固体物理答案陆栋

AB CD 3 ? T arccos( 1) 109 28c
3
5. 试求面心立方结构(110)和(111)晶面族的原子数面密度，设晶格常数为 a。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解： 如图所示，面 ABCD 即(110)面，面 CDE 即为(111)面。设该面心立方的晶格常数 为 a，则
在(110)面内选取只包含一个原子的面 AFGD， 其面积为 a 2 a 2 a2 ，所以其原子数面密
解：
氯化钠与金刚石型结构都是复式格子。氯化钠的基元为一个 Na+和一个 Cl－组成
的正负离子对。金刚石的基元是一个面心立方上的Ｃ原子和一个体对角线上的Ｃ
原子组成的Ｃ原子对。
由于 NaCl 和金刚石都由面心立方结构套构而成，所以，其元胞基矢都为：
­°a1 °°®°a2
a ( j k) 2 a (k i) 2
3 2 a j, a2
a i 3 a j,c 22
ck
试写出其倒格子基矢。
方法一： :
a1 x (a2 u c)
a (i
3 j) x ª«( a i
3
j)
u
ck
º »
2
¬2 2
¼
3 a2c 2
? b1
2S (a2 u c) / :
2S (3i 3 j) 3a
b2
2S (c u a1) / :
m kh
2
2S O
sin T 得：
m2S（h2 k 2 l ） 2 1/ 2 a
2
2S O
l (l 2 k 2 )1/ 2
m(h2 k 2 l 2 )1/ 2 (k 2 l 2 )1/ 2
当 m=1， h2 =0 时，上式可以成立
k 当 h=0 时， h 只有 k, j 分量，即 k0 只有 k 分量，而 k k0 k h , k 亦只有 y，


（2）当衍射面指数全为奇数时，If16( fNa fcl )2 由于 cl 与 Na 具有不同的散
射本领，使衍射指数全为奇数的衍射具有不为零但较低的强度。
6. 试求金刚石型结构的几何结构因子，设原子散射因子为 f 。
解：几何结构因子
¦ F (k )
f
ei k xrj
j
其中
rj
uj a vjb wjc
3a ，每个
? 2Vm
2
u
4 3
S
§ ¨¨©
4
3a
·3 ¸¸¹
? 2Vm 3S
a3
8
S3a3 8
(3)．构成面心立方时，面对角线等于４倍的最大球半径，即： 4Rm
晶胞占有４个原子，
? 4Vm
4
u
4 3
S
§ ¨¨©
4
2a
·3 ¸¸¹
S2a3 6
2a ，每个
? 4Vm
2S
a3
6
(4)．构成六角密集结构时，中间层的三个原子与底面中心的那个原子恰构成一
° °¯a3
a (i j) 2
相应的晶胞基矢都为：
­a ai, °®b aj, °¯c ak.
2. 六 角 密 集 结 构 可 取 四 个 原 胞 基 矢
a1, a 2, a 3与 a4 ,如图所示。试写出 OcA1 A3 、
A1 A3B3B1 、 A2 B2 B5 A5 、 A1 A2 A3 A4 A5 A6 这四个
2S hi 2S k j 2S lk
a
b
c
p 再由 22 中 kh 和 dhkl 的关系： kh 2S / dhkl 可得：
7
dhkl 2S
kh
得证。
2S
(
h a
)2

(
k b
)
2
(
l c
)
2
ª¬(
h a
)2

(
k b
)
2(
l c
)
º¼2
3. 六角密集结构如取如下原胞基矢
a1
ai 2
的体对角线长度等于两个最大球半径，即：2Rm
每个晶胞包含 8 个原子，
? 8Vm
8u
4 3
S
§ ¨¨©
8
3a
·3 ¸¸¹
S3a3 16
? 8Vm
3S
a3 16
3a， 4
4. 金刚石结构原子间的键间角与立方体的体对角线间的夹角相同，试用矢量分 析的方法证明这一夹角为109 28c 。
证明： 如图所示，沿晶胞基矢的方向建立坐标系，并设晶格常 数为１。选择体对角线 AB 和 CD ，用坐标表示为{1,1, 1} 和 {1,1,1} 。 所以,其夹角的余弦为： cosT AB CD 1
证明：简立方的原胞的正格子基矢为：
其倒格矢为： 由图可知：
a1 ai a2 a j a3 ak
: a3
2S
b1
i a
2S
b2
j a
2S
b3
k, a
? kh
2S hi 2S k j 2S lk
a
a
a
sinT
E cos
2
1 cos E 2
l2 l2 k2
将O a
k
2l 2
l
2
，sin
T
l2 代入 l2 k2
解：
这种体心立方结构中有五种不同的原子。顶角、体心上的原子是两种不同的原子，
另外，面心上的原子前后、上下、左右的原子两两一组，是互不相同的原子。故
此种结构共有五种不同的原子，整个面心立方就是一个原胞。每个原胞中的原子
数为：
8u 1 1 3u 2u 1 5 （个）
8
2
7. 底心立方（立方顶角与上、下底心处有原子）、侧心立方（立方顶角与四个 侧面的中心处有原子）与边心立方（立方顶角与十二条棱的中点有原子）各属何 种布拉维格子？每个原胞包含几个原子？
22
3
度为：
1
2
2 a2 a2 2
在(111)面内选取只包含一个原子的面 DHIG，其面积为： ( 2 a)2 sin S
2
3
所以其原子数面密度为：
1 3 a2 4
4 3 a2 3
3 a2 ， 4
6. 若在面心立方结构的立方体心位置上也有一原子，试确定此结构的原胞，每 个原胞内包含几个原子，设立方边长为 a。
2S (i j k) a 2S (i j k) a 2S (i j k) a
2S ( j k) a 2S (k i) a 2S (i j) a
比较可得面心立方和体心立方互为正倒格子。
2. a, b, c 为简单正交格子的基矢，试证明晶面族（h k l）的晶 面间距为 dhkl [(h / a)2 (k / b)2 (l / c)2 ]1/2
a3
2S (i j) a
（5）
比较（1）与（5），（3）与（4）便可得面心立方与体心立方互为正，倒格子。
方法 2：由方法一中的（1）可知正格子与倒格子之间存在如下关系：
6
ai x b j
2SG
G
i j ij
{1 i j, 0 iz j
b1 由此可得面心立方的倒格子基矢： b2
b3 b1 同理可得体心立方的倒格子基矢： a2 a3
(3)．对于 A2B2B5 A5 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１， 1， f ， f 。
1
所以，其晶面指数为 1 100 。
(4)．对于 A1A2 A3 A4 A5 A6 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：f ，f ，f ，１。所以，
其晶面指数为 0001 。
3. 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球体可能占据的最大体积与总体积的
5
面心立方：
a1
a ( j k) 2
a2
a (k i) 2
a3
a (i j) 2
由正格子和倒格子的转换关系
（1）
b1 2S (a2 u a3 ) / : b2 2S (a3 u a1) / : b3 2S (a1 u a2 ) / :
（2）
其中： : a1 x (a2 u a3) 得：
2S (3i 3 j) 3a
解得。
c'
2S (a1 u a2 ) / :
2S k c
方法二：由正格子和倒格子之间的关系： ai x bj
可得：
2S
2 3S
b11 a , b12
3a ,b13 0
b21

2S a
, b21
2 3S 3a , b23
0
c'31
0, c'32
0,
c
' 33
2S c
? b1
解：
p25中的（2. 4. 11）可知：
¦ I
mh,
mk,
ml
f
ª « ¬
j
f
j
cos
2S
(mhu
j

mkv
j

mlw j
º2 )» ¼

¦ ª
« ¬j
f
j
sin
2S
(mhu
j

mkv j

mlwj
º2 )» ¼
对于氯化钠晶胞：
I
mh,
mk,
ml
f
ª ¬
f Na

f Na
cosS (mk
mh)
个正四面体，其高则正好是其原胞基矢 c 的长度的一半，由几何知识易知
c
46 3
Rm
。原胞底面边长为