2020新北师大版九年级数学上册全册总复习课件

[注意] 菱形是特殊的平行四边形，故它具有平行四边形 的一切性质．
2．菱形的判定方法 (1)有一组邻边相等的___平__行__四__边__形___是菱形； (2)对角线互相垂直的___平__行__四__边__形___是菱形； (3)四边相等的___四__边__形______是菱形．
[辨析] 四边形、平行四边形、菱形关系如图S1－1：
方法技巧
在证明一个四边形是菱形时，要注意：首先判断是平 行四边形还是任意四边形.若是任意四边形，则需证四条边 都相等；若是平行四边形，则需利用对角线互相垂直或一 组邻边相等来证明.
► 考点二 和矩形有关的折叠计算问题
例2 如图S1－3，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落 在BC边上的F点处．已知CE＝3 cm，AB＝8 cm，求图中阴影部分
[总结] 顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边 形是_菱__形_____；顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所 得的四边形是_矩__形_____．
┃考点攻略┃
► 考点一 菱形的性质和判定
例1 如图S1－2，菱形ABCD的对角线
AC与BD相交于点O，点E，F分别为边AB， AD的中点，连接EF，OE，OF.求证：四 边形AEOF是菱形．
ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般 形式，其中ax2，bx，c分别称为 二次项 、 一次项 和常数 项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数．
3．直接开平方法
直接开平方法的理论依据是平方根的定义．直接开平方法适用 于解形如(x＋a)2＝b(b≥0)的一元二次方程，根据平方根的定义 可知x＋a是b的平方根，当b≥0时，x＝ －a± b；当b＜0时，方 程没有实数根．
①把一元二次方程化成一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)；
②确定a，b，c的值；
③求b2－4ac的值；
④当b2－4ac≥0时，则将a，b，c及b2－4ac的值代入求根公式求 出方程的根，若b2－4ac＜0，则方程无实数根．
6．用分解因式法解一元二次方程的一般步骤 (1)将方程变形为右边是0的形式； (2)将方程左边分解因式； (3)令方程左边的每个因式为0，转化成两个一次方程； (4)分别解这两个一次方程，它们的解就是原方程的解．
► 考点二 用分解因式法解方程 例2 用分解因式法解方程：(x－3)2＋3－x＝0. [解析] 经过变形后可用提取公因式法分解因式． 解：原方程变形为(x－3)2－(x－3)＝0， (x－3)(x－3－1)＝0， 即(x－3)(x－4)＝0， x－3＝0或x－4＝0， ∴x1＝3，x2＝4.
方法技巧 当一元二次方程的一边为 0，而另一边易于分解成两个一次因 式的乘积时，我们可以利用因式分解法解一元二次方程．用式子表 示：若 a·b＝0，则 a＝0 或 b＝0，反之也成立．有时遇到解高次方 程时，也可以利用这种方式降次．如 x4－16＝0，则(x2＋4)(x＋2)(x －2)＝0，其左边是三个因式，其中有一个二次的因式，其余两个 是一次的因式．分解因式法把一个一元二次方程化为两个一元一次 方程来解，体现了一种“降次”的思想．
[解析] 由点E，F分别为边AB，AD的 中 点 ， 可 知 OE∥AD ， OF∥AB ， 而 AE ＝ AF ， 故四边形AEOF是菱形．
证明：∵点E，F分别为AB，AD的中点， ∴AE＝12AB，AF＝12AD. ∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD， ∴AE＝AF. 又∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O， ∴O为BDL 的中点， ∴OE，OF是△ABD的中位线， ∴OE∥AD，OF∥AB，即四边形AEOF是平行四边形． 又∵AE＝AF，∴四边形AEOF是菱形．
4．配方法
(1) 配 方 法 的 基 本 思 想 ： 转 化 思 想 ， 把 方 程 转 化 成 (x ＋ a)2 ＝ b(b≥0)的形式，这样原方程的一边就转化为一个完全平方式， 然后两边同时开平方．
(2)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①化二次项系数为1； ②含未知数的项放在一边，常数项放在另一边；
(2)有一组邻边相等的__矩__形____是正方形； (3)有一个角是直角的___菱__形___是正方形．
[注意] 矩形、菱形、正方形都是平行四边形，且是特殊的 平行四边形．矩形是有一个内角为直角的平行四边形；菱形是 有一组邻边相等的平行四边形；正方形既是矩形，又是菱形．
8．中点四边形 中点四边形就是连接四边形各边中点所得的四边形，我们 可以得到下面的结论： (1)顺次连接四边形四边中点所得的四边形是_平__行__四__边__形___ (2)顺次连接矩形四边中点所得的四边形是_菱__形_____． (3)顺次连接菱形四边中点所得的四边形是__矩__形____． (4)顺次连接正方形四边中点所得的四边形是__正__方__形____． (5)顺次连接等腰梯形四边中点所得的四边形是__菱__形____．
(3)正方形的四个角都是_直__角_____； (4)正方形的对角线相等、互相垂直、互相平分，每条对角 线平分一组对角； (5)正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴有 ___四_____条，对称中心是对角线的交点．
7．正方形的判定
(1)有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫 做正方形；
(4)矩形的四个角都是直角(或矩形的四个角相等)； (5)矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的___等__腰____三 角形；
(6)矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴有__两___ 条，对称中心是对角线的交点．
(7)矩形的面积等于两邻边的___乘__积____．
[注意] 利用“矩形的对角线相等且互相平分”这一性质可 以得出直角三角形的一个常用的性质：直角三角形斜边上的中 线等于斜边长的____一__半____．
2020新北师大版九年级上册
期末总复习典型题
CONTEN
目T录
第一章 特殊的平行四边形
第二章 一元二次方程 第三章 概率的进一步认识
第四章 图形的相似 第五章 投影与视图
第六章 反比例函数
第一章 特殊的平行四边形
┃知识归纳┃
1．菱形的定义和性质
(1)定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． (2)性质：①菱形的四条边都____相_等______；②菱形的对角线互 相___垂__直__平__分_____，并且每一条对角线平分一组对角；③菱形 是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点；菱形也 是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴．
x1·x2＝ac.
9．列方程解应用题的一般步骤 (1)审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系． (2)设元：就是设未知数，分直接设与间接设，应根据实际需要 恰当选取设元法． (3)列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系．列方程 这一环节最重要，决定着能否顺利解决实际问题． (4)解方程：正确求出方程的解并注意检验其合理性． (5)作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语．
[解析] 连接AP，AE，由正方形关于对角线对称将PC转移到 PA，要求PE与PC和的最小值即求PE与PA和的最小值，易知当P在 AE上时，PA＋PE最小．
解：连接AP，AE，如图S1－5.
∵正方形 ABCD 关于 BD 对称，∴PA＝PC. 在△PAE 中，PA＋PE＞AE， 当 P 在 AE 上时，PA＋PE 最小，且等于 AE.
► 考点三 用公式法解方程 例3 用公式法解方程：x2＋x－1＝0.
[解析] 用公式法解方程时应先把一元二次方程化为一般形式， 再确定a，b，c的值．
解：a＝1，b＝1，c＝－1，b2－4ac＝12－4×1×(－1)＝5＞0，
－b± b2－4ac －1± 5
∴x＝
2a
＝ 2×1 .
－1＋ 5
－1－ 5
5．矩形的判定 (1)有一个角是直角的__平__行__四__边__形___是矩形； (2)有三个角是直角的___四__边__形____是矩形； (3)对角线相等的__平__行__四__边__形____是矩形．
6．正方形的性质
(1)正方形的对边平__行_______； (2)正方形的四边_相__等______；
3．菱形的面积
(1)由于菱形是平行四边形，所以菱形的面积＝底×高；
(2)因为菱形的对角线互相垂直平分，所以其对角线将菱形 分成4个全等的三角形，故菱形的面积等于两对角线乘积的一 半．
4．矩形的性质 (1)矩形的对边_平__行__且__相__等______； (2)矩形的对角__相__等_______； (3)矩形的对角线__互__相__平__分____、__相__等______；
③配方，方程两边同时加上 一次项系数一半的平方 ，并写成 (x＋a)2＝b的形式，若b≥0，直接开平方求出方程的根．
5．公式法
(1) 一 元 二 次 方 程 ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0(b2 － 4ac≥0) 的 求 根 公 式 ： x ＝ －b± b2－4ac
__________2_a____________________________. (2)用公式法解一元二次方程的一般步骤：
的面积．
[解析] 要求阴影部分的面积，由于阴 影部分由两个直角三角形构成，所以只要 根据勾股定理求出直角三角形的直角边即 可．
解：由已知，得 EF＝DE＝5 cm，由勾股定理，得 CF＝ 52－32 ＝4 (cm)，设 BF＝x，则 AF＝AD＝BC＝x＋4，
在 Rt△ABF 中，由勾股定理，得 82＋x2＝(x＋4)2， 解得 x＝6， 所以阴影部分的面积为12×6×8＋12×4×3＝30(cm2)．
∴x1＝ 2 ，x2＝ 2 .
方法技巧 根据公式法，我们可以利用 b2－4ac 的值判断一元二次方程根 的情况：当 b2－4ac>0 时，方程有两个不相等的实数根；当 b2－4ac ＝0 时，方程有两个相等的实数根；当 b2－4ac＜0 时，方程无实数 根．反之，知道一元二次方程根的情况，也可以判断 b2－4ac 的符 号．
┃考点攻略┃
► 考点一 用配方法解方程 例1 用配方法解方程：3x2＋4x－4＝0.
[解析] 用配方法解一元二次方程，关键的一步是将二次项系 数已化为1的方程的两边加上一次项系数一半的平方，转化为(x ＋m)2＝n的形式，当n≥0时，直接开平方求得方程的根．
解：把方程的各项都除以 3，得 x2＋43x－34＝0，即 x2＋34x＝43. 配方，得 x2＋43x＋232＝43＋232， 即x＋232＝196. 解这个方程，得 x＋32＝±34， 即 x1＝32，x2＝－2.
在 Rt△ABE 中，AE＝ AB2＋BE2＝ 52＋32＝ 34， ∴PA＋PE 的最小值为 34.即 PE 与 PC 的长度和的最小 值为 34.
方法技巧 正方形是一种特殊的四边形，它里面隐含着许多线段之间的 关系或角之间的关系，我们要充分利用正方形的特性，结合 图形大胆地探索、归纳、验证即可使问题获解.
第二章 一元二次方程
┃知识归纳┃
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1．一元二次方程
只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为
ax2＋bx＋c＝0
(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的
方程叫做一元二次方程．
[注意] 定义应注意四点：(1)含有一个未知数；(2)未知数的最高 次数为2；(3)二次项系数不为0；(4)整式方程．
2．一元二次方程的一般形式
7．一元二次方程根的判别式 对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)． 当 Δ＝b2－4ac>0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 Δ＝b2－4ac＝0 时，方程有两个相等的实数根； 当 Δ＝b2－4ac<0 时，方程没有实数根． 反之，结论也成立．
8．一元二次方程根与系数的关系 若 x1，x2 是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根， 则x1＋x2＝－ba，
方法技巧
矩形的折叠问题，一般是关于面积等方面的计算问题，主要 考查同学们的逻辑思维能力和空间想象能力.解决与矩形折叠有 关的面积问题，关键是将轴对称的特征、勾股定理以及矩形的有 关性质结合起来
► 考点三 和正方形有关的探索性问题
例3 如图S1－4，在正方形ABCD中，点E在BC上，BE＝3，
CE＝2，点P在BD上，求PE与PC的长度和的最小值．