固体物理(第4课)倒易空间
固体物理名词解释
一.名词解释倒格子空间：指由倒易点阵基矢所张的空间，又叫倒易空间。
其中每个倒格子基矢与正格子的一个基矢的模成反比且与另外两个正格矢正交。
配位数：直接同中心离子（或原子）配位的异性离子（或原子）的数目。
声子：晶格振动的简正模能量量子。
能带：晶体中由于电子的共有化使本来处于同一能量状态的电子产生微小差异，与此对应的能级扩展为准连续的能级而形成能带。
几何结构因子：原胞内所有原子在某一方向上引起的散射波的总振幅与某一电子在该方向上所引起的散射波的振幅之比。
弗仑克尔缺陷：是指晶体结构中格点粒子离开格点位置，成为间隙粒子，并在原格点处留下空位，这样的空位-间隙对就称为弗仑克尔缺陷。
肖特基缺陷：由于晶体中格点粒子热运动到表面，在原来位置留下空位，所形成的缺陷。
布里渊区：在倒易点阵中，取任意格点为原点，被倒格矢的垂直平分面（布拉格面）包围的、围绕着原点的最小区域称为F.B.Z(第一布里渊区)。
费米能：在绝对零度时，处于基态的单个费米子的最高能量。
费米能级：费米能级是绝对零度下电子占据态的最高能级。
费米面：波矢空间中能量为费米能的点所构成的曲面。
晶格：晶体中原子周期性排列的具体形式。
原胞：指一个晶格最小的周期性单元。
习惯上原胞常取以基矢为棱边的平行六面体。
态密度：单位能量间隔内的电子态数目。
波函数：量子力学中用来描述粒子的德布罗意波的函数。
格波：晶格中的原子振动是以角频率为ω的平面波形式存在的，这种波就叫格波。
二、论述题1、电子能带理论对认识金属、绝缘体和半导体等材料本质的意义。
能带理论是用量子力学的方法研究固体内部电子运动的理论。
是于20世纪初期，在量子力学确立以后发展起来的一种近似理论。
它曾经定性地阐明了晶体中电子运动的普遍特点，并进而说明了导体与绝缘体、半导体的区别所在，解释了晶体中电子的平均自由程问题。
自20世纪六十年代，电子计算机得到广泛应用以后，使用电子计算机依据第一原理做复杂能带结构计算成为可能。
能带理论由定性发展为一门定量的精确科学。
倒易空间
倒易空间、波矢与衍射条件2009-10-09 13:07倒易空间、波矢与衍射条件1. 傅立叶展开与倒易空间我们知道，晶体具有周期性的结构，由此使得其许多性质在某些方向上也具有周期性，例如原子核的位置的周期性排列产生了周期性的离子实势场。
因此，如果要研究晶体中的电子的运动，就必须要研究这种周期性的离子实势场。
所以，我们首先要处理的就是周期性函数。
而傅立叶（Fourier, 1768～1830）在他的1807年的论文《固体中的热传导》中所提出傅立叶级数方法就是处理周期性函数的强大工具。
值得一提的是，这个方法在当时曾引起争议，Lagrange、Laplace 一直持保留态度。
后来经过Poisson、Cauchy，直至Dirichlet的努力，傅立叶的方法才最终令人信服地被人接受。
对于一个三维周期性函数u(r)（周期为T=n1a1+ n2a2+ n3a3），即：u(r) = u(r + T)这里，r是实数自变量，可以用来表示三维实空间的坐标。
那么如果将u(r)展开成傅立叶级数，其形式为：u(r) = S G u G exp(i G·r)其中，G是与实空间中的周期性矢量T相关联的一组矢量，它是如下定义的：构成T的三个基矢量a1、a2和a3张成了三维实空间，与此做类比，我们定义与实空间互为“倒易”（reciprocal）的空间，它由三个倒易基矢量b1、b2和b3张成的，即G=k1b1+ k2b2+ k3b3。
而倒易基矢量由如下倒易关系给出：b1 = 2π (a2×a3/ a1·a2×a3)b2 = 2π(a3×a1/ a2·a3×a1)b3 = 2π(a1×a2/ a3·a1×a2)之所以如此定义，是因为这样就能使互为倒易的两组基矢量之间满足如下的漂亮关系：a i·b j= 2πδij这是很好理解的，因为在b1、b2和b3的定义式中(a1·a2×a3)就是基矢量a1、a2和a3围成的平行六面体的体积，而(a2×a3)就是这个平行六面体的底面积，因此(a2×a3/ a1·a2×a3)就是这个平行六面体垂直于a2和a3所在平面的高的倒数，可见，b1的方向沿着这条高，其长度为这条高的倒数乘以2π。
固体物理03-倒格子空间
4
dr
nj
(r )r 2
sin Gr Gr
实验发现固体中的原子形状因子与自由原子的差别不大
其它实验手段
1. 电子衍射 （动量空间）
与X射线相比，电子波长更短，所以更加精确；更容易被物体吸收适 合于研究微薄膜、小晶体。
2. 中子散射 （动量空间）
可以测量晶体磁结构
3. 扫描隧道显微镜（实空间，表面）
S v1v2v3 f {1 exp i v2 v3 exp i v1 v3 exp i v1 v2 }
S 4 f 所有指数均为奇数，或均为偶数 S 0 其它情况
面心立方 的x-ray 散射图像
原子形状因子 f j dV n j (ρ)eiGρ
对自由原子：
f j 2 dr r 2 d cos n j exp(iGr cos )
j
ρ r rj
定义原子的形状因子 f j dV n j (ρ)eiGρ
结构因子
化简后可以得到晶体的结构因子
SG
f eiGr j j
j
对于第 j 个原子
G rj v1b1 v2b2 v2b2 x ja1 y ja2 z ja3 2 v1x j v2 y j v3z j
散射幅度
SG
dV n(r)eiGr
cell
结构因子
结构因子
假设晶胞中有 s 个原子，可以把原胞中的电荷密度分配到每一 个原子上（分配方法不唯一），即:
s
n(r) n j (r rj )
j 1
SG
cell dV n j (r r j )eiGr
j
eiGrj cell dV n j (ρ)eiGρ
晶体点阵的Fourier变换，晶体点阵则是倒易点阵的Fourier逆 变换。正格子的量纲是长度 L, 称作坐标空间，倒格子的量钢是 长度的倒数 L-1，称作波矢空间（或称动量空间）。
倒易空间和波矢空间
倒易空间和波矢空间倒易空间和波矢空间在固体物理学研究中扮演着重要的角色。
本文将分别介绍这两种空间的概念、性质及其在固体物理学中的应用。
一、倒易空间倒易空间是晶体学中的重要概念，也叫倒格子空间，是由晶体空间分别沿着三个互相垂直的方向所取得的倒格子面组成的三维空间。
倒易空间与实空间是对偶的，其定义如下：假设有一个空间中的周期晶体，晶格矢量为a1、a2和a3，我们将一个点P通过向该点连接三个不同的坐标轴上的原点，形成一个平行六面体。
在每个棱角上，我们垂直地连接倒晶格点，连接的线称为倒格子矢量，用向量b1、b2和b3表示。
这样就形成了一个由倒格子面组成的空间，这个空间就是倒易空间（或倒格子空间）。
倒易空间与其它物理学中的向量空间不同，因为其中的向量没有固定的起点或终点。
在倒易空间中，每个点表示一个倒格子面，而一个倒格子面的位置就由其倒格子矢量来决定。
倒易空间中的晶体结构即为倒格子结构。
倒易空间具有以下性质：1. 倒易空间的晶格矢量为倒格子的倒数。
2. 在倒易空间中，原点为所有倒格子的交点，称之为倒空间原点。
3. 倒易空间是无限大的，且存在与实空间一样的点群和空间群对称性。
4. 不同晶体的倒易空间不同，同样的晶体在不同条件下有不同的倒易空间表现形式。
倒易空间在固体物理学中有广泛应用。
例如，通过研究倒易空间中的电子能带结构，可以了解晶体材料的导体性、半导体性等性质；倒易空间中的布拉格平面可以对X射线衍射、中子衍射等进行定量描述，在这些领域具有重要的应用价值。
二、波矢空间波矢空间是描述在动量空间内的物理现象的空间。
波矢空间和倒易空间十分相似，只是在它们的定义和性质上存在微小差异。
假设有一个动量空间，其中的波矢k可以用三个互相垂直的分量(kx, ky, kz)表示。
图中所示为二维情况下的波矢空间。
波矢空间的物理意义为动量的取值范围。
在波矢空间中，物理量的取值可能会形成一些稀疏的分布，这些分布就被称为分支，对应实空间中的布里渊区。
固体物理03-倒格子空间
实空间点阵
简立方
a1 a i, a2 a j, a3 a k
倒空间点阵
简立方
2
2
2
b1 a i, b2 a j, b3 a k
2 a 2
a
2 a
四方晶格
简单点阵的倒易点阵也是简单点阵。 正格子的基矢越长，倒格子的基矢越短，反之亦然。
六角点阵
正格子空间六方结构，在倒格子空间亦为六方结构。 不过其基矢尺寸关系发生变化，基矢方向也转了30度。
k 2 2k G G 2 k 2
2k G G 2 (G 和 –G 都是倒格矢)
G
衍射方程(也是布里渊区的边界方程)
k
k ·(G/2)=(G/2)2
Ewald 图解法
1. 选择原点以入射 k 矢长度 为半径作圆，保证另一端 点在倒格矢上。
2. 连接从原点到与圆相交的 所有倒格矢的波矢k’都能 发生衍射。
4
dr
nj
(r )r 2
sin Gr Gr
实验发现固体中的原子形状因子与自由原子的差别不大
其它实验手段
1. 电子衍射 （动量空间）
与X射线相比，电子波长更短，所以更加精确；更容易被物体吸收适 合于研究微薄膜、小晶体。
2. 中子散射 （动量空间）
可以测量晶体磁结构
3. 扫描隧道显微镜（实空间，表面）
4. 原子力显微镜（实空间，表面）
中国散裂中子源
扫描隧道显微镜（STM）
Si (100) 表面
原子力显微镜（AFM）
Si (111) 表面
作业 2
1. 证明正格子与倒格子互易 2. 证明面心立方格子的倒格子是体心立方，体心立方的倒格子是
面心立方！
3. 证明只有 k G' 时，衍射幅度F才不为0。
固体物理倒格矢PPT
将Γ (r)作傅里叶级数展开，有：
Γ (r)＝ C e C e n1 n2 n3
iGn r n
n
iGn r
n
n1 n2 n3
n
Γ (r)＝ C e C e n1 n2 n3
iGn r n
n
iGn r
n
n1 n2 n3
n
Gn为倒格矢，Gn n1b1 n2b2 n3b3，n1、n2、n3 Z
令a3＝k
a1
a2a2
a3 a3
a1
a3a2
a1 a3
a1 ai a2 aj
b1
b2
2 2
a1
a2a2
a3 a3
a1
a3a2
a1 a3
2
a
2
a
i j
离原点最近的倒 格点有４个： b1，-b1，b2，-b2．
-b1
b2
b1 －b2
离原点次近的倒
格点有４个：
b1＋b2 ，b1-b2 ，
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固体物理01_04_02
• Each vector defined as above is orthogonal to two vectors of the crystal lattice.
倒易点阵（Reciprocal Lattice）
• Thus the b1,b2,b3 have the property:
倒易点阵（Reciprocal Lattice）
• B1沿（a2,a3）平面的法线方向 • 而 为平行四边形（a2,a3）的面积， 故设(a2,a3)平面所在的晶面族的面间距为 d1
倒易点阵（Reciprocal Lattice）
• 则有：
• 表明倒易点阵基矢的长度正好与晶面间 距的倒数成正比
倒易点阵的物理意义：
(1) 倒易点阵的一个基矢是与正点阵的一组 晶面相对应的； (2) 倒易点阵基矢的方向是该晶面的法线方 向； (3) 倒易点阵基矢的大小是该晶面族的晶面 间距的倒数的2π倍。单位为长度的倒数
倒易点阵的物理意义：
• 可以说正点阵里的一族晶面与倒易点阵 中的一个点相对应。 • So every crystal structure has two lattices associated with it, the direct lattice and the reciprocal lattice. • Thus when we rotate a crystal in a holder, we rotate both the direct lattice and the reciprocal lattice.
倒易点阵（Reciprocal Lattice）
• 正点阵中的晶面方程为： (hb1+kb2+lb3)•x=2n n为整数， x=1a1+2a2+3a3 为晶面中的任意一点。 不同的n，表示不同的晶面。
固体物理倒格矢ppt课件
为正点阵位矢， 则另一个矢量必为倒易点阵的位矢。
为什么在倒易关系中存在2π 因子，这是因为如此定 义的互为倒易的两个矢量G与T之间满足下面简洁的
恒等式：
eiGT 1
(3) 两个点阵原胞体积之间的关系：
V* b1 (b2 b3 )
(2 )3
V
可见V*与V互为倒数
上式利用了 A B C ( A C)B ( A B)C
a. 简立方晶格 倒易空间示意图
aaa321
ai
aj
ak
b1
b2
b3
2
a
2
a
2
a
i j k
b1
倒易点阵仍为简立方晶格
b3 b2 b1
b. 体心立方晶格 倒易空间示意图
a1
a 2
(
a2 a3
a
2 a
2
i j k) (i j k) (i j k)
a
a
a
a
相应的倒格矢长度
K (n1 ,n2 ,n3 )
2 2
a
这十二个倒格矢的中垂面围成菱形十二面体：
其体积正好等于倒格子原胞的体积大小．
布里渊区示意图2-2
：坐标原点0,0,0 ： 100 H： 2 1,0,0
a
： 110 N： 2 1 , 1 ,0
a 2 2
： 111 P： 2 1 , 1 , 1
Gh k -k0
2
(S
S0 )
有 Rl• Gh = 2π u
( Rl和Gh 不一定平行)
可见， Rl和 Gh的量纲是互为倒逆的， Rl是格点P的位 置矢量，称为正矢量， kh称为倒易矢量。
若令Gh= h1b1+h2b2+h3b3， 则称由b1，b2，b3为基矢构成的点阵为倒易点阵.
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(4) 倒格矢和正点阵晶面族之间的关系： 正点阵中一族晶面，晶面指数为：（h1h2 h3） 倒易点阵中倒格矢： Gh h1b1 h2 b2 h3b3 Gh // ( h1h2 h3 ) 法线方向 2 则有： 证明如下： Gh ＝ d h1h2h3
b
体心立方晶格的倒易晶格是面心立方，其晶胞 常数为 4a 。
c. 面心立方晶格
2 a a1 2 ( j k ) b1 a ( i j k ) 2 a 4 (i j k ) b a2 (i k ) b2 2 a a 2 a a3 (i j ) b3 (i j k ) 2 a
： 111 2 P： a 1 1 1 , , 2 2 2
简约布里渊区：正十二面体 2 V 2 V倒易原胞 a
3
返回
布里渊区示意图3-1
倒易
６个次 邻格点
面心立方的倒 易点阵是体心 立方
离原点最近的有 ８个倒格点
9 2π 3 8面体的体积是 ( )， 2 a 8 2π 3 而第一布里渊区的体积 是 ( ) 2 a 因此正8面体不是第一 布里渊区。
位置空间 坐标空间
倒易空间 傅里叶空间 K空间
1.9.3 常见晶格的布里渊区 (1) 一维晶格
a1 a i 2 b1 i a
(2) 二维晶格
a1、a 2 b1 2 b2 2
构造a 3，令a 3 k ＝ a2 a3 a1 a 2 a 3 a 3 a1 a1 a 2 a 3
n1 n2 n3 n1 n2 n3
Ce
n
iG n r
n n
C e
n
iG n r
Γ (r ) ＝
n1 n2 n3 n1 n2 n3
( Rl和Gh 不一定平行)
可见， Rl和 Gh的量纲是互为倒逆的， Rl是格点P的位 置矢量，称为正矢量， kh称为倒易矢量。 若令Gh= h1b1+h2b2+h3b3， 则称由b1，b2，b3为基矢构成的点阵为倒易点阵. (b1，b2，b3)如何确定？
1.9.2 倒格子空间(倒易点阵)*
（1）.倒矢与正格矢的关系：
2 ( n2 n3 , n1 n3 , n1 n2 ) a
2 2 2 2 (1,1,0), (1,1,0), (1,1,0), (1,1,0), a a a a 2 2 2 2 (1,0,1), (1,0,1), (1,0,1), (1,0,1), a a a a 2 2 2 2 (0,1,1), (0,1,1), (0,1,1), (0,1,1). a a a a
二维长方晶格的布里渊区
二维六方晶格的十个布里渊区
(3) 三维晶格
a. 简立方晶格
b1 a1 ai a 2 aj b2 a ak 3 b 3
倒易空间示意图
2 a 2 a 2 a i j 倒易点阵仍为简立方晶 格 k
1.9 倒格子(倒易点阵reciprocal)*
1.9 1 倒格子(倒易点阵)*的定义：
1 正格矢与倒矢
S S0 P B A O
原子可向空间任何方向散射 X光线，只有一些固定方向 可形成衍射。
点P： Rl=l1a1+l2a2+l3a3，Rl是布喇菲点阵中由原胞基矢 a1，a2，a3构成的矢量， S0和S是入射线和衍射线的单位矢量，经过O点和P点衍 射后光程差为： A0 OB -R S R S R ( S-S )
Ce
n
iG n r
n n
C e
n
iG n r
Gn为倒格矢，Gn n1b1 n2b2 n3b3， n1、n2、n3 Z 1 iGn r Cn Γ (r )e dr (Gn ) (Gn )是Γ (r )的 傅 里 叶 变 换 V n iGn r Γ (r ) (Gn )e ＝ Γ ( r )是 (Gn )的傅里叶逆变换
点 阵 ： 原 胞 基 矢1、 a 2、 a3 a
a 2 a3 b1 2 V a3 a1 ， V a1 (a 2 a3 ) 原 胞 体 积 b2 2 V b 2 a1 a 2 3 V
面心立方晶格的倒易晶格是体心立方，其 晶胞常数为 4a 。
示意图
布里渊区示意图1
b３ －b2 -b1 b2 b1
－b３
离原点最近的倒格点有 6个：±b1，±b2，±b３．
2 简约布里渊区：简立方体 V V倒易原胞 a
3
返回
布里渊区示意图2-1
倒易
C
B
A
体心立方的倒易点 阵是面心立方 离原点最近的有 １２个倒格点
a 2 a3 b1 2 V a3 a1 b2 2 V b 2 a1 a 2 3 V
(2) 两个点阵格矢之间的关系： 正点阵： 正格矢 Rl l1a1 l2a2 l3a3 l1、l2、l3 Z 倒易点阵： 倒格矢Gh h1b1 h2b2 h3b3 h1、h2、h3 Z 则有： Rl Gh 2 Z ＝ 结论： 若两矢量点积为2的整数倍， 且其中一个矢量 为正点阵位矢， 则另一个矢量必为倒易点阵的位矢。
1 b1的方向沿a2、a3构成的晶面的法线方向 ： 2：b 2 d1是a2、a3构成的晶面族的面间距 1 d1
（2）. 倒格子点阵与正格子点阵的关系
(1) 两个点阵基矢之间的关系： i 2， j ai b j 2ij 0，i j
b1、 b2、 b3： 原胞基矢 倒易点阵 a1、 a 2、 a 3： 原胞基矢 正点阵
a2 a3 b1 2 V a3 a1 b2 2 V b3 2 a1 a 2 V V a1 ( a 2 a3 ) 原胞体积
—— 第一布里渊区 —— 八个面是正六边形 —— 六个面是正四边形
布里渊区示意图3-2
2 Γ： 0,0,0 a 2 X： 1,0,0 a 2 3 3 K： , ,0 a 4 4 2 1 1 1 L： , , a 2 2 2
简约布里渊区：十四面 体 2 V 4 V倒易原胞 a
a1 d h1h2 h3＝ h1
Gh a1 (h1b1 h2b2 h3b3 ) 2 Gh h1 Gh Gh
返回
3.倒易点阵与傅里叶变换
Γ (r ) r x1a1 x2 a2 x3 a3 x1、x2、x3 R 若有r ＝r Rl， Rl l1a1 l2 a2 l3 a3 l1、l2、l3 Z 则有Γ (r ) Γ (r ) (示意图) Γ (r )为周期函数 将Γ (r )作傅里叶级数展开，有： Γ (r ) ＝
为什么在倒易关系中存在2π 因子，这是因为如此定 义的互为倒易的两个矢量G与T之间满足下面简洁的 恒等式：
e
iGT
1
(3) 两个点阵原胞体积之间的关系： ( 2 ) 3 V* b1 (b2 b3 ) 可见 V* 与V互为倒数 V 上式利用了 A B C ( A C ) B ( A B )C
离原点最近的倒 格点有４个： b1，-b1，b2，-b2．
-b1
b2
b1 －b2
离原点次近的倒 格点有４个： -b1＋b2 b1＋b2 ，b1-b2 ，b2， -b2．
b1＋b2
－b1-b2
b1-b2
离原点再远的倒格点有４个： ２b1，-２b1，２b2，-２b2．
２b２
－２b1
２b1
－２b２
二维正方晶格的布里渊区
l 0 l l 0
当X光为单色光，衍射加强的条件为： Rl•(S-S0)=u •λ 令 ，代入上式，
衍射加强条件变为： Rl• （k -k0） = 2π u 根据正点阵与倒易点阵的关系，(k-k0)必是倒易空间 中的位置矢量，令：
Gh k -k 0
有 Rl• Gh = 2π u
2
(S S0 )
b1
b3
b2
b1
b. 体心立方晶格 倒易空间示意图
2π a a1 2 ( i j k ) b1 a (j k ) 2π a a2 (i j k ) b2 (i k ) 2 a a3 a ( i j k ) b3 2π (i j ) 2 a 4π a
(5)倒易点阵与正点阵互为倒易点阵 (6)倒易点阵与正点阵有相同的宏观对称性
倒格矢和正点阵晶面族示意图
a1 a3 CA ＝OA OC h1 h3 a 2 a3 CB ＝OB OC h2 h3 CA Gh 0 Gh CA CB Gh 0 Gh CB
2 相应的倒格矢长度 K ( n1 ,n2 ,n3 ) a 2 这十二个倒格矢的中垂面围成菱形十二面体：
其体积正好等于倒格子原胞的体积大小．
布里渊区示意图2-2
：坐标原点 0,0,0 2 1,0,0 ： 100 H： a 2 1 1 ： 110 N： , ,0 a 2 2
n
傅 里 叶 变 换 ： F ( )