 2＋y 2＝1外切，而与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋8＝0内切，则动圆的圆心P 的轨迹是( )A ．双曲线的一支B ．椭圆C ．抛物线D ．圆解析：选A 由题意，知圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝1，则圆C 与圆O 相离，设动圆P 的半径为R ．∵圆P 与圆O 外切而与圆C 内切，∴R >1，且|PO |＝R ＋1，|PC |＝R －1．又|OC |＝3，∴|PO |－|PC |＝2<|OC |，即点P 在以O ，C 为焦点的双曲线的右支上．4．我们把由半椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(x ≥0)与半椭圆y 2b 2＋x 2c 2＝1(x <0)合成的曲线称作“果圆”(其中a 2＝b 2＋c 2，a >b >c >0)，如图所示，其中点F 0，F 1，F 2是相应椭圆的焦点．若△F 0F 1F 2是边长为1的等边三角形，则a ，b 的值分别为( )A ．72，1 B ．3，1 C ．5,3D ．5,4解析：选A ∵|OF 2|＝b 2－c 2＝12，|OF 0|＝c ＝3|OF 2|＝32，∴b ＝1，∴a 2＝b 2＋c 2＝1＋34＝74，得a＝72． 5．已知抛物线的方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为( )A ．522＋2 B ．522＋1C ．522－2 D ．522－1 解析：选D 因为抛物线的方程为y 2＝4x ，所以焦点坐标为F (1,0)，准线方程为x ＝－1．因为点P 到y 轴的距离为d 1，所以到准线的距离为d 1＋1．又d 1＋1＝|PF |，所以d 1＋d 2＝d 1＋1＋d 2－1＝|PF |＋d 2－1．焦点F 到直线l 的距离记为d ，则d ＝|1－0＋4|2＝52＝522，而|PF |＋d 2≥d ＝522，所以d 1＋d 2＝|PF |＋d 2－1≥522－1，即d 1＋d 2的最小值为522－1．6．双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝64有公共焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为( ) A ．y 2－3x 2＝36 B ．x 2－3y 2＝36 C ．3y 2－x 2＝36 D ．3x 2－y 2＝36解析：选A 由4x 2＋y 2＝64得x 216＋y 264＝1， c 2＝64－16＝48， ∴c ＝43，e ＝438＝32． ∴双曲线中，c ′＝43，e ′＝23＝c ′a ′． ∴a ′＝32c ′＝6，b ′2＝48－36＝12． ∴双曲线方程为y 236－x 212＝1，即y 2－3x 2＝36．7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其上一点P (3，y )到两焦点的距离分别是6．5和3．5，则该椭圆的标准方程为________．解析：由椭圆的定义，知2a ＝6．5＋3．5＝10，a ＝5．又⎩⎪⎨⎪⎧?3＋c ?2＋y 2＝6.52，?3－c ?2＋y 2＝3.52，解得c ＝52， 从而b 2＝a 2－c 2＝754， 所以椭圆的标准方程为x 225＋4y 275＝1．答案：x 225＋4y 275＝18．已知直线l 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若OA ·OB ＝－4，则直线l 恒过的定点M 的坐标是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＋y 1y 2＝－4．当直线l 的斜率不存在时，设其方程为x ＝x 0(x 0>0)，则x 20－4x 0＝－4，解得x 0＝2；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝4x ，得ky 2－4y ＋4b ＝0，得y 1y 2＝4b k ，则x 1x 2＝y 21y 2216＝b 2k 2，得b 2k2＋4b k ＝－4，∴b k ＝－2，有b ＝－2k ，直线y ＝kx －2k ＝k (x －2)恒过定点(2,0)．又直线x ＝2也恒过定点(2,0)，得点M 的坐标为(2,0)．答案：(2,0)9．已知A (0，－4)，B (3,2)，抛物线y 2＝x 上的点到直线AB 的最短距离为________． 解析：直线AB 为2x －y －4＝0，设抛物线y 2＝x上的点P (t ，t 2)，d ＝|2t －t 2－4|5＝t 2－2t ＋45＝?t －1?2＋35≥35＝355．答案：35510．如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长、短轴端点分别为A ，B ，F 1，F 2分别是点F 1，且AB其左、右焦点．从椭圆上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦与OM 是共线向量．(1)求椭圆的离心率e ；(2)设Q 是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，求∠F 1QF 2的取值范围． 解：(1)∵F 1(－c,0)，则x M ＝－c ，y M ＝b 2a ， ∴k OM ＝－b 2ac ．由题意，知k AB ＝－b a， ∵OM 与AB 是共线向量，∴－b 2ac ＝－b a ，∴b ＝c ，得e ＝22． (2)设|F 1Q |＝r 1，|F 2Q |＝r 2，∠F 1QF 2＝θ，∴r 1＋r 2＝2a ．又|F 1F 2|＝2c ，由余弦定理，得cos θ＝r 21＋r 22－4c 22r 1r 2＝?r 1＋r 2?2－2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝a 2r 1r 2－1≥a 2⎝⎛⎭⎫r 1＋r 222－1＝0， 当且仅当r 1＝r 2时等号成立，∴cos θ≥0，∴θ∈⎝⎛⎦⎤0，π2． 11．如图，焦距为2的椭圆E 的两个顶点分别为A ，B ，且AB 与n＝(2，－1)共线．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线y ＝kx ＋m 与椭圆E 有两个不同的交点P 和Q ，且原点O 总在以PQ 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围．解：(1)因为2c ＝2，所以c ＝1，又AB ＝(－a ，b )，且AB ∥n ，所以2b ＝a ，所以2b 2＝b 2＋1，所以b 2＝1，a 2＝2，所以椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1． (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，把直线方程y ＝kx ＋m 代入椭圆方程x 22＋y 2＝1， 消去y ，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0， 所以x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－22k 2＋1， Δ＝16k 2－8m 2＋8>0，即m 2<2k 2＋1，(*)因为原点O 总在以PQ 为直径的圆的内部， 所以OP ·OQ <0， 即x 1x 2＋y 1y 2<0，又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－2k 22k 2＋1，由2m 2－22k 2＋1＋m 2－2k 22k 2＋1<0得m 2<23k 2＋23， 依题意且满足(*)得m 2<23， 故实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－63，63． 12．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4． (1)求椭圆的方程；(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B ．已知点A 的坐标为(－a,0)，点Q (0，y 0)在线段AB 的垂4，求y 0的值． 解：(1)由e ＝c a ＝32，得3a 2＝4c 2． 再由c 2＝a 2－b 2，得a ＝2b ．由题意可知12×2a ×2b ＝4，即ab ＝2． 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，ab ＝2，得a ＝2，b ＝1． 所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1． (2)由(1)可知A (－2,0)．设B 点的坐标为(x 1，y 1)，直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ?x ＋2?，x 24＋y 2＝1消去y 并整理，得 (1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋(16k 2－4)＝0．由－2x 1＝16k 2－41＋4k 2，得x 1＝2－8k 21＋4k 2． 从而y 1＝4k 1＋4k 2． 设线段AB 的中点为M ，则M 的坐标为⎝⎛⎭⎫－8k 21＋4k 2，2k 1＋4k 2． 以下分两种情况：①当k ＝0时，点B 的坐标为(2,0)，线段AB 的垂直平分线为y 轴，(－2，－y 0)(2，－y 0)．4，得y 0＝±22．②当k ≠0时，线段AB 的垂直平分线方程为y －2k 1＋4k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x ＋8k 21＋4k 2． 令x ＝0，解得y 0＝－6k 1＋4k 2． 由＝(－2，－y 0)，＝(x 1，y 1－y 0)． ·＝－2x 1－y 0(y 1－y 0)＝－2×?2－8k 2?1＋4k 2＋6k 1＋4k 2⎝⎛⎭⎫4k 1＋4k 2＋6k 1＋4k 2 ＝4×?16k 4＋15k 2－1??1＋4k 2?2＝4， 整理得7k 2＝2，故k ＝±147．所以y 0＝±2145． 综上，y 0＝±22或y 0＝±2145．。