固体物理答案第六章

141

第六章 自由电子论和电子的输运性质

习题

1. 一金属体积为V ，电子总数为N ，以自由电子气模型 （1）在绝热条件下导出电子气的压强为

.320

V U P

=

其中 .5

300F NE U = （2）证明电子气体的体积弹性模量 .910350V

U P K ==

【解 答】

（1）在绝热近似条件下，外场力对电子气作的功W 等于系统内能的增加dU ，即 ,PdV W dU

-==

式中P 是电子气的压强.由上式可得

.V

U

P ∂∂-

= 在常温条件下，忽略掉温度对内能的影响，则由《固体物理教程》（6.5）式得

.3253533

22200⎪⎭

⎫ ⎝⎛===πV N m N NE U U F

由此得到

=∂∂-=V U P 0()

().3232

3253053

22

2

V

U V N m

N =∙

-π （2）由《固体物理教程》（2.11）式可知，体积弹性模量K 与压强P 和体积V 的关系为

.V

K

V P -=∂∂ 将

=∂∂V P ()

().91035

323253038222V

U V N m

N -=∙

--π 代入体积弹性模量K 与压强P 和体积V 的关系式，得到 .9100

V

U K

=

2.二维电子气的能态密度

(),2

πm E N =

证明费米能 ],1ln[2-=T

m k n B F B e

T k E π

其中

n 为单位面积的电子数.

【解 答】

由已知条件可得单位面积金属的电子总数 ()()().1

2

0⎰

⎰∞

-∞

+=

=T

k E E B F e

dE m

dE E f E N n π

142

作变量变换

,T

k E E x B F

-=

则有

⎰

⎰

∞

---∞

-+=

+=

T k E x x B T E x B B F

B F

e dx

e T

mk e dx T

mk n 1

12

2

ππ

()

(

),

1ln 1ln 22T

k E B T

k E x B B F B F e T

mk e T

mk +=

+-

=∞

--

ππ

即

T

E B

F e +1=T

mk n B e

2 π.

由上式解得

(

)

1ln 2

-=T

m k n B F B e T k E

π

3.金属膨胀时，价带顶能级 发生移动 V

V E E C

∆-=∆1

证明

.3

21

F E E =

【解 答】 解法一：

金属中自由电子的费米能

()

,3232323

2223

22

2

-=⎪⎭

⎫ ⎝⎛==AV V N m n m

E F ππ

可认为是能带顶，式中

()

.32222

πN m

A =

当金属体积膨胀后，体积由V 变成了V

V V ∆+='，费米能变成了

()2-∆+='V V A E F

()

3

23

21--⎪

⎭⎫

⎝

⎛∆+=V V V A

()

.3212⎪⎭

⎫

⎝

⎛∆+

≈-V V V A 费米能的变化量 .32⎪⎭

⎫

⎝⎛∆-=-'=∆V

V

E E E E

F F F F 与已知条件比较可得 .3

21

F E E =

解法二：

143

由《固体物理教程》（5.103）式可知，自由电子的能态密度 ().23212

322E m V E N ⎪⎭

⎫

⎝⎛= π

电子总数

().232

32

3220

F E E m V dE E N N F

⎪⎭

⎫ ⎝⎛==⎰

π

金属膨胀后，能态密度增大，费密能级降低，但电子总数不变，即

()().23232

3220

F

E E m V dE E N N F

'⎪

⎭

⎫

⎝⎛'='=⎰

π 由以上两式解得 ()[

]

,32232

3⎪⎭

⎫

⎝⎛∆-=-'=-'=∆--V V E V V A E E E

F F F

.3

2

1

F E E = 4.由同种金属制做的两金属块，一个施加30个大气压，另一个承受一个大气压，设体积弹性模量为211

10m N ，电

子浓度为

328105m ⨯，计算两金属块间的接触电势差.

【解 答】两种金属在同一环境下，它们的费密能相同，之间是没有接触电势差的.但当体积发生变化，两金属的导电电子浓度不同，它们之间将出现接触电势差.设压强为0时金属的费密能为F E ，金属1受到一个大气压后，费密能为1F E ，金属2受到30个大气压后，费密能为2F E ，则由《固体物理教程》（6.25）式可知，金属1与金属2间的接触电势差 ().1

2121F F E E e

V V -=

- 由上边第3题可知

.

32,

322

21

1⎪⎭⎫

⎝⎛∆-=⎪⎭⎫

⎝⎛∆-=V V E E E V V E E E F F F F F F

由《固体物理教程》（2.10）式可知，固体的体积变化V ∆与体积弹性模量K 和压强P 的关系为 ,V

V

K

P ∆-= 所以

().3232212121P P K

E K P K P E E E

F F F F -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=

- 两金属的接触电势差

()()().

33322

1

3

222

2121P P n meK

P P eK E V V V F -∙=-=-=∆π

将

,10110.931

kg m -⨯= ,10602.119C e -⨯= ,10055.134

s J ∙⨯=- ,10,/105211328m N K m n =⨯=

,10251m N P = 2

521030m N P

⨯= 代入两金属的接触电势差式子，得 ().1058.95伏-⨯-=∆V

5.若磁场强度B

沿z 轴，电流密度沿x 轴，金属中电子受到的碰撞阻力为P P

,/τ-是电子的动量，试从运动方程出发，

求金属的霍尔系数.