数学专题 新题原创强化训练

专题四 新题原创强化训练一、选择题1．已知,R αβ∈，则“()23k k Z παβπ-=+∈”是“1sin sin 2αββ=”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件 【答案】A【解析】1πsin sin sin 223αβββ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，故π2π3k αβ=++或ππ2π3k αβ++=+，故是充分不必要条件. 2．函数()f x 的定义域是R ， ()02f =，对任意x R ∈， ()()'1f x f x +>，则不等式()1x x e f x e >+的解集为（ ）A. {}0x x B. {|0}x x < C. {|11}x x x -或 D. {|101}x x x <-<<或 【答案】A【解析】令g （x ）=e x •f （x ）﹣e x，则g ′（x ）=e x•[f （x ）+f ′（x ）﹣1] ∵对任意x ∈R ，f （x ）+f ′（x ）＞1， ∴g ′（x ）＞0恒成立即g （x ）=e x •f （x ）﹣e x在R 上为增函数 又∵f （0）=2，∴g （0）=1故g （x ）=e x •f （x ）﹣e x＞1的解集为{x|x ＞0}即不等式e x •f （x ）＞e x+1的解集为{x|x ＞0} 故答案为：A3．椭圆M:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)左右焦点分别为F 1,F 2,P 为椭圆M 上任一点且|PF 1||PF 2|最大值取值范围是[2c 2,3c 2]，其中c =√a 2−b 2，则椭圆离心率e 取值范围（ ） A. [√22,1) B. [√33,√22] C. [√33,1) D. [13,12) 【答案】B【解析】因为PF 1+PF 2=2a ⇒2a ≥2√PF 1⋅PF 2⇒PF 1⋅PF 2≤a 2 ，因此2c 2≤a 2≤3c 2,13≤e 2≤12,√33≤e ≤√22，选B.4．已知函数()()1112322x x x f x ea a ---=-+-有唯一零点，则负实数a =（ ）A. 13-B. 12- C. -3 D. -2 【答案】C【解析】注意到直线1x =是13x y e -=和1122x x y --=+的对称轴，故1x =是函数()f x 的对称轴，若函数有唯一零点，零点必在1x =处取得. ()21320f a a =--=，解得3a =-. 5．在ABC ∆中，边a b c 、、所对的角分别为A B C 、、， 3A B =，且1b =，则sin sin4c BB⋅=（ ） A.13 B. 12C. 2D. 1 【答案】D 【解析】()()sin sin sin sin 3,,sin4sin 3sin sin c B c B c B c BA B B B B A B C⋅⋅⋅⋅====++Q 由正弦定理可得sin , 1.sin sin sin b c c Bb B C C⋅=∴== 故选D.6．已知M 是ΔABC 内的一点，且AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3，∠BAC =30°，若ΔMBC ，ΔMCA ,ΔMAB 的面积分别为12,x,y ，则1x +4y 的最小值为（ ） A. 20 B. 18 C. 16 D. 9 【答案】B【解析】由题意得12+x +y =12×AB ×AC ×sin300 ,又AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ×AC ×cos300=2√3⇒AB ×AC =4 ,所以12+x +y =12×4×sin300=1⇒x +y =12因此1x+4y=(1x+4y)⋅2(x +y)=2(5+y x+4x y)≥2(5+2√y x⋅4x y)=18 ,当且仅当y =2x 时取等号,从而选B.7．已知函数()[]()sin 0,f x x x π=∈和函数()3tan 5g x x =的图象相交于,,A B C 三点，则ABC ∆的面积为（ ）A. 5πB. 25πC. 35πD. 45π【答案】B【解析】根据题意，令sinx=35tanx ，即sinx （1﹣35cos x ）=0，解得sinx=0，或1﹣35cos x=0，即sinx=0或cosx=35．又x ∈[0，π]，∴x=0或x=π，或x=arccos 35，∴点A （0，0），B （π，0），C （arccos 35，）， ∴△ABC 的面积为12•|AB|•|y C |= 142··255ππ= ，故答案为：B ．8．设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，点G 为ABC ∆的重心且满足向量BG CG ⊥u u u v u u u v，若tan sin a A c B λ=，则实数λ=（ ）A. 3B. 2C. 12D. 23【答案】C【解析】如图，连接AG ，延长交AG 交BC 于D ，由于G 为重心，故D 为中点， 12CG BG DG BC ⊥∴=Q ，， 由重心的性质得， 3AD DG =，即32AD BC =， 由余弦定理得，22222222AC AD CD AD CD cos ADC AB AD BD AD BDcos ADB =+-⋅⋅∠=+-⋅∠，， 222222ADC BDC CD BD AC AB BD AD π∠+∠==∴+=+Q ，，，2222219522AC AB BC BC BC ∴+=+=，2225b c a ∴+= ，可得： 222224222b c a a a cosA bc bc bc +-===，tan sin a A c B λ=Q ， 22212sin 2asinA a a a c BcosA bccosAbc bcλ∴====⋅． 故选D ．9. 已知在各项为正数的等比数列{}n a 中， 4a 与10a 的等比中项为4，则当5928a a +取最小值时首项1a 等于（ ） A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 【答案】A【解析】设各项为正数的等比数列{}n a 的公比为(0)q q > ∵4a 与10a 的等比中项为4∴2241074a a a ==∴74a =∴22759722282883232a a a a q q q q +=+=+≥= 当且仅当22832q q =，即212q =时取等号，此时71632a a q == 故选A10. 若函数f(x)=lnx 与函数g(x)=x 2+2x +a(x <0)有公切线，则实数a 的取值范围是（ ）A. (ln 12e ,+∞) B. (−1,+∞) C. (1,+∞) D. (−ln2,+∞) 【答案】A 【解析】设公切线与函数f(x)=lnx 切于点A(x 1， lnx 1)(x 1>0)，则切线方程为y −lnx 1=1x 1(x −x 1)；设公切线与函数g(x)=x 2+2x +a 切于点B(x 2， x 22+2x 2+a)(x 2<0)，则切线方程为y −(x 22+2x 2+a)=2(x 2+1)(x −x 2)，所以有{1x 1=2(x 2+1)， lnx 1−1=−x 22+a ． ∵x 2<0<x 1，∴0<1x 1<2．又a =lnx 1+(12x 1−1)2−1=−ln 1x 1+14(1x 1−2)2−1，令t =1x 1，∴0<t <2， a =14t 2−t −lnt ．设ℎ(t)=14t 2−t −lnt(0<t <2)，则ℎ′(t)=12t −1−1t =(t−1)2−32t<0，∴ℎ(t)在(0，2)上为减函数，则ℎ(t)>ℎ(2)=−ln2−1=ln 12e ，∴a ∈(ln 12e ， +∞)，故选A ．11. 已知[]x 表示不大于x 的最大整数，若函数()[]2f x x a x x a =+-在()0,2上仅有一个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A. (),4-∞-B. ()0,1C. ()(),40,1-∞-⋃D. ()4,0,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】根据题意写出函数表达式为： ()()()22,0,1{ ,1,2x a x f x x ax a x -∈=+-∈，在()0,2上仅有一个零点分两种情况，情况一：在第一段上有零点， 0{0110a a a -<⇒<<-> ，此时检验第二段无零点，故满足条件；情况二，第二段有零点， ()()0{110 420a f a f -≥=>⇒<-<以上两种情况并到一起得到： ()(),40,1-∞-⋃。

故答案为：C 。

12. 在ΔABC 中，E,F 分别为边AB,AC 上的点，且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，A =60∘，则BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A. 72B. 92C. 134D. 154【答案】B 【解析】BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )(AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−56AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=14×4−56×3×2×12+23×32=92,故选B. 二.填空题13．若对恒成立,则实数的取值范围是___________.【答案】3[2,)2- 【解析】试题分析：当n 为偶数时，12M n <-，而113322,222M n -≥-=∴<；当n 为奇数时，12M n -<+，而122,2,2M M n +>∴-<>-.所以的取值范围是3[2,)2-.考点：不等式.14．已知函数ax x x x f +-=ln )(在()e ,0上是增函数，函数2)(2a a e x g x+-=，当[]3ln ,0∈x 时，函数)(x g 的最大值M 与最小值m 的差为23，则=a ．1(1)(1)2n nM n+--<+*n N ∈M M【答案】25 【解析】试题分析：因为函数ax x x x f +-=ln )(在()e ,0上是增函数，所以0ln 1)('≥--=x a x f 在()e ,0上恒成立，即2≥-a ，即2≥a ；因为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-≤≤+-=+-=a x aa e a x a e a a a e x g x xx ln ,2ln 0,22)(222，若3ln ln ≥a ，即3≥a 时，)(x g 在[]3ln ,0单调递减，则2)3(ln )0(=-=-g g m M （舍），当3ln ln <a ，即32<≤a 时，函数)(x g 在[]a ln ,0上递减，在[]3ln ,ln a 上递增，且042)3(ln )0(≥-=-a g g ，所以23)(ln )0(=-=-a g g m M ，即2312)21(22=-=-+-a a a a ，解得25=a ；故填25． 15．如图，已知矩形ABCD 的边长2AB =， 1AD =.点P ， Q 分别在边BC ， CD 上，且45PAQ ︒∠=，则AP AQ ⋅u u u v u u u v的最小值为_________.【答案】4【解析】以A 坐标原点，AB,AD 所在直线为x,y 轴建立直角坐标系，设()()2,,1P y Q x ，所以AP AQ ⋅u u u v u u u v()()2,,12y x x y =⋅=+因为45PAQ ︒∠=，所以()()22222x y xy +=- 因为02,0102x y xy ≤≤≤≤∴≤≤ ，所以22221xx y xy y x-+=-∴=+ 因此()22442222214111x x y x x x x x x-+=+=+-=++-+++44≥= 16. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =,12n n n S a a +=（*n N ∈），若()1211nn n n n b a a ++=-, 则数列{}n b 的前n 项和n T =_______________.【答案】()111nn --++或2,1{ ,1n n n n n n +-+-+为奇数，为偶数【解析】由12n n n S a a +=可知1122)n n n S a a n --=≥（，两式相减得()1112n n n n n n n n a a a a a a a a +-+=-=-，因为11a =，所以0n a ≠， 12n n a a +=-，构造()112n n n n a a a a +--+-= ，所以1n n a a --=1， 数列{}n a 是以1为公差，1为首项的等差数列，所以()11,1n n a n b n n ⎛⎫==-⋅+ ⎪+⎝⎭，()111111*********n n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L当n 为偶数时， 111n T n =-++ ，当n 为奇数时， 111n T n =--+ ，综上所述()111nn T n -=-++ ,故填()111nn --++或2,1{ ,1n n n n n n +-+-+为奇数，为偶数. 三.解答题17．ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知边2c =，且sin sin 2sin sin a A a B C b B -=-.(1)若()sin 2C sin B A sin A +-=,求ABC ∆的面积； (2)记AB 边的中点为M ，求CM 的最大值，并说明理由.【答案】（1（2【解析】试题分析：（1）由sin sin 2sin sin a A a B C b B -=-利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示cos C ，将得出的等式代入计算求出cos C 的值，即可确定出角C ，进而可得ABC∆的面积；（2）由()12CM CA CB =+u u u u v u u u v u u u v ()22214CM a b ab ⇒=++u u u u v ，又可得2242,4ab a b ab ab +=+≥∴≤，即可求得CM 的最大值.试题解析： 2c =Q ，故sin sin 2sin sin sin sin a A a B C b B a A a B -=-⇔-222sin sin c C b B a b c ab=-⇒+-=，由余弦定理可得2221cos ,6022a b c C C ab +-==∴=o .（1）()()()sin 2C sin B A sin A sin A B sin B A +-=⇒++-2sin cos 2sin cos 2sin cos A A B A A A =⇒=，即cos 0A =或sin sin 90B A A =⇒=o 或A B =，当90A =o 时， 30,tan30B b c ABC ===∆o o 的面积1sin 2s bc A ==，当A B =时， ABC ∆为等边三角形， 122602s sin =⨯⨯⨯=o （2）由于AB 边的中点为M ，故()212CM CA CB CM =+⇒u u u u v u u u v u u u v u u u u v()()222211244CA CB CB CA a b ab =++⋅=++u uu v u u u v u u u v u u u v ， 2,60c C ==o Q ， ∴由余弦定理知， 224a b ab +=+，于是2112CM ab =+u u u u v ，而2242,4ab a b ab ab +=+≥∴≤，23,CM CM ∴≤∴u u u u v 2a b c ===时取等号）.18．2016年6月22 日，“国际教育信息化大会”在山东青岛开幕.为了解哪些人更关注“国际教育信息化大会”，某机构随机抽取了年龄在15-75岁之间的100人进行调查，经统计“青少年”与“中老年”的人数之比为9: 11.（1）根据已知条件完成下面的22⨯列联表,并判断能否有99%的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注“国际教育信息化大会”；（2）现从抽取的青少年中采用分层抽样的办法选取9人进行问卷调查.在这9人中再选取3人进行面对面询问，记选取的3人中关注“国际教育信息化大会”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望. 附:参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.临界值表：【解析】（1）依题意可知，抽取的“青少年”共有91004520⨯=人，“中老年”共有1004555-=人.完成的22⨯列联表如下：则()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ()2100303520159.0915*******⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，因为()2 6.6350.01,9.091 6.635P K >=>,所以有99%的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注“国际教育信息化大会”.（2）根据题意知选出关注的人数为3，不关注的人数为6，在这9人中再选取3人进行面对面询问， X 的取值可以为0，1，2，3，则()363920508421C P X C ====， ()123639451518428C C P X C ====，()21363918328414C C P X C ====， ()33391384C P X C ===. 所以X 的分布列为数学期望()204518145363012318484848484E X ++=⨯+⨯+⨯+⨯==. 19．如图，三棱柱111ABC A B C -中， 1A B ⊥平面ABC ，且AB AC ⊥. （1）求证： 1AC BB ⊥；（2）若12,AB AC A B M ===为11B C 的中点，求二面角1M AB A --平面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2【解析】试题分析：（1）利用所给条件可证AC ⊥平面11A ABB ，再由线面垂直的性质可得线线垂直；（2）以射线,,AB AC AY 为,,x y z 正半轴建立空间直角坐标系，建立空间直角坐标系．由二面角与法向量夹角间的关系可得二面角平面角余弦．试题解析：（1）111}A B ABC A B ACAB ACAC A B AB B⊥⇒⊥⊥⇒⊥⋂=平面11A ABB ，所以1AC BB ⊥,(2)过点A 作1AY A B ⊥，因为1A B ⊥平面ABC ，所以AY ⊥平面ABC ，又AB AC ⊥，以射线,,AB AC AY 为,,x y z 正半轴建立空间直角坐标系， 由12AB AC A B ===，得()()()()10,0,0,2,0,0,0,2,0,2,0,2,A B C A ，由()112,0,2BB CC ==u u u r u u u u r，得()()114,0,2,2,2,2B C ，M 为11B C 的中点，所以()3,1,2M ，()()3,1,2,2,0,0AM AB ==u u u u r u u u r ，平面ABM 的法向量()0,2,1m =-r， ()()12,0,2,2,0,0AA AB ==u u u r u u u r ，平面1ABA 的法向量()0,1,0n =r，所以cos,m nm nm n⋅〈〉===⋅r rr rr r设二面角1M AB A--的平面角为θ，由图知θ锐角，所以cosθ=20．已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的短轴端点到右焦点()10F，的距离为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F的直线交椭圆C于A B，两点，交直线4l x=：于点P，若1PA AFλ=，2PB BFλ=，求证：12λλ-为定值．【答案】(1)22143x y+=;(2)详见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆的几何要素间的关系进行求解；（Ⅱ）联立直线和椭圆的方程，得到关于x或y的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明.试题解析：（Ⅰ）由题意有：1c=2=，所以2a=，2223b a c=-=.所以椭圆C的方程为22143x y+=.（Ⅱ）由题意直线AB过点()1,0F，且斜率存在，设方程为()1y k x=-, 将4x=代人得P点坐标为()4,3k，由()221{143y k xx y=-+=，消元得()22223484120k x k x k+-+-=，设()11,A x y ， ()22,B x y ，则0∆>且21222122834{ 41234k x x k k x x k +=+-⋅=+， 方法一：因为1PA AF λ=，所以11141PA x AFx λ-==-. 同理22241PB x BFx λ-==-，且1141x x --与2241x x --异号，所以12121212443321111x x x x x x λλ⎛⎫---=+=--+ ⎪----⎝⎭ ()()1212123221x x x x x x +-=-+-++()2222238682412834k k k k k --=-+--++0=. 所以， 12λλ-为定值0.方法二：由题意，当121x x >>时， （若：不妨设121x x >>，加一分）有1PA AF λ=u u u v u u u v ，且2PB BF λ=-u u u v u u u v，所以()()111114,31,x y k x y λ--=--，且()()222224,31,x y k x y λ--=--- 所以11141x x λ-=-，同理22241x x λ-=--. 从而121212124433111111x x x x x x λλ---=+=-------- ()()()()()1212121212323222111x x x x x x x x x x --+-=--=-+---++()2222238682412834k k k k k --=-+--++0=.当121x x <<时，同理可得120λλ-=. 所以， 12λλ-为定值0.方法三：由题意直线AB 过点()1,0F ，设方程为1x my =+ ()0m ≠， 将4x =代人得P 点坐标为34,m ⎛⎫⎪⎝⎭， 由221{ 143x my x y =++= 消元得()2234690m y my ++-=， 设()11,A x y ， ()22,B x y ，则0∆>且122122634{ 934my y m y y m -+=+-⋅=+，因为1PA AF λ=，所以11111330y PA my m AF y my λ--===-. 同理2223PB my BFmy λ-==，且113my my -与223my my -异号，所以()12121212123332y y my my my my my y λλ+---=+=- ()()36209m m ⨯-=-=⨯-.又当直线AB 与x 轴重合时， 120λλ-=， 所以， 12λλ-为定值0.21．【2018安徽阜阳一中二模】已知函数f(x)=ln (12+12ax)+x 2−ax(a 为常数，a >0) .（1）当y =f(x) 在x =12 处取得极值时，若关于的方程f(x)−b =0 在[0,2] 上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.（2）若对任意的a ∈(1,2) ，总存在x 0∈[12,1] ，使不等式f(x 0)>m(a 2+2a −3) 成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）−34<b ≤ln 12；（2）m 的取值范围是(−∞,−18]【解析】试题分析：（1）对函数f(x)，令f ′(12)=0，可得a 的值，利用导数研究f(x)的单调性，然后求得f(x)的最值，即可得到b 的取值范围；（2）利用导数求出f(x)在[12,1]上的最大值，则问题等价于对对任意a ∈(1,2)，不等式ln (12+12a)+1−a >m (a 2+2a −3)成立，然后构造新函数h(a)，再对h(a)求导，然后讨论m ，得出h(a)的单调性，即可求出m 的取值范围.试题解析：（1）f ′(x )=a1+ax +2x −a,f ′(12)=a1+12a +1−a =0，即a 2−a −2=0，又a >0所以a =2，此时f ′(x )=2x (2x−1)1+2x ，所以x ∈[0,12]上递减，x ∈[12,2]上递增，又f (0)=ln 12,f (12)=−34,f (2)=ln 52，所以−34<b ≤ln 12 （2）f ′(x )=a1+ax +2x −a =2ax 2+(2−a 2)x1+ax =x[2ax−(a 2−2)]1+ax因为1<a <2，所以a 2−22a−12=(a−2)(a+1)2a<0，即a 2−22a<12所以f (x )在[12，1]上单调递增，所以f (x )max =f (1)=ln (12+12a)+1−a 问题等价于对任意a ∈(1,2)，不等式ln (12+12a)+1−a >m (a 2+2a −3)成立设h (a )=ln (12+12a)+1−a −m (a 2+2a −3)(1<a <2)， 则h ′(a )=11+a −1−2ma −2m =−a−2m (a+1)21+a当m ≥0时，h ′(a )<0，所以h (a )在区间(1,2)上单调递减，此时h (a )<h (1)=0 所以m ≥0不可能使h (a )>0恒成立，故必有，因为(a +1)2≥4a若m ≤−18，可知h (a )在区间(1,2)上单调递增，在此区间上有h (a )>h (1)=0满足要求 若−18<m <0，可知h (a )在区间(1,min {−1−14m ,2})上递减，在此区间上有h (a )<h (1)=0，与h (a )>0恒成立相矛盾，所以实数m 的取值范围是(−∞,−18].22．已知曲线的极坐标方程为；直线C 2cos 24πρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭与曲线相交于两点.以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系. （1）求曲线的参数方程；（2）记线段的中点为，若恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为，故， 因为，故所求方程为，故曲线的参数方程为（为参数）（2）联立和，得，设、，则 ， 由，得，当时，，故实数的取值范围为.[)():0,,l R θααπρ=∈∈C M N 、O x C MN P OP λ≤λ2cos 24πρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭22cos 2sin 2ρρθρθ+-={x cos y sin ρθρθ==()()222112x y ++-=C 12{12x cos y sin θθ=-+=+θθα=22cos 2sin 20ρρθρθ+--=()22cos sin 20ρραα+--=()1,M ρα()2,N ρα()122sin cos ρραα+=-4πα⎛⎫=-⎪⎝⎭122OP ρρ+=|4OP πα⎛⎫=-≤ ⎪⎝⎭34πα=OP λ)+∞。