第一章 热力学的基本规律(复习)
热力学统计物理第一章热力学的基本规律
p p1
p1
p2
§1.5 热力学第一定律
能量守恒定律：自然界一切物质都具有能量，能量有各种不 同的形式，可以从一种形式转化为另一种形式，从一个物体 传递到另一个物体，在传递与转化中能量的数量不变。
另一种表述：第一类永动机是不可能造成的。
热力学U系 BUA 统 W： Q W：以外界对系统所功作为的正 Q：以吸热为正
WW 'QRln V V 1 2(T1T2)
热机效率定义： W Q1
卡 诺 热 W T 1 机 T 21 ： T 21
Q 1 T 1
T 1
§1.10 热力学第二定律 克劳修斯（克氏）表述： 不可能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其他变化 卡尔文（开氏）表述： 不可能从单一热源吸热使之完全变成有用的功而不引起 其他变化
AT B T
A BdTQ A BdTQ r SBSA
SB SA
BdQ AT
dS dQ T
第二定律的数学表述
绝热过 :d程 Q0
SBSA0 ——熵增加原理的数学表述
熵增加原理：经绝热过程后，系统的熵永不减少，经可逆 绝热过程后熵不变，经不可逆绝热过程后熵增加，在绝热 条件下熵减少的过程是不可能实现的。
第一章 热力学的基本规律 §1.1 热力学系统的平衡状态及其描述
1.系统
孤立系 （极限概念） 闭系 开系
热力学系统的状态
平衡态 非平衡态
热力学平衡态：
（1）定义： 一个孤立系统，不论其初态如何复杂，经过 足够长的时间后，将会到达这样的状态，系 统的各种宏观性质在长时间内不发生任何变 化，这样的状态称为热力学平衡态。
n称 为 多 方 指 数： 。理 试想 证气 明体 多的 方热 过容 程
《热力学与统计物理》第四版(汪志诚)课后题答案
若，式（3）可表为（4）选择图示的积分路线，从积分到，再积分到（），相应地体积由最终变到，有即（常量），或（5）式（5）就是由所给求得的物态方程。
确定常量C 需要进一步的实验数据。
1.3 在和1下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为可近似看作常量，今使铜块加热至。
问：（a ）压强要增加多少才能使铜块的体积维持不变？（b ）若压强增加100，铜块的体积改变多少？解：（a ）根据1.2题式（2），有（1）上式给出，在邻近的两个平衡态，系统的体积差，温度差和压强差之间的关系。
如果系统的体积不变，与的关系为（2）在和可以看作常量的情形下，将式（2）积分可得11,T T pακ==11ln .V dT dp Tp ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰00(,)T p ()0,T p ,T pV V000ln=ln ln ,V T pV T p -000p V pV C T T ==.pV CT =11,T T pακ==0Cnp 51714.8510K 7.810.n p ακ----=⨯=⨯T 和T ακ和10Cnp np .T dVdT dp Vακ=-dVdTdpdpdT.Tdp dT ακ=αTκ（1）（2）（3）根据1.13题式（6），对于§1.9中的准静态绝热过程（二）和（四），有（4） （5）从这两个方程消去和，得（6）故（7）所以在是温度的函数的情形下，理想气体卡诺循环的效率仍为（8）1.14试根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交。
解：假设在图中两条绝热线交于点，如图所示。
设想一等温线与两条绝热线分别交于点和点（因为等温线的斜率小于绝热线的斜率，这样的等温线总是存在的），则在2111ln ,V Q RT V =3224ln,V Q RT V =32121214lnln .V V W Q Q RT RT V V =-=-1223()(),F T V F T V =2411()(),F T V F T V =1()F T 2()F T 3214,V V V V =2121()ln,V W R T T V =-γ2111.T WQ T η==-p V-CAB故电阻器的熵变可参照§1.17例二的方法求出，为1.19 均匀杆的温度一端为，另一端为，试计算达到均匀温度后的熵增。
第一章热力学的基本规律课后作业和答案
第一章 热力学的基本规律1．1 试求理想气体的体胀系数α，压强系数β和等温压缩系数κT 。
解：已知理想气体的物态方程为nRT pV = 由此得到 体胀系数TpV nR T V V p 11==⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=α， 压强系数TpV nR T P P V 11==⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=β 等温压缩系数2111()T T V nRT V p V p pκ⎛⎫∂⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭ 1.2试证明任何一种具有两个独立参量,T p 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数T k ，根据下述积分求得：ln (d d )T V T k p α=-⎰如果1Tα=，1T k p =，试求物态方程。
解 以,T p 为自变量，物质的物态方程为(,)V V T p =其全微分为d d d p TV V V T p T p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ (1) 全式除以V ，有d 11d d p TV V V T p V V T V p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭根据体胀系数α和等温压缩系数T k 的定义，可将上式改写为d d d T VT k p Vα=- (2) 有ln (d d )T V T k p α=-⎰ (3)若1Tα=，1T k p =，式(3)可表示为11ln (d d )V T p T p=-⎰ (4)积分pV CT = (5)1.3测得一块铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为514.8510K α--=⨯和71n 7.8*10p T κ--=，α和T κ可近似看作常量，今使铜块加热至10C ︒。
问（1压强要增加多少才能使铜块体积不变？（2若压强增加，铜块的体积改多少解：（1）有d d d T Vp p p V T V T ∂∂⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭知，当d 0V =时，有d 0d d d V Tp p T p T T T αβκ∂⎛⎫=+==⎪∂⎝⎭ 故 ()212121d T T TT p p T T T αακκ-==-⎰即 ()2121n 622p T p p p T T ακ∆=-=-= 分别设为V xp n ∆;，由定义得：4474.85810; 4.85101007.810T x V κ∆---=⨯=⨯-⨯⨯所以，44.0710V ∆-=⨯1.4 1mol 理想气体，在27C ︒的恒温下发生膨胀，其压强由n 20p 准静态地降到n 1p ，求气体所做的功和所吸取的热量。
热力学统计物理第1章总复习
ln V ( dT T dp ) ln V0
(T , p)
(T0 , p0 )
T
如果由实验测得α、κT作为T、p的函数，由上 式可得物质的物态方程。
对理想气体
1 T
1 T p
选择该积分路径由一个等压过程和一个等压过程组成，
p 常数 T
1
TV
1
常数
V V dV ( ) p dT ( )T dp T p
并利用 1 ( V ) P V T
同除V得到
KT
1 V ( )T V p
得到:
dV dT K T dp V
dV V (dT KT dp)
对固体和液体，α、KT很小，并假定为常数，积分得：
作级数展开，取近似， V (T , P) V0 (T0 ,0)1 (T T0 ) KT p 并取p0=0有
T
1.4 简单固体和液体的体胀系数 和等温压缩系数 T 数值都很小，在一定温度范围内可以把 和 T 看作 常量. 试证明简单固体和液体的物态方程可近似为
V (T , p) V0 T0 , 0 1 T T0 T p .
1.4解：令 V=V（T，P）进行全微分:
2 1 p R RV ( )V p T p(V b) RTV 2 a(V b)
1 1 1 V T ( ) T 2a RT V V p 3 V
V 2 (V b) 2 3 V RT 2a(V b) 2
(V b) 2
1.2 证明任何一种具有两个独立参量 T , p 的物质，其 物态方程可由实验测得的体胀系数 及等温压缩系 数 ，根据下述积分求得：
热力学统计物理知识点复习大全
概 念 部 分 汇 总 复 习热力学部分第一章 热力学的基本规律1、热力学与统计物理学所研究的对象：由大量微观粒子组成的宏观物质系统 其中所要研究的系统可分为三类孤立系：与其他物体既没有物质交换也没有能量交换的系统； 闭系：与外界有能量交换但没有物质交换的系统； 开系：与外界既有能量交换又有物质交换的系统。
2、热力学系统平衡状态的四种参量：几何参量、力学参量、化学参量和电磁参量。
3、一个物理性质均匀的热力学系统称为一个相；根据相的数量，可以分为单相系和复相系。
4、热平衡定律(热力学第零定律）：如果两个物体各自与第三个物体达到热平衡，它们彼此也处在热平衡.5、符合玻意耳定律、阿氏定律和理想气体温标的气体称为理想气体。
6、范德瓦尔斯方程是考虑了气体分子之间的相互作用力（排斥力和吸引力）,对理想气体状态方程作了修正之后的实际气体的物态方程。
7、准静态过程：过程由无限靠近的平衡态组成，过程进行的每一步，系统都处于平衡态。
8、准静态过程外界对气体所作的功：，外界对气体所作的功是个过程量。
9、绝热过程：系统状态的变化完全是机械作用或电磁作用的结果而没有受到其他影响。
绝热过程中内能U 是一个态函数：A B U U W −=10、热力学第一定律（即能量守恒定律）表述：任何形式的能量，既不能消灭也不能创造，只能从一种形式转换成另一种形式，在转换过程中能量的总量保持恒定；热力学表达式：Q W U U A B +=−；微分形式：W Q U d d d += 11、态函数焓H ：pV U H +=，等压过程：V p U H ∆+∆=∆，与热力学第一定律的公式一比较即得：等压过程系统从外界吸收的热量等于态函数焓的增加量。
12、焦耳定律：气体的内能只是温度的函数，与体积无关，即)(T U U =。
13．定压热容比：p p T H C ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=；定容热容比：VV T U C ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂= 迈耶公式：nR C C V p =−14、绝热过程的状态方程：const =γpV ；const =γTV ；const 1=−γγTp 。
云南师范大学热力学统计物理期末复习讲解
各章知识点整理和复习第一章 热力学的基本定律知识点1、热力学第一定律dU dQ dW =+2、热力学第二定律3、热力学基本方程dU TdS pdV =-4、热力学第二定律的数学表述dU TdS pdV ≤-5、克劳修斯熵BRB A Ad Q S S T-=⎰，玻尔兹曼熵ln S k =Ω 6、熵增加原理。
复习题1、简述热力学第二定律及其统计解释。
参考：热力学第二定律的开尔文表述：热不可能全部转变为功而不引起其他变化。
热力学第二定律的克劳修斯表述：热量不能自动地从低温物体传向高温物体。
或第二类永动机不可能。
热力学第二定律的微观意义是，一切自然过程总是沿着分子热运动的无序性（或混乱度）增大的方向进行,系统对应的微观状态数增大，根据玻尔兹曼熵ln S k =Ω，因此系统的熵值增加，即熵增加原理。
2、简述熵增加原理及其统计解释。
参考：孤立系统中所进行的自然过程总是沿着熵增大的方向进行。
根据玻尔兹曼熵公式ln S k =Ω，可知孤立系统中所进行的自然过程总是向着微观状态数（或混乱度）增大的方向进行。
第二章 均匀物质的热力学性质知识点1、基本热力学函数的全微分和麦氏关系的得出。
dU TdS pdV dH TdS Vdp dF SdT pdV dG SdT Vdp=-=+=--=-+ ()()()()()()()()S V S pT V T p T p V ST Vp SS pV T S V p T∂∂=-∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂=-∂∂2、麦氏关系的应用。
2、气体的节流过程。
3、特性函数的应用。
4、热辐射（平衡辐射）的热力学结果，斯特方玻尔兹曼定律。
复习题1、写出焦汤系数的数学表达式，简述节流过程的特点；利用焦汤系数分析通过节流产生致冷效应、致温效应和零效应的原理。
（P57）2、证明能态方程T VU p T p V T ∂∂⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭。
参考：选T 、V 作为状态参量时，有V TU U dU dT dV TdS pdV T V ∂∂⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭V TS S dS dT dV T V ∂∂⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 得： V T S S dU T dT T p dV T V ⎡⎤∂∂⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎢⎥∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦比较得： T TU S T p V V ∂∂⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 将麦氏关系T V S p V T ∂∂⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭代入，即得T VU p T p V T ∂∂⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭3、证明焓态方程p TH V V T p T ⎛⎫∂∂⎛⎫=-⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭。
第一章,热力学基本规律
一．几个基本概念：1.孤立系，闭系和开系：与其他物质既没有物质交换也没有能量交换的系统叫做孤立系；与外界没有物质交换但有能量交换的系统叫做闭系；与外界既有物质交换也有能量交换的系统叫做开系。
2.平衡态：经验表明，一个孤立系统，不论其初态多么复杂，经过足够长的时间后，将会达到这样的状态，系统的各种宏观性质在长时间内不会发生任何变化，这样的状态称为热力学平衡态。
3.准静态：所谓准静态过程，它是进行的非常缓慢的过程，系统所经历的每一个状态都可以看做是平衡态。
4.可逆过程与不可逆过程：如果一个过程发生后，无论用任何曲折复杂的方法都不可能把它留下的后果完全的消除而使一切恢复原状，这过程称为不可逆过程；反之，如果一个过程发生后，它所产生的影响可以完全消除而令一切恢复原状，这过程称为可逆过程。
5.理想气体：我们把严格遵从玻意耳定律、焦耳定律和阿氏定律的气体称为理想气体。
二．热力学定律1.热平衡定律（即热力学第零定律）：如果物体A和物体B各自与处在同一状态C达到平衡，若令A与进行热接触，他们也将处在热平衡，这个实验事实称为热平衡定律。
2.热力学第一定律：自认界的一切物质都具有能量，能量有各种不同的形式，可以从一种形式转化成另一种形式，从一个物体传递到另一个物体，在传递与转化中能量的数量不变。
第一定律也可以表述称为第一类永动机是不可能制成的。
3.热力学第二定律：1）克氏表述：不可能把热量从低温物理传到高温物体而不引起其他变化。
2）开氏表述：不可能从单一热源吸热使之完全变成有用功而不引起其他变化。
热力学第二定律也可表述为第二类永动机是不可能制成的。
关于热力学第二定律有几点需要说明：在两个表述中所说的不可能，不仅指【1】在不引起其他变化的条件下，直接从单一热源吸热而使之完全变成有用的功，或者直接将热量从低温物体送到高温物体是不可能的。
而且指【2】不论用多么复杂的方法，在全部过程终了时，其最终的唯一后果是从单一热源吸热而将之完全变成有用功，或者热量从低温物体传到高温物体是不可能的。
热力学
第一章热力学的基本规律热力学系统的分类(p3):孤立系统：无物质交换，也无能量交换；封闭系统：有能量交换，但无物质交换；开放系统：既有能量交换，又有物质交换。
热力学系统的状态可以分成两类(p3)：平衡态：无外界影响，经足够长时间，系统趋于一中宏观性质不随时间变化的状态；非平衡态。
状态参量的分类(p5)：按性质分：几何参量，力学参量，电磁参量，化学参量；按描述的范围分：内参量：描述系统内部状态的物理量，外参量：描述系统外界条件的物理量；按与系统总质量的关系分：广延量：与系统中质量成正比的量，强度量：与系统中质量无关的量。
准静态过程：是指如果从系统的初始态到新的平衡态的过程进行的如此缓慢，以至于其中的每一步都可以近似的认为系统是处于平衡态。
循环关系(p9)：热力学第零定律(p6):两个系统与第三个系统处于热平衡时，则这两个系统之间也必然热平衡。
热力学第一定律(p19)：热力学系统在任一热力学过程中，从外界吸收的热量等于系统内能的增加与对外界做功之和。
表达式：卡诺循环(p27):两个等温过程和两个绝热过程构成的准静态循环过程。
卡诺热机的效率(p29):热力学第二定律的两种表述(p30)：克劳修斯氏表述:不可能吧热量从低温物理传到高温物体而不引起其他变化；考尔文表述：不可能从单一热源吸热使之完全变成有用的功而不引起其他变化。
（或第二类永动机不可能造成）数学表述(p42): 对不可逆过程: 对可逆过程:可逆系统：系统经历一个过程，有初态到达末态，如果能够找到一个使系统经历一个过程，由末态回到初态，而对外界不产生任何的影响的过程，则院过程就称为可逆过程不可逆过程：如果不存在这样的过程，称原过程为不可逆过程。
(p32)熵增加原理(p42)：dS≥0，即绝热过程的熵不会减少，若是可逆绝热过程，则熵不变，而对不可逆过程，熵增加。
焦耳气体自由膨胀实验(p22) 实验目的：气体的内能是否与气体的体积有关；结果：水温不变；焦耳定律：理想气体的内能只是温度的函数，与体积无关。
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第一章 热力学的基本规律（复习）一、内容概述 （一）、知识结构（二）、基本概念热力学系统及其分类（孤立系、闭系、开系）、热力学平衡状态、物态方程、内能、焓、熵、自由能、吉布斯函数、可逆过程与不可逆过程。
（三）、基本规律和公式1、与物态方程有关的三个物理量定压体胀系数P T VV ）（∂∂=1α定容压强系数V TPP ）（∂∂=1β三者联系为P K T βα= 等温压缩系数TT TV Vk ）（∂∂-=1热力学的基本规律热力学第零定律 温度 物态方程热力学第一定律 内能两种典型表述 卡诺定理 克劳修斯等式与不等式 熵的定义和热力学基本微分方程 热力学第二定律热力学第二定律的普遍表述 熵的性质和物理意义 熵变的计算2、热力学第一定律条件：闭系 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=-∑i ii A B dY Y Q d dU W Q U U 无穷小过程有限过程只有体积变化功 PdV Q d dU -=意义：①说明了做功和热传递是改变物体能量及其量度的两种等效的方式；②揭示了能的转化及其守恒规律◆热力学第一定律在理想气体的应用理想气体的内能只是温度T 的函数（焦耳实验证实），即U=U(T)，且其状态方程为pV=nRT ，由此得到： ① 内能： οU dT C U dT C dU V V +==⎰,② 焓： ⎰+==οH dT C H dTC dH p p③ 热容量差： nR C C V p =- ④ 过程方程： 常量常量，常量，===--ZZ Z ZTpTVpV/11其中Z=0，1，∞和γ分别对应理想气体的等压、等温、绝热和等容过程； ⑤ 多方过程中热容量； )1/()(--=Z C Z C V γ ⑥ 理想气体卡诺正循环效率η和负循环的致冷系数ε：1212111T T Q Q Q W -=-==η2122T T T WQ -==ε3、热力学第二定律⑴热力学第二定律两种标准的表述： ① 克劳修斯叙述：不可能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其它变化。
② 开尔文叙述：不可能从单一热源吸热使之完全变为有用的功而不引起其它变化，（或说为：第二类永动机不可能造成。
）克劳修斯叙述揭示了热传导的不可逆性，而开尔文叙述揭示了功热转换的不可逆性。
这两种叙述在正的绝对温度区间是等效的。
⑵卡诺定理定理：所有工作于两个一定温度之间的热机，以可逆机的效率为最大。
推论：所有工作于两个一定温度之间的可逆热机，其效率都相等。
由卡诺定理及其、推论，应有：工作于温度为)(21T T >和2T 之间的热机，其效率η满足1212111T T Q Q Q W -≤-==η可逆机取等号，不可逆机取小于号。
且上述结论与工作物质无关。
4、克劳修斯等式和不等式，0≤⎰TQ d 式中等号适用于可逆循环过程，不等号适用于不可逆循环过程Q d 是系统从温为T 的热源吸收的热量。
5、熵的定义：⎰=-B AA B TQ d S S ，积分沿由A 态到B 态的任意可逆过程进行。
无穷小可逆过程 TQ d dS =6、 热力学第二定律的普通表述 TQ d dS TQ d S S B AA B ≥≥-⎰或7、 热力学基本微分方程 闭系 i i dy Y TdS dU ∑+=1只有体积变化功 P d V T d S dU -=8、自由能定义F =U —TS ；吉布斯函数定义 G=U —TS + PV （四） 、熵的性质和物理意义◆熵函数的性质有四个：1、 熵是系统的状态函数。
系统的平衡态确定后，熵就完全单值地确定了：只要初、终状态确定了，不管其间的过程是否可逆都有相同的熵变；系统经历循环过程（不论可逆与否）回到初态，其熵变恒为零。
2、 熵是广延量，具有可加性。
如果一个热力学系统由几个部分组成，整个系统的熵为各部分熵的和。
3、 对于绝热过程利用熵的变化可以判断该过程是否可逆。
如果系统经绝热过程后熵不变。
该过程是可逆的；如果系统经绝热过程后熵增加，该过程是不可逆的。
对于不可逆绝热过程，利用熵的变化可以判断该过程进行的方向和限度。
不可逆绝热过程。
总是朝着熵增加的方向进行；熵达到最大值时，系统达到平衡态。
4、 在不绝热的过程中，如果系统吸热，则熵增加；如果系统放热，则熵减少。
◆熵函数的物理意义：1、在宏观上，熵函数的数值表征孤立系统接近平衡态的程度。
2、在微观上，熵是系统中微观粒子无规则运动的混乱程度量度。
（五）、对熵增加原理的两点说明1、孤立系统内任何自发过程，导致整个系统的熵值增加，但系统内每一部分的熵值不一定都增加。
例如，一铜棒两端分别与温度为T 1的高温热源、温度为T 2的低温热源相连，热量通过铜棒传递，将这三者组成孤立系统。
稳定时，棒上各处的温度虽然不同，但不随时间改变。
孤立系统内，高温热源放热Q ，其熵变；11T Q S -=∆铜棒的状态不变，其熵变02=∆S ；低温热源吸热Q ，其熵变。
23T Q S =∆整个系统熵变01112〉-=∆）（T T Q S 。
结果表明，整个系统内自发进行的有限温差的热传导过程是不可逆过程，故熵增加，但高温热2、不可逆过程中的熵变dS ，根据克劳修斯不等式，得TQ d dS 〉，此熵变由两部分组成S d S d dS i e +=`其中第一项是由于系统从外界吸收热量Q d 所引起的熵变，称为熵流。
它可为正、零或负，取决于系统是吸热、绝热或放热，其关系式为。
TQ d S d e =第二项是由于不可逆过程中的不可逆因素所引起的熵变，称为熵产生。
不可逆因素是指过程非静态地进行；存在各种耗散效应（如摩擦等）。
任一个不可逆因素，都将引起系统的熵产生。
熵产生总是正的，0〉S d i 。
当系统从一个平衡态变化到另一个平衡态时，如果经历的是一个可逆过程，则0=S d i ，只能有熵流TQ d S d dS e ==；如果经历的是可逆绝热过程，则0=dS ；如果经历的是不可逆过程，则有熵流和熵产生；如果经历的是不可逆绝热过程，则0〉=S d dS i 。
孤立系统中自发进行的过程是不可逆过程，只能有熵产生，即0〉=S d dS i二、典型例题本章习题主要有三个类型；物态方程与T k 、、βα的互求；功、内能增量、热量的计算，热力学第一定律对等值过程和循环过程的应用；熵变的计算。
（一）、物态方程与T k 、、βα的互求。
1、 已知物态方程，求T k 、、βα根据这三个系数的定义式采用求偏导数的方法得解。
[例题1] 若1摩尔某气体的物态方程为 Ta PRT V -=其中R 为普适气体常数，a 为常数。
求定压体胀系数a 和等温压缩系数T k [ 解 ] ）（）（211T aP R V T VV a P +=∂∂= V P RTP V V k T T21=∂∂-=）（ 2、已知T k 、、βα中的任意两个，求物态方程。
采用求积分的方法，有时还要用求解微分方程的方法得解。
[ 例题2 ] 对1摩尔某气体的定压体胀系数a 和等温压缩系数T k 测量结果如下： ）；（21Ta P R V a +=VP RT k T 2=其中R 为普适气体常数，a 为常数。
试确定此气体的物态方程。
[ 解 ] 首先，判断某气体能否用积分的方法得出物态方程。
在描述简单系统的P 、V 、T 三个量中，任选两个量便是这两个量的态函数。
写出该态函数的微分式，将已知条件代入，采用完整微分条件判断它是不是全微分式。
若是全微分式，则可以用积分法得出物态方程；若不已知a 和k T ，宜选V 为T 和P 的函数，写出V 的微分式V d P k a V d T dP PV dT TV dV T TP-=∂∂+∂∂=）（）（ 将已知条件代入，得dPP RT dT Ta P R dV 22-+=）（ （1.1）因为 22}{P RT aP R P T -=+∂∂）（22}{PR P RT T P -=-∂∂）（ 满足完整微分条件，故（1.1）式是全微分式，某气体的物态方程可以用积分法得出。
其次，求积分得出某气体的物态方程。
方法一：用全微分的积分法得出物态方程。
将（1.1）式右边作适当变换，得）（T a PRT d dV -=积分， CT a PRT V +-=C 为积分常数。
当∞→T 时，气体可作理想气体处理，满足V=RT/P ，上式右边第二项为零，故 C=0，某气体的物态方程为 Ta PRT V -=方法二：用偏微分的积分法得出物态方程。
在a 和k T 的定义式中都含有偏导数。
由 2PRT V k PV T T-=-=∂∂）（相应的偏微分为V 对P 的偏微分，用d P V 表示，它等于V 对P 的偏导数与P 的微分的乘积。
dPPRT dP PV V d TP 2-=∂∂=）（在T 不变时，对上式积分，得 ）（T f PRT V +=积分常数f （T ）的确定：由（1.2）式所得函数V （T ，P ）还必须满足偏导数）（TV ∂∂，故对（1.2）式求导 ， d TT d f PR TV P）（）（+=∂∂与已知条件 2Ta P R V TV P+==∂∂α）（比较，得 2Ta dT T df =）（ 积分，CTaT f +-=）（C 为积分常数。
代人（1.2）式，得 CT a PRT V +-=与方法一相同，定C=0，得到气体物态方程。
应当指出，方法一仅适于从V 的全微分式出发，等式两边恰能写成某些量的全微分，方法二更具有普遍意义，特别是遇到从V 的全微分式出发，经过运算，一时难于在等式两边都凑成某些量的全微分的情况。
（二）功、内能增量、热量的计算，热力学第一定律对等值过程和循环过程的应用。
这个类型的习题包括已知系统的部分状态参量和过程特点。
求系统的另一部分状态参量以及功、内能增量和热量；已知循环过程，求效率η或制冷机的工作系数η。
解题主要步骤及方法：1、明确研究系统。
系统的聚集状态、质量M 、摩尔质量μ、定容摩尔热容量C V 、定压摩尔热容量值。
及V P P C C y C /=2、明确过程特点。
单一过程或几个过程构成的组合过程、或循环过程（正循环或逆循环）。
3、画出过程图线。
4、选定公式计算。
功 体积变化功⎰-=-=B AV V PdVW PdV W d 或外界克服表面张力作功dA W d σ=外界使电介质极化作功dP V W d ε= 外界使磁介质磁化作功VHdm W d O μ= 内能增量 W Q U U W d Q d dU A B +=-+=或 热量 ）（或12T T C MQ dTC M Q d VV V V -==μμ ）（或12T T C MQ dTC MQ d PP P P -==μμ⎰==T d S Q T d SQ d 或[ 例题3 ] 压强为P 1、体积为1v 的1摩尔理想气体。
绝热自由地膨胀到压强为P 2。
体积为。