小学数学问答手册(五、分数和百分数)

五、分数和百分数185.为什么在分数的教与学中，单位“1”是一个重要概念？单位“1”也称做整体“1”，在分数的教与学中，正确理解单位“1”是正确理解什么是分数的前提。

教材中对分数的定义是这样阐述的：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。

由此可见，不理解单位“1”，就不理解如何平均分份；更不理解几分之一或几分之几，因此，单位“1”是分数中最基本也是最重要的一个概念。

单位“1”一般情况下，表示一个事物的整体。

如：世界的人口数，一个国家的面积，一个县播种小麦的亩数，一段路程，一个果园果树的棵数，一个工厂产品的总产量，一堆煤的重量等，都可以作为单位“1”，也就是把整体看作“1”。

但是，整体与部分是相对的，它们之间在一定条件下也是可以相互转化的。

当部分转化为整体时，单位“1”也可以表示原来的这个部分。

如世界人口是50亿，是个整体，中国人口是11亿，只是它的一部分，当说到北京市人口占全国人口的一百分之一时，中国人口数又成为整体，当说到某区人口是全市人口的十分之一时，全市人口又成了整体等。

在这些不同情况下，部分转化为整体时，都可以用单位“1”来表示。

例如：（1）我国土地面积约960万平方千米；（2）某县的土地面积约8万平方千米；（3）红星小学全校有学生900人；（4）五一班有学生42人；（5）第二学习小组有学生8人；（6）这条公路全长4800米；（7）一根电线全长8.5米；（8）一堆煤重3.2吨。

……单位“1”包含的数量可以很大，也可以很小。

大到有限数的任何事物，都可以看作单位“1”；小到可分事物的某一部分，也可以看作单位“1”。

但是，无限多的事物不能看作单位“1”，因为无限多的事物是不可分的。

在分数应用题中，单位“1”又是解题的关键。

如：解这道题，要求没修的是多少米，必须知道全长多少米和修了多少米。

题目中全长480米已知，未知条件是修了多少米。

要求修了多少米，根据题目中如果换一种思路进行分析：要求没修的是多少米，必须先知道没修的米数是全长的几分之几，然后按求一个数的几分之几是多少的方法解答，关键的问综上所述，无论是在分数的基础知识中，还是在解答分数应用题的过程里，单位“1”都是处于前提和关键的位置。

因此，单位“1”在分数的教与学中，是一个非常重要的概念。

186.什么是分数的基本计数单位？任何计量都要有单位，长度单位有：毫米、厘米、分米、米、千米等；而重量单位有：毫克、克、千克、吨等。

具体到“数”，同样也是有单位的。

自然数的计数单位是1，任何一个自然数都是若干个1组成的。

例如：8是由八个1组成的；73是由七十三个1组成的。

……分数也有分数的计数单位，或称分数单位。

根据分数的定义，把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份的数（几分之一）就是原来这个分数的分数单位。

一个分数，它的分数单位是有个数的。

如图：分数单位是由单位“1”平均分成份数（分母）所决定的，所表示的份数（分子）是表示有几个的分数单位。

由此可以说明，不同分母的分数，其分数单位也是不同的。

如果分母用所以，自然数的计数单位与分数计数单位是不一样的，自然数的计数单位永远是1，这是不变的；而分数的计数单位则不是固定不变的，它是随着分数的分母不同而变化的。

分母不同，分数单位也不同，分母是几，分数单位就是几分之一，分母越大，分数单位就越小；反之，分母越小，分数单位则越大。

明确什么是分数单位和分数单位的大小，在学习分数大小比较、分数加、减法时，都是不可缺少的基础知识。

186.什么是分数的基本计数单位？任何计量都要有单位，长度单位有：毫米、厘米、分米、米、千米等；而重量单位有：毫克、克、千克、吨等。

具体到“数”，同样也是有单位的。

自然数的计数单位是1，任何一个自然数都是若干个1组成的。

例如：8是由八个1组成的；73是由七十三个1组成的。

……分数也有分数的计数单位，或称分数单位。

根据分数的定义，把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份的数（几分之一）就是原来这个分数的分数单位。

一个分数，它的分数单位是有个数的。

如图：分数单位是由单位“1”平均分成份数（分母）所决定的，所表示的份数（分子）是表示有几个的分数单位。

由此可以说明，不同分母的分数，其分数单位也是不同的。

如果分母用所以，自然数的计数单位与分数计数单位是不一样的，自然数的计数单位永远是1，这是不变的；而分数的计数单位则不是固定不变的，它是随着分数的分母不同而变化的。

分母不同，分数单位也不同，分母是几，分数单位就是几分之一，分母越大，分数单位就越小；反之，分母越小，分数单位则越大。

明确什么是分数单位和分数单位的大小，在学习分数大小比较、分数加、减法时，都是不可缺少的基础知识。

187.分数和整数除法的关系是什么？在教材中，学生是在学习整数的基础上，先学习小数而后学习分数的。

如果把小数划入十进分数的范围，那么分数是小学数学的第二个主要阶段，也是数的一次重要扩展。

从整数到分数中间有着密切的联系，特点是分数基本概念的建立，都用到整数除法的知识。

例如：在整数范围内，当两个自然数相除不能整除时，由于商无法表示，而不能计算，进入分数领域，这种情况将是不存在的。

因为任何除法算式，都可以用分数来表示它们的商。

即使在整数范围内，被除数小于除数这种无法计算的情况，用分数表示也不存在任何问题。

分数与整数除法的关系，下图可以揭示：在分数中，分子相当于除法算式中的被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号，分数值相当于商。

还应该看到，分数并不等于除法，两者还有着区别，这就是：分数是一种数，而除法是一种数与数之间的运算。

在上述关系的基础上，分数和整数除法的联系，还表现在分数的基本性质上。

分数的基本性质是：分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（零除外），分数的大小不变。

这个基本性质来源于整数除法中商不变的性质，即：被除数与除数同时乘以或者除以相同的数（零除外），商不变。

除此之外，根据分数与整数除法的关系，假分数可以化为带分数，分子（被除数）除以分母（除数），所得的商即为带分数的整数部分，余数为分子，原来的分母不变。

将分数化为小数，或把繁分数化简，也都是依据分数与除法的关系。

至于在分数中分母不能是零的道理，只要沟通分数与除法的关系，即：除法中除数不能是零，分数中分母自然不能是零。

总之，在分数教与学中，只要在分数与除法间建立起自然的联系和迁移，温故而知新，许多属于算理的问题，都是比较容易得到解决的。

188.“就是一半”这句话对吗？中的单位“1”不仅表示自然数的一个基本计数单位，也表示一切可分的事物。

如：一堆苹果的个数、一个班的人数、一堆煤的吨数、一套丛书的册数、一本书的页数等，单位“1”既可表示整体，也可以表示整体的一部分。

，一半也就不知道是谁的一半了。

按后者说法，其结果很容易引起误解，因不是4个苹果，而是半个苹果。

这与原来题意就相距太远了。

这句话是不严密的，也是不妥当的。

189．为什么有的分数能够化成有限小数，有的能够化成纯循环小数或混循环小数？把一个分数化成小数，有三种情况：即：有限小数、纯循环小数和混循环小数。

至于什么样的分数化成什么样的小数，确有规律可循，这个规律可通过下面各样分数化小数的实例来观察：从上面分数化小数的三种情况看，什么样的分数化什么样小数，关键不在分子，而在分母。

因此，在分数化小数时，要观察分母的特点，其规律是：（1）分母只含有质因数2和5，这样的分数就可以化成有限小数。

如（2）分母里只含有2和5以外的质因数，这样的分数就可以化成纯循（3）分母里既含有质因数2和5，又含有2和5以外的质因数，这样有了上面这个规律，不需要通过计算，就能判断出一个最简分数能化成什么样的小数。

例如：掌握了分数化有限小数的规律，可以把常见分数化小数的数据汇集成表，并且能熟练地背诵下来，这对于提高互化的准确度和速度，都是非常有益的。

常见的分数与有限小数互化表对于分数化纯循环小数或混循环小数，按照上述规律，可以事前根据分数的分母特点，提早做出判断。

190．为什么分数不能化成无限不循环小数？在不同的情况下，一个分数可以化成有限小数或者无限循环小数（包括纯循环小数和混循环小数），但是不能化成无限不循环小数。

用分子除以分母（7），其余数必定小于分母，每次的余数只能是从1到6之间的一个自然数（如果余数是0，这个分数就能化成有限小数）；或者说，除数是7，余数只能是1、2、3、4、5、6这六个数。

如果在除的过程中，有一个余数重复出现一次，那么后面所得的商与余数，也必定要重复出现。

也就是说，余数一重复出现，商的相应数位上的数字也重复出现，循环就开始了，所得的商当然是循环小数。

原来这个分数化成的是纯循环小数。

根据上述分析可以得出，当一个分数化成无限小数时，只能得到循环小数，而不可能化成无限不循环小数。

分数虽然不能化成无限不循环小数，但在数学中无限不循环小数还是有的，如圆周率π值就是一个无限不循环的小数。

π=3.14159265358979323846……无限不循环小数在数学上叫做无理数。

191．怎样把纯循环小数化成分数？在小学数学课本中，分数与有限小数是可以互化的。

分数可以化成纯循环小数，但纯循环小数化成分数，并没有涉及。

事实上，两者也是可以互化的，比起有限小数化成分数，纯循环小数化成分数的方法要稍难一些。

例如：有限小数化成分数。

只要根据小数的最低位是什么数位，用10、100、1000等做分母，就可以直接化成分数，不是最简分数的，要约成最简分数。

把纯循环小数化成分数，并不象有限小数那样，用10、100、1000等做分母，而要用9、99、999等这样的数做分母，其中“9”的个数等于一个循环节数字的个数；一个循环节的数字所组成的数，就是这个分数的分子。

这样，前面的四例可以得到证明。

即：192．怎样把混循环小数化成分数？分数既然能化成混循环小数，同样，混循环小数也能化成分数。

这种化的方法，比起纯循环小数化成分数的方法，就显得更为复杂一些。

混循环小数化成分数的方法是：用第二个循环节以前的小数部分所组成的数，减去不循环部分所得的差，以这个差作为分数的分子；分母的前几位数字是9，末几位数字为0；9的个数与一个循环节的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。

箭头所指是说明：循环节有一位写一个9，不循环部分有一位写一个0。

箭头所指说明：循环节有两位写两个9，不循环部分有一位写一个0。

箭头所指说明：循环节有两位写两个9，不循环部分有两位写两个0。

这种化的方法，比纯循环小数化成分数明显要复杂，但究其算理，仍依据纯小数化成分数的方法。

即：先把混循环小数化成纯循环小数的形式，然后再化成分数。

上面三个例题通过推导，都可以得到证明。

推导结果与例（3）的中间脱式一致。

由此可见，采用先扩大后缩小相同倍数的方法，根据纯循环小数化成分数的方法，证明混循环小数化成分数的方法是完全成立的。