【985高校难度】2017年高考及大学自主招生高三奥数班模拟(浙江)

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Q ·2 0 1 7 年高考及自主招生 高三奥数班 模拟检测（浙江）
姓名： 学号： （2017年5月）
{本卷满分：180 分（含附加题30分） 考试时间：150 分钟}
一、填空题（共14小题，每题8分，计112分）．
1. 已知 ，是非零不共线的向量，设r r r 1
11+++=
，定义点集⎫⎪⎩⎪⎨⎧==M ，当M K K
∈21
，时，若对于2≥∀r ，不等式
≤恒成立，则实数c 的最小值为 ．
2. 若函数()R ∈-+-+=b a x a x b x b x a x f ,cos sin 1cos sin 的最大值为11，则22b a +的值为 ．
3. 已知R ∈α，且{}
{}1c os sin 1c os sin 44=+∈=+x x x x x x α
α
，则α的取值范围
是 ．
4. 已知正整数数列{}n a 满足*∈∀N n ，n n n a a a +=++12，且2017=k a ，则k 的最
大值是 ． 5. 设点()i i i y x P ,在直线i l ：i i i c y b x a =+上，
若()21，==+i ic b a i i i ，且2
2
21≥P P 恒成立，则
22
11c a a c +的值是 ． 6. 如图，ABC ∆和ADE ∆均为等腰直角三角
形，︒=∠=∠90AED BAC ，连接BD 、CE ，取CE 的中点F ，连接DF 、BF ，若
BDF S ∆=()ACE ADE ABC nS S S ∆∆∆++2
1
()R ∈n 恒成立，则n 的值是 ． 7. 已知函数()22,
03,0
x x f x x a a x ⎧->⎪=⎨-++<⎪⎩的图象上恰有三对点关于原点成中心对
称，则a 的取值范围是 ．
8. 已知棱长为1的正四面体ABC P -，PC 的中点为D ，动点E 在线段AD 上，
则直线BE 与平面ABC 所成的角的取值范围是 ．
9. 若n
I ⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=i 32121
()
*∈N n 为纯虚数，则n 取最小值时，I 的值是 ．
10. 设曲线L 的方程为()()
022224224=-+++x x y x y ，则下列说法正确的
是 ．（填序号）
① L 是轴对称图形； ② L 是中心对称图形；
③ (){}
1 , 22≤+⊂y x y x L ； ④ ()⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧≤
≤-⊂2121
, y y x L ． 第6题
（ 985 高 校 难 度 ）
11. 阶梯教室安装的连体课桌一行坐6个人，考生只能从课桌两头走出考场，考
生交卷时间先后不一，如果坐在里面的考生先要交卷就需要打扰别人．把一行考生中打扰别人交卷的人数设为随机变量X ，则X 的数学期望为 ． 12. 若A 、B 是抛物线x y 42=上的不同两点，弦AB （不平行于y 轴）的垂直平
分线与x 轴相交于点P ，则称弦AB 是点P 的一条“相关弦”．则点()04 ，P 的所有“相关弦”的弦长的最大值是 ．
13. 已知A ，B ，C 是球O 的球面上的三点，︒=∠=∠45AOC AOB ，若三棱锥
ABC O -体积的最大值为3
2
，则球O 的表面积为 ．
14. 设k ，m ，n 都是整数，过圆()2
2213+=+k y x 外一点()
n n m m P --33，向该
圆引两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 上满足横坐标与纵坐标均为整数的点的个数为 ．
二、解答题（共2小题，15题18分，16题20分，计38分）．
15. 数列{}n a 满足：∏∑===n
i i
n
i i a a 111
1．
⑴ 求n a 和1+n a 的关系；
⑵ 若101<<a ，证明：10<<n a ；
⑶ 若[]101，
∉a ，证明：1+<n n a a ()2≥n ．
16. 设{}b a ,，{}d c ,分别为两个矩形的长和宽，且b d c a <<<，cd ab <．
证明：可将第一个矩形放入第二个矩形内部的充要条件是
()()()2
2
2
2
2
ad bc ac bd a b
-+-≤-．
三、附加题（共1小题，计30分）．
求方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧=++=++=++yz z y x xz z y x xy
z y x 333333222的实数解()z y x ,,的个数，其中z y x ,,互不相等．
Q ·2 0 1 7 年高考及自主招生高三奥数班模拟（参考答案）
[ MATHEMATICS Examination paper reference answer ]
{ 本卷满分： 180 分（含附加题 30 分） }
一、填空题（共14小题，每题8分，计112分）．
1 考点：向量，几何（角平分线定理） {难度：★★☆☆☆}
答案：3
4
2 考点：绝对值，A-G 不等式 {难度：★☆☆☆☆}
答案：50
3 考点：集合，指数函数，三角函数，分类讨论思想 {难度：★★★☆☆}
答案：()()∞+∞-，，22
4 考点：数列，数论 {难度：★★★☆☆}
答案：11
5 考点：直线关系，恒成立问题 {难度：★★☆☆☆}
答案：3
6 考点：平面几何，面积，线段比 {难度：★★★★☆}
答案：3
分析可得n = 3，由题意即证明：BDF S ∆=()ACE ADE ABC S S S ∆∆∆++32
1
7 考点：函数的应用，导数 {难度：★★★☆☆}
答案：171,
16⎛⎫
⎪⎝⎭
8 考点：立体几何（角），解不等式，单调性，反三角 {难度：★★★☆☆}
答案：⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡714arctan 0，
[ 来源：2017年全国高中数学联赛预赛 浙江
]
9 考点：虚数，二项式 {难度：★★☆☆☆}
答案：
i 9
3 10 考点：曲线图像（数形结合），轨迹 {难度：★★★☆☆}
答案：①②④
[ 来源：2015年清华大学自主招生暨领军计划 ]
提示：曲线图像如下
11考点：数学期望，应用，排列{难度：★★★★☆}
21
答案：
10
分析与解如下：
12考点：最值，抛物线{难度：★★★☆☆}
答案：6
13考点：立体几何（球，体积，表面积），A-G不等式，三角，运动中的不变量分析{难度：★★★★☆}
答案：16 π
14考点：直线与圆，切线{难度：★★★☆☆}
答案：0
二、解答题（共2小题，15题18分，16题20分，计38分）．15考点：数列，数学归纳法{难度：★★★☆☆}
[ 来源：2008年中科大自主招生] (18分) [可能有多种解法
．．．．．．．，酌情给分
．．．．．]
15、
16考点：充分必要（逻辑），解析几何（线性规划，直线与圆）{难度：★★★★☆} (20分) [可能有多种解法
．．．．．]
．．．．．．．，酌情给分
三、附加题（共1小题，计30分）．
17考点：导数（极限），代换，解元{难度：★★★★★}
[可能有多种解法
．．．．．]
．．．．．．．，酌情给分
严．禁．盗．版．。