初中数学专题复习对称、平移和旋转变换在解题中的运用精讲

对称、平移和旋转变换

在平面几何的解证题中，往往由条件的隐蔽和分散，以至找不到解证题的途径，而恰当地运用几何变换，就可以使“分散”变为“集中”，“隐蔽”变为“明显”，使解证题思路清晰起来。

这一讲我们着重学习三种主要的合同变换——对称变换、平移变换、旋转变换及其在解证几何题中的运用。

一、对称变换

对称变换包括轴对称变换和中心对称变换。将一个图形以一条定直线为轴作对称图形，这种变换是轴对称变换。将一个图形以一个定点为中心作对称图形，这种变换是中心对称变换（也是旋转变换的特殊情况）。

对称变换的特点是不改变图形的形状和大小，只是改变了图形的位置。一条直线或一个点就确定了一个对称变换。

例1：试证：等腰三角形的底角相等。

已知：如图（1），在△ABC 中，AB=AC ，求：∠B=∠C

分析：（1）由于等腰三角形是一个轴对称图形，则可添加对

称轴证之，如作AD ⊥BC 于D ，再证△ABD ≌△ACD 即可。

（2）更妙的是，把△ABC 看作是以AD 为轴的两个重叠在一起的三角形由△ABC ≌△ACB 换出∠B=∠C 。

例2：如图（2），四边形ABCD 中，AB ∥CD ，且有AB=AC=AD=2

13cm ，BC=5cm ，求BD 的长。 分析：由于△ACD 是等腰三角形，以底边CD 中垂线NM 为轴

补全图形，做出△ABC 关于MN 的对称△AED ，则AB=AD=AE=

2

13，所以∠BDE=Rt ∠，而DE=BC=5，所以

BD=12。

例3：如图（3），在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是CD

的中点，EF ⊥AB 于F ，则S ABCD 梯形=AB •EF 。

分析：由于DE=EC ，因此，以E 为定点作A 的对称点G ，

则△ADE 与△GCE 关于点E 对称，且B ，C ，G 三点共线，所以S BEG ∆=S

ABE ∆=2

1AB •EF ，故S ABCD 梯形= AB •EF 。

二、平移变换 平移变换是将一个图形向某一个方向移动一个距离得到一个新的图形，其平移前后的线段保持相等且平行，角也保持相等。

例4：如图（4），在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B+∠C= Rt ∠，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，求证：EF=

2

1（BC-AD ） 分析：把AB 和DC 分别平移到EG 和EH ，则有∠1=

∠B ，∠2=∠C ，BG=AE ，CH=ED ，所以GF=FH ，且可得

∠GEH= Rt ∠，到此，问题已集中在Rt △GEH 中明朗

化了，结论是垂手可得的。

三、旋转变换

旋转变换是将一个图形绕着一个定点P 旋转а

角，得到一个新的图形。点P 称为旋转中心，а称

为旋转角。在旋转变换中，图形的形状和大小都没

有改变，只改变了图形位置。

例5：如图（5），△ABC 和△CDE 都是正三角形，求

证：AD=BE

分析：显然△BCE 顺时针旋转60°即得△ADC ，故

AD=BE 。

例6：如图（6），在边长为1的正方形ABCD 中，E 、

F 分别是AB 、AD 上的点，且AE+EF+FA=2，求∠ECF 的度数。

分析：因为EF+（AE+AF ）=（BE+DF ）+（AE+AF ）

=2，所以EF=BE+DF ，由此想到把△CDF 绕点C 逆

时针旋转90°到△CBG 的位置，这时EF=EG ，CF=CG ，

所以△CFE ≌△CEG ，而∠FCG=90°，所以∠

ECF=45°。

四、小结：

（1） 对称变换：将一个图形以一条定直线为轴

作对称图形。对称变换的特点是不改变图形的形状和大小，只是改变了图形的位置。

（2） 平移变换：将一个图形向某一个方向移动一个距离得到一个新的图形。平移变换的

特点是在平移前后的线段保持相等且平行，角也保持相等。

（3）旋转变换：将一个图形绕着一个定点P旋转а角，得到一个新的图形。旋转变换的特点是图形的形状和大小都没有改变，只改变了图形位置。