概率统计练习题(第2版)(3)

9.
设随机变量 X
的概率密度为
f (x)
=

Axe
−
x2
2a ,
x ≥ 0 ，其中 a > 0 。（1）确定常数 A ；
0, x < 0
（2）求 X 的分布函数；（3）计算 P(0 ≤ X ≤ 1) 。
10. 设随机变量 X 的概率密度 f (x) = Ae−| x| , (−∞ < x < +∞) 。（1）确定常数 A ；（2）计 算 X 落在区间（0, 1）内的概率；（3）求出 X 的分布函数。
24. 已知产品中 96%为合格品，现有一种简化的检查方法，它把真正的合格品确认为合格 品的概率为 0.98，而误认废品为合格品的概率为 0.05，求在简化法检查下被认为是合格品的 一个产品确实是合格品的概率。
25. 一项血液化验有 95%的把握将患有某种疾病的人鉴别出来(是阳性)，但是这项化验用于 健康人也会有 2%的呈阳性，如果这种疾病的患者仅占人口的 0.5%，若某人化验的结果呈阳 性，问此人确实患有这种疾病的概率是多少？
概率统计练习题（第 2 版）
第1章
1. 一口袋装有 10 只球，其中 6 只是红球，4 只是白球，今随机地从中同时取出 2 只球，试 求取到二只球颜色相同的概率。
2. 一口袋装有 10 只球，其中 6 只是红球，4 只是白球，今随机地从中同时取出 2 只球，试 求：（1）2 只都是红球的概率；（2）一只是红球一只是白球的概率。
26. 共有 18 名射手，其中 5 名命中靶的概率为 0.8，7 名命中靶的概率为 0.7，4 名命中靶的 概率为 0.6，2 名命中靶的概率为 0.5。任意选一名射手进行一次射击，结果未能中靶，试问 该射手属于哪一组最为可能。
27. 设某地区成年居民中肥胖者占 10%，不胖不瘦者占 82%，瘦者占 8%，又知肥胖者患高 血压的概率为 20%，不胖不瘦者患高血压病的概率为 10%，瘦者患高血压病的概率为 5%， 试求：（1）该地区居民患高血压病的概率；（2）若知某人患高血压，可否断定他属于肥胖者？
3. 在 8 件产品中有 5 件是一级品和 3 件是二级品，现从中任取 2 件，求取得的 2 件中只有 一件是一级品的概率. 如果：（1）2 件产品是无放回的逐次抽取；（2）2 件产品是有放回的 逐次抽取。
4. 将 15 名新生平均分配到三个班级中去，新生中有三名是优秀生，问每一个班级各分配到 一名优秀生的概率是多少？
（1）求系数
A，B
的值；（2）计算 P−
a 2
<
X
≤
a 2

。
3. 设随机变量 X 的分布函数为
F ( x)
=
a
+
b (1 + x)2
,
x>0
c,
x≤0
（1）求 a, b, c 的值；（2）设含有 y 的方程 4 y 2 + 4 yX + X + 2 = 0 ，求 y 无实根的概率。
7. 从 1，2，…，30 这 30 个数中随机地选取 10 个不同的数，求所取出的数都是偶数的概率。
8. 袋中装有 5 个白球，3 个黑球，4 个红球，从中一次取出三个球，问三个球是同色球的概 率。
9. 为了减少比赛次数，把 21 个球队分成三组(每组 7 个队)进行比赛，求其中最强的三个队 被分在不同组内的概率。
17. 从装有 3 个白球，3 个黑球的甲箱中，随机地取出二个球，放入装有 4 个白球与 4 个黑 球的乙箱中，然后再从乙箱中取出一球，求此球为白球的概率。
18. 不同的两个小麦品种的种子混杂在一起，已知第一个品种的种子发芽率为 90%，第二 个品种的种子发芽率为 96%，并且已知第一个品种的种子比第二个品种的种子多一倍，求： （1）从中任取一粒种子，它能发芽的概率； （2）如果取到的一粒种子能发芽，那么它是第一个品种的概率是多少？
19. 某保险公司把被保险人分成三类：“好的”，“一般的”与“差的”，统计资料表明，对于 上述三种人而言，在一年内出问题的概率依次为 0.05，0.15，和 0.30，如果“好的”被保险 人占总的保险人数的 20%，“一般的”占 50%，“差的”占 30%，试问在固定的一年中出问 题的人在总保险人数中占多大的比例？如某人在这一年内未出问题，他是属于“好的”的概 率为多少？
31. 炮战中，在距目标 250 米，200 米，150 米处射击的概率分别为 0.1，0.7，0.2，而在各 距离处射击的命中率依次为 0.05，0.1，0.2，现已知目标被击中，求击中目标的炮弹是在 200 米处射击的概率。
32. 甲，乙两个盒子里各装有 10 只螺钉，每个盒子的螺钉中各有一只是次品，其余均为正 品，现从甲盒中任取二只螺钉放入乙盒中，再从乙盒中取出两只，问从乙盒中取出的恰好是 一只正品一只次品的概率是多少？
15. 设随机变量 X 服从参数为 3 的指数分布，求随机变量Y = min( X , 2) 的分布函数。
16.
设随机变量 X
的概率密度为
f
(x)
=
2xe
−x2
,
0,
度。
x ≥ 0 ，求随机变量 Y = X 2 的概率密 x<0
4
第3章
1.
已知 P( A)
=
1
， P(B |
A)
=
1 ， P(A |
（3） P(B | A) ；（4） P( AB) ；（5） P( A | B ) 。
15. 在线段 AD 上任取两点，将 AD 截为三段，记事件 G 为：“这三个线段能构成三角形”， 求事件 G 的概率。
1
16. 甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是 等可能的，如果甲船的停泊时间是一小时，乙船是二小时，求它们中的任何一艘都不需要等 待码头空出的概率。
B)
=
1
，令：
6
3
6
1, 若A发生 X = 2 , 若A 发生
1, 若B发生 Y = 0 , 若B发生 。
试求：（1） ( X , Y ) 的联合分布律；（2） X 和Y 的边缘分布律。
22. 某校射击队共有 20 名射手，其中一级射手 4 人，二级射手 8 人，三级射手 7 人，四级 射手 1 人，一，二，三，四级射手能通过预选赛进入正式比赛的概率分别为 0.9，0.7，0.5， 0.2，求任选一名射手能进入正式比赛的概率。
23. 两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为 0.05，第二台出现废品的概率为 0.02，加工的零件混放在一起，若第一台车床与第二台车床加工的零件数为 5:4，求： （1）任意地从这些零件中取出一个为合格品的概率； （2）若已知取出的一个零件为合格品，那末，它是由哪台机床生产的可能性较大？
第2章
0 ,
1.
设随机变量 X
的分布函数为 F (x)
=
A − (1 +
x)e−x ,
P(| X |< 1) 。
x<0 ，试确定常数 A ，并计算
x≥0
0
x < −a
2.
设连续型随机变量 X
的
分
布
函
数
是
F
(x)
=

A

+
B
arcsin
x a
−a ≤ x ≤ a (其中
1
x>a
a > 0 )。
20. 在 18 盒同类电子元件中有 5 盒是甲厂生产的，7 盒是乙厂生产的，4 盒是丙厂生产的， 其余是丁厂生产的，该四厂的产品合格品率依次为 0.8，0.7，0.6，0.5，现任意从某一盒中 任取一个元件，经测试发现是不合格品，试问该盒产品属于哪一个厂生产的可能性最大？
21. 无线电通讯中，由于随机干扰，当发出信号“•”时，收到信号为“•”."不清”和“” 的概率依次为 0.7，0.2 和 0.1，当发出信号“”时，收到信号为“”，“不清”，和“•” 的概率为 0.9，0.1 和 0，如果整个发报过程中“•”，“”出现的概率分别为 0.6，0.4，求收 到信号“不清”的概率？又当收到信号为“不清”时，原发信号是什么信号的可能性大？
14. 设随机变量 X 服从 N (10, 22 ) ，（1）计算 P(7 < X < 15) ；（2）求 d ，使 P(| X −10 |< d ) = 0.9 。（ 已 知 标 准 正 态 分 布 函 数 Φ (x) 的 值 ： Φ (1.28) = 0.9 ， Φ (1.645) = 0.95 ，Φ (1.5) = 0.9332 ，Φ (2.5) = 0.9938 ，Φ (0.75) = 0.7734 ， Φ (1.25) = 0.8944 ）
4. 5 个零件中有一个次品，从中一个个取出进行检查，检查后不放回，直到查到次品时为
止。用 X 表示检查次数，求 X 的分布函数。
3
0
5.
已知连续型随机变量 X
的分布函数为 F (x)
=

Ax
2
1
x<0 0≤x< 2。 x≥ 2
（1）确定常数 A ；（2）计算 P(0.2 < X ≤ 2.5) ；（3）求 X 的概率密度。
5. 盒中有 10 只外形相同的晶体管，其中有 4 只次品，6 只正品，现从中随机地抽取一只测 试，测试后不放回，直到找出 4 只次品为止，求最后一只次品晶体管在第 10 次测试时发现 的概率。
6. 盒中装有 10 只外形相同的晶体管，其中有 4 只次品，6 只正品，现从中随机地抽取一只 测试，测试后不放回，直到找出 4 只次品为止，求最后一只次品晶体管在第 5 次测试时发现 的概率。
0,
。
其他
（1）确定常数
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A ；（2）求出
X
的分布函数 F (x) ；（3）计算 Pπ2
≤
X
≤
3π 4

。

8. 设随机变量 X 的分布函数为 F (x) = A + B arctan x, (− ∞ < x < +∞) 。
（1）确定常数 A 和 B ；（2）计算 P(−1 < X < 1) ；（3）求 X 的概率密度。
2
28. 将二信息分别编码为 A 和 B 传送出去，接收站接收时，A 被误收作 B 的概率为 0.02， 而 B 被误收作 A 的概率为 0.01，信息 A 与信息 B 传送的频率程度为 2:1，若接收站收到的 信息是 A，问原发信息是 A 的概率是多少？
29. 盒中有 12 个乒乓球，其中 9 个是新的，第一次比赛从中任取 3 个，赛后仍放回盒中， 第二次比赛时再从中任取 3 个，求第二次比赛时取出的球都是新球的概率。
P( AC) = 1 ，求 A，B，C 至少有一个发生的概率。 7
13. 已知 P( A) = a ， P(B) = b ， P( A B) = c ，求 P( A B ) 及 P( A B ) 。
14. 已知 P( A) = 0.1， P(B) = 0.3， P( A | B) = 0.2 。求：（1） P( AB) ；（2） P( A B) ；
10. 从一付扑克的 13 张黑桃中，一张接一张地有放回地抽取 3 次，求抽到有同号的概率。
11. 已知 P(B) = b, P( A B) = c ， 0 ≤ b ≤ c ，求 P( AB )
12. 设 A，B，C 是三个事件，且 P( A) = P(B) = P(C) = 1 ， P( AB) = P(BC) = 0 ， 5
6.
设随机变量 X
的概率密度为
f (x)
=

A, 1− x2
| x |< 1
。
0 , | x |≥ 1
（1）确定系数 A ；（2）计算 P{−0.5 ≤ X < 0.5} ；（3）求 X 的分布函数。
Asin x, 0 ≤ x ≤ π
7. 设随机变量 X 的概率密度为 f (x) =
11. 在相同的条件下，对目标独立的进行 5 次射击，如果每次射击命中率均为 0.6，求击中 目标次数的分布律及分布函数。
12. 设有产品 200 件，其中有 5 件次品，现从中随机的抽取 30 件，设抽得次品件数为 X ， 若（1）每次抽取后不放回；（2）每次抽取后放回。分别求 X 的分布律。
13. 一大批产品中有 15%的次品，进行重复抽样检查，共抽取 20 个样品。问取出的 20 个样 品中最大可能的次品数是多少？此时概率是多少？
30. 有 A，B，C 三个盒子，A 盒中有一个白球和两个黑球，B 盒中有一个黑球和两个白球， C 盒中有三个白球和三个黑球，扔一骰子以决定选盒，若出现点数为 1，2，3，选 A 盒，若 出现点数为 4，选 B 盒，若出现点数为 5，6，则选 C 盒，再从选中的盒中任取一球，试求： （1）取出的球为白球的概率；（2）当取出的球为白球时，问此球分别来自 A，B，C 盒的 概率。