华师版初中数学九年级下册第27章二次函数 27、1二次函数教案
教学内容27、1二次函数本节共需1课时
本课为第1课时
主备人：
教学目标通过具体问题引入二次函数的概念；
在解决问题的过程中体会二次函数的意义．
教学重点通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义．
教学难点如何建立数学模型
教具准备学案每生一份课型新授课
教学过程初备统复备
情境创设（1）正方形边长为a（cm），它的面积s（cm2）是多少？（2）已知正方体的棱长为x㎝，表面积为y2
cm,则y 与x的关系是。
（3）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x厘米，则面积增加y平方厘米，试写出y与x 的关系式．
请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是，它是我们学过的函数吗？，
探究新知1、请你结合学习一次函数概念的经验，给以上三个函
数下个定义．
2、归纳：二次函数的概念
3、结合“情境”中的三个二次函数的表达式，给出常
数a、b、c的取值范围，强调0
≠
a。
4、结合“情境”中的三个二次函数的表达式，说说它
们的自变量的取值范围。
实践与探索1 例1．m取哪些值时，
函数)1
(
)
(2
2+
+
+
-
=m
mx
x
m
m
y是以x为自变量
的二次函数？
分析若函数)1
(
)
(2
2+
+
+
-
=m
mx
x
m
m
y是二次函数，须满足的条件是：0
2≠
-m
m．
解若函数)1
(
)
(2
2+
+
+
-
=m
mx
x
m
m
y是二次函数，则0
2≠
-m
m．解得0
≠
m，且1
≠
m．因此，当0
≠
m，且1
≠
m时，函数
)1
(
)
(2
2+
+
+
-
=m
mx
x
m
m
y是二次函数．
探索若函数)1
(
)
(2
2+
+
+
-
=m
mx
x
m
m
y是以x为自变量的一次函数，则m取哪些值？
实践与探索2 例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．
（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；
（2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；
（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y（元）与所存年数x之间的函数关系；
（4）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S （cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．
应用与拓展1．下列函数中，哪些是二次函数？
（1）0
2=
-x
y
（2）2)1
(
)2
)(
2
(-
-
-
+
=x
x
x
y
（3）
x
x
y
1
2+
=
（4）3
2
2-
+
=x
x
y
2．当k为何值时，函数1
)1
(2+
-
=+k
k
x
k
y为二次函数？
3．已知正方形的面积为)
(2
cm
y，周长为x（cm）
(1)请写出y与x的函数关系式；
(2)判断y是否为x的二次函数．
正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长为x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．
(1)求盒子的表面积S（cm2）与小正方形边长x（cm）之间的函数关系式；
(2)当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积
小结与作业回顾与反思
形如c
bx
ax
y+
+
=2的函数只有在0
≠
a的条件下才是二次函数．
课堂作业：
家庭作业：
教学后记：。
华师版初中数学九年级下册第27章二次函数 27.3实践与探索 27.3实践与探索教案 1
27.3 实践与探索教材：华东师大版九年级下1.教学目标1）知识目标：①掌握如何将实际问题抽象出二次函数模型；②能运用函数关系中的对应法则并解释自变量取值范围的实际意义；③学会根据题意，合理建系，并准确标识题意；④能运用并合理解释二次函数模型。
2）能力目标：①数学思考能力：联系实际，感知数学与现实世界的密切联系，让学生经历数学建模过程，渗透数学建模思想，体会二次函数是刻画现实世界的有效数学模型。
②解决问题的能力：结合具体情境，发现并提出问题，并寻找解决问题的方法。
能与他人合作交流，并通过反思来体验解决问题策略的多样性，以此来获得解决问题的经验。
3）情感目标：了解数学理论的实用价值，提高学生对数学的好奇心和求知欲；增强学数学的自信心，同时借助题目中丰富的背景知识来充实自己的精神世界，形成良好的个性品质。
2.教学重点——建立并合理解释数学模型3.教学难点——实际问题数学化过程4.教学过程1）教学思路实际问题的提出，说明引入二次函数模型的必要性。
——体现构建二次函数数学模型解决实际问题的思想——通过丰富的问题情景，形成用二次函数解决实际问题的一般性策略和方法。
——合理解释相应的数学模型2）教学环节分析环节一：抛砖引玉，点明主旨环节二：自主探索，实践新知环节三：拓展转化，加深理解环节四：合作探索，学以致用环节五：反思小结，形成新知环节六：布置作业，巩固新知教学环节教师活动学生活动设计意图二、自主探索，实践新知问题1：某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水。
连喷头在内，柱高为0.8m。
水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图（1）所示1）喷出的水流距水平面的最大高度是多少？2) 如果不计其他因素，那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？从简入手，忽略建系以及求解析式的过程，通过变式让学生着重体会函数关系中对应法则和自变量取值范围的实际意义。
华东师大初中数学九下《26.0第26章二次函数》word教案 (1)
§27.8 待定系数法求二次函数得解析式教学目标：1、知识与技能：让学生利用已知条件设立恰当的函数解析式用待定系数法求二次数解析式；让学生利用二次函数性质解决问题，培养学生得识图能力； 2、过程与方法：让学生在经历方程与识图的过程中，培养学生独立分析问题、解决问题的能力,提升数学思维意识； 3、情感态度与价值观：让学生感受数学的美，激发学生学习数学的兴趣。
教学重点：建立方程意识和识图能力的培养，学会用待定系数法求函数解析式 教学难点：如何根据已知条件设立恰当的函数解析式 教学过程：一、复习引入：让学生回忆我们学过的二次函数的解析式：一般形式：)0(2≠++=a c bx ax y 顶点式：)0()(2≠+-=a k h x a y两根式：)0)()((21≠--=a x x x x a y 二、探索新知 1、创设问题情景如图所示是抛物线1322-+-=a x ax y 的图像，求二次函数解析式。
问：你们是怎样思考的呢？分析：只要求出a 这个待定系数就能求出函数解析式（教师引导后让学生独立完成）2、质疑：二次函数解析式有三种常见形式，什么情况选择哪种解析式呢？（让学生讨论）3、教师分析：①已知任意三个点时，应选择一般式； ②已知顶点和任意一点时，应选择顶点式③已知函数与x 轴两交点和任意一点时，应选两根式注意：在实际应用中变化较多，要根据已知条件合理选择解析式，不管你运用哪种方法，尽量选择使计算简单的方法。
4、典例分析：例1、已知：抛物线与x 轴交与A )02(， -、B )01(， 两点，且经过点C )82(， ，求抛物线解析式。
解： ∵抛物线与x 轴交于A )02(， -、B )01(， 两点 ∴设抛物线为)0)(1)(2(≠-+=a x x a y∵抛物线过点C )82(， ∴)12)(22(8-+=a 即 2=a∴)1)(2(2-+=x x y （根据题目要求，有时要将其化成一般式） 小结：求函数解析式的一般步骤：1、找条件；2、设解析式；3、求解析式。
华师大版九年级数学下册26.1：二次函数 教案
26.1 二次函数一、教学目标：（1）知识和能力能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围（2）过程和方法注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识（3）情感态度价值观培养学生的良好的学习习惯二、教学重点：能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。
教学难点：会列二次函数表达式解决实际问题。
教学过程：一、情境引入：1.雨后天空的彩虹，公园里的喷泉，跳绳等都会形成一条曲线.这些曲线能否用函数关系式表示？2.展示视频，提示学生思考：视频中得到的优美曲线可以用函数来表示吗?二、探究二次函数定义：1.旧知回顾：什么是函数，一次函数？一元二次方程的一般形式是什么？2. 新知探究：问题1 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x ，表面积为 y ，则 y 关于x 的关系式为 y=6x ² .问题2 n 个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数m 与球队数n 有什么关系？ m=()121-n n →m=n n 21212-问题3 某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x 倍，那么两年后这种产品的产量y 将随计划所定的x 的值而确定，y 与x 之间的关系怎样表示？分析：这种产品的原产量是20件, 一年后的产量是20(1+x)件,再经过一年后的产量是20(1+x)²件,即两年后的产量y=20(1+x)²→y=20x ²+40x+20二次函数的定义：形如y=ax ²+bx+c(a,b,c 是常数,a ≠ 0)的函数叫做二次函数.其中x 是自变量，a,b,c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项.注意：（1）等号左边是变量y ，右边是关于自变量x 的整式；（2）a,b,c 为常数，且a ≠ 0;（3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.三、例题精讲：例1. 下列函数中哪些是二次函数？为什么？（x 是自变量）① y=ax2+bx+c ② s=3-2t ² ③y=x ² ④ 21x y =⑤y=x ²+x ³+25 ⑥ y=(x+3)²-x ²判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式y=ax ²+bx+c(a ≠0)外，还有其特殊形式如y=ax ²,y=ax ²+bx, y=ax ²+c 等.例2.想一想:二次函数的一般式y=ax ²＋bx ＋c （a ≠0）与一元二次方程ax ²＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有什么联系和区别？联系：(1)等式一边都是ax ²＋bx ＋c 且a ≠0；(2)方程ax ²＋bx ＋c=0可以看成是函数y= ax ²＋bx ＋c 中y=0时得到的.区别:前者是函数.后者是方程.等式另一边前者是y,后者是0. 例3. ()723-+=m m y（1）m 取什么值时，此函数是正比例函数？（2） m 取什么值时，此函数是二次函数？例4：某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．(1) 若生产第x 档次的产品一天的总利润为y 元(其中x 为正整数，且1≤x ≤10)，求出y 关于x 的函数关系式；(2) 若生产第x 档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．四、当堂练习：1.把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为_____,一次项系数为______，常数项为 .2.函数 y=(m-n)x ²+ mx+n 是二次函数的条件是( )A . m,n 是常数,且m ≠0B . m,n 是常数,且n ≠0C. m,n 是常数,且m ≠n D . m,n 为任何实数3．下列函数是二次函数的是 ( )A ．y ＝2x ＋1B ．()()()2211+--+=x x x yC ．y ＝3x ²＋1D ．112+=x y 4. 已知函数 5312-=-m x y① 当m=＿＿时，y 是关于x 的一次函数；②当m=＿＿时，y是关于x的二次函数 .5.写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数（1）写出正方体的表面积S(cm²)与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；（2）写出圆的面积y(cm²)与它的周长x(cm)之间的函数关系；（3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S(cm2)与一对角线长x(cm)之间的函数关系．6.矩形的周长为16cm,它的一边长为x（cm),面积为y（cm²).求（1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；（2）当x=3时矩形的面积.五、小结：六、作业：课本练习1.2。
华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》教学设计3
华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》教学设计3一. 教材分析华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》是学生在初中阶段学习二次函数的起始章节，它是在学生已经掌握了函数概念、一次函数和二次方程的基础上进行的。
本节课的主要内容是介绍二次函数的定义、性质和图像，以及二次函数的顶点公式。
教材通过生动的实例和丰富的练习，帮助学生理解和掌握二次函数的知识，为学生进一步学习高中数学打下坚实的基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对函数概念、一次函数和二次方程有一定的了解。
但二次函数相对于一次函数来说，其图像和性质更加复杂，需要学生通过实例和练习来进一步理解和掌握。
此外，学生的学习兴趣和动机对他们的学习效果有很大影响，因此教师需要设计有趣的教学活动来激发学生的学习兴趣。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握二次函数的定义、性质和图像，能够运用二次函数的知识解决实际问题。
2.过程与方法：通过实例和练习，培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作意识和创新精神。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的定义、性质和图像。
2.难点：理解二次函数的顶点公式，并能运用其解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
通过提出问题，引导学生思考和探索；通过分析具体案例，使学生理解和掌握二次函数的知识；通过小组合作，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和练习题。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪和黑板。
3.准备教案和教学笔记。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题，引导学生思考和探索二次函数的概念。
例如：“什么是二次函数？它与一次函数有什么区别？”2.呈现（10分钟）通过分析具体案例，使学生理解和掌握二次函数的定义、性质和图像。
例如，展示一个二次函数的图像，引导学生观察其特点。
九年级下册数学(华师大版)教案：26.1 二次函数(1)
二次函数[本章知识要点]1．探索具体问题中的数量关系和变化规律．2．结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念．3．会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质．4．会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴．5．会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解．6．会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题．二次函数[本课知识要点]通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义．[MM及创新思维]（1）正方形边长为a（cm），它的面积s（cm2）是多少？（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x厘米，则面积增加y平方厘米，试写出y与x的关系式．请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义．[实践与探索]例1．m取哪些值时，函数是以x为自变量的二次函数？分析若函数是二次函数，须满足的条件是：．解若函数是二次函数，则．解得，且．因此，当，且时，函数是二次函数．回顾与反思形如的函数只有在的条件下才是二次函数．探索若函数是以x为自变量的一次函数，则m取哪些值？例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；（2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y（元）与所存年数x之间的函数关系；（4）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．解（1）由题意，得，其中S是a的二次函数；（2）由题意，得，其中y是x的二次函数；（3）由题意，得（x≥0且是正整数），其中y是x的一次函数；（4）由题意，得，其中S是x的二次函数．例3．正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长为x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．(1)求盒子的表面积S（cm2）与小正方形边长x（cm）之间的函数关系式；(2)当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积．解（1）；（2）当x=3cm时，（cm2）．[当堂课内练习]1．下列函数中，哪些是二次函数？（1）（2）（3）（4）2．当k为何值时，函数为二次函数？3．已知正方形的面积为，周长为x（cm）．(1)请写出y与x的函数关系式；(2)判断y是否为x的二次函数．[本课课外作业]A组1．已知函数是二次函数，求m的值．2．已知二次函数，当x=3时，y= -5，当x= -5时，求y的值．3．已知一个圆柱的高为27，底面半径为x，求圆柱的体积y与x的函数关系式．若圆柱的底面半径x为3，求此时的y．4．用一根长为40 cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，求扇形的面积y与它的半径x之间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径r的取值范围．B组5．对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是（）A．B．C．D．6．下列函数关系中，可以看作二次函数（）模型的是（）A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）D．圆的周长与圆的半径之间的关系[本课学习体会]。
最新华东师大版九年级数学下册26.1二次函数公开课优质教案(3)
应用
与拓展
1．下列函数中，哪些是二次函数？
（1）
（2）
（3）
（4）
2．当k为何值时，函数 为二次函数？
3．已知正方形地面积为 ，周长为x（cm）．
(1)请写出y与x地函数关系式；
(2)判断y是否为x地二次函数．
探索若函数 是以x为自变量地一次函数，则m取哪些值？
实践与
探索2
例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型地函数．
（1）写出正方体地表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之间地函数关系；
（2）写出圆地面积y（cm2）与它地周长x（cm）之间地函数关系；
（3）某种储蓄地年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y（元）与所存年数x之间地函数关系；
教学内容
二次函数
主备人：
教学目标
通过具体问题引入二次函数地概念；
在解决问题地过程中体会二次函数地意义．
教学重点
通过具体问题引入二次函数地概念，在解决问题地过程中体会二次函数地意义．
教学难点
如何建立数学模型
教具准备
学案每生一份
课型
新授课
教学过程
初 备
统 复 备
情境创设
（1）正方形边长为a（cm），它地面积s（cm2）是多少？
（2）已知正方体地棱长为x㎝，表面积为y ，则y与x地关系是。
（3）矩形地长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x厘米，则面积增加y平方厘米，试写出y与x地关系式．
请观察上面列出地两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是，它是我们学过地函数吗？，
2024年华师大版九下《二次函数》教案
2024年华师大版九下《二次函数》教案一、教学内容本节课选自2024年华师大版九年级下册《二次函数》章节。
详细内容包括：二次函数的定义与性质，二次函数的图像，二次函数的顶点式及其应用，二次方程与二次不等式的联系，以及二次函数在实际问题中的应用。
二、教学目标1. 理解二次函数的定义，掌握二次函数的性质及其图像特点。
2. 学会使用二次函数顶点式解析二次函数，并能解决相关问题。
3. 能够建立二次方程与二次不等式之间的关系，运用二次函数解决实际问题。
三、教学难点与重点教学难点：二次函数顶点式的应用，二次方程与二次不等式的联系。
教学重点：二次函数的定义，性质，图像及其在实际问题中的应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备，投影仪，黑板。
2. 学具：直尺，圆规，铅笔，橡皮，草稿纸。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）利用多媒体展示二次函数在实际问题中的应用，如抛物线运动，引导学生思考二次函数的基本概念。
2. 基本概念讲解（15分钟）讲解二次函数的定义，性质，图像，让学生掌握二次函数的基本知识。
3. 例题讲解（15分钟）选取典型例题，通过讲解与解析，让学生学会使用二次函数顶点式解决问题。
4. 随堂练习（10分钟）设计相关练习题，让学生及时巩固所学知识。
5. 知识拓展（5分钟）引导学生探讨二次方程与二次不等式之间的关系。
六、板书设计1. 二次函数定义2. 二次函数性质3. 二次函数图像4. 二次函数顶点式5. 二次方程与二次不等式的关系七、作业设计1. 作业题目：（1）求下列二次函数的顶点坐标：y = x^2 4x + 3（2）解下列二次方程：x^2 5x + 6 = 0（3）已知二次函数y = x^2 + 2x + 3，求该函数的最大值。
答案：（1）顶点坐标为（2，1）（2）解为x = 2或x = 3（3）最大值为4八、课后反思及拓展延伸本节课通过实践情景引入，让学生了解二次函数在实际问题中的应用，激发学生的学习兴趣。
华师大版九年级数学下册教案261二次函数
华师大版九年级数学下册教案261 二次函数一、教学内容本节课我们将学习华师大版九年级数学下册第261页的二次函数。
具体内容包括：二次函数的定义、图像、性质及其应用。
我们将详细探讨二次函数的顶点式、标准式和一般式的相互转换，以及二次函数图像的绘制方法。
二、教学目标1. 理解并掌握二次函数的定义，能够用顶点式、标准式和一般式表示二次函数。
2. 学会绘制二次函数的图像，了解二次函数图像的性质。
3. 能够运用二次函数解决实际问题，提高学生的应用能力。
三、教学难点与重点教学难点：二次函数图像的性质及其应用。
教学重点：二次函数的定义、图像的绘制方法及二次函数的性质。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。
2. 学具：直尺、圆规、铅笔、橡皮、草稿纸。
五、教学过程1. 引入：通过实际生活中的抛物线现象，如投篮、抛物线运动等，引入二次函数的概念。
2. 知识讲解：(1) 二次函数的定义及表示方法。
(2) 二次函数图像的绘制方法。
(3) 二次函数图像的性质。
3. 例题讲解：(1) 求给定二次函数的顶点、开口方向及对称轴。
(2) 根据二次函数图像，确定函数的解析式。
4. 随堂练习：完成教材第261页的练习题，巩固所学知识。
5. 小组讨论：探讨二次函数在实际问题中的应用，如最大（小）值问题、面积问题等。
六、板书设计1. 二次函数定义及表示方法。
2. 二次函数图像的绘制方法及性质。
3. 例题解答步骤及关键点。
七、作业设计1. 作业题目：(1) 求函数y=x^22x+1的顶点、开口方向及对称轴。
(2) 已知二次函数的顶点为（1，3），且过点（0，1），求函数的解析式。
2. 答案：(1) 顶点：(1,0)，开口向上，对称轴：x=1。
(2) y=(x1)^23。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对二次函数的定义、图像及性质掌握情况，对实际问题的应用能力。
2. 拓展延伸：引导学生思考二次函数与一次函数、反比例函数之间的关系，以及二次函数在高中数学中的应用。
2024-2025学年华师版初中数学九年级(下)教案第27章圆27.2.3切线(第1课时)
27.2 与圆有关的位置关系3.切线第1课时切线的判定与性质教学目标1.掌握切线的判定定理与切线的性质定理.2. 能够运用切线的判定方法判断一条直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线.3.会运用圆的切线的判定与性质来解决相关问题.教学重难点重点：理解并掌握圆的切线的判定定理与切线的性质定理.难点：能运用圆的切线的判定定理与性质定理解决问题.教学过程导入新课教师提出问题：下图中让你感受到了直线与圆的哪种位置关系？如何判断一条直线是否为切线呢？学生回答：相切.教师：你是怎样判断出图中的直线与圆相切的？如何界定直线与圆是否只有一个公共点？教师指出，根据切线的定义可以识别一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义识别很不方便，为此我们还要学习识别切线的其他方法．(板书课题)探究新知1.切线的判定定理【做一做】如图，画一个⊙Ｏ及半径OA,经过⊙O的半径OA 的外端A，画一条直线l垂直于这条半径，这条直线与圆有几个公共点？（师生互动）引导学生动手操作并思考回答.教学反思教学反思学生：从图中可以看出，对直线l 上除点Ａ外的任一点Ｐ,必有OP >OA ， 即点Ｐ位于圆外，从而可知直线与圆只有一个公共点，所以直线l 是圆的切线. 【问题】已知⊙O 上一点A ，怎样根据圆的切线定义过点A 作⊙O 的切线？师生活动：学生尝试作图，教师适时点拨.教师追问：（1）圆心O 到直线AB 的距离与圆的半径有什么数量关系? （2）二者有什么位置关系？为什么？师生活动：（小组讨论，老师点拨）抓好两个条件：①经过半径外端；②垂直于这条半径.【归纳总结】1.切线的判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.2.应用格式：OA O BC O BC OA A ⎫⎬⊥⎭是⊙的半径为⊙的切线于点【归纳总结】 判断一条直线是一个圆的切线有三种方法：1.定义法：直线与圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d ＝r )时，直线与 圆相切；3.判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.教学反思【新知应用】例 1 如图，直线AB 经过⊙O 上的点Ａ，且AB =OA ，∠ＯBA =45°. 求证：直线AB 是⊙O【探索思路】（学生先独立思考，教师适时点拨）由于AB 经过⊙O 上的点Ａ，所以OA 是半径，只要证明OA ⊥AB 即可.【证明】∵AB =OA ，∠ＯBA =45°，∴∠A ＯB =∠ＯBA =45°，∴∠ＯAB =90°. 又∵点Ａ在⊙O 上， ∴OA 是⊙O 的半径， ∴直线AB 是⊙O 的切线． 即学即练已知：直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA ＝OB ，CA ＝CB . 求证：直线AB 是⊙O 的切线.师生活动：学生先独立思考，教师适时点拨，由于AB 过⊙O 上的点C ，所以连结OC ，只要证明AB ⊥OC 即可.【证明】连结OC .∵ OA ＝OB ,CA ＝CB ,∴ OC 是等腰三角形OAB 底边AB 上的中线.∴ AB ⊥OC .∵ OC 是⊙O 的半径, ∴ AB 是⊙O 的切线.【归纳总结】证明直线AB 是⊙O 的切线，有两种类型：①已知切点,连结切点与圆心，证垂直；②作垂直，证明圆心到垂足的线段长等于半径.此题是类型①，所以连结圆心与切点证垂直.2.切线的性质定理 问题：如图，如果直线l 是⊙O 的切线，点A 为切点，那么OA 与l 垂直吗？师生活动：（小组讨论，老师点拨）直接证明比较困难，可以运用“反证法”.“反证法”分三步证明，即①假设原命题不成立；②在假设成立的条件下，推出矛盾；③得出结论，假设不成立.【解】①假设OA 与l 不垂直,过点O 作一条直线垂直于l ,垂足为M .②则OM <OA ,即圆心到直线l 的距离小于⊙O 的半径, 因此, 直线l 与⊙O 相教学反思交. 这与已知条件“直线l与⊙O相切”相矛盾.③所以⊙O的半径OA与直线l垂直.【归纳总结】1.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.2.应用格式∵直线l是⊙O的切线，A是切点，∴直线l⊥OA.【新知应用】例2如图, △ABC为等腰三角形，AB＝AC，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D. 求证：AC是⊙O的切线.师生活动：学生先独立思考，教师适时引导，根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OE是⊙O的半径就可以了，而OD是⊙O的半径，因此只需要证明OE＝OD.【证明】如图，过点O作OE⊥AC,垂足为E,连结OD，OA.∵⊙O与AB相切于点D，∴OD⊥AB.又∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点.∴AO平分∠BAC，OD⊥AB，OE⊥AC，∴OE＝OD，∴AC是⊙O的切线.【归纳总结】证明直线AC是⊙O的切线，有两种类型：①已知切点,连结切点与圆心，证垂直；②作垂直，证明圆心到垂足的线段长等于半径.此题是类型②，所以作OE⊥AC，垂足为E，证明OE等于半径.例3如图，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OA为半径的圆交AB于点D，延长AO交⊙O于点E，连结CD，CE，且CE是⊙O的切线.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若BC＝3，AB＝4，求OABC的面积.教学反思师生活动：(引发学生思考，教师适时点拨)(1)要证明CD是切线的关键是作出正确的辅助线.(2)已知四边形OABC是平行四边形，有底边长，求其面积，还要得到哪个关键量？有切线就有垂直，利用勾股定理能得到哪条边长？(1)【证明】连结OD.∵CE是⊙O的切线，∴∠OEC＝90°.∵四边形OABC 是平行四边形， ∴OC ∥AB ，∴∠EOC ＝∠A ，∠COD ＝∠ODA .∵OD ＝OA ，∴∠A ＝∠ODA ，∴∠EOC ＝∠DOC .在△EOC 和△DOC 中， ∵ OE OD EOC DOC OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴△EOC ≌△DOC (SAS)， ∴∠ODC ＝∠OEC ＝90°，∴OD ⊥CD ，∴CD 是⊙O 的切线. (2)【解】过点D 作DF ⊥OC 于点F .在Rt △CDO 中，OC ＝AB ＝4，OD ＝OA ＝BC ＝3，由勾股定理，得CD＝42－32＝7.∵S △CDO ＝12CD ·OD ＝12OC ·DF ， ∴DF ＝CD×OD OC ＝7×34＝374，∴S 平行四边形OABC ＝OC ·DF ＝4×374＝37. 【归纳总结】(学生总结，老师点评)有关圆的考查中，切线的判定与性质经常综合运用，在此类问题中，要注意分清是运用判定定理还是性质定理，不能混淆.有时还常常运用判定定理得到切线，再运用性质定理求解，注意解答的逻辑性.课堂练习1.判断下列命题是否正确.（1）经过半径外端的直线是圆的切线.（ ）（2）垂直于半径的直线是圆的切线.（ ）（3）过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.（ ）（4）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.（ ） （5）过直径一端点且垂直于这条直径的直线是圆的切线.（ ） 2.如图，AB 是⊙O 的直径，直线DA 与⊙O 相切于点A ，DO 交⊙O 于点C ，连结BC ，若∠ABC ＝21°，则∠ADC 的度数为（ ）A.46°B.47°C.48°D.49°第2题图 第3题图 第4题图3.如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB 是直径，∠BCD ＝120°，过D点的切线PD 与直线AB 交于点P ，则∠ADP 的度数为（ ）A.40°B.35°C.30°D.45°4.如图，线段AB 与⊙O 相切于点B ，线段AO 与⊙O 相交于点C ，AB ＝12,AC ＝8,则⊙O 的半径长为 .5.如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，DC 切⊙O 于点C ，若∠A ＝25°，则∠D ＝ .6.如图，直线AB ，CD 相交于点O ，∠AOC ＝30°，半径为1 cm 的⊙P 的圆教学反思心在射线OA 上，且与点O 的距离为6 cm ，如果⊙P 以1 cm/s 的速度沿A 向B 的方向移动，则经过 秒后⊙P 与直线CD 相切.第5题图 第6题图7.如图,在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交边BC 于点P ，PE ⊥AC 于点E . 求证:PE 是⊙O 的切线.第7题图 第8题图8.如图，AB 是⊙O 的直径，BC 切⊙O 于点B ，AC 交⊙O 于点P ，E 是BC 边上的中点，连结PE ，则PE 与⊙O 相切吗？若相切，请加以证明，若不相切，请说明理由.参考答案 1.（1）×（2）×（3）√（4）√（5）√ 2.C 3.C 4. 5 5.40°6.4或87.【证明】如图，连结OP .∵ AB ＝AC ,∴ ∠B ＝∠C .∵ OB ＝OP ，∴ ∠B ＝∠OPB ， ∴ ∠OPB ＝∠C .∴ OP ∥AC . ∵ PE ⊥AC ，∴ PE ⊥OP .∴PE为⊙O 的切线.第7题答图 第8题答图8.【解】PE 与⊙O 相切.证明：如图，连结OP ，BP ，则OP ＝OB ， ∴ ∠OBP ＝∠OPB .∵ AB 为⊙O 的直径，∴ BP ⊥AC . 在Rt △BCP 中，E 为斜边中点，∴ PE ＝12BC ＝BE ，∴ ∠EBP ＝∠EPB .∴ ∠OBP ＋∠PBE ＝∠OPB ＋∠EPB ，即∠OBE ＝∠OPE . ∵ BE 为⊙O 的切线，∴ AB ⊥BC ，教学反思∴ OP ⊥PE ，即PE 是⊙O 的切线. 课堂小结1.切线的判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.应用格式：OA O BC O BC OA A ⎫⎬⊥⎭是⊙的半径为⊙的切线于点2.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.应用格式：∵直线l 是⊙O 的切线，A 是切点，∴直线l ⊥OA .布置作业教材52页练习第1－4题.板书设计27.2与圆有关的位置关系3 切线第1课时 切线的判定与性质1.切线的判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.2.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.3.常用的辅助线方法.4.技巧：①连半径，证垂直；②作垂直，证半径.。
华东师大版数学九年级第27章第一节二次函数的教学设计
华东师大版数学九年级第27章第一节二次函数的教学设计一、设计思想根据新课标要求，在本课教中拟采用问题情况教学，学生活动参与，师生合作探究。
突出以学生的“数学活动为主线，激发学生学习的积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能，数学思想与方法，获得广泛的数学活动经验。
二、教材分析二次函数是反映现实世界中变量之间的重要数学模型，是一种非常基本的初等函数。
学习二次函数可以把一元二次方程与将在高一学习的一元二次不等式的知识有机地联系起来。
本节课要学习的内容是二次函数的概念，是在回顾变量之间关系的基础上，通过具体实例中变量关系的特征，感受二次函数的特征和意义，从而形成对二次函数的初步认识，主要是通过分析实际问题，以用关系式表示这一关系的过程，引出二次函数的概念，获得用二次函数表示变量之间关系的体验，感受数学的广泛联系和应用价值。
在教学中，让学生通过观察、思考、合作、交流，归纳出二次函数的概念，并从中体会函数的建模思想。
三、学情分析初三学生已具备一定自学与认知能力，在教学过程中，注意让学生在学习过程中逐步深化对概念的理解和认识，还要注意与学生已有知识的联系，比如函数概念、一次函数、反比例函数，用类比法探究新知，减少学生对新概念接受的困难，给学生充分的自主探究时间，让不同程度的学生得到适合自己的发展。
四、教学目标1、结合具体情境体会二次函数的意义，掌握二次函数的一般形式。
2、会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。
3、探索具体问题中的数量关系和变化规律，体会二次函数是刻画现实世界数量关系的一个有效数学模型，体验数学来源于生活，又服务于生活的辩证观点。
五、数学重点与难点1、重点；对二次函数的理解，能够表示简单变量之间的二次函数关系。
2、难点：利用尝试求值的方法解决实际问题，抽象出实际问题中的二次函数关系。
六、教学策略与手段1、多媒体或幻灯片2、教学方法：问题解决法、引导发现法3、学法指导：引导学生通过实际情境及已有的知识和生活经验，归纳出二次函数的概念，并从中体会函数模型的思想，调动学生的求知欲望，培养探索能力。