(完整word版)高等数学思想
高数期末总结数学思想
高数期末总结数学思想首先，高等数学的一大特点是其抽象性。
与初等数学相比，高等数学更加注重抽象的数学概念和理论，通过符号和公式的运用来描述和解决实际问题。
这种抽象性使得高等数学具有更广泛的应用领域和更深入的研究深度。
在学习高等数学的过程中，我们要适应这种抽象性，理解和运用其中的数学思想。
其次，高等数学注重建立数学模型和解决实际问题。
数学模型是数学在实际问题中的具体应用，通过将实际问题抽象成数学问题来理解和解决问题。
在学习高等数学的过程中，我们要学会将实际问题转化为数学模型，并运用已学的数学知识和技巧来解决问题。
这对于培养学生的问题解决能力和实际应用能力非常重要。
再次，高等数学的一个重要思想是极限的思想。
极限是高等数学中最基础的概念之一，它贯穿于整个高等数学的学习过程中。
极限的思想不仅可以帮助我们理解函数的性质和变化规律，还可以用来解决各种应用问题。
在学习高等数学的过程中，我们要深入理解极限的概念和性质，掌握极限的运算方法和判定准则，并灵活运用极限的思想解决各种问题。
此外，高等数学还涉及到很多重要的数学理论和方法，如导数与微分、积分与定积分、级数等。
在学习这些内容时，我们要注重理论的学习和方法的掌握，同时要善于思考和运用所学的知识来解决问题。
在学习高等数学的过程中，我还发现了一些数学思维的重要性。
首先是逻辑思维，通过学习高等数学，我们要培养和发展逻辑思维的能力，善于运用逻辑思维来分析和解决问题。
其次是抽象思维，高等数学注重抽象的数学概念和符号运算，我们要通过学习掌握这些抽象概念和方法，并运用抽象思维来理解和解决问题。
再次是创新思维，高等数学的学习要求我们不断探索、思考和创新，善于从问题中发现问题所在，并寻找解决问题的方法和思路。
总之，高等数学是一门重要而又具有挑战性的学科，它不仅是学习其他理工科知识的基础，同时也是培养学生数学思维和分析问题能力的重要工具。
在学习高等数学的过程中，我们要注重抽象性、数学模型的建立和解决实际问题，掌握极限的思想和方法，学会运用重要的数学理论和方法，同时培养数学思维和创新思维。
高等数学教案word版
高等数学教案word版篇一：高等数学上册教案篇二：《高等数学》教案《高等数学》授课教案第一讲高等数学学习介绍、函数了解新数学认识观，掌握基本初等函数的图像及性质；熟练复合函数的分解。
函数概念、性质（分段函数）—基本初等函数—初等函数—例子（定义域、函数的分解与复合、分段函数的图像）授课提要：前言：本讲首先是《高等数学》的学习介绍，其次是对中学学过的函数进行复习总结（函数本质上是指变量间相依关系的数学模型，是事物普遍联系的定量反映。
高等数学主要以函数作为研究对象，因此必须对函数的概念、图像及性质有深刻的理解）。
一、新教程序言1、为什么要重视数学学习（1）文化基础——数学是一种文化，它的准确性、严格性、应用广泛性，是现代社会文明的重要思维特征，是促进社会物质文明和精神文明的重要力量；（2）开发大脑——数学是思维训练的体操，对于训练和开发我们的大脑（左脑）有全面的作用；（3）知识技术——数学知识是学习自然科学和社会科学的基础，是我们生活和工作的一种能力和技术；（4）智慧开发——数学学习的目的是培养人的思维能力，这种能力为人的一生提供持续发展的动力。
2、对数学的新认识（1）新数学观——数学是一门特殊的科学，它为自然科学和社会科学提供思想和方法，是推动人类进步的重要力量；（2）新数学教育观——数学教育（学习）的目的：数学精神和数学思想方法，培养人的科学文化素质，包括发展人的思维能力和创新能力。
（3）新数学素质教育观——数学教育（学习）的意义：通过“数学素质”而培养人的“一般素质”。
[见教材“序言”]二、函数概念1、函数定义：变量间的一种对应关系（单值对应）。
（用变化的观点定义函数），记：y?f(x)（说明表达式的含义）(1)定义域：自变量的取值集合（D）。
(2)值域：函数值的集合，即{yy?f(x),x?D}。
例1、求函数y?ln(1?x2)的定义域？2、函数的图像：设函数y?f(x)的定义域为D，则点集{(x,y)y?f(x),x?D} 就构成函数的图像。
(完整word版)《高等数学》(下)课程教学大纲
《高等数学》（下）课程教学大纲教研室主任：王树泉执笔人：蔡俊青一、课程基本信息开课单位：经济学院课程名称：高等数学下册课程编号：101001212英文名称：Advanced Mathematics课程类型：专业基础课总学时： 72理论学时： 72 实验学时： 0学分：3开设专业：所有专业先修课程：《高等数学》(上)二、课程任务目标（一）课程任务本课程是理科院校经济管理类专业的一门专业基础课，又是全国硕士研究生入学考试统考科目。
通过本课程的学习，要使学生掌握多元函数微积分学、无穷级数和常微分方程的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。
要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解决问题的能力。
（二）课程目标基本了解多元函数微积分学的基础理论；充分理解微积分学的背景思想及数学思想。
掌握多元函数微积分学、无穷级数和常微分方程的基本方法、手段、技巧，并具备一定的分析论证能力和较强的运算能力。
能较熟练地应用微积分学、无穷级数和微分方程的思想方法解决应用问题。
三、教学内容和要求第六章多元函数微积分1．内容概要空间解析几何简介，多元函数基本概念，偏导数，全微分，多元复合函数微分法与隐函数微分法，多元函数的极值及其求法，二重积分的概念与性质，直角坐标系下二重积分的计算，极坐标系下二重积分的计算。
2．重点和难点重点：多元函数的概念；偏导数与全微分的概念；多元复合函数的求导法则；多元函数的极值问题；二重积分的概念及其计算难点：全微分的概念；多元复合函数的求导法则与隐函数微分法；二重积分的计算。
3．学习目的与要求（1）理解多元函数的极限与连续性，以及有界闭区域上的连续函数的性质。
（2）理解偏导数、全微分的概念。
（3）熟练掌握复合函数求导法；会求二阶偏导。
（4）会求隐函数的偏导数。
word高等数学教材
word高等数学教材Word高等数学教材是一本专为高等教育阶段的数学学习者而设计的教材。
本教材旨在全面而系统地介绍高等数学的基本概念、原理和应用，帮助学生建立扎实的数学基础，提高其数学分析和问题解决能力。
第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质在本章中，我们将深入探讨函数的概念，包括定义域、值域、图像、奇偶性等性质。
同时，还会涉及函数的分类，如初等函数、三角函数和指数函数等，以及其性质和特点。
1.2 极限的概念与性质极限是高等数学中的重要概念，对于理解数学的发展和应用有着关键的作用。
我们将详细介绍极限的定义与性质，包括无穷大极限、无穷小极限、左极限和右极限等。
1.3 极限运算法则在这一节中，我们将讨论极限的运算法则，如四则运算、复合函数的极限、函数比较法则等。
这些法则对于求解复杂的极限问题十分有帮助，能够简化计算过程并提高准确性。
第二章：导数与微分2.1 导数的定义与计算导数是微积分中的基本概念，它描述了函数在某一点的变化率。
我们将详细介绍导数的定义，并通过一些常见函数的例子来计算导数，包括常函数、幂函数和指数函数等。
2.2 导数的应用导数在实际问题中有着广泛的应用，如切线与法线的问题、函数的单调性与极值点的判定等。
在这一节中，我们将更多地探讨导数在各个领域的实际应用，并通过例题进行讲解。
2.3 高阶导数与泰勒展开式除了一阶导数，我们还可以计算高阶导数，用来描述函数更加精确的变化。
此外，还将介绍泰勒展开式，它是一种用无穷次多项式逼近函数的方法，通过泰勒展开可以更好地研究函数的特性。
第三章：不定积分与定积分3.1 不定积分的概念与性质不定积分是对导数的逆运算，用于求函数的原函数。
我们将引入不定积分的概念，并通过一些常见函数的例子来讨论不定积分的性质，如线性运算、分部积分和换元积分等。
3.2 定积分的定义与性质定积分是对函数在一定区间上的累加，可以用于计算曲线下的面积、质量、功和平均值等。
我们将详细介绍定积分的定义方法，并探讨定积分的性质，如线性性、区间可加性和基本定理等。
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目录一、函数与极限 (2)1、集合的概念 (2)2、常量与变量 (3)2、函数 (4)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (5)5、复合函数 (6)6、初等函数 (6)7、双曲函数及反双曲函数 (7)8、数列的极限 (8)9、函数的极限 (10)10、函数极限的运算规则 (11)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法⑵、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。
⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。
浅析高等数学中蕴含的数学思想
浅析高等数学中蕴含的数学思想摘要:高等数学中蕴含了许多数学思想，最常见的有1，极限思想。
2，转化与划归的思想。
3，函数与方程的思想。
4，数形结合的思想。
5，分类与整合的思想。
6，对应的思想。
本文对每种数学思想进行了阐述，并通过举例来说明。
关键词:数学思想一、问题引入高数老师们经常说：在教学中应该时刻渗透数学思想的内容。
那么在高等数学中蕴含了哪些数学思想呢？老师在教学中又该如何渗透呢？二问题分析（一）极限思想极限思想贯穿整个《高等数学》课程中，是最重要，最常见的思想。
它是指用极限的概念分析问题和解决问题的一种数学思想。
具体内容是：对于被解决的问题，先设法构思一个与它有关的变量，确认该变量通过无限过程的结果就是所求的问题，最后用极限计算得到结果的一种数学思想。
如导数的概念，要解决的问题是求瞬间变化率，先构造平均变化率，当时间趋向零时，平均变化率就变成了瞬间变化率。
如定积分的概念，要解决的问题是求一个值（面积，体积，路程等），先构造一个近似值（面积微元，体积微元，路程微元等），求这个近似值和式的极限就是最后所求。
（二）转化与化归的思想是把那些待解决或难解决的问题划归到已有知识范围内可解问题的一种数学思想。
如有的高次方程就是通过因式分解转化为低次方程来解决还有如高阶微分方程转化为低阶的微分方程，三重积分转化为二重积分，二重积分转化为定积分等。
（三）函数与方程的思想是用运动和变化的观点去分析研究具体问题中的数量关系，抽象出其数量特征，建立函数关系式，利用函数或方程有关知识解决问题的一种数学思想。
（四）数形结合的思想是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义又揭示其几何意义，使问题的数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，通过数与形的相互转化类解决数学问题的一种数学思想。
（五）分类与整合的思想是当数学对象的本质属性在局部上有不同点而又不便划归为单一本质属性的问题解决时，根据其不同点旋转适当的划分标准分类求解，并综合得出答案的一种数学思想。
高中常用的数学思想及知识点
高中数学常用数学思想（一）函数与方程思想函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。
方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组）。
图形的确定性（运动思想：某个（几个）点运动形成图形）图形是如何产生的，区分哪些量可由某一个量运动产生，这个变量就是自变量。
哪些量具有任意性，具有任意性的量可用特殊值法。
变量间的关系用解析式来表示，求出函数或方程。
（既函数与方程的思想：用函数观点来处理数学问题叫函数思想，用方程观点来处理数学问题叫做方程思想。
）函数思想是利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换、特殊点的函数值、以及图像过的定点等，一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。
（二）分类讨论思想引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：① 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。
如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。
这种分类讨论题型可以称为概念型。
② 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。
如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。
这种分类讨论题型可以称为性质型。
③ 解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。
如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。
这称为含参型。
另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。
（三）数形结合思想数形结合是包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。
（四）等价转化思想等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。
高等数学思想归纳总结
高等数学思想归纳总结高等数学是大学数学课程中的重要组成部分，它包含了微积分、线性代数、概率论等方面的知识，具有较高的抽象性和深度。
在学习过程中，我们需要将所学的数学思想进行归纳总结，以便更好地理解和应用这些概念和方法。
本文将对高等数学的思想进行分类与归纳，并对其在实际问题中的应用进行探讨。
一、微积分思想微积分是高等数学的核心内容，它涉及到极限、导数、积分等概念和方法。
在学习微积分的过程中，我们需要掌握以下几个重要思想：1. 极限思想：极限是微积分中最基本的概念之一，它描述了变量趋于无穷大或无穷小时的情况。
通过研究极限，我们能够更好地理解函数的性质，并推导出导数和积分的定义和性质。
2. 导数思想：导数是函数变化率的度量，它描述了函数在某一点附近的变化情况。
导数具有几何和物理等多种应用，如切线方程、极值判定等。
3. 积分思想：积分是导数的逆运算，它描述了曲线下面积的概念。
积分在计算面积、求解微分方程等问题中具有重要作用。
二、线性代数思想线性代数是数学中重要的分支之一，它涉及向量空间、矩阵、线性变换等内容。
在学习线性代数的过程中，我们需要关注以下几个关键思想：1. 向量空间思想：向量空间是线性代数中的基本概念，它描述了一组向量的集合和向量之间的运算规则。
向量空间可以用来解决线性方程组、矩阵求逆等问题。
2. 矩阵思想：矩阵是线性代数中的重要工具，它可以表示线性变换、求解线性方程组等。
矩阵的运算和性质对于理解线性代数的思想非常关键。
3. 线性变换思想：线性变换描述了一个向量空间到另一个向量空间的映射关系。
线性变换可以用来解决几何变换、图像处理等问题。
三、概率论思想概率论是高等数学中的重要分支，它涉及到随机变量、概率分布、统计推断等内容。
在学习概率论的过程中，我们需要掌握以下几个重要思想：1. 随机变量思想：随机变量描述了实验结果的不确定性，它可以是离散的也可以是连续的。
通过研究随机变量，我们可以得到它的概率分布以及相关的期望、方差等。
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高等数学思想方法第一章函数与极限主要的思想方法:(1)函数的思想高等数学的核心内容是微积分,而函数是微积分的主要研究对象。
我们在运用微积分解决实际问题时, 首先就要从实际问题中抽象出变量与变量之间的函数关系, 这是一个通过现象抽象出本质特征的思维过程, 体现的是科学的抽象是数学的一个思维方法和主要特征。
(2)极限的思想极限的思想方法是微积分的基础。
极限是变量在无限变化过程中的变化趋势, 是一个确定的数值。
把一些实际问题的确定结果视为一系列的无限近似数值的变化趋势,即函数或者数列的极限,这是一种重要的数学思想方法。
第二章导数与微分主要的思想方法:(1)微分的思想微分表示自变量有微小变化时函数的近似变化, 一般地, 求导的过程就称为微分;导数则反映函数相对于自变量的瞬时变化率。
从导数与微分的概念中可看出,在局部的“以直代曲”的微分思想得到了充分的体现,而这也是微积分的一个基本思想。
(2)数形结合的思想书本中在引入导数与微分概念时, 也讨论了它们的几何意义, 这显然更好地帮助我们理解这两个概念。
通过几何图形来直观地理解概念以及定理的证明等等内容是高等数学中常用的方法, 这是抽象思维与现象思维有机结合的典型体现。
(3)极限的思想不难发现导数概念的引入与定义深刻地体现了极限的思想。
(4)逻辑思维方法在本章中,归纳法(从特殊到一般) ,分类(整合)法等逻辑思维方法都得到了充分的体现,理解与掌握此类思维方法有助于良好的理性思维的形成。
第三章中值定理与导数的应用主要的思想方法:导数本质上是一种刻画函数在某一点处变化率的数学模型, 它实质上反映了函数在该点处的局部变化性态; 而中值定理则是联系函数局部性质与整体性质的“桥梁”, 利用中值定理我们就能够从函数的局部性质推断函数的整体性质, 具体表现为在理论和实际问题中可利用中值定理把握函数在某区间内一点处的导数与函数在该区间整体性质的关系。
导数是一种工具, 而中值定理(微分基本定理) 则是微分学的理论基础, 它更加深刻地揭示了可导函数的性质。
一方面, 在中值定理及其推导过程中, 不仅用到了演绎, 分析, 分类等数理逻辑方法(锻炼提升逻辑思维能力) , 而且包含了一些具体的数学方法,如辅助函数的构造(凑导数法,几何直观解题法,常数替代法,倒推法,乘积因子法) ,这就要求我们要培养直觉思维,发散思维等创新思维; 另一方面, 导数在解决实际问题中的应用广泛, 这要求我们要有应用数学的意识。
第四章不定积分主要的思想方法:积分法是微分法的逆运算,即已知函数的导数,求原函数问题(由一个函数的导数求这个函数) 。
不定积分的积分法:(1)直接积分法:直接或将被积函数恒等变形后利用基本积分公式和不定积分的性质求积分;(2)换元积分法:1.第一类换元法(凑微分法) ; 2. 第二类换元法(主要有三角代换,根代换,倒代换) ;(3)分部积分法;(4) 几种特殊类型函数的积分:有理函数的积分, 三角函数有理式的积分,简单无理函数的积分;(5)其它常见的积分方法:拆项法,加减项法,同乘以(或除以) 一因式法,降次法,先凑微分后化为同名函数法等。
第五章定积分主要的思想方法:定积分的几何意义是函数f(x)在区间[a,b]的图形与x 轴所界定区域的面积。
定积分完整地体现了积分思想——一种认识问题, 分析问题, 解决问题的思想方法, 定积分的概念借助极限工具, 以一种结构式的形式严格定义, 理解掌握这种通过“分割” , “近似” 。
“求和” , “取极限”的数学思想对后面重积分,曲线积分与曲面积分的学习有重要作用。
定积分与微分学不仅是高等数学的重要内容,也是研究科学技术问题的数学工具。
“分割” , “近似” , “求和” , “取极限”所反映出来的积分思想是微积分的核心思想。
第六章定积分的应用主要的思想方法:定积分的应用实质上是运用定积分理论来分析与解决一些几何与物理学中的问题。
定积分解决实际问题的方法:(1)根据定积分的定义,利用分割,近似替代,求和,取极限这四个步骤来推导出所求量的积分表达式;(2) “元素法” :将实际问题(几何,物理)转化为定积分,如计算平面区域的面积,平面曲线的弧长,用截面面积计算体积,计算旋转体的体积,计算变力做功等。
在本章的学习中可以增强我们的应用数学的意识并且有助于我们提高我们应用定积分解决实际问题的能力。
第七章空间解析几何与向量代数主要的思想方法:空间解析几何借助于空间坐标, 建立空间的曲面曲线方程, 利用代数方法研究图形的几何性质; 向量代数在高等数学中为空间解析几何服务, 它实质是作为一种研究空间图形性质的重要工具。
空间解析几何与向量代数是学习多元函数微积分的基础, 学习这部分知识的主要目的是为研究多元函数微积分理论提供一个直观的空间几何图形。
借助向量研究空间图形的性质, 建立空间图形的方程, 这是本章中体现的一种重要的数学思想方法, 我们要树立应用向量这一重要的数学工具研究与解决问题的意识;此外本章中最基本的数学思想是“数形结合”的思想。
第八章多元函数微分学主要的思想方法:多元函数微分学是一元函数微分学理论的推广与发展, 因此运用类比的思想方法来学习这一章内容会起到事半功倍的作用。
我们要培养类比思想这一创新的思维。
第九章重积分主要的思想方法:本章中着重讨论的二重积分与三重积分的理论是多元函数积分学的重要内容。
重积分与定积分一样, 都是某种特殊形式和的极限, 基本思想是“分割, 近似,求和,取极限” ,定积分的被积函数是一元函数,积分区域是一个确定的区间,而二,三重积分的被积函数是二,三元函数,积分区域是一个平面有界闭区域和一个空间有界闭区域,因此重积分是一元函数定积分的推广与发展。
重积分的计算方法中体现的基本思想是:将重积分化为累次积分, 而化为累次积分的关键是由被积函数的积分区域的特性来确定定积分的次序和积分限。
第十章曲线积分与曲面积分主要的思想方法:曲线积分与曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分, 对弧长的曲线积分和对面积的曲面积分是定积分和二重积分的直接推广, 两者又均有物理学背景, 因此它们在解决几何与物理学的实际应用问题中有重要作用。
在计算上, 将平面或空间曲线积分化为定积分的计算, 将空间曲面积分化为投影区域上的二重积分的计算; 在理论上, 建立了平面闭曲线上对坐标的曲线积分与该曲线围成的闭区域上的二重积分的关系, 建立了闭曲面上对坐标的曲面积分与该闭曲面围成的空间闭区域上的二重积分的关系。
这些就帮助我们更加深刻地掌握高等数学的思想方法。
格林公式的思想方法:格林公式实现了闭区域上的二重积分与区域的边界曲线上的曲线积分的相互转化,它可视作是定积分中的牛顿-莱布尼茨公式的一个推广。
高斯公式的思想方法:高斯公式描述了在空间立体上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系,它可视作是牛顿-莱布尼茨公式和格林公式的推广,同时它还是计算曲面积分的一个重要手段。
注意在曲面不封闭的情况下, 应先添补曲面构成封闭曲面,再利用高斯公式,这是计算曲面积分的常用方法。
第十一章无穷级数主要的思想方法:无穷级数是一种研究与表示函数及数值计算的专门工具与重要方法,是高等数学的一个重要组成部分。
在本章中,收敛与发散及其重要理论是建立在极限的基础之上的, 函数展开成幂级数的主要依据是微分学中的泰勒定理, 幂级数的运算中要用到求导数与定积分的计算, 由此可见, 无穷级数与微积分的其它内容之间有非常紧密的联系。
第十二章常微分方程主要的思想方法:常微分方程是指含有一元未知函数及其导数或微分的方程, 它是研究函数的重要工具。
建立常微分方程要用到导数的概念, 而解常微分方程则要用到积分法,因此常微分方程是在微积分基础上的发展与应用。
每种类型的常微分方程都有广泛的实际背景, 因此我们要有应用数学的意识, 通过建立数学模型来求解实际问题中的微分方程, 在求解前需要分析与明确常微分方程的类型,并在掌握各种微分方程的相应的解法的基础上求解答案, 同时掌握变量替换法, 常数变易法, 待定系数法等具体的数学方法对求解微分方程有重要的作用。
七大基本数学思想方法学习数学可以简要地分为三个层次(或称境界) :第一层次,深刻和熟练地掌握基础知识和基本概念及其本质并且初步拥有运用数学思想方法的意识, 明确各类基础题型的解题方法与步骤, 在不断的练习中锻炼与加强自己的准确的抽象运算能力和严谨的逻辑推理能力; 第二层次, 在进一步加深对数学思想方法的理解的基础上, 进行专题性质的知识总结从中发现各部分数学内容内在的紧密联系并逐渐做到掌握与运用, 与此同时, 加强数学建模的意识与应用能力, 能够发现实际问题中的数学模型并凭此解决联系生产生活实际的应用问题; 第三层次, 深刻地理解与把握各类数学思想方法, 对某一具体问题有更加深层的研究(譬如求极限的方法的归纳总结, 涉及绝对值的问题, 高等数学中应用微积分证明不等式的探讨等等) ,在面对新情境新背景下的理论或实际问题时,既能快速明确问题中的知识载体, 也能在数学解题能力得到提升与强化的基础上, 能够综合运用基础知识与数学思想方法,分析与解决具有综合性的新数学问题(平时就需要加强这一方面的能力) 或更高知识层次的数学问题(为此可略览硕士阶段数学知识做个大概的了解) 。
以此提高数学思维品质(想象力,创新思维,抽象性, 灵活性,深刻性) 。
基本概念与基础知识是“载体” ,解题方法是“手段” ,数学思想才是“深化与核心” ,是分析与解决问题的“灵魂” ,深刻理解与熟练运用数学思想有助于我们锻炼与形成高层次的数学思维,高水平的数学素质。
数学思想是指人们对数学理论与内容的本质的认识, 而数学方法则是数学思想的具体化形式,两者本质相同,因此通常混称为“数学思想方法” 。
下面是七大基本的数学思想方法(前四个为常用的思想方法) :一 . 函数与方程思想1. 函数思想是对函数内容在更高层次的抽象,概括与提炼,它要求我们要用函数的概念与性质去分析问题,转化问题和解决问题;在实际问题中,函数思想通过提出该问题中的数学特征, 建立与构造函数关系型的数学模型(方程, 不等式或方程与不等式的混合组) 并利用函数的性质, 最后通过求解函数解析式来解决问题。
2. 方程思想:实际问题~数学问题~代数问题~方程问题;方程思想是解决各类计算问题的基本思想,也是运算能力的基础。
二 . 数形结合思想1. 数学研究的对象是数量关系与空间形式,即数与形两个方面,在高等数学中,关于空间解析几何的内容就是数形结合思想的体现。
2. 数形结合思想的实质:将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合; 关键在于代数问题与几何图形之间的转化, 而代数问题几何化(数到形的转化) 相对简便, 几何问题代数化则需要严密的推理论证, 它考察我们的逻辑推理能力的高低。