(大学物理)第二章守恒定律
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大学物理：2-1 机械能守恒定律
26
例2 求使物体不仅摆脱地球引力作用, 而且脱离太 阳引力作用的最小速度。(第三宇宙速度）
解 根据机械能守恒定律有
1 2
mv22
G
m ms r0
0
v2
2Gms 42.1103 m s-1 r0
地球公转速度 v1 物体相对于地球速度
Gms 29.7 103 m s-1 r0
v v2 v1 (42.1103 29.7 103 )m s- 1 12.4 103 m s-1
y
A
小mg球和在F滚N 两动个过力程的中作受用到。 h
合力为
F mg FN
O
FN
mg
B
x
根据动能定理有
B A
F
d
r
1 2
mvB2
1 2
mv
2 A
即
B mg d r
A
B A FN
d
r
1 2
mvB2
1 2
mv2A
12
因
FN
始终垂直于
dr
，
所以
B A FN dr 0
(2)功和动能都是与参照系有关的量。但动能定理 在不同惯性系中都成立，这是力学相对性原理的必 然结果。在一般情况下，如无特别声明，就是指以 地面为参照系。
11
例3 小球以初速率vA 沿光滑曲面向下滚动,
如图所示。问当小球滚到距出发点A的垂直距离
为h 的B 处时, 速率为多大 ?
解 建立右图的坐标系，
F3 F3n Fn3 Fn
所以 A外 + A非保内 = (EkQ +EpQ ) (EkP + EpP ) 22
系统的动能与势能之和称为系统的机械能，用E表示 于是有 A外 + A非保内 = E(Q) E(P)
大学物理-第二章2-3 动量和动量定理
t
0
P F d t d p p p0
P0
3
力 F 对时间的积累，称为力 F 的冲量(implus)，即 t I F dt
所以 I p p mv mv 0 0
t0
此式表示，在运动过程中，作用于质点的合力 在一段时间内的冲量等于质点动量的增量。这个结 论称为动量定理。 F为恒力时 I = F (t - t 0 ) F 为变力，且作用时间很短时，可用平均值来代替 t t0 F d t F I = F (t - t 0 ) t t0 4
16
三、 动量守恒定律
如果
Fi 0
n i 1
即
n
则
mi vi 恒矢量
i 1
n d ( mi vi ) 0 d t i 1
在外力的矢量和为零的情况下，质点系的总动量
不随时间变化——动量守恒定律。
m v
i 1 n i
n
ix
恒量
恒量
(当 Fix 0 时) (当 Fiy 0 时) (当 Fiz 0 时)
A 跳水运动中游泳池的设计深度
24
F b S v k b S
dv 2 m = kv dt
v
2
F k v
2
m d v= kv d x
m v0 x ln k v
1 1
dv x k = d x v0 v 0 m
3
k 0.251.010 0.08kg m 20kg m
t
此式表明，合外力在某一方向的冲量等于在该方
向上质点系动量的增量。
12
大学物理 动量 动量守恒定律汇总
Fdt (m dm)v (mv dm 0) vdm vkdt
F k v 200 4 8 10
2
N
12
3-9 一小船质量M=100kg，船头到船尾长度l=3.6m。现 有一质量m=50kg的人从船尾走到船头时，船头将移动多 少距离？假定水的阻力不计。
Fi外
Fij
j
i
内力-----是质点系内各质点间的作用力； 外力------是质点系外物体对质点系内质点的力。
由牛顿第三定律，内力必定是成对出现，且每对内力 都沿两质点连线的方向。
3
i质点合力
t2
t1
( Fi外 f ji )dt mi vi 2 mi vi1
j 1
n 1
F i外 f
9
n
例2.5 一弹性球，质量m＝0.20kg，速度 v＝5m/s， 与墙碰撞后弹回.设弹回时速度大小不变，碰撞前后的 运动方向和墙的法线所夹的角都是α，设球和墙碰撞 的时间Δt＝0.05s，α＝60°，求在碰撞时间内，球和 墙的平均相互作用力. 解：以球为研究对象.设墙对 球的平均作用力为 f ，球在 碰撞前后的速度为 v1和 v 2 ， 由动量定理可得
2
t1 t2
Fx dt mv2 x mv1x
Iy Iz
t1 t2
Fy dt mv2 y mv1 y Fz dt mv2 z mv1z
2
t1
3
二 质点系的动量定理
如果研究的对象为多个质 点，则称为质点系 对质点系，受力可分为 “内力”和“外力”。
质点系
Fj外
Fji
§2.2 动量 动量守恒定律
力对时间的累积效应
大学物理动量守恒定律和能量守恒定律
04
动量守恒定律和能量守恒定 律的意义与影响
在物理学中的地位
基础定律
动量守恒定律和能量守恒定律是物理学中的两个基础定律，它们 在理论物理学和实验物理学中都占据着重要的地位。
理论基石
这两个定律为物理学理论体系提供了基石，许多物理理论和公式都 是基于这两个定律推导出来的。
验证实验
许多实验通过验证动量守恒定律和能量守恒定律的正确性，来检验 实验的准确性和可靠性。
适用条件
系统不受外力或外力合力为零
动量守恒定律只有在系统不受外力或外力合力为零的情况下才成立。如果系统受到外力作 用，则总动量将发生变化。
系统内力的作用相互抵消
系统内力的作用只会改变系统内各物体的速度，而不会改变系统的总动量。如果系统内力 的作用相互抵消，则总动量保持不变。
理想气体和刚体的动量守恒
未来能源利用的发展需要解决环 境问题和能源短缺问题，动量守 恒定律和能量守恒定律将在新能 源技术、节能技术等领域发挥关
键作用。
感谢您的观看
THANKS
在理想气体和刚体的研究中，由于气体分子之间的相互作用力和刚体之间的碰撞力都可以 忽略不计，因此它们的动量守恒。
实例分析
弹性碰撞
当两个小球发生弹性碰撞时，根据动量守恒定律，它们碰撞后 的速度满足m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v₁' + m₂v₂'。由于弹性碰撞中能 量没有损失，因此碰撞前后两小球的速度变化量相等。
动量与能量的关系
动量是质量与速度的乘积，表 示物体的运动状态；能量是物 体运动状态的度量，包括动能
和势能。
动量和能量都是矢量，具有 方向性，遵循矢量合成法则。
动量和能量可以相互转化，但 总量保持不变，这是动量守恒 和能量守恒定律的内在联系。
大学物理第二章习题质点力学的基本规律 守恒定律
第2章 质点力学的基本规律 守恒定律
基本要求
掌握经典力学的基本原理及会应用其分析和处理质点动力学问题，理 解力学量的单位和量纲。掌握动量、冲量、动量定理，动量守恒定律。并 能分析和计算二维平面简单力学问题。理解惯性系概念及经典力学的基本 原理的适用范围。掌握功与功率、动能、势能（重力势能、弹性势能、引 力势能）概念，动能定理、功能原理、机械能守恒定律。
教学基本内容、基本公式
1.牛顿定律
解牛顿定律的问题可分为两类： 第一类是已知质点的运动，求作用于质点的力； 第二类是已知作用于质点的力，求质点的运动.
2.基本定理 动量定理
动能定理
I
t2 t1
F (t )dt
mv
mv0
A12
2
F
(r)
dr
1
1 2
mv
2 2
1 2
解：根据牛顿第二定律
f
k x2
m dv dt
m dv d x dx dt
mv
dv dx
k x2
mv
dv dx
v
dv
k
dx mx2
v
v
0
dv
A/4
A
k mx2
d
x
1v2 k (4 1) 3 k 2 m A A mA
另解：根据动能定理
v 6k /(mA)
(2)写出初末态系统的动量
t 时刻水平方向动量
dm m
t+dt时刻水平方向动量
O
x
(3)求出系统水平方向动量的增量
基本要求
掌握经典力学的基本原理及会应用其分析和处理质点动力学问题，理 解力学量的单位和量纲。掌握动量、冲量、动量定理，动量守恒定律。并 能分析和计算二维平面简单力学问题。理解惯性系概念及经典力学的基本 原理的适用范围。掌握功与功率、动能、势能（重力势能、弹性势能、引 力势能）概念，动能定理、功能原理、机械能守恒定律。
教学基本内容、基本公式
1.牛顿定律
解牛顿定律的问题可分为两类： 第一类是已知质点的运动，求作用于质点的力； 第二类是已知作用于质点的力，求质点的运动.
2.基本定理 动量定理
动能定理
I
t2 t1
F (t )dt
mv
mv0
A12
2
F
(r)
dr
1
1 2
mv
2 2
1 2
解：根据牛顿第二定律
f
k x2
m dv dt
m dv d x dx dt
mv
dv dx
k x2
mv
dv dx
v
dv
k
dx mx2
v
v
0
dv
A/4
A
k mx2
d
x
1v2 k (4 1) 3 k 2 m A A mA
另解：根据动能定理
v 6k /(mA)
(2)写出初末态系统的动量
t 时刻水平方向动量
dm m
t+dt时刻水平方向动量
O
x
(3)求出系统水平方向动量的增量
大学物理 质量守恒定律2-3
1 1 1 2 2 2 （m m）v = （m m）v k （l l0） 2 2 2 (2)
（3）滑块运动过程中，水平面内只受弹簧拉力，该 力对弹簧固定端O点力矩为零，滑块的角动量守恒
（m m）v l0 =（m m）vl sin
联立（1）、（2）、（3）式，解出
O
v0
m
l0
l
v
m
解：设v’为子弹打入滑块的瞬间它们的共同速度， 当弹簧伸长至l时滑块的速度v与l的夹角为 （1）子弹与滑块的碰撞过程中，水平面内不受外力， 因此子弹与滑块组成的系统动量守恒
mv0 （m m）v
(1)
（2）滑块运动过程中，水平面内不受外力，也无非 保守内力，因此子弹与滑块组成的系统机械能守恒
力矩的大小： | M | Fr sin
力矩的方向： 由右螺旋法则确定。
y
F
x
r
力矩的单位：kg•m2 • s-2或N • m
三、角动量定理和角动量守恒定律 1. 角动量定理
由牛顿第二定律
等式两边同时用 r 叉乘得
dp d(mv ) F dt dt
d(mv ) rF r dt
§2.3 角动量守恒
一、角动量(angular momentum)
定义质点对原点O的角动量（动量矩）：
L r p r mv
角动量的大小：
z
O
L rp sin mrv sin
角动量的方向：
由右螺旋法则确定。
L
y
r x
mv
角动量的单位：kg•m2 • s-1
由rA mv知，L沿Ｚ的正方向
（3）滑块运动过程中，水平面内只受弹簧拉力，该 力对弹簧固定端O点力矩为零，滑块的角动量守恒
（m m）v l0 =（m m）vl sin
联立（1）、（2）、（3）式，解出
O
v0
m
l0
l
v
m
解：设v’为子弹打入滑块的瞬间它们的共同速度， 当弹簧伸长至l时滑块的速度v与l的夹角为 （1）子弹与滑块的碰撞过程中，水平面内不受外力， 因此子弹与滑块组成的系统动量守恒
mv0 （m m）v
(1)
（2）滑块运动过程中，水平面内不受外力，也无非 保守内力，因此子弹与滑块组成的系统机械能守恒
力矩的大小： | M | Fr sin
力矩的方向： 由右螺旋法则确定。
y
F
x
r
力矩的单位：kg•m2 • s-2或N • m
三、角动量定理和角动量守恒定律 1. 角动量定理
由牛顿第二定律
等式两边同时用 r 叉乘得
dp d(mv ) F dt dt
d(mv ) rF r dt
§2.3 角动量守恒
一、角动量(angular momentum)
定义质点对原点O的角动量（动量矩）：
L r p r mv
角动量的大小：
z
O
L rp sin mrv sin
角动量的方向：
由右螺旋法则确定。
L
y
r x
mv
角动量的单位：kg•m2 • s-1
由rA mv知，L沿Ｚ的正方向
(完整版)《大学物理》习题册题目及答案第2单元 动量守恒定律
第2单元 动量守恒定律序号 学号 姓名 专业、班级一 选择题[ B ]1. 力i F t 12=(SI)作用在质量m ＝2 kg 的物体上，使物体由原点从静止开始运动，则它在3秒末的动量应为：(A) －54i kg ⋅m ⋅s -1(B) 54i kg ⋅m ⋅s -1(C) －27i kg ⋅m ⋅s -1 (D) 27i kg ⋅m ⋅s-1[ C ]2. 如图所示，圆锥摆的摆球质量为m ，速率为v ，圆半径为R ，当摆球在轨道上运动半周时，摆球所受重力冲量的大小为：(A) mv 2 (B)()()22/2v R mg mv π+(C)vRmgπ (D) 0[ A ]3 .粒子B 的质量是粒子A 的质量的4倍。
开始时粒子A 的速度为()j i ϖϖ43+，粒子B 的速度为(j i ϖϖ72-)。
由于两者的相互作用，粒子A 的速度为()j i ϖϖ47-，此时粒子B 的速度等于：(A) j i 5- (B) j i ϖϖ72- (C) 0 (D) j i ϖϖ35-[ C ]4. 水平冰面上以一定速度向东行驶的炮车，向东南（斜向上）方向发射一炮弹，对于炮车和炮弹这一系统，在此过程中（忽略冰面摩擦及空气阻力） （A ）总动量守恒（B ）总动量在炮身前进的方向上的分量守恒，其它方向动量不守恒 (C) 总动量在水平面上任意方向的分量守恒，竖直方向分量不守恒 （D ）动量在任何方向的分量均不守恒二 填空题1. 一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为t F 31044005⨯-=(SI)，子弹从枪口射出的速率为3001s m -⋅。
假设子弹离开枪口时合力刚好为零，则(1) 子弹走完枪筒全长所用的时间 t ＝ 0.003 s ,(2) 子弹在枪筒中所受的冲量 I ＝ s N 6.0⋅ ， (3) 子弹的质量 m ＝ 2 ×10-3 kg 。
2. 质量m 为10kg 的木箱放在地面上，在水平拉力F 的作用下由静止开始沿直线运动，其拉力随时间的变化关系如图所示。
大学物理课后习题答案第二章
（1）小球速率随时间的变化关系v(t)；
（2）小球上升到最大高度所花的时间T．
[解答]（1）小球竖直上升时受到重力和空气阻力，两者方向向下，取向上的方向为下，根据牛顿第二定律得方程
，
分离变量得 ，
积分得 ．
当t= 0时，v=v0，所以 ，
因此 ，
小球速率随时间的变化关系为
．
（2）当小球运动到最高点时v= 0，所需要的时间为
第二章运动定律与力学中的守恒定律
(一) 牛顿运动定律
2．1一个重量为P的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α）上以初速度 运动， 的方向与斜面底边的水平约AB平行，如图所示，求这质点的运动轨道．
[解答]质点在斜上运动的加速度为a = gsinα，方向与初速度方向垂直．其运动方程为
x = v0t， ．
将t = x/v0，代入后一方程得质点的轨道方程为
（3）小车自由地从倾斜平面上滑下，斜面与水平面成φ角；
（4）用与斜面平行的加速度 把小车沿斜面往上推（设b1=b）；
（5）以同样大小的加速度 （b2=b），将小车从斜面上推下来．
[解答]（1）小车沿水平方向做匀速直线运动时，摆在水平方向没有受到力 的作用，摆线偏角为零，线中张力为T = mg．
（2）小车在水平方向做加速运动时，重力和拉力的合力就是合外力．由于
这也是桌子受板的压力的大小，但方向相反．
板在桌子上滑动，所受摩擦力的大小为：fM= μkNM= 7.35(N)．
这也是桌子受到的摩擦力的大小，方向也相反．
（2）设物体在最大静摩擦力作用下和板一起做加速度为a`的运动，物体的运动方程为
f =μsmg=ma`，
可得a` =μsg．
板的运动方程为
F – f – μk(m + M)g=Ma`，
（2）小球上升到最大高度所花的时间T．
[解答]（1）小球竖直上升时受到重力和空气阻力，两者方向向下，取向上的方向为下，根据牛顿第二定律得方程
，
分离变量得 ，
积分得 ．
当t= 0时，v=v0，所以 ，
因此 ，
小球速率随时间的变化关系为
．
（2）当小球运动到最高点时v= 0，所需要的时间为
第二章运动定律与力学中的守恒定律
(一) 牛顿运动定律
2．1一个重量为P的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α）上以初速度 运动， 的方向与斜面底边的水平约AB平行，如图所示，求这质点的运动轨道．
[解答]质点在斜上运动的加速度为a = gsinα，方向与初速度方向垂直．其运动方程为
x = v0t， ．
将t = x/v0，代入后一方程得质点的轨道方程为
（3）小车自由地从倾斜平面上滑下，斜面与水平面成φ角；
（4）用与斜面平行的加速度 把小车沿斜面往上推（设b1=b）；
（5）以同样大小的加速度 （b2=b），将小车从斜面上推下来．
[解答]（1）小车沿水平方向做匀速直线运动时，摆在水平方向没有受到力 的作用，摆线偏角为零，线中张力为T = mg．
（2）小车在水平方向做加速运动时，重力和拉力的合力就是合外力．由于
这也是桌子受板的压力的大小，但方向相反．
板在桌子上滑动，所受摩擦力的大小为：fM= μkNM= 7.35(N)．
这也是桌子受到的摩擦力的大小，方向也相反．
（2）设物体在最大静摩擦力作用下和板一起做加速度为a`的运动，物体的运动方程为
f =μsmg=ma`，
可得a` =μsg．
板的运动方程为
F – f – μk(m + M)g=Ma`，
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这并不是空谈……..今天条件不具备，明天就会创造出来；今天还没有，明天
一定会有！
8
原子城——金银滩草原
9
金银滩草原
10
例 作用
在
质F点（的 2yi力 4x2j）
（ N）
，质
点
从
原
点运动
到x坐 （ 2标 m） 为， y（ 1 m） 的
点（如图
计算F力 分别沿下列路径 功所 ：y作 ( j) 的
3.在所有惯性系中,动能定理形式保持不变。
A1212m2v2 12m1v2
动能定理的量值相对不同惯性系值不相同, 即
（V22-V21）的值不相同。
14
[例]质点m=0.5Kg,运动方程x=5t,y=0.5t2 (SI) , 求从t=2s到t=4s这段时间内外力所作的功.
解法
1：
用功的定义式
r aA f 5 ddmtt2iar2f d0 01r..55 jtj2 j
m1
f1 f2
dr2
m2
F2
m2
A B 2 2 F 2f2d r21 2m 2 v2 2 B 21 2m 2 v2 2 A 2 A1
A2
B1
B2
B1
B2
F1dr1 F2dr2 f1dr1 f2dr2
A1
A2
A1
A2
12m1v12B1
12m2v22B2
12m1v12A1
12m2v22A2
第二章 守恒定律
牛顿运动三定律
动能定理
动量定理
三定理
角动量定理
能量守恒定律 动量守恒定律 角动量守恒定律
三守恒定律
1
Fma ——力与运动状态变化间的瞬时关系
力的累积作用
空间累积 时间累积
§2-1 功 动能定理
一、功 1. 恒力的功
A = FΔ r cos a
F
F
a
=F .Δ r
Δr
2
5
新华报业网讯
既要马儿好，又要马儿不吃草是不现实的，近日靖江农民陈 顺贵自己研制的太阳能汽车却做到了这点。不用花一分钱，每天 晒晒太阳，汽车就能开出40公里。
老陈介绍，该车经过试验，光照两天可以行驶120-150公里。
6
7
粮食亩产量会有多少？钱学森（中国青年报1958年6月16日四版）
前年卖粮用萝挑，去年卖粮用船摇，今年汽车装不了，明年火车还嫌小!
1
2
2y2dy
4x2
1dx
0
0
2
y( j)
C（2，1）
o
a x(i )
12
力对质点做功,其效果是什么?
二、动能定理
dAF dsFcosds Ftds
matds
m
dv dt
ds
mvdv
a
F bvbds
Ft
va
A
dA
0
vb va
mv
dv A 1 2 m b 2 1 2 m v a 2 E K v E b Ka
ij
x2
1
4
x
2
d
y
1
16 dy16(J)
0
0
11co9s00 0
11
Aoc Fdr ( 2 2 y i 4 4 x 2 2 j)( 2 d x d i x i d y d j y ) j)
x2 y dx 2 dy
2ydx4x2dy
22(x)dx14(2y)2dy
02
0
17
B1
B2
B1
B2
F1dr1 F2dr2 f1dr1 f2dr2
A1
A2
A1
A2
12m1v12B1
12m2v22B2
12m1v12A1
12m2v22A2
A外 + A内 = EkB - EkA
外力总功 + 内力总功 = 系统总动能的增量 内力功的和不一定为零（各质点位移不一定相同）。
（1） .沿路o径 a； c 2） （ .沿路o径 c。
解：(1)A . AoaAac16(J)
C（2，1）
A o a yF 0d i x 2( 22 yy dxi 4 0x j) d ix o ii 0
a x(i )
A a cF d j y ( 2 y i 4 x 2 j) d j y 11cos00 1
这是江西井冈山农民的一首民歌。我们的土地正在农民双手豪迈的劳动中，付 给人们更多的粮食，六月十二日中国青年报第一版上发表了一个动人的消息： 河南省遂平县卫星农业社继小麦亩产二千一百零五斤以后，又有二亩九分地平 均每亩打下了三千五百三十斤小麦。
土地所能供给人们的粮食产量碰顶了吗？
科学的计算告诉人们：还远得很！今后，通过农民的创造和农业科学工作者的 努力，将会大大突破今天的丰产成绩。因为，农业生产的最终极限决定于每年 单位面积上的太阳光能，如果把这个光能换算农产品，要比现在的丰产量高出 很多。把每年射到一亩地上的太阳光能的30％作为植物以利用的部分，而植物 利用这些太阳光能把空气里的二氧化碳和水分制造成自己的养料，供给自己发 育、生长结实，再把其中的1/5算是可吃的粮食，那么稻麦每年的亩产量就不 仅仅是现在的两千多斤或三千多斤，而是两千多斤的20多倍！
内力能改变系统的动能。 例：炸弹爆炸过程, 内力(火药的爆炸力)所做的功使 得 弹片的动能增加。
18
§2-2 保守力 势能
y
一、保守力的功 1. 重力的功
a dr b
dA = G . dr = ( m g j ).(dx i + dy j ) o
y a G
y b
Ek
1 2
mv
2
Ek是状态量,称为质点的平动动能。
合力对物体所做的功等于物体动能的增量 13
1. 动讨 论能定理给A出A了B力12的m空2间2v积12累m效1应2v，即功可以改
变质点的动能。
2. 其优点是当作用力在位移过程中不清楚时，就 可通过始、末状态动能的增量来求得该力的功。
功是过程量，动能是状态量。
la dx a
x
dA mxgdx l
A l m xgdx
al
mg l
1 2
x2
l a
16
三. 质点 系的动能定理
两个质点的系统
f1, f2 ----为内力. F1,F2 ----为外力.
B1
B2
dr1
分别应用质点动能定理:
m 1
F A B 1 1F 1f 1d r 1 1 2 m 1 v 1 2 B 1 1 2 m 1 v 1 2 A 11
dr5dittdj t
4
A2 0.5tdt
0.25t2 4 3J 2
解法 2：用动能定理
AEk
1 2
m(v42
v22)
10.5(4129)
2
3J
v vx2 vy2
vx
dx dt
5
vy
dy dt
t
v2 29
v4 41
15
练习: 有一条长为l 质量为m 的均匀分布的链条成直 线状放在光滑的水平桌面上。链条的一端有a长被推 出桌子边缘，在重力作用下从静止开始下落，试求： 链条刚离开桌面时重力所作的功。