2020年广东省深圳高中高一(下)期中数学试卷
期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知A={a，1}，B={2，a}，且A∪B={1，2，4}，则A∩B=（）A. {1，2}B. {2，4}C. {4}D. ∅2.下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（）A. y=x2B. y=-log2xC. y=3xD. y=x3+x3.α是第三象限角，且sin，则tanα=（）A. B. C. D.4.已知向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，则||=（）A. 2B.C. 2D. 25.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=60°，a=4，b=4，则B=（）A. 45°或135°B. 135°C. 45°D. 以上都不对6.在a，b中插入n个数，使它们和a、b组成等差数列a，a1，a2，…a n，b，则a1+a2+…+a n=（）A. n（a+b）B.C.D.7.若，，则一定有（）A. B. C. D.8.在等比数列{a n}中，若a1-a5=-，前四项的和S4=-5，则a4=（）A. 1B. -1C.D.9.已知函数f（x）=log2（x2-ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（）A. （-∞，4]B. （-∞，2]C. （-4，4]D. （-4，2]10.圆锥的高h和底面半径r之比h：r=2：1，且圆锥的体积V=18π，则圆锥的表面积为（）A. 18πB. 9（1+2）πC. 9πD. 9（1+）π11.函数f（x）=（）cos x的图象大致为（）A. B.C. D.12.设a+b=2，b＞0，则+的最小值是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在等比数列{a n}中，a2a3a4=8，a7=8，则a1=______．14.已知tanα=2，则=______．15.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，M为B1C1中点，连接A1B，D1M，则异面直线A1B和D1M所成角的余弦值为______．16.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，M是BC的中点，BM=2，AM=c-b，△ABC面积的最大值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知A={x|-x2+4＜0}，B={x|x2-2x-3＜0}，求A∩B及A∪B．18.已知在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，2c cos B=2a+b．（1）求角C的值；（2）若a=2b，求tan A．19.北京某附属中学为了改善学生的住宿条件，决定在学校附近修建学生宿舍，学校总务办公室用1000万元从政府购得一块廉价土地，该土地可以建造每层1000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高0.02万元，已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为0.8万元．（1）若学生宿舍建筑为x层楼时，该楼房综合费用为y万元（综合费用是建筑费用与购地费用之和），写出y=f（x）的表达式；（2）为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，学校应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少万元？20.已知f（x）=2sin x cosx+（cos2x-sin2x）．（1）求函数y=f（x）的最小正周期和对称轴方程；（2）若x∈[0，]，求y=f（x）的值域．21.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q＞0，S2=2a2-2，S3=a4-2．（1）求等比数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，求{}的前n项和T n．22.已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞b＞c）的图象上有两点A（m1，f（m1）），B（m2，f（m2））（m1≠m20．函数f（x）满足f（1）=0，且（a+f（m1））（a+f（m2））=0．（1）求证：-2；（2）求证：b≥0；（3）能否保证f（m1+3）和f（m2+3）中至少有一个为正数？请证明你的结论．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵A={a，1}，B={2，a}，且A∪B={1，2，4}；∴a=4；∴A∩B={4}．故选：C．根据条件可求出a=4，然后进行交集的运算即可．考查列举法表示集合的定义，以及交集、并集的运算．2.【答案】D【解析】解：由题意，可知：对于A：很明显y=x2是偶函数，所以排除A；对于B：y=-log2x在其定义域内是减函数，所以排除B；对于C：y=3x不是奇函数，所以排除C；对于D：y=x3+x，y′=3x2+1＞0，∴y=x3+x是增函数，∵f（-x）=-f（x），∴y=x3+x是奇函数．故选：D．本题可根据各种函数的奇偶性及单调性采用排除法逐个判别．最终能得出正确选项．本题主要考查二次函数、对数函数、指数函数及三次函数的奇偶性和单调性，本题属基础题．3.【答案】B【解析】解：因为α是第三象限角，且sin，所以，所以．故选：B．利用同角三角函数的基本关系可得结果．本题考查了同角三角函数的基本关系，属基础题．4.【答案】D【解析】解：根据已知条件，=4+4+4=12；∴．故选：D．由已知条件及向量数量积的运算即可求出，从而便求出．考查数量积的运算及数量积的计算公式，求向量的长度先求的方法．5.【答案】C【解析】解：∵A=60°，a=4，b=4，∴由正弦定理=得：sin B===，∵a＞b，∴A＞B，则B=45°．故选：C．由A的度数求出sin A的值，再由a与b的值，利用正弦定理求出sin B的值，由b小于a，得到B小于A，即可求出B的度数．此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．6.【答案】B【解析】解：依题意，设等差数列a，a1，a2，…a n，b，记为{c n}，其前n项和为S n，则c1=a，c n+2=b，所以a1+a2+…+a n=S n+2-（a+b）==，故选：B．在a，b中插入n个数，使它们和a、b组成等差数列，则第一项为a，第n+2项为b，根据等差数列的前n项和公式求解即可．本题考查了等差数列的前n项和，等差数列的性质，属于基础题．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查不等式比较大小，特值法有效，倒数计算正确．利用特例法，判断选项即可．【解答】解：不妨令a=3，b=1，c=-3，d=-1，则，，∴A、B不正确；，=-，∴C不正确，D正确．解法二：∵c＜d＜0，∴-c＞-d＞0，∵a＞b＞0，∴-ac＞-bd，∴，∴．故选：D．8.【答案】A【解析】解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，若a1-a5=-，即a1（1-q4）=-，若其前四项的和S4=-5，则有S4==-5，解可得q=-，又由a1（1-q4）=-，则a1=-8，则a4=a1×q3=（-8）×（-）3=1；故选：A．根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，由a1-a5=-分析可得a1（1-q4）=-，结合等比数列的前n项和公式可得S4==-5，解可得q的值，进而可得a1=-8，结合等比数列的通项公式计算可得答案．本题考查等比数列的性质以及前n项和公式，属于基础题．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查复合函数的单调性，二次函数的性质，对数函数的单调区间，属于简单题．若函数f（x）=log2（x2-ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则x2-ax+3a＞0在[2，+∞）恒成立,结合二次函数的单调性，得a的不等式求解即可．【解答】解：若函数f（x）=log2（x2-ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则函数g（x）=x2-ax+3a在[2,+∞)上为增函数，且x∈[2，+∞）上，x2-ax+3a＞0恒成立，所以，g（2）=4+a＞0，解得-4＜a≤4．故选C．10.【答案】D【解析】解：圆锥的高h和底面半径r之比h：r=2：1，∴h=2r，又圆锥的体积V=18π，即πr2h==18π，解得r=3；∴h=6，母线长为l===3，则圆锥的表面积为S=πrl+πr2=π•3•3+π•32=9（1+）π．故选：D．根据圆锥的体积求出底面圆的半径r和高h，再求出母线长l，即可计算圆锥的表面积．本题考查了圆锥的体积与表面积计算问题，是基础题．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，利用函数的零点排除选项，然后通过特殊点的位置判断即可，属于中档题．【解答】解：函数f（x）=（）cos x，当x=时，是函数的一个零点，所以排除A，B；当x∈（0，1）时，cos x＞0，＜0，函数f（x）=（）cos x＜0，函数的图象在x轴下方；排除D；故选C．12.【答案】D【解析】【分析】本题考查了基本不等式的应用，需要根据条件和所求式子的特点，进行变形凑出定值再进行求解，考查了转化和分类讨论的能力．由题意得=1代入所求的式子，进行化简后，再对部分式子利用基本不等式求出范围，再由a的范围求出式子的最小值．【解答】解：∵a+b=2，∴=1，∴+=（+）=++，∵b＞0，|a|＞0，∴+≥1（当且仅当b2=4a2时取等号），∴+≥+1，故当a＜0时，+的最小值为．故选：D．13.【答案】1【解析】解：根据题意，等比数列{a n}中，其公比为q，a2a3a4=8，则（a3）3=8，解可得a3=2，又由a7=8，则有q4==4，则q2=2，则a1===1；故答案为：1．根据题意，由等比数列的性质可得（a3）3=8，解可得a3=2，又由q4=，计算可得q2的值，进而计算可得答案．本题考查等比数列的性质以及应用，关键是求出等比数列的公比，属于基础题．14.【答案】【解析】解：tanα=2，则==故答案为：．=$\frac{tan\alpha-3}{2tan\alpha+1}，将tanα=2代入求值即可．本题考查了三角函数的化简求值，属基础题．15.【答案】【解析】解：如图，连接CD1，CM，由A1D1∥BC，A1D1=BC，可得四边形A1BCD1为平行四边形，则A1B∥CD1，∴∠CD1M为异面直线A1B和D1M所成角，由正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，M为B1C1中点，得，．在△CMD1中，由余弦定理可得，cos∠CD1M=．∴异面直线A1B和D1M所成角的余弦值为．故答案为：．连接CD1，CM，由A1D1∥BC，A1D1=BC，可得四边形A1BCD1为平行四边形，则A1B∥CD1，可得∠CD1M为异面直线A1B和D1M所成角，再由已知求出△CD1M的三边长，由余弦定理求解．本题考查异面直线所成角及其求法，考查余弦定理的应用，是基础的计算题．16.【答案】2【解析】解：在△ABM中，由余弦定理得：cos B==．在△ABC中，由余弦定理得：cos B==．∴=．即b2+c2=4bc-8．∵cos A==，∴sin A==．∴S=sin A=bc=．由cos A=∈（-1，1）可得bc∈（4，12）．∴当bc=8时，S取得最大值2．故答案为2．在△ABM和△ABC中分别使用余弦定理得出bc的关系，求出cos A，sin A，代入面积公式求出最大值．本题考查了余弦定理得应用，根据余弦定理得出bc的关系是解题关键．17.【答案】解：A={x|x＜-2，或x＞2}，B={x|-1＜x＜3}；∴A∩B={x|2＜x＜3}，A∪B={x|x＜-2，或x＞-1}．【解析】可求出集合A，B，然后进行交集、并集的运算即可．考查描述法表示集合的定义，一元二次不等式的解法，以及交集、并集的运算．18.【答案】解（1）因为2sin C cos B=2sin A+sin B⇒2sin C cos B=2（sin B cos C+cos B sin C）+sin B ⇒cos C=-，C是三角形内角，C=120°．（2）根据余弦定理c== b根据正弦定理=，所以sin A=sin C=•=．cos A===所以tan A===．【解析】（1）将已知条件边化角可得；（2）先根据余弦定理求得c=b，再根据正弦定理求得sin A=，然后根据同角公式求得正切值．本题考查了三角形中的几何计算，属中档题．19.【答案】解：（1）由建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为0.8万元，且楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高0.02万元，可得建筑第1层楼房每平方米建筑费用为：0.72万元．建筑第1层楼房建筑费用为：0.72×1000=720（万元）．楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高：0.02×1000=20（万元）．建筑第x层楼时，该楼房综合费用为：y=f（x）=720x++1000=10x2+710x+1000．∴y=f（x）=10x2+710x+1000（x≥1，x∈Z）；（2）设该楼房每平方米的平均综合费用为g（x），则：g（x）===≥2=0.91，∴学校应把楼层建成10层，此时平均综合费用为每平方米0.91万元．【解析】本题考查简单的数学建模思想方法，训练了等差数列前n项和的求法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．（1）由已知求出第1层楼房每平方米建筑费用为0.72万元，得到第1层楼房建筑费用，由楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高20（万元），然后利用等差数列前n项和求建筑x层楼时的综合费用y=f（x）；（2）设楼房每平方米的平均综合费用为g（x），则g（x）=，然后利用基本不等式求最值．20.【答案】解：（1）f（x）=2sin x cosx+（cos2x-sin2x）=令，则f（x）的对称轴为，最小正周期；（2）当x∈[0，]时，，因为y=sin x在单调递增，在单调递减，在取最大值，在取最小值，所以，所以f（x）∈[-1，2]．【解析】（1）将f（x）化简，利用整体法求出f（x）的对称轴和周期即可；（2）根据正弦函数的单调性，求出f（x）的最大值和最小值即可．本题考查了三角函数的图象与性质和三角函数的化简求值，属基础题．21.【答案】解：（1）等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q＞0，S2=2a2-2①，S3=a4-2②．②-①，得a3=a4-2a2，则q2-q-2=0，又q＞0，所以q=2，因为S2=2a2-2，所以a1+a2=2a2-2，所以a1=2，所以a n=2n；（2）b n=log2a n=log22n=n，==-，所以前n项和T n=1-+-+…+-=1-=．【解析】（1）由数列的递推式和等比数列的通项公式，解方程可得公比，由等比数列的求和可得首项，进而得到所求通项公式；（2）求得b n=log2a n=log22n=n，==-，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．本题考查等比数列的通项公式和数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于基础题．22.【答案】（1）证明：f（1）=a+b+c=0，且a＞b＞c，所以a＞0，c＜0，因为b=-a-c，所以a＞-a-c＞c，所以，（2）因为（a+f（m1））（a+f（m2））=0．所以f（m1）=-a或f（m2）=-a，即m1或m2是方程f（x）=-a的一个实根，即ax2+bx+c+a=0的有根，所以△=b2-4a（a+c）≥0，因为b=-a-c，所以b2≥4a（a+c）=-4ab，即b（b+4a）≥0，即b（3a-c）≥0，因为3a-c＞0，所以b≥0（3）设f（x）=0的两根为x1，x2，显然其中一根为1，另一根为设f（x）=a（x-1）（x-），若f（m1）=-a，则a（m1-1）（m2-）=-a＜0所以，所以又函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，所以f（m1+3）＞f（1）=0．同理当f（m2）=-a时，f（m2+3）＞0所以f（m1+3），f（m2+3）中至少有一个是正数．【解析】（1）由f（1）=0，且a＞b＞c，可判断a＞0，c＜0且b=-a-c，所以a＞-a-c＞c，从而可证明；（2）由已知可知f（m1）=-a或f（m2）=-a，即m1或m2是方程f（x）=-a的一个实根，即ax2+bx+c+a=0的有根，结合二次方程的实根存在条件即可证；（3）由f（x）=0的两根中，其中一根为1，另一根为，结合二次方程的根的存在及二次函数的单调性可证．本题主要考查了二次方程的根的存在及二次不等式的求解，二次函数性质的综合应用，属于中档试题。
深圳市高一数学下学期期中试卷及答案(共3套)
深圳市高一第二学期期中测试卷数学一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知倾斜角为45的直线经过(2,4)A ，(3,)B m 两点，则m =（ ） A ．3 B ．3- C ．5 D ．1-2．过点A 且倾斜角为120︒的直线方程为（ ）3．下列四个命题中正确的是（ ）①若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；②若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ③垂直于同一平面的两个平面相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． A. ①和③ B. ①和④ C. ①②和④ D. ①③和④4．如图是一正方体被过棱的中点M 、N 和顶点A 、D 、C 1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为 ( )A B C D5．如图，平面⊥α平面β，AB B A ,,βα∈∈与两平面βα,所成的角分别为4π和6π，过B A ,分别作两平面交线的垂线，垂足为,A B ''，若16AB =，则A B ''=（ ）.A 4 .B 6 .C 8 .D 96、已知两条直线,m n 和两个不同平面,αβ，满足αβ⊥，=l αβ⋂,//m α,n β⊥,则 （ ）A ．//m nB ．m n ⊥ C.//m l D ．n l ⊥7．已知向量()1,2a =--，()3,0b =，若()()2//a b ma b +-，则m的值为 （ ） A．2- D ．28．某几何体的正视图和侧视图如图①，它的俯视图的直观图是矩形1111O A B C 如图②，其中11116,2,O A O C ==则该几何体的体积为 （ ）A ．32B ．64 C．．9、已知向量,a b 满足2+=0a b ，()2+⋅=a b a ，则⋅=a b （ ）A ．12-B ．12C ．2-D ．210．点O 在ABC ∆所在平面内，给出下列关系式：（1）0OA OB OC ++=； （2）OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅；（3）0AC AB BC BA OA OB AC AB BC BA ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⋅-=⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （4）()()0OA OB AB OB OC BC +⋅=+⋅=． 则点O 依次为ABC ∆的（ ）（注：重心是三条中线的交点；垂心是三条高的交点；内心是内切圆的圆心；外心是外接圆的圆心） A ．内心、外心、重心、垂心 B ．重心、外心、内心、垂心 C ．重心、垂心、内心、外心 D ．外心、内心、垂心、重心11．已知O 是正三角形ABC 内部一点，且32=++,则OAB ∆的面积与OAC ∆的面积之比为 （ ）A ．23 B ．25C ．2D ．512．直角梯形ABCD ，满足,,222AB AD CD AD AB AD CD ⊥⊥===,现将其沿AC 折叠成三棱锥D ABC -，当三棱锥D ABC -体积取最大值时其外接球的体积为（ ）AB ．43πC ．3πD ．4π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 131=的倾斜角等于 ． 14．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，0190,1ACB AA AC BC ∠====，则异面直线1A B 与AC 所成角的余弦值是____________．15．设a 、b 是单位向量，其夹角为θ．若t +a b 的最小值为12，其中t R ∈．则θ=______． 16．在棱长为1 的正方体1111ABCD A B C D -中，以A为 。
2020-2021深圳市高一数学下期中试卷带答案
2020-2021深圳市高一数学下期中试卷带答案一、选择题 1．已知a ，b 是两条异面直线，且a b ⊥r r ，直线c 与直线a 成30°角，则c 与b 所成的角的大小范围是( )A ．[]60,90︒︒B ．[]30,90︒︒C ．[]30,60︒︒D ．[]45,90︒︒ 2．设圆C ：223x y +=，直线l ：360x y +-=，点()00,P x y l ∈，若存在点Q C ∈，使得60OPQ ∠=︒（O 为坐标原点），则0x 的取值范围是( )A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．60,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．16,25⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 3．如图是某四面体ABCD 水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为1，则四面体ABCD 外接球的表面积为A ．20πB ．1256πC ．25πD ．100π4．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AD 与1A C 所成的角的大小是( )A ．30oB ．60oC ．90oD ．120o5．如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，其原来平面图形面积是（ ）A ． 22B ． 42C ．4D ．8 6．已知点A （1，2），B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ．4x 2y 5+=B ．4x 2y 5-=C ．x 2y 5+=D ．x 2y 5-= 7．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形C ．正方形D ．正六边形 8．从点(,3)P m 向圆22(2)(2)1x y +++=引切线，则切线长的最小值( )A ．26B ．5C ．26D ．42+9．长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，则该长方体外接球的表面积为( ) A ．72π B ．56π C ．14π D ．64π10．已知点()1,2-和3,03⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在直线():100l ax y a --=≠的两侧，则直线l 的倾斜角的取值范围是 ( )A ．,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．2,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．25,36ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．30,,34πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11．一锥体的三视图如图所示,则该棱锥的最长棱的棱长为 ( )A ．B ．C ．D ．12．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线③CN 与BM 成60︒角 ④DM 与BN 是异面直线以上四个命题中，正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．光线由点P(2,3)射到直线x+y+1=0上，反射后过点Q(1,1) ，则反射光线方程为__________．14．已知圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是22，则圆M 与圆22:(1)(1)1N x y -+-=的位置关系是_________．15．已知点1232M N （，），（，），点F 是直线l:3y x =-上的一个动点，当MFN ∠最大时，过点M ，N ，F 的圆的方程是__________.16．若圆的方程为2223()(1)124k x y k +++=-，则当圆的面积最大时，圆心坐标和半径分别为 、 ．17．直线10ax y ++=与连接A （4，5），B （-1，2）的线段相交，则a 的取值范围是___．18．若直线l ：-3y kx =与直线23-60x y +=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是___________.19．在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 ．20．直线:l y x b =+与曲线2:1C y x =-有两个公共点，则b 的取值范围是______. 三、解答题21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，平面PBD ⊥平面ABCD ，2AD =，25PD =，4AB PB ==，60BAD ∠=︒.（1）求证：AD PB ⊥；（2）E 是侧棱PC 上一点，记PE PCλ=，当PB ⊥平面ADE 时，求实数λ的值22．如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧»CD所在平面垂直，M 是»CD 上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．23．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上．（Ⅰ）求证：1BC A B ⊥；（Ⅱ）若P 是线段AC 上一点，3,2AD AB BC ===，三棱锥1A PBC -的体积为3，求AP PC 的值. 24．如图四棱锥C ABDE -的侧面ABC ∆是正三角形，BD ⊥面ABC ，//BD AE 且2BD AE =，F 为CD 的中点.（1）求证：//EF 面ABC（2）若6BD AB ==，求BF 与平面BCE 所成角的正弦值25．四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，90BCD ∠=︒，22AB AD DC ===.PAD △ 为正三角形，二面角P -AD -C 的大小为23π.（1）线段AD 的中点为M.求证：平面PMB ⊥平面ABCD ；（2）求直线BA 与平面P AD 所成角的正弦值.26．如图，在直三棱柱111ABCA B C 中，AC BC ⊥，14CC =，M 是棱1CC 上的一点．（1）求证：BC AM ⊥；（2）若N 是AB 的中点，且//CN 平面1AB M ，求CM 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】将异面直线所成的角转化为平面角，然后由题意，找出与直线a 垂直的直线b 的平行线，与直线c 平行线的夹角.【详解】在直线a 上任取一点O ，过O 做//c c '，则,a c '确定一平面α，过O 点做直线b 的平行线b '，所有平行线b '在过O 与直线a 垂直的平面β内， 若存在平行线1b '不在β内，则1b '与b '相交又确定不同于β的平面，这与过一点有且仅有一个平面与一条直线垂直矛盾，所以b '都在平面β内， 且,l αβαβ⊥=I ，在直线c '上任取不同于O 的一点P ，做PP l '⊥于P '，则PP β'⊥，POP '∠为是c '与β所成的角为60︒，若b l '⊥，则,b b c α'''⊥⊥，若b '不垂直l 且不与l 重合，过P '做P A b ''⊥，垂足为A ，连PA ，则b '⊥平面PP A '，所以b PA '⊥，即1,cos 2OA OP OA PA AOP OP OP '⊥∠=<=， 60AOP ∠>︒，综上b '与c '所成角的范围为[60,90]︒︒， 所以直线b 与c 所成角的范围为[]60,90︒︒.故选：A.【点睛】本题考查异面直线所成角，空间角转化为平面角是解题的关键，利用垂直关系比较角的大小，属于中档题.2．B解析：B【解析】【分析】圆O 外有一点P ，圆上有一动点Q ，OPQ ∠在PQ 与圆相切时取得最大值．如果OP 变长，那么OPQ ∠可以获得的最大值将变小．因为sin QO OPQ PO∠=，QO 为定值，即半径，PO 变大，则sin OPQ ∠变小，由于(0,)2OPQ π∠∈，所以OPQ ∠也随之变小．可以得知，当60OPQ ∠=︒，且PQ 与圆相切时，2PO =，而当2PO >时，Q 在圆上任意移动，60OPQ ∠<︒恒成立．因此，P 的取值范围就是2PO „，即满足2PO „，就能保证一定存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，否则，这样的点Q 是不存在的．【详解】由分析可得：22200PO x y =+ 又因为P 在直线l 上，所以00(36)x y =--要使得圆C 上存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，则2PO „故22220000103634PO x y y y ==+-+„ 解得0825y 剟，0605x 剟即0x 的取值范围是6[0,]5，故选：B ．【点睛】解题的关键是充分利用几何知识，判断出2PO …，从而得到不等式求出参数的取值范围． 3．C解析：C【解析】【分析】【详解】由三视图可知，这是三棱锥的三视图，如下图所示，三角形BCD 为等腰直角三角形， 其外心为BD 中点1O ，设O 为AD 中点，则O 为外接球球心，半径长度为1522AD =， 所以表面积为25π.4．C解析：C【解析】【分析】在正方体1111ABCD A B C D -中，利用线面垂直的判定定理，证得1AD ⊥平面1A DC ，由此能求出结果．【详解】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，连结1A D ，则1AD DC ⊥，11A D AD ⊥， 由线面垂直的判定定理得1AD ⊥平面1A DC ，所以11AD AC ⊥, 所以异面直线1AD 与1A C 所成的角的大小是90o ．故选C ．【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与证明，以及异面直线所成角的求解，其中解答中牢记异面直线所成的求解方法和转化思想的应用是解答的关键，平时注意空间思维能力的培养，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．5．C解析：C【解析】分析：由三视图还原实物图,再根据三角形面积公式求解.详解：在斜二测直观图中OB=2,OA=2, 所以在平面图形中OB=2,OA=4， OA ⊥OB ， 所以面积为12442S =⨯⨯=. 选C.点睛： 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图． 2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据． 6．B解析：B【解析】【分析】【详解】因为线段AB 的垂直平分线上的点(),x y 到点A ，B 的距离相等， 22(1)(2)x y -+-22(3)(1)x y =-+-．即：221244x x y y +-++- 229612x x y y =+-++-，化简得：425x y -=．故选B ．7．A解析：A【解析】【分析】【详解】画出截面图形如图显然A 正三角形C 正方形：D 正六边形可以画出三角形但不是直角三角形；故选A ．用一个平面去截正方体，则截面的情况为：①截面为三角形时，可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形；②截面为四边形时，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形；③截面为五边形时，不可能是正五边形；④截面为六边形时，可以是正六边形．故可选A ．8．A解析：A【解析】【分析】设切线长为d ,则2222(2)51(2)24d m m =++-=++再利用二次函数的图像和性质求函数的最小值得解.【详解】设切线长为d ,则2222(2)51(2)24d m m =++-=++, min 26d ∴=故选:A.【点睛】本题主要考查圆的切线问题,考查直线和圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.9．C解析：C【解析】【分析】由题意首先求得长方体的棱长，然后求解其外接球的表面积即可.【详解】设长方体的棱长分别为,,a b c ，则236ab bc ac =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以()236abc =，于是213a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，设球的半径为R ，则2222414R a b c =++=，所以这个球面的表面积为24R π=14π． 本题选择C 选项.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.10．D解析：D【解析】设直线l 的倾斜角为θ∈[0,π).点A (1,−2),B直线l :ax −y −1=0(a ≠0)经过定点P (0,−1). ()121,01PA PB k k ---==-==- ∵点(1,−2)和(3,0)在直线l :ax −y −1=0(a ≠0)的两侧， ∴k P A <a <k PB ,∴−1<tanθtanθ≠0. 解得30,34ππθθπ<<<<. 本题选择D 选项.解析：C【解析】试题分析：该几何体为一个侧面与底面垂直，底面为正方形的四棱锥（如图所示），其中底面边长为，侧面平面，点在底面的射影为，所以,所以,,,,底面边长为，所以最长的棱长为，故选C.考点：简单几何体的三视图．12．B解析：B【解析】【分析】把平面展开图还原原几何体，再由棱柱的结构特征及异面直线定义、异面直线所成角逐一核对四个命题得答案．【详解】把平面展开图还原原几何体如图：由正方体的性质可知，BM 与ED 异面且垂直，故①错误；CN 与BE 平行，故②错误；连接BE ，则BE CN P ，EBM ∠为CN 与BM 所成角，连接EM ，可知BEM ∆为正三角形，则60EBM ∠=︒，故③正确；由异面直线的定义可知，DM 与BN 是异面直线，故④正确．∴正确命题的个数是2个．故选：B ．本题考查棱柱的结构特征，考查异面直线定义及异面直线所成角，是中档题．二、填空题13．4x －5y+1=0【解析】【分析】先求P 点关于直线x+y+1=0对称点M 再根据两点式求MQ 方程即得结果【详解】因为P 点关于直线x+y+1=0对称点为所以反射光线方程为【点睛】本题考查点关于直线对称问解析：4x －5y +1=0【解析】【分析】先求P 点关于直线x+y+1=0对称点M ，再根据两点式求 MQ 方程，即得结果.【详解】因为P 点关于直线x+y+1=0对称点为(4,3)M --， 所以反射光线方程为13:1(1),451014MQ y x x y +-=--+=+. 【点睛】本题考查点关于直线对称问题，考查基本分析求解能力，属基本题. 14．相交【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长公式求出的值结合两圆的位置关系进行判断即可【详解】解：圆的标准方程为则圆心为半径圆心到直线的距离圆截直线所得线段的长度是即则圆心为半径圆的圆心为半径则即两个 解析：相交【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长公式，求出a 的值，结合两圆的位置关系进行判断即可．【详解】解：圆的标准方程为222:()(0)M x y a a a +-=>，则圆心为(0,)a ，半径R a =，圆心到直线0x y +=的距离d =，Q圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是∴即24a =，2a =，则圆心为(0,2)M ，半径2R =，圆22:(1)(1)1N x y -+-=的圆心为(1,1)N ，半径1r =，则MN =3R r +=Q ，1R r -=，R r MN R r ∴-<<+，即两个圆相交．故答案为：相交．【点睛】本题主要考查直线和圆相交的应用，以及两圆位置关系的判断，根据相交弦长公式求出a 的值是解决本题的关键．15．【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意设圆心坐标为C （2a ）当∠MFN 最大时过点MNF 的圆与直线y=x-3相切∴∴a=1或9a=1时r=∠MCN=90°∠MFN=45°a=9时r=∠MCN＜90解析：22(2)(1)2x y -+-=【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意，设圆心坐标为C （2，a ），当∠MFN 最大时，过点M ，N ，F 的圆与直线y=x-3相切．=，∴a=1或9，a=1时，，∠MCN=90°，∠MFN=45°，a=9时，r=MCN ＜90°，∠MFN ＜45°，则所求圆的方程为22(2)(1)2x y -+-=考点：圆的标准方程 16．【解析】试题分析：圆的面积最大即半径最大此时所以圆心为半径为1考点：圆的方程解析：(0,1)-，1【解析】试题分析：圆的面积最大即半径最大，此时0k =()2211x y ∴++=，所以圆心为(0,1)-半径为1考点：圆的方程 17．或【解析】【分析】判断直线恒过定点P （0-1）计算PAPB 的斜率再利用数形结合求a 的取值范围【详解】解：由直线ax+y+1=0的方程判断直线恒过定点P （0-1）如图所示计算且或则或即实数a 的取值范围解析：32a ≤-或3a ≥ 【解析】【分析】判断直线0ax by c ++=恒过定点P （0，-1），计算PA 、PB 的斜率，再利用数形结合求a 的取值范围．【详解】解：由直线ax+y+1=0的方程，判断直线恒过定点P （0，-1），如图所示，计算513402PA k +==-，21310PB k +==--- 且PA k k ≥或PB k k ≤，则PA a k ≤-或PB a k ≥-，即实数a 的取值范围是：32a ≤-或3a ≥． 故答案为：32a ≤-或3a ≥． 【点睛】本题考查直线的斜率与直线方程的应用问题，是基础题． 18．【解析】若直线与直线的交点位于第一象限如图所示：则两直线的交点应在线段上（不包含点）当交点为时直线的倾斜角为当交点为时斜率直线的倾斜角为∴直线的倾斜角的取值范围是故答案为解析：(,)62ππ 【解析】若直线:3l y kx =-与直线2360x y +-=的交点位于第一象限，如图所示：则两直线的交点应在线段AB 上（不包含,A B 点）, 当交点为()0,2A 时，直线l 的倾斜角为2π，当交点为()3,0B 时，斜率()033303k --==-，直线l 的倾斜角为6π ∴直线的倾斜角的取值范围是,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭． 故答案为,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭19．【解析】【分析】【详解】试题分析：如图正方体ABCD-EFGH 此时若要使液面不为三角形则液面必须高于平面EHD 且低于平面AFC 而当平面EHD 平行水平面放置时若满足上述条件则任意转动该正方体液面的形状解析：15,66⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】【详解】试题分析：如图，正方体ABCD-EFGH ，此时若要使液面不为三角形，则液面必须高于平面EHD ，且低于平面AFC ．而当平面EHD 平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形．所以液体体积必须＞三棱柱G-EHD 的体积16，并且＜正方体ABCD-EFGH 体积-三棱柱B-AFC 体积15166-=考点：1．棱柱的结构特征；2．几何体的体积的求法20．【解析】【分析】由题意曲线表示以原点为圆心1为半径的半圆根据图形得出直线与半圆有两个公共点时抓住两个关键点一是直线与圆相切时二是直线过时分别求出的值即可确定的范围【详解】如图所示是个以原点为圆心1为 解析：2⎡⎣【解析】【分析】由题意，曲线2:1C y x =-表示以原点为圆心，1为半径的半圆，根据图形得出直线:l y x b =+与半圆有两个公共点时抓住两个关键点，一是直线:l y x b =+与圆相切时，二是直线:l y x b =+过()1,0A -时分别求出b 的值，即可确定b 的范围。
深圳市高一下学期期中数学试卷含答案(共3套)
深圳市第二学期期中测试卷高一数学分值：150 时间：120分钟一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（ ）1．已知倾斜角为45的直线经过(2,4)A ，(3,)B m 两点，则m =A ．3B ．3-C ．5D ．1-（ ）2．过点(3,1)A 且倾斜角为120︒的直线方程为A.34y x =--B.34y x =-+C.323y x =-- D.323y x =-+ （ ）3．下列四个命题中正确的是①若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；②若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ③垂直于同一平面的两个平面相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． A. ①和③ B. ①和④ C. ①②和④ D. ①③和④（ ）4．如右图，某几何体的正视图与侧视图 都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可能是（ ）5．已知两条直线,m n 和两个不同平面,αβ，满足αβ⊥，=l αβ⋂,//m α,n β⊥,则A ．//m nB ．m n ⊥ C.//m l D ．n l ⊥（ ）6．已知向量()1,2a =--，()3,0b =，若()()2//a b ma b +-，则m 的值为A ．37 B ．37- C ．2- D ．2 （ ）7．已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC →＝2AE →，则向量EM →＝A. 12AC →＋13AB →B. 12AC →＋16AB →C. 16AC →＋12AB →D. 16AC →＋32AB →（ ）8．某几何体的正视图和侧视图如图①，它的俯视图的直观图是矩形1111O A B C 如图②，其中11116,2,O A O C ==则该几何体的体积为A ．32B ．64C ．162D ．322（ ）9．如图，平面⊥α平面β，AB B A ,,βα∈∈与两平面βα,所成的角分别为4π和6π，过B A ,分别作两平面交线的垂线，垂足为'',B A ，若16AB =，则=''B A.A 4 .B 6 .C 8 .D 9（ ）10．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2 PA →，则A.x ＝23，y ＝13B.x ＝13，y ＝23C.x ＝14，y ＝34D.x ＝34，y ＝14（ ）11．已知M 是ABC ∆内部一点，且4AB AC AM +=,则MBC ∆的面积与ABC ∆ 的面积之比为A ．13B ．12C ．2D ．14（ ）12．直角梯形ABCD ，满足,,222AB AD CD AD AB AD CD ⊥⊥===,现将其沿AC 折叠成三棱锥D ABC -，当三棱锥D ABC -体积取最大值时其表面积为A ．()12322++ B ．()1422+ C ．()1522+ D ．()13322++B A B ’A ‘βα二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．直线331x y +=的倾斜角等于 ．14．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， 090,ACB ∠=11AA AC BC ===，则异面直线1A B 与AC 所成角的余弦值是____________．15．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________. 16．已知棱长为6的正四面体（四个面都是正三角形的三棱锥）的四个顶点都在同一球面上，则球的体积为 。
2019-2020学年深圳高中高一下学期期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年深圳高中高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={−1,2}，B ={x|mx +1=0}，若A ∩B =B ，则所有实数m 的值组成的集合是( )A. {−1,2}B. {1,−12}C. {1,0，−12}D. {−1,0，12}2. 已知函数f(x)={(x −1)3,x ≤1lnx,x >1，若a =log 34，b =log 68，c =log 912，则( )A. f(a)>f(b)>f(c)B. f(b)>f(a)>f(c)C. f(c)>f(a)>f(b)D. f(b)>f(c)>f(a)3. 已知cosβ=−2√55，则sin 4β−cos 4β的值为( )A. −15B. −35C. 15D. 354. 已知|a ⃗ |=3，|b ⃗ |=4，(a ⃗ +b ⃗ )·(a ⃗ +3b ⃗ )=33则a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为( )A.B.C.D.5. 在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且角A =60°，若S △ABC =15√34，且5sinB =3sinC ，则ABC 的周长等于( )A. 8+√19B. 14C. 10+3√5D. 186. 在数列{a n }中，若a 1=1,a 2=12,2an+1=1a n+1an+2(n ∈N ∗)，设数列{b n }满足log 2bn =1a n(n ∈N ∗)，则b n 的前n 项和S n 为( )A. 2n 一1B. 2n 一2C. 2n+1一1D. 2n+1一27. 设ab <0，则下列四个式子：(1)|a −b|=|a|+|b|，(2)|a −b|<|a +b|，(3)|a +b|<|b|，(4)|a −b|>|a|−|b|中，正确的是( )A. (1)、(2)B. (1)、(4)C. (3)、(4)D. (2)、(4)8. 设等比数列{a n }的公比q =1，前n 项和为S n ，则S4a 2=( )A. 2B. 4C. 152D. 1729. 已知，是(−∞,+∞)上的增函数，那么a 的取值范围是( )A. [，3)B. (0,3)C. (1,3)D. (1,+∞)10.半径为的半圆卷成一个圆锥，圆锥的体积为()A. B. C. D.11.7、函数在R上是单调函数的充要条件是A. B. C. D.12.设，，若直线与圆相切，则的取值范围是()A. B.C. D.二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.方程x2−6x+4=0的两根的等比中项是．14.在等式sin()(1+√3tan70°)=1的括号中，填写一个锐角，使得等式成立，这个锐角是______ ．15.如图，在底面为正方形的四棱锥P−ABCD中，PA=PB=PC=PD=AB=2，点E为棱PA的中点，则异面直线BE与PD所成角的余弦值为．16.△ABC中，已知a=√2，c=3，B=45°，则b=______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.(本小题满分12分)已知，其中，如果，求实数的取值范围．18.已知向量a⃗=(cosωx,sinωx)，b⃗ =(cosωx,√3cosωx)，其中(0<ω<2)，函数f(x)=a⃗⋅b⃗ −12．其图象的一条对称轴为x=π6(I)求函数f(x)的表达式及单调递增区间；)=1，b=1，S△ABC=√3，(Ⅱ)在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，S为其面积，若f(A2求a的值．19.如图，某森林公园内有一条宽为2百米的笔直的河道(假设河道足够长)，现拟在河道内围出一块直角三角形区域养殖观赏鱼．三角形区域记为△ABC，A到河两岸距离AE，AD相等，B，C分别在两岸上，AB⊥AC.为方便游客观赏，拟围绕△ABC区域在水面搭建景观桥，桥的总长度(即△ABC的周长)为l.设EC=x百米．(1)试用x表示线段BC的长度；(2)求l关于x的函数解析式f(x)，并求f(x)的最小值．20.如图，OA，OB是两条互相垂直的笔直公路，半径OA=2km的扇形AOB是某地的一名胜古迹区域．当地政府为了缓解该古迹周围的交通压力，欲在圆弧AB上新增一个入口P(点P不与A，B重合)，并新建两条都与圆弧AB相切的笔直公路MB，MN，切点分别是B，P.当新建的两条公路总长最小时，投资费用最低．设∠POA=θ，公路MB，MN的总长为f(θ)．(1)求f(θ)关于θ的函数关系式，并写出函数的定义域；(2)当θ为何值时，投资费用最低？并求出f(θ)的最小值．21.设数列{a n}的n项和为S n，若对任意∈N∗，都有．S n=3a n−5n(1)求数列{a n}的首项；(2)求证：数列{a n+5}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；(3)数列{b n}满足b n=9n+4，问是否存m在，使得b n<m恒成立？如果存在，求出m的值，如a n+5果不存在，说明理由．22.已知函数(Ⅰ)若，且在上的最大值为，求；(Ⅱ)若，函数在上不单调，且它的图象与轴相切，求的最小值．【答案与解析】1.答案：C解析：解：∵A ∩B =B ，∴B ⊆A ， ∵A ={−1,2}，B ={x|mx +1=0}， ∴当B 为空集时，满足题意，此时m =0；当B 不为空集时，m ≠0，此时B 中方程解得：x =−1m ， 可得−1m =−1或−1m =2， 解得：m =1或m =−12，综上，所有满足实数m 的值组成的集合为{1,0，−12}. 故选：C ．由A 与B 的交集为B ，得到B 为A 的子集，分B 为空集与B 不为空集两种情况，分别求出实数m 的值，即可确定出满足题意m 的集合．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.答案：A解析：解：当x ≤1时，f(x)=(x −1)3为增函数，且f(x)≤0， 当x >1时，f(x)=lnx 为增函数，且f(x)>0， 综上f(x)在R 上为增函数，a =log 34=log 3(3×43)=1+log 343>1，b =log 68=log 6(6×43)=1+log 643>1，c =log 912=log 9(9×43)=1+log 943>1， ∵log 433<log 436<log 439，∴1 log 433>1log 436>1log 439，∴1log 343<1log 643<1log 943，∴log 343>log 643>log 943，∴1+log 343>1+log 643>1+log 943，∴a >b >c >1，∵当x >1时，f(x)=lnx 为增函数，∴f(a)>f(b)>f(c)， 故选：A ．根据条件判断函数的单调性，结合对数的运算法则和换底公式将对数进行化简，再利用函数的单调性比较大小即可．本题主要考查函数值的大小比较，结合对数的运算法则和换底公式进行化简是解决本题的关键，是中档题．3.答案：B解析：解：∵cosβ=−2√55， ∴sin 4β−cos 4=(sin 2β+cos 2β)⋅(sin 2β−cos 2β)=(sin 2β−cos 2β) =−cos2β=−[2cos 2β−1]=−(2×2025−1)=−35， 故选：B ．利用同角三角函数的基本关系吧要求的式子化为(sin 2β−cos 2β)，再利用条件、二倍角的余弦公式，计算求得结果．本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．4.答案：C解析：本题主要考查平面向量的数量积，夹角计算，属于基础题.先推出a ⇀·b ⇀=−6，再依据cos <a ⇀,b ⇀>=a ⇀·b⇀|a ⇀|·|b ⇀|，即可推出结论．解：因为|a ⇀|=3，|b ⇀|=4，(a ⇀+b ⇀)·(a ⇀+3b ⇀)=33所以|a ⇀|2+3|b ⇀|2+4a ⇀·b ⇀=33，a ⇀·b ⇀=−6，cos <a ⇀,b ⇀>=a ⇀·b⇀|a ⇀|·|b ⇀|=−，且，所以a ⇀与b ⇀的夹角为，故选C ．5.答案：A解析：解：在ABC中，∵5sinB=3sinC，∴由正弦定理可得5b=3c，即b=35c.再根据S△ABC=15√34=12bc⋅sinA=12⋅35c⋅c⋅sin60°，解得c=5，∴b=3，a=√b2+c2−2bc⋅cosA=√19，故△ABC的周长为a+b+c=8+√19，故选：A．由条件利用正弦定理可得b=35c，再根据S△ABC=15√34=12bc⋅sinA求得b、c的值，再利用余弦定理求得a，从而求得三角形的周长．本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．6.答案：D解析：解：若a1=1,a2=12,2an+1=1a n+1a n+2(n∈N∗)，可得1a n+2−1a n+1=1a n+1−1a n=⋯=1a2−1a1=1，即有{1an}为首项和公差均为1的等差数列，可得1a n=n，由log2b n=1an=n，可得b n=2n，则S n=2(1−2n)1−2=2n+1−2．故选：D．由条件可得{1an}为首项和公差均为1的等差数列，运用等差数列的求和公式和对数的运算性质可得b n=2n，再由等比数列的求和公式，可得所求和．本题考查等差数列的定义和通项公式，以及等比数列的求和公式，考查化简运算能力，属于基础题．7.答案：B解析：解：ab <0，则下列四个式子： (1)|a −b|=|a|+|−b|=|a|+|b|，正确； (2)由(1)可知：|a −b|<|a +b|，不正确；(3)例如取a =−5，b =1，可得|a +b|>|b|，因此(3)不正确； (4)由(1)可得|a −b|=|a|+|b|>|a|−|b|，正确． 故选：B ．利用不等式的基本性质即可判断出结论．本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力由于计算能力，属于基础题．8.答案：B解析：解：∵等比数列{a n }的公比q =1，前n 项和为S n ， ∴S 4a 2=4a 1a 1=4．故选：B ．由等比数列的性质得S4a 2=4a 1a 1，由此能求出结果．本题考查等比数列的前4项和与第2项的比值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．9.答案：A解析：∵f(x)={(3−a)x −a,x <1log a x,x ≥1是(−∞,+∞)上的增函数，∴x <1时，f(x)=(3−a)x −a 是增函数∴3−a >0，解得a <3；x ≥1时，f(x)=log a x 是增函数，解得a >1． ∵f(1)=log a 1=0 ∴x <1时，f(x)<0∵x =1，(3−a)x −a =3−2a ∵x <1时，f(x)=(3−a)x −a 递增 ∴3−2a ≤f(1)=0，解得a ≥32． 所以32≤a <3．故选A．10.答案：C解析：试题分析：半径为的半圆卷成一个圆锥，该圆锥的母线长为，底面圆的周长为该半圆的弧长，设底面圆的半径为，则有，故该圆锥的高，所以该圆锥的体积，选C．考点：1.扇形的弧长公式；2.空间几何体的体积．11.答案：B解析：12.答案：D解析：试题分析：因为直线与圆相切，所以，即，所以，所以的取值范围是。
广东省深圳市宝安中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题
【分析】
（1）由已知设 ， .再由向量的模的表示可求得答案；
（2）根据向量垂直的坐标表示可求得 ，再由向量的夹角运算求得答案.
. ， .
【详解】
（1） ，且 与 共线且方向相反. 设 ， .
， ， . .
（2） 与 垂直， ， ， ，
. ， .
18．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
因为 为 的中点，则 ，
由四边形 是平行四边形，可得 ，则 ，
所以 ，所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，所以 .
故选：D.
8．C
【分析】
设 ，在 中，利用正弦定理得 ，利用余弦定理得 ，从而得到 与 的关系，再由 可得 与 之间的关系，利用余弦定理可得 ，再利用正弦函数的取值范围可得答案．
【详解】
对于选项A：由向量共线定理知选项A正确；
对于选项B： ，若 与 的夹角为锐角，则
解得 ，当 与 共线时， ，解得： ，此时 ， ，此时 夹角为 ，不符合题意，所以实数 的取值范围是 ，故选项B不正确；
对于选项C：若 ，则 ，因为 ，则 或 与 垂直，
故选项C不正确；
对于选项D：若点G为 的重心，延长 与 交于 ，则 为 的中点，所以 ，所以 ，故选项D正确.
广东省深圳市宝安中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知 ， ， 与 的夹角是120°，则 等于（）
A．3B． C． D．
2．已知：空间四边形ABCD如图所示，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且 ， ，则直线FH与直线Βιβλιοθήκη G（）故选：B5．A
广东省2020版高一下学期数学期中考试试卷(II)卷
广东省2020版高一下学期数学期中考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分） (2020高二上·武汉期中) 己知直线：与：，则这两条直线的位置关系是（）A . 重合B . 平行C . 垂直D . 不能确定2. （2分）函数f(x)= sin2x-2sin2x,(0≤x≤π/2)则函数f(x)的最小值为（）A . 1B . -2C .D . -3. （2分） (2020高二下·南宁期中) 如图，在正方体中，E，F依次是和的中点，则异面直线与CF所成角的余弦值为（）A .B .C .D . 04. （2分） (2020高三上·大庆期中) 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边位于第三象限且过点，若，则（）A .B . 2C .D . -25. （2分） (2020高一下·西安期末) 在中，已知，则该的形状为（）A . 等腰三角形B . 直角三角形C . 正三角形D . 等腰或直角三角形6. （2分） (2020高二上·南昌月考) 若圆上仅有4个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（）A .B .C .D .7. （2分）(2017·山东) 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sinB （1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（）A . a=2bB . b=2aC . A=2BD . B=2A8. （2分）已知点M（a，b）在圆O：x2+y2=1外，则直线ax+by=1与圆O的位置关系是（）A . 相切B . 相交C . 相离D . 不确定二、多选题 (共4题；共12分)9. （3分） (2020高二上·武汉期中) 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF a，以下结论正确的有（）A . AC⊥BEB . 点A到△BEF的距离为定值C . 三棱锥A﹣BEF的体积是正方体ABCD﹣A1B1C1D1体积的D . 异面直线AE，BF所成的角为定值10. （3分） (2020高一下·辽宁期中) 以下命题（其中a，b表示直线，a表示平面），其中错误的是（）A . 若则B . 若则C . 若则D . 若，，，则11. （3分） (2020高二上·大名月考) 已知圆为圆上的两个动点，且为弦的中点， .当在圆上运动时，始终有为锐角，则实数的可能取值为（）A . -3B . -2C . 0D . 112. （3分） (2020高一下·南京期中) 若圆与圆相切，则m的值可以是（）A .B .C .D .三、填空题 (共3题；共3分)13. （1分） (2017高二上·南通开学考) 已知直线l1的方程为3x+4y-7=0，直线l2的方程为6x+8y+1=0，则直线l1与l2的距离为________．14. （1分）函数y=3﹣cos x的最大值为________．15. （1分）已知直线a，b的方向向量分别为 =（4，k，k﹣1）和 =（k，k+3，），若∥ ，则k=________四、双空题 (共1题；共1分)16. （1分）(2017·兰州模拟) cos2165°﹣sin215°=________．五、解答题 (共6题；共57分)17. （10分） (2019高一下·双鸭山期中) 在中，分别是角的对边，且．（1）求的大小；（2）若，求的面积．18. （10分）(2013·湖北理) 如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点．（1）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；（2）设（1）中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足．记直线PQ与平面ABC所成的角为θ，异面直线PQ与EF所成的角为α，二面角E﹣l﹣C的大小为β．求证：sinθ=sinαsinβ．19. （10分）已知两直线l1：3x+y+1=0，l2：x+y﹣1=0相交于一点P，（1）求交点P的坐标．（2）若直线l过点P且与直线l1垂直，求直线l的方程．20. （10分） (2020高一下·重庆期末) 已知分别为三个内角的对边，且满足：.（1）求；（2）若，且，求的面积.21. （2分） (2019高三上·长春月考) 在中，角的对边长分别为，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的值.22. （15分）写出圆心为C（1，﹣2），半径r=3的圆的方程，并判断点M（4，﹣2）、N（1，0）、P（5，1）与圆C的位置关系．参考答案一、单选题 (共8题；共16分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：二、多选题 (共4题；共12分)答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：五、解答题 (共6题；共57分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：。
广东省2020版高一下学期数学期中考试试卷(I)卷
广东省2020版高一下学期数学期中考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2015高三上·枣庄期末) 直线l：x+ y﹣3=0的倾斜角α为（）A .B .C .D .【考点】2. （2分）中，则b等于（）【考点】3. （2分） (2020高一下·大丰期中) 已知直线与直线互相平行，则实数a的值为（）A . ﹣3B .C . 2D . ﹣3或2【考点】4. （2分） (2020高二下·焦作期末) 已知，，则（）A .B . 或C .D . 或【考点】5. （2分） (2020高二上·重庆期中) 直线：和直线：在同一坐标系中可能是（）A .B .C .D .【考点】6. （2分） (2019高二上·林芝期中) 在△ABC中，A＝45°，b＝4，c＝，那么＝（）A .B . －C .D . －【考点】7. （2分） (2017高二上·牡丹江月考) 抛物线上的点到直线的距离的最小值是（）A .B .C .D . 3【考点】8. （2分）已知函数f(x)=|sinx|的图象与直线y=kx(k>0)有且仅有三个公共点，这三个公共点横坐标的最大值为a，则a等于（）A . -cosaB . -sinaC . -tanaD . tana【考点】9. （2分）若顶点在原点，始边为x轴的非负半轴的钝角α的终边与圆x2+y2=2相交于A（x1 ， y1），射线OA绕点O顺时针旋转30°后，与圆x2+y2=2相交于B（x2 ， y2），当|x1﹣x2|有最大值时，cosα=（）【考点】10. （2分）已知两点A（1，2），B（3，1）到直线l距离分别是，﹣，则满足条件的直线l共有（）条．A . 1B . 2C . 3D . 4【考点】二、多选题 (共2题；共6分)11. （3分） (2020高一下·海丰月考) 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则下列结论中正确的有（）A . 若，则B . 若，则是锐角三角形C .D . 若，则一定是等腰三角形【考点】12. （3分） (2020高二上·厦门月考) 下列说法正确的是（）A . 直线必过定点B . 直线在轴上的截距为C . 直线的倾斜角为60°D . 过点且垂直于直线的直线方程为【考点】三、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二下·溧水期末) 若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0外切，则m=________．【考点】14. （1分）△ABC的三边分别为a，b，c．若a=2，b=3，c=4，则其最小角的余弦值为________．【考点】15. （1分）(2017·广安模拟) 若直线与圆x2+y2﹣2x﹣4y+a=0和函数的图象相切于同一点，则a 的值为________．【考点】16. （1分）(2018·枣庄模拟) 已知圆和圆，若点在两圆的公共弦上，则的最小值为________．【考点】四、解答题 (共6题；共65分)17. （10分） (2018高二上·抚顺期中) 在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，．（1）求角A的度数；（2）若，，求b和c的值．【考点】18. （15分） (2020高一下·扬州期末) 已知矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为 .点在边所在直线上.求：（1）边所在直线的方程；（2）边所在直线的方程.【考点】19. （15分） (2020高二上·佛山期中) 已知圆C的圆心坐标为，且圆C与y轴相切．（1）已知，，点N是圆C上的任意一点，求的最小值．（2）已知，直线l的斜率为，且与y轴交于点若直线l与圆C相离，求a的取值范围．【考点】20. （5分） (2015高二上·西宁期末) 在平面直角坐标系xOy中，已知圆和圆，（1）若直线l1过点A（2，0），且与圆C1相切，求直线l1的方程；（2）若直线l2过点B（4，0），且被圆C2截得的弦长为，求直线l2的方程．【考点】21. （5分） (2019高三上·南宁月考) 如图,已知抛物线E:y2=4x与圆M:(x 3)2+y2=r2(r>0)相交于A,B,C,D 四个点.（1）求r的取值范围;（2）设四边形ABCD的面积为S,当S最大时,求直线AD与直线BC的交点P的坐标.【考点】22. （15分） (2019高二下·蕉岭月考) 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）设点，直线和曲线交于两点，求的值．【考点】参考答案一、单选题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、多选题 (共2题；共6分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：三、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：四、解答题 (共6题；共65分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
广东省深圳中学2020-2021学年高一数学下学期期中试题（含解析）
广东省深圳中学2020-2021学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、单项选择题（共8小题，每题5分，共40分）.1．若复数z满足z•i＝2+i，其中i为虚数单位，则z的虚部为（ ）A．﹣2B．﹣2i C．2D．2i2．已知＝（1，cosα），＝（2，﹣sinα），若A、B、C三点共线，则tanα的值为（ ）A．﹣2B．C．D．23．函数的图象大致为（ ）A．B．C．D．4．某地区居民血型的分布为O型49%，A型19%，B型25%，AB型7%．已知同种血型的人可以互相输血，O型血的人可以给任何一种血型的人输血，AB型血的人可以接受任何一种血型的血，其他不同血型的人不能互相输血．现有一血型为A型的病人需要输血，若在该地区任选一人，则能为该病人输血的概率为（ ）A．19%B．26%C．68%D．75%5．△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b+c＝2a，3sin A＝5sin B，则角C等于（ ）A．B．C．D．6．已知△ABC中，，．若，则x+y的值为（ ）A．﹣3B．3C．﹣1D．17．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝6，∠C＝45°，P为线段CD上的动点（包括端点），则的最小值为（ ）A．8B．12C．20D．308．设锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，c＝1，则a2+b2+ab的取值范围为（ ）A．B．（1，3]C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，关于此函数的下列描述，其中正确的有（ ）．．若，则．，是夹角为的单位向量，，．则下列结论中正确．⊥||＝|﹣|＝＜，﹣＞＝，则，则，则，则．已知向量、的夹角为，，且对于任意的，都有，则＝ 的取值范围为 及；）若，求．已知向量，满足，，．）求与夹角）若与的夹角为锐角，求实数．在①，②，③这三的面积，）的顾客购买该公司新品的概率为，调查）的顾客购买该公司新品的概率为，若每个顾客是否购买该公司新品＝，AC＝．＝，求22．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0，满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称f（x）为“M类函数”．（1）已知函数f（x）＝x2+x+1，，试分别判断f（x）、g（x）是否为“M类函数”，并说明理由；（2）若函数为其定义域上的“M类函数”，求实数m 的取值范围．答案一、单项选择题（共8小题，每题5分，共40分）.1．若复数z满足z•i＝2+i，其中i为虚数单位，则z的虚部为（ ）A．﹣2B．﹣2i C．2D．2i解：∵z•i＝2+i，∴z＝＝＝1﹣2i，∴z的虚部为﹣2，故选：A．2．已知＝（1，cosα），＝（2，﹣sinα），若A、B、C三点共线，则tanα的值为（ ）A．﹣2B．C．D．2解：∵A，B，C三点共线，∴与共线，∴﹣sinα﹣2cosα＝0，∴﹣sinα＝2cosα，tanα＝﹣2．故选：A．3．函数的图象大致为（ ）A．B．C．D．解：函数的定义域为{x|x≠0}，f（﹣x）＝＝＝f（x），即f（x）是偶函数，排除A，B，由f（x）＝0，得lg|x|＝0，得x＝1或x＝﹣1，当x＞1时，f（x）＞0，排除C，故选：D．4．某地区居民血型的分布为O型49%，A型19%，B型25%，AB型7%．已知同种血型的人可以互相输血，O型血的人可以给任何一种血型的人输血，AB型血的人可以接受任何一种血型的血，其他不同血型的人不能互相输血．现有一血型为A型的病人需要输血，若在该地区任选一人，则能为该病人输血的概率为（ ）A．19%B．26%C．68%D．75%解：∵某地区居民血型的分布为O型49%，A型19%，B型25%，AB型7%，现在能为A型病人输血的有O型和A型，故能为病人输血的概率49%+19%＝68%．故选：C．5．△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b+c＝2a，3sin A＝5sin B，则角C等于（ ）A．B．C．D．解：∵3sin A＝5sin B，∴由正弦定理，可得3a＝5b，∴a＝，∵b+c＝2a，∴c＝，∴cos C＝＝﹣，∵C∈（0，π）∴C＝．故选：B．6．已知△ABC中，，．若，则x+y的值为（ ）A．﹣3B．3C．﹣1D．1解：因为，．所以＝＝＝×＝，所以＝4﹣3，若，则x＝4，y＝﹣3，x+y＝1．故选：D．7．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝6，∠C＝45°，P为线段CD上的动点（包括端点），则的最小值为（ ）A．8B．12C．20D．30解：如上图：过点D作DE⊥BC，垂足为E，∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝6，∠C＝45°，∴DE＝1，DC＝．设CP＝x．＝（）•（+）＝•+•+•+•＝24﹣2x+3（﹣x）﹣x（﹣x）＝x2﹣6 x+30，（0≤x≤），∴由图象可知，当x＝时，求得最小值20．故选：C．8．设锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，c＝1，则a2+b2+ab的取值范围为（ ）A．B．（1，3]C．D．解：∵＝，整理可得2sin AcoC＝sin C cos B+sin B cos C＝sin（B+C）＝sin A，又sin A≠0，∴可得cos C＝，∵C∈（0，π），∴C＝，又∵c＝1，∴由正弦定理可得＝，∴由余弦定理可得1＝a2+b2﹣ab，∴可得a2+b2+ab＝1+2ab＝1+2×sin A×sin B＝1+sin A sin（﹣A）＝+sin2A﹣cos2A＝+sin（2A﹣），∵锐角△ABC中，A∈（，），可得2A﹣∈（，），∴sin（2A﹣）∈（，1]，∴a2+b2+ab＝+sin（2A﹣）的取值范围为（，3]．故选：D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省深圳市福田区福田中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题
广东省深圳市福田区福田中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．复数1012i i-= A ．-4+ 2iB ．4- 2iC ．2- 4iD ．2+4i 2．式子()()AB MB BO BC OM ++++化简结果是（ ）A ．AB B ．AC C ．BCD ．AM 3．如图，Rt O A B '''△是一平面图形的直观图，斜边2O B ''=，则这个平面图形的面积是（ ）A ．2B ．1CD ．4．已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是（ ） A ．2a b + B ．2a b + C ．2a b - D ．2a b -5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知A =45°，a =6，b 则B 的大小为（ ）A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120°6．如图，在三棱锥A BCD -中，E ，F 分别为AB ，AD 的中点，过EF 的平面截三棱锥得到的截面为EFHG .则下列结论中不一定成立的是（ ）A ．//EF GHB ．//BD GHC ．//GH 平面ABD D ．//AC 平面EFHG7．已知ABC ∆的三个角A ∠，B ，C ∠所对的边分别为a ，b ，c ，其中，3a =，b =60A ︒∠=，则B 等于（ ）.A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒8．一辆汽车在一水平的公路上由北向南行驶，在公路右侧有一高山．汽车行驶到A 处测得高山在南偏西15°方向上，山顶处的仰角为60°，继续向南行驶300m 到B 处测得高山在南偏西75°方向上，则山高为（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题9．2(32i)6i 0x x ---=，则下列叙述正确的有（ ）A ．当x C ∈时，3x =B ．当xC ∈时，3x =，或2i x =- C ．当x ∈R 时，3x =，或2i x =-D ．当x ∈R 时，3x = 10．在ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且6b =，sin 2sin A C =，则以下四个结论正确的有（ ）A ．ABC 不可能是直角三角形B ．ABC 有可能是等边三角形C ．当A B =时，ABC 的周长为15D ．当3B π=时，ABC 的面积为11．M 、N 为直线l 外两点，则过这两点且与该直线平行的平面个数可能有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．无数个 D ．2个12．如图，在透明塑料制成的长方体1111ABCD A BC D -容器内灌进一些水（未满），现将容器底面一边BC 固定在底面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四种说法，其中正确命题的是（ ）A ．水的部分始终呈棱柱状B ．水面四边形EFGH 的面积为定值C ．棱11AD 始终与水面EFGH 平行D ．若1E AA ∈，1F BB ∈，则AE BF +是定值三、填空题13．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图），45,1ABC AB AD ∠=︒==，DC BC ⊥则这块菜地的面积为__________．14．已知各顶点都在同一球面上的正四棱锥高为3，体积为6，则这个球的表面积是________．15． ABC 是钝角三角形，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，1a =，2b =，则最大边c 的取值范围是____________.四、双空题16．设,x y 为实数，且51i 12i 13ix y +=---，则x y +=________．|i |x y +=________．五、解答题17．已知平面直角坐标系中，点O 为原点，()3,4A --、()5,12B -.（1）求AB 的坐标及AB ；（2）求OA OB ⋅． 18．如图所示，在三棱柱ABC -111A B C 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，11A B ，11AC的中点，求证：（1）B ，C ，H ，G 四点共面；（2）1A E ∥平面BCHG .19．如图，圆锥PO 的底面直径和高均是a ，过PO 的中点O '作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，（1）求圆柱的表面积；（2）求圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积．20．一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m ，河水的速度为向东/h .一艘小货船准备从河的这一边的码头A 处出发，航行到位于河对岸B （AB 与河的方向垂直）的正西方向并且与B 相距的码头C 处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6/km h ，则当小货船的航程最短时，求合速度的方向，并求此时小货船航行速度的大小.21．两个粒子A ，B 从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为(4,3),(2,10)A B s s ==.（1）写出此时粒子B 相对粒子A 的位移s ；（2）计算s 在A s 上的投影向量.参考答案1．A【详解】 试题分析：由已知得，1012i i -=10(12)201042(12)(12)5i i i i i i +-+==-+-+． 考点：复数的运算.2．B【分析】根据向量加法的运算律以及向量加法的三角形法则可得结果.【详解】 ()()AB MB BO BC OM ++++()AB BO OM MB BC=++++()AO OM MB BC =+++()AM MB BC =++AB BC =+AC =.故选：B.【点睛】本题考查了向量加法的运算律以及向量加法的三角形法则，属于基础题.3．D【分析】根据所给的直观图是一个等腰直角三角形且斜边长是2，得到直角三角形的直角边长，进而可得解.【详解】 Rt △O A B '''是一平面图形的直观图，斜边2O B ''=，∴∴直角三角形的面积是112=， ∴原平面图形的面积是1⨯=4．D【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.【详解】 由已知可得：11cos 601122a b a b ︒⋅=⋅⋅=⨯⨯=. A ：因为215(2)221022a b b a b b +⋅=⋅+=+⨯=≠，所以本选项不符合题意； B ：因为21(2)221202a b b a b b +⋅=⋅+=⨯+=≠，所以本选项不符合题意； C ：因为213(2)221022a b b a b b -⋅=⋅-=-⨯=-≠，所以本选项不符合题意； D ：因为21(2)22102a b b a b b -⋅=⋅-=⨯-=，所以本选项符合题意. 故选：D.【点睛】 本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力.5．A【分析】先由正弦定理求出sin B =12，可得B =30°或B =150°，再由a >b ，得A >B ，从而可求出B =30°. 【详解】由正弦定理得sin sin b a B A=，即6sin sin 45B =︒， 解得sin B =12， 又B 为三角形内角，所以B =30°或B =150°，又因为a >b ，所以A >B ，即B =30°. 故选：A.6．D利用线面平行的判定和性质对选项进行排除得解.【详解】对于A ，E ，F 分别为AB ，AD 的中点，//EF BD ∴，EF 与平面BCD 平行 过EF 的平面截三棱锥得到的截面为EFHG ，平面EFHG ⋂平面BDC HG =，//EF GH ∴，//GH BD ∴，故AB 正确；对于C ，//GH BD ，BD ⊂平面ABD ，GH ⊂/平面ABD ，//GH ∴平面ABD ，故C 正确；对于D ，GH 的位置不确定，AC ∴与平面EFHG 有可能相交，故D 错误. 故选:D.【点睛】熟练运用线面平行的判定和性质是解题的关键.7．A【分析】利用正弦定理，可得sin B ∠，然后根据大角对大边，可得结果.【详解】在ABC ∆中，由sin sin a b A B=∠∠又3a =，b =60A ︒∠= 所以1sin 2B ∠= 由a b >，所以060B <∠<故30B ∠=故选：A【点睛】本题考查正弦定理的应用，审清题干，把握细节，属基础题.8．C【分析】首先根据题意画出图形，设A 处到山顶处下方的地面C 距离为m x ，m ，再利用正弦定理即可得到答案.如图所示：设A 处到山顶处下方的地面C 距离为m x m ，在ABC 中，751560ACB ∠=-=，18075105ABC ∠=-=，300AB =， 由正弦定理，得300sin105sin 60x =， 6sin105sin 60cos 45cos60sin 454+=+=，所以x ==.故选：C9．BD【分析】（1）把等式左边化为复数形式，由实部等于虚部等于0可得解；（2）设i,,R x a b a b =+∈，整理后根据实部等于虚部等于0可得解【详解】2(32i)6i 0x x ---=当x ∈R 时，23(62)i=0x x x ---，所以23620x x x -=-=，解得3x =；当x C ∈时，设i,,R x a b a b =+∈222(i)(32i)(i)6i (32)(2326)i 0a b a b a b a b ab b a +--+-=---+-+-=， 所以223223260a b a b ab b a ---=-+-=解得02a b =⎧⎨=-⎩ 或30a b =⎧⎨=⎩故3x =，或2i x =-故选：BD.10．CD【分析】对选项A ，利用勾股定理即可判断A 错误，对选项B ，根据2a c =即可判断B 错误，对选项C ，根据A B =和2a c =即可判断C 正确，对选项D ，首先根据余弦定理得到c =，a =，再计算ABC 的面积即可判断D 正确.【详解】由正弦定理得2a c =，对选项A ，若A 直角，则()22222236=+⇒=+⇒=a b c c c c 所以存在ABC 是直角三角形，故A 错误.对选项B ，因为2a c =，所以不存在ABC 是等边三角形，故B 错误.对选项C ，若A B =，则6a b ==，3c =，ABC 的周长为15，故C 正确.对选项D ，2222224361cos 2222+-+-===⨯a c b c c B ac c ，解得c =a =所以1sin 2S ac B ==，故D 正确. 故选：CD【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，同时考查学生的计算能力，属于简单题. 11．ABC【分析】对直线MN 与直线l 的位置关系进行分类讨论，结合已知条件可得出两直线在不同位置的情况下过M 、N 两点且与直线l 平行的平面的个数.【详解】分以下三种情况讨论：①若直线MN 与直线l 相交，则过M 、N 两点且与直线l 平行的平面的个数为0个；②若直线MN 与直线l 异面，如下图所示：作直线m 与直线l 平行，且使得直线m 与直线MN 相交，此时，直线m 与直线MN 确定平面为平面α，则直线//l 平面α，所以，过M 、N 两点且与直线l 平行的平面的个数为1个；③若直线MN 与直线l 平行，则过M 、N 两点且与直线l 平行的平面的个数为无数个. 故选：ABC.【点睛】关键点点睛：此题考查过直线外两点与定直线平行的平面的个数，解题的关键就是对直线MN 与直线l 的位置关系进行分类讨论，必要时结合图形来得出结论.12．ACD【分析】对于选项A ：从棱柱的特征平面判断即可；对于选项B ：可以通过EF 的变化，而EH 不变判断正误；对于选项C ：利用直线与平面平行的判断定理，推出结论；对于选项D ：通过水的体积判断即可．【详解】结合题设中提供的图形信息可知：当容器底面一边BC 固定时，11////BC FG A D ，故由线面平行的判定定理可知结论“棱11A D 始终与水面EFGH 平行”成立；同时由于四边形ABFE ≅四边形DCGH ，且互相平行，则由棱柱的定义可知结论“水的部分始终呈棱柱状”正确；如图，由于水平放置时，水的高度是定值，所以当一部分上升的同时，另一面下降相同的高度，因为BF h FD =-，1AE h D E =+且1FD D E =，所以12BF AE h FD h D E h +=-++=（定值），即结论“若1E AA ∈，1F BB ∈，则AE BF +是定值”是正确的；因为水面四边形EFGH 的边长在变化，因此其面积是变化的，故结论“水面四边形EFGH 的面积为定值”的说法不正确，即命题ACD 是正确的.故选：ACD.【点睛】本题主要考查了棱柱的结构特征，直线与平面平行的判断，棱柱的体积等知识，考查计算能力，逻辑推理能力．属于中档题.13．22+【分析】按斜二测画直观图的原则，找到四边形ABCD 的四个顶点在平面直角坐标系下对应的点，即把直观图中的点还原回原图形中，连接后得到原图形，然后利用梯形面积公式求解．【详解】如图，直观图四边形的边BC 在x '轴上，在原平面直角坐标系下在x 轴上，长度不变. 点A 在y '轴上，在原平面直角坐标系图形中在y 轴上，且A B ''长度为直观图中的2倍. 在直观图四边形中//AD x '轴，所以在原平面直角坐标系下//A D x ''轴，长度不变. 所以在原平面直角坐标系中A B C D ''''为直角梯形.在直观图四边形中,过点A 作AE x ⊥轴, 垂足为E ，则在直观图中，ABE △为等腰直角三角形且1AB AD ==,BE =,则1BC =所以在原平面直角坐标系中12B C ''=+,2,1A B A D ''''==所以梯形A B C D ''''面积为11122222⎛⨯++⨯=+ ⎝⎭故答案为:22+14．16π【详解】试题分析：正四棱锥的高为3，体积为6，易知底面面积为6．正四棱锥P-ABCD 的外接球的球心在它的高PO 1上，记为O ，PO=AO=R ，PO 1=3，OO 1=3-R ，在Rt △AO 1O 中，AO 1R 2=3+（3-R ）2得R =2，∴球的表面积S =16π．考点：本题主要考查正四棱锥的几何特征，球的表面面积计算．点评：中档题，关键是确定出球心的位置，利用直角三角形列方程式求解球的半径．15．)【分析】由于 ABC 是钝角三角形，且最大的边为c ，所以角C 为钝角，可得cos 0C <，解得c 的范围，再结合12c <+即可得结果.【详解】解：因为 ABC 是钝角三角形，且最大的边为c ，所以角C 为钝角，所以222214cos 024a b c c C ab +-+-==<，解得>c 又因为123c <+=3c <<，故答案为：) 【点睛】此题考查了余弦定理、不等式的解法、三角形的三边大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.16．4【分析】根据复数的除法运算分别计算等式的左右两，再根据实部等于实部，虚部等于虚部列方程求解即可.【详解】 由(1)(12)2()()1122i i i i i 52525x y x y x y x y +++=+=+++--， 而55(13i)13i 13i 1022+==+-，所以1252x y +=且23252x y +=， 解得1,5x y =-=，所以4x y +=.|i ||15i|x y +=-+==故答案为：417．（1）()8,8AB =-，82AB =；（2）33OB OA ⋅=.【分析】（1）利用平面向量的坐标可得出AB 的坐标，利用平面向量的模长公式可求得AB ； （2）利用平面向量数量积的坐标运算可求得OA OB ⋅.【详解】（1）由已知条件可得()()()5,123,48,8AB =----=-，故64AB == （2）由已知可得()3,4OA =--，()5,12OB =-，因此，154833OA OB ⋅=-+=. 18．（1）证明见详解；（2）证明见详解；【分析】（1）由中点知GH 为中位线，即有11//GH B C ，结合三棱柱的性质可证//GH BC ，即四点共面.（2）由三棱柱的性质以及中点性质有1,AG EB 平行且相等，即有1//AE GB ，结合线面平行的判定即可证1//A E 面BCHG .【详解】（1）∵G ，H 分别是11A B ，11AC 的中点，∴11//GH B C ，而11//B C BC ，∴//GH BC ，即B ，C ，H ，G 四点共面.（2）∵E ，G 分别是AB ，11A B 的中点，∴1,AG EB 平行且相等，所以四边形1A EBG 为平行四边形，即1//A E GB ，又1A E ⊄面BCHG ，GB ⊂面BCHG ，∴1//A E 面BCHG ，19．（1）238a π；（2）3596a π． 【分析】（1）设圆锥底面半径为r ，圆柱底面半径为r '，求得r 和r '的值，以及圆柱和圆锥的母线长，结合侧面积和圆的面积公式，即可求解；（2）利用圆锥和圆柱的体积公式，即可求得剩下几何体的体积．【详解】（1）设圆锥底面半径为r ，圆柱底面半径为r '，因为过PO 的中点O '作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，可得2a r =，4a r '=，且圆柱母线长2a l '=，圆锥母线长l ==， 所以圆柱的表面积为：222322224428a a a S r r l a πππππ⎛⎫'''=+=⋅+⋅⋅= ⎪⎝⎭表 （2）剩下几何体的体积222231153324296a a a V r OP r OO a a πππππ⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅=⋅⋅-⋅⋅= ⎪⎝⎭'⎪ ⎭⎝．20．合速度的方向与水流的方向成150°的角. 小船航行速度的大小为.【分析】作出图形，利用解直角三角形以及余弦定理可得结果．【详解】解：如图2500.250,4AB m km BC ====，4tan 0.250BC CAB AB ∠=== 60,9060150CAB CAD ︒︒︒︒∴∠=∴∠=+=，∴合速度的方向与水流的方向成150°的角.设小货船的速度为1v ，水流速度为2v ，合速度为v ，则12v v v =-，21222v v v v v ∴=-⋅+=/h = ∴小船航行速度的大小为. 【点睛】本题是小船渡河问题，关键是运用运动的合成与分解做出速度分解或合成图，是基础题。