固体物理答案 第4章
(完整word版)阎守胜答案
固体物理基础习题解答第一章 金属自由电子气体模型思 考 题1.如何理解电子分布函数)(E f 的物理意义是： 能量为E 的一个量子态被电子所占据的平均几率?[解答]金属中的价电子遵从费密-狄拉克统计分布， 温度为T 时, 分布在能级E 上的电子数目1/)(+=-T k E E B F e g n ,g 为简并度, 即能级E 包含的量子态数目. 显然， 电子分布函数11)(/)(+=-T k E E B F e E f是温度T 时, 能级E 的一个量子态上平均分布的电子数。
因为一个量子态最多由一个电子所占据, 所以)(E f 的物理意义又可表述为： 能量为E 的一个量子态被电子所占据的平均几率。
2.绝对零度时, 价电子与晶格是否交换能量？［解答]晶格的振动形成格波，价电子与晶格交换能量，实际是价电子与格波交换能量。
格波的能量子称为声子， 价电子与格波交换能量可视为价电子与声子交换能量。
频率为i ω的格波的声子数11/-=T k i B i e n ω .从上式可以看出, 绝对零度时， 任何频率的格波的声子全都消失。
因此， 绝对零度时， 价电子与晶格不再交换能量.3.你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的?[解答］自由电子论只考虑电子的动能. 在绝对零度时, 金属中的自由（价)电子, 分布在费密能级及其以下的能级上， 即分布在一个费密球内。
在常温下, 费密球内部离费密面远的状态全被电子占据, 这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上， 能够发生能态跃迁的仅是费密面附近的少数电子, 而绝大多数电子的能态不会改变。
也就是说， 常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能一定十分相近。
4.晶体膨胀时, 费密能级如何变化?［解答] 费密能级3/2220)3(2πn m E F=,其中n 是单位体积内的价电子数目. 晶体膨胀时, 体积变大, 电子数目不变, n 变小， 费密能级降低. 5.为什么温度升高, 费密能反而降低？[解答］当0≠T 时， 有一半量子态被电子所占据的能级即是费密能级. 温度升高， 费密面附近的电子从格波获取的能量就越大, 跃迁到费密面以外的电子就越多， 原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半, 有一半量子态被电子所占据的能级必定降低. 也就是说, 温度升高， 费密能反而降低. 6.为什么价电子的浓度越大， 价电子的平均动能就越大?[解答］由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子浓度的关系.价电子的浓度越大价电子的平均动能就越大, 这是金属中的价电子遵从费密—狄拉克统计分布的必然结果. 在绝对零度时， 电子不可能都处于最低能级上， 而是在费密球中均匀分布。
固体物理第章固体电子论 参考答案
第四章 固体电子论 参考答案1. 导出二维自由电子气的能态密度。
解：二维情形，自由电子的能量是：2πL x x k n =，2πL y y k n =在/k =h 到d k k +区间： 那么：2d ()d Z Sg E E =其中：22()πm g E =h2. 若二维电子气的面密度为n s ，证明它的化学势为：解：由前一题已经求得能态密度：电子气体的化学势μ由下式决定： ()()222E-/E-/001d ()d πe 1e 1B B k T k T L m E N g E L E μμ∞∞==++⎰⎰h 令()/B E k T x μ-≡，并注意到：2s N n L=那么可以求出μ：证毕。
3. He 3是费米子，液体He 3在绝对零度附近的密度为0.081 g ／cm 3。
计算它的费米能E F 和费米温度T F 。
解：He 3的数密度：其中m 是单个He 3粒子的质量。
可得：代入数据，可以算得： E F ＝6.8x 10-16 erg = 4.3x 10-4eV.则：F F E T k =＝4.97 K.4.已知银的密度为310.5/g cm ，当温度从绝对零度升到室温（300K ）时，银金属中电子的费米能变化多少？解：银的原子量为108，密度为310.5/g cm ，如果1个银原子贡献一个自由电子，1摩尔物质包含有6.022x 1023个原子，则单位体积内银的自由电子数为在T=0K 时，费米能量为代如相关数据得2/3272227302812(6.6310)()3 5.910()29.110()8 3.148.8710() 5.54()F erg s cm E g erg eV -----⎛⎫⨯⋅⨯⨯= ⎪⨯⨯⨯⎝⎭≈⨯≈ 在≠T 0K 时，费米能量所以，当温度从绝对零度升到室温（300K ）时, 费米能变化为代如相关数据得可见，温度改变时，费米能量的改变是微不足道的。
5. 已知锂的密度为30.534/g cm ，德拜温度为370K ，试求（1）室温（300K ）下电子的摩尔比热；（2）在什么温度下，锂的电子比热等于其晶格比热？解：（1）金属中每个电子在常温下贡献的比热 2'0()2B V B F k T C k E π= （1） 式中0FE 为绝对零度下的费米能： 202/33()28F h n E m π= （2）锂的密度30.534/g cm ，原子量6.94，每立方厘米锂包含的摩尔数为0.534/6.94，1摩尔物质中包含 6.022x 1023个原子，每个锂贡献一个电子，则每立方厘米中的电子数已知将数据代入（2）得在室温（300K ）下，0.026B k T eV =，由（1）式可以求得电子的摩尔比热代入相关数据得（2）电子比热只在低温下才是重要的。
固体物理（胡安）课后答案（可编辑）
固体物理(胡安)课后答案第一章晶体的结构及其对称性1.1石墨层中的碳原子排列成如图所示的六角网状结构,试问它是简单还是复式格子。
为什么?作出这一结构所对应的两维点阵和初基元胞。
解:石墨层中原子排成的六角网状结构是复式格子。
因为如图点A和点B的格点在晶格结构中所处的地位不同,并不完全等价,平移A→B,平移后晶格结构不能完全复原所以是复式格子。
1.2在正交直角坐标系中,若矢量,,,为单位向量。
为整数。
问下列情况属于什么点阵?(a)当为全奇或全偶时;(b)当之和为偶数时。
解:当为全奇或全偶时为面心立方结构点阵,当之和为偶数时是面心立方结构1.3 在上题中若奇数位上有负离子,偶数位上有正离子,问这一离子晶体属于什么结构?解:是离子晶体,属于氯化钠结构。
1.4 (a)分别证明,面心立方(fcc)和体心立方(bcc)点阵的惯用初基元胞三基矢间夹角相等,对fcc为,对bcc为(b)在金刚石结构中,作任意原子与其四个最近邻原子的连线。
证明任意两条线之间夹角θ均为解:(1)对于面心立方 (2)对于体心立方 (3)对于金刚石晶胞1.5 证明:在六角晶系中密勒指数为(h,k,l)的晶面族间距为证明:元胞基矢的体积倒格子基矢倒格矢:晶面间距1.6 证明:底心正交的倒点阵仍为底心正交的。
证明:简单六角点阵的第一布里渊区是一个六角正棱柱体底心正交点阵的惯用晶胞如图: 初级晶胞体积: 倒易点阵的基矢: 这组基矢确定的面是正交底心点阵1.7 证明:正点阵是其本身的倒易点阵的倒格子。
证明:倒易点阵初级元胞的体积:是初基元胞的体积而由于而或:现在证明: 又令又:代入同理 1.8 从二维平面点阵作图说明点阵不可能有七重旋转对称轴。
解: 1.9 试解释为什么:(a)四角(四方)晶系中没有底心四角和面心四角点阵。
(b)立方晶系中没有底心立方点阵。
(c)六角晶中只有简单六角点阵。
解:(a)因为四方晶系加底心,会失去4次轴。
(b)因为立方晶系加底心,将失去3次轴。
固体物理学_答案(黄昆 原著 韩汝琦改编)
《固体物理学》习题解答黄昆 原著 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）第一章 晶体结构1.1、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r 8r34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯=（3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 374.062)r 22(r 344a r 344x 3333≈π=π⨯=π⨯= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个 74.062r224r346x 33≈π=π⨯= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 334.063r 338r 348a r 348x 33333≈π=π⨯=π⨯=1.2、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(a c 2/1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
固体物理参考答案(前七章)
固体物理习题参考答案（部分）第一章 晶体结构1.氯化钠：复式格子，基元为Na +，Cl -金刚石：复式格子，基元为两个不等价的碳原子 氯化钠与金刚石的原胞基矢与晶胞基矢如下：原胞基矢)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(213212211j i a a i k a a k j a a +=+=+= ， 晶胞基矢 ka a j a a ia a ˆˆˆ321===2. 解：31A A O '：h:k;l;m==-11:211:11:111:1:-2:1 所以（1 1 2 1） 同样可得1331B B A A ：（1 1 2 0）； 5522A B B A ：（1 1 0 0）；654321A A A A A A ：（0 0 0 1）3.简立方： 2r=a ，Z=1,()63434r 2r a r 3333πππ===F体心立方：()πππ833r4r 342a r 3422a 3r 4a r 4a 33333=⨯=⨯=∴===F Z ，，则面心立方：()πππ622r 4r 34434442r 4a r 4a 233ar 33=⨯=⨯=∴===F Z ，，则 六角密集：2r=a, 60sin 2c a V C = a c 362=,πππ622336234260sin 34223232=⨯⨯⨯=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛a a c a r F a金刚石：()πππ163r 38r 348a r 3488Z r 8a 33333=⨯=⨯===F ，， 4. 解：'28109)31arccos(312323)ˆˆˆ()ˆˆˆ(cos )ˆˆˆ()ˆˆˆ(021*******12211=-=-=++-⋅+-=⋅=++-=+-=θθa a k j i a k j i a a a a a kj i a a kj i a a 5.解：对于（110）面：2a 2a a 2S =⋅=所包含的原子个数为2，所以面密度为22a2a22=对于（111）面：2a 2323a 22a 2S =⨯⨯= 所包含的原子个数为2，所以面密度为223a34a 232=8.证明：ABCD 是六角密堆积结构初基晶胞的菱形底面，AD=AB=a 。
固体物理习题解答参考答案晶体结构
r
( )
。由 R 所定义的也是一个点阵常数为
r
r r r ( i 2 的 SC 点阵，但相对于上面一个 SC 点阵位移了一个矢量 + j + k ) ，
这个点正好位于体心位置。 上面两个 SC 点阵穿套起来正好是一个 bcc 点阵，故 ni 或全为奇数，或全为偶数所定义的是一个 bcc 点阵。 （2）若
体心立方晶格原胞基矢 a1 = (−i + j + k ) a2 = (i − j + k ) a3 = (i + j − k ) 体心立方晶格原胞体积 倒格子基矢:
r
a 2
r
r
r r
ห้องสมุดไป่ตู้
a r 2
r
r r
a r 2
r
r
同理： 可见由 为基矢构成的格子为面心立方格子。
面心立方格子原胞基矢: 面心立方格子原胞体积： 倒格子基矢： 同理 可见由 为基矢构成的格子为体心立方格子。
(2) 体心立方（书P3，图1-3）
r 取 原 子 球 相 切 时 的 半 径 （ 体 对 角 线 的 1/4 ） ， r= 3a / 4 ,n=2, V ＝ a 3 所 以
ρ=
n 4π r 3 3 = 3π / 8 V
(3) 面心立方（书P4，图1-7）
r 取 原 子 球 相 切 时 的 半 径 （ 面 对 角 线 的 1/4 ） r= 2a / 4 ,n=4, V ＝ a 3 ， 所 以
则由 ε = AxT ε Ax 得
固体物理答案第四章1
化简为习惯的表示式
E0
3 5
EF0
4.8 对于单位面积的样品，二维电子气的状态密度为g 4m
h2
试求二维电子气的比热。
解： 设g(E)为单位体积样品的状态密度，当系统由0K加热直至 温度T时， 它的总能量
ET
4m
Ef (E)g(E)dE
0
h2
2m
Ef (E)dE
0
h2
E 2 f (E) dE
k 空间中，状态密度等于V，计入自旋，在波矢 k ~ k dk
的球壳内的状态数为 2V 4k 2dk ， 由此得到，费密球内
电子的总能量
E0
k kF
h2k 2 2m
2V
4k 2dk
式中 kF 是费密球半径。当V比较大时，波矢 k 在 k 空间的
分布非常密集，可以看作准连续，上式的求和可用积分代替，
L 因而在波矢空间每个状态的代表点占有面积为
2π
2
。
L
在k
~
k
dk 面积元
dk
dk x dk y
中含有的状态数为
L 2π
2
dk 。
每个波矢状态可容纳自旋相反的两个电子，则在面积元 dk 中
容纳电子数为
dz 2
L
2
dk
2
L
2 2 π kdk
2π
2π
又
E 2k2 2m
dE 2k dk m
所以E到E+dE之间的状态数
4π
L 2
2π
m 2
dE
L2m π 2
dE
（2）在E到E+dE内的电子数为dN
dN f Edz
固体物理第四章答案
y
b1+b2 b2 3 2 1 b1
2 a
-b1
2 a
-b2
x
-b1-b2
4.11设一维晶体晶格常数为a，系统的哈密顿量为 其中
H
2 d2
2m dx
2
V ( x),
V ( x) A ( x la)
l 1
N
若已知孤立原子的势和波函数为
Va A ( x la), a a e
J1 * [V ( x) Va ]a dx a
Na
* ( x na)[ A ( x na) A ( x na a )] a ( x na a )dx a
Na n 1
N
* ( x na)[ a
Na
n n1
1一维周期场中电子的波函数
满足 k ( x ) Bloch定理，若晶格常数为a的电子波函数为：
(a) k ( x) sin
x
a 3 x a
(b) k ( x) i cos (c) k ( x)
l
f ( x la)
试求电子在这些态的波失。
jka 解：根据Bloch定理 k ( x a) e k ( x) 可得：
Na N Na n 1 N
* ( x na)[ A ( x na) A ( x na)]a ( x na)dx a * ( x na)[ A ( x na) ]a ( x na)dx a
Na n n
根据 函数的性质，上式的值为0。而积分
=-U 上面计算中取 kn (
2 2 , ) ，Brayy 反射出现的第一布里渊区的四个顶点处。能隙为 2U。
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4．1根据k a
π
=±
状态简并微扰结果。
求出与E +，E -对应的本征态波函数ψ+，ψ-，说
明它们都代表驻波，并比较两个电子云的分布（即2
ψ），说明能隙的来源。
假设*
n n V V =。
解：
简并微扰态：a
a
a b ππψψ
ψ-
=+ （1）
代入运动方程有：0*10
1()0
()0
a
a E E a V
b V a E E b ππ-⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩
（2） *11V V =，且00
a
a
E E ππ-=。
方程（2）有条件为：
0*
10
10a
a
E E V V E ππ
-
-=
2
201_0a E E V π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 故1a
E E V π±=±。
利用归一化条件：2
2
1a b +=， 将E +代入（2）式得：a b =-=
； 将E -代入（2）式得：a b ==； 所以
00
00
)
)
a a
a a
ππ
ππ
ψψψ
ψψψ
+
-
-
-
=-
=+
又因为：
i x
a
a
i x
a
a
π
π
π
π
ψ
ψ
-
-
=
=
所以
sin()
cos()
x
a
x
a
π
ψ
π
ψ
+
-
=
=
即,
ψψ
+-
均表示驻波
2222
2,sin
x x
co
a a
ππ
ψψ
-+
⎛⎫⎛⎫
∝∝
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
电子云分布皆成周期性变化，二者差
2
π
位。
相E
a
π
±零的能量相等，由于周期势场的微扰，触及间的排斥作用，能级分裂，在不同的触带之间发现带隙。
4．2 写出一维近自由电子近似，第几个能带()
1,2,3
n=简约波数
2
k
a
π
=的0级波出数。
补：一维迈自由电子近似的零级波出数可写为：
(
)2
i mx
ikx ikx a
k
x e
π
ψ
⎡⎤
==⎥
⎦
k为简约波矢，n为能带1
m n
=-
2
k k m
a
π
=+已知
,0,1,2,
2
k m
a
π
==
第一能带，(
)
02
0,,
2
i x
a
x
m k k
a
π
π
ψ
====
第二能带(
)
3
02
23
1,,
22
i x
a
x
m k
a a a
π
πππ
ψ-
==-=-=
第三能带(
)
5
2
25
1,,
22
i x
a
x
m k
a a a
π
πππ
ψ-
==+==
4．3电子周期场的势能函数为
222
1[()],
()20(1)m b x na na b x na b V x n a b x na b ω⎧---≤≤+⎪=⎨⎪-+≤≤-⎩
其中4a b =，ω为常数。
（1） 试画出势能曲线，并求其平均值。
（2） 用近自由电子近似模型求出晶体的第一及第二带隙宽度。
解：（1）势能曲线如图：
22
35222
3411()0[()]426b b b b a b T
m b V x dx m b x na dx b ωω==⎡⎤∴=+--=⎢⎥⎣⎦
⎰⎰
（2）()V x 是以4b 为周期的周期函数，可定义()V x 在[2,2]b b -上，即取0n =。
222021
()()202b x b V x m b x b x b b x b ω≤<⎧
⎪∴=--≤<⎨⎪-≤<-⎩
()n iK x n n
V x V e =∑， 22n n K n a b
ππ
=
=
， 0
1()n a iK x
n V e V x dx a -∴=
⎰ 2222
22
0202222213022222222
01211()()4426214()4221()422b b b x
i b b
x
i b b
V V V x dx m b x dx m b b b m b V e m b x dx b m b V e m b x dx b ππωωωωπ
ωωπ---⋅===-==-==-=⎰⎰⎰⎰ 第一禁带宽度22
13
82m b V ωπ=
，第二禁带宽度22
22
2m b V ωπ=。
22222233
22(cos sin )816n m a n b m a n b V n a n a
ωπωπππ=-+。
4．4用金束缚近似求出面心立方晶格和体心立方晶格s 态原子能级相对应的能带()s E k 函数。
解：已知紧束缚近似能带结构函数表示式： ()()s
s ik R s s o s
R nn
E k J J R e
ε-⋅==--
∑， 其中s R nn =代表最近邻。
s 态波函数为球对称的，故1()s J J R =。
（1） 对于面心立方结构，最近邻的12个原子坐标为：
(,,0)22a a ±±，(,0,)22a a ±±，(0,,)22
a a ±±。
则
()()()()()()()()2
2
2
2
2
2
2
2
01()[x y x y x y x y y z y z y z y z a
a
a
a
a
a
a
a
i k k i k k i k k i k k i k k i k k i k k i k k s s E k J J e
e
e
e
e
e
e
e
ε+--+--+--+--=--+++++++ ()()()()2
2
2
2
]z x z x z x z x a
a
a
a
i k k i k k i k k i k k e e
e
e
+--+--++++
0014[cos cos cos cos cos cos ]222222
y y x x z z k a k a k a k a k a k a
J J ε=--++
（2） 对于体心立方结构，最近邻的8个原子坐标为(,,)a a a ±±±
()()()()222
2
01()x y z x y z x y z x y z a a a a
i k k k i k k k i k k k i k k k s s E k J J e e e e ε+++--+--⎡=--+++⎢⎣
()()()()2
2
2
2
x y z x y z x y z x y z a
a
a
a
i k k k i k k k i k k k i k k k e e e e
-++-+---+---⎤++++⎥⎦
018(cos
cos cos )222
y x z s ak ak ak J J ε=--。