高三理科数学复习题《概率统计》
高考数学概率统计专题题库
高考数学概率统计专题题库概率统计是高考数学中的一大重点，对于学生来说是一个难点。
为了帮助同学们更好地掌握概率统计的知识，我们特地整理了一套专题题库，旨在提高同学们的题目解答能力。
以下是该题库中的一些典型题目，供同学们参考。
1. 事件A与事件B相互独立，且P(A)=0.2，P(B)=0.3，求P(A∩B)。
解析：由于事件A与事件B相互独立，所以P(A∩B) = P(A) * P(B)= 0.2 * 0.3 = 0.06。
2. 已知事件A的概率为0.6，事件B的概率为0.4，事件A与事件B相互独立，求事件A或事件B发生的概率。
解析：由于事件A与事件B相互独立，所以P(A或B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 0.6 + 0.4 - (0.6 * 0.4) = 0.76。
3. 有一批产品，其中80%是合格品，20%是次品。
从中随机抽取3个产品进行检验，求恰好有1个次品的概率。
解析：使用组合数的知识，可以知道从总共的产品中选择1个次品和2个合格品的方法有C(1,1) * C(2,0) = 1种。
所以恰好有1个次品的概率为P = (0.2 * 0.8 * 0.8) = 0.128。
4. 某市共有100辆出租车，其中60辆汽车是空车，40辆汽车是有客人的。
一名乘客拦出租车时，随机选择一辆，发现是空车，求另一辆是空车的概率。
解析：由于已经知道选择的出租车是空车，所以可以将问题简化为从剩下的99辆车中选择一辆是空车的概率。
根据全概率公式，可知选择一辆是空车的概率为P = (60/100) * (59/99) = 0.3636。
5. 有一个罐子，里面有红球、黄球、蓝球各20个。
将这些球随机取出2个，求取出的两个球颜色相同的概率。
解析：首先计算红球颜色相同的概率，即取出两个红球的概率为P1 = (20/60) * (19/59) = 0.1153。
同理，黄球颜色相同的概率为P2 = (20/60) * (19/59) = 0.1153，蓝球颜色相同的概率为P3 = (20/60) * (19/59) =0.1153。
高三数学习题集：概率统计
高三数学习题集：概率统计1. 引言在高三数学学习过程中，概率统计是一个重要的内容模块。
本文将提供一份高三概率统计的习题集，帮助学生巩固所学知识，并提供一些解题思路。
2. 随机事件与概率2.1 习题一某班级共有60名学生，男生占总人数的50%。
现在从这些学生中随机抽取一人，求抽到女生的概率。
2.2 习题二甲、乙两人共抽两张牌，两牌的点数和是7的概率是多少？3. 条件概率与独立事件3.1 习题一有两个骰子，现已知两个骰子的点数和为8，其中一个骰子的点数为6，求另一个骰子的点数为6的概率。
3.2 习题二某班级有60名学生，其中30名男生和30名女生。
现从该班级中随机选择两名学生，求这两名学生是同性别的概率。
4. 随机变量与概率分布4.1 习题一一个骰子被投掷6次，每次的点数和为随机变量X。
求X等于18的概率。
4.2 习题二已知随机变量X服从正态分布N(10, 4)，求P(X>15)。
5. 数理统计5.1 习题一某班级学生的身高（单位：厘米）数据如下：160, 168, 170, 172, 172, 175, 175, 178, 180, 182。
求该班级学生身高的平均值和方差。
5.2 习题二某超市销售的某种商品每天的销售量（单位：个）数据如下：8, 9, 10, 11, 12, 13, 13, 14, 15, 16。
求该商品每天销售量的中位数和标准差。
6. 总结本文提供了高三概率统计的习题集，涵盖了随机事件、条件概率、随机变量与概率分布、数理统计等内容。
通过练习这些习题，学生们可以巩固并加深对概率统计知识的理解，并提高解题的能力。
希望本文能对高三数学学习有所助益。
高考复习之概率统计(理科)
高考复习之概率统计〔理科〕热点一：分布列、数学期望和方差1、分布列23、数学期望:则称……为ξ的数学期望，简称期望．=ξE+11px+22px nn性质:baEbaE+=+ξξ)(4、方差：＝＋＋…＋＋…ξD121)(pEx⋅-ξ222)(pEx⋅-ξnnpEx⋅-2)(ξ称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的是随机变量ξ的期望．ξE性质：〔1〕；〔2〕；5、二项分布:Eξ=np, np例1、袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上号的有个〔=1,2,3,4〕.现从袋中任取一球.表示所取球的标号.〔Ⅰ〕求的分布列，期望和方差；〔Ⅱ〕若, ,,试求a,b的值.小结：求期望和方差的步骤S1确定随机变量的允许值；S2计算相应的概率；S3写出分布列；S4代入期望和方差公式求解.练习：1、甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响.求：1 2〔Ⅰ〕至少有1人面试合格的概率;〔Ⅱ〕签约人数的分布列和数学期望.2、某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即终止射击，第次击中目标得分，3次均未击中目标得0分．已知某射手每次击中目标的概率为0.8，其各次射击结果互不影响．i1~i(123)i=，，〔Ⅰ〕求该射手恰好射击两次的概率；〔Ⅱ〕该射手的得分记为，求随机变量的分布列及数学期望．3、某批发市场对某种商品的周销售量〔单位：吨〕进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：周销售量 2 3 4频数20 50 30〔Ⅰ〕根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；〔Ⅱ〕已知每吨该商品的销售利润为2千元，表示该种商品两周销售利润的和〔单位：千元〕．若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求的分布列和数学期望． 几种常见题型的解法 一、从分类问题角度求概率例2〔日本高考题〕袋内有9个白球和3个红球，从袋中任意地顺次取出三个球〔取出的球不再放回〕，求第三次取出的球是白球的概率.二、从不等式大小比较的角度看概率例 3 “幸运52”知识竞猜电视节目，为每位选手准备5道试题，每道题设“Yes ”与“No ”两个选项，其中只有一个是正确的，选手每答对一题，获得一个商标，假设甲、乙两位选手仅凭猜测独立答题，是否有99%的把握断定甲、乙两位选手中至少有一位获得1个或1个以上的商标？ 三、从“至多”、“至少”的角度看概率.例4、有三种产品，合格率分别是0.90、0.95和0.95，各取一件进行检验.〔I 〕求恰有一件不合格的概率；〔II 〕求至少有两件不合格的概率〔精确到0.001〕. 四、从“或”、“且”的角度看概率例5甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或被乙解出的概率为0.92.〔1〕求该题被乙独立解出的概率； 〔2〕求解出该题的人数的数学期望和方差.相关练习1.〔山东卷7〕在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为〔A 〕 〔B 〕〔C 〕 〔D 〕2.〔福建卷5〕某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是A.B.C.D.16625966251926252566253.〔辽宁卷7〕4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为〔 〕A ．B ．C ．D ．131223344.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为．21p 161〔Ⅰ〕求乙投球的命中率；〔Ⅱ〕求甲投球2次，至少命中1次的概率；〔Ⅲ〕若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．5.某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5〔相互独立〕，1〕求至少3人同时上网的概率；2〕至少几人同时上网的概率小于0.3？6.甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个.甲、乙二人依次各抽一题.〔I〕甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？〔II〕甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？关于统计问题1.〔天津卷11〕一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工________________人．2.某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆.为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取_______，____，_______辆.3.甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下〔单位：t/hm2 〕:其中产量比较稳定的小麦品种是▁▁▁.4.一个工厂在若干个车间，今采用分层抽样方法从全厂某天的2048件产品中抽取一个容量为128的样本进行质量检查，若一车间这一天生产256件产品，则从该车间抽取的产品件数为．5．〔江苏卷〕某人5次上班途中所花的时间〔单位：分钟〕分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x－y｜的值为〔A〕1 〔B〕2 〔C〕3 〔D〕46．〔四川卷〕甲校有名学生，乙校有名学生，丙校有名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为人的样本，应在这三校分别抽取学生〔A〕人，人，人〔B〕人，人，人〔C〕人，人，人〔D〕人，人，人7．〔重庆卷〕为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－１８岁的男生体重〔kg〕 ,得到频率分布直方图如下：根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是〔A〕20 〔B〕30 〔C〕40 〔D〕508．〔重庆卷〕某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家.为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本.若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是〔A〕2 〔B〕3 〔C〕5 〔D〕139．〔全国II〕一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了 样本的频率分布直方图〔如右图〕．为了分析居 民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要 从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作 进一步调查，则在［2500，3000〕〔元〕月收入 段应抽出 人．10．〔山东卷〕某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是 . 09年高考复习之概率统计〔答案〕热点一：分布列、数学期望和方差 1、 分布列23、数学期望: 则称 …… 为ξ的数学期望，简称期望．=ξE +11p x +22p x n n性质: b aE b a E +=+ξξ)(4、方差：＝＋＋…＋＋…ξD 121)(p E x ⋅-ξ222)(p E x ⋅-ξn n p E x ⋅-2)(ξ称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的是随机变量ξ的期望．ξE性质：〔1〕；〔2〕；5、二项分布:E ξ=np, np 例1、袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上号的有个〔=1,2,3,4〕.现从袋中任取一球.表示所取球的标号.〔Ⅰ〕求的分布列，期望和方差； 〔Ⅱ〕若, ,,试求a,b 的值.解：本小题主要考查概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的运算能力.〔满分12分〕 解：〔Ⅰ〕的分布列为：∴01234 1.5.22010205E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=〔Ⅱ〕由，得a2×2.75＝11，即又所以 当a=2时，由1＝2×1.5+b,得b=-2; 当a=-2时，由1＝-2×1.5+b ，得b=4.∴或即为所求.2,2a b =⎧⎨=-⎩2,4a b =-⎧⎨=⎩ 小结：求期望和方差的步骤S1确定随机变量的允许值；S2计算相应的概率；S3写出分布列；S4代入期望和方差公式求解.练习：1、甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响.求：12〔Ⅰ〕至少有1人面试合格的概率; 〔Ⅱ〕签约人数的分布列和数学期望.解: 用A ，B ，C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A ，B ，C 相互独立，且P 〔A 〕＝P 〔B 〕＝P 〔C 〕＝. 〔Ⅰ〕至少有1人面试合格的概率是3171()1()()()1().28P ABC P A P B P C -=-=-=〔Ⅱ〕的可能取值为0，1，2，3.(0)()()()P P ABC P ABC P ABC ξ==++＝()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C ++＝3231113()()().2228++=(1)()()()P P ABC P ABC P ABC ξ==++ =()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C ++=3331113()()().2228++=1(2)()()()().8P P ABC P A P B P C ξ====1(3)()()()().8P P ABC P A P B P C ξ====ξξ的期望0123 1.8888E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=2、某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即终止射击，第次击中目标得分，3次均未击中目标得0分．已知某射手每次击中目标的概率为0.8，其各次射击结果互不影响．i 1~i (123)i =，， 〔Ⅰ〕求该射手恰好射击两次的概率；〔Ⅱ〕该射手的得分记为，求随机变量的分布列及数学期望． 解：〔Ⅰ〕设该射手第次击中目标的事件为，则，()()()0.20.80.16i i i i P A A P A P A ==⨯=．〔Ⅱ〕可能取的值为0，1，2，3．ξ的分布列为00.00810.03220.1630.8 2.752E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.3、某批发市场对某种商品的周销售量〔单位：吨〕进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：周销售量 2 3 4 频数205030〔Ⅰ〕根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；〔Ⅱ〕已知每吨该商品的销售利润为2千元，表示该种商品两周销售利润的和〔单位：千元〕．若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求的分布列和数学期望． 解：〔Ⅰ〕周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3． 〔Ⅱ〕的可能值为8，10，12，14，16，且 P 〔=8〕=0.22=0.04， P 〔=10〕=2×0.2×0.5=0.2， P 〔=12〕=0.52+2×0.2×0.3=0.37， P 〔=14〕=2×0.5×0.3=0.3， P 〔=16〕=0.32=0.09．ξ的分布列为=8×0.04+10×几种常见题型的解法 一、从分类问题角度求概率例2〔日本高考题〕袋内有9个白球和3个红球，从袋中任意地顺次取出三个球〔取出的球不再放回〕，求第三次取出的球是白球的概率.解：设A1=“三次都是白球”，则 P 〔A1〕=A2=“一、三次白球，第二次红球”，则 P 〔A2〕=A3=“第一次红球，二、三次为白球”，则 P 〔A3〕=;A4=“一、二次红球，第三次白球”，则 P 〔A4〕=而A1、A2、A3、A4互斥，又记A=“第三次取出的球是白球”，则P〔A〕=P〔A1〕+P〔A2〕+P〔A3〕+P〔A4〕=…=说明：本题中关键是学会分解事件A，再由互斥事件和的概率，得出结论，主要以“+”号连接，另外本题也可由P= 得出，请读者琢磨.二、从不等式大小比较的角度看概率例 3 “幸运52”知识竞猜电视节目，为每位选手准备5道试题，每道题设“Yes”与“No”两个选项，其中只有一个是正确的，选手每答对一题，获得一个商标，假设甲、乙两位选手仅凭猜测独立答题，是否有99%的把握断定甲、乙两位选手中至少有一位获得1个或1个以上的商标？解：设甲没有获得商标的事件为A，乙没有获得商标的事件为B，则P〔A〕=P〔B〕=∴甲、乙没有获得商标的事件为C，则P〔C〕=P〔A·B〕=P〔A〕·P〔B〕.又设甲、乙两选手中至少有一位获得1个或1个以上的商标的事件为D.∴P〔D〕=1- P〔C〕=1-.99.01000999...1023102210241023102411)21()21(5555>>>>=-=CC故有99%的把握作出如此断定.说明：本题中关键要熟悉事件D对立事件是C，则P〔D〕=1-P〔C〕，主要以“-”号连接，本题也可由1-进行比较.三、从“至多”、“至少”的角度看概率.例4、有三种产品，合格率分别是0.90、0.95和0.95，各取一件进行检验.〔I〕求恰有一件不合格的概率；〔II〕求至少有两件不合格的概率〔精确到0.001〕.解：设三种产品各抽取一件是合格产品的事件分别为A、B、C.〔I〕P〔A〕=0.90，P〔B〕=P〔C〕=0.95，.05.0)()(,10.0)(===CPBPAP因为A、B、C相互独立，恰有一件不合格的概率为〔II〕至少有两件不合格的概率答：〔略〕.说明：本题重点考查相互独立事件积的概率，主要以“×”连接P〔A〕、P〔B〕、P〔C〕以及P、P、P .另外〔II〕也可由P=1-P〔A·B·C〕-0.176=1-P〔A〕·P〔B〕·P〔C〕-0.176得出.四、从“或”、“且”的角度看概率例5甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或被乙解出的概率为0.92.〔1〕求该题被乙独立解出的概率；〔2〕求解出该题的人数的数学期望和方差.解：〔1〕记甲、乙分别解出此题的事件记为A 、B.设甲独立解出此题的概率为P1，乙为P2则P 〔A 〕=P1=0.6，P 〔B 〕=P2 P 〔A+B 〕=1-P ∴0.6+P2-0.6P2=0.92.则0.4P2=0.32 即P2=0.8………………………………〔5分〕 〔2〕44.08.04.02.06.0)()()()()1(=⨯+⨯=+==B P A P B P A P P ξ48.08.06.0)()()2(=⨯===B P A P P ξξ的概率分布列：Eξ=0×0.08 + 1×0.44 + 2×0.48 = 1.4Dξ=〔0-1.4〕2×0.08 + 〔1-1.4〕2×0.44 + 〔2-1.4〕2×0.48=0.4 或利用D ξ=E 〔ξ2〕-〔E ξ〕2 = 2.36-1.96=0.4另外如将此题中的“或”改为“且”，处理方法怎样，请同学思考.相关练习1.〔山东卷7〕在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为B〔A 〕 〔B 〕〔C 〕 〔D 〕2.〔福建卷5〕某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是BA.B.C.D.16625966251926252566253.〔辽宁卷7〕4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为〔 C 〕A ．B ．C ．D ．131223344.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为．21p 161〔Ⅰ〕求乙投球的命中率；〔Ⅱ〕求甲投球2次，至少命中1次的概率；〔Ⅲ〕若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．解：本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．〔Ⅰ〕解法一：设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B ．由题意得()()()1611122=-=-p B P解得或〔舍去〕，所以乙投球的命中率为．解法二：设设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B ． 由题意得，于是或〔舍去〕，故．所以乙投球的命中率为．34〔Ⅱ〕解法一：由题设和〔Ⅰ〕知．故甲投球2次至少命中1次的概率为()431=⋅-A A P解法二：由题设和〔Ⅰ〕知故甲投球2次至少命中1次的概率为()()()()4312=+A P A P A P A P C〔Ⅲ〕由题设和〔Ⅰ〕知，甲、乙两人各投球2次，共命中2次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中两次，乙两次均不中；甲两次均不中，乙中2次.概率分别为()()()()1631212=⋅B P B P C A P A P C ，()()641=⋅⋅B B P A A P ， ()()649=⋅⋅B B P A A P 所以甲、乙两人各投两次，共命中2次的概率为．3211649641163=++5.某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5〔相互独立〕，1〕求至少3人同时上网的概率；2〕至少几人同时上网的概率小于0.3？解： 1〕至少3人同时上网的概率等于1减去至多2人同时上网的概率， 即 .2〕至少4人同时上网的概率为，至少5人同时上网的概率为，因此，至少5人同时上网的概率小于 .6.甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个.甲、乙二人依次各抽一题.〔I 〕甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？〔II 〕甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？解：〔I 〕甲从选择题中抽到一题的可能结果有个，乙依次从判断题中抽到一题的可能结果有个，故甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的可能结果有个；又甲、乙依次抽一题的可能结果有概率为个，所以甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的概率为，所求概率为；〔II 〕甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为，故甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为，所求概率为.或 ，所求概率为. 关于统计问题1.〔天津卷11〕一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工________________人．102.某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆.为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取___6_____，___30____，____10____辆.3.甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下〔单位：t/hm2 〕:其中产量比较稳定的小麦品种是▁甲种▁▁.4.一个工厂在若干个车间，今采用分层抽样方法从全厂某天的2048件产品中抽取一个容量为128的样本进行质量检查，若一车间这一天生产256件产品，则从该车间抽取的产品件数为 16 ．5．〔江苏卷〕某人5次上班途中所花的时间〔单位：分钟〕分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x－y｜的值为〔A〕1 〔B〕2 〔C〕3 〔D〕4【思路】本题考查统计的基本知识，样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法【正确解答】由题意可得：x+y=20,〔x-10〕2+〔y-10〕2=8,解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出，设x=10+t, y=10-t, ，选D6．〔四川卷〕甲校有名学生，乙校有名学生，丙校有名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为人的样本，应在这三校分别抽取学生〔A〕人，人，人〔B〕人，人，人〔C〕人，人，人〔D〕人，人，人解析：甲校有名学生，乙校有名学生，丙校有名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为人的样本，应在这三校分别抽取学生人，人，人，选B.360054001800903045157．〔重庆卷〕为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－１８岁的男生体重〔kg〕 ,得到频率分布直方图如下：根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是〔A〕20 〔B〕30 〔C〕40 〔D〕50解析：根据该图可知，组距为2，得这100名学生中体重在的学生人数所占的频率为〔0.03+0.05+0.05+0.07〕×2=0.4，所以该段学生的人数是40，选C.8．〔重庆卷〕某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家.为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本.若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是〔A〕2 〔B〕3 〔C〕5 〔D〕13解：各层次之比为：30:75:195＝2:5:13，所抽取的中型商店数是5，故选C9．〔全国II〕一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图〔如右图〕．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000〕〔元〕月收入段应抽出人．解析:由直方图可得〔元〕月收入段共有人按分层抽样应抽出人100 25002510000⨯=10．〔山东卷〕某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是.解：抽取教师为160-150=10人，所以学校教师人数为2400×=150 人.11 / 11。
高中概率统计试题及答案
高中概率统计试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 如果一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取一个球，抽到红球的概率是多少？A. 1/3B. 1/2C. 3/5D. 2/5答案：C2. 一枚均匀的硬币连续抛掷两次，出现至少一次正面的概率是多少？A. 1/2B. 3/4C. 1/4D. 1/8答案：B3. 一个班级有30个学生，其中15个男生和15个女生。
随机抽取3名学生，抽到至少1名男生的概率是多少？A. 2/3B. 3/4C. 1/2D. 5/6答案：D4. 一个骰子投掷一次，得到偶数点数的概率是多少？A. 1/2B. 1/3C. 1/6D. 2/3答案：A5. 一个袋子里有3个白球和2个黑球，不放回地连续抽取两次，抽到一白一黑的概率是多少？A. 1/5B. 3/5C. 2/5D. 4/5答案：B6. 一个袋子里有2个红球，3个蓝球和5个绿球，随机抽取一个球，抽到蓝球的概率是多少？A. 1/5B. 3/10C. 1/2D. 1/4答案：B7. 一个班级有50名学生，其中20名是优秀学生。
随机抽取5名学生，抽到至少2名优秀学生的概率是多少？A. 0.7B. 0.3C. 0.5D. 0.9答案：A8. 一个袋子里有5个红球和5个蓝球，随机抽取3个球，抽到至少2个红球的概率是多少？A. 1/2B. 2/3C. 1/3D. 1/4答案：B9. 一个骰子投掷两次，两次都是6点的概率是多少？A. 1/6B. 1/36C. 1/12D. 1/24答案：B10. 一个班级有40名学生，其中10名是优秀学生。
随机抽取4名学生，抽到至少1名优秀学生的概率是多少？A. 1B. 3/4C. 2/5D. 1/4答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 一个袋子里有10个球，其中4个是红球，6个是蓝球。
随机抽取一个球，抽到红球的概率是________。
答案：2/52. 一个班级有50名学生，其中25名是女生。
概率统计复习题(含答案)
概率论与数理统计复习题（一）一．填空1.3.0)(,4.0)(==B P A P 。
若A 与B 独立，则=-)(B A P ；若已知B A ,中至少有一个事件发生的概率为6.0，则=-)(B A P 。
2．)()(B A p AB p =且2.0)(=A P ，则=)(B P 。
3．设),(~2σμN X ，且3.0}42{ },2{}2{=<<≥=<X P X P X P ，则=μ ；=>}0{X P 。
4．1)()(==X D X E 。
若X 服从泊松分布，则=≠}0{X P ；若X 服从均匀分布，则=≠}0{X P 。
5．设44.1)(,4.2)(),,(~==X D X E p n b X ，则==}{n X P6．,1)(,2)()(,0)()(=====XY E Y D X D Y E X E 则=+-)12(Y X D 。
7．)16,1(~),9,0(~N Y N X ，且X 与Y 独立，则=-<-<-}12{Y X P （用Φ表示），=XY ρ 。
8．已知X 的期望为5，而均方差为2，估计≥<<}82{X P 。
9．设1ˆθ和2ˆθ均是未知参数θ的无偏估计量，且)ˆ()ˆ(2221θθE E >，则其中的统计量 更有效。
10．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈 愈好，而置信区间的长度愈 愈好。
但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是 。
二．假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾。
设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1；乙河流泛滥的概率为0.2；当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为0.3，试求：（1）该时期内这个地区遭受水灾的概率； （2）当乙河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。
三．高射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独立），每发炮弹击中敌机的概率均为0.3，又知若敌机中一弹，其坠毁的概率是0.2，若敌机中两弹，其坠毁的概率是0.6，若敌机中三弹则必坠毁。
2024年数学高三下册概率统计基础练习题(含答案)
2024年数学高三下册概率统计基础练习题（含答案）试题部分一、选择题：1. 已知一组数据的方差是9，那么这组数据的标准差是（）A. 3B. 9C. 3²D. 1/32. 下列哪个图形能够表示一个离散型随机变量X的概率分布（）A. 直方图B. 折线图C. 散点图D. 条形图3. 抛掷一枚质地均匀的硬币三次，恰好出现两次正面朝上的概率是（）A. 1/2B. 1/3C. 3/8D. 1/44. 已知随机变量X服从二项分布，且P(X=0)=0.16，P(X=1)=0.32，则P(X=2)等于（）A. 0.16B. 0.32C. 0.48D. 0.645. 下列关于正态分布的说法，错误的是（）A. 正态分布是连续型概率分布B. 正态分布曲线呈钟形C. 正态分布的均数等于0，标准差等于1D. 正态分布曲线关于x轴对称6. 设随机变量X的分布列为：X=1的概率为0.2，X=2的概率为0.3，X=3的概率为0.5，则E(X)等于（）A. 1B. 2C. 2.5D. 37. 已知一组数据的平均数为50，标准差为5，那么这组数据的中位数（）A. 一定大于50B. 一定小于50C. 一定等于50D. 无法确定8. 在一组数据中，众数与众数的频率之和等于（）A. 1B. 0C. 数据总数D. 频率9. 下列关于概率的说法，正确的是（）A. 必然事件的概率为0B. 不可能事件的概率为1C. 随机事件的概率介于0和1之间D. 互斥事件的概率之和等于110. 在一个箱子中有5个红球，3个蓝球，2个绿球，随机取出一个球，取到红球或绿球的概率是（）A. 2/5B. 3/5C. 4/5D. 1/2二、判断题：1. 样本方差越大，说明数据的波动越大。
（）2. 两个互斥事件的概率之和一定等于1。
（）3. 随机变量X的期望值E(X)一定等于它的众数。
（）4. 在二项分布中，如果n固定，p越大，概率分布越集中。
（）5. 正态分布曲线下，面积等于1的部分对应的横坐标范围是负无穷到正无穷。
概率与统计(选择、填空题)(理科专用)(解析版)-五年(18-22)高考数学真题分项汇编(全国通用)
专题15概率与统计（选择题、填空题）（理科专用）1．【2022年全国乙卷】某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为1,2,3，且3>2>1>0．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（）A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大【答案】D【解析】【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率乙；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘甲的概率丙.并对三者进行比较即可解决【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记该棋手在第二盘与甲比赛，且连胜两盘的概率为甲则甲=2(1−2)13+221(1−3)=21(2+3)−4123记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为乙则乙=2(1−1)23+212(1−3)=22(1+3)−4123记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为丙则丙=2(1−1)32+213(1−2)=23(1+2)−4123则甲−乙=21(2+3)−4123−22(1+3)−4123=21−23<0乙−丙=22(1+3)−4123−23(1+2)−4123=22−31<0即甲<乙，乙<丙，则该棋手在第二盘与丙比赛，最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.故选：D2．【2022年新高考1卷】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A．16B．13C．12D．23【答案】D【解析】【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C 72=21种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8)，共7种，故所求概率=21−721=23.故选：D.3．【2021年甲卷理科】已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为（）A 72B ．132C D 【答案】A 【解析】【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出12,PF PF ，结合余弦定理可得答案.【详解】因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==，所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒，整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即2e =.故选：A 【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立,a c 间的等量关系是求解的关键.4．【2021年甲卷理科】将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A ．13B ．25C ．23D ．45【答案】C 【解析】【分析】采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解.【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有155C =种排法，若2个0不相邻，则有2510C =种排法，所以2个0不相邻的概率为1025103=+.故选：C.5．【2021年乙卷理科】在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为（）A ．79B ．2332C ．932D ．29【答案】B 【解析】【分析】设从区间()()0,1,1,2中随机取出的数分别为,x y ，则实验的所有结果构成区域为(){},01,12x y x y Ω=<<<<，设事件A 表示两数之和大于74，则构成的区域为()7,01,12,4A x y x y x y ⎧⎫=<<<+⎨⎬⎩⎭，分别求出,A Ω对应的区域面积，根据几何概型的的概率公式即可解出．【详解】如图所示：设从区间()()0,1,1,2中随机取出的数分别为,x y ，则实验的所有结果构成区域为(){},01,12x y x y Ω=<<<<，其面积为111SΩ=⨯=．设事件A 表示两数之和大于74，则构成的区域为()7,01,12,4A x y x y x y ⎧⎫=<<<+⎨⎬⎩⎭，即图中的阴影部分，其面积为13323124432A S =-⨯⨯=，所以()2332A S P A S Ω==．故选：B.【点睛】本题主要考查利用线性规划解决几何概型中的面积问题，解题关键是准确求出事件,A Ω对应的区域面积，即可顺利解出．6．【2021年新高考1卷】有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A ．甲与丙相互独立B ．甲与丁相互独立C ．乙与丙相互独立D ．丙与丁相互独立【答案】B 【解析】【分析】根据独立事件概率关系逐一判断【详解】11561()()()()6636366P P P P =====甲，乙，丙丁，1()0()()()()()36P P P P P P =≠==甲丙甲丙，甲丁甲丁，1()()()()0()()36P P P P P P =≠=≠乙丙乙丙，丙丁丁丙，故选：B 【点睛】判断事件,A B 是否独立，先计算对应概率，再判断()()()P A P B P AB =是否成立7．【2021年新高考2卷】某物理量的测量结果服从正态分布()210,N σ，下列结论中不正确的是（）A ．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B ．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C ．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D ．该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等【答案】D 【解析】【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.【详解】对于A ，2σ为数据的方差，所以σ越小，数据在10μ=附近越集中，所以测量结果落在()9.9,10.1内的概率越大，故A 正确；对于B ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；对于C ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C 正确；对于D ，因为该物理量一次测量结果落在()9.9,10.0的概率与落在()10.2,10.3的概率不同，所以一次测量结果落在()9.9,10.2的概率与落在()10,10.3的概率不同，故D 错误.故选：D.8．【2020年新课标1卷理科】某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：°C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i = 得到下面的散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（）A ．y a bx =+B ．2y a bx =+C ．e x y a b =+D ．ln y a b x=+【答案】D 【解析】【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是ln y a b x =+.故选：D.【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.9．【2020年新课标2卷理科】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A ．10名B ．18名C ．24名D ．32名【答案】B 【解析】【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.【详解】由题意，第二天新增订单数为50016001200900+-=，9001850=，故至少需要志愿者18名.故选：B 【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.10．【2020年新课标3卷理科】在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）A ．14230.1,0.4p p p p ====B ．14230.4,0.1p p p p ====C ．14230.2,0.3p p p p ====D ．14230.3,0.2p p p p ====【答案】B 【解析】【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组.【详解】对于A 选项，该组数据的平均数为()()140.1230.4 2.5A x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65As =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于B 选项，该组数据的平均数为()()140.4230.1 2.5B x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85Bs =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于C 选项，该组数据的平均数为()()140.2230.3 2.5C x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.22 2.50.33 2.50.34 2.50.2 1.05Cs =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于D 选项，该组数据的平均数为()()140.3230.2 2.5D x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.32 2.50.23 2.50.24 2.50.3 1.45Ds =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.因此，B 选项这一组的标准差最大.故选：B.【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题.11．【2020年新高考1卷（山东卷）】某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A ．62%B ．56%C ．46%D ．42%【答案】C 【解析】【分析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ⋅，然后根据积事件的概率公式()P A B ⋅=()()()P A P B P A B +-+可得结果.【详解】记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ⋅，则()0.6P A =，()0.82P B =，()0.96P A B +=，所以()P A B ⋅=()()()P A P B P A B +-+0.60.820.960.46=+-=所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选：C.【点睛】本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.12．【2019年新课标1卷理科】我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．1116【答案】A【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有36C ，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C =516，故选A ．【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．13．【2019年新课标2卷理科】演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．极差【答案】A 【解析】【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案．【详解】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x ≤≤≤≤≤ ．则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x ，后剩余2348x x x x ≤≤≤ ，中位数仍为5x ，∴A 正确．②原始平均数1234891()9x x x x x x x =+++++ ，后来平均数234817x x x x x '=+++ （）平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确③()()()222219119S x x x x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ ()()()222223817s x x x x x x ⎡⎤'=-'+-'++-'⎢⎥⎣⎦ 由②易知，C 不正确．④原极差91=x -x ，后来极差82=x -x 可能相等可能变小，D 不正确．本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.14．【2019年新课标3卷理科】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A．0.5B．0.6C．0.7D．0.8【答案】C【解析】根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解.【详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C．【点睛】本题考查容斥原理，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题．15．【2018年新课标1卷理科】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】A【解析】【分析】首先设出新农村建设前的经济收入为M ，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M ，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.【详解】设新农村建设前的收入为M ，而新农村建设后的收入为2M ，则新农村建设前种植收入为0.6M ，而新农村建设后的种植收入为0.74M ，所以种植收入增加了，所以A 项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M ，新农村建设后其他收入为0.1M ，故增加了一倍以上，所以B 项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M ，新农村建设后为0.6M ，所以增加了一倍，所以C 项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的30%28%58%50%+=>，所以超过了经济收入的一半，所以D 正确；故选A.点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.16．【2018年新课标1卷理科】如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 3【答案】A 【解析】【分析】首先设出直角三角形三条边的长度，根据其为直角三角形，从而得到三边的关系，然后应用相应的面积公式求得各个区域的面积，根据其数值大小，确定其关系，再利用面积型几何概型的概率公式确定出p 1，p 2，p 3的关系，从而求得结果.【详解】设,,AC b AB c BC a ===，则有222b c a +=，从而可以求得ABC ∆的面积为112=S bc ，黑色部分的面积为22221()()[()]2222c b a S bc πππ=⋅+⋅-⋅-2221(4442c b a bc π=+-+22211422c b a bc bc π+-=⋅+=，其余部分的面积为22311122282a a S bc bc ππ⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭，所以有12S S =，根据面积型几何概型的概率公式，可以得到12p p =，故选A.点睛：该题考查的是面积型几何概型的有关问题，题中需要解决的是概率的大小，根据面积型几何概型的概率公式，将比较概率的大小问题转化为比较区域的面积的大小，利用相关图形的面积公式求得结果.17．【2018年新课标2卷理科】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A ．112B ．114C ．115D ．118【答案】C【解析】【详解】分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有21045C =种方法，因为7+23=11+19=13+17=30，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为31=4515，选C.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法：(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.18．【2018年新课标3卷理科】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，则p =A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3【答案】B【解析】【详解】分析：判断出为二项分布，利用公式()()D X np 1p =-进行计算即可．()()D X np 1p =- p 0.4∴=或p 0.6=()()()()6444661010P X 41P X 61C p p C p p ==-<==-，()221p p ∴-<,可知p 0.5>故答案选B.点睛：本题主要考查二项分布相关知识，属于中档题．19．【2021年新高考1卷】有一组样本数据1x ，2x ，…，n x ，由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，…，n y ，其中i i y x c =+(1,2,,),i n c =⋅⋅⋅为非零常数，则（）A ．两组样本数据的样本平均数相同B ．两组样本数据的样本中位数相同C ．两组样本数据的样本标准差相同D ．两组样本数据的样本极差相同【答案】CD【解析】【分析】A 、C 利用两组数据的线性关系有()()E y E x c =+、()()D y D x =，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B 、D 的正误.【详解】A ：()()()E y E x c E x c =+=+且0c ≠，故平均数不相同，错误；B ：若第一组中位数为i x ，则第二组的中位数为i i y x c =+，显然不相同，错误；C ：()()()()D y D x D c D x =+=，故方差相同，正确；D ：由极差的定义知：若第一组的极差为max min x x -，则第二组的极差为max min max min max min ()()y y x c x c x x -=+-+=-，故极差相同，正确；故选：CD20．【2021年新高考2卷】下列统计量中，能度量样本12,,,n x x x 的离散程度的是（）A ．样本12,,,n x x x 的标准差B ．样本12,,,n x x x 的中位数C ．样本12,,,n x x x 的极差D ．样本12,,,n x x x 的平均数【答案】AC【解析】【分析】考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项.【详解】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故选：AC.21．【2020年新高考1卷（山东卷）】信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ，且1()0(1,2,,),1ni i i P X i p i n p ===>==∑ ，定义X 的信息熵21()log n i i i H X p p ==-∑.（）A ．若n =1，则H (X )=0B ．若n =2，则H (X )随着1p 的增大而增大C ．若1(1,2,,)i p i n n == ，则H (X )随着n 的增大而增大D ．若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+= ，则H (X )≤H (Y )【答案】AC【解析】【分析】对于A 选项，求得()H X ，由此判断出A 选项；对于B 选项，利用特殊值法进行排除；对于C 选项，计算出()H X ，利用对数函数的性质可判断出C 选项；对于D 选项，计算出()(),H X H Y ，利用基本不等式和对数函数的性质判断出D 选项.【详解】对于A 选项，若1n =，则11,1i p ==，所以()()21log 10H X =-⨯=，所以A 选项正确.对于B 选项，若2n =，则1,2i =，211p p =-，所以()()()121121X log 1log 1H p p p p =-⋅+-⋅-⎡⎤⎣⎦，当114p =时，()221133log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，当13p 4=时，()223311log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，两者相等，所以B 选项错误.对于C 选项，若()11,2,,i p i n n== ，则()222111log log log H X n n nn n ⎛⎫=-⋅⨯=-= ⎪⎝⎭，则()H X 随着n 的增大而增大，所以C 选项正确.对于D 选项，若2n m =，随机变量Y 的所有可能的取值为1,2,,m ，且()21j m j P Y j p p +-==+（1,2,,j m = ）.()2222111log log m m i i i i i iH X p p p p ===-⋅=⋅∑∑122221222122121111log log log log m m m mp p p p p p p p --=⋅+⋅++⋅+⋅ .()H Y =()()()122221212122211111log log log m m m m m m m m p p p p p p p p p p p p -+-++⋅+⋅+++⋅+++ 12222122212221221121111log log log log m m m m m mp p p p p p p p p p p p ---=⋅+⋅++⋅+⋅++++ 由于()01,2,,2i p i m >= ，所以2111i i m i p p p +->+，所以222111log log i i m i p p p +->+，所以222111log log i i i i m ip p p p p +-⋅>⋅+，所以()()H X H Y >，所以D 选项错误.故选：AC【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题.22．【2020年新高考2卷（海南卷）】我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是A ．这11天复工指数和复产指数均逐日增加;B ．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;C．第3天至第11天复工复产指数均超过80%;D．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;【答案】CD【解析】【分析】注意到折线图中有递减部分，可判定A错误；注意考查第1天和第11天的复工复产指数的差的大小，可判定B错误；根据图象，结合复工复产指数的意义和增量的意义可以判定CD 正确.【详解】由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A错误；由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误;由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C正确;由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D正确;【点睛】本题考查折线图表示的函数的认知与理解，考查理解能力，识图能力，推理能力，难点在于指数增量的理解与观测，属中档题.23．【2022年全国甲卷】从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．【答案】635.【解析】【分析】根据古典概型的概率公式即可求出．【详解】从正方体的8个顶点中任取4个，有=C84=70个结果，这4个点在同一个平面的有= 6+6=12个，故所求概率==1270=635．故答案为：635．24．【2022年新高考2卷】已知随机变量X服从正态分布2,2，且o2<≤2.5)=0.36，则o>2.5)=____________．【答案】0.14##750．【解析】【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出．【详解】因为∼2,2，所以<2=>2=0.5，因此>2.5=>2−2<≤2.5=0.5−0.36=0.14．故答案为：0.14．25．【2019年新课标1卷理科】甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．【答案】0.18【解析】【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是30.60.50.520.108,⨯⨯⨯=前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是220.40.60.520.072,⨯⨯⨯=综上所述，甲队以4:1获胜的概率是0.1080.0720.18.q =+=【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以4:1获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算．26．【2019年新课标2卷理科】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.【答案】0．98.【解析】【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．【详解】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2⨯+⨯+⨯=，其中高铁个数为10+20+10=40，所以该站所有高铁平均正点率约为39.20.9840=．【点睛】本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养．侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．。
2020高考数学(理)专项复习《概率统计》含答案解析
概率统计统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，为人们制定决策提供依据．概率是研究随机现象规律的学科，为人们认识客观世界提供重要的思维模式和解决问题的方法． 统计一章介绍随机抽样、样本估计总体、线性回归的基本方法，通过对典型案例的讨论，了解和使用一些常用的统计方法，进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用．概率一章介绍随机现象与概率的意义、古典概型及几何概型，学习某些离散型随机变量分布列及其期望、方差等内容，初步学会利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象的方法，并能用所学知识解决一些简单的实际问题，进一步体会概率模型的作用及运用概率思考问题的特点，初步形成用随机观念观察、分析问题的意识．§11－1 概率(一)【知识要点】1．事件与基本事件空间：随机事件：当我们在同样的条件下重复进行试验时，有的结果始终不会发生，它称为不可能事件；有的结果在每次试验中一定会发生，它称为必然事件；在试验中可能发生也可能不发生的结果称为随机事件，随机事件简称为事件．基本事件与基本事件空间：在一次试验中我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果，它们是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描述，这样的事件称为基本事件．所有基本事件构成的集合叫做基本事件空间，常用 表示．2．频率与概率频率：在相同的条件S 下，重复n 次试验，观察某个事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 的出现次数m 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例nm 为事件A 出现的频率． 概率：一般的，在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率nm ，当n 很大时总是在某个常数附近摆动，随着n 的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记做P (A )．显然有0≤P (A )≤1．不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，随机事件的概率在(0，1)之间．3．互斥事件的概率加法公式事件的并：由事件A 或B 至少有一个发生构成的事件C 称为事件A 与B 的并，记做C ＝A ∪B ．互斥事件：不可能同时发生的两个事件称为互斥事件．互斥事件加法公式：如果事件A 、B 互斥，则事件A ∪B 发生的概率等于这两个事件分别发生的概率和，即P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )．如果A 1，A 2，…，A n 两两互斥，那么事件A 1∪A 2∪…∪A n 发生的概率，等于这n 个事件分别发生的概率和，即P (A 1∪A 2∪…∪A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )．对立事件：不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件．事件A 的对立事件记作A ，满足P (A )＝1－P (A )．概率的一般加法公式(选学)：事件A 和B 同时发生构成的事件D ，称为事件A 与B 的交(积)，记作D ＝A ∩B ．在古典概型中，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )．4．古典概型古典概型：一次试验有下面两个特征：(1)有限性，在一次试验中可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；(2)等可能性，每个基本事件发生的可能性是均等的，则称这个试验为古典概型．古典概型的性质：对于古典概型，如果试验的n 个基本事件为A 1，A 2，…，A n ，则有P (A 1∪A 2∪…∪A n )＝1且⋅=nA P i 1)( 概率的古典定义：在古典概型中，如果试验的基本事件总数为n (Ω )，随机事件A 包含的基本事件数为n (A)，则p (A)＝试验的基本事件总数包含的基本事件数事件A ，即⋅=)()()(Ωn A n A P 5．几何概型几何概型：一次试验具有这样的特征：事件A 理解为区域Ω的一个子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A 的位置和形状无关，这样的试验称为几何概型．几何概型的特点：(1)无限性：一次试验中可能出现的结果有无穷多个；(2)等可能性，每个基本事件发生的可能性相等．几何概型中事件A 的概率定义：ΩA A P μμ=)(，其中μ Ω 表示区域Ω 的几何度量，μ A 表示子区域A 的几何度量．随机数：就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会均等．计算机随机模拟法(蒙特卡罗方法)是利用模型来研究某种现象的性质的一种有效方法，可以节约大量的人力物力．6．条件概率与事件的独立性条件概率：一般的，设A 、B 为两个事件，且P (A )＞0，称P (B ｜A )＝)()(A P B A P I 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率．一般把P (B ｜A )读作“A 发生的条件下B 发生的概率”．在古典概型中，用n (A )表示事件A 中基本事件的个数，则有P (B ｜A )＝)()(A n B A n I ．事件的独立性：设A 、B 为两个事件，如果P (B ｜A )＝P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立，并称事件A 、B 为相互独立事件．若A 、B 为两个相互独立事件，则A 与A 、A 与B 、A 与B 也都相互独立．若事件A 与事件B 相互独立，则P (A ∩B )＝P (A )·P (B )．【复习要求】1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．2．了解两个互斥事件的概率加法公式．3．理解古典概型及其概率计算公式，会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．4．了解随机数的意义，了解几何概型的意义．5．在具体情境中，了解条件概率，了解两个事件相互独立的概念及独立事件的概率乘法公式，并能解决一些简单的实际问题．【例题分析】例1(1)射中9环或10环的概率；(2)至少命中8环的概率；(3)命中不足8环的概率．【分析】射击运动员一次射击只能命中1个环数，命中不同的环数是互斥事件，射中9环或10环的概率等于射中9环与射中10环的概率和．命中不足8环所包含的事件较多，而其对立事件为“至少命中8环”，可先求其对立事件的概率，再通过P (A )＝1－P (A )求解．解：设事件“射击一次，命中k 环”为事件A k (k ∈N ，k ≤10)，则事件A k 彼此互斥．(1)记“射击一次，射中9环或10环”为事件A ，则P (A )＝P (A 10)＋P (A 9)＝0.60．(2)记“射击一次，至少命中8环”为事件B ，则P (B )＝P (A 10)＋P (A 9)＋P (A 8)＝0.78．(3)“射击一次，命中不足8环”为事件B 的对立事件，则P (B )＝1－P (B )＝0.22．【评析】解决概率问题时，要先分清所求事件由哪些事件组成，分析是否是互斥事件，再决定用哪个公式．当用互斥事件的概率加法公式解题时，要学会不重不漏的将事件拆为几个互斥事件，要善于用对立事件解题．例2 现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A 1，A 2，A 3通晓日语，B 1，B 2，B 3通晓俄语，C 1，C 2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(Ⅰ)求A 1被选中的概率；(Ⅱ)求B 1和C 1不全被选中的概率．【分析】本题是一个古典概型的问题，可以直接用概率公式)()()(Ωn A n A P =求解． 解：(Ⅰ)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 2，B 3，C 1)，(A 2，B 3，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)，(A 3，B 3，C 1)，(A 3，B 3，C 2)} 由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用M 表示“A 1恰被选中”这一事件，则M ＝｛(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)}事件M 由6个基本事件组成，因而⋅==31186)(M P(Ⅱ)用N 表示“B 1，C 1不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“B 1，C 1全被选中”这一事件， 由于N ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 1)}，事件N 由3个基本事件组成， 所以61183)(==N P ，由对立事件的概率公式得⋅=-=-=65611)(1)(N P N P 【评析】古典概型解决概率问题时，选定基本事件空间并计算其所含基本事件的个数是重要的一步．本题中选定“从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果”为基本事件空间，计算时采用列举法，也可以利用乘法计数原理计算3×3×2＝18．本题第一问还可以选定“从通晓日语的3人中选出1人的可能结果”为基本事件空间，共有3个基本事件，选出A 1只有一种可能，故所求概率为⋅31例3 一个口袋中装有大小相同的2个红球，3个黑球和4个白球，从口袋中一次摸出一个球，摸出的球不再放回．(1)连续摸球2次，求第一次摸出黑球，第二次摸出白球的概率；(2)连续摸球2次，在第一次摸到黑球的条件下，求第二次摸到白球的概率；(3)如果摸出红球，则停止摸球，求摸球次数不超过3次的概率．【分析】本题是一个古典概型问题，因为基本事件空间中所含基本事件的个数较多，宜用排列组合公式计算，当然也可利用两个计数原理计数．本题第二问是条件概率问题．做第三问时，要分为三个事件：“第一次摸到红球”，“第一次摸到不是红球，第二次摸到红球”，“前两次摸到不是红球，第三次摸到红球”，显然三个事件是互斥事件．解：(1)从袋中依次摸出2个球共有29A 种结果，第一次摸出黑球、第二次摸出白球有3×4＝12种结果，则所求概率6112291==A P (或6184931=⨯=P )． (2)设“第一次摸到黑球”为事件A ，“第二次摸到白球”为事件B ，则“第一次摸到黑球，且第二次摸到白球”为事件A ∩B ，又31)(=A P ，P (A ∩B )61=，所以或⋅==213161)|(A B P (或2184)|(==A B P )． (3)第一次摸出红球的概率为1912A A ，第二次摸出红球的概率为291217A A A ，第三次摸出红球的概率为391227A A A ，则摸球次数不超过3次的概率为⋅=++=12739122729121719122A A A A A A A A P 【评析】利用古典概型求解时，求基本事件的个数和事件发生的总数时求法要一致，若无序则都无序，若有序则都有序，分子和分母的标准要相同．在求事件个数时常用列举法(画树状图、列表、坐标系法)，有时也与排列组合联系紧密，计算时灵活多变，但要注意分类讨论，做到不重不漏．要正确识别条件概率问题，理解P (A)，P (A ∩B )，P (B ｜A )的含义．例4 (1)两根相距6米的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2米的概率是______．(2)甲乙两人约定在6点到7点之间在某处会面，并约好先到者等候另一人一刻钟，过时即可离去．则两人能会面的概率是______．(3)正方体内有一个内切球，则在正方体内任取一点，这个点在球内的概率为______．【分析】这三个题都可转化为几何概率问题求解．分别转化为线段长度、图形面积、几何体体积问题求解．解：(1)本题可转化为：“在长为6m 的线段上随机取点，恰好落在2m 到4m 间的概率为多少?” 易求得⋅=31P (2)本题可转化为面积问题：即“阴影部分面积占总面积的多少?”， 解得⋅=167)(A P (3)本题可转化为体积问题：即“内切球的体积与正方体体积之比是多少?”．解得⋅=6πP 【评析】几何概型也是一种概率模型，它具有等可能性和无限性两个特点．解题的关键是要建立模型，将实际问题转化为几何概率问题．基本步骤是：把基本事件空间转化为与之对应的区域Ω；把随机事件A 转化为与之对应的区域A ；利用概率公式)()()(ΩA A P μμ=计算．常用的几何度量包括：长度、面积、体积．例5 设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0．(Ⅰ)若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(Ⅱ)若a 是从区间[0，3］任取的一个数，b 是从区间[0，2］任取的一个数，求上述方程有实根的概率．【分析】本题第一问是古典概型问题，第二问由于a 、b 在实数区间选取，可以转化为几何概型问题求解．解：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b ．(Ⅰ)基本事件共12个：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为⋅==43129)(A P (Ⅱ)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )｜0≤a ≤3，0≤b ≤2}．构成事件A 的区域为{(a ，b )｜0≤a ≤3，0≤b ≤2，a ≥b ｝．所以所求的概率为⋅=⨯⨯-⨯=3223221232 【评析】几何概型与古典概型的每个基本事件发生的可能性是均等的，只是几何概型的基本事件有无限个，而古典概型的基本事件有有限个．在具体问题中，不能因为古典概型的基本事件的个数多而误认为是几何概型．例6 如图，用A 、B 、C 三类不同的元件连结成两个系统N 1、N 2，当元件A 、B 、C 都正常工作时，系统N 1正常工作；当元件A 正常工作且元件B 、C 至少有一个正常工作时，系统N 2正常工作，已知元件A 、B 、C 正常工作的概率为0.80、0.90、0.90，分别求系统N 1、N 2正常工作的概率．【分析】三个元件能否正常工作相互独立．当元件A 、B 、C 同时正常工作时，系统N 1正常工作；当元件A 正常工作且元件B 、C 至少有一个正常工作时，系统N 2正常工作，而B 、C 至少有一个正常工作的概率可通过其对立事件计算．解：设元件A 、B 、C 正常工作为事件A 、B 、C ，则P (A )＝0.8，P (B)＝0.9，P (C)＝0.9，且事件A 、B 、C 相互独立．(1)系统N 1正常工作的概率为p 1＝P (A ·B ·C )＝P (A )·P (B )·P (C )＝0.80×0.90×0.90＝0.648．(2)元件B 、C 至少有一个正常工作的概率为1－P (B ·C )＝1－P (B )·P (C )＝1－0.1×0.1＝0.99，所以系统N 2正常工作的概率为p 2＝P (A )·(1－P (B ·C ))＝0.80×0.99＝0.792．【评析】本题以串、并联为背景，重点在正确理解题意．在计算几个事件同时发生的概率时，要先判断各个事件之间是否相互独立．独立事件、互斥事件、对立事件的概率各有要求，要依据题目特点，巧妙地选用相关方法．例7 每次抛掷一枚质地均匀的骰子(六个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6)．(1)连续抛掷3次，求向上的点数之和为3的倍数的概率；(2)连续抛掷6次，求向上的点数为奇数且恰好出现4次的概率．【分析】向上点数之和为3的倍数共有6种情况，计数时要不重不漏；向上点数为奇数的概率为21，连续抛掷6次是独立重复试验． 解：(1)向上的点数之和为3的结果有1种情况，为6的结果共10种情况，为9的结果共25种情况，为12的结果共25种情况，为15的结果共10种情况，为18的结果共1种情况．所以⋅=⨯⨯+++++=3166611025251012P(2)因为每次抛掷骰子，向上的点数为奇数的概率为P ＝21， 根据独立重复试验概率公式有⋅==⋅⋅6415)21()21(24463C P 【评析】独立重复试验是一类重要的概率问题，要善于分析模型的特点，正确合理的解题．例8 某学校进行交通安全教育，设计了如下游戏，如图，一辆车模要直行通过十字路口，此时前方交通灯为红灯，且该车模前面已有4辆车模依次在同一车道上排队等候(该车道只可以直行或左转行驶)．已知每辆车模直行的概率是53，左转行驶的概率是52，该路口红绿灯转换间隔时间均为1分钟．假设该车道上一辆直行去东向的车模驶出停车线需要10秒钟，一辆左转去北向的车模驶出停车线需要20秒钟，求：(1)前4辆车模中恰有2辆车左转行驶的概率；(2)该车模在第一次绿灯亮起时的1分钟内通过该路口的概率(汽车驶出停车线就算通过路口)．【分析】该车模1分钟内通过路口包含2种情况：4辆车都直行，3辆车直行1辆车左转．解：(1)设前4辆车模中恰有2辆左转行驶为事件A ，则⋅=⨯=625216)52()53()(2224C A P (2)设该车在第一次绿灯亮起时的1分钟内通过该路口为事件B ，其中4辆车模均 直行通过路口为事件B 1，3辆直行1辆左转为事件B 2，则事件B 1、B 2互斥．=+=+=)()()()(2121B B P B B P B P ⋅=⨯+62529752)53()53(334444C C 【评析】善于从复杂的背景中发现线索，体会其实质．善于转化问题的叙述，恰当的分类．练习11－1一、选择题1．下列随机事件的频率和概率的关系中哪个是正确的( )A ．频率就是概率B ．频率是客观存在的，与试验次数无关C ．随着试验次数增加，频率一般会越来越接近概率D ．概率是随机的，在试验前不能确定2．从装有2个黑球2个白球的口袋中任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A ．至少有一个白球，都是白球B ．至少有一个白球，至少有一个红球C ．恰有一个白球，恰有两个白球D ．至少有一个白球，都是红球3．独立工作的两套报警系统遇危险报警的概率均为0.4，则遇危险时至少有一套报警系统报警的概率是( )A ．0.16B ．0.36C ．0.48D ．0.644．考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于( )A ．751B ．752C ．753D ．754 二、填空题5．甲、乙二人掷同一枚骰子各一次．如果谁掷的点数大谁就取胜，则甲取胜的概率为______．6．设每门高射炮命中飞机的概率都是0.6．今有一敌机来犯，要有99％的把握击中敌机，至少需要______门高射炮．7．在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中概率为______．8．一个口袋中有4个白球，2个黑球．有放回的取出3个球，如果第一次取出的是白球，则第三次取出的是黑球的概率为______；不放回的取出3个球，在第一次取出的是白球的条件下，第二次取出的是黑球的概率为______．三、解答题9．已知集合A ＝{－4．－2，0，1，3，5｝，在平面直角坐标系中点M (x ，y )的坐标满足x ∈A ，y ∈A ．计算：(1)点M 恰在第二象限的概率；(2)点M 不在x 轴上的概率；(3)点M 恰好落在区域⎪⎩⎪⎨⎧>>>-+0008y x y x 上的概率．10．某个高中研究性学习小组共有9名学生，其中有3名男生和6名女生．在研究学习过程中，要进行两次汇报活动(即开题汇报和结题汇报)，每次汇报都从这9名学生中随机选1人作为代表发言．设每人每次被选中与否均互不影响；(1)求两次汇报活动都是由小组成员甲发言的概率；(2)求男生发言次数不少于女生发言次数的概率．11．3名志愿者在10月1日至10月5日期间参加社区服务工作，若每名志愿者在这5天中任选两天参加社区服务工作，且各名志愿者的选择互不影响．求(1)这3名志愿者中在10月1日都参加社区服务工作的概率；(2)这3名志愿者中在10月1日至多有1人参加社区服务工作的概率．§11－2 概率(二)【知识要点】1．离散型随机变量及其分布列随机变量：如果随机试验的可能结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X 叫做一个随机变量．如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：设离散型随机变量X 的可能取值为x 1，x 2，…，x n ，X 取到i i ii 12＋…＋p n ＝1．离散型随机变量在某个范围取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率和．其中0＜p ＜1，q ＝1－，则称离散型随机变量服从参数为p 的二点分布．二项分布：一般的，在相同条件下重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，称为n 次独立重复试验．在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为==)(k X P k n k k n q p C -(其中p 为在一次试验中事件A 发生的概率，q ＝1－p ，k ＝0，1，…，n ).若将n次独立重复试验中事件A 发生的次数设为X ，则X 的分布列为超几何分布：一般的，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件(n ≤N )，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为m C C C m X P n Nm n M N m M ≤==--0()(≤l ，其中l 为n 和M中较小的一个)．我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N 、M 、n 的超几何分布．2．随机变量的数字特征及正态分布1122i i n n 了离散型随机变量的平均取值水平．称i i n i p X E xX D ⋅-=∑=21))(()(为随机变量X 的方差，它反映了离散型随机变量X 相对于期望的平均波动大小(或说离散程度)，其算数平方根)(X D 为随机变量X 的标准差，记作σ (X )，方差(或标准差)越小表明X 的取值相对于期望越集中，否则越分散．均值与方差的性质：①E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ②D (aX ＋b )＝a 2D (X )若X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝pq ；若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝npq ． 正态曲线：函数),((21)(222)(+∞∝-∈=--x e x x σμσπϕ，其中μ ∈R ，σ ＞0)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．其特点有：①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交；②曲线是单峰的，关于x ＝μ 对称；③曲线在x ＝μ 处达到峰值σ2π1；④曲线与x 轴之间的面积为1；⑤当σ 一定时，曲线随着μ 的变化而沿x 轴平移；⑥当μ 一定时，曲线的形状由σ 决定．σ 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．正态分布：如果对于任意实数a ＜b ，随机变量X 满足=≤<)(b X a P dx x ba )(ϕ⎰，则称X 的分布为正态分布；随机变量X 服从参数μ 、σ 的正态分布，记作N ～(μ ，σ 2)．正态分布的三个常用数据：①P (μ －σ ＜X ＜μ ＋σ )＝68.3％；②P (μ －2σ ＜X ＜μ ＋2σ )＝95.4％；③P (μ －3σ ＜X ＜μ ＋3σ )＝99.7％．【复习要求】①在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性．②通过实例，理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．③通过实例，理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题． ④通过实例，理解取有限值的离散型随机变量期望、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的期望、方差，并能解决一些实际问题．⑤通过实际问题，认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【例题分析】例1 一袋中装有编号为1、2、3、4、5、6的6个大小相同的小球，现从中随机取出3个球，以X 表示取出球的最大号码，(1)求X 的分布列；(2)求X ＞4的概率；(3)求E (X )．【分析】随机变量X 可能取的值为3、4、5、6，应用古典概型求得X 取每一个值的概率，就可以写出分布列．解：(1)随机变量X 可能取的值为3、4、5、6，且,203)4(,2011)3(362336======C C X P C X P 3624)5(C C X P ==103206==，212010)6(3625====C C X P ，所求X 的分布列为(2)==+==>)6()5()4(X P X P X P ⋅54 (3).25.5216103520342013)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E 【评析】离散型随机变量的分布列反映了一次试验的所有可能结果(X 的所有可能取值)，以及取得每个结果(X 的每一个值)的概率．书写分布列首先要根据具体情况正确分析X 可取的所有值，然后利用排列组合及概率的有关知识求得每个x i 所对应的概率p i ，最后列成表格．要注意不同的X 值所对应的事件之间是互斥的，求离散型随机变量在某一范围的概率等于它取这个范围内各个值的概率和．例2 袋中装有大小相同的5个红球、5个白球，现从中任取4个球，其中所含红球的个数为X ，写出X 的分布列，并求X 的期望．【分析】袋中共有10个球，从中任取4个，所含红球的个数为0、1、2、3、4，每个事件的概率可以利用古典概型求解．解：随机变量X 可取的值有0、1、2、3、4，)0(=X P ＝,42121054104505==⋅C C C )1(=X P ＝215210504103515==⋅C C C ，)2(=X P 21102101004102525===⋅C C C ，===⋅4101535)3(C C C X P 21050 215=，4212105)4(4100545==⋅==C C C X P ， 分布列为2424213212211420)(=⨯+⨯-+⨯+⨯+⨯=X E 【评析】本题的随机变量X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布，其中N ＝10，M ＝5，n ＝4．例3 某人练习射击，每次击中目标的概率为31． (1)用X 表示击中目标的次数．①若射击1次，求X 的分布列和期望；②若射击6次，求X 的分布列和期望；(2)若他连续射击6次，设ξ为他第一次击中目标前没有击中目标的次数，求ξ的分布列；(3)他一共只有6发子弹，若击中目标，则不再射击，否则子弹打完为止，求他射击次数η 的分布列．【分析】射击问题常被看做是独立重复试验．ξ的取值为0到6，η 的取值为1到6． 解：(1)①X 服从二点分布⋅=31)(X E ②X 服从二项分布)6,,1,0()2()1()(),1,6(~66Λ===-k C k X P B k k k ，分布列为.236)(=⨯=X E (2)ξ的取值为0到6，ξ＝k (k ＝0，1，…，5)表示第k ＋1次击中目标，前k 次都没击中目标，则P (ξ＝k )＝)5,,1,0(31)32(.Λ=k k ，ξ＝6表示射击6次都未击中目标，==)6(ξP6)2(．ξ的分布列为(3)η 的取值为1到6．η ＝k (k ＝1，2，…，5)表示第k 次时第一次击中目标，==)(k P η 6;1)2(.1=-ηk 表示前5次都没有击中目标，5)2()6(==ξP ．η 的分布列为“X ＝k ”．在计算满足二点分布和二项分布的随机变量的期望和方差时，可直接应用公式计算．例4 甲乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X 和Y ，且X 和Y 的分布列为计算X 和Y 【分析】先由分布列所提供的数据用期望和方差公式计算，再根据实际意义作出分析． 解：E (X )＝8.85，D (X )＝2.2275；E (Y )＝5.6，D (Y )＝10.24．由于E (X )＞E (Y )，说明甲射击的平均水平比乙高；由于D (X )＜D (Y )，说明甲射击的环数比较集中，发挥比较稳定，乙射击的环数比较分散，技术波动较大，不稳定，由此可以看出甲比乙的技术好．【评析】正确记忆期望和方差的公式，在分布列中，期望是每个变量乘以它所对应的概率再相加，求方差要先求期望，再作差、平方、乘以相应概率再相加．科学对待计算结果，正确分析数据所表达的实际意义．例5 设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x 2＋bx ＋c ＝0实根的个数(重根按一个计)．(1)求方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率；(2)求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率；(3)若η ＝2ξ＋1，求ξ、η 的数学期望和方差；【分析】本题概率问题是古典概型，要分别求出事件中所含元素的个数，第一问事件“二次方程有实根”等价于“∆＝b 2－4c ≥0”，b 、c 的值都取自{1，2，3，4，5，6}；第二问是条件概率问题；第三问先求ξ的期望和方差，再由公式求η 的期望和方差．解：(1)由题意知：设基本事件空间为Ω，记“方程x 2＋bx ＋c ＝0没有实根”为事件A ，“方程x 2＋bx ＋c ＝0有且仅有一个实根”为事件B ，“方程x 2＋bx ＋c ＝0有两个相异实数”为事件C ，Ω中基本事件总数为36个，A 中的基本事件总数为17个，B 中的基本事件总数为2个，C 中的基本事件总数为17个．又因为B ，C 是互斥事件，故所求概率⋅=+=+=36193617362)()(C B B P P (2)记“先后两次出现的点数中有5”为事件D ，“方程x 2＋bx ＋c ＝0有实数”为事件E ，由上面分析得D P D P (,3611)(=∩367)=E ，∴⋅==117)()()|(D P E D P D E P I (Ⅱ)由题意ξ的可能取值为0，1，2，则,3617}2{,181}1{,3617}0{======&ξξξP P P 故ξ的分布列为：所以．18173617·)12(181·)11(3617·(0－0－,136172181136170222=-+-+==⨯+⨯+⨯=ξξD E 9342)12(,312)12(2==+==+=+=ξξξξηηD D D E E E 【评析】本题是一道概率的综合题，由07山东卷改编而得．在古典概型中解决条件概率问题时，概率公式是=)|(A B P )()()()(A n B A n A P B A P I I =．具有线性关系的两个随机变量的期望和方差之间的关系是b X aE b aX E +=+)()(，)()(2X D a b aX D =+．例6 (1)设两个正态分布N (μ 1，21σ)(σ 1＞0)和N (μ 2，22σ)(σ 2＞0)的密度函数图象如图所示．则有( )。
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CDBAE概率与统计专项训练一、选择题：1、4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．34２、调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系，得到下面的数据表： 你认为婴儿的性别与出生时间有关系的把握为（ ） Ａ．80% Ｂ．90% Ｃ．95% Ｄ．99%３、在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为（ ）（A ）511 （B ）681（C ）3061 （D ）40814、某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为45,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（ ） A.256625B.192625C.96625D.166255、已知样本7,8,9,,x y 的平均数是8，标准差是2，则xy 的值为（ ）Ａ、８ Ｂ、３２ Ｃ、60 Ｄ、８０6、把一根匀均匀木棒随机地按任意点拆成两段,则“其中一段的长度大于另一段长度的2倍”的概率为（ ）（Ａ）23 （Ｂ）25 （Ｃ）35 （Ｄ）137、如图，四边形ABCD 为矩形，3=AB ，1=BC ，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在圆弧DE 上任取一点P ，则直线AP 与线段BC 有公共点的概率是（ ）． （Ａ）31 （Ｂ）23 （Ｃ）25 （Ｄ）358．某学生通过计算初级水平测试的概率为21，他连续测试两次， 则恰有1次获得通过的概率为 （ ）43.41.21.31.D C B A 9．下面事件①若a 、b ∈R ，则a·b=b·a ；②某人买彩票中奖；③6+3>10；④抛一枚硬币出现正面向上，其中必然事件有 （ ） A ．① B ．② C ．③④ D ．①②10．在4次独立重复实验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率的范围是 （ ）A ．[O ．4，1]B ．(O ，0．4]C ．(O ，0．6]D ．[0．6，1)11．设袋中有8个球，其中3个白球，3个红球，2个黑球，除了颜色不同外，其余均相同．若取得1个白球得1分，取得1个红球扣1分，取得一个黑球既不得分，也不扣分，则任摸3个球后的所得总分为正分的概率为（ ）5623.289.74.5619.D C B A 12．从1、2、3、4、5中随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，则和等于9的概率为 （ ）12513.12416.12518.12519.D C B A 13．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率一分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它恰是甲射中的概率为 （ ）A ．0.45B ．0.6C ．0.65D ．0.75 14. 教某气象站天气预报的准确率为80％．则5次预报中至少有4次准确的概率为 （ ） A ，0.2 B ．0.41 C ．0.74 D ．0.6715．有一道试题，A 解决的概率为21，B 解决的概率为31,C 解决的概率为41，则A 、B 、C三人独立解答此题，只有1人解出的概率为 （）31.2417.2411.241.D C B A则两人射击成绩的稳定程度是__________________。
2、已知射手甲射击一次，命中9环（含9环）以上的概率为0.56，命中8环的概率为0.22，命中7环的概率为0.12．甲射击一次，至少命中7环的概率为3、在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶，则2K ．4、现有2008年奥运会福娃卡片5张,卡片正面分别是贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮，每张卡片大小、质地和背面图案均相同，将卡片正面朝下反扣在桌子上，从中一次随机抽出两张，抽到贝贝的概率是．5．某种植物种子发芽的概率为0.7，则4颗种子中恰好有3颗发芽的概率为 (精确到0.01)． 6．在5名学生(3男2女)中安排两名学生值日，其中至少有1名女生的概率是 ． 7．有10件产品分三个等次，其中一等品4件，二等品3件，三等品3件，从10件产品中任取2件，则取出的2件产品同等次的概率为 ．8．甲、乙两名围棋选手在一次比赛中对局，分析甲胜的概率比乙胜的概率高5％，和棋的概率为59％，则乙胜的概率为 ． 三、解答题1、在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有 100个数据，将数据分组如右表：（I ）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图；（II ）估计纤度落在[1.381.50)，中的概率及纤度小于1.40的概率约是多少2、已知函数：c bx x x f ++=2)(，其中：40,40≤≤≤≤c b ， 记函数)(x f 满足条件：⎩⎨⎧≤-≤3)1(12)2(f f 的事件为A ，求事件A 发生的概率。
3、为了研究某高校大学新生学生的视力情况，随机地抽查了该校100名进校学生的视力情况，得到频率分布直方图,如图.已知前4组的频数 从左到右依次是等比数列{}n a 的前四项，后6组的频 数从左到右依次是等差数列{}n b 的前六项． (Ⅰ)求等比数列{}n a 的通项公式;（Ⅱ)求等差数列{}n b 的通项公式；(Ⅲ)若规定视力低于5.0的学生属于近视学生,试估计该校新生的近视率μ的大小.4、某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取2组,用剩下的4组数据求线性回归方程,再用被选取的2组数据进行检验.(Ⅰ)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(Ⅱ)若选取的是1月与6月的两组数据,请根据2至5月份的数据,求出y 关于x 的线性回归方程$y bx a =+；(Ⅲ)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?(参考公式: 1122211()(),()n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y b a y bx xnxx x ====---===---∑∑∑∑)5、甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为21与p ，且乙投球2次均未命中的概率为161． （Ⅰ）求乙投球的命中率p ；（Ⅱ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；（Ⅲ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．6．甲、乙两人各进行一次射击，若两人击中目标的概率均为0.6．求： (1)两人均击中目标的概率；(2)至少有1人击中目标的概翠．7．（福建18）（本小题满分12分）三人独立破译同一份密码.已知三人各自破译出密码的概率分别为111,,,543且他们是否破译出密码互不影响. (Ⅰ)求恰有二人破译出密码的概率； (Ⅱ)“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由.8．（广东19）（本小题满分13分）某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19. （1）求x的值；（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？已知y≥245,z≥245,求初三年级中女生比男生多的概率.9．（宁夏19）（本小题满分12分）为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查．6人得分情况如下：5，6，7，8，9，10．（江西18）因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出一种拯救果树的方案，该方案需分两年实施且相互独立．该方案预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.4、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.5倍、1.25倍、1.0倍的概率分别是0.3、0.3、0.4． （1）求两年后柑桔产量恰好达到灾前产量的概率；（2）求两年后柑桔产量超过灾前产量的概率.11．（湖南16）(本小题满分12分) 甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约.甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是21，且面试是否合格互不影响.求： (Ⅰ)至少有1人面试合格的概率： (Ⅱ)没有人签约的概率.12．（辽宁18）（本小题满分12分）某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：（Ⅰ）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率； （Ⅱ）若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求 （ⅰ）4周中该种商品至少有一周的销售量为4吨的概率； （ⅱ）该种商品4周的销售量总和至少为15吨的概率．13．(山东18)（本小题满分12分）现有8名奥运会志愿者，其中志愿者123A A A ，，通晓日语，123B B B ，，通晓俄语，12C C ，通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组． （Ⅰ）求1A 被选中的概率； （Ⅱ）求1B 和1C 不全被选中的概率．14．(天津18)（本小题满分12分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p ，且乙投球2次均未命中的概率为116．（Ⅰ）求乙投球的命中率p ； （Ⅱ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；（Ⅲ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．15、（本小题满分12分）已知集合{2,0,1,3},A =-在平面直角坐标系中，点M(x,y)的坐标,x A y A ∈∈。
（1）请列出点M 的所有坐标； （2）求点M 不在x 轴上的概率；（3）求点M 正好落在区域5000x y x y +-<⎧⎪>⎨⎪>⎩上的概率。
16.已知函数a bx ax x f +-=2)(2（,a b R ∈ ）(1)若a 从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，b 从集合{0，1，2，3}中任取一个元素，求方程()0f x =恰有两个不相等实根的概率；(2)若b 从区间[0,2]中任取一个数，a 从区间[0,3]中任取一个数，求方程()0f x =没有实根的概率．概率与统计专项训练参考答案一、选择题1、C 2、B 3、B 4、C 5、C 6、A 7、A 8.B 9.A 10.A 11.A 12.A 13.D 14.C 15.B二、填空题1、甲比乙稳定解：22228,8, 1.2, 1.6,,X X X X X X s s s ====<乙乙乙甲甲甲而s 甲稳定性强2、０.9解：记“甲射击一次，命中7环以下”为事件A ，“甲射击一次，命中7环”为事件B ，由于在一次射击中，A 与B 不可能同时发生，故A 与B 是互斥事件，∵“甲射击一次，至少命中7环”为事件A ，∴)(1)(A P A P -==1－0.1＝0.9．3、16.3734、2518.0.8154.77.0.6412.0.5样本数据（Ⅱ）纤度落在[)1.381.50，中的概率约为0.300.290.100.69++=，纤度小于1.40的概率约为10.040.250.300.442++⨯=． 2、解：由⎩⎨⎧≤-≤3)1(12)2(f f ，可得：⎩⎨⎧≥-≤+282c b c b ，知满足事件A 的区域的面积为：=⨯⨯-⨯⨯-=4221222116)(a S 10，而满足所有条件的区域Ω的面积：16)(=ΩS 得：851610)()()(==Ω=S a S A P ， 答：满足事件A 的概率为85 3.解：（I ）由题意知：10.10.11001a =⨯⨯=，20.30.1100 3.a =⨯⨯=∵数列{}n a 是等比数列，∴公比213,a q a == ∴1113n n n a a q --== . (II) ∵123a a a ++=13, ∴126123100()87b b b a a a +++=-++=L ， ∵数列{}n b 是等差数列， ∴设数列{}n b 公差为d ，则得，1261615b b b b d +++=+L ∴1615b d +＝87， Q 2741==a b ，∴5-=d ， ∴n b n 532-=(III)μ=12312340.91100a a a b b b b ++++++=, (或μ=5610.91100b b+-=)答:估计该校新生近视率为91%.4、解：(Ⅰ)设抽到相邻两个月的数据为事件A.因为从6组数据中选取2组数据共有15种情况,每种情况都是等可能出现的 其中,抽到相邻两个月的数据的情况有5种 所以31155P (A)==(Ⅱ)由数据求得11,24x y == 由公式求得187b =再由307a y bx =-=-所以y 关于x 的线性回归方程为$183077y x =-(Ⅲ)当10x =时,$1507y =, 150|22|27-<； 同样, 当6x =时,$787y =, 78|14|27-< 所以,该小组所得线性回归方程是理想的.5、（Ⅰ）解法一：设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B ．由题意得()()()1611122=-=-p B P解得43=p 或45（舍去），所以乙投球的命中率为43． 解法二：设设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B ． 由题意得1()()16P B P B =，于是1()4P B =或1()4P B =-（舍去），故31()4p P B =-=．所以乙投球的命中率为34．（Ⅱ）解法一：由题设和（Ⅰ）知()()21,21==A P A P ．故甲投球2次至少命中1次的概率为()431=⋅-A A P解法二：由题设和（Ⅰ）知()()21,21==A P A P 故甲投球2次至少命中1次的概率为()()()()4312=+A P A P A P A P C（Ⅲ）由题设和（Ⅰ）知，()()()()41,43,21,21====B P B P A P A P甲、乙两人各投球2次，共命中2次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中两次，乙两次均不中；甲两次均不中，乙中2次。