第2章第9讲 函数模型及其应用

第9讲函数模型及其应用基础知识整合1．常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)对数函数型f(x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)幂函数型f(x)＝ax n＋b(a，b为常数，a≠0)2．指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质函数性质y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0)在(0，＋∞)上的增减性□01单调递增□02单调递增□03单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与□04y轴平行随x的增大逐渐表现为与□05x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有log a x<x n<a x形如f(x)＝x＋ax(a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型：(1)该函数在(－∞，－a]和[a，＋∞)上单调递增，在[－a，0)和(0，a]上单调递减．(2)当x ＞0时，x ＝a 时取最小值2a ， 当x ＜0时，x ＝－a 时取最大值－2a .1．(2019·嘉兴模拟)为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统(Private －Key Cryptosystem)，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)．现在加密密钥为y ＝kx 3，若明文“4”通过加密后得到密文“2”，则接收方接到密文“1256”，解密后得到的明文是( )A ．12B ．14C ．2D ．18答案 A解析 由已知，可得当x ＝4时，y ＝2，所以2＝k ·43，解得k ＝243＝132，故y ＝132x 3.令y ＝132x 3＝1256，即x 3＝18，解得x ＝12.故选A ．2．在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如下表：x 0.50 0.99 2.01 3.98 y－0.990.010.982.00则对x ，y 最适合的拟合函数是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2 D ．y ＝log 2x答案 D解析 根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入各选项计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入其余各选项计算，可以排除B ，C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意．故选D ．3．(2019·山东烟台模拟)某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R %(即每销售100元征税R 元)，若年销售量为⎝ ⎛⎭⎪⎫30－52R 万件，要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是( )A ．[4,8]B ．[6,10]C ．[4%,8%]D ．[6%,10%]答案 A解析 根据题意，要使附加税不少于128万元，需⎝ ⎛⎭⎪⎫30－52R ×160×R %≥128，整理得R 2－12R ＋32≤0，解得4≤R ≤8，即R ∈[4,8]．4．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系是y ＝3000＋20x －0.1x 2(0<x <240，x ∈N *)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台 答案 C解析 设利润为f (x )万元，则 f (x )＝25x －(3000＋20x －0.1x 2) ＝0.1x 2＋5x －3000(0<x <240，x ∈N *)． 令f (x )≥0，得x ≥150，所以生产者不亏本时的最低产量是150台．故选C ．5．(2019·湖北黄冈模拟)在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，经过x (x ∈R ，x ≥0)年可增长到原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )答案 D解析 由题意可得y ＝(1＋10.4%)x .故选D ．6．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A (a 为常数)，广告效应为D ＝a A －A ．那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________(用常数a 表示)．答案 14a 2解析 令t ＝A (t ≥0)，则A ＝t 2， ∴D ＝at －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12a 2＋14a 2.∴当t ＝12a ，即A ＝14a 2时，D 取得最大值．核心考向突破考向一 利用函数图象刻画实际问题例1 (2019·广西钦州第三次质量检测)图甲中的两条曲线分别表示某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律，对捕食者和被捕食者数量之间的关系描述错误的是( )A ．捕食者和被捕食者数量与时间以10年为周期B ．由图可知，当捕食者数量增多的过程中，被捕食者数量先增多后减少C ．捕食者和被捕食者数量之间的关系可以用图乙描述D ．捕食者的数量在第25年和30年之间数量在急速减少 答案 C解析 由已知中某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律，可得捕食者和被捕食者数量与时间以10年为周期呈周期性变化，捕食者的数量在第25年和30年之间数量在急速减少，正确；由图可知，当捕食者数量增多的过程中，被捕食者数量先增多后减少，故捕食者和被捕食者数量之间的关系应为环状，捕食者和被捕食者数量之间的关系可以用图乙描述，显然不正确．故选C．用函数图象刻画实际问题的解题思路将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可．[即时训练] 1.(2019·北京东城区模拟)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是()A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油答案 D解析从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h时的燃油效率大于5 km/L，故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米，所以A错误；由图可知甲车消耗汽油最少，所以B错误；甲车以80 km/h的速度行驶时的燃油效率为10 km/L，故行驶1小时的路程为80千米，消耗8 L汽油，所以C错误；当最高限速为80 km/h 且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以D 正确．考向二 已知函数模型解决实际问题例2 (1)(2019·中山模拟)据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：min)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cx ，x <A ，cA，x ≥A (A ，c 为常数)．已知某工人组装第4件产品用时30 min ，组装第A 件产品用时15 min ，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16答案 D解析由题意可知4<A ，则⎩⎪⎨⎪⎧f (4)＝c4＝30，f (A )＝cA＝15，解得⎩⎨⎧c ＝60，A ＝16，故选D ．(2)对于一个声强为I (单位：W/m 2)的声波，其声强级L (单位：dB)可由如下公式计算：L ＝10lg II 0(其中I 0是能引起听觉的最弱声强)．设声强为I 1时的声强级为70 dB ，声强为I 2时的声强级为60 dB ，则I 1是I 2的________倍．答案 10解析 依题意，可知70＝10lg I 1I 0，60＝10lg I 2I 0，所以70－60＝10lg I 1I 0－10lgI 2I 0，则1＝lg I 1I 2，所以I 1I 2＝10.利用已知函数模型解决实际问题的步骤若题目给出了含参数的函数模型，或可确定其函数模型的图象，求解时先用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值，再用求得的函数解析式解决实际问题．[即时训练] 2.某种出口产品的关税税率t ，市场价格x (单位：千元)与市场供应量p (单位：万件)之间近似满足关系式：p ＝2(1－kt )(x －b )2，其中k ，b 均为常数．当关税税率为75%时，若市场价格为5千元，则市场供应量约为1万件，若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件．(1)试确定k ，b 的值；(2)市场需求量q (单位：万件)与市场价格x 近似满足关系式：q ＝2－x .当p ＝q 时，市场价格称为市场平衡价格．当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值．解 (1)由已知得，若t ＝75%，当x ＝5时，p ＝1，当x ＝7时，p ＝2.所以⎩⎨⎧1＝2(1－0.75k )(5－b )2，2＝2(1－0.75k )(7－b )2，解得k ＝1，b ＝5. (2)由于k ＝1，b ＝5，则p ＝2(1－t )(x －5)2， 当p ＝q 时，2(1－t )(x －5)2＝2－x ， 所以(1－t )(x －5)2＝－x ， 所以t ＝1＋x(x －5)2，x ∈(0,4]， 设0<x 1<x 2≤4，则t 1－t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1(x 1－5)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 2(x 2－5)2 ＝x 1(x 1－5)2－x 2(x 2－5)2＝x 1(x 2－5)2－x 2(x 1－5)2(x 1－5)2(x 2－5)2＝x 1(x 22－10x 2＋25)－x 2(x 21－10x 1＋25)(x 1－5)2(x 2－5)2＝(x 1－x 2)(25－x 1x 2)(x 1－5)2(x 2－5)2，由于0<x 1<x 2≤4， 则x 1－x 2<0，(x 1－5)2(x 2－5)2>0，x1x2<16，所以25－x1x2>0，所以t1<t2，在区间(0,4]上是增函数，所以t＝1＋x(x＋5)2取得最大值，为5，所以当x＝4时，t＝1＋x(x－5)2即当市场平衡价格为4千元时，关税税率的最大值为500%.考向三构建函数模型解决实际问题例3(1)(2019·马鞍山模拟)某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2018年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)() A．2020年B．2021年C．2022年D．2023年答案 C解析若2019年是第1年，则第n年全年投入的科研经费为1300×1.12n万元，由1300×1.12n>2000，可得lg 1.3＋n lg 1.12>lg 2，所以n×0.05>0.19，得n>3.8，即n≥4，所以第4年，即2022年全年投入的科研经费开始超过2000万元，故选C．(2)设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元(t为正常数)．公司决定从原有员工中分流x(0<x<100，x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产．分流后，继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少，则最多能分流的人数是()A．15 B．16C．17 D．18答案 B解析由题意，分流前每年创造的产值为100t(万元)，分流x人后，每年创造的产值为(100－x )(1＋1.2x %)t ，则由⎩⎨⎧0<x <100，x ∈N *，(100－x )(1＋1.2x %)t ≥100t ，解得0<x ≤503.因为x ∈N *，所以x 的最大值为16.故选B ．构建数学模型一定要过好的三关(1)事理关：通过阅读、理解，明确问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题找出突破口．(2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学符号语言，用数学式子表达数学关系．(3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型．[即时训练] 3.(2020·山东实验中学月考)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元、0.5万元．(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系；(2)若该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？解 (1)设两类产品的收益与投资的函数关系分别为f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x . 由已知得f (1)＝18＝k 1，g (1)＝12＝k 2， 所以f (x )＝18x (x ≥0)，g (x )＝12x (x ≥0)．(2)设投资股票类产品为x 万元，则投资债券类产品为20－x 万元． 依题意得y ＝f (20－x )＋g (x )＝20－x 8＋12x ＝－x ＋4x ＋208(0≤x ≤20)．所以x＝2，即x＝4时，收益最大，y max＝3万元．故投资债券类产品16万元，投资股票类产品4万元时获得最大收益，为3万元．课时作业1．某物体一天中的温度T(单位：℃)是时间t的函数：T(t)＝t3－3t＋60，当t ＝0时表示中午12时，其后t取正值，则上午8时的温度是() A．8 ℃B．112 ℃C．58 ℃D．18 ℃答案 A解析由题意得上午8时t＝－4，因此T＝(－4)3－3×(－4)＋60＝8，故选A．2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是()答案 C解析出发时距学校最远，先排除A；中途交通堵塞停留，距离没变，再排除D；堵塞停留后比原来骑得快，因此排除B．3．(2019·蚌埠模拟)某种动物的繁殖数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的关系式为y＝a log2(x＋1)，若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到() A．300只B．400只C．500只D．600只答案 A解析由题意，得100＝a log2(1＋1)，解得a＝100，所以y＝100log2(x＋1)，当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300，故到第7年它们发展到300只．4．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是(参考数据lg 2≈0.3010)()A ．3B ．4C ．5D ．6答案 B解析 设至少要洗x 次，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34x ≤1100，∴x ≥1lg 2≈3.322，因此至少需洗4次．故选B ．5．(2019·辽宁五校联考)一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同)，汽车在时间t 秒内的路程为s ＝12t 2米，那么，此人( )A ．可在7秒内追上汽车B ．可在9秒内追上汽车C ．不能追上汽车，但期间离汽车的最近距离为14米D ．不能追上汽车，但期间离汽车的最近距离为7米 答案 D解析 已知s ＝12t 2，车与人的间距d ＝(s ＋25)－6t ＝12t 2－6t ＋25＝12(t －6)2＋7.当t ＝6时，d 取得最小值7.故选D ．6．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶，甲、乙两车的速度曲线分别为v 甲和v 乙，如图所示，那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( )A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面B ．t 1时刻后，甲车在乙车后面C ．在t 0时刻，两车的位置相同D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面 答案 A解析由图象可知，曲线v甲比v乙在0～t0,0～t1与t轴所围成的图形面积大，则在t0，t1时刻，甲车均在乙车前面．故选A．7．(2019·北京高考)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝52lg E1E2，其中星等为m k的星的亮度为E k(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A．1010.1B．10.1C．lg 10.1 D．10－10.1答案 A解析由题意知，m1＝－26.7，m2＝－1.45，代入所给公式得－1.45－(－26.7)＝5 2lg E1E2，所以lg E1E2＝10.1，所以E1E2＝1010.1.故选A．8．某公司在甲、乙两地销售同一种品牌汽车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2，L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆汽车，则能获得的最大利润为()A．45.606万元B．45.6万元C．45.56万元D．45.51万元答案 B解析依题意可设在甲地销售了x辆汽车，则在乙地销售了(15－x)辆汽车，总利润S＝L1＋L2＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30＝－0.15(x－10.2)2＋45.606(0≤x≤15且x∈N)，所以当x＝10时，S max＝45.6.故选B．9．(2019·乌兰察布模拟)某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万和8万，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站()A．5千米处B．4千米处C．3千米处D．2千米处答案 A解析 设仓库建在离车站x 千米处，则y 1＝k 1x ，y 2＝k 2x ，根据给出的初始数据可得k 1＝20，k 2＝0.8，两项费用之和为y ＝20x ＋0.8x ≥8，当且仅当x ＝5时，等号成立．10．(2019·武汉模拟)国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过部分的14%纳税；超过4000元的按全稿酬的11%纳税．若某人共纳税420元，则这个人的稿费为( )A ．3000元B ．3800元C ．3818元D ．5600元答案 B解析 由题意可建立纳税额y 关于稿费x 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤800，0.14(x －800)，800<x ≤4000，0.11x ，x >4000，显然由0.14·(x －800)＝420，可得x ＝3800.11．(2019·南昌模拟)近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每座城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P (单位：万元)与投入a (单位：万元)满足P ＝32a －6，乙城市收益Q (单位：万元)与投入A (单位：万元)满足Q ＝14A ＋2，则投资两座城市收益的最大值为( )A ．26万元B ．44万元C ．48万元D ．72万元答案 B解析 设在甲城市投资x 万元，在乙城市投资(120－x )万元，所以总收益f (x )＝32x －6＋14(120－x )＋2＝－14x ＋32x ＋26，由题意，知⎩⎨⎧x ≥40，120－x ≥40，解得40≤x ≤80.令t ＝x ，则t ∈[210，45]，所以y ＝－14t 2＋32t ＋26＝－14(t －62)2＋44，当t ＝62，即x ＝72时，y 取得最大值44，所以当甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时，总收益最大，且最大收益为44万元．故选B ．12．(2019·深圳模拟)某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份( )A ．甲食堂的营业额较高B ．乙食堂的营业额较高C ．甲、乙两食堂的营业额相同D ．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高 答案 A解析 设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m ，甲食堂的营业额每月增加a (a >0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x ，由题意可得，m ＋8a ＝m ×(1＋x )8，则5月份甲食堂的营业额y 1＝m ＋4a ，乙食堂的营业额y 2＝m ×(1＋x )4＝m (m ＋8a )，因为y 21－y 22＝(m ＋4a )2－m (m ＋8a )＝16a 2>0，所以y 1>y 2，故本年5月份甲食堂的营业额较高．13．某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K 是单位产品数Q 的函数，K (Q )＝40Q －120Q 2，则总利润L (Q )的最大值是________万元．答案 2500解析 由已知得L (Q )＝K (Q )－10Q －2000＝⎝ ⎛⎭⎪⎫40Q －120Q 2－10Q －2000＝－120(Q －300)2＋2500，所以当Q ＝300时，L (Q )max ＝2500(万元)． 14．(2020·银川月考)大气温度y (℃)随着距离地面的高度x (km)的增加而降低，当在高度不低于11 km 的高空时气温几乎不变．设地面气温为22 ℃，大约每上升1 km 大气温度降低6 ℃，则y 关于x 的函数关系式为________.答案 y ＝⎩⎨⎧22－6x ，0≤x <11，－44，x ≥11解析 由题意，知y 关于x 为分段函数，x ＝11为分界点，易得其解析式为y ＝⎩⎨⎧22－6x ，0≤x <11，－44，x ≥11.15．(2019·唐山模拟)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________ m.答案 20解析 设矩形花园的宽为y m ，则x 40＝40－y40，即y ＝40－x ，矩形花园的面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400，当x ＝20 m 时，面积最大．故填20.16．(2019·四川德阳诊断)将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt .假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，则n 的值为________；若再过m min 甲桶中的水只有a4 L ，则m 的值为________.答案 15ln 12 5解析 ∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y ＝f (t )＝a e nt 满足f (5)＝a e 5n ＝12a ，可得n ＝15ln 12；由n ＝15ln 12，得f (t )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t5，设k min 后甲桶中的水只有a 4 L ，则f (k )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 5＝a 4，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 5＝14，解得k ＝10，所以m ＝k －5＝5(min)． 17．某公司制订了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A 万元，则额外奖励2log 5(A ＋1)万元．记奖金为y (单位：万元)，销售利润为x (单位：万元)．(1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数模型；(2)如果业务员小李获得3.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？ 解 (1)由题意，得该公司激励销售人员的奖励方案的函数模型为y ＝⎩⎨⎧0.15x ，0≤x ≤10，1.5＋2log 5(x －9)，x >10.(2)由(1)，知当x ∈[0,10]时，0≤0.15x ≤1.5， 因为业务员小李获得3.5万元的奖金，即y ＝3.5， 所以x >10，因此1.5＋2log 5(x －9)＝3.5， 解得x ＝14.所以业务员小李的销售利润是14万元．18．(2019·郑州模拟)已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t (单位：分钟)的变化规律：θ＝m ·2t ＋21－t (t ≥0，并且m >0)．(1)如果m ＝2，求经过多少分钟，物体的温度为5摄氏度； (2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围． 解 (1)若m ＝2，则θ＝2·2t ＋21－t ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋12t ，当θ＝5时，2t＋12t ＝52，令2t＝x ≥1，则x ＋1x ＝52，即2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12(舍去)， 此时t ＝1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度． (2)物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立， 亦即m ·2t ＋22t ≥2⇔m ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －122t 恒成立．令12t ＝x ，则0<x ≤1，不等式化为m ≥2(x －x 2)， 由于x －x 2≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫当x ＝12，即t ＝1时取等号，所以m ≥12.19．(2019·河北石家庄一模)已知某公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元．设该公司一年内共生产该款手机x 万只并全部销售完，每万只的销售收入为R (x )万美元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7400x－40000x 2，x >40.(1)写出年利润W (万美元)关于年产量x (万只)的函数解析式；(2)当年产量为多少万只时，该公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．解 (1)当0<x ≤40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－6x 2＋384x －40， 当x >40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－40000x －16x ＋7360. 所以W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40，－40000x －16x ＋7360，x >40.(2)①当0<x ≤40时，W ＝－6(x －32)2＋6104， 所以当x ＝32时，W 取得最大值，W max ＝6104； ②当x >40时，W ＝－40000x －16x ＋7360， 由于40000x ＋16x ≥240000x ×16x ＝1600，当且仅当40000x ＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，取等号，所以W 取最大值，为5760.综合①②，当x ＝32时，W 取最大值，为6104.20．(2019·沈阳模拟)一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？解 (1)设每年砍伐面积的百分比为x (0＜x ＜1)． 则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12，解得x ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12110.(2)设经过m 年剩余面积为原来的22，则a (1－x )m ＝22a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 10＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212，m10＝12，解得m ＝5，故到今年为止，已砍伐了5年． (3)设从今年开始，最多还能砍伐n 年， 则n 年后剩余面积为22a (1－x )n . 令22a (1－x )n ≥14a ，即(1－x )n ≥24， ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 10≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1232，n 10≤32，解得n ≤15. 故今后最多还能砍伐15年．。