选修2-3教案1.2排列(二)
变式：(1)放假了，某宿舍的四名同学相约互发一封电子邮件，则他们共发了多少封电子邮件？
(2)放假了，某宿舍的四名同学相约互通一次电话，共打了多少次电话？
例2、（1）从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人1本，共有多少种不同的送法？
（2）从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
【问题2】：从1到100的自然数中，每次取出两个不同数，求其和正好大于100的不同取法有多少种？
解：我们规定其中一个数为被加数，从分析被加数入手：当被加数为1时，有1种；
当被加数为2时，有2种；
当被加数为3时，有3种；
……
当被加数为50时，有50种；
当被加数为51时，有49种；
当被加数为52时，有48种；
（3）例2的分析中可以让学生进行，让其明确排列和两个原理的相互关系
（4）例3的讲解和分析遵循螺旋上升的原则，让学生进一步明确数字问题的处理方法
选讲例题供A层次班级选用，仅供参考，或选讲课时训练的有关练习
课堂随练
练习：P17、1，2；P18、8（1），9
小结与作业
课堂小结
让学生自己小结
本课作业
作业：17、3，P18、5，6
……
当被加数为99时，只有1种；
于是，不同取法有：
（1+2+…+50）+（49+48+…+1）=2500种。
【问题3】：求用0，1，2，3，4组成的个位数字不重复的所有的四位数的和。
解：先看数字“1”在最高位置上时，共有 个数，类似地，数字2，3，4在最高位置时，都有 ，即24个数；
再看“1”在百位时，此时首位有 ，其它两个数位上的数字有 ，此时共有 ；类似地，数字2，3，4在百位上时，也都有18个数；
教学难点
排列数公式的理解与运用
教具准备
作图工具
教学过程
设计思路
情境设计
P18：3（1）（3）
从1~9这九个数字中选出三个组成一个三位数，则这样的三位数的个数是多少？
复习排列数公式Байду номын сангаас
新知教学
排列数公式的应用：
例1、(1)某足球联赛共有12支队伍参加，每队都要与其他队在主、客场分别比赛一场，共要进行多少场比赛？
选做: P18 7 8(2)
作业随堂
本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）
同理，数字1，2，3，4在十位及个位上时，都有18个数；
于是，所有这些数的和为：
24×（1+2+3+4）×1000+18×（1+2+3+4）×100+18×（1+2+3+4）×10+18×（1+2+3+4）=259980。
（1）在学中教，在学中悟
（2）通过例1的分析让学生进一步理解排列数公式的应用。
解：见书本16页例6
例3、用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
解：见书本16页例7
选讲：如图，某个城市在中心广场建造一个花圃，花圃地区分为6个区域，现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样的花，求不同的栽种方法。
4
6
5
1
3
2
解：先确定1号区域；然后对5，2，3区域进行分类；5，2，3区域颜色相同、5，2，3区域颜色均不相同、5，2区域颜色相同、5，3区域颜色相同，由于5，2区域颜色相同与5，3区域颜色相同，位置对等，可以合并为一类；然后，再分别栽种4，6区域。于是，不同的栽法有： 种
课题：选修2-3§1．2排列（2）
教学目标
理解排列的意义，并能用树形图正确写出一些简单排列问题的所有排列；了解排列数的意思，掌握排列数公式及其推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能用排列数公式进行运算；能用所学的排列知识正确解决简单的实际问题。
教学重点
排列数公式的理解与运用；排列应用题常用的方法有直接法（包括特殊元素处理法、特殊位置处理法、捆绑法、插空法），间接法
1.2 第二课时 排列的应用 课件(北师大选修2-3)
(2)第一步将喜羊羊家族的四位成员排好，有 A4 4种排法， 第二步让灰太狼、红太狼插四位成员形成的空(包括两端)，有
2 2 A5 种排法，共有 A4 A 4 5＝480 种排法．
(8 分)
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[一点通]
(1)相邻问题用捆绑法解决，即把相邻元素
看成一个整体作为一个元素与其他元素排列．但不要忘记 再对这些元素“松绑”，即对这些元素内部全排列．
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点击 下图
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4 N＝A4 A 4 4＝576(种).
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[例2]
7名同学站成一排．
(1)其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？ (2)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？
(3)甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？
[思路点拨] 这是一个有限制条件的排列问题，每一
问均应优先考虑限制条件，遵循特殊元素或位置优先安排 的原则．
第 1 部 分
把握热点 考向 第 一 章 §2 第 二 课 时 应用创新 演练
考点一 考点二 考点三
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[例1]
由数字1,2,3,4可组成多少个无重复数字的正整数？
[思路点拨]
可分别求出一位数、二位数、三位数、四位
数的个数，再求和． [精解详析] 第一类：组成一位数有A 2 4 ＝4个；
解析：组成 3 位数，相当于将 3 个元素排在三个位置， 但 0 不能在首位，首位的排法有 A1 2，而其余两位排法
1 2 有 A2 ，由分步乘法原理知，共有 A 2 2A2＝4 种排法．
答案：D
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5．老师与课外活动小组的四位成员站成一排照相，
(1)要求老师站在中间有多少排法？ (2)要求老师不站在两端有多少排法？
1.2.排列-人教A版选修2-3教案
1.2. 排列-人教A版选修2-3教案一、教学目标1.了解排列的基本概念和表示方法。
2.掌握计算排列数的方法。
3.了解排列在实际问题中的应用。
二、教学重难点1.排列的计算方法。
2.排列在实际问题中的应用。
三、教学过程1. 导入新知识通过一道小学奥数题引出排列的定义：“从1、2、3、4、5中任选三个数字，使它们按从小到大排列，一共有几种不同的排列方法。
”引导学生思考：如何计算不同的排列方法？引出排列的定义和计算方法。
2. 讲解排列的定义和表示方法1.定义指从给定的n个不同元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列。
2.表示方法n个不同元素的排列数用P(n,m)表示。
3. 计算排列的方法1.直接法P(n, m) = n × (n-1) × (n-2) × … × (n-m+1)2.递推法P(n, m) = P(n-1, m-1) × n4. 讲解排列在实际问题中的应用以“某地A、B、C、D四地之间的交通状况如下，从A到D依次有几种不同的行车路线？”为例，引导学生理解排列在实际问题中的应用。
5. 练习1.有10个小球，从中任选3个小球排成一排，一共有几种不同的排列方法？2.有7人参加比赛，其中前三名获奖。
一共有多少种不同的获奖方式？3.12个棋子排成一排，其中两个棋子不能相邻在一起，一共有几种不同的排列方法？6. 实践应用1.学生们可以编写一个程序，来模拟计算排列的过程。
2.学生们可以思考一些实际问题，并用排列来解决问题。
四、教学评价1.教师根据学生在讲解、练习和实践应用中的表现，进行教学评价，给予肯定和鼓励。
2.学生们可以用自己编写的程序来计算不同的排列数，并与答案进行比对，进行自我评价。
新人教A版选修2-31.2排列与组合课件二
从排列与组合的定义可 以知道,两者都是从n个不同 元素中取出mm n个元素, 这是排列、组合的共同 点;它们的不同点是 , 排列与元素的顺序有关 , 组合与 元素的顺序无关 .只有元素相同且顺序也 相同的两个 排列才是相同的; 只要两个组合的元素相 同 ,不论 元 素的顺序如何 , 都是相同的组合 .例如 ab 与 ba 是两个 不同的排列 , 但它们却是同一个组合 . , 我们引进如下概念 : 类比排列问题 C是英文com bination 组合的 从n个不同元素中取出m m n个 第一个字母 , 组合 元素的所有不同组合的个数 ,叫做 数还可用符号 从n个不同元素中取出m个元素的
上述解释可以推广到一 般情形. 求从n个不同元素中取出 m个元素的排列数 , 可看作由以下 2个步骤得到的: 第1步, 从这n个不同元素中取出 m个元素,共
有C 种不同的取法 ; 第 2 步, 将取出的m个元素做全排列 ,共有A m m 种不同的排法 . m m 根据分步乘法计数原理 ,有 Am C A n n m.
1.2 排列与组合
1.2.2 组合
探究 从甲、乙、丙 3名同学中选出 2名去参加 一项活动 , 有多少种不同的选法 ? 这一问题与上 一节开头提出的问题 1有什么联系与区别 ? 从3名同学中选出 2名的可能选法可以列举 如下 : 甲、乙; 甲、丙; 乙、丙 .
上一节开头的问题 1 :" 从甲、乙、丙 3名同学中 选出 2 名去参加一活动 , 其中1 名参加上午的活 动,1 名参加下午活动 " , 由于 "甲上午,乙下午" 与 "乙上午,甲下午" 是 两种不同的选法,因此解决 这个问题时 ,不仅要从 3 名同学中选出2名, 而且 还要将他们按照 " 上午在前 , 下午在后" 的顺序排 列.这是上一节研究的排列 问题.
1.2.排列-人教B版选修2-3教案
1.2 排列-人教B版选修2-3教案一、教学目标•掌握排列的概念、基本符号及计算方法；•能够简单分析生活中的排列问题；•学会应用排列计算排队、抽奖等生活中的实际问题。
二、教学重难点•排列的概念；•排列的计算方法。
三、教学过程3.1 导入（5分钟）通过学生生活实际问题引入排列的概念，如“小明有5件上衣和3条裤子，他每天可以穿一套不同的衣服，请问他可以穿几天不同的衣服？”引导学生思考有多少种组合穿法。
3.2 讲解与讨论（30分钟）3.2.1 排列的定义排列是从若干不同元素中取出一定个数的元素，按照一定的顺序排成一列的不同情形的总数。
如从3个不同的元素{A，B，C}中，任取两个排成一列，则可以得到以下6种情形：AB, AC, BA, BC, CA, CB以上就是{A, B, C}中取两个排列的全部情况。
我们把它们叫做3的2次排列，常用符号A32表示，3表示原来的元素的个数，2表示取出的元素个数。
排列常用符号：A_{n}^{m} 表示从 n 个不同的元素中，任取 m 个元素排成一列的排列总数。
3.2.2 排列的计算公式排列的计算公式为：A_{n}^{m} = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)其中，n表示原来的元素个数，m表示取出的元素个数。
例如：A_{6}^{3} = 6×5×4 = 120表示从6个不同的元素中取出3个排成一列的排列总数为120。
3.2.3 实际问题应用通过选手跑步比赛的示例，引导学生掌握排列问题在生活中的应用。
如：10名选手比赛，冠、亚、季军等名次分别获得什么奖项，有多少种可能性？3.2.4 练习在讲解完毕排列的定义、计算公式及应用后，可提供大量排列计算题目，让学生动手尝试计算。
3.3 课堂小结（5分钟）对本节课所学内容进行总结归纳，强化学生对排列概念及计算方法的掌握。
四、作业布置完成教师布置的题目，并能够独立解决生活中的排列问题。
五、教学反思本节课通过举例说明，引导学生理解了排列的概念和计算方法，并在生活中的实际问题的应用中巩固学习。
新人教A版高中数学(选修2-3)1.2《排列与组合》(排列)ppt课件
例2．解方程
A
3 2x
100Ax
2
解：原方程可化为2x(2x-1)(2x-2)=100x(x-1) ∵x≠0,x≠1 ∴ 2x-1=25 解得x=13 经检验x=13 是原方程的根。 例3．证明：A m
=A +mA n+1
。 。
m n
m-1 n
n! n! 证明：右边 m (n m )! (n m 1)! n ! (n m 1) n ! m (n 1)n ! (n m 1)! (n m 1)! (n 1)! Anm1 左 [(n 1) m ]!
一列，共有多少种不同的排法？
解决这个问题，需分3个步骤： 第1步，先确定左边的字母，在4个字母中任取1个，有4种方法； 第2步，确定中间的字母，从余下的3个字母中去取，有3种方法； 第3步，确定右边的字母，只能从余下的2个字母中去取，有2种方法． 根据分步计数原理，共有4×3×2＝24
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一 定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一 个排列． 注意： 1.我们所研究的排列问题，是不同元素的排列，这里既没有 重复元素，也没有重复抽取相同的元素． 2.排列的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是 “按照一定顺序排列”．“一定顺序”就是与位置有关，这也 是判断一个问题是不是排列问题的重要标志． 3.根据排列的定义，两个排列相同，当且仅当这两个排列的元 素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同．也就是说，如 果两个排列所含的元素不完全一样，那么就可以肯定是不同的 排列；如果两个排列所含的元素完全一样，但摆的顺序不同， 那么也是不同的排列． 4.如果m＜n，这样的排列（也就是只选一部分元素作排列）， 叫做选排列；如果m＝n，这样的排列（也就是取出所有元素 作排列），叫做全排列．
选修23教案12排列(二)
例3、用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
解：见书本16页例7
选讲：如图，某个城市在中心广场建造一个花圃，花圃地区分为6个区域，现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样的花，求不同的栽种方法。
解：先确定1号区域；然后对5，2，3区域进行分类；5，2，3区域颜色相同、5，2，3区域颜色均不相同、5，2区域颜色相同、5，3区域颜色相同，由于5，2区域颜色相同与5，3区域颜色相同，位置对等，可以合并为一类；然后，再分别栽种4，6区域。于是，不同的栽法有： 种
【问题2】：从1到100的自然数中，每次取出两个不同数，求其和正好大于100的不同取法有多少种？
解：我们规定其中一个数为被加数，从分析被加数入手：当被加数为1时，有1种；
当被加数为2时，有2种；
当被加数为3时，有3种；
……
当被加数为50时，有50种；
当被加数为51时，有49种；
当被加数为52时，有48种；
选做: P18 7 8(2)
作业随堂
本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）
……
当被加数为99时，只有1种；
于是，不同取法有：
（1+2+…+50）+（49+48+…+3，4组成的个位数字不重复的所有的四位数的和。
解：先看数字“1”在最高位置上时，共有 个数，类似地，数字2，3，4在最高位置时，都有 ，即24个数；
再看“1”在百位时，此时首位有 ，其它两个数位上的数字有 ，此时共有 ；类似地，数字2，3，4在百位上时，也都有18个数；
（3）例2的分析中可以让学生进行，让其明确排列和两个原理的相互关系
最新人教版选修2-3高二数学1.1 2 基本计数原理和排列组合教学设计
一本周教内容：选修2—3 基本计数原理和排列组合二教目标和要求1 掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理，并能用两个计数原理解决一些简单的问题。
2 理解排列和组合的概念，能利用计数原理推导排列数公式，组合数公式，并解决简单的实际问题。
3 让生体会思想与方法，培养生分析问题，解决问题的能力，激发生习的兴趣。
注意问题的转化，分类讨论，注重数形结合，会从不同的切入点解决问题。
三重点和难点重点：两个基本计数原理的内容；排列和组合的定义，排列数和组合数公式及其应用难点：两个计数原理的应用和应用排列组合数公式解决实际的问题四知识要点解析[]1 两个基本计数原理（1）分类加法计数原理：做一件事情，完成它有类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的办法……在第类办法中有m种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝m1＋m2＋…＋m种不同的方法（2）分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的办法……做第个步骤有m种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝m1×m2×…×m种不同的方法说明：（1）两个基本计数原理是解决计数问题最基本的理论根据，它们分别给出了用两种不同方式（分类和分步）完成一件事情的方法总数的计算方法（2）考虑用哪个计数原理，关键是看完成一件事情是否能独立完成，决定是分类还是分步。
如果完成一件事情有类办法，每类办法都能独立完成，则用分类加法计数原理；如果完成一件事情，需要分成个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有步骤，才能完成这件事情，则用分步乘法计数原理（3）在解决具体问题，要弄清是“分步”，还是“分类”，还要弄清“分步”或者“分类”的标准是什么，注意分类，分步不能重复，不能遗漏2 排列问题（1）排列的定义：一般的，从个不同的元素中任取m （m ≤）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出m 个元素的一个排列说明：①定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”，二是“按一定顺序排列”②一个排列就是完成一件事情的一种方法③不同的排列就是完成一件事情的不同方法④两个排列相同，需要满足两个条件：一是元素相同，二是顺序相同⑤从个不同的元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素的一个全排列，记作n n A（2）排列数的定义：从个不同的元素中任取m （m ≤）个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中任取m 个元素的排列数。
1.2.1排列(2)
第一步，把甲乙排列(捆绑)：
有A 种排法
2 2
第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队：
有A 种排法
共有A A 种排法
2 2 5 5
5 5
几个元素必须相邻 时,先捆绑成一个元 素，再与其它的进 行排列.
综合强化练习4： 【图示】 ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ 6人排成一排. ⑴甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法? ⑵甲、乙两人相邻，另外4人也相邻，有多少种不同的排法？ ⑶甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？ ⑷甲、乙、丙三人两两不相邻，有多少种不同的排法？
（二）有约束条件的排列问题
变式：由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位 数，其中小于50000的偶数共有多少个？ 万位 千位 百位 十位 个位
解法二：（逆向思维法 ）由 1、 2、 3、 4、 5组成无重复
5 1 4 数字的5位数有A5 个，减去其中奇数的个 数A3 A4 个，再 1 3 减去偶数中大于 50000 的数A2 A3 个，符合题意的偶数 5 1 4 1 3 共有：A5 A3 A4 A2 A3 36个
7 A7
种.
21 [普通高中课程数学选修2-3] 1.2 排列与组合
练习2
（1）三个男生，四个女生排成两排，前排三人、 后排四人，有几种不同排法？
或：七个人可以在前后两排随意就坐，再无其他条件， 所以
3 4 7 A7 A4 A7
两排可看作一排来处理
7 不同的坐法有 A7 种
（2）八个人排成两排，有几种不同排法？
↑ ↑ ↑ ↑ ↑ 6人排成一排. ⑴甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法? ⑵甲、乙两人相邻，另外4人也相邻，有多少种不同的排法？ ⑶甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？ ⑷甲、乙、丙三人两两不相邻，有多少种不同的排法？ 解：（3）分两步进行： 第1步，把除甲乙外的一般人排列：
最新人教版高中数学选修2-3《排列》示范教案2
第三课时教学目标知识与技能利用捆绑法、插空法解决排列问题．过程与方法经历把简单的计数问题化为排列问题解决的过程，从中体会“化归”的数学思想．情感、态度与价值观能运用所学的排列知识，正确地解决实际问题，体会“化归”思想的魅力．重点难点教学重点：利用捆绑法、插空法解决排列问题．教学难点：利用捆绑法、插空法解决排列问题．教学过程复习回顾提出问题：7位同学排队，根据上一节课所学的方法，解决下列排列问题．(1)7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？(2)7位同学站成两排(前3后4)，共有多少种不同的排法？(3)7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？(4)7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(5)7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？活动设计：学生自己做，找学生到黑板上板演．活动成果：解：(1)问题可以看作：7个元素的全排列A77＝5 040.(2)根据分步乘法计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5 040.(3)问题可以看作：余下的6个元素的全排列A66＝720.(4)根据分步乘法计数原理：第一步甲、乙站在两端有A22种；第二步余下的5名同学进行全排列有A55种，所以，共有A22·A55＝240种排列方法．(5)第一步从(除去甲、乙)其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有A25种方法；第二步从余下的5位同学中选5位进行排列(全排列)有A55种方法，所以一共有A25A55＝2 400种排列方法．典型例题类型一：捆绑法例1 7位同学站成一排，(1)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？(2)甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？(3)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？(4)甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起的排法有多少种？解：(1)先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素，与其余的5个元素(同学)一起进行全排列有A66种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A22种方法．所以这样的排法一共有A66A22＝1 440种．(2)方法同上，一共有A55A33＝720种．(3)解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有A25种方法；将剩下的4个元素进行全排列有A44种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A22种方法．所以这样的排法一共有A25A44A22＝960种．解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，若丙站在排头或排尾有2A 55种方法，所以，丙不能站在排头和排尾的排法有(A 66－2A 55)·A 22＝960种．解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有A 14种方法，再将其余的5个元素进行全排列共有A 55种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以，这样的排法一共有A 14A 55A 22＝960种．(4)将甲、乙、丙三个同学“捆绑”在一起看成一个元素，另外四个人“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有2个元素，∴一共有排法种数：A 33A 44A 22＝288种．点评：对于相邻问题，常用“捆绑法”(先捆后松)．【巩固练习】某商场中有10个展架排成一排，展示10台不同的电视机，其中甲厂5台，乙厂3台，丙厂2台，若要求同厂的产品分别集中，且甲厂产品不放两端，则不同的陈列方式有多少种？解：将甲厂5台不同的电视机“捆绑”在一起看成一个元素，乙厂3台不同的电视机“捆绑”在一起看成一个元素，丙厂2台不同的电视机“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有3个元素，甲不放两端，甲有1种排法，乙、丙排在两端有A 22种排法，共有A 55A 33A 22A 22＝2 880种不同的排法．【变练演编】7位同学站成一排，(1)甲、乙两同学之间恰好有一个人的排法共有多少种？(2)甲、乙两同学之间恰好有两个人的排法共有多少种？解：(1)先在甲、乙两同学之间排一个人，有A 15种不同的排法，把甲、乙和中间的一人“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有5个元素，共有A 15A 55A 22＝1 200种不同的排法．(2)先在甲、乙两同学之间排两个人，有A 25种不同的排法，把甲、乙和中间的两人“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有4个元素，共有A 25A 44A 22＝960种不同的排法．类型二：插空法例2 7位同学站成一排，(1)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？(2)甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？解：(1)方法一：(排除法)A 77－A 66·A 22＝3 600； 方法二：(插空法)先将其余五个同学排好有A 55种方法，此时他们留下六个位置(称为“空”)，再将甲、乙同学分别插入这六个位置(空)有A 26种方法，所以一共有A 55A 26＝3 600种方法．(2)先将其余四个同学排好有A 44种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有A 35种方法，所以一共有A 44A 35＝1 440种方法．点评：对于不相邻问题，常用“插空法”(特殊元素后考虑)．【巩固练习】5男5女排成一排，按下列要求各有多少种排法：(1)男女相间；(2)女生按指定顺序排列．解：(1)先将男生排好，有A 55种排法；再将5名女生插在男生之间的6个“空”(包括两端，但不能同时排在两端)中，有2A 55种排法，故本题的排法有N ＝2A 55·A 55＝28 800种． (2)方法1：N ＝A 1010A 55＝A 510＝30 240；方法2：设想有10个位置，先将男生排在其中的任意5个位置上，有A510种排法；余下的5个位置排女生，因为女生的位置已经指定，所以她们只有一种排法．故本题的排法为N＝A510×1＝30 240种．【变练演编】5男6女排成一列，问(1)5男排在一起有多少种不同排法？(2)5男不都排在一起有多少种排法？(3)5男每两个不排在一起有多少种排法？(4)男女相互间隔有多少种不同的排法？解：(1)先把5男看成一个整体，得A77，5男之间排列有顺序问题，得A55，共A77A55种．(2)全排列除去5男排在一起即为所求，得A1111－A77A55.(3)因为男生人数少于女生人数，利用男生插女生空的方法解决问题，得A66A57.(4)利用男生插女生空的方法，但要保证两女生不能挨在一起，得A66A55.【达标检测】1．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有()A．1 440种B．960种C．720种D．480种2．把4个不同的黑球，4个不同的红球排成一排，要求黑球、红球分别在一起，不同的排法种数是()A．A88B．A44A44C．A44A44A22D．以上都不对3．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为()A．42 B．96C．48 D．124答案：1.B 2.C 3.A课堂小结1．知识收获：进一步复习排列的概念和排列数公式．2．方法收获：捆绑法、插空法．3．思维收获：化归思想、分类讨论思想．补充练习【基础练习】1．6人站成一排照相，其中甲、乙、丙三人要站在一起，且要求乙、丙分别站在甲的两边，则不同的排法种数为()A．12 B．24C．48 D．1442．由数字0,1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中是25的倍数的数共有______个()A．9 B．12C．24 D．213．用数字0,1,2,3,4能组成没有重复数字的且比20 000大的五位奇数的个数为() A．3 B．30C．72 D．184．将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为()A．540 B．300C．180 D．150答案：1.C 2.D 3.B 4.D【拓展练习】5．有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间也不在两端；(2)甲、乙两人必须排在两端；(3)男、女生分别排在一起；(4)男女相间；(5)甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定．答案：(1)241 920(2)10 080(3)5 760(4)2 880(5)60 480设计说明本节课是排列的第三课时，本节课的主要目标是介绍排列中常用的捆绑法和插空法．本节课的特点是教师引导给学生以提示，在从例题中学会了方法后，马上让学生练习巩固方法，在变练演编中，举一反三，反复强化，使学生更好地掌握方法和技巧．备课资料一、相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列．例A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有________．解析：把A，B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，有A44＝24种排法．二、相离问题插空法：元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端．例1书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有______种不同的插法(具体数字作答)．解析：A17A33＋A27A23＋A37＝504种．例2高三(1)班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是________．解析：不同排法的种数为A55A26＝3 600.例3某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后才能进行．那么安排这6项工程的不同排法种数是________．解析：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个“空”中，可得有A25＝20种不同排法．例4某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目，但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目的相对顺序不变，则该晚会的节目单的编排总数为________种．解析：A19A33＋A29A23＋A39＝990种．例5 3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少种？解析：解法1：先将3个人(各带一把椅子)进行全排列有A33，○*○*○*○，在四个“空”中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有A14种，所以每个人左右两边都有空位的排法有A14A33＝24种．解法2：先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个“空”，*○*○*○*○*，再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有A34＝24种．注：题中*表示元素，○表示空．例6停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放．要求空位置连在一起，不同的停车方法有多少种？解析：先排好8辆车有A88种方法，要求空位置连在一起，则在每2辆之间及其两端的9个空档中任选一个，将空位置插入有A19种方法，所以共有A19A88种方法．(设计者：殷贺)。
人教版数学高二选修2-3教案排列(二)
1.2.1 排列（二）知识与技能利用排列和排列数公式解决简单的计数问题．过程与方法经历把简单的计数问题化为排列问题解决的过程，从中体会“化归”的数学思想．情感、态度与价值观能运用所学的排列知识，正确地解决实际问题，体会“化归”思想的魅力．重点难点教学重点：利用排列和排列数公式解决简单的计数问题．教学难点：利用排列和排列数公式解决简单的计数问题．教学过程复习回顾提出问题1：判断下列两个问题是不是排列问题，若是求出排列数，若不是，说明理由．(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？(2)有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？活动设计：学生自己独立思考，教师提问．活动成果：解：(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是：A35＝5×4×3＝60，所以，共有60种不同的送法．(2)由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是：5×5×5＝125，所以，共有125种不同的送法．本题中两个小题的区别在于：第(1)小题是从5本不同的书中选出3本分送给3名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；而第(2)小题中，给每人的书均可以从5种不同的书中任选1种，各人得到哪种书相互之间没有联系，要用分步计数原理进行计算．设计意图：引导学生通过具体实例回顾排列的概念和排列数公式．典型例题类型一：直接抽象为排列问题的计数问题例1.某年全国足球甲级(A组)联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？解：任意两队间进行1次主场比赛与1次客场比赛，对应于从14个元素中任取2个元素的一个排列．因此，比赛的总场次是A214＝14×13＝182.点评：要学会把具体问题抽象为从n个不同的元素中任取m(m≤n)个不同元素，按一定顺序排成一列的问题．巩固练习某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？解：分3类：第一类用1面旗表示的信号有A13种；第二类用2面旗表示的信号有A23种；第三类用3面旗表示的信号有A33种，由分类加法计数原理，所求的信号种数是：A13＋A23＋A33＝3＋3×2＋3×2×1＝15，即一共可以表示15种不同的信号．变式演练将4位司机、4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？分析：解决这个问题可以分为两步，第一步：把4位司机分配到四辆不同班次的公共汽车上，即从4个不同元素中取出4个元素排成一列，有A44种方法；第二步：把4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，也有A44种方法．利用分步乘法计数原理即得分配方案的种数．解：由分步乘法计数原理，分配方案种数共有N＝A44·A44＝576.即共有576种不同的分配方案．类型二：有约束条件的排列问题(特殊位置分析法、特殊元素分析法)例2.用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？思路分析：在本问题的0到9这10个数字中，因为0不能排在百位上，而其他数可以排在任意位置上，因此0是一个特殊的元素．一般的，我们可以从特殊元素的排列位置入手来考虑问题．解法一：由于在没有重复数字的三位数中，百位上的数字不能是0，因此可以分两步完成排列．第1步，排百位上的数字，可以从1到9这九个数字中任选1个，有A19种选法；第2步，排十位和个位上的数字，可以从余下的9个数字中任选2个，有A29种选法(如图)．根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为A19×A29＝9×9×8＝648.解法二：如图所示，符合条件的三位数可分成3类．每一位数字都不是0的三位数有A39个，个位数字是0的三位数有A29个，十位数字是0的三位数有A29个．根据分类加法计数原理，符合条件的三位数的个数为A39＋A29＋A29＝648.解法三：从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为A310，其中0在百位上的排列数是A29，它们的差就是用这10个数字组成的没有重复数字的三位数的个数，即所求的三位数的个数是A310－A29＝10×9×8－9×8＝648.点评：对于例2这类计数问题，可用适当的方法将问题分解，而且思考的角度不同，就可以有不同的解题方法．解法一根据百位数字不能是0的要求，分步完成选3个数组成没有重复数字的三位数这件事，依据的是分步乘法计数原理；解法二以0是否出现以及出现的位置为标准，分类完成这件事情，依据的是分类加法计数原理；解法三是一种逆向思考方法：先求出从10个不同数字中选3个不重复数字的排列数，然后从中减去百位是0的排列数(即不是三位数的个数)，就得到没有重复数字的三位数的个数．从上述问题的解答过程可以看到，引进排列的概念，以及推导求排列数的公式，可以更加简便、快捷地求解“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数”这类特殊的计数问题．巩固练习从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？解法一：(从特殊位置考虑)A19A59＝136 080；解法二：(从特殊元素考虑)若选：5·A59；若不选：A69，则共有5·A59＋A69＝136 080种；解法三：(间接法)A610－A59＝136 080.变式演练A、B、C、D、E五个人排成一排照相，其中A、B不能排在两端，C不能排在中间，共有多少种不同的排法？解法一：若A、B排在中间，则从A、B中选一个排在中间有A12种排法，另一个不在两端的位置上有A12种排法，其余三个人排在剩下的三个位置上有A33种排法，根据分步乘法计数原理，共有A12A12A33＝24种不同的排法．若A、B不排在中间，则有A22种排法，C不排在中间有A12种排法，其余两个人排在剩下的两个位置上有A22种排法，根据分步乘法计数原理，共有A22A12A22＝8种不同的排法．根据分类加法计数原理，共有24＋8＝32种不同的排法．解法二：若C排在两端，有A12种排法，另一端从D、E中选一个人，有A12种排法，剩下三个人排在剩下的三个位置上有A33种排法，根据分步乘法计数原理，共有A12A12A33＝24种不同的排法．若C不排在两端，有A12种排法，两端排列D、E，有A12种排法，剩下两个人排在剩下的两个位置上有A22种排法，根据分步乘法计数原理，共有A22A12A22＝8种不同的排法．根据分类加法计数原理，共有24＋8＝32种不同的排法．达标检测1．一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法(假定每股岔道只能停放1列火车)?2．一部纪录影片在4个单位轮映，每一单位放映1场，有多少种轮映次序？3．6个人站成前后两排照相，要求前排2人，后排4人，那么不同的排法共有…() A．30种B．360种C．720种D．1 440种【答案】1.A48＝8×7×6×5＝1 680 2.A44＝4×3×2×1＝24 3.C课堂小结1．知识收获：对于较复杂的问题，一般都有两个方向的列式途径，一个是“正面凑”，一个是“反过来剔”．前者指，按照要求，一点点选出符合要求的方案；后者指，先按全局性的要求，选出方案，再把不符合其他要求的方案剔出去．了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算．2．方法收获：“化归”的数学思想方法．3．思维收获：“化归”的数学思想方法．补充练习基础练习1．从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，有__________种不同的种植方法．2．从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名进行某场比赛，并排定他们的出场顺序，有__________种不同的方法．3．信号兵用3种不同颜色的旗子各一面，每次打出3面，最多能打出不同的信号有__________种．4．由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有多少个？【答案】1.24 2.60 3.6解答：4.解法一：(正向思维法)个位数上的数字排列数有A12种(从2、4中选)；万位上的数字排列数有A13种(5不能选)，十位、百位、千位上的排列数有A33种，故符合题意的偶数有A12A13A33＝36个．解法二：(逆向思维法)由1、2、3、4、5组成无重复数字的5位数有A55个，减去其中奇数的个数A13A44个，再减去偶数中大于50 000的数A12A33个，符合题意的偶数共有：A55－A13A44－A12A33＝36个．拓展练习5．一天要排语、数、英、化、体、班会六节课，要求上午的四节课中，第一节不排体育课，数学排在上午；下午两节中有一节排班会课，问共有多少种不同的排法？解：若数学排在第一节，班会课的排法为A12种，其余4节课的排法有A44种，根据分步乘法计数原理，共有A12A44＝48种；若第一节课不排数学，第一节课的排法有A13种，数学课的排法有A13种，班会课的排法为A12种，其余3节课的排法有A33种，根据分步乘法计数原理，共有A13A13A12A33＝108种．根据分类加法计数原理得，共有48＋108＝156种．设计说明本节课是排列的第二课时，本节课的主要目标是在老师的带领下，体会排列数公式的应用，体会把具体计数问题划归为排列问题的过程．本节课的设计特点是：教师的问题是主线，学生的探究活动是主体，师生合作，共同完成知识和方法的总结．备课资料多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理．例1.(1)6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是() A．36种B．120种C．720种D．1 440种(2)把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法种数为()A．A515A510B．A515A510A55A33C．A1515D．A515A510A55÷A33(3)8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？【解析】(1)前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共A66＝720种排法，选C.【答案】C(2) 【答案】C(3)解：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有A24种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有A14种，其余5个元素任排在5个位置上有A55种，故共有A14A24A55＝5 760种排法．。