质点运动学和动力学习题课
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质点运动学动力学作业解
h
t = 2h = 2s 10
4．如图所示，质量 m 为 0.1kg 的木块，在一个水平面上 和一个倔强系数k 为 20Nm-1 的轻弹簧碰撞，木块将弹簧
由原长压缩了0.4m。假设木块与水平面间的滑动摩擦系数
µk 为0.25，问在将要发生碰撞时木块的速率 υ 为多少?
动能定理
−
frx −
1 2
kx2
3.一质点从静止(t＝0)出发，沿半径 R = 3m 的圆周运动，
切向加速度大小保持不变，为 at = 3ms-2。在t时刻，其
总加速度恰与半径成45°角，此时 t ＝_______ ，此时，
质点的速度大小为_______，质点的加速度大小为 ______。
解：切向加速度不变
at
=
dυ dt
= 不变
∆E = 0
MgLsin
α
=
1 2
Mυ02
（1）
过垂程 直二x：方发向炮，。则由沿于x爆方炸向产动生量的守作恒用。力很大，重力px
m
α
υ
Mυ0 = mυ cos α （2）
由式（1）、（2）解出 υ = M
2gL sin α
m cos α
四、证明题
一艘正在沿直线行驶的电艇，在发动机关闭后，其加速度 方向与速度方向相反，大小与速度平方成正比，即 dυ = −kυ2
2
3
3
解: υ = (4 + t 2 ) = dx
[C]
dt
dx = (4 + t 2 )dt
x = 4t + 1 t3 + C 3
当t =3s时，质点位于 x = 9m 处 C = 9 − 4× 3 − 1 × 33 = −12 3
t = 2h = 2s 10
4．如图所示，质量 m 为 0.1kg 的木块，在一个水平面上 和一个倔强系数k 为 20Nm-1 的轻弹簧碰撞，木块将弹簧
由原长压缩了0.4m。假设木块与水平面间的滑动摩擦系数
µk 为0.25，问在将要发生碰撞时木块的速率 υ 为多少?
动能定理
−
frx −
1 2
kx2
3.一质点从静止(t＝0)出发，沿半径 R = 3m 的圆周运动，
切向加速度大小保持不变，为 at = 3ms-2。在t时刻，其
总加速度恰与半径成45°角，此时 t ＝_______ ，此时，
质点的速度大小为_______，质点的加速度大小为 ______。
解：切向加速度不变
at
=
dυ dt
= 不变
∆E = 0
MgLsin
α
=
1 2
Mυ02
（1）
过垂程 直二x：方发向炮，。则由沿于x爆方炸向产动生量的守作恒用。力很大，重力px
m
α
υ
Mυ0 = mυ cos α （2）
由式（1）、（2）解出 υ = M
2gL sin α
m cos α
四、证明题
一艘正在沿直线行驶的电艇，在发动机关闭后，其加速度 方向与速度方向相反，大小与速度平方成正比，即 dυ = −kυ2
2
3
3
解: υ = (4 + t 2 ) = dx
[C]
dt
dx = (4 + t 2 )dt
x = 4t + 1 t3 + C 3
当t =3s时，质点位于 x = 9m 处 C = 9 − 4× 3 − 1 × 33 = −12 3
质点运动学和动力学习题课
2 t SI）沿直线运动。设滑块初速度 2-7 一滑块以加速度 a sin （ 2
v0 2 ，且以滑块中心与坐标原点重合时为起始位置，求：
（1）滑块任意时刻的速度； （2）滑块的运动方程。 解：滑块作匀速直线运动。
（） 1 dv a 2 sin t， dt 2 v 2 cos d v 2 sin
二、填空题 1. 在光滑的水平面上 , 一根长 L=2m 的绳子 , 一端固定于 O 点,另一端系一质量为m=0.5kg的物体,开始时,物体位于 位置A，OA间距离D=0.5m，绳子处于松弛状态 ,现在使物 体以初速度vA=4m· s-1垂直于OA向右滑动,如图所示。设以 后的运动中物体到达位置 B,此时物体速度的方向与绳垂 1kg· m2/s 直,则此时刻物体角动量的大小为 。速率 为 1m/s 。
解：（）因 1 a 3m s 2 为常量，故由任一时刻的速率v a t，得 v 2 a2t 2 an R R 当总加速度a与径向成450时，an a，即 a2t 2 a R t R 1s a
（2）在上述0到1s内，质点经过的路程为 1 2 s a t 1.50 m 2
4
5. 如图，一弹簧劲度系数为 k ，一端固定在 A 点，另一 端连接一质量为m的物体，靠在光滑的半径为R的圆柱表 面，弹簧原长为 AB ，在切向变力 F 的作用下，物体极缓 慢地沿表面从位置B移到C，试分别用积分方法和功能原 理求力F作的功。 解：积分法 F mg cos kR
功能原理
2 2 2 2 2
2
可知质点作半径 R 3m
的圆周运动，故切向加速度 a 和法向加速度an分别为
2 dv v2 （ 12） a 0 an 48 （m s 2 ） dt R 3 2-5 一质点沿 x 轴运动，其加速度 a 与位置坐标 x 的关系为
第一章质点运动学习题课
dv at c 1 2 ds dt s bt ct v b ct 2 2 ( b ct ) v 2 dt an R R R b 当at=an求得 t c c
质点运动学
30
物理学
第五版
第一章习题课
9 一质点在半径为0.10m的圆周上运动，设t=0时 质点位于x轴上，其角速度为ω=12t2。试求
质点运动学
23
物理学
第五版
第一章习题课 5 一小轿车作直线运动，刹车时速度为v0，刹车 后其加速度与速度成正比而反向，即a=-kv，k 为正常量。
试求
（1）刹车后轿车的速度与时间的函数关系
（2）刹车后轿车最多能行多远？
解：
dv 1 kt 由 a kv kv dv kdt v Ce （1） dt v
（3） v R 25 1 25m s
1
a R m s 2
质点运动学
29
物理学
第五版
第一章习题课 8 一质点沿半径为R的圆周运动，质点所经过的弧 长与时间的关系为s=bt+ct2/2，其中b，c为常量， 且Rc>b2。 求切向加速度与法向加速度大小相等之前所经历的 时间 解：
答案：B
质点运动学
4
物理学
第五版
第一章习题课
4 如图所示,湖中有一小船,有人用绳绕过岸上一 定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动．设该人 以匀速率v0 收绳,绳不伸长且湖水静止,小船的速率 为v,则小船作( )
质点运动学
5
物理学
第五版
第一章习题课
v0 (A) 匀加速运动, v cos
(B) 匀减速运动,
第一章习题课
质点运动学
30
物理学
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第一章习题课
9 一质点在半径为0.10m的圆周上运动，设t=0时 质点位于x轴上，其角速度为ω=12t2。试求
质点运动学
23
物理学
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第一章习题课 5 一小轿车作直线运动，刹车时速度为v0，刹车 后其加速度与速度成正比而反向，即a=-kv，k 为正常量。
试求
（1）刹车后轿车的速度与时间的函数关系
（2）刹车后轿车最多能行多远？
解：
dv 1 kt 由 a kv kv dv kdt v Ce （1） dt v
（3） v R 25 1 25m s
1
a R m s 2
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第一章习题课 8 一质点沿半径为R的圆周运动，质点所经过的弧 长与时间的关系为s=bt+ct2/2，其中b，c为常量， 且Rc>b2。 求切向加速度与法向加速度大小相等之前所经历的 时间 解：
答案：B
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4
物理学
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第一章习题课
4 如图所示,湖中有一小船,有人用绳绕过岸上一 定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动．设该人 以匀速率v0 收绳,绳不伸长且湖水静止,小船的速率 为v,则小船作( )
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v0 (A) 匀加速运动, v cos
(B) 匀减速运动,
第一章习题课
大学物理课后习题答案详解
第一章质点运动学1、(习题：一质点在xOy 平面内运动，运动函数为2x =2t,y =4t 8-。
（1）求质点的轨道方程；（2）求t =1 s t =2 s 和时质点的位置、速度和加速度。
解：（1）由x=2t 得，y=4t 2-8 可得： y=x 2-8 即轨道曲线（2）质点的位置 ： 22(48)r ti t j =+-r r r由d /d v r t =r r 则速度： 28v i tj =+r r r由d /d a v t =r r 则加速度： 8a j =r r则当t=1s 时，有 24,28,8r i j v i j a j =-=+=rr r rrrrr当t=2s 时，有 48,216,8r i j v i j a j =+=+=r r r r r rr r2、（习题）： 质点沿x 在轴正向运动，加速度kv a -=，k 为常数．设从原点出发时速度为0v ，求运动方程)(t x x =.解：kv dtdv-= ⎰⎰-=t v v kdt dv v 001 t k e v v -=0t k e v dtdx-=0 dt e v dx t k tx-⎰⎰=000)1(0t k e kv x --=3、一质点沿x 轴运动，其加速度为a 4t (SI)，已知t 0时，质点位于x 10 m处，初速度v0．试求其位置和时间的关系式．解： =a d v /d t 4=t d v 4=t d t ⎰⎰=vv 0d 4d tt t v 2=t 2v d =x /d t 2=t 2t t x txx d 2d 020⎰⎰= x 2= t 3 /3+10 (SI)4、一质量为m 的小球在高度h 处以初速度0v 水平抛出，求：（1）小球的运动方程；（2）小球在落地之前的轨迹方程；（3）落地前瞬时小球的d d r t v ，d d v t v，tvd d .解：（1） t v x 0= 式（1）2gt 21h y -= 式（2） 201()(h -)2r t v t i gt j =+v v v（2）联立式（1）、式（2）得 22v 2gx h y -=（3）0d -gt d rv i j t=v v v 而落地所用时间 gh2t =所以0d d r v i j t =v vd d v g j t=-v v 2202y 2x )gt (v v v v -+=+=2120212202)2(2])([gh v gh g gt v t g dt dv +=+= 5、 已知质点位矢随时间变化的函数形式为22r t i tj =+v vv，式中r 的单位为m ，t 的单位为s .求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。
第一章质点运动学及动力学习题
（1）矿坑有多宽？飞跃的时间多长？
（2）他在东边落地时的速度多大？速度与 水平的夹角多大？
Z3
解: (1) 建立坐标系，由题得
70
x
65cos 22.5 65sin 22.5 t
t
1 2
gt
解得，t=7s，
2
x=420m
(2) 速度 v
xx2
y
2 y
式中 vx v0 cos 22.5, vy v0 sin 22.5 gt
算出这一距离。
Z2
解: (1)位置矢量
；
r xi yj 2ti (19 2t2 ) j
rt 1s 2i 17 j
rt 2s 4i 11 j
1s-2s内平均 速度 v r2s r1s 2i 6 j t
大小 6.32m/s，方向 与x轴约成-71.5°
Z5 一 质 量 mB=0.1kg 的 物 块 B 与 质 量
mA=0.8kg的物体A，用跨过轻滑轮 的细绳连接，如下图所示，滑轮与
绳间的摩擦不计，物体B上另放一
质量为mC=0.1kg的物块C，物体A 放在水平桌面上。它们由静止开始
运动，物块B下降一段距离 h1=50cm后，通过圆环D将物块C卸 去，又下降一段距离h2=30cm，速 度变为零。试求物体A与水平桌面
v vx2 vy2 5m / s
T3 一质点沿x轴运动，它的速度v和时间t的关 系 )质向负如点作下沿( 图x轴所(匀示加，)速在向负直)作0运线-t(1动时，间在内匀t，减1-t速质2 )时直点运间线沿动内x。轴，(
v
O
t1
t2
0-t1 :v方向为负向，大 小为增加；
（2）他在东边落地时的速度多大？速度与 水平的夹角多大？
Z3
解: (1) 建立坐标系，由题得
70
x
65cos 22.5 65sin 22.5 t
t
1 2
gt
解得，t=7s，
2
x=420m
(2) 速度 v
xx2
y
2 y
式中 vx v0 cos 22.5, vy v0 sin 22.5 gt
算出这一距离。
Z2
解: (1)位置矢量
；
r xi yj 2ti (19 2t2 ) j
rt 1s 2i 17 j
rt 2s 4i 11 j
1s-2s内平均 速度 v r2s r1s 2i 6 j t
大小 6.32m/s，方向 与x轴约成-71.5°
Z5 一 质 量 mB=0.1kg 的 物 块 B 与 质 量
mA=0.8kg的物体A，用跨过轻滑轮 的细绳连接，如下图所示，滑轮与
绳间的摩擦不计，物体B上另放一
质量为mC=0.1kg的物块C，物体A 放在水平桌面上。它们由静止开始
运动，物块B下降一段距离 h1=50cm后，通过圆环D将物块C卸 去，又下降一段距离h2=30cm，速 度变为零。试求物体A与水平桌面
v vx2 vy2 5m / s
T3 一质点沿x轴运动，它的速度v和时间t的关 系 )质向负如点作下沿( 图x轴所(匀示加，)速在向负直)作0运线-t(1动时，间在内匀t，减1-t速质2 )时直点运间线沿动内x。轴，(
v
O
t1
t2
0-t1 :v方向为负向，大 小为增加；
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dxdvdtdvdvdt101在直角坐标下对一般曲线运动在前述关系式中将112在自然坐标下在前述关系式中将替换即可如12五牛顿定律的应用举例已知运动方程求力两类常见问题隔离物体受力分析建立坐标列方程解方程结果讨论131一质点做抛体运动忽略空气阻力如图所示请回答下列问题
质点运动学、动力学
习
题
课
1
主要内容回顾
dv dv a ( x ) v a ( x ) dt dx
a (x ) dx vdv
v 0 0
v
t
9
对一般曲线运动
1）在直角坐标下 在前述关系式中，将 替换即可，如
a 、v
用其分量 a
x
v 、
x
dv x a x (t ) dt
t 0
v t) d t x x( d a
r x i y j z k
d r dx dy dz v i j k v i v j v k x y z dt dt dt dt dv dv dv d v y z x a i j k a i a j a k x y z dt dt dt dt
质点在运动过程中
y
v0
dv (1) 是否变化？ dt d v (2 ) 是否变化？ dt
O0
x
（3）法向加速度是否变化？ （4）轨道何处曲率半径最大？其数值是多少？
13
法向加速度 an v2 an
v2
g cos
y
v0
O0
x
在轨道起点和终点 最大，an值最小，v=v0值最大。
一、质点运动的矢量描述
位矢和位移 P
质点运动学、动力学
习
题
课
1
主要内容回顾
dv dv a ( x ) v a ( x ) dt dx
a (x ) dx vdv
v 0 0
v
t
9
对一般曲线运动
1）在直角坐标下 在前述关系式中，将 替换即可，如
a 、v
用其分量 a
x
v 、
x
dv x a x (t ) dt
t 0
v t) d t x x( d a
r x i y j z k
d r dx dy dz v i j k v i v j v k x y z dt dt dt dt dv dv dv d v y z x a i j k a i a j a k x y z dt dt dt dt
质点在运动过程中
y
v0
dv (1) 是否变化？ dt d v (2 ) 是否变化？ dt
O0
x
（3）法向加速度是否变化？ （4）轨道何处曲率半径最大？其数值是多少？
13
法向加速度 an v2 an
v2
g cos
y
v0
O0
x
在轨道起点和终点 最大，an值最小，v=v0值最大。
一、质点运动的矢量描述
位矢和位移 P
大学物理质点运动学、动力学习题
大学物理质点运动学、动力学习
单击此处添加副标题
演讲人姓名
CONTENTS
目录
contents
质点运动学基础 动力学基础 质点运动学习题解析 动力学习题解析 综合习题解析
质点运动学基础
单击此处添加文本具体内容
PART.01
质点速度矢量随时间的变化率，记作a=dv/dt。
加速度
在研究物体运动时，如果物体的大小和形状对所研究的问题没有影响或影响很小，可以忽略，则物体可视为质点。
实际应用问题解析
这类问题涉及实际生活中常见的物理现象，如抛体运动、弹性碰撞、摩擦力和流体动力学等。
总结词
这类问题通常要求运用质点运动学和动力学的知识解决实际问题，如分析投篮过程中篮球的运动轨迹、研究碰撞过程中动量和能量的变化等。解题时需要将实际问题抽象为物理模型，运用相关物理原理进行分析，得出符合实际情况的结论。
详细描述
这类习题通常涉及到质点系的整体机械能守恒，需要应用机械能守恒定律建立数学模型，进而求出质点系的势能和动能。
举例
一质量为m的质点在重力作用下沿竖直方向做匀加速运动，求质点的势能和动能。
解析过程
根据机械能守恒定律，质点的势能和动能之和保持不变。通过求解，可以得到质点的势能和动能。
综合习题解析
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PART.05
质点运Байду номын сангаас学与动力学的结合习题
这类习题通常要求分析质点的运动轨迹、速度和加速度的变化，以及力对质点运动的影响。解题时需要综合考虑运动学和动力学的原理，建立质点运动的动力学方程，并求解方程得出结果。
这类习题涉及质点运动学和动力学的综合知识，需要运用速度、加速度、力和动量等概念进行解析。
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质点运动学基础 动力学基础 质点运动学习题解析 动力学习题解析 综合习题解析
质点运动学基础
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PART.01
质点速度矢量随时间的变化率，记作a=dv/dt。
加速度
在研究物体运动时，如果物体的大小和形状对所研究的问题没有影响或影响很小，可以忽略，则物体可视为质点。
实际应用问题解析
这类问题涉及实际生活中常见的物理现象，如抛体运动、弹性碰撞、摩擦力和流体动力学等。
总结词
这类问题通常要求运用质点运动学和动力学的知识解决实际问题，如分析投篮过程中篮球的运动轨迹、研究碰撞过程中动量和能量的变化等。解题时需要将实际问题抽象为物理模型，运用相关物理原理进行分析，得出符合实际情况的结论。
详细描述
这类习题通常涉及到质点系的整体机械能守恒，需要应用机械能守恒定律建立数学模型，进而求出质点系的势能和动能。
举例
一质量为m的质点在重力作用下沿竖直方向做匀加速运动，求质点的势能和动能。
解析过程
根据机械能守恒定律，质点的势能和动能之和保持不变。通过求解，可以得到质点的势能和动能。
综合习题解析
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PART.05
质点运Байду номын сангаас学与动力学的结合习题
这类习题通常要求分析质点的运动轨迹、速度和加速度的变化，以及力对质点运动的影响。解题时需要综合考虑运动学和动力学的原理，建立质点运动的动力学方程，并求解方程得出结果。
这类习题涉及质点运动学和动力学的综合知识，需要运用速度、加速度、力和动量等概念进行解析。
质点运动学习题课
1 dv＝a； 2 dr ＝v；
dt
dt
3 ds＝v； 4
dt
dv dt
＝aｔ．
下述判断正确的是( D )
A 只有1、4是对的 (B) 只有2、4是对的
C 只有2是对的 D 只有3是对的
1-4 一个质点在做圆周运动，则有（ B ） (A)切向加速度一定改变，法向加速度也改变 (B)切向加速度可能不变，法向加速度一定改变 (C)切向加速度可能不变，法向加速度不变 (D)切向加速度一定改变，法向加速度不变
法向加速度 an t1s a2 at2 en 1.79 en (m / s2 )
解法2：t 1s时速度和加速度分别为 v 2i 4 j (m / s), a 4 j (m / s2 )
将加速度a分解到平行于速度方向及垂直于速度方向
at
an
4 t＝1.0ｓ质点的速度大小为 v
解：(1)
由参数方程
x
y
2t 19
2t 2
消去t
轨迹方程
y
19
x2 2
(2) t 1s 位矢为r1 2i 17 j(m); t 2s 位矢为r2 4i 11 j(m)
平均速度 v r r2 r1 2i 6 j (m / s) t t2 t1
同一平面内且与水平面的夹角分别为1 和2，则任意时刻两
质点的相对速度是一常量。 √
分析：在任意 t 时刻，两质点的速度分别为
v1 v10 gt, v2 v20 gt
此时，两质点间的相对速度为
v2 v1 v20 v10
故相对速度为一常量，正确。
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质点运动学公式
1.质点的运动方程：
r r t x t i y t j z t k
2.位移公式： rrBrA
3.速度公式：
v dr dt
4.速率（速度的大小）公式：
v ds v dt
5.加速度公式：
a
dv dt
d2r dt2
6.自然坐标系中加速度公式：
切向：a
dv
dt
d2s
解：（1）因a 3ms2 为常量，故由任一时刻的速率v at，得
an
v2 R
a2t 2 R
当总加速度a与径向成450时，an a，即
a2t 2 R
a
t R 1s a
（2）在上述0到1s内，质点经过的路程为
s
1 2
a t 2
1.50 m
3-3 一个质量为m的人站在质量为M的小船的船头上。
2.质 量 m =4kg的 质 点 在 外 力 作 用 下 ， 其 运 动 方 程 为 x=3+4t+t（ 2 SI） ， 求 该 外 力 在 最 初 3s内 对 质 点 所 做 的 功 W 为 多 少 ？
3.一 质 点 的 势 能 函 数 可 近 似 表 示 为 U （ x） =-3x25x， 求 该 质 点 所 受 的 保 守 力 为 多 少 ？
小 相船对以于速 小度 船的v 0速在度静u向水船中尾向跑前去行，驶问。小若船此人的突速然度以变
为多少？如果人到达船尾后停止跑动，此时小船的
速度又变为多少？
解：研究系统（m M），因系统所受合外力为零， 故系统动量守恒：（选择静水作为参考系，
并选择船的速度方向为正方向）
（m M）v0 Mv1 m（ u v1）
mgsRin1kR22
2
功能原理
AF E Ep
mgsRin1kR 22
2
mgcos
kR
mg
一、选择题
1.一小球在竖直平面内作匀速圆周运动，则小球在运
动过程中：
（A）
（A）机械能不守恒、动量不守恒、角动量守恒
（B）机械能守恒、动量不守恒、角动量守恒
（C）机械能守恒、动量守恒、角动量不守恒
（D）机械能守恒、动量守恒、角动量守恒
解：设质点在任一位置 x 处的速度为 v ，则
advdvdxvdv43x2 dt dxdt dx
由初始条件 0vvdv0x43x2dx得 v 8x2x3
2-6 如图所示，手球运动员以初速度与水平方向成角抛出一球。 当球运动到点处，它的速度与水平方向成角，若忽略空气阻力， 求：球在点处速度的大小； 球在点处切向加速度和法向加速度的大小；
位置A，OA间距离D=0.5m，绳子处于松弛状态,现在使物
体以初速度vA=4m·s-1垂直于OA向右滑动,如图所示。设 以后的运动中物体到达位置B,此时物体速度的方向与绳
垂直,则此时刻物体角动量的大小为 1kg·m2/s 。速
率为 1m/s
。
分析： 在A点角动量为：
L A D A 0 m .5 0 .5 v 4 1 k m g 2 /s
v
dv
t 2 sin t dt
dt
2
v0
0
2
பைடு நூலகம்
v 2 cos t
2
（2） v dx 2 cos t，
x
dx
t 2 cos t dt
dt
2
0
0
2
x 4sin t
2
2-11 一质点由静止沿半径R=3m的圆周运动，切向加速度为
a 3ms2 ，问：
（1）经过多少时间它的总加速度与径向成450？ （2）在上述时间内，质点所经过的路程为多少？
0
2
42
1
解得
：
A
2 mv k
2
4
5.如图，一弹簧劲度系数为k，一端固定在A点，另一 端连接一质量为m的物体，靠在光滑的半径为R的圆柱表 面，弹簧原长为AB，在切向变力F的作用下，物体极缓 慢地沿表面从位置B移到C，试分别用积分方法和功能原 理求力F作的功。
解：积分法 Fmcgo skR
A F0 (mcgo skR )d(R )
v2
，故有
v2 an
v02 cos2 g cos3
2-7 一滑块以加速度 a2sin（ t SI）沿直线运动。设滑块初速度
2
v0 2 ，且以滑块中心与坐标原点重合时为起始位置，求：
（1）滑块任意时刻的速度； （2）滑块的运动方程。 解：滑块作匀速直线运动。
（1）
a dv 2 sin t，
可知质点作半径 R3m
的圆周运动，故切向加速度a 和 法 向 加 速 度 a n 分 别 为 a d d v t 0 a nv R 2 （ 1 2 3 ） 24 （ 8m s 2）
2-5 一质点沿 x 轴运动，其加速度 a 与位置坐标 x 的关系为
a43x（ 2 SI） 。若质点在原点处的速度为零，试求其在任意位 置处的速度。
练习
1、若一运动质点在某一瞬时的运动矢径为
r(x，y)，则其速度大小为： ( D )
dr
(A) （B)
dr
(C)
dt dt
dr
(D)
dt
(dx)2 (dy)2 dt dt
2．质点做曲线运动， r 表示位置矢量，s 表示路程，v
表示速度， a 表示加速度，a 表示切向加速度，下列表
达式：( D )
R
R 2R
分析：
向心力：
Fn
m2RGMm R2
（A）
可得
1 R
GM R
角动量：LmR2 mGMR
谢谢聆 听
共同学习相互提高
两边积分：
v dv v2
v0
1v 1 1 t
v v0
v v0
0
Atdt
1 At 2 2
1 1 1 At2 v v0 2
4. 质点沿XOY平面作曲线运动,其运动 方程为:x=2t, y=19-2t2. 则质点位置矢 量与速度矢量恰好垂直的时刻为( D )
(A)0秒和3.16秒. (B) 1.78秒. (C)1.78秒和3秒. (D)0秒和3秒.
解：由mgR12mvB2
得 vB2gR 7(m /s)
法一： f vmdvmdvv 2 dt dx
x dx
0
vB vB
2
2md,v
x2m(v2BvB)1(4m)
法二：冲量定理
mCvmBv
fdt
v 2
dt
x
0
dx 2
x 2
x 2 (m B v m C )v 1(m 4 )
法三： f v mdv
2-4 一质点在X-Y平面内运动，其运动方程分别为
x 3 c o s 4 t， y 3 s in 4 （ tS I ） ，
试求：
1.质点任一时刻的速度和加速度的表达式；
2.质点的切向加速度和法向加速度的大小。
解：（1）
vx
ddxt 12sin4t，vy
dy12cos4t dt
ax
dvx dt
48cos4t，ay
a
a
a
7、质点的动能定理：W1 2mvb 21 2mva 2EkbEka
8、已知一维势能函数，求保守力：
FdU（x） dx
质点相对某一参考点
9、角动量：
质点系相对某一参考点
Lrmv
L rimivi i
质点 M rF
10、力矩：
质点系 MM 外 riF i外
i
11、角动量定理：
dL M外 dt
2 dt
v dv t dt
, v vB 0 2m
v
t
vBe 2m
dx dt
vvB t0, vvB/2t2 m ln 2
x
2mln2
t
dx vBe 2mdt
0 x20mBe v2tm2mln22mB(v1 21)mBv14(m) 0
1.一 物 体 在 外 力 F=2+6（ xN） 作 用 下 沿 X轴 正 方 向 运 动 ， 当 物 体 从 x=0处 移 到 x=3m处 的 过 程 中 ， 外 力 F对 物 体 作 功 多 少 ？
1.解 ： W =（ 32+6x） dx33J 0
2.解：v=ddxt 42t
t0，v0 4 t3，v 10
W1m （v2 2
v0） 168J
3 . F = -d U （ x ） （ 6 x 5 ） 6 x 5 dx
4.一特殊弹簧，其弹性力F=－kx3, k为倔强系数，x为
形变量。现将弹簧水平放置于光滑的平面上，一端固
定，一端与质量为m的滑块相连而处于自然状态。今
沿弹簧长度方向给滑块一个冲量，使其获得一速度v ,
则弹簧被压缩的最大长度为：
（D）
(A ) m v,(B ) kv,(C )(4 m )14 v ,(D )(2 m 2)1 v 4
k
m
k
k
分析：根据动能定理：
Akx3dx01m2v, kA4 1 mv2
在B点角动量为：LB LmBv
根据角动量守恒定律，有：L BL A1 kg m 2/s
由 L B LB m 1 kvg m /s得：vB 1m/s
2.地球的质量为m，太阳的质量为M，地心与日心的 距离为R，引力常数为G，则地球绕太阳作圆周运动 的轨道角动量为：
(A )mGM ,(B )RGM ,(C )m MG m ,(D ) GM
dt
3、某质点沿直线运动的加速度a = －Av2t(A为大于零
的常数)。当t＝0时，初速度为vo，则其速度v与时间t
的函数关系是： （ C ）
(A)
1.质点的运动方程：
r r t x t i y t j z t k
2.位移公式： rrBrA
3.速度公式：
v dr dt
4.速率（速度的大小）公式：
v ds v dt
5.加速度公式：
a
dv dt
d2r dt2
6.自然坐标系中加速度公式：
切向：a
dv
dt
d2s
解：（1）因a 3ms2 为常量，故由任一时刻的速率v at，得
an
v2 R
a2t 2 R
当总加速度a与径向成450时，an a，即
a2t 2 R
a
t R 1s a
（2）在上述0到1s内，质点经过的路程为
s
1 2
a t 2
1.50 m
3-3 一个质量为m的人站在质量为M的小船的船头上。
2.质 量 m =4kg的 质 点 在 外 力 作 用 下 ， 其 运 动 方 程 为 x=3+4t+t（ 2 SI） ， 求 该 外 力 在 最 初 3s内 对 质 点 所 做 的 功 W 为 多 少 ？
3.一 质 点 的 势 能 函 数 可 近 似 表 示 为 U （ x） =-3x25x， 求 该 质 点 所 受 的 保 守 力 为 多 少 ？
小 相船对以于速 小度 船的v 0速在度静u向水船中尾向跑前去行，驶问。小若船此人的突速然度以变
为多少？如果人到达船尾后停止跑动，此时小船的
速度又变为多少？
解：研究系统（m M），因系统所受合外力为零， 故系统动量守恒：（选择静水作为参考系，
并选择船的速度方向为正方向）
（m M）v0 Mv1 m（ u v1）
mgsRin1kR22
2
功能原理
AF E Ep
mgsRin1kR 22
2
mgcos
kR
mg
一、选择题
1.一小球在竖直平面内作匀速圆周运动，则小球在运
动过程中：
（A）
（A）机械能不守恒、动量不守恒、角动量守恒
（B）机械能守恒、动量不守恒、角动量守恒
（C）机械能守恒、动量守恒、角动量不守恒
（D）机械能守恒、动量守恒、角动量守恒
解：设质点在任一位置 x 处的速度为 v ，则
advdvdxvdv43x2 dt dxdt dx
由初始条件 0vvdv0x43x2dx得 v 8x2x3
2-6 如图所示，手球运动员以初速度与水平方向成角抛出一球。 当球运动到点处，它的速度与水平方向成角，若忽略空气阻力， 求：球在点处速度的大小； 球在点处切向加速度和法向加速度的大小；
位置A，OA间距离D=0.5m，绳子处于松弛状态,现在使物
体以初速度vA=4m·s-1垂直于OA向右滑动,如图所示。设 以后的运动中物体到达位置B,此时物体速度的方向与绳
垂直,则此时刻物体角动量的大小为 1kg·m2/s 。速
率为 1m/s
。
分析： 在A点角动量为：
L A D A 0 m .5 0 .5 v 4 1 k m g 2 /s
v
dv
t 2 sin t dt
dt
2
v0
0
2
பைடு நூலகம்
v 2 cos t
2
（2） v dx 2 cos t，
x
dx
t 2 cos t dt
dt
2
0
0
2
x 4sin t
2
2-11 一质点由静止沿半径R=3m的圆周运动，切向加速度为
a 3ms2 ，问：
（1）经过多少时间它的总加速度与径向成450？ （2）在上述时间内，质点所经过的路程为多少？
0
2
42
1
解得
：
A
2 mv k
2
4
5.如图，一弹簧劲度系数为k，一端固定在A点，另一 端连接一质量为m的物体，靠在光滑的半径为R的圆柱表 面，弹簧原长为AB，在切向变力F的作用下，物体极缓 慢地沿表面从位置B移到C，试分别用积分方法和功能原 理求力F作的功。
解：积分法 Fmcgo skR
A F0 (mcgo skR )d(R )
v2
，故有
v2 an
v02 cos2 g cos3
2-7 一滑块以加速度 a2sin（ t SI）沿直线运动。设滑块初速度
2
v0 2 ，且以滑块中心与坐标原点重合时为起始位置，求：
（1）滑块任意时刻的速度； （2）滑块的运动方程。 解：滑块作匀速直线运动。
（1）
a dv 2 sin t，
可知质点作半径 R3m
的圆周运动，故切向加速度a 和 法 向 加 速 度 a n 分 别 为 a d d v t 0 a nv R 2 （ 1 2 3 ） 24 （ 8m s 2）
2-5 一质点沿 x 轴运动，其加速度 a 与位置坐标 x 的关系为
a43x（ 2 SI） 。若质点在原点处的速度为零，试求其在任意位 置处的速度。
练习
1、若一运动质点在某一瞬时的运动矢径为
r(x，y)，则其速度大小为： ( D )
dr
(A) （B)
dr
(C)
dt dt
dr
(D)
dt
(dx)2 (dy)2 dt dt
2．质点做曲线运动， r 表示位置矢量，s 表示路程，v
表示速度， a 表示加速度，a 表示切向加速度，下列表
达式：( D )
R
R 2R
分析：
向心力：
Fn
m2RGMm R2
（A）
可得
1 R
GM R
角动量：LmR2 mGMR
谢谢聆 听
共同学习相互提高
两边积分：
v dv v2
v0
1v 1 1 t
v v0
v v0
0
Atdt
1 At 2 2
1 1 1 At2 v v0 2
4. 质点沿XOY平面作曲线运动,其运动 方程为:x=2t, y=19-2t2. 则质点位置矢 量与速度矢量恰好垂直的时刻为( D )
(A)0秒和3.16秒. (B) 1.78秒. (C)1.78秒和3秒. (D)0秒和3秒.
解：由mgR12mvB2
得 vB2gR 7(m /s)
法一： f vmdvmdvv 2 dt dx
x dx
0
vB vB
2
2md,v
x2m(v2BvB)1(4m)
法二：冲量定理
mCvmBv
fdt
v 2
dt
x
0
dx 2
x 2
x 2 (m B v m C )v 1(m 4 )
法三： f v mdv
2-4 一质点在X-Y平面内运动，其运动方程分别为
x 3 c o s 4 t， y 3 s in 4 （ tS I ） ，
试求：
1.质点任一时刻的速度和加速度的表达式；
2.质点的切向加速度和法向加速度的大小。
解：（1）
vx
ddxt 12sin4t，vy
dy12cos4t dt
ax
dvx dt
48cos4t，ay
a
a
a
7、质点的动能定理：W1 2mvb 21 2mva 2EkbEka
8、已知一维势能函数，求保守力：
FdU（x） dx
质点相对某一参考点
9、角动量：
质点系相对某一参考点
Lrmv
L rimivi i
质点 M rF
10、力矩：
质点系 MM 外 riF i外
i
11、角动量定理：
dL M外 dt
2 dt
v dv t dt
, v vB 0 2m
v
t
vBe 2m
dx dt
vvB t0, vvB/2t2 m ln 2
x
2mln2
t
dx vBe 2mdt
0 x20mBe v2tm2mln22mB(v1 21)mBv14(m) 0
1.一 物 体 在 外 力 F=2+6（ xN） 作 用 下 沿 X轴 正 方 向 运 动 ， 当 物 体 从 x=0处 移 到 x=3m处 的 过 程 中 ， 外 力 F对 物 体 作 功 多 少 ？
1.解 ： W =（ 32+6x） dx33J 0
2.解：v=ddxt 42t
t0，v0 4 t3，v 10
W1m （v2 2
v0） 168J
3 . F = -d U （ x ） （ 6 x 5 ） 6 x 5 dx
4.一特殊弹簧，其弹性力F=－kx3, k为倔强系数，x为
形变量。现将弹簧水平放置于光滑的平面上，一端固
定，一端与质量为m的滑块相连而处于自然状态。今
沿弹簧长度方向给滑块一个冲量，使其获得一速度v ,
则弹簧被压缩的最大长度为：
（D）
(A ) m v,(B ) kv,(C )(4 m )14 v ,(D )(2 m 2)1 v 4
k
m
k
k
分析：根据动能定理：
Akx3dx01m2v, kA4 1 mv2
在B点角动量为：LB LmBv
根据角动量守恒定律，有：L BL A1 kg m 2/s
由 L B LB m 1 kvg m /s得：vB 1m/s
2.地球的质量为m，太阳的质量为M，地心与日心的 距离为R，引力常数为G，则地球绕太阳作圆周运动 的轨道角动量为：
(A )mGM ,(B )RGM ,(C )m MG m ,(D ) GM
dt
3、某质点沿直线运动的加速度a = －Av2t(A为大于零
的常数)。当t＝0时，初速度为vo，则其速度v与时间t
的函数关系是： （ C ）
(A)