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球面几何 选修 双曲几何的庞加莱单位圆盘模型36页PPT
球面几何 选修 双曲几何的庞加莱单位 圆盘模型
51、山气日夕佳，飞鸟相与还。 52、木欣欣以向荣，泉涓涓而始流。
53、富贵非吾愿，帝乡不可期。 54、雄发指危冠，猛气冲长缨。 55、土地平旷，屋舍俨然，有良田美 池桑竹 来自属， 阡陌交 通，鸡 犬相闻 。
▪
谢谢！
36
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
51、山气日夕佳，飞鸟相与还。 52、木欣欣以向荣，泉涓涓而始流。
53、富贵非吾愿，帝乡不可期。 54、雄发指危冠，猛气冲长缨。 55、土地平旷，屋舍俨然，有良田美 池桑竹 来自属， 阡陌交 通，鸡 犬相闻 。
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谢谢！
36
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
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28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
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29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
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30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
球体ppt课件
球体的几何属性
01
02
03
表面积
球体的表面积计算公式为 4πr²，其中r为球体的半径 。
体积
球体的体积计算公式为 (4/3)πr³，其中r为球体的 半径。
球的半径
球心到球面任一点的距离 称为球的半径，通常用大 写字母r表示。
球体的应用
天文学
地球是一个近似于球体的天体， 研究地球和其他星球的运动规律 有助于了解天文学的基本原理。
产品展示
艺术创作
在雕塑、绘画等艺术创作中，使用球 体作为表现形式，创作出具有艺术美 感的作品。
在产品设计中，使用球体作为设计元 素或主题，突出产品的特点和美感。
05
球体与其他几何体的关系
球体与圆柱体的关系
球体与直圆柱体的关系
球体可以看作是一个直圆柱体以任意 轴截面旋转而成。直圆柱体的底面即 为球体的底面，直圆柱体的高度即为 球体的高度。
地球科学中的球体
总结词
地球科学中，球体用于描述地球的形状、大小和赤道半径等参数。
详细描述
地球是一个两极稍扁、赤道略鼓的不规则球体，但为了简化计算和测量，通常将地球视为正球体。地球科学中， 球体的参数如地球半径、地球质量等都是重要的研究内容，这些参数对于地球重力场、地球自转、地球磁场等方 面的研究都有重要影响。
物理学
在物理学中，球体常被用于研究 力学、热学和电磁学等领域的基 本原理。例如，在研究物体的运 动时，常常将物体简化为质点或
球体进行计算。
数学
在数学中，球体是研究几何学和 代数学等学科的基本对象之一。 例如，球的几何属性（如表面积 和体积）的计算公式在数学中有
广泛的应用。
02
球体的构造与性质
球体的构造
球面几何学_ppt课件
球面三角形 ABD 的内角和 5 = 3
1 2 2 球面三角形 的面积= 2 rABD 3 3
球面三角形 ABE 的内角和 7 =
4
3 3 球面三角形 ABE 的面积 = 2 r2 8 4
归纳出单位球面三角形的内角和公式
A B C S
猜测
证明
经线：以南极和北极为端点的半大圆
纬线
第二节 球面上的一些基本图形
1、大圆：过球心的平面在球面上的截线（直线） 小圆：不过球心的平面在球面上的截线。 2、优弧、劣弧：过球面上两点一定可以作一 个大圆。（球面上两点间的距离即劣弧长） 球面上连接两点的最短路径是经过这两点的 一段大圆弧——劣弧。
球面三角形 ABC 、 ABD 、 ABE 中
O B C
E D
ABC ACB ADC AED 2 2 3 BAC , BAD , BAE 2 3 4
分别计算： 球面三角形 ABC 、 ABD 、 ABE 的 内角和及面积
球面三角形 ABC 的内角和 3 = 2 球面三角形 ABC 的面积= 1 1 2 2 r 4 2
3.中学数学平面几何考点分析
练习：
（1）正方体的全面积是a,它的顶点都在球 面上，这个球的表面积是（ ）。
（2）球的半径为R，则它的外切正方体的 棱长为（ ），内接正方体的棱长为（ ）。
第九章 球面几何学
第九章 球面几何学
设想：在地球面上，从一个城市飞往另一个 城市，如何飞行距离最短？ ——球面上的几何学——一种新的几何学 ——一个与欧式平面几何不同的几何模型 研究方法：类比的思想方法（？） 空间想象能力、几何直观能力
第四节 球面三角形的边角关系
人教A版《球面三角形》PPT精美课件1
球面三角形
一、球、球面 在空间与一定点等距离的点的轨迹
称为球面（spherical surface）。 包围在球面中的实体称为球
（sphere）,这一定点称为球心。
R
●球心与球面上任
意一点间的距离称
为球半径R。
●过球心与球面相交的直线段称为球 直径。
●同球的半径和直径相等。 ●同理,半径或直径相等的球全等。
二、球面上的圆 任意一平面和球面相截的截痕是圆。
平面通过球心时，所 截成的圆称为大圆 （great circle）， 它的一段圆周叫大圆 弧。
平面不通过球心的圆称为小圆（small circle）， 它的一段圆周叫小圆弧。
三、大圆的性质
1．大圆的圆心与球心重合。
2．大圆的直径等于球直径，半径等于球半径。 3．大圆等分球面和球体。 4．同球上的两个大圆平面一定相交，交线是
人教A版《球面三角形》PPT精美课件1
a A
P
c
b
O
B
C
P′
球面上一点到某一
大圆弧上任意两点间的
d
球面距离都是90°，则
这一点就是该大圆的极
D
而这个大圆则是该点的
极线。极线必定是大圆
弧。
人教A版《球面三角形》PPT精美课件1
人教A版《球面三角形》PPT精美课件1
五、球面角及其度量
球面上两大圆弧相交构成的角称为球面角 (spherical angle)，
人教A版《球面三角形》PPT精美课件1
人教A版《球面三角形》PPT精美课件1
⑴ 边的余弦公式
c
b
a
记忆口诀： 一边的余弦等于其它两边余弦的乘积，加 上这两边正弦及其夹角余弦的乘积。
一、球、球面 在空间与一定点等距离的点的轨迹
称为球面（spherical surface）。 包围在球面中的实体称为球
（sphere）,这一定点称为球心。
R
●球心与球面上任
意一点间的距离称
为球半径R。
●过球心与球面相交的直线段称为球 直径。
●同球的半径和直径相等。 ●同理,半径或直径相等的球全等。
二、球面上的圆 任意一平面和球面相截的截痕是圆。
平面通过球心时，所 截成的圆称为大圆 （great circle）， 它的一段圆周叫大圆 弧。
平面不通过球心的圆称为小圆（small circle）， 它的一段圆周叫小圆弧。
三、大圆的性质
1．大圆的圆心与球心重合。
2．大圆的直径等于球直径，半径等于球半径。 3．大圆等分球面和球体。 4．同球上的两个大圆平面一定相交，交线是
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a A
P
c
b
O
B
C
P′
球面上一点到某一
大圆弧上任意两点间的
d
球面距离都是90°，则
这一点就是该大圆的极
D
而这个大圆则是该点的
极线。极线必定是大圆
弧。
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五、球面角及其度量
球面上两大圆弧相交构成的角称为球面角 (spherical angle)，
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⑴ 边的余弦公式
c
b
a
记忆口诀： 一边的余弦等于其它两边余弦的乘积，加 上这两边正弦及其夹角余弦的乘积。
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12
在平面几何中，我们知道平面多边形 的内角和为(n-2)π，单位球面上球面三角形
△ABC的面积S´=（A+B+C-π），因此得到 球面三角形的内角和为S´+π．
13
我们大胆猜想，单位球面上，球面n （n≥3）边形的内角和等于（n-2）π+S,其 中S为球面n边形的面积．事实上猜测是正 确的．
14
拉公式
从橡皮变换角度看，简单多面体与球 等价，简单多面体的表面与球面等价．这 时，我们大胆想象，橡皮膜变成球后，组 成简单多面体的每个面的各条边可以与球 面多边形建立一定的联系．
下面我们给出欧拉公式的证明．
22
欧拉公式 如果用V 表示简单多面体的 顶点数，E 表示简单多面体的棱数，F表 示简单多面体的面数，那么：
25
调整“网络”，使其上的每一条曲线都 变成 上的一段大圆弧，那么简单多面体 就变成整个球面 ，且 的一个面变成 上的 多边形 ， 的顶点数、棱数、面数与 上的顶 点数、棱数、面数完全相同.这样就只研究 上的顶点数、棱数、面数的关系就行了．
26
把的各面编号：1，2，…，F， 的第一
个面变成 的第一个球面多边形，设此球面 多边形有 n 1 条边，它的内角的弧度数分别
与先学平面三角形再学平面多 边形一样，我们在球面三角形的基 础上，引进球面多边形的概念．
8
A1 A6
A2
A3
O
A4
A5
图 6-1
9
我们知道，在平面上，n(n≥3)条收尾相接且 互不相交的线段围成的封闭图形叫做n边 形．类似地，如图6-1中，在球面上有n个点： A1，A2,A3,. . . An，且任意三点不在同一个大圆 上，经过这n个点中任意两点做大圆，首尾顺 次相接劣弧A1A2,A2A3,. . .An-1An．
在平面几何中，我们知道平面多边形 的内角和为(n-2)π，单位球面上球面三角形
△ABC的面积S´=（A+B+C-π），因此得到 球面三角形的内角和为S´+π．
13
我们大胆猜想，单位球面上，球面n （n≥3）边形的内角和等于（n-2）π+S,其 中S为球面n边形的面积．事实上猜测是正 确的．
14
拉公式
从橡皮变换角度看，简单多面体与球 等价，简单多面体的表面与球面等价．这 时，我们大胆想象，橡皮膜变成球后，组 成简单多面体的每个面的各条边可以与球 面多边形建立一定的联系．
下面我们给出欧拉公式的证明．
22
欧拉公式 如果用V 表示简单多面体的 顶点数，E 表示简单多面体的棱数，F表 示简单多面体的面数，那么：
25
调整“网络”，使其上的每一条曲线都 变成 上的一段大圆弧，那么简单多面体 就变成整个球面 ，且 的一个面变成 上的 多边形 ， 的顶点数、棱数、面数与 上的顶 点数、棱数、面数完全相同.这样就只研究 上的顶点数、棱数、面数的关系就行了．
26
把的各面编号：1，2，…，F， 的第一
个面变成 的第一个球面多边形，设此球面 多边形有 n 1 条边，它的内角的弧度数分别
与先学平面三角形再学平面多 边形一样，我们在球面三角形的基 础上，引进球面多边形的概念．
8
A1 A6
A2
A3
O
A4
A5
图 6-1
9
我们知道，在平面上，n(n≥3)条收尾相接且 互不相交的线段围成的封闭图形叫做n边 形．类似地，如图6-1中，在球面上有n个点： A1，A2,A3,. . . An，且任意三点不在同一个大圆 上，经过这n个点中任意两点做大圆，首尾顺 次相接劣弧A1A2,A2A3,. . .An-1An．
湘教版高中数学选修3-3球面上的几何全套PPT课件
如图2-1，在平面内，通过任一指定 点A，沿着任一指定方向AM，有且只有一 条直线a.将直线a在这平面内移动，可以 使它改变到平面内任一指定直线b的位置， 并且使点A落到b上指定的点B，同时使方 向AM落到b上指定的方向BN.
简单地说，就是在平面内所有各点地 位均等(均匀)，一点处所有方向地位均 等(各向同性).这就是平面的对称性. “方向”的概念，可以从平面推广到球 面.球面在一点处的一个方向，就是球面在 这一点的切线方向(切线是过球面上一点垂 直于球半径的直线，它与球面有且只有一个 公共点，叫作切点).
三、简单的球面距离计算
了解纬度和经度的几何意义以后， 已经能直接进行一些沿着经线或纬线方 向的球面距离计算.
例3：北京的位性大致为北纬40°，东 经116°；纽约的位置大致为北纬40°， 西经74°.由此可见，北京和纽约大致 在同一条纬线上. 考虑北纬40°线上的两段弧:第一 段从北京向东，经过太平洋直到纽约; 第二段从北京向西，经过大西洋直到纽 约.这两段弧中哪一段较短?这段较短的 弧长度大约是多少千米?
定理3 （月形面积）设月形的角是 α（弧度），面积是S，球半径是R， 那么 S=2R²α.
四、球面三角形 平面几何中的三 角形，是由三条直线 围成的. 相应地，在球面 几何中，由三条大圆 弧顺次首尾相连，围 成的一个曲面区域， 叫作球面三角形.
定理3 (球面三角形面积)设球半径 为R.那么球面三角形ABC的面积为
在一个球面上，是否也存在不相交的大圆呢？
定理2 （大圆相交）同一球面的任何 两个大圆都相交，其交点是一双对径 点.
二、球面角
在北极或南极附近，两条经线 组成一个弯曲的角状图形，这是平 面里的角在球面上的类似物，叫做 球面角.
例1 地球仪上画出的24条经线，均匀分 布,问隔相等.所以，地球仪上每两条相邻 经线所成球面角的大小都相等，其大小为 360°÷24=15°
人教A版数学选修3-3 球面上的几何第六讲第二节多面体欧拉定理的发现与简单应用 (共13张PPT)
人教新课标2003版选修3-3《球面上的几何》 第六讲（二）《简单多面体的欧拉公式》
足球表面有多少个正五边形
——多面体欧拉定理的发现与简单应用
一、从生活中发现问题
足球表面有多少个正五 边形和正六边形？
二、分组讨论，分析问题
初步结论：
1、每块正五边形橡皮周围都是正六边形橡皮； 2、每两个相邻的多边形恰有一条公共的边； 3、每个顶点处都有三块橡皮，而且是一个正 五边形、二个正六边形； 4、共32个面，更进一步可以得到60个顶点， 90条棱……
富勒烯
四、合作探究，深入研究问题
（一）查阅相关资料，证明欧拉公式
（二）查阅相关资料，了解欧拉相关生平 （三）查阅相关资料，了解富勒烯的相关知识
（四）查阅相关资料，通过证明欧拉公式，了解拓扑学相关 知识 （五）查阅相关资料，了解凸多面体与简单多面体与球同胚的定 义
人生从来没有真正的绝境。无论遭受多少艰辛，无论经历多少苦难，心中都要怀着一粒信念的种子，有什么样的眼界和胸襟，就看到什么样的风景。你的心有多宽，你 局有多大，你的心就能有多宽。我很平凡，却不简单，只要我想要，就会通过自己的努力去得到。羡慕别人不如自己拥有，现在的努力奋斗成就未来的自己。人生要学 存了一次丰收；你若努力，就储存了一个希望；你若微笑，就储存了一份快乐。你能支取什么，取决于你储蓄了什么。没有储存友谊，就无法支取帮助；没有储存学识 储存汗水，就无法支取成长。想要取之不尽的幸福，要储蓄感恩和付出。人生之路并非只有坦途，也有不少崎岖与坎坷，甚至会有一时难以跨越的沟坎儿。在这样的紧要 再向前跨出一步!尽管可能非常艰难，但请相信：只要坚持下去，你的人生会无比绚丽！弯得下腰，才抬得起头。在人生路上，不是所有的门都很宽阔，有的门需要你弯 必要时要能够弯得下自己的腰，才可能在人生路上畅通无阻。跟着理智走，要有勇气;跟着感觉走，就要有倾其所有的决心。从不曾放弃追求，从不愿放弃自己的所有， 风景，领略太多的是是非非，才渐渐明白，人活着不只为了自己，而活着，却要活出自己你不会的东西，觉得难的东西，一定不要躲。先搞明白，后精湛，你就比别人 不舍得花力气去钻研，自动淘汰，所以你执着的努力，就占了大便宜。女生年轻时的奋斗不是为了嫁个好人，而是为了让自己找一份好工作，有一个在哪里都饿不死的 收入。因为：只有当你经济独立了，才能做到说走就走，才能灵魂独立，才能有资本选择自己想要伴侣和生活。成功没有快车道，幸福没有高速路，一份耕耘一份收获 的努力和奔跑，所有幸福都来自平凡的奋斗和坚持。也许你要早上七点起床，晚上十二点睡觉，日复一日，踽踽独行。但只要笃定而动情地活着，即使生不逢时，你人 器晚成。无论遇到什么困难，受到什么伤害，都不要放弃和抱怨。放弃，再也没有机会；抱怨，会让家人伤心；只要不放弃，扛下去，生活一定会给你想要的惊喜！无 么伤害，都不要放弃和抱怨。放弃，再也没有机会；抱怨，会让家人伤心；只要不放弃，扛下去，生活一定会给你想要的惊喜！行动力，是我们对平庸生活最好的回击。 就在于行动力。不行动，梦想就只是好高骛远；不执行，目标就只是海市蜃楼。想做一件事，最好的开始就是现在。每个人的心里，都藏着一个了不起的自己，只要你 悄酝酿着乐观，培养着豁达，坚持着善良，只要在路上，就没有到达不了的远方！每个人的心里，都藏着一个了不起的自己，只要你不颓废，不消极，一直悄悄酝酿着 着善良，只要在路上，就没有到达不了的远方！自己丰富才能感知世界丰富，自己善良才能感知社会美好，自己坦荡才能感受生活喜悦，自己成功才能感悟生命壮观！ 退的理由却有一百个。每条路都是孤独的，慢慢的你会相信没有什么事不可原谅，没有什么人会永驻身旁，也许现在的你很累，未来的路还很长，不要忘了当初为何而 现在，勿忘初心。每条路都是孤独的，慢慢的你会相信没有什么事不可原谅，没有什么人会永驻身旁，也许现在的你很累，未来的路还很长，不要忘了当初为何而出发， 勿忘初心。人活一世，实属不易，做个善良的人，踏实，做个简单的人，轻松。不管以前受过什么伤害，遇到什么挫折，做人贵在善良，做事重在坚持！别人欠你的， 好报；坚持，必有收获！人活一世，实属不易，做个善良的人，踏实，做个简单的人，轻松。不管以前受过什么伤害，遇到什么挫折，做人贵在善良，做事重在坚持！别 善良，终有好报；坚持，必有收获！不要凡事都依靠别人。在这个世界上，最能让你依靠的人是自己，最能拯救你的人也只能是自己。要想事情改变，首先要改变自己 终改变别人。有位哲人说得好：如果你不能成为大道，那就当一条小路；如果你不能成为太阳，那就当一颗星星。生活有一百种过法，别人的故事再好，始终容不下你 定。不要羡慕别人，你有更好的，只是你还不知道。水再浑浊，只要长久沉淀，依然会分外清澄；人再愚钝，只要足够努力，一样能改写命运。更何况比我差的人还没 力，我就更没资格说，我无能为力。水再浑浊，只要长久沉淀，依然会分外清澄；人再愚钝，只要足够努力，一样能改写命运。更何况比我差的人还没放弃，比我好的 格说，我无能为力。朝着一个目标不停的向前，不断努力的付出，哪怕你现在的人生是从零开始，你都可以做得到。早安！让梦想照进现实，才是当下最应该做的事情 钱的时候不磨叽， 生活不会因为你哭泣而对你温柔， 连孩子都知道，想要的东西，要踮起脚尖，自己伸手去拿，所以不要什么都不做，还什么都想要。但你可以通过努
足球表面有多少个正五边形
——多面体欧拉定理的发现与简单应用
一、从生活中发现问题
足球表面有多少个正五 边形和正六边形？
二、分组讨论，分析问题
初步结论：
1、每块正五边形橡皮周围都是正六边形橡皮； 2、每两个相邻的多边形恰有一条公共的边； 3、每个顶点处都有三块橡皮，而且是一个正 五边形、二个正六边形； 4、共32个面，更进一步可以得到60个顶点， 90条棱……
富勒烯
四、合作探究，深入研究问题
（一）查阅相关资料，证明欧拉公式
（二）查阅相关资料，了解欧拉相关生平 （三）查阅相关资料，了解富勒烯的相关知识
（四）查阅相关资料，通过证明欧拉公式，了解拓扑学相关 知识 （五）查阅相关资料，了解凸多面体与简单多面体与球同胚的定 义
人生从来没有真正的绝境。无论遭受多少艰辛，无论经历多少苦难，心中都要怀着一粒信念的种子，有什么样的眼界和胸襟，就看到什么样的风景。你的心有多宽，你 局有多大，你的心就能有多宽。我很平凡，却不简单，只要我想要，就会通过自己的努力去得到。羡慕别人不如自己拥有，现在的努力奋斗成就未来的自己。人生要学 存了一次丰收；你若努力，就储存了一个希望；你若微笑，就储存了一份快乐。你能支取什么，取决于你储蓄了什么。没有储存友谊，就无法支取帮助；没有储存学识 储存汗水，就无法支取成长。想要取之不尽的幸福，要储蓄感恩和付出。人生之路并非只有坦途，也有不少崎岖与坎坷，甚至会有一时难以跨越的沟坎儿。在这样的紧要 再向前跨出一步!尽管可能非常艰难，但请相信：只要坚持下去，你的人生会无比绚丽！弯得下腰，才抬得起头。在人生路上，不是所有的门都很宽阔，有的门需要你弯 必要时要能够弯得下自己的腰，才可能在人生路上畅通无阻。跟着理智走，要有勇气;跟着感觉走，就要有倾其所有的决心。从不曾放弃追求，从不愿放弃自己的所有， 风景，领略太多的是是非非，才渐渐明白，人活着不只为了自己，而活着，却要活出自己你不会的东西，觉得难的东西，一定不要躲。先搞明白，后精湛，你就比别人 不舍得花力气去钻研，自动淘汰，所以你执着的努力，就占了大便宜。女生年轻时的奋斗不是为了嫁个好人，而是为了让自己找一份好工作，有一个在哪里都饿不死的 收入。因为：只有当你经济独立了，才能做到说走就走，才能灵魂独立，才能有资本选择自己想要伴侣和生活。成功没有快车道，幸福没有高速路，一份耕耘一份收获 的努力和奔跑，所有幸福都来自平凡的奋斗和坚持。也许你要早上七点起床，晚上十二点睡觉，日复一日，踽踽独行。但只要笃定而动情地活着，即使生不逢时，你人 器晚成。无论遇到什么困难，受到什么伤害，都不要放弃和抱怨。放弃，再也没有机会；抱怨，会让家人伤心；只要不放弃，扛下去，生活一定会给你想要的惊喜！无 么伤害，都不要放弃和抱怨。放弃，再也没有机会；抱怨，会让家人伤心；只要不放弃，扛下去，生活一定会给你想要的惊喜！行动力，是我们对平庸生活最好的回击。 就在于行动力。不行动，梦想就只是好高骛远；不执行，目标就只是海市蜃楼。想做一件事，最好的开始就是现在。每个人的心里，都藏着一个了不起的自己，只要你 悄酝酿着乐观，培养着豁达，坚持着善良，只要在路上，就没有到达不了的远方！每个人的心里，都藏着一个了不起的自己，只要你不颓废，不消极，一直悄悄酝酿着 着善良，只要在路上，就没有到达不了的远方！自己丰富才能感知世界丰富，自己善良才能感知社会美好，自己坦荡才能感受生活喜悦，自己成功才能感悟生命壮观！ 退的理由却有一百个。每条路都是孤独的，慢慢的你会相信没有什么事不可原谅，没有什么人会永驻身旁，也许现在的你很累，未来的路还很长，不要忘了当初为何而 现在，勿忘初心。每条路都是孤独的，慢慢的你会相信没有什么事不可原谅，没有什么人会永驻身旁，也许现在的你很累，未来的路还很长，不要忘了当初为何而出发， 勿忘初心。人活一世，实属不易，做个善良的人，踏实，做个简单的人，轻松。不管以前受过什么伤害，遇到什么挫折，做人贵在善良，做事重在坚持！别人欠你的， 好报；坚持，必有收获！人活一世，实属不易，做个善良的人，踏实，做个简单的人，轻松。不管以前受过什么伤害，遇到什么挫折，做人贵在善良，做事重在坚持！别 善良，终有好报；坚持，必有收获！不要凡事都依靠别人。在这个世界上，最能让你依靠的人是自己，最能拯救你的人也只能是自己。要想事情改变，首先要改变自己 终改变别人。有位哲人说得好：如果你不能成为大道，那就当一条小路；如果你不能成为太阳，那就当一颗星星。生活有一百种过法，别人的故事再好，始终容不下你 定。不要羡慕别人，你有更好的，只是你还不知道。水再浑浊，只要长久沉淀，依然会分外清澄；人再愚钝，只要足够努力，一样能改写命运。更何况比我差的人还没 力，我就更没资格说，我无能为力。水再浑浊，只要长久沉淀，依然会分外清澄；人再愚钝，只要足够努力，一样能改写命运。更何况比我差的人还没放弃，比我好的 格说，我无能为力。朝着一个目标不停的向前，不断努力的付出，哪怕你现在的人生是从零开始，你都可以做得到。早安！让梦想照进现实，才是当下最应该做的事情 钱的时候不磨叽， 生活不会因为你哭泣而对你温柔， 连孩子都知道，想要的东西，要踮起脚尖，自己伸手去拿，所以不要什么都不做，还什么都想要。但你可以通过努
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*中小学平面几何教学综述 1.中小学数学课程中平面几何部分的内容要
求 2.中学平面几何典型例题（数学知识类、课题
学习类、信息技术应用类、实验与探究类、数学
活动类） 3.中学数学平面几何考点分析
练习：
（1）正方体的全面积是a,它的顶点都在球 面上，这个球的表面积是（ ）。
（2）球的半径为R，则它的外切正方体的 棱长为（ ），内接正方体的棱长为（ ）。
第九章 球面几何学
第九章 球面几何学
设想：在地球面上，从一个城市飞往另一个 城市，如何飞行距离最短？
——球面上的几何学——一种新的几何学 ——一个与欧式平面几何不同的几何模型
研究方法：类比的思想方法（？） 空间想象能力、几何直观能力
球面是空间中最完美匀称的曲面—— 两个半径相等的球面可以用平移叠合起来； 两个半径不相等的球面相差的就是放大缩小 的相似变换；
球面三角形ABE的内角和
= 7
4
球面三3角形2ABrE2的面积3=
8
4
归纳出单位球面三角形的内角和公式
ABC S
猜测
证明
分析
由月形的面积计算公式，得
A
C`
B`
S球面ABC S球面A`BC 2A①
S球面ABC S球面AB`C 2B② S球面ABC S球面ABC` 2C③
（只能在同一球面上或半径相等的球面上讨论）
1、“边边边”判定定理
证明：
2、“边角边”判定定理 3、“角边角”判定定理 自己证明 4、“角角角”判定定理
第四节 球面三角形的边角关系
如何用向量的向量积证明球面上的余弦定理？
从球面上的正弦定理看球面和平面
球面上余弦定理的应用——求地球上两城市间的距离
球面三角形的内角和是定值吗？
A
球面三角形 ABC、ABD、ABE中
ABC ACB ADB AEB
2
O B
E D
C
BAC BAD BAE
探究单位球面三角形的内角和公式
A
球面三角形 ABC、ABD、ABE中
O B
E D
C
ABC ACB ADC AED
（1）位置关系 （2）圆（球）幂定理 （3）三边之间的关系 （4）等腰三角形 （5）周长 （6）内角和 （7）内角和与面积的关系 （8）全等判定定理 （9）边角关系 （10）相似三角形 （11）两点间的距离
4、论述：为什么相对于半径来说很小的一小 片球面可以作为一个平面来对待。
球面坐标
1、三维直角坐标系 2、球面坐标系 3、赤道坐标系 4、水平坐标系
于是，在球面上就产生了一些与欧式平面几 何完全不同的定理。
请同学们完成专题学习报告：
提纲
1、球面上的基本图形（大圆、优弧劣弧、球面 角、球面二角形—月形、球面三角形、三面角、 对顶三角形、球极三角形、对径点、极点、 赤道圆等）
2、球面三角形与极对称三角形边角之间的关系
3、球面三角形与平面三角形的性质对比（分开列 出哪些是相同性质，哪些是不同性质）
4、球面二角形：也叫月形，是球面上两个有 公共直径的半大圆所夹的部分。
思考：球面二角形的面积？
球面可以看成是球面角为 的月形。
5、球面三角形
（类比平面三角形） 不在同一条直线的三点——不在同一大圆上的三点 边、顶点、内角 球面几何学中最简单、最重要的图形
三面角： 如何度量内角和边长？
6、对顶三角形
纬线
第二节 球面上的一些基本图形
1、大圆：过球心的平面在球面上的截线（直线） 小圆：不过球心的平面在球面上的截线。
2、优弧、劣弧：过球面上两点一定可以作一 个大圆。（球面上两点间的距离即劣弧长） 球面上连接两点的最短路径是经过这两点的 一段大圆弧——劣弧。
思考题：
3、球面角：记作 （类比平面中的角） 如何度量球面角？——两平面构成的二面 角。
2
BAC ,BAD 2 ,BAE 3
2
3
4
分别计算： 球面三角形ABC、ABD、ABE的 内角和及面积
球面三角形ABC的内角和
= 3
2
球面三1 角2形rA2 BC1的 面积=
4
2
球面三角形ABD的内角和
= 5
3
球面三1 角2形r2ABD2 的面积=
3
3
二、直线与球面的位置关系：
同样，类比直线与圆的位置关系，来探究直线与
球的位置关系。
结论：
把球心O到直线L的距离记为OH， 当OH>R时，相离，直线与球没有公共点； 当OH=R时，相切，直线与球只有一个公共 点； 当OH<R时，相切，直线与球有两个公共点。 三、球幂定理
经线：以南极和北极为端点的半大圆
对径点：球的直径的两个端点。
A
C`
B`
B
C
A`
7、球极三角形
极点、赤道圆Biblioteka 性质1： 性质2：第三节 球面三角形
一、球面三角形三边之间的关系
类比平面三角形的三边关系
二、球面等腰三角形
类比平面等腰三角形
三、球面三角形的周长
A
C`
B`
B
C
A`
问题
平面三角形内角和为π； 球面三角形内角和是多少？
球面上的几何学——一种新的几何学 ——一个与欧式平面几何不同的几何模型
• 研究方法：类比的思想方法
为什么平面和球面上有些不同的性质呢？
追溯根源—— 在平面上，过直线外一点，有且只有一条
直线与该直线不相交； 在球面上，大圆可视为“直线”，任意两条
“直线”（大圆）都相交，即过“直线”外一点， 没有一条“直线”与该“直线”不相交。
B
C
A`
将上面三个等式两边相加，得
3S球面ABC S球面A`BC S球面AB`C S球面ABC` 2 A B C
又∵ S球面ABC S球面A`BC S球面AB`C S球面A`B`C 2R 2 2
∵ S球面ABC` S球面A`B`C
z
O
(0 r ,0 , x
y
A
0 2 )
xy
P
2S球面ABC 2 2A B C
即
ABC S
单位球面三角形的 内角和公式
单位球面三角形的 面积公式
基本概念 内角和公式的推测 内角和公式的证明
第三节 球面三角形的全等
类比平面三角形的全等—— 规定：两个球面三角形全等是指两个图形完 全相等，即球面三角形的六个元素：三条边、 三个角分别相等。
球面坐标
设M（x,y,z）为空间一点， z
M
如果将x，y，z改用另外 三个数r， ， 来表示,
r
z
则称（r， ， ）为点M的 O
球面坐标。
x
y
xy
P
球面坐标与直角坐标的关系
x r sin cos
z
M
y
r
sin
sin
OP r sin
r
z r cos
中学平面几何问题概述（总结）
*证明的一般思路 试误式思路： 直接式：分析法、综合法 间接式：反证法、同一法 顿悟式思路： *证明的特殊思路 面积法、向量法、复数法 （会用以上方法证题）
*几何轨迹与尺规作图 1.区别轨迹和图形
2.会用两面性证明轨迹命题 3.会按步骤解作图题（写出已知、求作，进 行分析，写出作法，证明，讨论）
所以本质性的球面几何可以归纳到单位半径 的球面来讨论。
第一节 平面与球面、直线与球面的位置关 系
一、平面与球的位置关系：
类比直线与圆的位置关系，来探究平面与球的位置关系。
相交、相离、相切
结论： 一个平面与球面相交，所得的交线是一个 圆，且圆心与球心的连线垂直于这一平面。
用一个平面截一个球，截面是圆面。请同 学们思考什么时候是小圆，什么时候是大 圆？