吉林大学高等量子力学习题答案
高等量子力学-习题及答案 ch02
第二章量子力学测量问题一、从不同角度，量子测量有不同分类，常见的分类有哪些。
(1)一般测量、投影测量和POVM；(2)直接测量和间接测量；(3)完全测量与不完全测量。
二、理想测量的三个基本要求是什么。
(1)当t=0，即探测体和被测系统相互作用之前，探测体制备在量子态ρp，同时量子客体制备在ρ0态。
(2)使用仪器测量之前，量子客体和探测体在t=0时开始相互作用，在t=τ>0时结束作用。
(3)此方法的第三步是，一个经典仪器及在探测体上的测量可以用冯·诺依曼投影假设的理想测量描述。
三、什么叫标准量子极限，标准量子极限可以逾越吗？其中，叫作标准量子极限。
标准量子极限可以逾越吗?答案是肯定的。
在得到这个极限时用了不确定关系，但是二者是不相同的。
标准量子极限的具体数值依赖于量子态，与如何测量有关，而不确定关系是底线。
那么，在遵守不确定性原理的前提下如何使测量精度超越标准量子极限呢?目前有两种思路：一种是以牺牲共轭量一方为代价，去求得另一方的超精度测量，这即是压缩态的思想；另一种就是量子非破坏性测量(QuantumNon-DemolitionMeasurement，QND测量)。
四、什么是量子Zeno效应，在对量子系统进行连续测量时，测量设备一般以两种不同的方式反作用于量子系统，请简单描述。
量子Zeno效应是纯量子测量效应。
理论和实验都已经表明，频繁的测量能阻止不稳定量子系统的衰变或跃迁。
极端而言，连续进行的量子测量将使不稳定的量子系统稳定地保持在其初态上，这种不稳定初态的存活概率在连续测量下将成为百分之百，这就是量子Zeno 效应。
这种在古代哲学中提到的“飞矢不动”的佯谬，在量子系统中真的可以实现。
在对量子系统进行连续测量时，测量设备一般以两种不同的方式反作用于量子系统。
其一，它可以影响被测量的可观测值的期望值的演化。
这被称为“动力学反作用”，这种影响是可以预测的。
其二，测量设备以随机的方式扰动这个可观测量，增加它们的不确定性，从而造成对期.望值的随机偏离。
吉林大学 量子力学(含答案)1993
吉 林 大 学1993年招收硕士研究生入学考试试题（含答案）考试科目：量子力学一 .设n是粒子数算符a a Nˆˆˆ+=的本征函数，相应之本征值为()0≥n ，算符+aˆ和a ˆ满足对易关系1ˆˆˆˆ=-++a a a a 。
证明：n aˆ（其中1≥n ）和n a +ˆ也是N ˆ的本征函数其相应的本征值分别为()1-n 和()1+n 。
解：用粒子数算符Nˆ作用到na ˆ上，即()()n a n n a n N an a n a a a n a a a n a a a n a Nˆ1ˆˆˆˆˆˆˆˆ1ˆˆˆˆˆˆˆ-=-=-=-==+++上式表明n aˆ是N ˆ的本征态，相应的本征值为()1-n 。
同样，用粒子数算符N ˆ作用到n a +ˆ上，即()()n a n n a n N an a n a a a n a a a n a a a n a N++++++++++++=-=+=+==ˆ1ˆˆˆˆˆˆˆ1ˆˆˆˆˆˆˆˆ上式表明n a +ˆ也是Nˆ的本征态，相应的本征值为()1+n 。
二. （类似2000年第二题）质量为m 的粒子在一维势阱()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-<∞=a x ax V x x V ,00 ,0.0中运动()00>V ，若已知该粒子在此势阱中有一个能量2V E -=的状态，试确定此势阱的宽度a 。
解：对于02<-=V E 的情况，三个区域中的波函数分别为 ()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-===x B x kxA x x αψψψexp sin 0321其中，E m V E m k 2 ;)(20=+=α在a x=处，利用波函数及其一阶导数连续的条件()()()()a a a a '3'232ψψψψ== 得到()()a B ka Ak a B ka A ααα--=-=exp cos exp sin于是有αk ka -=tan此即能量满足的超越方程。
高等量子力学-习题及答案ch07
第七章形式散射理论一、T矩阵的方程式以及怎么用T矩阵求跃迁率。
完成式(7.10)的积分并令t0→-∞后得当r≠s时按照上述方式定义的矩阵T称为跃迁矩阵。
式(7.12)表示，一旦求出T矩阵，就可以给出跃迁概率。
由式(7.12)得到，从s态到r态的跃迁速率为二、什么是S矩阵，应满足什么条件。
为了使散射理论的公式具有更明显的对称性，在量子力学和量子场论中用得更多的是散射矩阵，或称S矩阵。
下面将看到：S矩阵和T矩阵一对应，实质上是完全一样的，不过是换了一种对称更明显的表述方式。
由于是完备系，可以将展开，有式(7.56)的右端不包含分立的束缚态，因为这些态都和正交。
由散射态的正交归一条件得矩阵S称为散射矩阵或简称S矩阵。
三、S矩阵具有下述性质有哪些。
1.S矩阵具有幺正性，满足2.S矩阵和演化算符的关系式(7.75)表示，S矩阵对应的算符等于体系从t→-∞开始，经散射后，演化到t→+∞的演化算符。
算符S称为幺正散射算符。
它的矩阵元S rq表示若体系在t→-∞时处在无微扰的本征态ψq，则经过散射和相互作用后，在t→+∞时体系处在ψr态的概率振幅。
S矩阵与体系的性质、体系的哈密顿算符有关，因为演化算符U决定于体系的哈密顿算符H。
3.S矩阵的转动不变性和分波法4.S矩阵的幺正性和光学定理5.S矩阵的时间反演对称性四、请写出戴逊(Dyson)方程以及玻恩级数的方程式。
式(7.43)称为戴逊(Dyson)方程。
它既可以用算符的形式写出，也可以用态的形式给出。
由式(7.20)，进行反复迭代后有波函数的戴逊方程式(7.44)是玻恩级数，它一直可以做到任意级。
它的一级近似就是玻恩一级近似。
高等量子力学练习题及答案解析
练习28.1 证明: ()[]()t G t G -=-++00证明: 根据公式(28.4)()()()00H t t ie t t it t G '--±'±='-θ可知()()00tH ie t it G-+-=θ()()()00H t i e t i t G ---+=-θ则()[]()()000tH i tH i e t ie t i t G θθ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+-++()()()t G e t i H t i-==---00θ #28.2证明下列二式成立：()()()()⎰∞∞-±±±±--+-=-''dt 't t VG ''t t G 't t G 't t G 00()()()()⎰∞∞-±±±±--+-=-''dt 't ''t VG ''t t G 't t G 't t G 00证明：因为：()()()⎰∞+∞---±±π=-dE e E G 21't t G 't t E i()()()⎰∞+∞---±±π=-dE e E G 21't t G 't t E i00又因为：()()()()E VG E G E G E G 00±±±±+=即有()()()()()()[]()()()()()()()()()()()()()''dt t ''t VG ''t t G 't t G dE e E VG E G 21't t G dE e E VG E G 21dE e E G 21dE e E VG E G E G 21dE e E G 21't t G '00't t E i00't t E i 0't t E i 0't t E i00't t E i00--+-=π+-=π+π=+π=π=-±∞+∞-±±∞+∞---±±±∞+∞---±±∞+∞---±∞+∞---±±±∞+∞---±±⎰⎰⎰⎰⎰⎰又因为()()()()()()()E VG E G E G E VG E G E G E G 0000±±±±±±±+=+=同理可证得()()()()''dt t ''t VG ''t t G 't t G 't t G '00--+-=-±+∞∞-±±±⎰综上所述()()()()()()()()''dt t ''t VG ''t t G 't t G 't t G ''dt t ''t VG ''t t G 't t G 't t G '0'00--+-=---+-=-±∞+∞-±±±±+∞∞-±±±⎰⎰两式成立。
吉林大学研究生入学考试量子力学(含答案)2000
展开系数
cp
x x dx
* p 2
expikx exp ikx A * dx p x 2 i A exp2ikx 2 exp 2ikx dx * p x 4 A * 2 k x 2 0 x 2 k x dx p x 2 4
所以，有
0 0 满足的本征方程为 设H
1 0 0
0 1 0
0 c1 c1 0 c2 E c2 c 1 c3 3
ˆ 是对角矩阵，所以，它的本征值就是其对角元，即 由于 H
0 1 1 0 0 0
0 0 1
0 1 1 b 0 0 0
0 1 0 b 0 0 1
0 0 1
0 1 0
0 1 0
1 ˆH ˆ b 0 B 0
吉
林 大
学
2000 年招收硕士研究生入学考试试题（含答案） 考试科目：量子力学
质量为 m 的粒子作一维自由运动，如果粒子处于
一.
x A sin 2 kx 的状态
上，求其动量
ˆ 的取值几率分布及平均值。 ˆ 与动能 T p
d ˆ i ; p dx ˆ2 p ˆ T 2m
解：作一维自由运动粒子的动量与动能算符分别为
E1 E 2 E 3
ˆ 不能惟一确定 其中， E 2 E3 ，能量具有二度简并。由于简并的存在，仅由算符 H
E 2 , E3 的波函数。为了能留下较深刻的印象，让我们来仔细地做这件事。
当 E1
高等量子力学练习题及答案解析二十七
27.1练习 27.2 （1）根据（27.9）式，证明完全性关系：1==⎰⎰p p d p k k k（2） 在θϕp 表象和θϕk 表象中，有p k k p p θθϕ==证明当时有： p p k k '='3证：（1） 由（27.9）式可知在位置x 表象中，有：px i ep xπ21=，p r ek x kx i2121==π，p k 21=，p k =显然有： p k21= ， p d k d =∴p pd p k k d k2121⎰⎰=p p d p⎰= （完全性） 1= 得证。
（2）由题意可知在θϕp 表象和θϕk 表象中，有：p k 23=， p k '='23∴p p p p k k'='='32323 得证# 27.3练习 27.4 由（27.34）式推出（27.35）式。
解：（27.34）式：i i i p i k V k i H E i H E i+±-=±-±)()(εψε两边除以εi H E i ±-得：i i i p k V i H E k iεψ±-+=±1，得证。
#练习 27.5 由（27.30）式证明散射态矢量的正交归一性：)(k k k k P P -'='=±±'δψψ解：已知：算符εi H E V i ±-=0，k V V P=±ψ。
∴±±±-+=P i p V i H E k iψεψ01k V i H E k iε±-+=01k V i H E i )11(0ε±-+= 显然得：k V i H E i P '-+=+±')11(0εψ=±±'PP ψψk V i H E i '-++)11(0εk V i H E i )11(0ε±-+ k k V i H E V i H E i '±-+-+=+)11)(11(00εε k k V V i H E i H E i H E i H E i i i i'±-±+--+-=+)1)(1(0000εεεε（ 1=+V V）k k H E H E i i'+-++-=])()1([220220εε（ 1>>iE）k k'=# 27.6 27.7练习 27.8 讨论（27.30）式中±i P ψ的时间反演态，证明：i iP P T -±=ψψ0证明：已知：k V V P=±ψ，p k23=则得：±±±-+=P i p V i H E k iψεψ01k V i H E k iε±-+=01i i i P V i H E Pε±-+=02323等价∝)(i P F（F 为函数） i i P TP T-=-010 ，∴ )()(*iiP F P F T-=显然得：)(0232300i i i P P V i H E P T T iεψ±-+=±iP i i i P V i H E P -=--+-=ψε0233 即：i iP P T -±=ψψ0 得证。
高等量子力学-习题及答案 ch01
第一章量子力学基本概念和一般理论
一、量子态矢量的定义是什么。
描述微观粒子状态的态矢量ψ等符号代表一个复矢量，而y+是y的厄密共轭矢量或称“对偶矢量"。
用狄拉克符号记为|ψ>，表示波函数ψ的右矢；<ψ|表示左矢。
右矢和左矢是互相独立的，但存在如下关系：。
二、请简述线性算符的运算规则和性质。
(6)若由方程能够唯一地解出|ψ>，则可定义算符A的逆算符
，于是A'满足
(7)若，则U称为幺正算符。
(8)，表示算符A的函数。
三、幺正变换的基本性质有哪些。
幺正变换具有许多非常有意义的性质。
(1)幺正变换下两个态矢量的内积不变。
(2)幺正变换下算符方程的形式不变。
(3)幺正变换下力学量算符对应的平均值保持不变。
(4)幺正变换下算符的行列式不变。
(5)幺正变换下算符的本征值谱不变。
(6)幺正变换下算符的迹不变。
(7)利用上述性质(6)可以给出指数算符函数的一一个有用公式。
(8)可以证明，若算符R是厄米算符，即R=R+，则由它所生成的算符
四、时间演化算符U(t，t0)的基本性质有哪些。
1.初始条件
2.幺正性
3.因子化特性
4.时间反演特性
5.薛定谔绘景中的动力学方程
五、矢量空间中的如下运算规则有哪些。
六、什么叫密度矩阵？
如果采用一个具体表象，例如，F表象(分立情形，)，则与量子态|ψ>相应的密度算符可表示成如下矩阵形式，称为密度矩阵。
七、请列举混合态密度算符的性质。
量子力学课后习题答案
Wnl (r)dr Rnl2 (r)r 2dr
例如：对于基态 n 1, l 0
W10 (r) R102 (r)r 2
4 a03
r e2 2r / a0
求最可几半径
R e 2 r / a0
10
a03 / 2
dW10 (r) 4 (2r 2 r 2 )e2r / a0
x)
k
2
2
(
x)
0
其解为 2 (x) Asin kx B cos kx
根据波函数的标准条件确定系数A、B，由连续性条件，得
2 (0) 1(0) B 0
2 (a) 3 (a) Asin ka 0
A0
sin ka 0
ka n
(n 1, 2, 3,)
[1 r
eikr
r
(1 r
eikr )
1 r
eikr
r
(1 r
eikr )]er
i1 1 11 1 1
2
[ r
(
r2
ik
) r
r
(
r2
ik
r )]er
k
r2
er
J1与er 同向。 1 表示向外传播的球面波。
习题
(2)
J2
i
2
(
2
* 2
2*
解：U (x)与t 无关，是定态问题
薛定谔方程为
2
2
d2 dx2
(x) U (x) (x)
E (x)
在各区域的具体形式为：
x0