重庆市九校联盟高二上学期期中考试数学试题
重庆市九校联盟高二上学期期中考试数 学 试 题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分） 1.若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比为（ ）A ．1:2B ．1:4C ．1:8D ．1:162．直线30x y a +-=的倾斜角为（ ）A ．56π B ．6πC ．3πD ．23π3.ABC ∆的斜二测直观图如图所示，则ABC ∆的面积为( )A ．22B.1C.2 D .2 4. 对于任意的直线l 与平面a,在平面a 内必有直线m,使m 与l ( )A.平行B. 垂直C. 相交D.互为异面直线 5.已知ab ＜0，bc ＜0，则直线ax ＋by ＝c 通过( ) A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限6.直线12:310,:2(1)10l ax y l x a y ++=+++=，若12//l l ,则a =（ ）A ．-3B ．2C ．-3或2D ．3或-27．一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm), 则此几何体的表面积是（ ）A ．2(2042)cm +B ．221cmC ．2(2442)cm +D ．224cm 8.过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是 ( ) A.x+2y-5=0 B.2x+y-4=0 C.x+3y-7=0 D.x-2y+3=09.如右题图所示，在正四棱锥S ABCD -中，,,E M N 分别是,,BC CD SC 的中点，动点P 在线段MN 上运动时，下列结论中不恒成立的是( ) A. EP ∥BD B. EP ∥面SBDDCB AMNS EC. EP ⊥ACD. EP 与SD 异面10. 直线L 过点(3,3)B ，若(1,2)A 到直线L 的距离为2，则直线L 的方程为（ ）A ．3y =或 34210x y +-=B ．34210x y +-=C ．3x =或 34210x y +-= D. 3x =11.三棱锥P ABC -的四个顶点均在半径为2的球面上,且23AB BC CA ===，平面PAB ⊥平面ABC ，则三棱锥P ABC -的体积的最大值为（ ）A ．4B ．3C ．43D ．3212.如右题图所示，正方体1AC 的棱长为1，过点A 作平面1A BD 的垂线，垂足为点H ，则下列命题正确的是( )①AH ⊥平面11CB D ②11=3AH AC ③点H 是1A BD ∆的垂心 ④AH //平面1BDCA. ①②④B. ②③④C. ①②③D. ①③④二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.两直线330x y +-=与6210x y +-=之间的距离为 .14.已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视 图、侧视图、俯视图均如右图所示，且图中的四边形是边长为2的正方 形，则该球的表面积是_______ 。
15. 当a 取不同实数时，直线(2)(1)360a x a y a ++-+-=恒过一个定点，这个定点的坐标为 。
16.函数2)(1-=-x a x f )1,0(≠>a a 的图象恒过定点A ，若点A 在直线01=--ny mx 上，其中0,0>>n m ，则nm 21+的最小值为 。
111C B A ABC -11B BCC B A C B 11⊥111BC A C AB 平面⊥11C A CD B A 11B//平面11:DC D A 三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，其余每题12分，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤）17.（10分）在△ABC 中，已知A (5,-2)，B (7,3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求：(1)顶点C 的坐标； (2)直线MN 的方程；18.（12分）如图，棱柱 的侧面 是菱形， 。
（1）证明：平面； （2）设D 是 上的点且 ，求 的值。
ABCDEP19.(12分)已知点(1,1)A ，(2,2)B ，)0,4(C ,)516,512(D ，点P 在线段CD 垂直平分线上，求 （1）求线段CD 垂直平分线方程。
（2）求使22PB PA +取得最小值时P 点的坐标。
20.（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，90DAB ∠=，//AD BC ，面PAB ⊥面ABCD ，△PAB 是等边三角形，2DA AB ==， 12BC AD =，E 是线段AB 的中点． (1)求四棱锥P ABCD -的体积； (2)求PC 与平面PDE 所成角的正弦值．21.（12分）如图所示，已知四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是直角梯形，BC AB BC AD ⊥,//，2,1===BC AD AB ，⊥PB 平面ABCD ，1=PB .（1）求异面直线PA 与CD 所成角的大小； （2）（文科生做）求四棱锥P ABCD -的表面积；（3）（理科生做）求二面角B PD A --的大小；22.（12分）已知直线L 与两条平行直线063=-+y x 和033=++y x 分别相交于M 、N 两点，且直线L 过点A （1，0）。
（1）若3MN =，求直线L 的方程。
（2）求证：MA NA的值为定值。
参考答案1.C2.A 3D 4.B 5.C 6.A 7.A 8.A 9.A 10.C 11.B 12.C 13.10414.12π 15.()1,4- 16. 223+ 17.解： (1)设C (x 0，y 0)，则AC 中点M ，BC 中点N ，….3分∵M 在y 轴上，∴=0，x 0=-5。
……..4分∵N 在x 轴上，∴=0，y 0=-3。
.即C (-5,-3)。
………….6分(2)∵M ，N (1,0)，∴直线MN 的方程为=1，即5x-2y-5=0………4分.18. （1）∵四边形11BCC B 是菱形 ∴1CB ⊥1BC ……………………2分 又∵B A C B 11⊥∴1CB ⊥平面11A BC ………………4分 ∴平面111BC A C AB 平面⊥………6分（2）若1CB 与1BC 相交于O ，连接DO …………7分 ∵CD B A 11B//平面 ∴1//A B DO …………9分又∵O 为1BC 的中点 ∴D 为11AC 的中点………11分 ∴11:DC D A 的值为1……………………12分 19.（1）线段CD 中点为M 168,55⎛⎫⎪⎝⎭，2CD K =-，………………..2分 ∴线段CD 垂直平分线的斜率为12………………….4分ABCDEP∴线段CD 垂直平分线方程为：8116525y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即20x y -=……….6分 （2）设()2,P t t ，……………..7分 则()()()()2222222211222101810PAPBt t t t t t +=-+-+-+-=-+…..9分当910t =时，22PA PB +取得最小值，即P 99,510⎛⎫ ⎪⎝⎭…………12分 20.解：(1)由△PAB 是等边三角形，E 是线段AB 的中点． 所以PE ⊥AB,面PAB ⊥面ABCD 知：PE ⊥平面ABCD ，…… 3分 所以PE 是四棱锥P ABCD -高．由2DA AB ==，12BC AD =，可得1BC =．因为△PAB 是等边三角形，可求得3PE =． 所以111(12)233332P ABCD ABCD V S PE -=⋅=⨯+⨯⨯=．………6分 （2）过C 做CM ⊥DE 于M ，连接CE 、PM所以∠CPM 就为直线PC 在平面PED 上所成的角。
………8分 因为()11135,12*2*1*1*2*12222CDEDE S ∆==+--= 所以3135*5,225CM CM ==，而235PC =+=………10分所以3sin 5CPM ∠=………12分 21（1）取BC 的中点F ，连接AF 交BD 于E ，连接PF在梯形ABCD 中，AF ∥CD ，则∠FAP 为异面直线PA 与CD 所成角…………..2分 在△PFA 中，2,2,2AF PF PA ===则∠FAP=3π，∴异面直线PA 与CD 所成角为3π………………………………5分（2）（文科做）在梯形ABCD 中，易求CD=2，BD=2，PD=3 PA=2……7分 ∵BC=2∴CD ⊥BD ∵PB ⊥平面ABCD ∴PB ⊥CD ∴CD ⊥平面PCD∴CD ⊥PD ∴62PCD S ∆=……………………9分 又∵DA//BC BC ⊥AB PB ⊥平面ABCD ∴,,PAD PBA PCD ∆∆∆都为直角三角形 ∴21,,1,22PAD PAB PBC S S S ∆∆∆=== ∵梯形ABCD 3=2S …………………………………………..11分 ∴四棱锥P ABCD -的表面积为：26+22+21+1+23=2626++………..12分（3）（理科做）连接AF 交BD 于E ，过E 作EG ⊥PD 于G ，连接AG ∵PB ⊥平面ABCD∴平面PBD ⊥平面ABCD ……………………………………7分 在菱形ABFD 中，AE ⊥BD ，则AE ⊥平面PBD ∵BG ⊥PD ∴AG ⊥PD∴∠AGE 为二面角A-PD-B 的平面角……………………10分 在△AGE 中，26,,26AE EG ==则tan 3AEAGE BG ∠==所以tan 3AGE π∠=，故二面角A-PD-B 的大小为3π………….12分22.解：（1）若L 的斜率不存在，方程为：1x = 则()()1,3,1,6;9M N MN-=，与题意不符……………………….2分若L 的斜率存在，则设L 的方程为：(1)y k x =-由(1),360y k x x y ⎧=-⎨+-=⎩可得63,33k k M k k ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭同理渴求36,33k k N k k ⎛⎫--⎪++⎝⎭，………………………………………4分因为3MN =，所以2299933kk k ⎛⎫⎛⎫+= ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭； 0k =或34k =；所以L 的方程为：3430x y --=或0y =………6分 （2）由（1）题可知：斜率不存在时3162MA NA==…………….8分 斜率存在时2222222263331333312366613333k kkMA k k k k NAk k k k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---++ ⎪ ⎪⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭综上述：MA NA的值为定值12………………..12分。
重庆市名校联盟度高二上学期期中考试(高)数学-答案
数学参考答案·第1页（共9页）重庆市名校联盟2021−2022学年度第一次联合考试数学试题参考答案（高2023届）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 DAABACCB【解析】1．∵N 为BC 的中点，点M 在线段OA 上，且2OM MA =，且OA a OB b OC c ===，，，11111()()33222MA OA a AB OB OA b a BN BC OC OB c b ===-=-==-=- ∴，，，MN MA = ∴11211()32322AB BN a b a c b a b c ++=+-+-=-++，故选D ．2．直线360x +-=的方程转换为y =+，所以tan θ=，由于(0π)θ∈，，所以2π3θ=，故选A ． 3．因为直线l 1：10mx y +-=与直线l 2：10x my +-=相互垂直，所以110m m ⨯+⨯=，解得0m =，即实数m 的值是0，故选A ．4．因为倾斜角为45°，所以直线的斜率为tan 451k =︒=，又在y 轴上的截距为2021，所以所求直线的方程为2021y x =+，即20210x y -+=，故选B ． 5．如图1，由圆C的方程可得圆心坐标(55)C ，，半径2r =，设A 点关于x 轴对称点(33)A '--，，连接A C '交x 轴于Q 点，交圆C 于P 点，则A 'P 为所求的最短距离，证明如下：任取x 轴上一点Q ，则AQ QP A Q QP A P ''+=+≥，当且仅当A '，Q ，P 三点共线时取等号，所以22A P A C r ''=-==-，故选A ．图1数学参考答案·第2页（共9页）6．∵两条异面直线的方向向量分别是(312)(321)u v =-=-- ，，，，，，33(1)u v =⨯+-⨯∴(2)2(1)9||u -+⨯-=== ，，||v ==，又两条异面直线所成的角为θ，则||9cos |cos |14||||u v u v u v θ====〈，〉，故选C ． 7．∵⊙O 的圆心是坐标原点O ，且被直线0x +=截得的弦长为6，设⊙O 的方程为222x y r +=，则弦心距为22262d r ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，解得212r =，可得圆的标准方程为2212x y +=，故选C ．8．∵原点O 分别为AB 和F 1F 2的中点，∴四边形AF 1BF 2为平行四边形，又12||||AB F F =∵，∴四边形AF 1BF 2为矩形，∵四边形AF 1BF 2的面积为6，12||||6AF AF =∴，又2222221212121212||||||16||||||24||||2||||AF AF F F AF AF a a AF AF AF AF +==-==+-=∵，，∴ 16124-=，解得222213a b c a ==-=，∴，故双曲线的方程为2213y x -=，故选B ． 二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）题号 9 10 11 12 答案ACBCDABAD【解析】9．对于A ，因为111345OM OA OB OC =++ ，且1111345++≠，利用平面向量基本定理可知：点M 不在平面ABC 内，向量MA MB MC，，能构成一个空间基底；对于B ，因为2MA MB MC =+，利用平面向量基本定理可知：向量MA MB MC ，，共面，不能构成一个空间基底；对于C ，由231231OM OA OB OC =++++≠，，利用平面向量基本定理和空间平行六面体法可知：OM 是以点O 为顶点的对角线，向量MAMB MC，，能构成一个空间基底；对于D ，由32MA MB MC =-，根据平面向量的基本定理可知：向量MA MB MC ，，共面，不能构成空间的一个基底，故选AC ．数学参考答案·第3页（共9页）10．直线l ：20kx y k -+=，即(2)0k x y +-=，则直线恒过定点(20)-，，故A 错误；当2k =-时，直线l ：20kx y k -+=与直线l 0：220x y -+=垂直，故B 正确；∵定点(20)-，在圆O ：229x y +=内部，∴直线l 与圆O 相交，故C 正确；当1k =-时，直线l 化为20x y ---=，即20x y ++=，圆心O到直线的距离d ==，直线l 被圆O截得的弦长为=，故D 正确，故选BCD ．11．当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为3x =，此时点A 到直线l 的距离为5，点B 到直线l 的距离为1，此时不成立；当直线l 的斜率k 存在时，设直线l 的方程为5(3)y k x -=-，即530kx y k -+-=，∵点(23)(41)A B --，，，到直线l的距离相等，=，解得23k =-或2k =，当23k =-时，直线l 的方程为25(3)3y x -=--，整理得23210x y +-=，当2k =时，直线l 的方程为52(3)y x -=-，整理得210x y --=．综上，直线l 的方程可能为23210x y +-=或210x y --=，故选AB ． 12．设()()P P Q Q P x y Q x y ，，，，则l MN ：186P P x yx y +=，即3424P P x x y y +=，过M ，N 作C 2切线交于Q ，则l MN ：24Q Q x x y y +=，所以34Q P Q P x x y y ==，，即34Q Q P P x y x y ==，，因为点P 为椭圆C 1：22186x y +=上的动点，所以2234186Q Q x y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，可得点Q 的轨迹方程为2217296x y +=，故C 错误，D 正确；因为()(34)P P P P OP x y OQ x y == ，，，，所以1||||sin 2OPQ S OP OQ POQ =∠ △1||2P P x y ===，因为22186P P x y +=≥||6P P x y =，所以||P P x y ≤，所以OPQ S △OPQ S △A 正确，B 错误，故选AD ．数学参考答案·第4页（共9页）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．∵点(22)(2)A B a --，，，，且||551AB a ===，，∴或5a =-． 14．由圆C ：22680xy xy m +---=，可得22(3)(4)25x y m -+-=+，则圆心(34)C ，，半径r =，由圆221x y +=，可得圆心(0，0)，半径1R =，因为两圆外切，则1=，解得9m =-．15．圆C ：2240x y x +-=，即22(2)4x y -+=，则圆心(20)C ，，所以直线MC 的斜率为10132k -==-，则以点M 为中点的圆C 的弦所在的直线的斜率为1k '=-，所以所求直线的方程为11(3)y x -=-⨯-，即40x y +-=．16．如图2，以D 为原点，DA ，DC ，DF 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，D (0，0，0)，B (2，4，0)，A (2，0，0)，C (0，4，0)，E (2，4，1)，C 1(0，4，3)．（1）设F (0，0，a )，由1AF EC =，得(20)(202)2a a -=-=∴，，，，，，(002)F ∴，，，(242)||BF BF =--=∴，，，．（2）设()n x y z = ，，为平面AEC 1F 的法向量，由00n AE n AF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，得40220yz x z +=⎧⎨-+=⎩，，取1z =，则1114n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，，，又1(003)CC C = ∴，，，到平面AEC 1F 的距离1||11||CC n d n ==． 四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）∵点(51)A -，关于x 轴的对称点为11()(51)B x y B ，，∴，，………………………………………………………………………………………（1分）图2数学参考答案·第5页（共9页）又∵点(51)A -，关于原点的对称点为22()(51)C x y C -，，∴，， ………………………………………………………………………………………（2分） ∴AB 的中点坐标是(5，0)，BC 的中点坐标是(0，1)．………………………………（4分） 过(5，0)，(0，1)的直线方程是051005y x --=--， 整理得550x y +-=．……………………………………………………………………（6分） （Ⅱ）由题意知|||1(1)|2|||55|10AB BC AB BC =--==--=，，⊥，………………………………………………………………………………………（8分） ∴△ABC 的面积11||||2101022S AB BC ==⨯⨯= ．…………………………………（10分） 18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由题意知，圆N 的圆心N 也在直线0x =上， 联立100x y x +-=⎧⎨=⎩，，解得01x y ==，，(01)N ∴，，半径为||r NA ==………………………………………………………（2分） 圆N 的标准方程为22(1)2x y +-=，又||NM ==∵，………………………………………………（4分）而||M N r r MN +=+==，∴圆M 与圆N 相外切．…………………………………………………………………（6分） （Ⅱ）∵N (0，1)，M (−3，4)，直线MN 的方程为10x y +-=，………………………………………………………………………………………（7分） 设直线MN 上是存在点B 满足题意，设(1)B a a -，， 由2BS BT =可知，224BS BT =，即2224(8)BN BM -=-，所以22430BN BM =-，…………………………………（9分）数学参考答案·第6页（共9页）即2222(11)4[(3)(14)]30a a a a +--=++---， 整理得2870a a ++=，解得1a =-或7a =-，(12)B -∴，或(78)-，，…………………………………………………………………（11分） 当(12)B -，时，点B 为圆N 与圆M 的公切点， 此时T ，S ，B 重合，不符合题意．∵存在点(78)B -，，满足2BS BT =．…………………………………………………（12分） 19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图3，连接DE ，∵E ，F 分别为PB ，AB 的中点，EF PA ∴∥，PA ⊂∵平面P AC ，EF ⊄平面P AC ，EF ∴∥平面P AC ， ………………………………………………………（2分）∵D ，E ，分别为BC ，PB 的中点，DE PC ∴∥，PC ⊂∵平面P AC ，DE ⊄平面P AC ，DE ∴∥平面P AC ，……………………………（4分）又EF ，DE ⊂平面DGE ，且EF DE E = ， ∴平面DEG ∥平面P AC ，而DG ⊂平面DEG ，DG ∴∥平面P AC ．………………………………………………………………………（6分） （Ⅱ）解：以A 为坐标原点，分别以AD ，AP 所在直线为y 、z 轴建立空间直角坐标系，∵△ABC 是正三角形，且AP AC =，不妨设4AP =，(004)(00)(20)(11)P D B G ∴，，，，，，，．(24)(200)(11)PB DB DG =-==-，，，，，，．………………………………………………………………………………………（8分） 设平面PBC 的一个法向量为()n x y z =，，，图3数学参考答案·第7页（共9页）则24020n PB x z n DB x ⎧=+-=⎪⎨==⎪⎩，，取1y =，则012n ⎛= ⎝⎭ ，，． ………………………………………………………………………………………（10分） 设直线DG 与平面PBC 所成角为θ，则||sin |cos |35||||n DG n DG n DG θ====〈，〉， ∴直线DG 与平面PBC．…………………………………（12分） 20．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：由已知设双曲线C 的方程为22221(00)x y a b a b-=>>，，由已知得221266a b +=-=，且22961a b -=， 解得223a b ==，∴双曲线C 的方程为22133x y -=．………………………………………………………（4分）（Ⅱ）证明：设直线l 的方程为(0)y m m =≠，与223x y -=联立解得x =或x =，不妨设())A m B m ，，由（Ⅰ）知点0)M ，………………………………………………………………（7分） ∴AM ，BM的斜率分别为AM BM k k ==，1AM BM k k ==-∴，……………………………………（10分）所以AM BM ⊥，故以AB 为直径的圆过点M ．…………………………………………………………（12分）数学参考答案·第8页（共9页）21．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图4，PA ∵⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，AP DC ∴⊥，由题设知，AD DC AP AD A = ⊥，，由此得DC ⊥平面P AD ， 又DC ⊂平面PCD ，∴平面PAD ⊥平面PCD ．……………………………………………………（3分） （Ⅱ）解：以A 为坐标原点，分别以AD ，AB ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，由于22PA AB AD DC ===，设2PA =，则A (0，0，0)，B (0，2，0)，C (1，1，0)，D (1，0，0)，P (0，0，2)，M (0，1，1)， 则(110)(011)(011)(110)AC AM BM BC ===-=-，，，，，，，，，，，，………………………………………………………………………………………（6分） 设平面AMC 的一个法向量为1111()n x y z =，，， 11111100n AC x y n AM y z ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩∴，，取11x =，得1(111)n =- ，，； ………………………………………………………………………………………（8分） 设平面BMC 的一个法向量为2222()n x y z =，，，22222200n BC x y n BM y z ⎧=-=⎪⎨=-+=⎪⎩∴，，取21x =，得2(111)n = ，，．……………………………（10分）1212121cos 3||||n n n n n n ==∴〈，〉=， ∴平面AMC 与平面BMC 的夹角的余弦值为13．……………………………………（12分）22．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，28a =，得4a =，22ce c b a====∵∴． 图4数学参考答案·第9页（共9页）∴椭圆方程为221164x y +=．………………………………………………………………（3分） （Ⅱ）设点椭圆上点P 坐标为00()x y ，，切点坐标为1122()()A x y B x y ，，，，∵直线AP ，BP 为圆O 的两切线，圆O 方程为224x y +=．………………………………………………………………………………………（4分） 0OA AP =∴，0101()()AP x x y y OA x y =--=∵，，，， 101101()()0OA AP x x x y y y =-+-=∴，得到：221010114x x y y x y +=+= ，即10104x x y y += ，同理可得20204x x y y += ，…………………………………………………………（6分） 所以点1122()()A x y B x y ，，，同时满足直线方程004x x y y += ，即直线AB 方程为：004x x y y += ，…………………………………………………（8分）令0x =，得Q 点坐标为040y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，令0y =，得E 点坐标为040x ⎛⎫⎪⎝⎭，，所以001162EOQ S x y =△，………………………………………………………………（10分）因为P 在椭圆上，2222000000||111641644x y x y x y +==+∴，，即EOQ S △最小值为2，当00||2||x y ==时取得．……………………………………………………………………………………（12分）。
重庆市中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析
重庆市高2025届2023-2024学年（上）半期考试数学试题（答案在最后）本试卷为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效；3.考试结束后，将答题卡交回.第I 卷一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数()i 1i z =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用复数乘法运算求出z 即可得解.【详解】复数1i z =-+，z 在复平面内对应的点(1,1)-位于第二象限.故选：B2.已知方程22122x y k k+=+-表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为（）A.()2,0- B.()0,2 C.()2,2- D.()()2,00,2-⋃【答案】A 【解析】【分析】根据给定的方程及椭圆焦点位置，列出不等式求解即得.【详解】由方程22122x y k k+=+-表示焦点在y 轴上的椭圆，得220k k ->+>，解得20k -<<，所以实数k 的取值范围为()2,0-.故选：A3.下列直线中，倾斜角最大的是（）A.10y ++= B.10y -+=C.10x y ++=D.10x y -+=【答案】C 【解析】【分析】求出各选项中的直线倾斜角，再比较大小即得.10y ++=的斜率为120 10y -+=为60 ，直线10x y ++=的斜率为1-，倾斜角为135 ；直线10x y -+=的斜率为1，倾斜角为45 ，显然直线10x y ++=的倾斜角最大.故选：C4.如图所示，空间四边形OABC 中，点M N ､分别为OA BC ､的中点，则MN等于（）A.111222OA OB OC ++B.111222OA OB OC-++C.111222OA OB OC +-D.111222OA OB OC -+【答案】B 【解析】【分析】根据空间向量的线性运算结合空间向量的基本定理运算求解.【详解】因为点M N ､分别为OA BC ､的中点，所以()1122MN ON OM OB OC OA =-=+-111222OA OB OC =-++，故选：B ．5.已知圆1C ：2240x y +-=与圆2C ：()224110R x y mx y m +++-=∈的公共弦所在直线与直线l ：210x y -+=垂直，则m 的值为（）A.2B.2- C.8D.8-【分析】求出圆1C 与圆2C 的公共弦所在直线方程，再由垂直关系求出m 并验证即得.【详解】把圆1C 与圆2C 的方程相减得：470mx y +-=，即为圆1C 与圆2C 的公共弦所在直线方程，由直线470mx y +-=与直线l 垂直，得240m -=，解得2m =，当2m =时，圆2C ：2224110x y x y +++-=，即22(1)(2)16x y +++=的圆心2(1,2)C --，半径24r =，而圆1C ：224x y +=的圆心1(0,0)C ，半径12r =，于是122121||(,)C C r r r r ==-+，则圆1C 与圆2C 相交，符合题意，所以m 的值为2.故选：A6.彗星“紫金山一号”是南京紫金山天文台发现的，它的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆.测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）距太阳中心1.486天文单位，远日点（距离太阳最远的点）距太阳中心5.563天文单位（1天文单位是太阳到地球的平均距离，约81.510km ⨯），且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则轨道椭圆的长轴长为______天文单位.（）A.7.0490 B.4.0770C.3.5245D.2.0385【答案】A 【解析】【分析】根据给定的信息，结合椭圆的特征列式计算即得.【详解】依题意，轨道的近日点和远日点为椭圆长轴的端点，而太阳为该轨道椭圆的一个焦点，所以轨道椭圆的长轴长为1.486 5.5637.0490+=（天文单位）.故选：A7.已知直三棱柱111ABC A B C -、3，高1AA =，则该三棱柱的外接球的表面积为（）A.5πB.20πC.205π3D.44π【分析】利用正弦定理求ABC 的外接圆半径，结合直棱柱的结构特征求其外接圆半径，进而可得表面积.【详解】不妨设3AB AC ===，由余弦定理可得2221cos 22AB AC BC A AB AC +-==-×，且()0,πA ∈，则2π3A =，所以ABC的外接圆半径2sin BCr A==，可得该三棱柱的外接球的半径R =所以该三棱柱的外接球的表面积为24π20πR =.故选：B.8.已知()1,0F c -，()2,0F c 为双曲线()222210,0x ya b a b-=>>的两个焦点，P 为双曲线上一点，且22112PF PF c ⋅=- .则此双曲线离心率的取值范围为（）A.(B.(]1,2C.)+∞D.()2,+∞【答案】C 【解析】【分析】由题意，可得夹角的取值范围，整理相关等式，进而可得离心率的函数表达式，利用不等式定义，可得答案.【详解】设1PF m =uuu r ，2PF n =uuu r ，12F PF θ∠=，由22112PF PF c ⋅=- ，则21cos 02mn c θ=-<，显然π,π2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则整理可得22cos c mn θ=-，由12122PF PF F F c -==uuu r uuu r uuu u r ，则()222222212112212242PF PF PF PF PF PF m c n c ⎛⎫-=-⋅+=-⋅-+= ⎪⎝⎭uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，解得2223n c m +=，由双曲线的定义可知：2m n a -=，则()2222m n m mn n -=-+，整理可得22243cos c a c θ=+，化简可得224cos 443cos 139cos 3c a θθθ==-++，由ππ2θ<≤，且221c a>，则1cos 069cos 33θθ-≤<⇒-≤+<，可得429cos 33θ≤-+或449cos 33θ>+，解得44239cos 3θ-≥+或44039cos 3θ-<+，所以222c a≥，解得c e a =≥.故选：C.二.选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在空间直角坐标系中，设a 、b分别是异面直线1l 、2l 的两个方向向量，u 、v 分别是平面α、β的两个法向量，若()1,1,2a = ，()4,4,2b =，()1,0,2u =- ，()2,2,1v = ，下列说法中正确的是（）A.1l α⊥B.2l β⊥C.//αβ D.异面直线1l 、2l的夹角余弦值为3【答案】BD 【解析】【分析】根据给定条件，利用空间位置关系的向量证明判断ABC ；利用线线角的向量求法计算判断D.【详解】由()1,1,2a = ，()1,0,2u =- ，得,a u不共线，因此直线1l 与平面α不垂直，A 错误；由()4,4,2b = ，()2,2,1v = ，得2b v = ，即//b v，直线2l β⊥，B 正确；由()1,0,2u =- ，()2,2,1v = ，得1202210u v ⋅=-⨯+⨯+⨯= ，即u v ⊥，则αβ⊥，C 错误；由()1,1,2a = ，()4,4,2b =，得6cos ,3||||a b a b a b ⋅〈〉==，因此异面直线1l 、2l的夹角余弦值为3，D 正确.故选：BD10.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，该双曲线的渐近线与圆()()2225212x y -+-=交于A 、B 两点，则AB 的可能取值为（）A.4B.C. D.8【解析】【分析】根据双曲线的离心率求出渐近线方程，再借助点到直线距离公式求出弦心距，进而求出弦长作答.【详解】由双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，得a=，解得a b =，于是该双曲线的渐近线方程为0x y ±=，而圆()()2225212x y -+-=的圆心为(2,1)C ，半径r =，点(2,1)C 到直线0x y +=的距离1d r =<，即圆C 与直线0x y +=相交，弦长为=，点(2,1)C 到直线0x y -=的距离2d r =<，即圆C 与直线0x y -=相交，弦长为=，所以AB 的可能取值为.故选：BC11.如图，在圆锥PO 中，已知高2PO =.底面圆的半径为2，M 为母线PB 的中点，根据圆锥曲线的定义，下列三个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线，则下面四个命题中正确的有（）A.圆锥的体积为B.圆的面积为πC. D.双曲线两渐近线的夹角π2【答案】BCD【分析】利用圆锥的体积公式计算判断A ；利用圆锥的几何性质确定圆的半径计算判断B ；利用圆锥的轴截面求出AM 判断C ；建立平面直角坐标系，设双曲线方程，确定双曲线过的点的坐标计算判断D.【详解】对于A ，圆锥底面圆面积4π，圆锥体积18π4π233V =⨯⨯=，A 错误；对于B ，圆锥中截面圆的半径为底面圆半径的一半，该圆面积为2π1π⨯=，B 正确；对于C ，过M 作MC AB ⊥于C ，于是1//,12MC PO MC PO ==，334AC AB ==，因此椭圆的长轴长AM ==，C 正确；对于D ，在与平面PAB 垂直且过点M 的平面内，建立平面直角坐标系，坐标原点与点P 到底面距离相等，于是双曲线顶点(1,0)M ，双曲线与圆锥底面圆周的交点D ，设双曲线方程为2221yx b-=，则2341b-=，解得21b =，因此该双曲线221x y -=的两条渐近线0x y ±=互相垂直，即双曲线两渐近线的夹角π2，D 正确.故选：BCD12.设椭圆C ：22143x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上一动点，则下列说法不正确的有（）A.12PF F △B.直线1y kx k =-+与椭圆C 恒有两个公共点C.1214PF PF +的最小值为9D.若123F PF π∠=，则12PF F △的内切圆半径3【答案】C 【解析】【分析】A 项：当P 点位于短轴顶点时，12PF F 面积最大，从而求解；B 项：直线过定点()1,1且在椭圆内，从而求解；C 项：由椭圆定义知：1224PF PF a +==，然后()12121114PF PF PF PF ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭利用基本不等式求解；D 项：先求出12PF F 的面积值，然后利用面积与内切圆半径的关系，从而求解.【详解】A 项：当P 位于短轴顶点时，12PF F的面积有最大值为：1211222F F b =⨯=，故A 项正确；B 项：直线：1y kx k =-+过定点()1,1D ，且2211143+<，所以点D 在椭圆内，即直线与椭圆恒有两个公共点，故B 项正确；C 项：由椭圆定义知：1224PF PF a +==，所以：()2112121212414114119554444PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当：12823PF PF ==时取等号，故C 项错误；D 项：由题意知：12π3F PF ∠=，则由椭圆定义和余弦定理得：122221212124π2cos 3PF PF F F PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨=+-⎪⎩，解得：124PF PF =，所以：12PF F的面积有为：121πsin 23PF PF =设12PF F 的内切圆半径为r()1212132PF PF F F r r =++⨯=，解得：33r =，故D 项正确.故选：C.第II 卷三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.张老师在课堂上与学生一起探究某双曲线的简单几何性质时，有四位同学分别给出了一个结论：甲：该双曲线的实轴长为6乙：该双曲线的虚轴长为8丙：该双曲线的焦距长为5丁：该双曲线的一条渐近线可以为43y x =如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是______.【答案】丙【解析】【分析】根据双曲线方程中,,a b c 的大小关系，判断并验证即可.【详解】双曲线的实半轴长a ，虚半轴长b ，半焦距c ，有222c a b =+，即有,c a c b >>，显然甲乙丙3人的结论中至少有两个正确，由于焦距比实轴、虚轴都长，因此丙的结论是错误的，此时3,4a b ==，则该双曲线的一条渐近线可以为43y x =，丁的结论也正确，符合题意，所以结论错误的同学是丙.故答案为：丙14.已知入射光线经过点()3,1被x 轴反射后，反射光线经过点()0,2，则反射光线所在直线方程为______.【答案】20x y +-=【解析】【分析】求得点(3,1)关于x 轴的对称点的坐标，再用两点式求得反射光线所在的直线的方程．【详解】由题意利用反射定律可得，点(3,1)关于x 轴的对称点(3,1)-在反射光线所在的直线上，故反射光线所在直线的方程为132103y x +-=+-，化简可得20x y +-=.故答案为：20x y +-=．15.已知直线l 与双曲线22145x y -=交于A 、B 两点，若弦AB 的中点为()12,15--，则直线l 的方程为______.【答案】30x y --=【解析】【分析】利用点差法可求出直线l 的斜率，利用点斜式可得出直线l 的方程.【详解】若直线l x ⊥轴，则AB 的中点在x 轴上，不合乎题意，设点()11,A x y 、()22,B x y ，因为若弦AB 的中点为()12,15--，则12122430x x y y +=-⎧⎨+=-⎩，因为22112222145145x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，可得2222121245x x y y --=，即()()()()1212121245x x x x y y y y -+-+=，所以，()()()()12121212552414430x x y y x x y y +⨯--===-+⨯-，因此，直线l 的方程为1512y x +=+，即30x y --=.联立2235420y x x y =-⎧⎨-=⎩可得224560x x +-=，2244560∆=+⨯>，所以，直线30x y --=与双曲线22145x y-=有两个交点，合乎题意，因此，直线l 的方程为30x y --=，故答案为：30x y --=.16.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，11F A F B ⊥ ，224F B F A =- ，则C 的离心率为______.【答案】105【解析】【分析】设2||AF m =，利用椭圆定义及对称性表示出11,,AF BF AB ，结合勾股定理可得12m a =，再利用余弦定理求解即得.【详解】令椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的半焦距为c ，设2||AF m =，则12AF a m =-，由点B 在y 轴上，224F BF A =-，得124BF BF m ==，而||5AB m =，11F A F B ⊥ ，因此22211||||AF BF AB +=，即222(2)(4)(5)a m m m -+=，解得12m a =，在2Rt BF O 中，222cos 42OF c c OF B BF m a∠===，在12AF F △中，由余弦定理得222121221221||||2cos AF AF F F AF F F AF F =+-∠，即222311()()(2)22()2222c a a c a c a =+-⋅⋅⋅-，整理得2252c a =，22225c e a ==，所以C 的离心率为105.故答案为：105四.解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222sin sin sin sin sin C A B A B -=-⋅.（1）求角C 的大小；（2）若1a =，3c =ABC 的面积.【答案】（1）π3C =；（2）32.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用余弦定理求解即得.（2）由（1）中信息求出b ，再利用三角形面积公式计算即得.【小问1详解】在ABC 中，由222sin sin sin sin sin C A B A B -=-⋅及正弦定理得222c a b ab -=-，即222c a b ab =+-，由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==，而0πC <<，所以π3C =.【小问2详解】由（1）知222c a b ab =+-，而1a =，c =220b b --=，而0b >，解得2b =，所以ABC 的面积为11sin 122222ABC S ab C ==⨯⨯⨯=.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PE AB ⊥，PA PD ⊥，PA PD =，E 为AD 的中点.（1）求证：PE ⊥平面ABCD ；（2）求直线PE 和平面PBC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定推理即得.（2）取BC 中点F ，证明平面PEF ⊥平面PBC ，利用几何法求出线面角的正弦即得.【小问1详解】在四棱锥P ABCD -中，由PA PD =，E 为AD 的中点，得PE AD ⊥，而PE AB ⊥，,,AD AB A AD AB ⋂=⊂平面ABCD ，所以PE ⊥平面ABCD .【小问2详解】取BC 中点F ，连接,EF PF ，由ABCD 是正方形，E 为AD 的中点，得//EF AB ，而AB BC ⊥，则EFBC ⊥，由（1）知PE ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，则PE BC ⊥，而,,PE EF E PE EF =⊂ 平面PEF ，于是BC ⊥平面PEF ，又BC ⊂平面PBC ，则平面PEF ⊥平面PBC ，因此PE 在平面PBC 上的射影为平面PEF 与平面PBC 的交线PF ，则EPF ∠为直线PE 和平面PBC 所成的角，由PA PD ⊥，PA PD =，E 为AD 的中点，得1122PE AD EF ==，由PE ⊥平面ABCD ，EF ⊂平面ABCD ，得PE EF ⊥，2252PF PE EF EF =+=，所以直线PE 和平面PBC 所成的角的正弦值为25sin 5EF EPF PF ∠==.19.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>与椭圆2214x y +=有相同的焦点，且经过点2,2.（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线20x y m -+=与双曲线C 交于A 、B 两点，且OA OB ⊥，O 为坐标原点，求m 的值.【答案】（1）2212y x -=；（2）10±.【解析】【分析】（1）由椭圆方程求出双曲线C 的焦点，再根据给定点求出,a b 即可.（2）联立直线与双曲线方程，利用向量垂直的坐标表示求解即得.【小问1详解】令双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的半焦距为c ，由双曲线C 与椭圆2214x y +=有相同的焦点，得2413=-=c ，即223a b +=，由双曲线C 过点2,2，得22221a b-=，解得221,2a b ==，所以双曲线C 的方程为2212y x -=.【小问2详解】由（1）得222022x y m x y -+=⎧⎨-=⎩，消去y 得：222420x mx m +++=，22168(2)0m m ∆=-+>，解得22m >，设1122(,),(,)A x y B x y ，则2121212,12x x m x x m +=-=+，212121212(2)(2)42()y y x m x m x x m x x m =++=+++，由OA OB ⊥，得12120OA OB x x y y ⋅=+= ，即2121252()0x x m x x m +++=，于是22215(1)402m m m +-+=，解得m =所以m 的值为.20.已知圆M 经过两点()2,2A 、()4,2B ，且圆M 的圆心在直线0x y -=上.（1）求圆M 的方程；（2）若点P 为直线l ：20x y +-=上的动点，过点P 作圆M 的切线PQ 、PR ，切点为Q 、R ，求四边形PQMR 面积的最小值，并出此时点P 的坐标.【答案】（1）()()22332x y -+-=（2）；()1,1P 【解析】【分析】（1）根据圆上的两个已知点求得其对称轴，联立方程求得圆心，利用两点距离公式，可得答案；（2）根据题意，作图，结合切线的性质以及动点与直线的性质，可得答案.【小问1详解】由()2,2A 与()4,2B ，则直线AB 的斜率22042AB k -==-，其中点坐标为()3,2，所以,A B 的对称轴为直线3x =，易知圆心M 在直线3x =上，联立30x x y =⎧⎨-=⎩，解得33x y =⎧⎨=⎩，则()3,3M ，半径r AM ===，所以圆M 的标准方程为()()22332x y -+-=.【小问2详解】根据题意，作图如下：由图可知：四边形PQMR 的面积为MRP MQP S S +V V ，且MRP MQP ≅V V ，MR PR ⊥，在Rt MRP V 中，222PR MP MR =-，因为MR =，所以当PR 最小时，MRP S V 最小，当MP l ⊥时，MP 最小，此时PR 最小，此时MP ==PR =，12MRP S PR MR =⋅⋅= PQMR 面积的最小值为，由直线:20+-=l x y ，则其斜率1k =-，直线MP 的斜率11MP k k-==，则直线MP 的方程为33y x -=-，整理可得y x =，联立20y x x y =⎧⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，则()1,1P .21.已知，如图（1）在五边形AEBCD 中，BC CD ⊥，//CD AB ，222AB CD BC ===，AE AB ⊥，AE AB =，现将ABE 沿AB 折起得到图（2），且使得平面ABE ⊥平面ABCD ，M 在线段AE 上.图（1）图（2）（1）若23AM AE =，求证：//CE 平面BDM ；（2）若AM AE λ=，当λ为何值时，平面CDE 和平面BDM 夹角的余弦值为105.【答案】（1）证明见解析；（2）14λ=.【解析】【分析】（1）连接AC BD F ⋂=，连接FM ，利用线面平行的判定推理即得.（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求面面角的求解方法，求出λ值即可.【小问1详解】连接AC BD F ⋂=，连接FM ，由//CD AB ，2AB CD =，得12CF CD AF AB ==，由23AM AE = ，得12EM CFAM AF==，则//FM CE ，而FM ⊂平面BDM ，CE ⊄平面BDM ，所以//CE 平面BDM .【小问2详解】由平面ABE ⊥平面ABCD ，平面ABE ⋂平面ABCD AB =，AE AB ⊥，得⊥AE 平面ABCD ，在平面ABCD 内过A 作Ay AB ⊥，显然射线,,AB Ay AE 两两垂直，以点A 为原点，射线,,AB Ay AE 分别为,,x y z 轴的非负半轴，建立空间直角坐标系，由BC CD ⊥，//CD AB ，222AE AB CD BC ====，得(0,0,0),(2,0,0),(2,1,0),(1,1,0),(0,0,2)A B C D E ，由AM AE λ=，得(0,0,2)(01)M λλ≤≤，(1,0,0),(1,1,2)DC DE ==-- ，(1,1,0),(2,0,2)BD BM λ=-=-，令平面CDE 的一个法向量为(,,)n x y z = ，则020n DC x n DE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，取1z =，得(0,2,1)n = ，令平面BDM 的一个法向量为(,,)m a b c = ，则0220m BD a b m BM a c λ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取1c =，得(,,1)m λλ= ，由平面CDE 和平面BDM夹角的余弦值为5，得|||cos ,|5||||m n m n m n ⋅〈〉==，5=，解得14λ=，所以当14λ=时，平面CDE 和平面BDM 夹角的余弦值为105.22.在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为圆O ：224x y +=与x 轴的交点，点P 为该平面内异于A 、B 两点的动点，且______，从下列条件中任选一个补充在上面问题中作答.条件①：直线AP 与直线BP 的斜率之积为14-；条件②：设Q 为圆O 上的动点，D 为点Q 在x 轴上的射影，且P 为QD 的中点；注：如果选择多个条件作答，按第一个计分.（1）求动点P 的轨迹方程C ；（2）若直线l 与（1）问中轨迹方程C 交于M 、N 两点，与圆O 相交于E 、F 两点，且120EOF ∠=︒，求OMN 面积最大值.【答案】（1）①：()22124x y x +=≠±；②：2214x y +=（2）1【解析】【分析】（1）选①：表示出两条直线的斜率，整理方程，可得答案；选②：表示出点的坐标，利用中点坐标公式，建立等量关系，结合圆的方程，可得答案.（2）根据圆心角求得弦心距，利用直线与椭圆的弦长公式，结合分类讨论以及函数思想，可得答案.【小问1详解】选①：设(),P x y ，由圆22:4O x y +=，则()2,0A -，()2,0B ，所以直线,AP BP 的斜率分为为2AP y k x =+，2BP yk x =-，其中2x ≠±，由题意可得22144AP BP y k k x ==--，整理可得()22124x y x +=≠±.选②：设()00,Q x y ，(),P x y ，则()0,0D x ，22004x y +=，由P 为QD 的中点，则000202x x x y y+⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得002x x y y =⎧⎨=⎩，可得2244x y +=，整理可得2214x y +=.【小问2详解】在圆O 中，由OA l ⊥，2EOF EOA ∠=∠，则60EOA ∠= ，在Rt EOA 中，cos601OA OE =⋅=o ，则12MON S OA MN =⋅⋅V ，当直线l 的斜率不存在时，可得:1l x =±，代入方程22:14x C y +=，可得：2114y +=，解得32y =±，可得MN =；当直线l 的斜率存在时，可设:l y kx b =+，联立可得2214y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理可得：()222148440kxkbx b +++-=，()()()2228414440kb k b ∆=-+->，根据韦达定理可得：122814kb x x k +=-+，21224414b x x k-=+，整理可得:0l kx y b -+=，则1OA ==，解得221b k =+，12=-=MN x=，令()()()22223114x x f x x +=+，则()())()344226111261414xx xf x k k --+-+'==++，令()0f x '=，解得0x =或2±，可得下表：所以()max 14f x =，则MN 的最大值为2，综上所述，MON S 的最大值为1.。
重庆市名校联盟2023-2024学年高二上学期期中联合考试 数学答案
重庆市名校联盟2023-2024学年度第一期期中联合考试数学试题参考答案（高2025届）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1—8ABCA DABB二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9.BD10.ABC11.ABD12.BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.3-14.1(答案不唯一，小于2的整数都可以)15.20x y -+=16.2π，2π7．【详解】过D 作DG CE ⊥，垂足为G ，假定ABCD 和BCEF 均为正方形，且边长为1则BC ⊥平面CDG ，故BC DG ⊥，又BC CE C = ，DG ∴⊥平面BCEF故直线BD 在平面BCEF 内的射影为BG ，由已知可得cos 3DG CD π=⋅=，则以直线BD 与平面BCEF 所成的角正弦值sin 4DG DBG BD ∠==，所以直线BD 与平面BCEF 内直线所成的角正弦值最小为4而直线BD 与PQ 所成角最大为90︒（异面垂直），即最大正弦值为1.故选：B12.【详解】将正四面体A BCD -放入正方体DEBF GAHC -中，以点D 为原点，以DE ，DF ，DG 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，如图所示，因为正四面体A BCD -的长为2则A ，B ，C ，因为点M ，N 分别为ABC 和ABD △的重心，所以点N 的坐标为(,333，点M 的坐标为222222(,,)333，所以222222()333NC =-设NP NC λ= ，则NP = ()λ，所以2222222222(,,)333333OP ON NP λλλ=+=-++ ，所以2222222222(,,)333333AP λλ=--+-+ ，2222222222(,,)333333BP λ=---++ ，对于Ａ：因为2222214(2882888168)(21)93AP λλλλλλλ=++++++-+=+ ，2222214(2888168288)(21)93BP λλλλλλλ=+++-++++=+ ，所以AP BP +=+= ，当0λ=时，即CP CN =，0PN =A 错误；对于B ：若3CP PN =，则14NP NC =，所以()222OP = ，因为(0,BA =，(BC =，设平面ABC 的一个法向量为1(,,)n x y z = ，则00⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，取1x =，则1(1,1,1)n = ，因为1OP n = ，所以OP ⊥平面ABC ，即DP ⊥平面ABC ，故B 正确；对于C ：若DP ⊥平面ABC ，则NP = 222()666-，即NP = ，2222()333AN =- ，即AN =，设平面ABO 的一个法向量为2(,,)n x y z =，因为OA =，OB =，则00==，取1x =，则2(1,1,1)n =-- ，因为226NP =- ，所以NP ⊥平面ABO ，则三棱锥-P ABC 外接球的球心在直线NP 上，又因为点N 为等边三角形ABO 的重心，所以点N 为等边三角形ABO 的外心，ABO 外接圆半径为233AN = ，设三棱锥-P ABC 外接球的半径为R ，则222()R R NP AN =-+，即224()63R R =-+，解得4R =，所以三棱锥P －ABC 外接球的表面积为227π4π2R =，故C 选项正确；对于D ：因为点N 的坐标为2222(,333，点M 的坐标为222222(,,)333，所以22(0,,)33MN = ，设平面ACD 的一个法向量为3(,,)n x y z =，因为OA =，OC =，所以00==，取1x =，则3(1,1,1)n =- ，因为30MN n ⋅=，且直线MN ⊄平面ACD ，所以直线//MN 平面ACD ，所以点N 到平面ACD 的距离就是直线MN 到平面ACD 的距离，则点N 到平面ACD的距离33223ON n d n ⋅=即直线MN 到平面ACDD 正确，故选：BCD ．16.【详解】由2AB =，120BAD ∠=︒，E 为边BC 的中点知：3B π∠=且1BE =，易知AE EC ⊥，1AE B E ⊥，而1EC B E E ⋂=，故AE ⊥面1B EC ，故AE 与1B C 的夹角为2π.若G '是1AB 的中点，又F 为1B D 的中点，则//G F AD '且12G F AD '=，而1122EC BC AD ==且//EC AD ，所以//G F EC '且G F EC '=，即FG EC '为平行四边形，故EG CF '=且//EG CF '，故F 的轨迹与G 到G '的轨迹相同。
重庆市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析
2023年重庆高2025届高二上期周练7数学测试试题卷（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号，考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本卷或者草稿纸上无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知椭圆2213x y m m +=的一个焦点为()1,0，则实数m 的值为（）A.12B.2C.22 D.24【答案】A 【解析】【分析】根据方程是椭圆方程，得0m >，然后由,,a b c 关系得出m 值．【详解】由题意0m >，223,a m b m==231m m ∴-=，12m =，故选：A ．2.等差数列{}n a 中，已知1251,4,333n a a a a =+==，则n =A.48 B.49C.50D.51【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的性质，结合通项公式的基本量求法求解即可【详解】由等差数列的性质得，25166143a a a a a +=+=+=，则6113=a ，所以公差61253a a d -==，由等差数列的通项公式得，12(1)3333n a n =+-=，解得50n =．故选：C3.圆C ：22(1)(1)1x y -+-=与直线l ：143x y+=的位置关系为（）A.相切B.相交C.相离D.无法确定【答案】A 【解析】【分析】求出圆心坐标与半径，再将直线方程化为一般式，根据圆心到直线的距离即可判断.【详解】圆C ：22(1)(1)1x y -+-=的圆心为()1,1C ，半径1r =，直线l ：143x y+=即34120x y +-=，则圆心到直线的距离1d r ===，所以直线l 与圆C 相切.故选：A4.现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5升，最大的三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第5只茶壶的容积为（）A.0.25升 B.0.5升C.1升D.1.5升【答案】B 【解析】【分析】根据等差数列的性质即可求解.【详解】设九只茶壶按容积从小到大依次记为129,,a a a ，由题意可得1237890.5, 2.5a a a a a a ++=++=，所以282828530.5,3 2.51,0.52a a a a a a a +==⇒+=∴==，故选：B5.已知双曲线22214x y b-=的左､右焦点分别为12,,F F 过左焦点1F 作斜率为2的直线与双曲线交于A ，B 两点，P 是AB 的中点，O 为坐标原点，若直线OP 的斜率为14，则b 的值是（）A.2B.C.32D.【答案】D 【解析】【分析】利用点差法设()11,A x y 、()22,B x y ，作差即可得到2121212124y y y y b x x x x -+⋅=-+，再根据斜率公式，从而得到2124b =，即可得解；【详解】解：设()11,A x y 、()22,B x y ，则2211214x y b -=，2222214x y b-=，两式相减可得()()()()1212121221104x x x x y y y y b-+--+=，P 为线段AB 的中点，122p x x x ∴=+，122p y y y =+，2121212124y y y y b x x x x -+∴⋅=-+，又12122AB y y k x x -==-，121214y y x x +=+，2124b ∴=，即22b =，b ∴=故选：D.6.已知数列{}n a 中，22a =，当3n ≥时，1n a -，12n a ，2n a -成等差数列.若2022a k =，那么352021a a a +++= （）A.k B.1k - C.2kD.2k -【答案】D 【解析】【分析】依题意可得数列{}n a 的递推关系12n n n a a a --=+，再一一代入即可求解.【详解】当3n ≥时，1n a -，12n a ，2n a -成等差数列，则12n n n a a a --=+，由于22a =，则()35202123520212022222a a a a a a a a k +++=++++-=-=- ，故选：D.7.已知抛物线2:4E y x =，圆C ：222x y x +=，过圆心C 作直线l 与抛物线E 和圆C 交于四点，自上而下依次为A ，M ，N ，B ，若AM ，MN ，NB 成等差数列，则直线l 的斜率为（）A.B. C.22D.22±【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，可得圆心C 为抛物线的焦点，求出弦AB 长，设出直线AB 方程并与抛物线方程联立，求解作答【详解】圆C ：22(1)1x y -+=的圆心(1,0)C ，半径1r =，显然点(1,0)C 为抛物线2:4E y x =的焦点，其准线为=1x -，设1122(,),(,)A x y B x y ，则1212||||||112AB AC BC x x x x =+=+++=++，而||2MN =，由AM ，MN ，NB 成等差数列得，2||4AM NB MN +==，因此||6AB =，即有1226x x ++=，解得124x x +=，设直线l 的方程为(1)y k x =-，显然0k ≠，由2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩消去y 得：2222(24)0k x k x k -++=，则有122424x x k +=+=，解得k =所以直线l 的斜率为.故选：B8.数列{}n a 满足()()*111n n na n a n N +=++∈，且11a=，则2022a =（）A.4043 B.4044C.2021D.2022【答案】A 【解析】【分析】由()()*111n n na n a n N+=++∈，可得11111n na a nn n n ++=+++，即1na n n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为常数列，进而可得12n a n n+=，从而即可求解.【详解】解：因为()()*111n n na n a n N+=++∈，所以()1111111n n n a a a n n n n n n n +=+=+-+++，所以11111n n a a n n n n ++=+++，即1n a n n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为常数列，又11a =，所以111211n a a n n +=+=，所以20221220222022a +=，解得20224043a =，故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知27n S n n =-+，则下列说法正确的是（）A.数列{}n a 是递增数列B.28n a n =-+C.当4n >时，0n a < D.当3n =或4时，n S 取得最大值【答案】BCD 【解析】【分析】根据给定的前n 项和，求出n a ，再逐项判断作答.【详解】数列{}n a 的前n 项和27n S n n =-+，当2n ≥时，2217[(1)7(1)]28n n n a S S n n n n n -==-+---+-=--+，而116a S ==满足上式，所以28n a n =-+，B 正确；数列{}n a 是公差为2-的等差数列，是单调递减的，A 不正确；当4n >时，2(4)0n a n =--<，C 正确；当4n ≤时，2(4)0n a n =--≥，即数列{}n a 前3项均为正，第4项为0，从第5项起为负，因此当3n =或4时，n S 取得最大值，D 正确.故选：BCD10.已知正方体1111ABCD A B C D -，则（）A.直线1BC 与1DA 所成的角为90︒B.直线1BC 与1CA 所成的角为90︒C.直线1BC 与平面11BB D D 所成的角为45︒D.直线1BC 与平面ABCD 所成的角为45︒【答案】ABD 【解析】【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.【详解】如图，连接1B C 、1BC ，因为11//DA B C ，所以直线1BC 与1B C 所成的角即为直线1BC 与1DA 所成的角，因为四边形11BB C C 为正方形，则1B C ⊥1BC ，故直线1BC 与1DA 所成的角为90︒，A正确；连接1AC ，因为11A B ⊥平面11BB C C ，1BC ⊂平面11BB C C ，则111A B BC ⊥，因为1B C ⊥1BC ，1111A B B C B = ，所以1BC ⊥平面11A B C ，又1AC ⊂平面11A B C ，所以11BC CA ⊥，故B 正确；连接11A C ，设1111A C B D O = ，连接BO ，因为1BB ⊥平面1111D C B A ，1C O ⊂平面1111D C B A ，则11C O B B ⊥，因为111C O B D ⊥，1111B D B B B ⋂=，所以1C O ⊥平面11BB D D ，所以1C BO ∠为直线1BC 与平面11BB D D 所成的角，设正方体棱长为1，则12C O =，1BC =，1111sin 2C O C BO BC ∠==，所以，直线1BC 与平面11BB D D 所成的角为30 ，故C 错误；因为1C C ⊥平面ABCD ，所以1C BC ∠为直线1BC 与平面ABCD 所成的角，易得145C BC ∠=，故D 正确.故选：ABD11.已知抛物线C ：28x y =的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线C 相交于A ，B 两点，下列结论正确的是（）A.若12,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则52AF =B.若()2,3E ，则AE AF +的最小值为4C.以线段AB 为直径的圆与直线=2y -相切D.若3AF FB =，则直线AB 的斜率为1【答案】AC 【解析】【分析】求出抛物线C 的焦点坐标、准线方程，设出点A ，B 的坐标及直线AB 方程，再结合各选项的条件分别计算判断作答.【详解】抛物线C ：28x y =的焦点为(0,2)F ，准线=2y -，设点1122(,),(,)A x y B x y ，对于A ，显然12,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭在抛物线C 上，则15(2)22AF =--=，A 正确；对于B ，()111232AE AF y y y +=--≥-++，当且仅当12x =时取等号，当12x =时，112y =，有111132325y y y y -++=-++=，因此当12,2A ⎛⎫⎪⎝⎭时AE AF +取得最小值5，B 不正确；对于C ，1212||||||224AB AF BF y y y y =+=+++=++，线段AB 的中点M 纵坐标为0y ，则1201||222y y y AB +==-，显然点M 是以线段AB 为直径的圆的圆心，点M 到直线=2y -的距离为011(2)||22||22y AB AB --=-+=，所以圆M 与直线=2y -相切，C 正确；对于D ，显然直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为：2y kx =+，由228y kx x y=+⎧⎨=⎩消去y 得：28160x kx --=，有12128,16x x k x x +==-，由3AF FB = 得：123x x =-，于是得213k =，解得3k =±，D 不正确.故选：AC12.已知双曲线E ：()222210,0y x a b a b-=>>上、下焦点分别为1F ，2F ，虚轴长为，P 是双曲线上支上任意一点，1PF2-.设()0,A a ，()0,B a -，Q 是直线23y =上的动点，直线QA ，QB 分别与E 的上支交于点C ，D ，设直线QA ，QB 的斜率分别为1k ，2k .下列说法中正确的是（）A.双曲线E 的方程为22142-=y x B.213k k =-C.以CD 为直径的圆经过A 点 D.当11k =-时，CD 平行于x 轴【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意，得出b =，2c a -=，即可求出双曲线标准方程判断A ；设2,3Q t ⎛⎫⎪⎝⎭，表示出1k ，2k ，即可判断B ；利用直线与双曲线相交得出,C D 坐标，即可判断C ；利用11k =-，得出t 的值，即可判断D.【详解】由题知，2b =，b =，2c a -=，解得2a =，所以双曲线方程为22142-=y x ，A正确；由A 知，()0,2A ，()0,2B -，设2,3Q t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则122433t k t -==--，222833t tk --==-，所以212k k =-，B 错；由上述知，直线QA 方程为423y x t -=-，直线QB 方程为823y x t+=，联立22423142y x ty x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得22161816093t x x t t ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，因点C 是异于A 的上支点，所以22489t x t =-，代入直线QA 方程得22161889t y t +=--，即222241618,8989t t C t t ⎛⎫+- ⎪--⎝⎭，联立22823142y x t y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得222641832093t x x t t --=，因点D 是异于B 的上支点，所以248329t x t =-，代入直线QB 方程得226418329t y t +=-，即222486418,329329t t D t t ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭，则222641823329484329DAt t t k t t +--==-，2221618248924389CA t t k t t t +---==--，所以1DA CA k k ⋅=-，即DA CA ⊥，所以以CD 为直径的圆经过A 点，C 正确；当11k =-时，即413t -=-，43t =，所以代入,C D 坐标得()()4,6,4,6C D -，所以CD 平行于x 轴，D正确.故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若一数列为1，73，143，213，…，则983是这个数列的第________项.【答案】15【解析】【分析】根据数列指数的特点求出通项公式，即可得到结果.【详解】数列的指数分别是0，7，14，21，…，则指数部分构成首项为0，公差为7d =的等差数列{}n a ，则对应指数的通项公式为77,N n a n n *=-∈，由779815n n -=⇒=，所以983是这个数列的第15项.故答案为：1514.双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线与抛物线2y =的准线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OAB 的面积为1，则双曲线的渐近线方程为______．【答案】2y x =-或2y x =【解析】【分析】求出抛物线2y =的准线及双曲线C 的渐近线，再联立求出线段AB 长，结合三角形面积，求出ba作答.【详解】双曲线C ：22221x y a b -=的渐近线方程为：b y x a =±，抛物线2y =的准线为直线：22x =-，联立b y x a =±与22x =-得：2y a =±，因此有|||()|22AB a a a=--=，而OAB的面积1||12242OAB bS AB a a==⋅== ，即2b a =，所以双曲线的渐近线方程为2y x =-或2y x =.故答案为：2y x =-或2y x=15.已知椭圆22Γ:1,,32x y B D +=是椭圆上关于原点对称的两点，设以BD 为对角线的椭圆内接平行四边形ABCD 的一组邻边,AB BC 斜率分别为12,k k ，则12k k =______.【答案】23-【解析】【分析】根据给定条件，利用椭圆的对称性，斜率坐标公式计算作答.【详解】因,B D 是椭圆22Γ:132x y+=上关于原点对称的两点，不妨设11(,)B x y ，则11(,)D x y --，且2211132x y +=，又ABCD Y 是椭圆22Γ:132x y +=内接平行四边形，则点,A C 关于原点对称，不妨设22(,)A x y ，则22(,)C x y --，且2222132x y +=，直线,BA BC 斜率分别为：1212121212,y y y y k k x x x x -+==-+，因此2212122212y y k k x x -=-，而2222112213232x y x y +==+，即1212222232x y x y =---，所以1223k k =-.故答案为：23-16.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，斜率为12的直线l 经过左焦点1F 且交C 于A ，B 两点（点A 在第一象限），设12AF F △的内切圆半径为1r ，12BF F △的内切圆半径为2r ，若122r r =，则椭圆的离心率e =___________．【答案】6【解析】【分析】由题意得122A B r y r y =-=，联立直线与椭圆方程得22244A B b c y y a b +=+，4224A B b y y a b-⋅=+，再利用()22AB A B A BB Ay y y yy y y y +=++⋅，再代入值计算即可得答案.【详解】如图所示，由椭圆定义可得122AF AF a +=，122BF BF a +=，设12AF F △的面积为1S ，12BF F △的面积为2S ，因为123r r =，所以()()()111222112222221122222A A BB a c r c y S r yS r y a c r c y +⨯⨯==⇒=-=+⨯⨯-，即2A B y y =-，设直线:2l x y c =-，则联立椭圆方程与直线l ，可得222242222222(4)40x y ca b y b cy b b x a y a b=-⎧⇒+--=⎨+=⎩，由韦达定理得：22244A B b c y y a b +=+，4224A B b y y a b -⋅=+又()22AB A B A BB A y y y y y y y y +=++⋅，即2222422441122224b c a b b a b ⎛⎫⎪+⎝⎭=-+-=--+化简可得()222222216132442c c a a c a b =⇒=+-+，即22365c a =，即22365c a =时，有255366e e =⇒=.故答案为：56四、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 满足22a =，358a a +=，且当1n >*N n ∈时，有112n n n a a a -+=+，（1）求n a ；（2）若数列{}n b 中1111,++=-=+n n n nb a b b a a nb 【答案】（1）*,n a n n =∈N （2）*,=∈n b n n N 【解析】【分析】（1）根据题意可知数列{}n a 为等差数列，结合等差数列的通项公式运算求解；（2）由（1）可得：111,1+=-=+n n b b b n n ，利用累加法求通项公式.【小问1详解】因为当1n >*N n ∈时，有112n n n a a a -+=+，可知数列{}n a 为等差数列，设公差为d ，由题意可得：213512268a a d a a a d =+=⎧⎨+=+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，所以*11,=+-=∈n n n n a N .【小问2详解】由（1）可得：111,+=-==n n b b b 当2n ≥时，则()()()112211---=-+-+⋅⋅⋅-+n n n n n b b b b b b b b1=++⋅⋅⋅+=，即2=≥n b n ，且11b =也满足上式，所以*=∈n b n N .18.四棱锥P ABCD -，底面为矩形，PD ⊥面ABCD ，且4,2AB BC PD ===，Q 点在线段AB 上，且AC ⊥面PQD .（1）求线段AQ 的长；（2）对于（1）中的Q ，求直线PB 与面PDQ 所成角的正弦值.【答案】（1）1（2）3010【解析】【分析】（1）根据线面垂直得到ADQ DCA ，再由相似比得方程可求解；（2）建立空间直角坐标系，求平面PDQ 的法向量，运用夹角公式先求线面角的余弦值，再转化为正弦值即可.【小问1详解】AC ⊥ 面,PQD AC QD ∴⊥，∴在矩形ABCD 中，易得：22414AD AQ AD BC ADQ DCA AQ DC DA DC AB ⇒=⇒==== ；【小问2详解】如四建立空间直角坐标系：则()()()()0,0,0,0,0,2,2,4,0,(2,0,0),0,4,0D P B A C ，()2,4,2PB ∴=-，由题意可知：AC为平面PDQ 的一个法向量，()2,4,0AC =-，cos ,10PB AC PB AC PB AC⋅〈〉==⋅，∴直线PB 与面PDQ所成角的正弦值为10.19.已知双曲线C 经过点()3,4P，点Q ．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）已知()2,2A -，过点()2,0的直线l 与双曲线C 交于不同两点M ，N ，若以线段MN 为直径的圆刚好经过点A ，求直线l 的方程．【答案】（1）2212y x -=；（2）20x y --=或7140x y --=.【解析】【分析】（1）根据给定条件，设出双曲线的方程，利用待定系数法求解作答.（2）设出直线l 的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理结合垂直关系的向量表示求解作答.【小问1详解】依题意，设双曲线C 的方程为：221,0mx ny mn -=>，而双曲线C 经过点()3,4P ，点Q，则有9161221m n m n -=⎧⎨-=⎩，解得11,2m n ==，即有22112x y -=，所以双曲线C 的标准方程为：2212yx -=.【小问2详解】显然直线l 不垂直于y 轴，设直线l 的方程为：2x ty =+，由22222x ty x y =+⎧⎨-=⎩消去x 得：22(21)860t y ty -++=，显然2210t -≠，2226424(21)16240t t t ∆=--=+>，设1122(,),(,)M x y N x y ，则有12122286,2121t y y y y t t +=-=--，因为以线段MN 为直径的圆刚好经过点A ，即有0AM AN ⋅=，而1122(2,2),(2,2)AM x y AN x y =-+=-+ ，于是得1212(2)(2)(2)(2)0x x y y --+++=，即21212(1)2()40t y y y y ++++=，有2226(1)16402121t t t t +-+=--，整理得：27810t t -+=，解得1t =或17t =，因此直线l ：2x y =+或127x y =+，所以直线l 的方程为20x y --=或7140x y --=.20.已知数列{}n a 中，12a =，23a =，其前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+（2n ≥，*n ∈N ）.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设14(1)2na nn n b λ-=+-⋅（λ为非零整数，*n ∈N ），试确定λ的值，使得对任意*n ∈N ，都有1n nb b +>成立.【答案】（1）1n a n =+（2）1λ=-【解析】【分析】根据已知结合n a 与前n 项和n S 的关系，利用相减法确定n a 的递推关系式，判断n a 为等差数列，即可求解数列{}n a 的通项公式；根据数列的单调性列不等式求解即可.【小问1详解】解：由已知1121n n n S S S +-+=+，得()()11n n n n S S S S +----()12,N n n *=≥∈即()*112,N n n a a n n +-=≥∈，且211a a -=.∴数列{}n a 是以12a =为首项，公差为1的等差数列.1n a n ∴=+.【小问2详解】解：1n a n =+ ，114(1)2n n n n b λ-+∴=+-⋅，要使得对任意*n ∈N ，1n n b b +>恒成立，12144(1)2n n n n n n b b λ+++∴-=-+-⋅11(1)20n n λ-+--⋅>恒成立，11343(1)20n n n λ-+∴⋅-⋅->恒成立，11(1)2n n λ--∴-<恒成立.（i ）当n 为奇数时，即12n λ-<恒成立，又{}12n -是递增数列则当1n =时，12n -有最小值为1，1λ∴<.（ii ）当n 为偶数时，即12n λ->-恒成立，又{}12n --是递减数列则当2n =时，12n --有最大值2-，2λ∴>-.即21λ-<<，又λ为非零整数，则1λ=-.综上所述，存在1λ=-，使得对任意*n ∈N ，都有1n n b b +>.21.在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，()1,0M -，()1,0N ，Q 为线段MN 上异于,M N 的一动点，点P 满足2PM PN QMQN==.（1）求点P 的轨迹E 的方程；（2）点,A C 是曲线E 上两点，且在x 轴上方，满足//AM NC ，求四边形AMNC 面积的最大值.【答案】（1）22143x y +=（2）3【解析】【分析】（1）由24PM PN MN +==，结合椭圆定义可得轨迹方程；（2）连接CO ，延长交椭圆E 于点B ，利用面积桥可知所求四边形面积即为ABC S ，设直线:1AB x my =-，将直线方程与椭圆方程联立可得韦达定理的结论，代入弦长公式中可得AB ，利用点到直线距离公式可求得点N ，即点C 到直线AB 的距离，由此可将所求面积表示为关于m 的函数，利用函数求最值的方法可求得结果.【小问1详解】2PM PN QMQN==，2PM QM ∴=，2PN QN =，()224PM PN QM QN MN ∴+=+==，P ∴点轨迹是以,M N 为焦点，长轴长为4的椭圆，设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，则2a =，1c =，2223b a c ∴=-=，∴点P 的轨迹E 的方程为：22143x y +=.【小问2详解】连接CO ，延长交椭圆E 于点B ，连接,,BM AN CM ，由椭圆对称性可知：OC OB =，又=OM ON ，∴四边形CMBN 为平行四边形，//CN BM ∴，CN BM =，BOM CON S S ∴= 且,,A M B 三点共线∴四边形AMNC 的面积ACM COM CON ACM COM BOM ABC S S S S S S S S =++=++= ，设直线:1AB x my =-，()()()11221,,,0A x y B x y y >，由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得：()2234690m y my +--=，221634y y m m ∴++=，122934y y m =-+，()2212134m AB m +∴===+，又//AM NC ，∴点C 到直线AB 的距离即为点N 到直线AB 的距离，点N 到直线AB 的距离d =21121234S AB d m ∴=⋅==+，设234m t +=，则243t m -=，4t ≥，S ∴==又114t ≤，∴当114t =，即0m =时，四边形AMNC 面积取得最大值，最大值为3.【点睛】思路点睛：求解直线与椭圆综合应用中的三角形或四边形面积最值（取值范围）问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式；②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理和点到直线距离表示出所求三角形的面积；用面积桥结合三角形面积表示出四边形面积；④将所求面积转化为关于某一变量的函数的形式，利用函数的单调性或基本不等式求解出最值（范围）.22.已知点(4,4)M 在抛物线2:2x py Γ=上，过动点P 作抛物线的两条切线，切点分别为A ､B ，且直线PA 与直线PB 的斜率之积为2-.（1）证明：直线AB 过定点；（2）过A ､B 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为C ､D ，问：是否存在一点P 使得A ､C ､P ､D 四点共圆？若存在，求所有满足条件的P 点；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）法一：将()4,4代入抛物线方程22x py =得到2p =，设切点坐标为()00,x y ，再根据导数的几何意义可得切线方程为()002x x y y =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 直线方程为y kx b =+，联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理可得2b =得到定点；法二：设()00,P x y ，过P 的直线方程为()00y y k x x -=-，联立抛物线方程，根据二次函数判别式为0得2000k x k y -+=，得到121248x x k k ==-，再联立直线AB 和抛物线的方程，根据韦达定理可得2b =得到定点；（2）联立直线AB 和抛物线得出韦达定理，设()1,1C x -，()2,1D x -，再联立PA ，PB 直线方程可得()2,2P k -，可得P 在直线=2y -上运动，再假设A ､C ､P ､D 四点共圆可得1PA PD k k ⋅=-，代入求解判断是否有解即可.【小问1详解】法一：将()4,4代入抛物线方程22x py =得到2p =，所以抛物线方程为24x y =，求导可得2xy '=，设切点坐标为()00,x y ，则切线斜率为02x ，所以切线方程为()0002xy y x x -=-，即()002x x y y =+；设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 直线方程为y kx b =+，由题意得12222PA PB x xk k ⋅=⋅=-，所以128x x =-，联立直线AB 和抛物线得24x yy kx b⎧=⎨=+⎩得2440x kx b --=，所以1248x x b =-=-得2b =，所以AB 的直线方程为2y kx =+，直线AB 过定点()0,2；法二：将()4,4代入抛物线方程22x py =得到2p =，所以抛物线方程为24x y =，设()00,P x y ，过P 的直线方程为()00y y k x x -=-，联立()2004x yy y k x x ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩得()200440x kx y kx ---=，()200Δ16160k y kx =+-=得2000k x k y -+=，由1202k k y ==-，切点横坐标为2x k =，所以121248x x k k ==-联立直线AB 和抛物线得24x yy kx b⎧=⎨=+⎩得2440x kx b --=，所以1248x x b =-=-得2b =，所以AB 的直线方程为2y kx =+，直线AB 过定点()0,2；【小问2详解】联立直线AB 和抛物线得242x yy kx ⎧=⎨=+⎩得2480x kx --=①可知124x x k +=，128x x =-，设()1,1C x -，()2,1D x -，PA 直线方程为：()112x x y y =+，PB 直线方程为：()222x x y y =+，联立()()112222x x y y x x y y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩解得22x k y =⎧⎨=-⎩，所以()2,2P k -，所以P 在直线=2y -上运动，假设存在P 点使得A ､C ､P ､D 四点共圆，则90ACD APD ∠∠==︒，所以1PA PD k k ⋅=-，因为12PAx k =，212PD k x k =-可得()12122x x k =--，解得124,0x k x ==，不合题意，所以不存在P 点使得A ､C ､P ､D 四点共圆.【点睛】本题主要考查了抛物线的切线问题与定点问题，需要根据题意，根据导数的几何意义或联立直线与抛物线的方程用判别式分析.同时也考查了联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理转化题设条件求解的问题.属于难题.。
重庆市学校2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析
重庆市高2025届高二上期期中考试数学试题（答案在最后）注意事项：1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟2．答卷前考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知两点(1,2)A -，(3,4)B ，则直线AB 的斜率为A.2 B.12-C.12D.2-【答案】C 【解析】【分析】直接应用斜率公式计算即可．【详解】已知两点(1,2)A -，(3,4)B ，由斜率公式得4213(1)2AB k -==--.故选：C【点睛】本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题．2.在棱长为1的正四面体ABCD 中，直线AD 与BC 是（）．A.平行直线B.相交直线C.异面直线D.无法判断位置关系【答案】C 【解析】【分析】利用异面直线的判断方法判断即可.【详解】作出正四面体ABCD ，如图，因为BC ⊂平面BCD ，D ∈平面BCD ，D BC ∉，A ∉平面BCD ，所以AD 与BC 是异面直线.故选：C.3.已知l ，m 表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是（）A.若l α⊥，m α⊂，则l m ⊥B.若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥C.若//l m ，m α⊂，则//l αD.若//l α，m α⊂，则//l m【答案】A 【解析】【分析】根据线面垂直的判定与性质、线面平行的判定与性质依次判断各个选项可得结果.【详解】A 选项：由线面垂直的性质定理可知A 正确；B 选项：由线面垂直判定定理知，l 需垂直于α内两条相交直线才能说明lα⊥，B 错误；C 选项：若l ⊂α，则平行关系不成立，C 错误；D 选项：,l m 的位置关系可能是平行或异面，D 错误.故选：A【点睛】本题考查空间中线面平行与垂直相关命题的辨析，关键是能够熟练掌握空间中直线与平面位置关系的判定与性质定理.4.已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的两条渐近线均与圆222()4b x a y -+=相切，则双曲线C 的离心率为（）A.3B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】先得到双曲线C 的渐近线，然后根据渐近线与圆相切，利用点到直线的距离等于半径，得到a 和c 的关系，求出离心率，得到答案.【详解】双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线为b y xa =±因为两条渐近线均与圆222()4b x a y -+=相切，所以点(,0)a 到直线b y x a =的距离等于半径2b即2ab b d c ===，又因为222c a b =+整理得到2c a =，故双曲线C 的离心率为2ce a==.故选：B.【点睛】本题考查求双曲线渐近线，根据直线与圆相切求参数关系，求双曲线的离心率，属于简单题.5.如图，在四棱锥P ABCD -中，PD⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，4PD DC ==，Q 为PC上一点，且3PQ QC =，则异面直线AC 与BQ 所成的角的大小为（）A.π6B.π3C.5π6D.2π3【答案】B 【解析】【分析】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线AC 与BQ 所成的角的大小.【详解】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()4,0,0A 、()0,4,0C 、()4,4,0B 、()0,3,1Q ，()4,4,0AC =- ，()4,1,1BQ =--，1cos ,24232AC BQ AC BQ AC BQ ⋅<>==⨯⋅，因此，异面直线AC 与BQ 所成的角的大小为π3.故选：B.6.如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，(25,0)F -为椭圆C 的左焦点，P 为椭圆C 上一点，满足||||OP OF =，且||4PF=，则椭圆C 的方程为（）A.221255x y += B.2214525x y += C.2213010x y += D.2213616x y +=【答案】D 【解析】【分析】设椭圆的右焦点为F '，连接PF '，由||||OP OF OF =='可得PF PF '⊥，可求得8PF '=，由椭圆的定义可求得6a =，利用,,a b c 之间的关系可求得2b ，即可得到答案【详解】如图，设椭圆的右焦点为F '，则(25,0)F '，连接PF '，因为||||OP OF OF =='，所以PF PF '⊥，所以8PF '===，由椭圆的定义可得2||12a PF PF =+='，则6a =，又因为||c OF ==，所以22222616b a c =-=-=，所以椭圆C 的方程为2213616x y +=，故选：D7.已知实数x ，y 满足方程()2223x y -+=，则yx的最大值和最小值分别为（）A.-B.C.33，33- D.233，3-【答案】B 【解析】【分析】根据目标式的几何意义：圆上点与原点所成直线的斜率，结合直线与圆关系求其最值即可.【详解】圆()2223x y -+=，圆心()2,0，半径为r =，令yk x =，即0kx y -=，y x 的最值，是圆心到直线的距离等于半径时的k 值，=，解得k =，∴yx．故选：B8.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>虚轴的一个顶点为D ，12,F F 分别是C 的左，右焦点，直线2x a=与C 交于A ，B 两点．若ABD △的重心在以12F F 为直径的圆上，则C 的渐近线方程为（）A.78y x =±B.87y x =±C.7y x =±D.144y x =±【答案】D 【解析】【分析】不妨取(0,)D b ，再求得,A B两点的坐标为()2,a ，从而求得重心的坐标为4,33b a ⎛⎫⎪⎝⎭，进而得到222439ba c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得4b a =±，由此得解.【详解】因为双曲线2222:1x y C a b -=，则其虚轴上的顶点为(0,)b ±，不妨取(0,)D b ，联立222221x ax yab =⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得2x a y =⎧⎪⎨=⎪⎩，则,A B两点的坐标为()2,a ，所以ABD △的重心的坐标为22033a a b ⎛⎫++-+ ⎝⎭，即4,33b a ⎛⎫⎪⎝⎭，因为△ABD 的重心在以12F F 为直径的圆上，而12F F 为直径的圆的方程为222x y c +=，所以22222439ba c ab ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭，解得4b a =±，所以C的渐近线方程为4y x =±.故选：D.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分）9.在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 是底面ABCD 的中心，则（）A.1//A O 平面11B D CB.1AO 与1CD 成角为30ºC.111A O B D ⊥D.1A O ⊥平面1BDC 【答案】ABC 【解析】【分析】A.由1111//O ,O OC C OC C =，得到11A O CO 是平行四边形，从而11//A O CO ，再利用线面平行的判定定理判断；B.根据11//A B CD ，得到1OA B ∠为所成的角判断；C.由正方体的特征，得到BD ⊥平面11AA C C 判断；D.由2221111AO C O AC +≠判断；【详解】如图所示：A.因为1111//O ,O OC C OC C =，11A O CO 是平行四边形，所以11//A O CO ，因为1AO ⊄平面11B D C ，1CO ⊂平面11B D C ，所以1//A O 平面11B D C ，故正确；B.因为11//A B CD ，所以1OA B ∠为所成的角，又BD ⊥平面11AA C C ，则1BD AO ⊥，设棱长为a ，则1121,2,sin 22BO a A B a OA B ==∠=，因为10,2OA B π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，则130OA B ∠=，故正确；C.因为11111111111,,B D A C B D AA A C AA A ⊥⊥⋂=，所以BD ⊥平面11AA C C ，则1BD AO ⊥，故正确；D.因为11116,22A O C O A C a ===，2221111AO C O AC +≠，所以11,A O C O 不垂直，则1AO 与平面1BDC 不垂直，故错误；故选：ABC10.设椭圆22:12x C y +=的左右焦点为12,F F ，P 是C 上的动点，则（）A.12||||22PF PF +=B.离心率62e =C.短轴长为2，长轴长为4D.12F PF ∠不可能是钝角【答案】AD 【解析】【分析】利用椭圆的定义及性质逐一判断即可.【详解】 椭圆22:12x C y +=，2,1,1a b c ∴===，12||||222PF PF a ∴+==，A 正确；离心率22c e a ===，B 错误；短轴长为22b =，长轴长为2a =，C 错误；当点P 在椭圆短轴端点处时，12F PF ∠最大，此时()2221222224cos 0222a a c F PF a +-+-∠===⨯，得1290F PF ∠= ，故12F PF ∠不可能是钝角，D 正确.故选：AD .11.给出下列命题，其中正确的是（）A.若直线l 的方向向量(0,1,1)a =-，平面α的法向量()1,1,1n =-- ，则l ∥α；B.若平面α，β的法向量分别为12(0,1,3),(1,6,2)n n ==-，则αβ⊥；C.若平面α经过三点()()()1,0,1,0,1,0,1,2,0A B C --，向量()1,,=rn u t 是平面α的法向量，则1u t +=；D.若点()()1,2,3,1,1,5A B -，点C 是A 关于平面yOz 的对称点，则点B 与C【答案】BC 【解析】【分析】对于A ：通过计算n a ⋅ 以及线面平行的判定来判断；对于B ：通过计算21n n ⋅u r u u r 来判断；对于C ：通过计算AB n ⋅以及AC n ⋅ 来得答案；对于D ：求出对称点，然后利用距离公式计算．【详解】对于A ：(),(0,01,11,11)a n ⋅=--⋅-= ，则a n ⊥，又直线l 可能在平面α外，也可能在平面α内，故l ∥α或l ⊂α，A 错误；对于B ：12(0,1,3)(1,6,2)0n n ⋅=⋅-=，则αβ⊥，B 正确；对于C ：()()1,1,1,12,2,A AB C =-=- ，向量()1,,=rn u t 是平面α的法向量，则10220AB n u t AC n u t ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，解得10u t =⎧⎨=⎩，1u t ∴+=，C 正确；对于D ：点C 是A 关于平面yOz 的对称点，且()1,2,3A ，得()1,2,3C -,则BC ==D 错误．故选：BC ．12.随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用，双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知12,F F 分别为双曲线22:14x C y -=的左，右焦点，过C 右支上一点000(),2()A x y x >作直线l 交x 轴于04,0M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，交y 轴于点N ，则（）A.C 的渐近线方程为12y x =±B.过点1F 作1F HAM ⊥，垂足为H ，则2OH =C.点N 的坐标为010,y ⎛⎫⎪⎝⎭D.四边形12AF NF面积的最小值为【答案】ABD 【解析】【分析】根据方程，可直接求出渐近线方程，即可判断A 项；根据双曲线的光学性质可推得点H 为1F E 的中点.进而得出212OH F E =，结合双曲线的定义，即可判断B 项；由已知可得20044N N x y y y -+=，进而结合双曲线方程，即可得出点N 的坐标，即可判断C 项；由121212AF NF AF F NF F S S S =+V V ，代入利用基本不等式即可求出面积的最小值，判断D 项.【详解】对于A 项，由已知可得2a =，1b =，所以双曲线的渐近线方程为12y x =±，故A 项正确；对于B 项，如图，000020000444AM y x y x k x y x x ===--，且满足220044x y -=，所以直线AM 的方程为00014x y x y y =-，联立000221414x y x y y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩化简得220020x x x x -+=，由于220440x x ∆=-=，即AM 为双曲线的切线.由双曲线的光学性质可知，AM 平分12F AF ∠，延长1F H 与2AF 的延长线交于点E .则AH 垂直平分1F E ，即点H 为1F E 的中点.又O 是12F F 的中点，所以()221122OH F E AE AF ==-()12122AF AF a =-==，故B 项正确；对于C 项，设()0,N N y ，则000000440Ny y x x x --=--，整理可得20044N N x y y y -+=.又220014x y -=，所以有220044x y =+，所以有()2004444N N y y y y -++=，解得01N y y =-，所以N 点的坐标为010,y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故C 项错误；121212AF NF AF F NF F S S S =+V V 1200112F F y y ⎛⎫=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭12≥⨯=，当且仅当001y y =，即01y =±时，等号成立.所以，四边形12AF NF面积的最小值为D 项正确.故选：ABD【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用光学性质得点H 为1F E 的中点，结合双曲线的定义求解OH ，注意平面几何的特性是解决此类问题的捷径.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分）13.两平行直线3210x y +-=与6410x y ++=之间的距离为______.【答案】26【解析】【分析】根据两条平行直线间的距离公式，即可得解.【详解】将直线6410x y ++=化为13202x y ++=，所以这两条平行直线间的距离为1|1|226d --==.故答案为：26.14.已知方程22121x y m m -=++表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是______．【答案】32,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】【分析】直接根据椭圆标准方程与椭圆焦点位置的关系列不等式求解.【详解】方程22121x y m m -=++，即22121x y m m +=+--表示焦点在y 轴上的椭圆，得120m m -->+>，解得322m -<<-.故答案为：32,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭.15.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA =且1AB AD ==，M 为棱1DD 上的一点．当1A M MC +取得最小值时，1B M 的长为______．【解析】【分析】将侧面11AA D D 、侧面11CC D D 延展至同一平面，分析可知，当点1A 、M 、C 三点共线时，1A M MC+取最小值，推导出点M 为棱1DD 的中点，再利用勾股定理可求得线段1B M 的长.【详解】将侧面11AA D D 、侧面11CC D D 延展至同一平面，如下图所示：当点1A 、M 、C 三点共线时，1A M MC +取最小值，在上图矩形11AA C C 中，11A D CD =，11//A D CD ，则1111D M A D DM CD==，即1DM D M =，此时，点M 为1DD 的中点，如下图所示，连接11B D ，易知四边形1111D C B A 是边长为1的正方形，则11B D ===，因为1DD ⊥平面1111D C B A ，11B D ⊂平面1111D C B A ，所以，111DD B D ⊥，又因为M 为1DD 的中点，所以，11112122D M DD ==⨯=，由勾股定理可得1B M =.16.设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，且12π3F PF ∠=，若12F PF △的外接圆和内切圆的半径分别为R ，r ，当3R r =时，椭圆的离心率为______．【答案】35##0.6【解析】【分析】由正弦定理得到R =，再根据三角形面积公式和余弦定理得到)3a c r -=，从而根据3R r=得到方程，求出离心率.【详解】由题意得122F F c =，由正弦定理得12122sin 2F F F PF R ∠==，故R =，由椭圆定义可知，122PF PF a +=，故()()12212112PF F S PF PF F F r a c r =++=+V ，又121212211sin 2PF F S PF PF F PF PF =⋅∠=⋅V ，由余弦定理得()2222212121212121212122cos 22PF PF PF PF F F PF PF F F F PF PF PF PF PF +-⋅-+-∠==⋅⋅，即222112424122a PF PF c PF PF -⋅-=⋅，解得2212443a cPF PF -⋅=，故())222244334a c a c a c r--+==，解得)3a c r -=，因为3R r=)33ac =-⨯，解得35c a =.故答案为：35四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.平面直角坐标系中，已知ABC ∆三个顶点的坐标分别为(1,2)A -，(3,4)B -，(0,6)C .（1）求BC 边上的高所在的直线方程；（2）求ABC ∆的面积.【答案】（1）3210x y +-=；（2）5【解析】【分析】（1）写出BC 边所在的直线的斜率，即可求出BC 边上高的斜率，根据点斜式写出方程；（2）利用点到直线的距离求三角形的高，再根据两点间的距离求三角形的底BC，即可得解.【详解】（1）直线BC 的斜率6420(3)3BC k -==--，则BC 边上高所在直线斜率32k =-，则BC 边上的高所在的直线方程为32(1)2y x -=-+，即3210x y +-=.（2）BC 的方程为263y x =+，23180x y -+=.点A 到直线BC 的距离13d ==，||BC ==，则ABC ∆的面积11||52213S BC d ==⨯【点睛】本题主要考查了直线方程的点斜式，垂直直线斜率间的关系，点到直线的距离，属于中档题.18.已知直线l 经过两条直线2x ﹣y ﹣3＝0和4x ﹣3y ﹣5＝0的交点，且与直线x +y ﹣2＝0垂直．（1）求直线l 的方程；（2）若圆C 过点（1，0），且圆心在x 轴的正半轴上，直线l 被该圆所截得的弦长为，求圆C 的标准方程．【答案】（1）1y x =-（2）()2234x y -+=【解析】【分析】（1）先求得直线230x y --=和直线4350x y --=的交点坐标，再用点斜式求得直线l 的方程.（2）设圆C 的标准方程为()222x a y r -+=，根据已知条件列方程组，求得,a r ，由此求得圆C 的标准方程.【小问1详解】230243501x y x x y y --==⎧⎧⇒⎨⎨--==⎩⎩.直线20x y +-=的斜率为1-，所以直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为()112,1y x y x -=⨯-=-.【小问2详解】设圆的标准方程为()222x a y r -+=，则()2222213,2a r a r r ⎧-=⎪⎪⇒==⎨+=⎪⎪⎩，所以圆的标准方程为()2234x y -+=.19.直三棱柱111ABC A B C -中，110,8,6,8AB AC BC AA ====，D 为线段AB上一动点．（1）当D 为线段AB 的中点时．证明：1//AC 平面1B CD（2）当13BD AB =时，求直线1B B 与平面1CDB 所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）利用三角形中位线性质可得1//DE AC ，再利用线面平行的判定定理即可得证；（2）利用勾股定理可得ACBC ⊥，从而建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法即可得解.【小问1详解】连接1BC ，交1B C 于点E ，连接DE ，如图，四边形11BCC B 为平行四边形，E ∴为1BC 的中点，又D 为AB 的中点，1//DE AC ∴，DE ⊂ 平面1B CD ，1AC ⊄平面1B CD ，1//AC ∴平面1B CD .【小问2详解】因为110,8,6,8AB AC BC AA ====，所以222AC BC AB +=，故AC BC ⊥，又在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，则以C 为坐标原点，1,,CB CA CC 正方向为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系如图，则()0,0,0C ，()6,0,0B ，()16,0,8B ，()0,8,0A ，设(),,0D a b ，由13BD AB =得：3BA BD = ，即()()6,8,036,,0a b -=-，解得4a =，83b =，84,,03D ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，84,,03CD ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，()16,0,8CB = ，设平面1CDB 的法向量(),,n x y z = ，则18403680CD n x y CB n x z ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩ ，令6y =，则4x =-，3z =，()4,6,3n ∴=- ，又()10,0,8BB = ，设直线1B B 与平面1CDB 所成角为02πθθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则111361sin cos ,61BB n BB n BB nθ⋅===⋅ ，所以直线1B B 与平面1CDB.20.已知双曲线222:1(0)y E x b b -=>，点()2,3P --在E 上．（1）求E 的方程；（2）过点()0,1Q -的直线l 交E 于不同的两点A ，B （均异于点P ），求直线PA ，PB 的斜率之和．【答案】（1）2213y x -=（2）3【解析】【分析】（1）将点P 坐标代入，即可得出答案；（2）设出l 的方程为1y kx =-，联立直线与双曲线的方程得出()223240k x kx -+-=，根据已知求出k 的范围.设()()1122,,,A x y B x y ，进而根据韦达定理得出12,x x 的关系，表示出斜率，求和化简即可得出答案.【小问1详解】将点()2,3P --代入双曲线方程可得，()()222321b ---=，解得23b =，所以，E 的方程为2213y x -=.【小问2详解】由已知易得直线l 的斜率一定存在，设斜率为k ，则l 的方程为1y kx =-.联立直线与双曲线的方程22131y x y kx ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，整理可得()223240k x kx -+-=，则()()()222230Δ21631240k k k k ⎧-≠⎪⎨=+-=-->⎪⎩，解得2<<2k -且k ≠.设()()1122,,,A x y B x y ，由韦达定理可得1221222343k x x k x x k ⎧+=-⎪⎪-⎨⎪=-⎪-⎩，则12123322PA PB y y k k x x +++=+++()()()()()()122112323222y x y x x x +++++=++()()()()()12211212222224kx x kx x x x x x +++++=+++()()()12121212222824kx x k x x x x x x ++++=+++()()()()()2282228342243k k k k k k -++-+-=-+-+-221212243448k k k k --+==--+.21.如图，正方形ADEF 所在平面和等腰梯形ABCD 所在平面相互垂直，已知4,2BC AB AD ===．（1）求证：AC BF ⊥；（2）在线段BE 上是否存在一点P ，使得平面PAC ⊥平面BCEF ？若存在，求出||||PE BP 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在，||3||2PE BP =【解析】【分析】（1）先得到AF ⊥面ABCD ，则AF AC ⊥，再过A 作AH BC ⊥于H ，由勾股定理得到AC AB ⊥，由此可证明AC BF ⊥；（2）分别以,,AB AC AF 方向为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出线段BE 上存在一点P ，使得平面PAC ⊥平面BCEF ．【小问1详解】平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF 平面ABCD AD =，又AF AD ⊥，AF ⊂平面ADEF ，AF ∴⊥面ABCD ， AC ⊂平面ABCD ，AF AC ∴⊥，过A 作AH BC ⊥于H，则31 ,BH AH CH ===222 ,AC AB AC BC AC AB ∴=∴+=∴⊥，又AF AB A ⋂=，,AF AB ⊂面FAB ，AC ∴⊥面FAB ，又BF ⊂面FAB ，AC BF ∴⊥；【小问2详解】由（1）知,,AF AB AC 两两垂直，分别以,,AB AC AF 方向为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，，则()()()()0,0,0,2,0,0,,A B C E -，假设在线段BE 上存在一点P ，使得平面PAC ⊥平面BCEF 设||,0||BP PE λλ=>，则()()()222,0,02,0,02,,11111AP AB BP BE λλλλλλλλλ⎛⎫-=+=+=+-= ⎪ ⎪+++++⎝⎭ ，设平面PAC 的一个法向量为(),,m x y z = ，由()22,,,0,111AP AC λλλλλ⎛⎫-== ⎪ ⎪+++⎝⎭得2201110m AP x y z m AC λλλλλ⎧-⋅=++=⎪+++⎨⎪⋅==⎩，取1x =得21,0,2m λλ-⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，设平面BCEF 的一个法向量为(),,n a b c = ，，()(),BC BE =-=-，得20320n BC a n BE a c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ，取1a =得1,,13n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，平面PAC ⊥平面BCEF21002m n λλ-∴⋅=++= ，解得23λ=，||2||3BP PE ∴=，即||3||2PE BP =∴在线段BE 上存在一点P ，使得平面PAC ⊥平面BCEF ，且||3||2PE BP =.22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，点为A 椭圆C 的右顶点，点B 为椭圆上一动点，O 为坐标原点，若OAB 面积的最大值为1．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若54OM ON k k ⋅=，求MON △面积的最大值．【答案】（1）2214x y +=（2）1【解析】【分析】（1）当点B 为椭圆短轴端点时，OAB 面积最大，从而得到,a b 关系，结合离心率，222a b c =+，求出2a ，2b ，得到椭圆方程.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程，由弦长公式求弦长，再由点到直线的距离求点O 到直线l 的距离，写出三角形面积公式，再利用换元法，结合二次函数求最值.【小问1详解】当点B 为椭圆短轴端点时，OAB 面积的最大值为1，此时112S a b =⨯⨯=，即2ab =，又因为32c a =，222a b c =+，所以24a =，21b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.【小问2详解】联立2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 得()222148440k x kmx m +++-=，由()()22222264414446416160k m km k m ∆=-⨯+⨯-=-+>，得2241k m +>，设()11,M x y ，()22,N x y ，则122814km x x k +=-+，21224414m x x k-=+，因为54OM ON k k ⋅=，所以121254y y x x =，所以()()121254kx m kx m x x ++=，即()()()2222224518410k m k m m k ---++=，即2254k m +=，因为2241k m +>，即2605m <<，215204k <<2220114MN k ==+点O 到直线l的距离为d =12MON S MN d =⨯⨯= ，令214k t +=，所以665t <<，11566t <<，MON S==1=≤，所以当112t =时，即12k =±时，MON △面积最大，最大值为1.。
重庆市名校联盟2023-2024学年度高二上学期期中联考数学试题
秘密★启用前重庆市名校联盟2023-2024学年度第一期期中联合考试数学试题（高2025届）【命题学校：万州高级中学 命题人：莫益梅 审题人：石龙飞】（本试卷共4页，总分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、座位号及科类名称。
2．请将准考证条形码粘贴在右侧的[考生条形码粘贴处]的方框内。
3．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整、笔迹清楚。
4．请按题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。
5．保持答题卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知点()()0,1,1,0A B ，则直线AB 的倾斜角为（ ）A ．34π B C ．3πD ．4π2．已知空间向量()()1,,2,1,2,1a m b =−=−− ，若3a b ⋅=−，则m 的值为（ ） A ．1B ．1−C ．2D ．2−3．已知直线12,l l 的斜率是方程220x mx +−=的两个根，则（ ） A ．12l l ∥B ．12l l ⊥C ．1l 与2l 相交但不垂直D ．1l 与2l 的位置关系不确定4．过点()()1,1,1,1A B −−，且圆心在直线20x y +−=上的圆的方程是（ ） A ．22(1)(1)4x y −+−= B ．22(3)(1)4x y ++−= C ．22(3)(1)4x y −++=D ．22(1)(1)4x y +++=5．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．已知四棱锥P ABCD −是阳马，PA ⊥平面ABCD 且3PE EC =，若,,AB a AD b AP c === ，则DE = （ ）A ．333884a b c +−B ．331443a b c +−C ．332443a b c +−D ．311444a b c −+6．已知直线:310l mx y m −−+=恒过点P ，过点P 作直线与圆22:(1)(2)25C x y −+−=相交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ）A ．B ．2C ．4D ．7．如图，平面ABCD 与平面BCEF 所成的二面角是,3PQ π是平面BCEF 内的一条动直线，4DBC π∠=，则直线BD 与PQ 所成角的正弦值的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．8．在平面直角坐标系xOy 中，若圆2221:(4)(1)(0)C x y r r ++−=>上存在点P ，且点P 关于直线1y x =+的对称点Q 在圆222:(4)4C x y −+=上，则r 的取值范围是（ ） A ．()3,7B ．[]3,7C ．()3,+∞D ．[)3,+∞二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
重庆市渝高2024-2025学年高二上学期期中联合检测数学试题含答案
高2026届高二（上）期中联合检测数学试题（答案在最后）（满分150分.考试用时120分钟.）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的学校姓名、考试室号、座位号填写在答题卷上.考生要认真核对答题卷条形码上的信息与本人所填写信息是否一致.2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需要改动用橡皮擦干净，再选涂其他答案标号.第II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答，答案无效.3.考试结束.监考人员将试卷、答题卷一并收回.一、单选题（每题5分）1.直线310y --=的倾斜角为（）A.30oB.60oC.120D.150【答案】A 【解析】【分析】根据直线倾斜角与斜率之间的关系即可求解.【详解】将直线变形为13y =-，即斜率为33k =，设直线的倾斜角为θ，则3tan 3θ=，因为0180θ︒≤<︒，所以30θ=︒.故选：A.2.已知0,0a b >>，若直线1:20l ax by +-=与直线()2:2110l x a y +-+=垂直，则2+a b 的最小值为（）A.1B.3C.8D.9【答案】D 【解析】【分析】根据两直线方程表达式及其位置关系可得211b a+=，在利用基本不等式即可求得2+a b 的最小值.【详解】由题可知，两条直线斜率一定存在，又因为两直线垂直，所以斜率乘积为1-，即211a b a ⎛⎫-⨯-=- ⎪-⎝⎭，即2a b ab +=，整理可得211b a+=，所以()21222214529ab a b a b b a b a ⎛⎫+=++=+++≥+⎪⎝⎭，当且仅当3a b ==时，等号成立；因此2+a b 的最小值为9.故选：D3.椭圆2214x y m +=的焦距是2，则m 的值是（）A.3 B.5C.3或5D.不存在【答案】C 【解析】【分析】分焦点在x 轴和y 轴上两种情况求解即可.【详解】∵22c =，∴1c =．当椭圆的焦点在x 轴上时，2a m =，24b =，24c m =-．∴41m -=，5m =．当圆的焦点在y 轴上时，24a =，2b m =，∴241c m =-=，∴3m =．综上，m 的值是3或5．故选：C4.已知圆C 经过点()1,1-和点()1,3B ，且圆心在y 轴上，则圆C 的方程为（）A.()2222x y ++= B.()22210x y -+=C.()2222x y +-= D.()22210x y ++=【答案】C 【解析】【分析】先利用待定系数法求得圆C 的一般方程，进而得到圆C 的标准方程.【详解】设圆C 的方程为22+=0x y Dx Ey F +++，则圆心,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则有110021930D E F DD E F +-++=⎧⎪⎪-=⎨⎪++++=⎪⎩，解之得042D E F =⎧⎪=-⎨⎪=⎩,则有圆C 的方程为224+2=0x y y +-，即()2222x y +-=故选：C5.已知点(),x y是曲线y =上任意一点，则23y x --的取值范围是（）A.()0,2 B.[]0,2 C.2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】在平面直角坐标系中作出曲线y =，这是一个半圆，23y x --的几何意义是半圆上的点(,)P x y 与定点(3,2)Q 连线的斜率，由几何意义易得结论．【详解】曲线y =是以原点为圆心，2为半径的上半圆，如图，23y x --表示半圆上的点(,)P x y 与定点(3,2)Q 连线的斜率，由图，20232QB k -==-，当0QA k =时，直线QA 与半圆相切，∴02PQ k ≤≤，即23y x --的取值范围是[0,2]．故选：B．【点睛】方法点睛：本题考查分式的取值范围，解题方法是数形结合思想，利用分式的几何意义：23y x --可以表示动点(,)x y 与定点(3,2)连线的斜率，从而作出动点所在曲线，由几何意义易得解．6.已知直线1:12l y x =+与椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>相交于A 、B ，且AB 的中点为11,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则椭圆C 的离心率为（）A.3B.2C.2D.12【答案】B 【解析】【分析】利用点差法求得,a b 关系，再利用椭圆的离心率公式可得答案.【详解】设,A B 两点坐标分别为()()1122,,,x y x y ，因为且AB 的中点为11,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以121211,222x x y y ++=-=，因为()()1122,,,A x y B x y 在椭圆C 上，所以2211221x y a b +=①2222221x y a b+=，两式相减，得()()()()222121212121122222220x x x x y y y y x y x y a b a b+-+--=+-+=，根据121211,222x x y y ++=-=，上式可化简为()12122220x x y y a b ---+=，整理得2122122y y b x x a -=-，又121212y y k x x -==-，所以22212b a =，即2214b a =，所以2c e a ===.故选：B.7.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，渐近线方程为y x =±，焦距为8，点A 的坐标为()1,3，点P 为C 的右支上的一点，则PF PA +的最小值为（）A.+B.C.D.【答案】C【分析】利用双曲线的定义及渐近线方程，将||PF 转化为12||a PF +的形式，通过点共线判断并计算PF PA +的最小值即可.【详解】如图所示由题意知222128b ac c a b⎧=⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎩，解得 4.a b c ===记C 的右焦点为1F ，即()14,0F ，由双曲线的定义，得1||||2PF PF a -==，即1||||PF PF =所以11PF PA PA PF AF +=++≥=+=，当且仅当点P 在线段1AF 上时等号成立,所以PF PA +的最小值为.故选：C.8.如图，已知抛物线24y x =，圆22:20C x y x +-=，过C 点的直线l 与抛物线和圆依次交于P ，M ，N ，Q，则PM QN ⋅等于（）A.1B.2C.4D.8【解析】【分析】设()11,P x y ，()22,Q x y ，由抛物线的焦半径公式求得PM ，QN ，按直线斜率存在和不存在分类讨论，斜率不存在时直接求出21x x ，斜率存在时，设出直线方程，代入抛物线方程后应用韦达定理得结论．【详解】圆()22:11C x y -+=，点C 与抛物线的焦点重合，设()11,P x y ，()22,Q x y ，所以()11111PM PC x x =-=+-=，()22111QN QC x x =-=+-=，∴12PM QN x x ⋅=．①当直线l 的斜率不存在时，:1l x =，∴121x x =；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =-(0k ≠),与抛物线方程24y x =联立消y ，得()2222240k x k x k -++=，∴121x x =．综上，121PM QN x x ⋅==.故选：A ．二、多选题（每题6分）9.已知直线:210l x my ++=，圆22:3E x y +=，则下列说法正确的是（）A.直线l 必过点()1,0B.直线l 与圆E 必相交C.圆()(22:312F x x -+-=与圆E 有3条公切线D.当12m =时，直线l 被圆E 【答案】BC 【解析】【分析】由直线方程确定过定点(1,0)-，判断定点与圆22:3E x y +=位置关系判断A 、B ；根据两圆圆心距离与半径间的关系判断C ；应用点线距离及弦长的几何求法求弦长.【详解】A ：由:210l x my ++=，则必过定点(1,0)-，错；B ：将定点(1,0)-代入圆，有22(1)013-+=<，故点(1,0)-在圆内，即直线l 与圆E 必相交，对；C ：由题设(0,0)E 且半径为1r =F 且半径为2r =，所以12||EF r r ==+，即两圆外切，故两圆有3条公切线，对；D ：由题设:10l x y ++=，则(0,0)E 到直线l 的距离d =故直线l 被圆E 截得的弦长为=.故选：BC10.已知抛物线C 过点()1,4A -，则（）A.拋物线C 的标准方程可能为216y x =B.挞物线C 的标准方程可能为214x y =-C.过点A 与抛物线只有一个公共点的直线有一条D.过点A 与抛物线只有一个公共点的直线有两条【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意设出抛物线的方程，利用点在抛物线上及直线与抛物线的位置关系即可求解.【详解】对于选项A ，当抛物线开口向右时，设抛物线的方程为22y px =，将()1,4A -代入抛物线C 中得8p =，则拋物线C 的方程为216y x =，故A 正确；对于选项B ，当抛物线开口向下时，设抛物线的方程为22x py =-，将()1,4A -代入拋物线C 中得18p =，则抛物线C 为214x y =-，故B 正确；对于C 、D 选项，过点A 与对称轴平行的直线，以及抛物线在点A 处的切线都与抛物线只有一个公共点，故C 错误，D 正确.故选：ABD.11.“嫦娥五号”是中国首个实施无人月面取样返回的月球探测器，是中国探月工程的收官之战，实现了月球区域着陆及采样返回.如图所示，月球探测器飞到月球附近时，首先在以月球球心F 为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月飞行，然后在P 点处变轨进入以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ上绕月飞行，最后在Q 点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ上绕月飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R ，圆形轨道Ⅲ的半径为r ，则以下说法正确的是（）A.椭圆轨道Ⅱ的焦距为R r -B.C.若r 不变，则椭圆轨道Ⅱ的离心率随R 的增大而增大D.若R 不变，则椭圆轨道Ⅱ的离心率随r 的增大而增大【答案】AC 【解析】【分析】根据图中几何关系列方程组求出a ，c ，然后可得b ，可判断AB ；分离常数，利用反比例函数的性质可判断CD .【详解】在椭圆中，由图可知2PQ a R r a c QF r==+⎧⎨-==⎩，解得,22R r R ra c +-==，所以b ==2,2c R r b =-=，A 正确，B 错误；21c R r r e a R r R r -===-++，当r 不变时，由反比例函数的性质可知，函数2()1r f R R r =-+在(0,)+∞上单调递增，C 正确；21c R r R e a R r R r-===-+++，当R 不变时，由反比例函数的性质可知，函数2()1R f r R r =-++在(0,)+∞上单调递减，D 错误.故选：AC三、填空题（每题5分）12.过点()1,1作圆222x y +=的切线，则切线方程为______.【答案】20x y +-=【解析】【分析】求出切点与圆心连线的斜率后可得切线方程.【详解】由题意可知：圆222x y +=的圆心为()0,0，因为点()1,1在圆222x y +=上，故切线必垂直于切点与圆心连线，而切点与圆心连线的斜率为10110-=-，故切线的斜率为1-，故切线方程为：()11y x -=--即20x y +-=.故答案为：20x y +-=.13.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点P 为抛物线C 上任意一点，若点()4,2A ，则PFPA +的最小值为___________；【答案】5【解析】【分析】设点P 在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|进而把问题转化为求|PA|+|PD|取得最小，进而可推断出当D，P，A 三点共线时|PA|+|PD|最小，答案可得．【详解】抛物线C：y 2=4x 的准线为x=﹣1．设点P 在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|，要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小．当D，P，A 三点共线时，|PA|+|PD|最小，为4﹣（﹣1）=5．故答案为5．【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D，P，A 三点共线时|PA|+|PD|最小，是解题的关键．14.若双曲线22221(0),0x y a b a b-=>>与直线30x y +=没有交点，则双曲线离心率的取值范围为_____．【答案】(【解析】【分析】利用双曲线渐近线方程为b y x a =±，对于y kx =与双曲线无交点只需b k a ≤-或bk a≥，可得3ba-≤-，进而求得双曲线离心率的取值范围.【详解】依题意可得双曲线渐近线方程为by x a=±，直线30x y +=与双曲线没有交点，则3ba-≤-，即3b a ≤，易知e ==，又已知双曲线离心率1e >,所以双曲线离心率的取值范围为(.故答案为：(四、解答题15.已知直线12:230,:2380l x y l x y -+=+-=．（1）经过点(1,4)A 且与直线1l 平行的直线；（2）经过点(1,4)A 且与直线2l 垂直的直线；（3）经过直线1l 与2l 的交点，且在两坐标上的截距相等的直线．【答案】（1）270x y -+=（2）3250x y -+=（3）2y x =或30x y +-=【解析】【分析】（1）根据平行直线的直线系方程假设出直线，再根据题意求解即可；（2）根据垂直直线的直线系方程假设出直线，在根据题意求解即可；（3）先求出直线1l 与2l 的交点，再分截距为0和截距不为0两种情况讨论即可.【小问1详解】设所求直线的方程为120x y C -+=，依题意有11240C -⨯+=，解得17C =，所以所求直线方程为270x y -+=；【小问2详解】设所求直线方程为2320x y C -+=，依题意有231240C ⨯-⨯+=，解得25C =，所以所求直线方程为3250x y -+=；【小问3详解】联立2302380x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，即直线1l 与2l 的交点为()1,2，当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为y kx =，代入()1,2得2k =，此时2y x =；当直线的截距都不为0时，假设直线方程为1(,0)x y a b a b+=≠，依题意121a b a b=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得3a b ==，此时直线方程为133x y +=，即30x y +-=综上所述2y x =或30x y +-=.16.已知圆C 过三点()()()1,3,1,7,4,2-．（1）求圆C 的方程；（2）斜率为1的直线l 与圆C 交于M ，N 两点，若CMN 为等腰直角三角形，求直线l 的方程．【答案】（1）()()221225x y -++=（2）20x y -+=或80x y --=【解析】【分析】（1）根据圆过点()()1,3,1,7-，得到圆心在=2y -上，设圆心坐标(),2x -，再由圆心到圆上的点的距离相等求解；（2）设直线l 的方程为：0x y c -+=，根据CMN为等腰直角三角形，由圆心到直线的距离22d r ==求解.【小问1详解】解：因为圆过点()()1,3,1,7-，故圆心在=2y -上，设圆心坐标(),2x -，则()()22125416x x -+=-+，解得1x =．故其半径5r ==．故圆的方程为：()()221225x y -++=；【小问2详解】设直线l 的方程为：0x y c -+=，因为CMN 为等腰直角三角形，∴圆心到直线的距离52d =⋅=35c +=，解得2c =或－8，所以l ：20x y -+=或80x y --=．17.已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的一条渐近线方程为2y x =，一个焦点到该渐近线的距离为1.（1）求C 的方程；（2）经过点()1,4M 的直线l 交C 于,A B 两点，且M 为线段AB 的中点，求l 的方程.【答案】（1）2214y x -=（2）3y x =+【解析】【分析】（1）根据双曲线方程得到渐近线方程，即可得到2a b=，再由点到线的距离公式求出c ，最后根据222c a b =+计算可得；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的斜率为k ，利用点差法计算可得；【小问1详解】解：双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的渐近线为a y x b =±，即0ax by ±=，所以2a b=，又焦点()0,c 到直线2y x =的距离1d ==，所以c =，又222c a b =+，所以24a =，21b =，所以双曲线方程为2214y x -=【小问2详解】解：设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的斜率为k ，则122x x +=，128y y +=，所以221114y x -=，222214y x -=，两式相减得22221212404y y x x +--=，即()()()()121212124y y y y x x x x -++=-即()()()()121212124y y y y x x x x -++=-，所以44k =，解得1k =，所以直线l 的方程为41y x -=-，即3y x =+，经检验直线:3l y x =+与双曲线C 有两个交点，满足条件，所以直线l 的方程为3y x =+.18.已知抛物线2:2(03)C y px p =<<，其焦点为F ，点(,Q m 在抛物线C 上，且4QF =．（1）求抛物线C 的方程；（2）O 为坐标原点，,A B 为抛物线上不同的两点，且OA OB ⊥，（i ）求证直线AB 过定点；（ii ）求AFO V 与ABO 面积之和的最小值．【答案】（1）24y x=（2）（i ）证明见解析；（ii ）【解析】【分析】（1）利用焦半径公式建立方程，解出参数，得到抛物线方程即可.（2）（i ）设出x sy t =+，利用给定条件建立方程求出4t =，最后得到定点即可.（ii ）利用三角形面积公式写出面积和的解析式，再利用基本不等式求最小值即可.【小问1详解】抛物线2:2(03)C y px p =<<，其焦点为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，可得42p QF m =+=，且212pm =，解得2p =（另一个根舍去），3m =，则抛物线的方程为24y x =；【小问2详解】（i ）如图，设AB 的方程为x sy t =+，1122()A x y B x y ,,(,)，联立24x sy t y x=+⎧⎨=⎩，可得2440y sy t --=，则216160s t +>，又124y y t =-，221212()16y y x x t ==，由OA OB ⊥，可得2121240x x y y t t +=-=，解得4t =（另一个根舍去），所以直线AB 恒过定点(4,0)N ；（ii ）由上小问可得120y y <，不妨设210,0y y <>，则AFO V 与ABO 面积之和为1121122S y OF y y ON =⋅+-⋅，12121152()2822y y y y y =-+-=-≥，当且仅当15y =-，2y =时，上式取得等号，则AFO V 与ABO 面积之和的最小值为．19.若一个椭圆的焦距为质数，且离心率的倒数也为质数，则称这样的椭圆为“质朴椭圆”.（1）证明：椭圆224122554y x +=为“质朴椭圆”.（2）是否存在实数m ，使得椭圆()22103636x y m m+=<<为“质朴椭圆”？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由.（3）设斜率为2的直线l 经过椭圆()222:1039x y C b b+=<<的右焦点，且与C 交于A ，B 两点，6011AB =，试问C 是否为“质朴椭圆”，说明你的理由.【答案】（1）证明见解析（2）不存在实数m ，理由见解析（3）C 为“质朴椭圆”，理由见解析【解析】【分析】（1）（2）根据椭圆的方程可得焦距与离心率，再根据“质朴椭圆”的定义判断即可；（3）联立直线与椭圆，根据韦达定理及弦长公式可得b ，进而可判断.【小问1详解】由已知椭圆224122554y x +=，即152a =，b =，则32c ==，所以焦距23c =，离心率15c e a ==，即15e=，所以该椭圆的焦距为质数，离心率的倒数也为质数，即椭圆为“质朴椭圆”；【小问2详解】椭圆()22103636x y m m+=<<的焦距为，离心率6e ==，若存在实数m ，使得椭圆()22103636x y m m+=<<为“质朴椭圆”，则均为质数，又012<<，所以2=，3，5，7，11，1=，32，52，72，112，6=，4，125，127，1211，这些数都不是质数，所以不存在实数m，使得椭圆()22103636x y mm+=<<为“质朴椭圆”；【小问3详解】设C的右焦点为(),0c(c=，则直线l方程为()2y x c=-，设直线l与椭圆的交点为1,1，2,2，联立()222219y x cx yb⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()222236723690b x cxc b+-+-=，0∆>，则1222727293636cx xb b+==++，2221222369324453636c b bx xb b--==++，2230603611bABb==+，解得28b=，则C的焦距为22c==为质数，离心率13cea==，其倒数13e=为质数，所以C为“质朴椭圆”.。
重庆市中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析
2023-2024学年半期测试高二（上）数学试题（答案在最后）数学试题卷共4页，考试时间120分钟，满分150分.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考号等填写在答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设()1,,2a y = ，()1,1,1b =--，且a b ⊥ ，则y 等于（）A.1-B.1C.2- D.2【答案】A 【解析】【分析】由空间向量垂直的坐标表示可求得实数y 的值.【详解】由已知可得120a b y ⋅=--=，解得1y =-.故选：A.2.已知点1,3A （），5,7B （），则线段AB 的垂直平分线所在的直线方程为（）A.250x y +-=B.80x y +-=C.230x y ++=D.60x y ++=【答案】B 【解析】【分析】先求出线段AB 的中点坐标及直线AB 的斜率，再通过垂直求出其垂直平分线的斜率，最后利用点斜式即可求出方程.【详解】线段AB 的中点为()3,5，73151AB k -==-，则线段AB 垂直平分线的斜率为1-，则线段AB 垂直平分线方程为()513y x -=-⨯-，即80x y +-=.故选：B.3.如图，空间四边形OABC 中，OA a OB b OC c=== ，，，点M 在OA 上，且满足2OM MA =，点N 为BC 的中点，则NM =（）A.121232a b c -+B.211322a b c-++C.211322a b c --D.211322a b c +- 【答案】C 【解析】【分析】由空间向量基本定理求解即可.【详解】解：由2OM MA =，点N 为BC 的中点，可得()2121132322NM OM ON OA OB OC OA OB OC =-=-+=--，又OA a OB b OC c ===，，，211322NM a b c ∴=-- ．故选：C .4.直线1y x =-被椭圆2224x y +=所截得的弦的中点坐标是（）A.13,23⎛⎫-⎪⎝⎭B.233,1⎛⎫-⎪⎝⎭C.12,13⎛⎫-⎪⎝⎭D.11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】联立方程组，求出弦的中点的横坐标，代入直线方程，即可求出纵坐标.【详解】设弦为AB ,1122(,),(,)A x y B x y ,由22124y x x y =-⎧⎨+=⎩，消去y 得222(1)4x x +=-，即23230x x --=.()()22433400∆=--⨯⨯-=>，1223x x +=，所以弦的中点的横坐标是12123x x x +==，代入直线方程1y x =-中，得23y =-.所以弦的中点坐标是12,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：A.5.已知圆C 过点(7,2)A -，(4,1)B ，且圆心在x 轴上，则圆C 的方程是（）A.22(5)8x y -+=B.22(6)5x y -+= C.22(5)4x y -+= D.22(4)13x y -+=【答案】B 【解析】【分析】根据圆心在x 轴上，设出圆C 的方程，把点(7,2)A -，(4,1)B 的坐标代入圆的方程即可求出答案.【详解】因为圆C 的圆心在x 轴上，所以设圆C 的方程为()222x a y r -+=，因为点(7,2)A -，(4,1)B 在圆C 上，所以()()22227441a r a r⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得26,5a r ==，所以圆C 的方程是22(6)5x y -+=.故选：B.6.已知不全为0的实数,,a b c 满足2b a c =+，则直线0ax by c -+=被曲线22220x y x y +--=截得的弦长的最小值为（）．A.B.1C. D.2【答案】D 【解析】【分析】将代入2b a c =+直线方程0ax by c -+=中，得出直线0ax by c -+=过定点()1,2A ，则当圆心与()1,2A 连线垂直于直线0ax by c -+=时，弦长最小，然后根据垂定定理求解.【详解】因为2b a c =+，所以直线0ax by c -+=可化为()()220a x y c y -+-=，则0ax by c -+=过定点()1,2A ，又22220x y x y +--=可化为()()22112x y -+-=，因此当圆心()1,1C 与()1,2A 连线垂直于直线0ax by c -+=时，直线0ax by c -+=被曲线22220x y x y +--=截得的弦长最小，此时最小值为2==.故选：D.【点睛】本题考查直线与圆的相交弦长计算问题，考查弦长最值的求解，难度一般，关键在于分析出直线过定点，然后分析当弦长取得最值时的条件.7.已知EF 是棱长为8的正方体外接球的一条直径，点M 在正方体表面上运动，则ME MF ⋅的最小值为（）A.48-B.32- C.16- D.0【答案】B 【解析】【分析】本题通过基底法，得到22||||ME MF MO OE ⋅=-，再通过立体图得到OE 的值，以及MO 的最小值，最终代入数据得到最小值.【详解】如图EF 为棱长为8的正方体外接球的一条直径,O 为球心，M 为正方体表面上的任一点则球心O 也就是正方体的中心，所以正方体的中心O 到正方体表面任一点M 的距离的最小值为正方体的内切球的半径,它等于棱长的一半，即长度为4，,EF 的长为正方体的对角线长，为我们将三角形MEF 单独抽取出来如下图所示：()()ME MF MO OE MO OF ⋅=+⋅+ ()()MO OE MO OE =+⋅- 22||||MO OE =- 2283||2MO ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 2||48MO =- 所以ME MF ⋅的最小值为244832-=-.故选：B.【点睛】将空间向量知识与正方体结合考察最值问题，难度较大，需要一定空间想象能力以及向量基底法的熟练运用，平时要多加训练.8.已知O 为坐标原点，P 是椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>上位于x 轴上方的点，F 为右焦点.延长PO ，PF 交椭圆E 于Q ，R 两点，QF FR ⊥，3QF FR =，则椭圆E 的离心率为（）A.33B.22C.53D.104【答案】B 【解析】【分析】由椭圆的对称性，及QF FR ⊥，得四边形1PFQF 为矩形，设PF m =，利用椭圆的定义，及条件所给出的长度关系，可表示出23a m FR -=，143a m F R +=，223a mPR +=，利用勾股定理，求出m ，推断出点P 的位置，求出离心率.【详解】如图，设左焦点为1F ，连接1PF ，1QF ，1RF ，由题，P ，Q 关于原点对称，所以四边形1PFQF 为平行四边形，又因为QF FR ⊥，所以四边形1PFQF 为矩形.设PF m =，则12QF PF a m ==-，又因为3QF FR =，则23a m FR -=，143a m F R +=，223a mPR +=，在1Rt F PR △中，22211PF PR F R +=，即()222224233a m a m a m ++⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得m a =或2m a =（舍去），故点P 为椭圆的上顶点.由1F P PF ⊥，所以()2222a a c +=，即222a c =，所以离心率22e ==.故选：B.【点睛】解题时注意数形结合，抓住椭圆的对称性，将图形关系用含a ，b ，c 的代数式表示出来，即可求解离心率.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.若()1,,2a λ=-- ，()2,1,1b =- ，a 与b的夹角为120 ，则λ的值为（）A.17 B.17- C.1- D.1【答案】AC 【解析】【分析】根据空间向量夹角公式计算可得答案.【详解】因为()1,,2a λ=-- ，()2,1,1b =- ，a 与b的夹角为120 ，所以1cos1202⋅==-⋅a b a b ，解得17λ=或1λ=-.故选：AC.10.已知直线():210l m x y m ++++=，圆22:450C x y x ++-=，则（）A.圆C 的圆心为(2,0)B.直线l 过定点()1,1-C.圆心到直线l D.无论m取何值，直线l 与圆C 相交【答案】BCD【解析】【分析】将圆的标准方程转化为一般方程可判断A,求出直线恒过的定点可判断B,C,D.【详解】由题可得()22:29C x y ++=，所以圆C 的圆心为(2,0)-，故A 错误；由()210m x y m ++++=的()2110x y m x ++++=，联立21010x y x ++=⎧⎨+=⎩解得1,1x y =-=，所以直线l 过定点()1,1-，故B 正确；直线l 过定点为()1,1P -，当CP l ⊥时，圆心到直线l的距离最大为CP ==C 正确；因为3CP ==<，所以直线l 过定点()1,1-在圆内，所以无论m 取何值，直线l 与圆C 相交，故D 正确；故选:BCD.11.已知空间中三点()0,1,0A ，()2,2,0B ，()1,3,1C -，则（）A.AB 与AC是共线向量B.直线AB 的一个方向向量是()2,1,0C.AB 与BC夹角的余弦值是11-D.平面ABC 的一个法向量是()1,2,5-【答案】BCD 【解析】【分析】根据给定的空间点的坐标，结合空间向量运算逐项分析、计算作答.【详解】空间中三点()0,1,0A ，()2,2,0B ，()1,3,1C -，对于A ，(2,1,0),(1,2,1)AB AC ==-，显然2112≠-，即AB 与AC不是共线向量，A 不正确；对于B ，因(2,1,0)AB =，则直线AB 的一个方向向量是()2,1,0，B 正确；对于C ，(3,1,1)BC =-，则55cos ,11||||AB BC AB BC AB BC ⋅〈〉==-，C 正确；对于D ，由选项A 知，向量(2,1,0),(1,2,1)AB AC ==-不共线，令()1,2,5n =- ，则211(2)050,112(2)150n AB n AC ⋅=⨯+⨯-+⨯=⋅=-⨯+⨯-+⨯= ，即,n AB n AC ⊥⊥ ，因此()1,2,5n =-是平面ABC 的一个法向量，D 正确.故选：BCD12.已知1F 、2F 分别为椭圆C ：2212x y +=的左、右焦点，不过原点O 且斜率为1的直线与椭圆C 交于P 、Q 两点，则下列结论正确的有（）A.椭圆C 的离心率为12B.椭圆C 的长轴长为C.若点M 是线段PQ 的中点，则MO 的斜率为12- D.OPQ △的面积最大值为22【答案】BCD 【解析】【分析】AB 选项，根据椭圆方程得到1a b ==，1c =，从而求出离心率和长轴长；C 选项，设出直线方程，联立椭圆方程，求出两根之和，两根之积，表达出M 点坐标，得到MO 的斜率；D 选项，在C 选项基础上，求出43PQ =O 到直线y x h =+的距离为d ==OPQ △的面积，求出最大值.【详解】AB 选项，由题意得1a b ==，故1c ==，故椭圆C 的离心率为2c a =，长轴长为2a =，A 错误，B 正确；C 选项，设不过原点O 且斜率为1的直线为y x h =+，联立2212x y +=得2232102x hx h ++-=，由()22234416202h h h ∆=-⨯-=->，解得h <<设()()1122,,,P x y Q x y ，则21212422,33h h x x x x -+=-=，则1212422233h h y y x x h h +=++=-+=，故12122,,2233x x y y h h M ++⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故MO 的斜率为13223hh =--，C正确；D 选项，由C选项可知，43PQ =⋅点O 到直线y x h =+的距离为d ==，故OPQ △的面积为114223S PQ d =⋅=⨯⋅=因为h <<203h ≤<，故当232h =时，OPQ△的面积取得最大值，最大值为2，D 正确.故选：BCD【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．三､填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上.13.已知点()1,4A -，()2,7B 在直线l 上，则直线l 的倾斜角的大小为______.【答案】4π【解析】【分析】根据斜率公式直接计算斜率，进而确定倾斜角.【详解】直线l 的斜率为()74121k -==--，设直线l 的倾斜角为α，则tan 1α=，因为0απ≤<，所以4πα=，故答案为：4π.14.已知向量),1(4,a x = ，)2,(,1b y =-- ，)3,(2,c z =- ，且a b ∥，b c ⊥ ，则c＝__________________.【答案】(3,)2,2-【解析】【分析】由已知利用向量平行的条件列式求解,x y ，再由向量垂直的坐标运算求得z ，可得答案．【详解】(,4,1),(2,,1)a x b y ==--，且ab，∴存在实数λ，使得a b λ=，即(,4,1)(2,,1)x y λ=--，241x y λλλ=-⎧⎪∴=⎨⎪=-⎩，解得1,2,4x y λ=-==-，(2,4,1)b ∴=--- ，又)3,(2,c z =- ，且b c ⊥ ，()()()23420z ∴-⨯+-⨯--=，即2z =，)3,2(,2c ∴=-．故答案为：(3,)2,2-．15.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点分别1(3,0)F -、2(3,0)F ，点A 为椭圆C 的上顶点，直线2AF ，与椭圆C 的另一个交点为B ．若125BF BF =，则椭圆C 的方程为______.【答案】221189x y +=【解析】【分析】利用定义和已知先求2BF ，再由相似三角形可得点B 坐标，代入椭圆方程可解.【详解】如图，过点B 作x 轴的垂线，垂足为M ，由定义知，122BF BF a +=，因为125BF BF =，所以23a BF =因为22F OA F MB ∽，2,AF a OA b ==，23OF c ==所以21,3b F M MB ==，所以(4,)3b B -将(4,)3b B -代入22221x y a b +=得2221691b a b +=，解得218a =所以2221899b ac =-=-=所以椭圆方程为221189x y +=.故答案为：221189x y +=16.在平面直角坐标系xOy 中，圆221O x y +=：，圆()2244C x y ：-+=．若存在过点()0P m ，的直线l，l 被两圆截得的弦长相等，则实数m 的取值范围是_____．【答案】()443-，【解析】【分析】根据弦长相等得22213d d -=有解，即22216833k k m k -=+，得到23138k m=-，根据2k ＞0，结合21d ＜1可解得m 的范围．【详解】直线l 的斜率k 不存在或0时均不成立，设直线l 的方程为：0kx y km --=，圆O （0，0）到直线l的距离1d =，圆C （4，0）到直线l的距离2d =l被两圆截得的弦长相等，所以，=，即22213d d -=，所以，22222221681k k m k m k m k +--+＝3，化为：22216833k k m k -=+23138k m =-＞0，得：138m <又222121k m d k =+＝2211m k +＝213813m m -+＝23168m m -＜1即238160m m +-<，解得：443m -<<,故答案为443⎛⎫- ⎪⎝⎭，.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了圆中弦长的求法，考查了运算能力，属于难题．四､解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知ABC 的顶点(1,5),(1,1),(3,7)A B C ---．（1）求边BC 上的高AD 所在直线的方程；（2）求边BC 上的中线AM 所在直线的方程．【答案】（1）290x y +-=（2）40x y +-=【解析】【分析】（1）先求直线BC 的斜率，结合12121l l k k ⊥⇒=-，求高AD 所在直线的斜率，再利用点斜式求直线方程；（2）先根据中点坐标公式求点M 的坐标，再利用点斜式求直线方程.【小问1详解】∵直线BC 的斜率17213BC k --==--∴边BC 上的高AD 所在直线的斜率112k =-，则所求直线方程为()1512y x -=-+，即290x y +-=∴边BC 上的高AD 所在直线的方程为290x y +-=【小问2详解】∵线段BC 的中点()1,3M∴边BC 上的中线AM 所在直线的斜率53111AM k -==---，则所求直线方程为()511y x -=-+，即40x y +-=∴边BC 上的中线AM 所在直线的方程为40x y +-=18.已知圆E 经过点(0,0),(1,1),(2,0)A B C .（1）求圆E 的方程；（2）若P 为圆E 上的一动点，求ABP 面积的最大值.【答案】（1）22(1)1x y -+=（2）12+【解析】【分析】（1）设出圆E 的一般方程，把点带入解出方程即可（2）分别算出直线AB 的方程、||AB 、圆心E 到直线AB 的距离即可【详解】（1）设圆E 的方程为：220x y Dx Ey F ++++=由题：022004200F D D E F E D F F ⎧==-⎧⎪⎪+++=⇒=⎨⎨⎪⎪++==⎩⎩∴圆E 的方程为2220x y x +-=即22(1)1x y -+=（2）∵(0,0),(1,1)A B ∴AB 的方程：0x y -=，且||AB =∴圆心(1,0)E 到直线AB的距离为2d ==∴点P 到直线AB 的距离的最大值为12+∴111||1122222ABP S AB ⎛⎫⎛⎫≤⨯⨯+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△【点睛】圆中的最值问题一般向圆心进行转化，如本题，圆上一点到一直线的距离的最大值等于圆心到直线的距离加上半径.19.如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA C C 和侧面11AA B B 都是正方形且互相垂直，M 为1AA 的中点，N 为1BC 的中点.求证：（1）//MN 平面111A B C ；（2）平面1MBC ⊥平面11BB C C .【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，利用线面垂直的判定得到1AA ⊥平面111A B C .然后利用向量的数量积为零得到1MN AA ⊥，进而得证；（2）分别求出平面1MBC 与平面11BB C C 的法向量，利用向量的数量积为零得到12n n ⊥ ，进而得到平面1MBC ⊥平面11BB C C .【小问1详解】由题意，知1,,AA AB AC 两两垂直，以A 为坐标原点，分别以1,,AA AB AC 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设正方形11AA C C 的边长为2，则()000A ，，，1(2,0,0)A ，(0,2,0)B ，1(2,2,0)B ，(0,0,2)C ，1(2,0,2)C ，(1,0,0)M ，(1,1,1)N .由题意知111AA A B ⊥，111AA A C ⊥，又因为11111A C A B A = ，1111,A C A B ⊂平面111A B C ，所以1AA ⊥平面111A B C .因为1(2,0,0)AA = ，(0,1,1)MN = ，所以10MN AA = ，即1MN AA ⊥.又因为MN ⊄平面111A B C ，故//MN 平面111A B C .【小问2详解】设平面1MBC 与平面11BB C C 的法向量分别为1111(,,)n x y z = ，1222(,,)n x y z = .因为(1,2,0)MB =- ，1(1,0,2)MC = ，所以111·0·0n MB n MC ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，即11112020x y x z -+=⎧⎨+=⎩，令12x =，则平面1MBC 的一个法向量为1(2,1,1)n =- .因为1(2,0,0)BB = ，11(0,2,2)B C =- 可得21211·0·0n BB n B C ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，即22220220x y z =⎧⎨-+=⎩，令21y =，则平面11BB C C 的一个法向量为2(0,1,1)n = .因为122011(1)10n n =⨯+⨯+-⨯= ，所以12n n ⊥ ，所以平面1MBC ⊥平面11BB C C .20.已知椭圆22221(0)x y E a b a b+=>>：的长轴长是短轴长的2倍，左焦点为(F .（1）求椭圆E 的方程；（2）若A 是椭圆E 的右焦点，过点F 且斜率为1的直线交椭圆E 于,M N 两点，求AMN 的面积.【答案】（1）2214x y +=（2）465【解析】【分析】（1）依题意可得222222a b c c a b =⨯⎧⎪=⎨⎪=-⎩，解得a 、b ，即可求出椭圆方程；（2）首先求出直线方程，设()11,M x y 、()22,N x y ，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，再根据1212AMN S AF y y =- 计算可得；【小问1详解】解：依题意222222a b c c a b =⨯⎧⎪=⎨⎪=-⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，所以椭圆方程为2214x y +=；【小问2详解】解：依题意)A，过()F 且斜率为1的直线为y x =+，设()11,M x y 、()22,N x y，则2214y x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去x整理得2510y --=，所以125y y +=，1215y y -=，所以121122AMN S AF yy =-= 125=⨯=21.如图，在多面体ABCDE中，平面ACD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，ABC 和ACD 均为正三角形，2AC BE ==，M 为线段CD上一点．（1）求证：DE AM ⊥；（2）若EM 与平面ACD 所成角为π3，求平面AMB 与平面ACD 所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）13.【解析】【分析】（1）取AC 中点O ，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质证明//DE OB 即可推理作答.（2）利用（1）中信息，建立空间直角坐标系，借助空间向量求解作答.【小问1详解】取AC 中点O ，连接DO 、OB ，在正ACD 和正ABC 中，2AC =，则,,DO AC BO AC DO BO ⊥⊥==，而平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD 平面ABC AC =，DO ⊂平面ACD ，BO ⊂平面ABC ，于是DO ⊥平面ABC ，BO ⊥平面ACD ，又BE ⊥平面ABC ，即有//DO EB ，而DO EB ==因此四边形DOBE 是平行四边形，则//DE OB ，从而DE ⊥平面ABC ，AM ⊂平面ADC ，所以DE AM ⊥.【小问2详解】由（1）知，DE ⊥平面ADC ，EMD ∠为EM 与平面ADC 的所成角，即π3EMD ∠=，在Rt EDM △中，1πtan 3DE DM ===，即M 为DC 中点，由（1）知，,,OB OC OD 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则1(0,1,0),(0,0,(0,1,0),(0,,)22A B D C M -，3(0,,)22AB AM ==，显然平面DAC 的一个法向量为1(1,0,0)= n ，设平面MAB 的一个法向量为2(,,)n x y z = ，则2203022n AB y n AM y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令1x =，得2(1,n =，121212|||cos ,|13||||n n n n n n ⋅〈〉== ，所以平面AMB 与平面ACD所成锐二面角的余弦值为13．22.如图，椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>和圆2222:C x y b +=，已知圆2C 将椭圆1C 的长轴三等分，椭圆1C右焦点到右顶点的距离为3-，椭圆1C 的下顶点为E ，过坐标原点O 且与坐标轴不重合的任意直线l 与圆2C 相交于点A ，B．（1）求椭圆1C 的方程；（2）若直线,EA EB 分别与椭圆1C 相交于另一个交点为点P ，M ．求证：直线PM 经过定点．【答案】（1）2219x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意列式求解,,a b c ，即可得答案；（2）设直线、PE ME 的方程，与椭圆方程联立求P M 、的坐标，进而可求直线PM 的方程，即可得结果.【小问1详解】由题意可得：1223b a =⋅，则3a b =，∵22233a b c a c a b ⎧=+⎪⎪-=-⎨⎪=⎪⎩31a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆1C 的方程为2219x y +=.【小问2详解】由题意知直线,PE ME 的斜率存在且不为0，设直线PE 的斜率为k ，则直线:1PE y kx =-，联立方程22119y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得22218919191k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩或01x y =⎧⎨=-⎩，∴2221891,9191k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，∵AB 为圆2C 的直径，点E 在圆2C 上，则BE AE ⊥，即1AE BE k k ⋅=-，∴11BE AE k k k =-=-，则直线1:1ME y x k=--，故用1k -去替代k 得222189,99k k M k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，∵22222229191919181810919PM k k k k k k k k k k k ----++==+++，∴直线22229118:9109k k k PM y x k k k --⎛⎫-=+ ⎪++⎝⎭，即214105k y x k -=+，∴直线PM 经过定点40,5T ⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；。
重庆市学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题含答案
2024-2025学年度上期期中考试高二数学试题（答案在最后）（满分：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，必须使用2B 铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整.3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷自行保管，以备评讲）.一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(，则z 的共轭复数z =（）A.1+B.1-C.1-D.1-【答案】B 【解析】【分析】根据复数的几何意义得到1z =+，再利用共轭复数的定义，即可求解.【详解】因为复数z 对应的点的坐标是(，得到1z =+，所以1z =，故选：B.2.已知直线1:10l ax y ++=与()2:130l a x ay ++-=，则“2a =-”是“12l l ⊥”的（）条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】A 【解析】【分析】利用两直线垂直的充要条件得到220a a +=，从而得到2a =-或0a =，再利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解.【详解】当直线1:10l ax y ++=与()2:130l a x ay ++-=垂直时，(1)0a a a ++=，即220a a +=，解得2a =-或0a =，所以2a =-可以推出12l l ⊥，但12l l ⊥推不出2a =-，即“2a =-”是“12l l ⊥”的充分不必要条件，故选：A.3.下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（）A.()ln f x x =- B.1()2xf x =C.1()f x x=- D.|1|()3x f x -=【答案】C 【解析】【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC ，举反例排除D 即可.【详解】对于A ，因为ln y x =在()0,∞+上单调递增，y x =-在()0,∞+上单调递减，所以()ln f x x =-在()0,∞+上单调递减，故A 错误；对于B ，因为2x y =在()0,∞+上单调递增，1y x=在()0,∞+上单调递减，所以()12x f x =在()0,∞+上单调递减，故B 错误；对于C ，因为1y x=在()0,∞+上单调递减，y x =-在()0,∞+上单调递减，所以()1f x x=-在()0,∞+上单调递增，故C 正确；对于D ，因为111221332f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭()()112101331,233f f --=====，显然()13x f x -=在()0,∞+上不单调，D 错误.故选：C.4.国家射击运动员甲在某次训练中的5次射击成绩（单位：环）为9,6,,4,8m ，其中m 为整数，若这5次射击成绩的第40百分位数为6，则m =（）A.4B.6C.8D.9【答案】B 【解析】【分析】根据条件，利用百分位数的求法，即可求解.【详解】将5次射击成绩除m 外，从小排到大为4,6,8,9，因为50.42i np ==⨯=，所以第40百分位数是：从小排到大后的第二个数与第三个数的平均数，又这5次射击成绩的第40百分位数为6，所以6m =，故答案为：B.5.已知直线1y kx =+与圆224x y +=交于点M ，N ，当k 变化时，则MN 的最小值为（）A.1B.2C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据条件得直线过定点，且定点在圆内，先求得圆心到直线距离d ，即可表示出弦长，从而知d 最大时，弦长最短，再利用几何关系，即可求解.【详解】易知直线1y kx =+过定点(0,1)P ，又1014+=<，所以点(0,1)在224x y +=内，又易知圆心为(0,0)O ，半径为2r =，设圆心(0,0)O 到直线的距离为d ，则MN ==，当d 最大时，M 最小，此时直线1y kx =+与直线OP 垂直，即1d OP ==，所以M 的最小值为MN ==故选：D.6.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，4PA PB ==，PC PD ==该棱锥的高为（）.A.1B.2C.D.【答案】D 【解析】【分析】取点作辅助线，根据题意分析可知平面PEF ⊥平面ABCD ，可知⊥PO 平面ABCD ，利用等体积法求点到面的距离.【详解】如图，底面ABCD 为正方形，当相邻的棱长相等时，不妨设4,PA PB AB PC PD =====，分别取,AB CD 的中点,E F ，连接,,PE PF EF ，则,PE AB EF AB ⊥⊥，且PE EF E ⋂=，,PE EF ⊂平面PEF ，可知AB ⊥平面PEF ，且AB ⊂平面ABCD ，所以平面PEF ⊥平面ABCD ，过P 作EF 的垂线，垂足为O ，即PO EF ⊥，由平面PEF 平面ABCD EF =，PO ⊂平面PEF ，所以⊥PO 平面ABCD ，由题意可得：2,4PE PF EF ===，则222PE PF EF +=，即PE PF ⊥，则1122PE PF PO EF ⋅=⋅，可得PE PF PO EF⋅==，当相对的棱长相等时，不妨设4PA PC ==，PB PD ==，因为BD PB PD ==+，此时不能形成三角形PBD ，与题意不符，这样情况不存在.故选：D.7.直线()()21250x y λλλ+--=∈R 的倾斜角范围为（）A.3,44ππ⎡⎤⎢⎣⎦ B.,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. D.30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【答案】A 【解析】【分析】先对λ进行讨论，当0λ=时得到直线倾斜角为2π，当0λ≠时，由直线方程得到斜率，再由斜率可得倾斜角的范围.【详解】当0λ=时，直线为：5x =，故直线的倾斜角为：2π；当0λ≠时，直线为：21522y x λλλ+=-，设直线的倾斜角为θ，即211tan 222λλθλλ+==+，当0λ>时，1tan 122λθλ=+≥=，当且仅当“122λλ=”，即1λ=时取等号；即,42ππθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，当0λ<时，11tan 12222λλθλλ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=--+-≤=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当且仅当“122λλ-=-”，即1λ=-时取等号；即3,24ππθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，综上所述：3,44ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选：A8.根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于10℃即为入冬，将连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，现有4组样本①、②、③、④，依次计算得到结果如下：①平均数4x <；②平均数4x <且极差小于或等于3；③平均数4x <且标准差4s ≤；④众数等于5且极差小于或等于4．则4组样本中一定符合入冬指标的共有（）A.1组B.2组C.3组D.4组【答案】B 【解析】【分析】举反例否定①；反证法证明②符合要求；举反例否定③；直接法证明④符合要求.【详解】①举反例：0，0，0，4，11，其平均数34x =<．但不符合入冬指标；②假设有数据大于或等于10，由极差小于或等于3可知，则此组数据中的最小值为1037-=，此时数据的平均数必然大于7，与4x <矛盾，故假设错误.则此组数据全部小于10.符合入冬指标；③举反例：1，1，1，1，11，平均数34x =<，且标准差4s =.但不符合入冬指标；④在众数等于5且极差小于等于4时，则最大数不超过9.符合入冬指标.故选：B ．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次.记事件A 为两次数字之和为7，事件B 为第一次数字小于等于3，事件C 为两次数字之积为奇数，则（）A.()14P C =B.A 与B 相互独立C.A 与C 为对立事件D.B 与C 相互独立【答案】AB 【解析】【分析】先求出总的样本空间数，再用列举法求出事件,,A B C ，选项A ，利用古典概率公式，即可求解；选项B 和D ，利用相互独立的判断方法，即可求解；选项C ，利用互斥事件和对立事件的定义，即可求解.【详解】用(,)x y 中的,x y 分别表示第一次、第二次掷一枚质地均匀的骰子的点数，易知，总的样本空间数为6636⨯=，事件A 包含的基本事件为：(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)，共6个，事件B 包含的基本事件为：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)，(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)，(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)，共18个，事件C 包含的基本事件为：(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5)，共9个对于选项A ，由古典概率公式得()91364P C ==，故选项A 正确，对于选项B ，由古典概率公式得61()366P A ==，181()362P B ==，31()3612P AB ==，因为()()()P AB P A P B =，所以A 与B 相互独立，故选项B 正确，对于选项C ，易知A 与C 互斥但不对立，所以选项C 错误，对于选项D ，由古典概率公式得61()366P BC ==，又111()()428P B P C =⨯=，所以()()()P BC P B P C ≠，即B 与C 不相互独立，故选项D 错误，故选：AB.10.已知点(),P x y 是圆:M ()()22424x y -+-=上任意一点，直线l ：2y x =-+分别与x 轴、y 轴相交于点,A B ，则（）A.直线l 与圆M 相离B.PBA △面积的最小值为4+C.y x 的最大值为43D.PBA ∠的最小值为15︒【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，由圆心到直线距离与半径大小即可判断，对于B ，确定圆心到直线的距离，即可求解，对于C ，设yk x=，通过直线与圆恒有交点即可，对于D ，由BP 与圆相切即可求解.【详解】对于A ，由()()22424x y -+-=，得圆心()4,2,2r =，圆心到2y x =-+2=>，直线与圆相离，A 正确；对于B ，易知()()2,0,0,2A B，AB =，由A知，圆心到直线距离为，故圆上点到直线距离的最小值为2-，所以PBA △面积最小值为)242-=-B 错误；对于C ，令yk x=，得y kx =，因为(),x y 为圆上的点，所以y kx =与圆()()22424x y -+-=有交点，2≤，解得403k ≤≤，C 正确；对于D ，结合图象可知当BP 与圆这种相切时，PBA ∠最小，设BP 斜率为()0k k <，直线方程为：2y kx =+2421k k=+，解得33k =-，即BP 的倾斜角为150︒，所以60PBO ︒∠=，易知45ABO ︒∠=，所以15PBA ︒∠=，D 正确.故选：ACD11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11,BB CC 的中点，G 是棱11B C 上的一个动点，则下列说法正确的是（）A.平面AEF 截正方体1111ABCD A B C D -所得截面为六边形B.点G 到平面AEF 的距离为定值C.若11111=++AG xA A y A E z A D uuu r uuu r uuu r uuuu r ，且1x y z ++=，则G 为棱11B C 的中点D.直线AG 与平面AEF 所成角的正弦值的取值范围为1510,1510⎣⎦【答案】BCD 【解析】【分析】利用平行线的传递性与平行线共面判断A ，利用线面平行的判定定理判断B ，利用空间向量推得1,,,A E D G 四点共面，结合面面平行的性质定理判断C ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求得线面角的取值范围判断D ，从而得解.【详解】对于A ，连接DF ，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11,BB CC 的中点，所以//,EF BC EF BC =，//,AD BC AD BC =，所以//,EF AD EF AD =，则平面AEF 与平面AEFD 为同一平面，所以平面AEF 截正方体1111ABCD A B C D -所得截面为平面AEFD ，为四边形，故A 错误；对于B ，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11,BB CC 的中点，所以11//B C EF ，又EF ⊂平面AEF ，11B C ⊄平面AEF ，所以11//B C 平面AEF ，又点G 是棱11B C 上的一个动点，所以点G 到平面AEF 的距离为定值，故B 正确；对于C ，连接111,,,AD D G GE BC ，因为11111=++AG xA A y A E z A D uuu r uuu r uuu r uuuu r ，且1x y z ++=，所以1,,,A E D G 四点共面，因为在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11//ADD A 平面11BCC B ，又平面11ADD A ⋂平面11AEGD AD =，平面11BCC B 平面1AEGD GE =，所以1//AD GE ，在正方体1111ABCD A B C D -中，1111//,AB C D AB C D =，所以四边形11ABC D 是平行四边形，则11//AD BC ，则1//GE BC ，因为E 为棱1BB 的中点，所以G 为棱11B C 的中点，故C 正确；对于D ，以D 为原点，建立空间直角坐标系，如图，设()102C G x x =≤≤，则()()()()2,0,0,2,2,1,0,2,1,,2,2A E F G x ，所以()()()0,2,1,2,0,0,2,2,2AE EF AG x ==-=-，设平面AEF 的法向量为 =s s ，则2020AE n b c EF n a ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1b =，则0,2a c ==-，故()0,1,2n =-，设直线AG 与平面AEF 所成角为π02θθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，则sin cos ,AG n AG n AG nθ⋅=〈〉==，因为02x ≤≤，所以()2024x ≤-≤，则≤≤所以1510=≤≤=，所以直线AG与平面AEF 所成角的正弦值的取值范围为,1510⎣⎦，故D 正确.故选：BCD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆221:1C x y +=与圆()()()222:1160C x a y a -+-=>有3条公切线，则实数a 的取值是_____.【答案】【解析】【分析】根据条件得到圆1C 与圆2C 外切，再利用圆与圆的位置关系，即可求解.【详解】因为圆221:1C x y +=与圆()()()222:1160C x a y a -+-=>有3条公切线，所以圆1C 与圆2C 外切，又圆221:1C x y +=的圆心为1(0,0)C ，半径为11r =，()()()222:1160C x a y a -+-=>的圆心为2(,1)C a ，半径为24r =，145=+=，得到224a =，又0a >，所以a =，故答案为：13.已知点()(),0110,N i i A x i i ≤≤∈与点()(),10110,N i i B y i i ≤≤∈关于点()2,5对称.若1x ，2x ，⋯，10x 的平均数为5，方差为3.则1y ，2y ，⋯，10y 这组数的平均数为_____，方差为_____.【答案】①.1-②.3【解析】【分析】根据条件得到()1,N 410i i y i i x ≤=-≤∈，再结合平均数、方差计算公式，即可求解.【详解】因为点()(),0110,N i i A x i i ≤≤∈与点()(),10110,N i i B y i i ≤≤∈关于点()2,5对称，则()N 4110,i i x i y i ≤+=≤∈，得到()1,N 410i i y i i x ≤=-≤∈，因为1x ，2x ，⋯，10x 的平均数为5，方差为3，则1y ，2y ，⋯，10y 这组数的平均数为451-=-，方差为2(1)33-⨯=，故答案为：1-；3.14.已知圆221x y +=上任意一点(),P x y ，23239x y a x y -++--的取值与P 的位置无关，则a 的取值范围是_____.【答案】a ≥【解析】【分析】由题意可知直线1:2390l x y --=，直线2:230l x y a -+=位于圆的两侧，且与圆均不相交，从而可列出不等式得出a 的范围．【详解】设直线1:2390l x y --=，直线2:230l x y a -+=，则s 到直线1l 的距离为1d =，s 到直线2l 的距离为2d =因为23239x y a x y -++--的取值与P 的位置无关，所以12d d +为常数，所以圆221x y +=在平行线12,l l 之间，又直线1l 在圆下方，所以直线2l 在圆上方，1≥，得到a ≥a ≤，故答案为：13a ≥四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某高校承办了成都世乒赛志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95]，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三､四､五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.（1）求,a b 的值；（2）估计这100名候选者面试成绩的众数､平均数和60%分位数（分位数精确到0.1）；（3）在第四､第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率.【答案】（1）0.005a =，0.025b =（2）众数为70，平均数为69.5，60%分位数为71.7（3）25【解析】【分析】（1）由第三､四､五组的频率之和为0.7，所有组频率之和为1，列方程求,a b 的值；（2）由频率分布直方图中众数､平均数和百分位数的定义公式计算；（3）根据分层抽样确定的人数，解决古典概型概率问题.【小问1详解】因为第三､四､五组的频率之和为0.7，所以()0.0450.020100.7a ++⨯=，解得0.005a =，所以前两组的频率之和为10.70.3-=，即()100.3a b +⨯=，所以0.025b =.【小问2详解】众数为70,平均数为500.05600.25700.45800.2900.0569.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，所以60%分位数在第三组，且为0.60.3651071.70.45-+⨯≈.【小问3详解】第四､第五两组志愿者分别有20人，5人，采用分层抽样的方法从中抽取5人，则第四组抽4人，记为a b c d ,,,，第五组抽1人，记为A ，则从这5人中选出2人，有()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a A b c b d b A c d c A d A 共10种结果，两人来自不同组有()()()(),,,,,,,a A b A c A d A 共4种结果，所以两人来自不同组的概率为42105P ==.16.已知ABC V 的三个顶点分别是()5,1A ，()7,3B -，()9,5C -.（1）求AB 边上的高所在的直线方程；（2）求AB 边上的中线所在的直线方程；（3）求ABC ∠角平分线所在的直线方程.【答案】（1）2190x y -+=（2）2570x y +-=（3）40x y +-=【解析】【分析】（1）利用斜率坐标公式及垂直关系求出高所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得；（2）求出中点坐标及中线所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得；（3）先求出直线,BA BC 的单位向量，结合角平分线求出ABC ∠角平分线所在的直线的方向向量，结合方向向量和直线斜率的关系即可求出斜率，再根据点斜式即可求解.【小问1详解】直线AB 的斜率1(3)257AB k --==--，则AB 边上的高所在的直线斜率为12，直线又过()9,5C -，所以A 边上的高所在的直线方程为[]15(9)2y x -=⨯--，即2190x y -+=.【小问2详解】依题意，AB 边的中点(6,1)-，因此AB 边上的中线所在直线的斜率()512965k --==---，直线又过(6,1)-，所以AB 边上的中线所在直线的方程为()21(6)5y x --=-⨯-，即2570x y +-=.【小问3详解】由题意知：()()2,4,16,8BA BC =-=-,故与BA 同方向的单位向量为：()2,455a ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，与BC同方向的单位向量为：()25516,855b ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，故ABC ∠角平分线所在的直线的方向向量为：(),1,1555a b ⎛⎫+=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，设ABC ∠角平分线所在的直线的斜率为k ，又 直线的方向向量可以表示为()1,k ，1k ∴=-，直线又过()7,3B -，故ABC ∠角平分线所在的直线方程为：()()37y x --=--，即40x y +-=.17.在ABC V 中，a ，b ，c 为A ∠，B ∠，C ∠sin cos 2C c B c +=.（1）求B ∠；（2）若BD 为ABC V 的角平分线，交AC 于点D ，7BD =，AC =，求ABC V 的面积.【答案】（1）π3B =（2）【解析】【分析】（1cos 2B B +=，再利用辅助角公式和特殊角的三角函数值，即可求角；（2）根据条件，利用等面积法，得到12()7ac a c =+，再利用余弦定理得213()3a c ac =+-，联立求出ac ，即可求解.【小问1详解】sin cos 2C c B c +=sin sin cos 2sin B C C B C +=，又sin 0C ≠cos 2B B +=，即π2sin()26B +=，得到πsin(16B +=，又ππ7π666B <+<，所以ππ62B +=，解得π3B =.【小问2详解】因为ABC ABD CBD S S S =+ ，π3B =，所以1π1π1πsin sin sin 232626ac a BD c BD =+，又1237BD =，得到12()7ac a c =+，在ABC V 中，由余弦定理得到22222cos ()3b a c ac B a c ac =+-=+-，又AC =236()()137a c a c +-+=，解得7a c +=(舍负)，所以12ac =，故ABC V 的面积为11sin 12222S ac B ==⨯=.18.如图，三棱柱111ABC A B C -的底面是等腰直角三角形，90ACB ∠= ，侧面11ACC A 是菱形，160A AC ∠= ，4AC =，平面ABC ⊥平面11ACC A .（1）证明：11A C AB ⊥；（2）求点1C 到平面11ABB A 的距离；（3）线段11A B 是否存在一点D ，使得平面1AC D ⊥平面11ABB A ，如果存在找出D 点的位置，不存在请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）217（3）存在，答案见解析【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定可得1A C ⊥平面11AB C ，然后利用线面垂直性质定理结合平行即可得证.（2）根据给定条件，结合余弦定理，利用等体积法求出点1C 到平面11ABB A 的距离.（3）由面面垂直的性质得到点1C 到平面11ABB A 的距离为4217即是1C D 的长度，再由勾股定理确定D 点的位置即可.【小问1详解】连接1AC ，由四边形11A ACC 为菱形，得11AC A C ⊥，由90ACB ︒∠=，得BC AC ⊥，又平面ABC ⊥平面11ACC A ，平面ABC 平面11ACC A AC =，⊂BC 面ABC ，则⊥BC 平面11ACC A ，又1A C ⊂平面11ACC A ，于是1BC A C ⊥，而11//BC B C ，则111B C A C ⊥，又111AC BC C ⋂=，111,AC B C ⊂平面11AB C ，因此1A C ⊥平面11AB C ，又1AB ⊂平面11AB C ，所以11A C AB ⊥【小问2详解】点1C 到平面11ABB A 的距离，即三棱锥111C AA B -的底面11AA B 上的高，由（1）知11B C ⊥平面11ACC A ，则三棱锥111B AA C -的底面11AA C 上的高为11B C ，设点1C 到平面11ABB A 的距离为d ，由111111B AA C C AA B V V --=，得1111111133AA C AA B S B C S d ⋅⋅= ，而14BC AA AC ===，160A AC ︒∠=，则11AA C 的面积113AA C S = ，由1114AA A C ==，11120AAC ︒∠=，得143AC =，又114B C =，111B C AC ⊥，则18AB =，又14AA =，1142A B =，由余弦定理得(222114823cos 2484A AB +-∠==⨯⨯，则117sin 4A AB ∠=，11AA B的面积1117484724AA B S =创� 则347d =，即4217d =，所以点1C 到平面11ABB A 的距离为4217.【小问3详解】设存在，如图，由平面1AC D ⊥平面11ABB A 可得1C D ⊥平面11ABB A ，由（2）可得点1C 到平面11ABB A 的距离为217即是1C D 的长度，在11Rt A DC 中，11121,47A C C D ==，所以221111121071677A D AC C D =-=-=.19.已知二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件为0A C =≠，0B =且224D E AF +>.关于二次曲线，有以下结论：若11:0l f =，22:0l f =，33:0l f =，为平面内三条直线，且12l l A ⋂=，23l l B ⋂=，31l l C ⋂=，则过A ，B ，C 三点的二次曲线系方程为1223310f f f f f f λμ++=（λ，μ为参数）.若11:0l f =，22:0l f =，33:0l f =，44:0l f =为平面内四条直线，且12l l A ⋂=，23l l B ⋂=，34l l C = ，41l l D = ，则过,,,A B C D 四点的二次曲线系方程为13240f f f f λ+=（λ为参数）.（1）若三角形三边所在直线方程分别为：320x y -+=，220x y ++=，340x y +-=.求该三角形的外接圆方程.（2）记（1）中所求的外接圆为ω，直线()110y k x k =>与ω交于A ，B 两点（A 在第一象限），直线()220y k x k =<与ω交于C ，D 两点（C 在第二象限），直线BC 交x 轴于点M ，直线AD 交x 轴于点N ，直线BC 与直线AD 交于点P .（i ）求证：=OM ON ；（ii ）求OP 的最小值.【答案】（1）22240x y y ++-=（2）（i ）证明见解析；（ii ）4【解析】【分析】（1）由题意，根据三条直线方程设出二次曲线系方程，通过方程表示圆的充要条件待定系数可得；（2）由四条直线方程设出二次曲线系方程，再由已知圆的一般方程，对比两方程寻找系数的等量关系，由关系120t t +=可证得OM ON =，由关系式212tm m =-（t 即1t ）可得交点P 在定直线上4y =上，进而求解最值.【小问1详解】则由题意，可设所求三角形的外接圆方程为：(32)(22)(22)(34)x y x y x y x y λ-+++++++-(34)(32)0x y x y μ++--+=（λ，μ为参数），即()()()()22133178623422x xy y xλμλμλμλμ+++-+-+-+-+++()26144880y λμλμ+--++--=，（*）若方程表示圆，则133********λμλμλμ++=-+-≠⎧⎨-+-=⎩，解得11λμ=-⎧⎨=-⎩.将11λμ=-⎧⎨=-⎩代入（*）式化简得22240x y y ++-=，验证：由22024(4)200+-⨯-=>，可知该方程表示圆.故该三角形的外接圆方程为22240x y y ++-=.【小问2详解】如图，在平面直角坐标系中，设直线BC 与x 轴的交点1(,0)M t ，直线AD 与x 轴的交点2(,0)N t ，由题意知直线,BC AD 均不与y 轴垂直，则直线BC 方程可设为11x m y t =+，直线AD 方程可设为22x m y t =+，由题意可知12m m ≠，且120,0t t ≠≠.不妨记直线,,,BA AD DC CB 分别为1234,,,l l l l ，且12233441,,,l l A l l D l l C l l B ==== ，其中11:0l k x y -=，222:0l x m y t --=，32:0l k x y -=，411:0l x m y t --=.故由题意，过,,,A D C B 四点的二次曲线系方程可设为()()()()1222110k x y k x y x m y t x m y t λ--+----=（λ为参数），即()()()22121212121k k x k k m m xy m m yλλλ⎡⎤+-+++++⎣⎦()12122112()0t t x m t m t y t t λλλ-++++=①，若0λ=时，方程()()120k x y k x y --=表示两条直线13,l l ，不表示圆，故0λ≠.由,,,A D C B 四点不共线，且都在圆22240x y y ++-=②上，所以方程①②表示同一圆，则有()120t t λ-+=③，且122112211212()2142m t m t m t m t t t t t λλ++===--④.（i ）由③式及0λ≠，可得120t t +=，即OM ON =；故（i ）得证；（ii ）由③式可得12t t =-，令1t t =，则2t t =-，代入④式可得212tm m =-，联立,BC AD 直线方程12x m y tx m y t=+⎧⎨=-⎩，解得2124t y m m ==-，即交点P 在定直线4y =上，故4OP ≥.如图2，由对称性可知，当12k k =-时，交点P 在y 轴上，即(0,4)P ，此时min 4OP .故OP 的最小值为4.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键有两点，一是理解二次曲线系方程的设法，能够根据题目提供的条件由直线方程设出二次曲线方程；二是二次曲线系方程的应用，本题主要是三角形外接圆与四边形外接圆的应用，第（1）问通过方程表示圆的充要条件待定系数，第（2）问通过同一圆的两种不同方程表达形式寻求等量关系从而解决问题.。
重庆市九校2017_2018学年高二数学上学期期中联考试题2017121201146
重庆市九校 2017-2018学年高二数学上学期期中联考试题一、选择题（本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60分） 1.若两个球的表面积之比为1: 4，则这两个球的体积之比为（ ）A ．1: 2B ．1: 4C ．1:8D ．1:162．直线x3y a0的倾斜角为（）52 A ．B ．C ．D ．66 333.ABC 的斜二测直观图如图所示，则 ABC 的面积为()A ．22B.1C. 2D .24. 对于任意的直线 l 与平面 a,在平面 a 内必有直线 m,使 m 与 l ( )A.平行B. 垂直C. 相交D.互为异面直线 5.已知 ab ＜0，bc ＜0，则直线 ax ＋by ＝c 通过( )A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限6.直线，若,则（）l ax yl x a y1: 31 0,2 : 2(1)1 0l 1 / /l 2aA ．-3B ．2C ．-3或 2D ．3或-27．一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm), 则此几何体的表 面积是（）A ． (20 4 2)cm 2B ． 21cm 2C ． (244 2)cm 2D ． 24cm 28.过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是 ( ) A.x+2y-5=0 B.2x+y-4=0 SC.x+3y-7=0D.x-2y+3=09.如右题图所示，在正四棱锥 SABCD 中， E ,M , N 分别是BC ,CD ,SC P MN的中点，动点 在线段上运动时，下列结论BA EN CDM 中不恒成立的是( )- 1 -A. EP ∥ BDB. EP ∥面 SBDC. EP ⊥ ACD. EP 与 SD 异面10. 直线 L 过点 B (3, 3) ，若 A (1, 2) 到直线 L 的距离为 2，则直线 L 的方程为（ ）A ．y 3或 3x 4y 210 B ．3x 4y 21C ．x 3或 3x4y21D. x311.三棱锥 PABC 的四个顶点均在半径为 2的球面上,且 ABBC CA 2 3 ，平面PAB 平面 ABC ，则三棱锥 P ABC 的体积的最大值为（）A ．4B ．3C ． 4 3D ．3 212.如右题图所示，正方体 A C 的棱长为1，过点 A 作平面1A BD 的垂线，垂足为点 H ，则下1列命题正确的是( )① AH ⊥平面CB D1 1②1 AH = AC13③点 H 是A BD 的垂心1④ AH // 平面 BDC1A. ①②④B. ②③④C. ①②③D. ①③④二、填空题（本大题共 4个小题，每小题 5分，共 20分） 13.两直线3xy 30与6x 2y 10之间的距离为.14.已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视 图、侧视图、俯视图均如右图所示，且图中的四边形是边长为 2的正方 形，则该球的表面积是_______ 。