《创新设计》2020届高考数学人教A版(理)一轮复习【配套word版文档】：第九篇 第8讲 曲线与方程
《创新设计》2020届高考数学人教A版(理)一轮复习：第二篇 第8讲 函数与方程
高考数学第8讲函数与方程A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．函数f(x)＝sin x－x零点的个数是()．A．0 B．1 C．2 D．3解析f′(x)＝cos x－1≤0，∴f(x)单调递减，又f(0)＝0，∴则f(x)＝sin x－x 的零点是唯一的．答案 B2．(2013·泰州模拟)设f(x)＝e x＋x－4，则函数f(x)的零点位于区间()．A．(－1,0) B．(0,1)C．(1,2) D．(2,3)解析∵f(x)＝e x＋x－4，∴f′(x)＝e x＋1>0，∴函数f(x)在R上单调递增．对于A项，f(－1)＝e－1＋(－1)－4＝－5＋e－1<0，f(0)＝－3<0，f(－1)f(0)>0，A 不正确，同理可验证B、D不正确．对于C项，∵f(1)＝e＋1－4＝e－3<0，f(2)＝e2＋2－4＝e2－2>0，f(1)f(2)<0，故选C.答案 C3．(2013·石家庄期末)函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()．A．(1,3) B．(1,2)C．(0,3) D．(0,2)解析由条件可知f(1)f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，解之得0<a<3.答案 C4．(2011·山东)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为()．A ．6B ．7C ．8D ．9解析 当0≤x <2时，令f (x )＝x 3－x ＝0，得x ＝0或x ＝1.根据周期函数的性质，由f (x )的最小正周期为2，可知y ＝f (x )在[0,6)上有6个零点，又f (6)＝f (3×2)＝f (0)＝0，∴f (x )在[0,6]上与x 轴的交点个数为7. 答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ≤0，f (x －1)，x >0，g (x )＝f (x )－x －a ，若函数g (x )有两个零点，则实数a 的取值范围为________．解析 设n 为自然数，则当n <x ≤n ＋1时，f (x )＝(x －n －1)2，则当x >0时，函数f (x )的图象是以1为周期重复出现．而函数y ＝x ＋a 是一族平行直线，当它过点(0,1)(此时a ＝1)时与函数f (x )的图象交于一点，向左移总是一个交点，向右移总是两个交点，故实数a 的取值范围为a <1. 答案 (－∞，1)6．函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f [f (x )]＋1的所有零点所构成的集合为________．解析 本题即求方程f [f (x )]＝－1的所有根的集合，先解方程f (t )＝－1，即⎩⎨⎧ t ≤0，t ＋1＝－1或⎩⎨⎧t >0，log 2t ＝－1，得t ＝－2或t ＝12.再解方程f (x )＝－2和f (x )＝12. 即⎩⎨⎧ x ≤0，x ＋1＝－2或⎩⎨⎧x >0，log 2x ＝－2和⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋1＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 2x ＝12. 得x ＝－3或x ＝14和x ＝－12或x ＝ 2. 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，－12，14，2三、解答题(共25分)7．(12分)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x (x >0)． (1)作出函数f (x )的图象；(2)当0<a <b ，且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b 的值；(3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围． 解 (1)如图所示．(2)∵f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1，x ∈(0，1]，1－1x ，x ∈(1，＋∞)，故f (x )在(0,1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数， 由0<a <b 且f (a )＝f (b )，得0<a <1<b ，且1a －1＝1－1b ，∴1a ＋1b ＝2.(3)由函数f (x )的图象可知，当0<m <1时，方程f (x )＝m 有两个不相等的正根． 8．(13分)已知函数f (x )＝x 3＋2x 2－ax ＋1.(1)若函数f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为4，求实数a 的值；(2)若函数g (x )＝f ′(x )在区间(－1,1)上存在零点，求实数a 的取值范围． 解 由题意得g (x )＝f ′(x )＝3x 2＋4x －a . (1)f ′(1)＝3＋4－a ＝4，∴a ＝3.(2)法一 ①当g (－1)＝－a －1＝0，a ＝－1时，g (x )＝f ′(x )的零点x ＝－13∈(－1,1)；②当g (1)＝7－a ＝0，a ＝7时，f ′(x )的零点x ＝－73∉(－1,1)，不合题意； ③当g (1)g (－1)<0时，－1<a <7；④当⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4×(4＋3a )≥0，－1<－23<1，g (1)>0，g (－1)>0时，－43≤a <－1.综上所述，a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－43，7.法二 g (x )＝f ′(x )在区间(－1,1)上存在零点，等价于3x 2＋4x ＝a 在区间(－1,1)上有解，也等价于直线y ＝a 与曲线y ＝3x 2＋4x 在(－1,1)有公共点．作图可得a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－43，7. 或者又等价于当x ∈(－1,1)时，求值域． a ＝3x 2＋4x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋232－43∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－43，7.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2011·陕西)函数f (x )＝x －cos x 在[0，＋∞)内( )．A ．没有零点B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点 解析 令f (x )＝0，得x ＝cos x ，在同一坐标系内画出两个函数y ＝x 与y ＝cos x 的图象如图所示，由图象知，两个函数只有一个交点，从而方程x ＝cos x 只有一个解． ∴函数f (x )只有一个零点． 答案 B2．(2012·辽宁)设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3.又函数g (x )＝|x cos(πx )|，则函数h (x )＝g (x )－f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32上的零点个数为( )．A ．5B ．6C ．7D ．8解析 由题意知函数y ＝f (x )是周期为2的偶函数且0≤x ≤1时，f (x )＝x 3，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x 3，且g (x )＝|x cos(πx )|，所以当x ＝0时，f (x )＝g (x )．当x ≠0时，若0<x ≤12，则x 3＝x cos(πx )，即x 2＝|cos πx |.同理可以得到在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0，⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32上的关系式都是上式，在同一个坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图象，如图所示，有5个根．所以总共有6个．答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)3．已知函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )是偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2.若在区间[－1,3]内，函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，则实数k 的取值范围为________．解析 依题意得f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，即函数f (x )是以2为周期的函数．g (x )＝f (x )－kx －k 在区间[－1,3]内有4个零点，即函数y ＝f (x )与y ＝k (x ＋1)的图象在区间[－1,3]内有4个不同的交点．在坐标平面内画出函数y ＝f (x )的图象(如图所示)，注意到直线y ＝k (x ＋1)恒过点(－1,0)，由题及图象可知，当k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14时，相应的直线与函数y＝f (x )在区间[－1,3]内有4个不同的交点，故实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，144．若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P 、Q 都在函数f (x )的图象上；②P 、Q 关于原点对称，则称点对(P 、Q )是函数f (x )的一个“友好点对”(点对(P 、Q )与点对(Q ，P )看作同一个“友好点对”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋4x ＋1，x <0，2ex ，x ≥0，则f (x )的“友好点对”的个数是________．解析 设P (x ，y )、Q (－x ，－y )(x >0)为函数f (x )的“友好点对”，则y ＝2e x ，－y ＝2(－x )2＋4(－x )＋1＝2x 2－4x ＋1，∴2e x ＋2x 2－4x ＋1＝0，在同一坐标系中作函数y 1＝2e x 、y 2＝－2x 2＋4x －1的图象，y 1、y 2的图象有两个交点，所以f (x )有2个“友好点对”，故填2. 答案 2三、解答题(共25分)5．(12分)设函数f (x )＝3ax 2－2(a ＋c )x ＋c (a >0，a ，c ∈R )． (1)设a >c >0.若f (x )>c 2－2c ＋a 对x ∈[1，＋∞)恒成立，求c 的取值范围；(2)函数f (x )在区间(0,1)内是否有零点，有几个零点？为什么？解 (1)因为二次函数f (x )＝3ax 2－2(a ＋c )x ＋c 的图象的对称轴为x ＝a ＋c3a ，由条件a >c >0，得2a >a ＋c ，故a ＋c 3a <2a 3a ＝23<1，即二次函数f (x )的对称轴在区间[1，＋∞)的左边，且抛物线开口向上，故f (x )在[1，＋∞)内是增函数． 若f (x )>c 2－2c ＋a 对x ∈[1，＋∞)恒成立，则f (x )min ＝f (1)>c 2－2c ＋a ，即a －c >c 2－2c ＋a ，得c 2－c <0， 所以0<c <1.(2)①若f (0)·f (1)＝c ·(a －c )<0，则c <0，或a <c ，二次函数f (x )在(0,1)内只有一个零点． ②若f (0)＝c >0，f (1)＝a －c >0，则a >c >0.因为二次函数f (x )＝3ax 2－2(a ＋c )x ＋c 的图象的对称轴是x ＝a ＋c 3a .而f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 3a ＝－a 2＋c 2－ac3a<0，所以函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ＋c 3a 和⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 3a ，1内各有一个零点，故函数f (x )在区间(0,1)内有两个零点．6．(13分)已知二次函数f (x )＝x 2－16x ＋q ＋3.(1)若函数在区间[－1,1]上存在零点，求实数q 的取值范围；(2)是否存在常数t (t ≥0)，当x ∈[t,10]时，f (x )的值域为区间D ，且区间D 的长度为12－t (视区间[a ，b ]的长度为b －a )．解 (1)∵函数f (x )＝x 2－16x ＋q ＋3的对称轴是x ＝8，∴f (x )在区间[－1,1]上是减函数．∵函数在区间[－1,1]上存在零点，则必有⎩⎨⎧f (1)≤0，f (－1)≥0，即⎩⎨⎧1－16＋q ＋3≤0，1＋16＋q ＋3≥0，∴－20≤q ≤12. (2)∵0≤t <10，f (x )在区间[0,8]上是减函数，在区间[8,10]上是增函数，且对称轴是x ＝8.①当0≤t ≤6时，在区间[t,10]上，f (t )最大，f (8)最小， ∴f (t )－f (8)＝12－t ，即t 2－15t ＋52＝0， 解得t ＝15±172，∴t ＝15－172； ②当6<t ≤8时，在区间[t,10]上，f (10)最大，f (8)最小， ∴f (10)－f (8)＝12－t ，解得t ＝8；③当8<t <10时，在区间[t,10]上，f (10)最大，f (t )最小， ∴f (10)－f (t )＝12－t ，即t 2－17t ＋72＝0，解得t ＝8,9， ∴t ＝9.综上可知，存在常数t ＝15－172，8,9满足条件.。
《创新设计》2020届高考数学人教A版(理)一轮复习：第四篇 第6讲 正弦定理和余弦定理
高考数学 第6讲 正弦定理和余弦定理A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝ ( )．A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析 由a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，得a 2＝3bc ＋b 2，cb ＝2 3.由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝c 2－3bc 2bc ＝c 2b －32＝3－32＝32，所以A ＝30°，故选A. 答案 A2.(2012·四川)如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA至E ，使AE ＝1，连结EC 、ED ，则sin ∠CED ＝( )． A.31010 B.1010 C.510D.515解析 依题意得知，CD ＝1，CE ＝CB 2＋EB 2＝5，DE ＝EA 2＋AD 2＝2，cos ∠CED ＝CE 2＋ED 2－CD 22CE ·ED ＝31010，所以sin ∠CED ＝1－cos 2∠CED ＝1010，选B. 答案 B3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC ＝( )．A. 2B. 3C.32D ．2解析 ∵A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ，∴B ＝60°.又a ＝1，b ＝3，∴a sin A ＝bsin B ， ∴sin A ＝a sin Bb ＝32×13＝12，∴A ＝30°，∴C ＝90°.∴S △ABC ＝12×1×3＝32. 答案 C4．(2012·湖南)在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于 ( )． A.32B.332C.3＋62D.3＋394解析 设AB ＝c ，BC 边上的高为h .由余弦定理，得AC 2＝c 2＋BC 2－2BC ·c cos 60°，即7＝c 2＋4－4c cos 60°，即c 2－2c －3＝0，∴c ＝3(负值舍去)． 又h ＝c ·sin 60°＝3×32＝332，故选B. 答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若(a 2＋c 2－b 2)·tan B ＝3ac ，则角B 的值为________．解析 由余弦定理，得a 2＋c 2－b 22ac ＝cos B ，结合已知等式得 cos B ·tan B ＝32，∴sin B ＝32，∴B ＝π3或2π3. 答案 π3或2π36．(2012·福建)已知△ABC 的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．解析 依题意得，△ABC 的三边长分别为a ，2a,2a (a >0)，则最大边2a 所对的角的余弦值为：a 2＋(2a )2－(2a )22a ·2a ＝－24.答案 －24三、解答题(共25分)7．(12分)(2012·辽宁)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列．(1)求cos B的值；(2)边a，b，c成等比数列，求sin A sin C的值．解(1)由已知2B＝A＋C，三角形的内角和定理A＋B＋C＝180°，解得B＝60°，所以cos B＝cos 60°＝1 2.(2)由已知b2＝ac，据正弦定理，得sin2B＝sin A sin C，即sin A sin C＝sin2B＝1－cos2B＝3 4.8．(13分)(2012·浙江)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA＝23，sin B＝5cos C.(1)求tan C的值；(2)若a＝2，求△ABC的面积．解(1)因为0＜A＜π，cos A＝2 3，得sin A＝1－cos2A＝5 3.又5cos C＝sin B＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝53cos C＋23sin C.所以tan C＝ 5.(2)由tan C＝5，得sin C＝56，cos C＝16.于是sin B＝5cos C＝5 6 .由a＝2及正弦定理asin A＝csin C，得c＝ 3.设△ABC的面积为S，则S＝12ac sin B＝52.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．在△ABC 中，A ＝60°，且最大边长和最小边长是方程x 2－7x ＋11＝0的两个根，则第三边的长为( )．A ．2B ．3C ．4D ．5解析 由A ＝60°，不妨设△ABC 中最大边和最小边分别为b ，c ，故b ＋c ＝7，bc ＝11.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 60°＝(b ＋c )2－3bc ＝72－3×11＝16，∴a ＝4. 答案 C2．(2013·豫北六校联考)已知△ABC 的面积为32，AC ＝3，∠ABC ＝π3，则△ABC 的周长等于( )．A ．3＋ 3B ．3 3C ．2＋ 3D.332解析 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即a 2＋c 2－ac ＝3.又△ABC 的面积为12ac sin π3＝32，即ac ＝2，所以a 2＋c 2＋2ac ＝9，所以a ＋c ＝3，即a ＋c ＋b ＝3＋3，故选A. 答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)3．在Rt △ABC 中，C ＝90°，且A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足a ＋b ＝cx ，则实数x 的取值范围是________．解析 x ＝a ＋b c ＝sin A ＋sin B sin C ＝sin A ＋cos A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4.又A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴π4<A ＋π4<3π4，∴22<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4≤1，即x ∈(1，2]．答案 (1，2]4．(2012·安徽)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)． ①若ab >c 2，则C <π3 ②若a ＋b >2c ，则C <π3 ③若a 3＋b 3＝c 3，则C <π2 ④若(a ＋b )c <2ab ，则C >π2 ⑤若(a 2＋b 2)c 2<2a 2b 2，则C >π3解析 ①由ab >c 2，得－c 2>－ab ，由余弦定理可知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab >2ab －ab2ab＝12，因为C ∈(0，π)，函数y ＝cos x 在(0，π)上是减函数，所以C <π3，即①正确．②由余弦定理可知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab >a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 222ab＝4(a 2＋b 2)－(a ＋b )28ab ＝3(a 2＋b 2)－2ab 8ab ≥4ab 8ab ＝12，所以C <π3，即②正确．③若C 是直角或钝角，则a 2＋b 2≤c 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2≤1，而a c ，b c ∈(0,1)，而函数y ＝a x(0<a <1)在R 上是减函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 3<⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2≤1与a 3＋b 3＝c 3矛盾，所以假设不成立，所以C <π2，即③正确．④因为(a ＋b )c <2ab ，所以c <2aba ＋b ≤2ab2ab＝ab ，即ab >c 2，转化为命题①，故④错误．⑤因为(a 2＋b 2)c 2<2a 2b 2，所以c 2<2a 2b 2a 2＋b 2≤2a 2b 22ab ＝ab ，即ab >c 2，转化为命题①，故⑤错误． 答案 ①②③ 三、解答题(共25分)5．(12分)(2012·郑州三模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点(a ，b )在直线x (sin A －sin B )＋y sin B ＝c sin C 上． (1)求角C 的值；(2)若a 2＋b 2＝6(a ＋b )－18，求△ABC 的面积．解 (1)由题意得a (sin A －sin B )＋b sin B ＝c sin C ， 由正弦定理，得a (a －b )＋b 2＝c 2， 即a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12， 结合0<C <π，得C ＝π3.(2)由a 2＋b 2＝6(a ＋b )－18，得(a －3)2＋(b －3)2＝0， 从而得a ＝b ＝3，所以△ABC 的面积S ＝12×32×sin π3＝934.6．(13分)(2012·江西)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a . (1)求证：B －C ＝π2；(2)若a ＝ 2，求△ABC 的面积．(1)证明 由b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a 应用正弦定理，得sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －sinC sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝sin A ，sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin C ＋22cos C －sin C ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin B ＋22cos B ＝22，整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1，即sin(B －C )＝1. 由于0＜B ，C ＜34π，从而B －C ＝π2.(2)解 B ＋C ＝π－A ＝3π4，因此B ＝5π8，C ＝π8. 由a ＝ 2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8， 所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝ 2sin 5π8sin π8 ＝ 2cos π8sin π8＝12.。
2020版创新设计高考总复习高三理科数学人教A版配套课件第五章 第1节
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知识衍化体验
考点聚集突破
基础自测
@《创新设计》
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)零向量与任意向量平行.( ) (2)若a∥b,b∥c,则a∥c.( ) (3)向量A→B与向量C→D是共线向量，则 A，B，C，D 四点在一条直线上.( )
(4)当两个非零向量a,b共线时,一定有b＝λa,反之成立.( ) 解析 (2)若b＝0,则a与c不一定平行. (3)共线向量所在的直线可以重合,也可以平行,则A,B,C,D四点不一定在一条直线上. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√
3
知识衍化体验
考点聚集突破
2.向量的线性运算 向量运算
定义
@《创新设计》
法则(或几何意义)
运算律
加法 求两个向量和的运算
(1)交换律: a＋b＝__b_＋__a_.
(2)结合律: (a＋b)＋c＝ __a_＋__(b_＋__c_)__
4
知识衍化体验
考点聚集突破ຫໍສະໝຸດ @《创新设计》减法
减去一个向量相当于 加上这个向量的相反 向量
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B.A→C＝B→D D.E→P＝P→F
知识衍化体验
考点聚集突破
(2)给出下列说法: ①非零向量a与b同向是a＝b的必要不充分条件; ②若A→B与B→C共线，则 A，B，C 三点在同一条直线上； ③a与b是非零向量,若a与b同向,则a与－b反向; ④设λ,μ为实数,若λa＝μb,则a与b共线. 其中错误说法的序号是________.
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知识衍化体验
考点聚集突破
@《创新设计》
考点二 平面向量的线性运算
多维探究
角度1 向量的线性运算
【例 2－1】 (2018·全国Ⅰ卷)在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，
《创新设计》数学一轮(理科)人教A配套精品课件 选修4-2 矩阵与变换
解这个关于 λ 的二元一次方程，得 λ＝λ1、λ2，将 λ＝λ1、λ2 分 别代入方程组(*)，分别求出它们的一个非零解 xy＝＝yx11，，xy＝＝yx22，，记 X1＝xy11，X2＝xy22.
则 AX1＝λ1X1、AX2＝λ2X2，因此 λ1、λ2 是矩阵 A＝ac db的特
λ－－ c aλ－－d b＝0.记
λ－a －b
f(λ)＝__－__c__λ_－__d___ 为矩阵
A＝ac
db的
特征多项式；方程λ－－ c aλ－－d b＝0，即 f(λ)＝0 称为矩阵 A
＝ac db的特征方程．
(3)特征值与特征向量的计算 如果 λ 是二阶矩阵 A 的特征值，则 λ 是特征方程 f(λ)＝
答案 y＝14x2
5．若 A＝16 52，则 A 的特征值为________．
解析
A 的特征多项式 f(λ)＝λ－－61
－5
λ－2
＝(λ－1)(λ－2)－30＝λ2－3λ－28＝(λ－7)(λ＋4)，
∴A 的特征值为 λ1＝7，λ2＝－4.
答案 7和－4
考点一 矩阵与变换 【例 1】 (2014·苏州市自主学习调查)已知 a，b 是实数，如果
aa1222xy00＝_a_2_1_×__x_0＋__a__22_×__y_0_．
设A是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ、 λ1、λ2是任意三个实数，则 ①A(λα)＝λAα；②A(α＋β)＝Aα＋Aβ； ③A(λ1α＋λ2β)＝λ1Aα＋λ2Aβ. (3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则 如下：
(2)逆矩阵的求法：一般地，对于二阶可逆矩阵 A＝ac db(A＝
2020版创新设计高考总复习高三理科数学人教A版第一章第1节
第1节集合最新考纲 1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.知识梳理1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于,表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法.2.集合间的基本关系(1)子集:若对任意x∈A,都有x∈B,则A⊆B或B⊇A.(2)真子集:若A⊆B,且集合B中至少有一个元素不属于集合A,则A B或B A.(3)相等:若A⊆B,且B⊆A,则A＝B.(4)空集的性质:∅是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.3.集合的基本运算4.(1)A∩A＝A,A∩∅＝∅,A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A,A∪∅＝A,A∪B＝B∪A.(3)A∩(∁U A)＝∅,A∪(∁U A)＝U,∁U(∁U A)＝A.[微点提醒]1.若有限集A中有n个元素,则A的子集有2n个,真子集有2n－1个.2.子集的传递性:A⊆B,B⊆C⇒A⊆C.3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A⊇∁U B.4.∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B),∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B).基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x,y)|y＝x2＋1}.()(2)若{x2,1}＝{0,1},则x＝0,1.()(3)对于任意两个集合A,B,关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.()(4)含有n个元素的集合有2n个真子集.()解析(1)错误.{x|y＝x2＋1}＝R,{y|y＝x2＋1}＝[1,＋∞),{(x,y)|y＝x2＋1}是抛物线y ＝x2＋1上的点集.(2)错误.当x＝1时,不满足集合中元素的互异性.(4)错误.含有n个元素的集合有2n－1个真子集.【参考答案】(1)×(2)×(3)√(4)×2.(必修1P12A5改编)若集合P＝{x∈N|x≤ 2 019},a＝22,则()A.a∈PB.{a}∈PC.{a}⊆PD.a∉P解析因为a＝22不是自然数,而集合P是不大于 2 019的自然数构成的集合,所以a∉P,只有D正确.【参考答案】D3.(必修1P12B1改编)已知集合M＝{0,1,2,3,4},N＝{1,3,5},则集合M∪N的子集的个数为________.解析由已知得M∪N＝{0,1,2,3,4,5},所以M∪N的子集有26＝64(个).【参考答案】644.(2018·全国Ⅰ卷)已知集合A＝{x|x2－x－2>0},则∁R A＝()A.{x|－1<x<2}B.{x|－1≤x≤2}C.{x|x<－1}∪{x|x>2}D.{x|x≤－1}∪{x|x≥2}解析法一A＝{x|x2－x－2>0}＝{x|(x－2)(x＋1)>0}＝{x|x<－1或x>2},所以∁R A ＝{x|－1≤x≤2}.法二因为A＝{x|x2－x－2>0},所以∁R A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}.【参考答案】B5.(2019·南昌模拟)已知集合P＝{x|x2≤1},M＝{a}.若P∪M＝P,则实数a的取值范围为()A.[－1,1]B.[1,＋∞)C.(－∞,－1]D.(－∞,－1]∪[1,＋∞)解析∵P＝{x|－1≤x≤1},且P∪M＝P,∴M⊆P,∴a∈P,因此－1≤a≤1.【参考答案】A6.(2017·全国Ⅲ卷改编)已知集合A＝{(x,y)|x2＋y2＝1},B＝{(x,y)|x,y∈R,且y＝x},则A∩B中元素的个数为________.解析集合A表示圆心在原点的单位圆上所有点的集合,集合B表示直线y＝x上所有点的集合,易知直线y＝x和圆x2＋y2＝1相交,且有2个交点,故A∩B中有2个元素.【参考答案】2考点一 集合的基本概念【例1】 (1)(2019·湖北四地七校联考)若集合M ＝{x ||x |≤1},N ＝{y |y ＝x 2,|x |≤1},则( ) A.M ＝N B.M ⊆N C.M ∩N ＝∅D.N ⊆M(2)若x ∈A ,则1x ∈A ,就称A 是伙伴关系集合,集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是()A.1B.3C.7D.31解析 (1)易知M ＝{x |－1≤x ≤1},N ＝{y |y ＝x 2,|x |≤1}＝{y |0≤y ≤1},∴N ⊆M . (2)具有伙伴关系的元素组是－1,12,2,所以具有伙伴关系的集合有3个:{－1},⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2,⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2. 【参考答案】(1)D (2)B规律方法 1.研究集合问题时,首先要明确构成集合的元素是什么,即弄清该集合是数集、点集,还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么,从而准确把握集合的含义.2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时,要注意检验集合中的元素是否满足互异性.【训练1】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)已知集合A ＝{(x ,y )|x 2＋y 2≤3,x ∈Z ,y ∈Z },则A 中元素的个数为( ) A.9B.8C.5D.4(2)设集合A ＝{x |(x －a )2<1},且2∈A ,3∉A ,则实数a 的取值范围为________. 解析 (1)由题意知A ＝{(－1,0),(0,0),(1,0),(0,－1),(0,1),(－1,－1),(－1,1),(1,－1),(1,1)},故集合A 中共有9个元素.(2)由题意得⎩⎨⎧（2－a ）2<1，（3－a ）2≥1，解得⎩⎨⎧1<a <3，a ≤2或a ≥4.所以1<a ≤2.【参考答案】(1)A (2)(1,2]考点二 集合间的基本关系【例2】 (1)已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2,x ∈R },B ＝{x |x ＝m 2,m ∈A },则( ) A.ABB.BAC.A ⊆BD.B ＝A(2)(2019·郑州调研)已知集合A ＝{x |x 2－5x －14≤0},集合B ＝{x |m ＋1<x <2m －1},若B ⊆A ,则实数m 的取值范围为________. 解析 (1)易知A ＝{x |－1≤x ≤1}, 所以B ＝{x |x ＝m 2,m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}. 因此BA .(2)A ＝{x |x 2－5x －14≤0}＝{x |－2≤x ≤7}. 当B ＝∅时,有m ＋1≥2m －1,则m ≤2. 当B ≠∅时,若B ⊆A ,如图.则⎩⎨⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上,m 的取值范围为(－∞,4]. 【参考答案】(1)B (2)(－∞,4]规律方法 1.若B ⊆A ,应分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论.2.已知两个集合间的关系求参数时,关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图,化抽象为直观进行求解.【训练2】 (1)(2018·唐山模拟)设集合M ＝{x |x 2－x >0},N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1x <1,则( )A.M NB.N MC.M ＝ND.M ∪N ＝R(2)若将本例(2)的集合A 改为A ＝{x |x 2－5x －14>0}.其它条件不变,则m 的取值范围是________.解析 (1)集合M ＝{x |x 2－x >0}＝{x |x >1或x <0},N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1x <1＝{x |x >1或x <0},所以M ＝N .(2)A ＝{x |x 2－5x －14>0}＝{x |x <－2或x >7}. 当B ＝∅时,有m ＋1≥2m －1,则m ≤2. 当B ≠∅时,若B ⊆A ,则⎩⎨⎧m ＋1<2m －1，m ＋1≥7或⎩⎨⎧m ＋1<2m －1，2m －1≤－2. 解之得m ≥6.综上可知,实数m 的取值范围是(－∞,2]∪[6,＋∞). 【参考答案】(1)C (2)(－∞,2]∪[6,＋∞) 考点三 集合的运算 多维探究角度1 集合的基本运算【例3－1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)已知集合A ＝{x |x <2},B ＝{x |3－2x >0},则( )A.A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <32B.A ∩B ＝∅C.A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <32D.A ∪B ＝R(2)(2018·天津卷)设全集为R ,集合A ＝{x |0<x <2},B ＝{x |x ≥1},则A ∩(∁R B )＝( ) A.{x |0<x ≤1} B.{x |0<x <1} C.{x |1≤x <2}D.{x |0<x <2}解析 (1)因为B ＝{x |3－2x >0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <32,A ＝{x |x <2},所以A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <32,A ∪B ＝{x |x <2}.(2)因为B ＝{x |x ≥1},所以∁R B ＝{x |x <1},因为A ＝{x |0<x <2},所以A ∩(∁R B )＝{x |0<x <1}.【参考答案】(1)A (2)B 角度2 抽象集合的运算【例3－2】 设U 为全集,A ,B 是其两个子集,则“存在集合C ,使得A ⊆C ,B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析由图可知,若“存在集合C,使得A⊆C,B⊆∁U C”,则一定有“A∩B＝∅”；反过来,若“A∩B＝∅”,则一定能找到集合C,使A⊆C且B⊆∁U C.【参考答案】C规律方法 1.进行集合运算时,首先看集合能否化简,能化简的先化简,再研究其关系并进行运算.2.注意数形结合思想的应用.(1)离散型数集或抽象集合间的运算,常借助Venn图求解；(2)连续型数集的运算,常借助数轴求解,运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.【训练3】(1)(2019·延安模拟)若全集U＝{－2,－1,0,1,2},A＝{－2,2},B＝{x|x2－1＝0},则图中阴影部分所表示的集合为()A.{－1,0,1}B.{－1,0}C.{－1,1}D.{0}(2)(2019·新乡模拟)已知集合A＝{x|x2－x≤0},B＝{x|a－1≤x<a},若A∩B只有一个元素,则a＝()A.0B.1C.2D.1或2解析(1)B＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1},阴影部分所表示的集合为∁U(A∪B).A∪B＝{－2,－1,1,2},全集U＝{－2,－1,0,1,2},所以∁U(A∪B)＝{0}. (2)易知A＝[0,1],因为A∩B只有一个元素,所以a－1＝1,解得a＝2.【参考答案】(1)D(2)C[思维升华]1.在解题时经常用到集合元素的互异性,一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面,在解答完毕之时,注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确.2.对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化；对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范围时,要注意单独考察等号能否取到.3.对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.[易错防范]1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合),要对集合进行化简.2.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论,防止漏解.3.解题时注意区分两大关系:一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.基础巩固题组(建议用时:30分钟)一、选择题1.(2018·全国Ⅲ卷)已知集合A＝{x|x－1≥0},B＝{0,1,2},则A∩B＝()A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}解析由题意知,A＝{x|x≥1},则A∩B＝{1,2}.【参考答案】C2.设集合A＝{1,2,3},B＝{4,5},M＝{x|x＝a＋b,a∈A,b∈B},则M中元素的个数为()A.3B.4C.5D.6解析因为A＝{1,2,3},B＝{4,5},又M＝{x|x＝a＋b,a∈A,b∈B},∴M＝{5,6,7,8},即M中有4个元素.【参考答案】B3.(2019·佛山质检)已知全集U＝{0,1,2,3,4},若A＝{0,2,3},B＝{2,3,4},则(∁U A)∩(∁B)＝()UA.∅B.{1}C.{0,2}D.{1,4}解析因为全集U＝{0,1,2,3,4},A＝{0,2,3},B＝{2,3,4},所以∁U A＝{1,4},∁U B＝{0,1},因此(∁U A)∩(∁U B)＝{1}.【参考答案】B4.(2018·石家庄质检)设集合A＝{x|－1<x≤2},B＝{x|x<0},则下列结论正确的是()A.(∁R A)∩B＝{x|x<－1}B.A∩B＝{x|－1<x<0}C.A∪(∁R B)＝{x|x≥0}D.A∪B＝{x|x<0}解析易求∁R A＝{x|x≤－1或x>2},∁R B＝{x|x≥0},∴(∁R A)∩B＝{x|x≤－1},A项不正确.A∩B＝{x|－1<x<0},B项正确,检验C、D错误.【参考答案】B5.已知集合A＝{x∈N|x2－2x－8≤0},B＝{x|2x≥8},则集合A∩B的子集的个数为()A.1B.2C.3D.4解析因为A＝{x∈N|x2－2x－8≤0}＝{0,1,2,3,4},B＝{x|x≥3},所以A∩B＝{3,4},所以集合A∩B的子集个数为4.【参考答案】D6.(2019·豫北名校联考)已知集合M＝{x|y＝x－1},N＝{x|y＝log2(2－x)},则∁R(M∩N)＝()A.[1,2)B.(－∞,1)∪[2,＋∞)C.[0,1]D.(－∞,0)∪[2,＋∞)解析由题意可得M＝{x|x≥1},N＝{x|x<2},∴M∩N＝{x|1≤x<2},∴∁R(M∩N)＝{x|x<1或x≥2}.【参考答案】B7.设集合A＝{(x,y)|x＋y＝1},B＝{(x,y)|x－y＝3},则满足M⊆(A∩B)的集合M的个数是()A.0B.1C.2D.3解析 由⎩⎨⎧x ＋y ＝1，x －y ＝3，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－1，∴A ∩B ＝{(2,－1)}.由M ⊆(A ∩B ),知M ＝∅或M ＝{(2,－1)}. 【参考答案】C8.(一题多解)(2018·中原名校联考)已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)},B ＝{x |x 2－cx <0,c >0},若A ⊆B ,则实数c 的取值范围为( ) A.(0,1] B.[1,＋∞) C.(0,1)D.(1,＋∞)解析 法一 由题意知,A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝{x |0<x <1},B ＝{x |x 2－cx <0,c >0}＝{x |0<x <c }.由A ⊆B ,画出数轴,如图所示,得c ≥1.法二 A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)＝{x |x －x 2>0}＝{x |0<x <1},结合选项,取c ＝1,得B ＝{x |0<x <1},则A ⊆B 成立,可排除C 、D ；取c ＝2,得B ＝{x |0<x <2},则A ⊆B 成立,排除A.【参考答案】B 二、填空题9.(2016·全国Ⅲ卷改编)设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0},T ＝{x |x >0},则(∁R S )∩T ＝________.解析 易知S ＝{x |x ≤2或x ≥3}, ∴∁R S ＝{x |2<x <3}, 因此(∁R S )∩T ＝{x |2<x <3}. 【参考答案】{x |2<x <3}10.已知集合A ＝{1,2},B ＝{a ,a 2＋3},若A ∩B ＝{1},则实数a 的值为________. 解析 由A ∩B ＝{1}知,1∈B ,又a 2＋3≥3,则a ＝1. 【参考答案】111.(2019·福州质检)已知集合A ＝{1,3,4,7},B ＝{x |x ＝2k ＋1,k ∈A },则集合A ∪B 中元素的个数为________.解析 ∵A ＝{1,3,4,7},B ＝{x |x ＝2k ＋1,k ∈A },∴B ＝{3,7,9,15},∴A ∪B ＝{1,3,4,7,9,15},∴集合A ∪B 中元素的个数为6.【参考答案】612.集合A ＝{x |x <0},B ＝{x |y ＝lg[x (x ＋1)]},若A －B ＝{x |x ∈A ,且x ∉B },则A －B ＝________.解析 由题意知,B ＝{x |y ＝lg[x (x ＋1)]}＝{x |x (x ＋1)>0}＝{x |x <－1或x >0},则A －B ＝{x |－1≤x ＜0}.【参考答案】{x |－1≤x ＜0}能力提升题组(建议用时:10分钟)13.(2018·河南百校联盟联考)若集合A ＝{x |y ＝lg(3x －x 2)},B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝1＋4x ＋1，x ∈A ,则A ∩(∁R B )等于( )A.(0,2]B.(2,3)C.(3,5)D.(－2,－1) 解析 由3x －x 2>0,得0<x <3,则A ＝(0,3),∴B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝1＋4x ＋1，x ∈A ＝(2,5), 则∁R B ＝(－∞,2]∪[5,＋∞),故A ∩(∁R B )＝(0,2].【参考答案】A14.已知集合A ＝{x |y ＝4－x 2},B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1},若A ∪B ＝A ,则实数a 的取值范围为( )A.(－∞,－3]∪[2,＋∞)B.[－1,2]C.[－2,1]D.[2,＋∞)解析 集合A ＝{x |y ＝4－x 2}＝{x |－2≤x ≤2},因A ∪B ＝A ,则B ⊆A ,又B ≠∅,所以有⎩⎨⎧a ≥－2，a ＋1≤2，所以－2≤a ≤1. 【参考答案】C15.(2019·皖南八校联考改编)已知集合A ＝{(x ,y )|x 2＝4y },B ＝{(x ,y )|y ＝x },则A ∩B 的真子集个数是________.解析 由⎩⎨⎧x 2＝4y ，y ＝x 得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝4，y ＝4，即A ∩B ＝{(0,0),(4,4)},∴A ∩B 的真子集个数为22－1＝3.【参考答案】316.集合U ＝R ,A ＝{x |x 2－x －2<0},B ＝{x |y ＝ln(1－x )},则图中阴影部分所表示的集合是________.解析 易知A ＝(－1,2),B ＝(－∞,1),∴∁U B ＝[1,＋∞),A ∩(∁U B )＝[1,2).因此阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )＝{x |1≤x <2}.【参考答案】[1,2)。
2020版创新设计高考总复习高三理科数学人教A版第八章第1节
第1节空间几何体的结构、三视图和直观图最新考纲 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二测画法画出它们的直观图；3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式.知识梳理1.空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征(2)空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则是:(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°),z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.(2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z 轴的线段在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.3.三视图(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图,分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.(2)三视图的画法①基本要求:长对正,高平齐,宽相等.②在画三视图时,重叠的线只画一条,挡住的线要画成虚线.[微点提醒]1.常见旋转体的三视图(1)球的三视图都是半径相等的圆.(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形.(3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形.(4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形.2.在绘制三视图时,分界线和可见轮廓线都用实线画出,被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来,即“眼见为实、不见为虚”.在三视图的判断与识别中要特别注意其中的虚线.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.()(2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.()(3)用斜二测画法画水平放置的∠A时,若∠A的两边分别平行于x轴和y轴,且∠A ＝90°,则在直观图中,∠A＝45°.()(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中,三视图均相同.()解析(1)反例:由两个平行六面体上下组合在一起的图形满足条件,但不是棱柱.(2)反例:如图所示的图形满足条件但不是棱锥.(3)用斜二测画法画水平放置的∠A时,把x,y轴画成相交成45°或135°,平行于x轴的线段还平行于x轴,平行于y轴的线段还平行于y轴,所以∠A也可能为135°. (4)球的三视图均相同,而圆锥的正视图和侧视图相同,且为等腰三角形, 其俯视图为圆心和圆,正方体的三视图不一定相同.【参考答案】(1)×(2)×(3)×(4)×2.(必修2P10B1改编)如图,长方体ABCD－A′B′C′D′被截去一部分,其中EH∥A′D′.剩下的几何体是()A.棱台B.四棱柱C.五棱柱D.六棱柱解析由几何体的结构特征,剩下的几何体为五棱柱.【参考答案】C3.(必修2P21A4改编)用斜二测画法画水平放置的矩形的直观图,则直观图的面积与原矩形的面积之比为()A.12 B.22 C.23 D.24解析设原矩形的长为a,宽为b,则其直观图是长为a,高为b2sin 45°＝24b的平行四边形,所以S直观S矩形＝24abab＝24.故选D.【参考答案】D4.(2019·济宁一中月考)如图为某个几何体的三视图,根据三视图可以判断这个几何体为()A.圆锥B.三棱椎C.三棱柱D.三棱台【参考答案】C5.(2018·全国Ⅲ卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()解析由题意知,在咬合时带卯眼的木构件中,从俯视方向看,榫头看不见,所以是虚线,结合榫头的位置知选A.【参考答案】A6.(2018·衡水月考)如图所示,图①②③是图④表示的几何体的三视图,其中图①是________,图②是________,图③是________(写出视图名称).解析观察几何体的结构特征,不难发现其下层长为两个小长方体的长,宽为两个小长方体的宽,高为两个小长方体的高.所以正视图应为①,侧视图为②,俯视图为③.【参考答案】正视图侧视图俯视图考点一空间几何体的结构特征【例1】(1)给出下列命题:①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线；②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；③棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3(2)给出下列命题:①棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形；②在四棱柱中,若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱；③存在每个面都是直角三角形的四面体；④棱台的侧棱延长后交于一点.其中正确命题的序号是________.解析(1)①不一定,只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定,当以斜边所在直线为旋转轴时,其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥,如图所示,它是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误,棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等.(2)①不正确,根据棱柱的定义,棱柱的各个侧面都是平行四边形,但不一定全等；②正确,因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱,又垂直于底面；③正确,如图,正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC,四个面都是直角三角形；④正确,由棱台的概念可知.【参考答案】(1)A(2)②③④规律方法 1.关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念,要善于通过举反例对概念进行辨析,即要说明一个命题是错误的,只需举一个反例.2.圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上,解题时要注意用好轴截面中各元素的关系.3.既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的,所以在解决棱(圆)台问题时,要注意“还台为锥”的解题策略.【训练1】下列命题正确的是()A.两个面平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台B.两个面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台C.以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台D.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形解析如图所示,可排除A,B选项.只有截面与圆柱的母线平行或垂直,则截得的截面为矩形或圆,否则为椭圆或椭圆的一部分.【参考答案】C考点二空间几何体的三视图多维探究角度1由空间几何体的直观图判断三视图【例2－1】(2018·黄山一模)将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥,得到如图(2)所示的几何体,则该几何体的侧视图为()解析截去两个三棱锥后的几何体的侧视图可以看见的实线段为AD1,AD,DD1,D1B1,AB1,而线段B1C被遮住,在侧视图中为虚线,所以侧视图为选项B 中的图形.【参考答案】B角度2由三视图判断几何体【例2－2】(1)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是()A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱(2)(2018·全国Ⅰ卷)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在侧视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为()A.217B.2 5C.3D.2解析(1)由题知,该几何体的三视图为一个三角形、两个四边形,经分析可知该几何体为三棱柱.(2)由三视图可知,该几何体为如图①所示的圆柱,该圆柱的高为2,底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图,如图②所示,连接MN,则MS＝2,SN＝4,则从M到N的路径中,最短路径的长度为MS2＋SN2＝22＋42＝2 5.故选B.【参考答案】(1)B(2)B规律方法 1.由直观图确定三视图,一要根据三视图的含义及画法和摆放规则确认.二要熟悉常见几何体的三视图.2.由三视图还原到直观图的思路(1)根据俯视图确定几何体的底面.(2)根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置.(3)确定几何体的直观图形状.【训练2】(1)(2018·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为()A.1B.2C.3D.4(2)(2019·惠州模拟)如图,在底面边长为1,高为2的正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中,点P是平面A1B1C1D1内一点,则三棱锥P－BCD的正视图与侧视图的面积之和为()A.1B.2C.3D.4解析(1)在正方体中作出该几何体的直观图,记为四棱锥P－ABCD,如图,由图可知在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为3,故选C.(2)设点P 在平面A 1ADD 1的射影为P ′,在平面C 1CDD 1的射影为P ″,如图所示.∴三棱锥P －BCD 的正视图与侧视图分别为△P ′AD 与△P ″CD , 因此所求面积S ＝S △P ′AD ＋S △P ″CD ＝12×1×2＋12×1×2＝2. 【参考答案】(1)C (2)B 考点三 空间几何体的直观图【例3】 已知正三角形ABC 的边长为a ,那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为( ) A.34a 2B.38a 2C.68a 2D.616a 2解析 如图①②所示的实际图形和直观图.由斜二测画法可知,A ′B ′＝AB ＝a ,O ′C ′＝12OC ＝34a ,在图②中作C ′D ′⊥A ′B ′于D ′,则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a .所以S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×a ×68a ＝616a 2.故选D. 【参考答案】D规律方法 1.画几何体的直观图一般采用斜二测画法,其规则可以用“斜”(两坐标轴成45°或135°)和“二测”(平行于y 轴的线段长度减半,平行于x 轴和z 轴的线段长度不变)来掌握.2.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积的关系:S直观图＝24S原图形.【训练3】如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面积是()A.2＋ 2B.1＋22 C.2＋22 D.1＋ 2解析恢复后的原图形为一直角梯形,所以S＝12(1＋2＋1)×2＝2＋ 2.故选A.【参考答案】A[思维升华]1.画三视图的三个原则:(1)画法规则:“长对正,宽相等,高平齐”.(2)摆放规则:侧视图在正视图的右侧,俯视图在正视图的正下方.(3)实虚线的画法规则:可见轮廓线和棱用实线画出,不可见线和棱用虚线画出. 2.棱台和圆台是分别用平行于棱锥和圆锥的底面的平面截棱锥和圆锥后得到的,所以在解决棱台和圆台的相关问题时,常“还台为锥”,体现了转化的数学思想. [易错防范]1.台体可以看成是由锥体截得的,易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点.2.空间几何体不同放置时其三视图不一定相同.3.对于简单组合体,若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分界线,在三视图中,易忽视实虚线的画法.基础巩固题组(建议用时:35分钟)一、选择题1.下列说法中,正确的是()A.棱柱的侧面可以是三角形B.若棱柱有两个侧面是矩形,则该棱柱的其他侧面也是矩形C.正方体的所有棱长都相等D.棱柱的所有棱长都相等解析棱柱的侧面都是平行四边形,选项A错误；其他侧面可能是平行四边形,选项B错误；棱柱的侧棱与底面边长并不一定相等,选项D错误；易知选项C正确.故选C.【参考答案】C2.某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是()A.圆柱B.圆锥C.四面体D.三棱柱解析由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形,而圆柱的正视图不可能为三角形.【参考答案】A3.(2019·临沂模拟)某几何体的三视图如图所示,那么这个几何体是()A.三棱锥B.四棱锥C.四棱台D.三棱台解析因为正视图和侧视图都为三角形,可知几何体为锥体,又因为俯视图为三角形,故该几何体为三棱锥.故选A.【参考答案】A4.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其正视图和侧视图完全相同时,它的俯视图可能是()解析由直观图知,俯视图应为正方形,又上半部分相邻两曲面的交线为可见线,在俯视图中应为实线,因此,选项B可以是几何体的俯视图.【参考答案】B5.下列结论正确的是()A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是六棱锥D.圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线解析如图1知,A不正确.如图2,两个平行平面与底面不平行时,截得的几何体不是旋转体,则B不正确.若六棱锥的所有棱长都相等,则底面多边形是正六边形.由几何图形知,若以正六边形为底面,侧棱长必然要大于底面边长,C错误.由母线的概念知,选项D正确.【参考答案】D6.(2018·肇庆二模)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某四棱锥的三视图,则该四棱锥的所有棱中,最长的棱的长度为()A.41B.34C.5D.3 2解析由三视图可知该几何体为如图所示的四棱锥P－ABCD.其中P A⊥底面ABCD,四棱锥P－ABCD的底面是边长为3的正方形,高P A＝4.连接AC,易知最长的棱为PC,且PC＝P A2＋AC2＝42＋32＋32＝34.故选B.【参考答案】B7.某几何体的正视图和侧视图均为如图所示的图形,则在下图的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是()A.①③B.①④C.②④D.①②③④解析由正视图和侧视图知,该几何体为球与正四棱柱或球与圆柱体的组合体,故①③正确.【参考答案】A8.(2019·长沙月考)一个几何体的三视图如图所示,在该几何体的各个面中,面积最小的面的面积为()A.8B.4C.4 3D.4 2解析由三视图可知该几何体的直观图如图所示,由三视图特征可知,P A⊥平面ABC ,DB ⊥平面 ABC ,AB ⊥AC ,P A ＝AB ＝AC ＝4,DB ＝2,则易得S △P AC ＝S △ABC ＝8,S △CPD ＝12,S 梯形ABDP ＝12,S △BCD ＝12×42×2＝42,故选D.【参考答案】D二、填空题9.(2018·龙岩联考)一水平放置的平面四边形OABC ,用斜二测画法画出它的直观图O ′A ′B ′C ′如图所示,此直观图恰好是一个边长为1的正方形,则原平面四边形OABC 面积为________.解析 因为直观图的面积是原图形面积的24倍,且直观图的面积为1,所以原图形的面积为2 2. 【参考答案】2 210.已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,侧视图是一个面积为2的矩形,则该正方体的正视图的面积等于________.解析 由题知此正方体的正视图与侧视图是一样的,正视图的面积与侧视图的面积相等为 2.【参考答案】 211.(2018·兰州模拟)正四棱锥的底面边长为2,侧棱长均为3,其正视图和侧视图是全等的等腰三角形,则正视图的周长为________.解析 由题意知,正视图就是如图所示的截面PEF ,其中E ,F 分别是AD ,BC 的中点,连接AO ,易得AO ＝2,又P A ＝3,于是解得PO ＝1,所以PE ＝2,故其正视图的周长为2＋2 2.【参考答案】2＋2 212.(2018·南昌NCS 项目联考)已知圆台和正三棱锥的组合体的正视图和俯视图如图所示,图中小方格是单位正方形,那么组合体的侧视图的面积为________.解析 由题意可得侧视图如图所示,上面是一个三角形,其底为1＋12＝32,高为2,三角形的面积S 1＝12×32×2＝32；下面是一个梯形,上底为2,下底为4,高为2,梯形的面积S 2＝12×(2＋4)×2＝6,所以组合体的侧视图的面积S ＝S 1＋S 2＝32＋6＝152.【参考答案】152能力提升题组(建议用时:15分钟)13.用若干块相同的小正方体搭成一个几何体,该几何体的三视图如图所示,则搭成该几何体需要的小正方体的块数是( )A.8B.7C.6D.5解析 画出直观图,共六块.【参考答案】C14.(2019·泉州二模)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的侧视图中的虚线部分是()A.圆弧B.抛物线的一部分C.椭圆的一部分D.双曲线的一部分解析根据几何体的三视图,可得侧视图中的虚线部分是由平行于旋转轴的平面截圆锥所得,故侧视图中的虚线部分是双曲线的一部分,故选D.【参考答案】D15.如图,点O为正方体ABCD－A′B′C′D′的中心,点E为面B′BCC′的中心,点F为B′C′的中点,则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的正投影可能是______(填出所有可能的序号).解析空间四边形D′OEF在正方体的面DCC′D′及其对面ABB′A′上的正投影是①；在面BCC′B′及其对面ADD′A′上的正投影是②；在面ABCD及其对面A′B′C′D′上的正投影③.【参考答案】①②③16.某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为______.解析 由题中三视图可画出长为2、宽为1、高为1的长方体,将该几何体还原到长方体中,如图所示,该几何体为四棱柱ABCD －A ′B ′C ′D ′.故该四棱柱的体积V ＝Sh ＝12×(1＋2)×1×1＝32.【参考答案】32。
2020高考总复习数学理科创新设计人教A版教师文档第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ
∴a2x－ab－b＝4x－3(a>0)，
{ ) { ) 因此
a2＝4， ab＋b＝3，
解得
a＝2， b＝1.
所以 f(x)＝2x－1，则 f(2)＝3.
(2)因为 2f(x)＋f(－x)＝3x，①
所以将 x 用－x 替换，得 2f(－x)＋f(x)＝－3x，②
由①②解得 f(x)＝3x.
答案 (1)3 (2)3x 考点三 分段函数 多维探究
( )5
55
解析 (1)f ＝3× －b＝ －b，
6
62
5
3
若 －b<1，即 b> 时，
2
2
[ ( )] ( ) ( ) 5
5
5
则f
f ＝f 6
－b ＝3 －b －b＝4，
2
2
7 解得 b＝ ，不合题意舍去.
8
5
5
3
1
若 －b≥1，即 b≤ ，则 22－b＝4，解得 b＝ .
2
2
2
( ) ( ) 1
解析 由题意知点(－1，4)在函数 f(x)＝ax3－2x 的图象上，所以 4＝－a＋2，则 a＝
－2.
答案 －2
考点一 求函数的定义域
【例 1】 (1)(2019·湘潭模拟)函数 y＝ 1－x2＋log2(tan x－1)的定义域为________.
f(2x) (2)若函数 y＝f(x)的定义域是[0，2]，则函数 g(x)＝ 的定义域为________.
≥ 0，
0，
{ ) 解得
－2 ≤ x x > 0且x
≤ ≠
1， 1.
∴函数的定义域是(0，1).
(2)易知 f[f(x)]＝f[lg(1－x)]＝lg[1－lg(1－x)]，
《创新设计》数学一轮复习(理科)人教A配套课件 第1章 第1讲 集合及其运算
考点突破 考点三 集合的基本运算
【例3】(1)(2014·四川卷)已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B
考点突破 考点二 集合间的基本关系
【训练2】 (1)已知集合A＝{x|y＝ln(x＋3)}，B＝{x|x≥2}，则下 列结论正确的是( )
A．A＝B B．A∩B＝∅ C．A⊆B D．B⊆A (2)已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝ {x|x＜a} ，若A⊆B，则实数a 的取值范围是__________．
考点突破 考点一 集合的含义
【例 1】 (1)若集合 A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，
则 a＝( )
A．4 B．2 C．0 D．0 或 4 集合A中的方程
只有一个实根
(2)已知 a∈R，b∈R，若a，ba，1＝{a2，a＋b，0}，则 a2 016＋
要注意集合中
b2 016＝________．
第 1 讲 集合及其运算
➢ 夯基释疑
概要
➢ 考点突破
➢ 课堂小结
考点一 考点二
例 1 训练1 例 2 训练2
考点三 例 3 训练3
夯基释疑
判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若 A＝{x|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝x2}， C＝{y|y＝x2}，则 A＝B＝C.( ) (2)若{x2，1}＝{0，1}，则 x＝0，1.( ) (3)已知集合 A＝{x|mx＝1}，B＝{1，2}， 且 A⊆B，则实数 m＝1 或 m＝12.( ) (4)含有 n 个元素的集合的子集个数是 2n，真子集 个数是 2n－1，非空真子集的个数是 2n－2.( )
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第8讲曲线与方程A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．动点P(x，y)满足5(x－1)2＋(y－2)2＝|3x＋4y－11|，则点P的轨迹是()．A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．直线解析设定点F(1,2)，定直线l：3x＋4y－11＝0，则|PF|＝(x－1)2＋(y－2)2，点P到直线l的距离d＝|3x＋4y－11|5.由已知得|PF|d＝1，但注意到点F(1,2)恰在直线l上，所以点P的轨迹是直线．选D.答案 D2．(2013·榆林模拟)若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为()．A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析依题意，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线．答案 D3．(2013·临川模拟)设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为()．A.4x221－4y225＝1 B.4x221＋4y225＝1C.4x225－4y221＝1 D.4x225＋4y221＝1解析 M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |，∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹为椭圆，∴a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214， ∴椭圆的标准方程为4x 225＋4y 221＝1. 答案 D4．(2013·烟台月考)已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( )． A ．2x ＋y ＋1＝0 B ．2x －y －5＝0 C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝0解析 由题意知，M 为PQ 中点，设Q (x ，y )，则P 为(－2－x ，4－y )，代入2x －y ＋3＝0，得2x －y ＋5＝0. 答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·泰州月考)在△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0(a >0)，且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程是________． 解析 由正弦定理，得|AB |2R －|AC |2R ＝12×|BC |2R ， ∴|AB |－|AC |＝12|BC |，且为双曲线右支． 答案 16x 2a 2－16y 23a 2＝1(x >0且y ≠0)6. 如图，点F (a,0)(a >0)，点P 在y 轴上运动，M 在x 轴上运动，N 为动点，且PM →·PF →＝0，PM →＋PN →＝0，则点N 的轨迹方程为________．解析 由题意，知PM ⊥PF 且P 为线段MN 的中点，连接FN ，延长FP 至点Q 使P 恰为QF 之中点；连接QM ，QN ，则四边形FNQM 为菱形，且点Q 恒在直线l ：x ＝－a 上，故点N 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线，其方程为：y 2＝4ax . 答案 y 2＝4ax三、解答题(共25分)7．(12分)已知长为1＋2的线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，P 是AB 上一点，且AP→＝22PB →，求点P 的轨迹C 的方程．解 设A (x 0,0)，B (0，y 0)，P (x ，y )，AP→＝22PB →，又AP →＝(x －x 0，y )，PB →＝(－x ，y 0－y )， 所以x －x 0＝－22x ，y ＝22(y 0－y )， 得x 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋22x ，y 0＝(1＋2)y .因为|AB |＝1＋2，即x 20＋y 20＝(1＋2)2，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22x 2＋[(1＋2)y ]2＝(1＋2)2，化简得x 22＋y 2＝1.∴点P 的轨迹方程为x 22＋y 2＝1.8．(13分)设椭圆方程为x 2＋y24＝1，过点M (0,1)的直线l 交椭圆于A ，B 两点，O为坐标原点，点P 满足OP→＝12(OA →＋OB →)，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，当直线l 绕点M 旋转时，求： (1)动点P 的轨迹方程； (2)|NP→|的最大值，最小值．解 (1)直线l 过定点M (0,1)，当其斜率存在时设为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知，A 、B 的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋y 24＝1.消去y 得(4＋k 2)x 2＋2kx －3＝0. 则Δ＝4k 2＋12(4＋k 2)>0. ∴x 1＋x 2＝－2k4＋k 2，x 1x 2＝－34＋k 2.P (x ，y )是AB 的中点，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12(x 1＋x 2)＝－k 4＋k 2，y ＝12(y 1＋y 2)＝12(kx 1＋1＋kx 2＋1)＝44＋k 2；消去k 得4x 2＋y 2－y ＝0.当斜率k 不存在时，AB 的中点是坐标原点，也满足这个方程，故P 点的轨迹方程为4x 2＋y 2－y ＝0.(2)由(1)知4x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝14，∴－14≤x ≤14而|NP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋1－16x 24＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋162＋712，∴当x ＝－16时，|NP→|取得最大值216， 当x ＝14时，|NP →|取得最小值14.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2019·全国)正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝37.动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为( )．A ．16B ．14C ．12D ．10解析 当E 、F 分别为AB 、BC 中点时，显然碰撞的结果为4，当E 、F 分别为AB 的三等分点时，可得结果为6(如图1所示)．可以猜想本题碰撞的结果应为2×7＝14(如图2所示)．故选B.答案 B2．(2013·沈阳二模)在平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AD ＝2AB ，若P 是平面ABCD 内一点，且满足：xAB →＋yAD →＋P A →＝0(x ，y ∈R )．则当点P 在以A 为圆心，33|BD →|为半径的圆上时，实数x ，y 应满足关系式为( )．A ．4x 2＋y 2＋2xy ＝1B ．4x 2＋y 2－2xy ＝1C ．x 2＋4y 2－2xy ＝1D ．x 2＋4y 2＋2xy ＝1解析 如图，以A 为原点建立平面直角坐标系，设AD ＝2.据题意，得AB ＝1，∠ABD ＝90°，BD ＝3.∴B 、D 的坐标分别为(1,0)、(1，3)，∴AB →＝(1,0)，AD →＝(1，3)．设点P 的坐标为(m ，n )，即AP→＝(m ，n )，则由xAB →＋yAD →＋P A →＝0，得：AP →＝xAB →＋yAD →，∴⎩⎨⎧m ＝x ＋y ，n ＝3y .据题意，m 2＋n 2＝1，∴x 2＋4y 2＋2xy ＝1. 答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)3．如图所示，正方体ABCD －A1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在AB 上，且AM ＝13AB ，点P 在平面ABCD 上，且动点P 到直线A 1D 1的距离的平方与P 到点M 的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy 中，动点P 的轨迹方程是________．解析 过P 作PQ ⊥AD 于Q ，再过Q 作QH ⊥A1D 1于H ，连接PH 、PM ，可证PH ⊥A 1D 1，设P (x ，y )，由|PH |2－|PM |2＝1，得x 2＋1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋y 2＝1，化简得y 2＝23x －19.答案 y 2＝23x －194．(2013·南京模拟)P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的任意一点，F 1、F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是________．解析 由OQ →＝PF 1→＋PF 2→，又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2 PO →＝－2OP →，设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝－12(x ，y )＝－x 2，－y 2，即P 点坐标为－x 2，－y2.又P 在椭圆上，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b 2＝1. 答案 x 24a 2＋y 24b 2＝1 三、解答题(共25分)5．(12分)(2013·郑州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫62，2，且点F (0，－1)为其一个焦点． (1)求椭圆E 的方程；(2)设随圆E 与y 轴的两个交点为A 1，A 2，不在y 轴上的动点P 在直线y ＝b 2上运动，直线P A 1，P A 2分别与椭圆E 交于点M ，N ，证明：直线MN 通过一个定点，且△FMN 的周长为定值． 解 (1)根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧32a 2＋2b2＝1，b 2－a 2＝1，可解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝2，∴椭圆E 的方程为x 23＋y 24＝1.(2)由(1)知A 1(0,2)，A 2(0，－2)，P (x 0，4)为直线y ＝4上一点(x 0≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线P A 1方程为y ＝2x 0x ＋2，直线P A 2方程为y ＝6x 0x －2，点M (x 1，y 1)，A 1(0,2)的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 23＋y 24＝1，y ＝2x 0x ＋2，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－6x 03＋x 20，y 1＝2x 20－63＋x 20.点N (x 2，y 2)，A 2(0，－2)的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 24＝1，y ＝6x 0x －2，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝18x 027＋x 20，y 2＝－2x 20＋5427＋x 20.由于椭圆关于y 轴对称，当动点P 在直线y ＝4上运动时，直线MN 通过的定点必在y 轴上，当x 0＝1时，直线MN 的方程为y ＋1＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，令x ＝0，得y ＝1可猜测定点的坐标为(0,1)，并记这个定点为B .则直线BM 的斜率k BM ＝y 1－1x 1＝2x 20－63＋x 20－1－6x 03＋x 20＝9－x 206x 0，直线BN 的斜率k BN ＝y 2－1x 2＝－2x 20＋5427＋x 20－118x 027＋x 20＝9－x 206x 0，∴k BM ＝k BN ，即M ，B ，N 三点共线，故直线MN 通过一个定点B (0，1)，又∵F (0，－1)，B (0,1)是椭圆E 的焦点，∴△FMN 周长为|FM |＋|MB |＋|BN |＋|NF |＝4b ＝8，为定值．6．(13分)(2013·玉林模拟)已知向量a ＝(x ，3y )，b ＝(1,0)，且(a ＋3b )⊥(a －3b )．(1)求点Q (x ，y )的轨迹C 的方程；(2)设曲线C 与直线y ＝kx ＋m 相交于不同的两点M 、N ，又点A (0，－1)，当|AM |＝|AN |时，求实数m 的取值范围．解 (1)由题意得a ＋3b ＝(x ＋3，3y )，a －3b ＝(x －3，3y )，∵(a ＋3b )⊥(a －3b )，∴(a ＋3b )·(a －3b )＝0， 即(x ＋3)(x －3)＋3y ·3y ＝0.化简得x 23＋y 2＝1，∴Q 点的轨迹C 的方程为x 23＋y 2＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0，由于直线与椭圆有两个不同的交点， ∴Δ>0，即m 2<3k 2＋1.①(i)当k ≠0时，设弦MN 的中点为P (x P ，y P )，x M 、x N 分别为点M 、N 的横坐标，则x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk3k 2＋1， 从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1，k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk ，又|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN .则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k ，即2m ＝3k 2＋1，②将②代入①得2m >m 2，解得0<m <2， 由②得k 2＝2m －13>0，解得m >12，故所求的m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.(ii)当k ＝0时，|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN ，m 2<3k 2＋1，解得－1<m <1. 综上，当k ≠0时，m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，当k ＝0时，m 的取值范围是(－1,1).。