指数增长的函数模型案例
指数型、对数型函数模型的应用举例 课件
(2)由题意知注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞个数为 226×2%.再经过x天后小白鼠体内的病毒细胞个数为226×2%× 2x，由题意226×2%×2x≤108，两边取对数得26lg2+lg2-2+ xlg2≤8，解得x≤6，即再经过6天必须注射药物，即第二次最 迟应在第33天注射该种药物.
【归纳】解决连续增长问题应建立的数学模型及解应用题的基 础和关键. 提示：(1)对于连续增长的问题一般情况下可建立指数型函数 模型y=a(1+p)x. (2)解决应用题的基础是读懂题意，理顺数量关系，关键是正 确建模，充分注意数学模型中元素的实际意义.
Hale Waihona Puke 1 2log3θ 100
,单位是m/s,θ是表示
鱼的耗氧量的单位数.
(1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是______；
(2)某条鲑鱼想把游速提高1 m/s,那么它的耗氧量的单位数是
原来的_______倍.
2.衡量地震级数的“里氏”是指地震强度(即地震时震源释放 的能量)的常用对数值，显然里氏级别越高，地震的强度也就 越大.如日本1923年的地震是里氏8.9级，美国旧金山1906年的 地震是里氏8.3级，试计算一下，日本1923年的地震强度是美 国旧金山1906年的地震强度的多少倍？
a≈2.2，b≈1.8.
这样，我们得到一个函数模型：y=2.2+1.8x，作出函数图象 如图(乙)，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较 好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系. (3)由y=2.2+1.8×25，求得y=47.2，即当积雪深度为25 cm 时，可以灌溉土地47.2公顷.
【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的常见错误及解 题启示总结如下：(注：此处的①②见解析过程)
几类不同增长的函数模型 课件 高一上学期数学人教A 版(2019)必修第一册
A(1, 0)，B(2,lg 2)
f (1) 0, f (2) lg 2
k b 0
即
2k b lg 2
解得k lg 2, b lg 2
f ( x ) (lg 2) x lg 2
练习
(课本P139页练习第4题)
4.函数y=f(x)的图象如图所示，则y=f(x)可能是（ ）
大超过y=kx(k>0)的增长速度.
指数函数不像一次函数按同一速度增
长，而是越来越快，呈爆炸性增长.
探究2 选取适当的对数函数与
一次函数，探索它们在区间(0
，+∞)上的增长差异，你能描述
一下对数函数的增长特点吗？
不妨以函数y=lgx和= x为例.
列出上述两个函数自变量与函数值的对应值表，并
大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直
至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百
分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．
:探究不同函数增长的差异
引例2.假如你有一笔资金用于投资，现有三种方
案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天
有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳
大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只
兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，
兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大
利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75
亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载
畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳
1
函数y=lgx与y= 10 x在 6
几种不同增长的函数模型课件
5
2.5 = = ·
4 .
5
∴
4
2
= ,
4
1
= ,
2
5
1
2
∴y1= 4 ,x∈[0,+∞).
P2:y2=bx+c 过点(0,0),(4,1),
= 0,
1
1
∴
∴y2= 4x,x∈[0,+∞).
= ,
4
总利润
(2)设用 x 万元投资甲商品,则投资乙商品为(10-x)万元,总利润
P1:y1=axn,P2:y 2=bx+c 如图所示.
(1)求函数 y1,y2 的解析式;
(2)为使投资获得最大利润,应怎样分配投资额,才能获得最大利
润.
【审题策略】函数图象
y1 与 y2 的解析式
y=y1+y2
最大利润
【规范展示】解:(1)P1:y 1=axn 过点(1,1.25),(4,2.5),
为 y 万元.
1
2
5
1
根据题意得 y= + (10-x)
1
4
1
5
)2+
4
5 2
4
2
=- (
=-
-
4
+
+
65
16
5
10
4
4
(0≤x≤10),
当且仅当 = ,
25
2
即 x= =6.25 时,
4
65
ymax= ,投资乙商品为 10-6.25=3.75(万元).
16
所以用 6.25 万元投资甲商品,3.75 万元投资乙商品,才能获得最
高中数学第三章指数函数和对数函数1正整数指数函数增长率问题例析素材1
增长率问题例析长率为P ，则对于时间x 的总产值y ，有公式(1)xy H P =+表示，解决平均增长率问题,要用这个公式．本文列举数例，供参考．例1 某农药厂今年生产农药8000吨，计划5年后把产量提高到14000吨,问平均每年需增长百分之几？解析：设平均每年增长率为x ，由题意可得58000(1)14000x +=，5(1) 1.75x ∴+=． 两边取常用对数，得lg1.75lg(1)0.04865x +=≈． 故1 1.2x +=．12x ∴=%,即平均每年增长12%．例2 1980年我国人均收入255美元，若到2000年人民生活达到小康水平,即人均收达到817美元，则年平均增长率是多少?若按不低于此增长率的速度递增，则到2010年人均收入至少是多少美元？解析：设年平均增长率为x ，则1981年人均收入为255(1)x +；1982年人均收入为2255(1)x +；；2000年人均收入为20255(1)x +,由题意可得20255(1)817x +=，解得0.0606x ≈≈%．又设2010年人均收入为y 美元，则30255 1.061465y =⨯≈． 故年平均增长率为6%，到2010年人均收入至少是1465美元．按复利计算利息的一种储蓄，本金为a 元，每期利率为r ，设本利和为y ，存期为x ,写出本利和y 随存期x 变化的函数式．如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和是多少?解析:已知本金为a 元． 一期后的本利和为1(1)y a a r a r =+⨯=+； 二期后的本利和为22(1)(1)(1)y a r a r r a r =+++=+； 三期后的本利和为33(1)y a r =+;x 期后的本利和为(1)x y a r =+． 将1000a =， 2.25r =%，5x =代入上式，得51000(1 2.25)1117.68y =+≈%(元)． 注：按复利计算利息，也是增长率问题．增长率问题的实质是指数函数模型的应用．。
倍增的指数函数模型
倍增的指数函数模型
想象一下，你有一颗小种子。
第一天，它长出了一根小芽，这就是1个小芽。
第二天呢，这个小芽分成了两根，就像1变成了2。
第三天呀，这两根小芽又各自分成了两根，那就是2变成了4啦。
第四天呢，这4根小芽又都各自变成两根，就变成了8根。
你看，这个数字一直在变多，而且变得越来越快呢。
这就有点像我们说的倍增啦。
就好像你有一个存钱罐，最开始里面有1元钱。
过了一段时间，这个钱就变成了2元，再过一段时间变成了4元，然后8元、16元，像这样每次都乘以2的增长，就是一种倍增哦。
再给你们讲个故事吧。
有一个小蚂蚁王国，刚开始只有1只小蚂蚁发现了一块特别大的面包屑。
这只小蚂蚁回到蚁巢，告诉了另外1只小蚂蚁，这样就有2只小蚂蚁知道这个面包屑了。
这2只小蚂蚁又各自告诉了1只小蚂蚁，那就变成了4只小蚂蚁知道啦。
这4只小蚂蚁又分别告诉1只小蚂蚁，就有8只小蚂蚁知道了这个美味的面包屑。
小蚂蚁的数量就是这样倍增的。
在我们的生活里呀，还有很多这样的情况呢。
比如说，有一种有趣的折纸游戏。
一张纸，对折1次就变成了2层，再对折1次就变成了4层，再对折一次就变成了8层。
如果一直对折下去，这个层数会增长得超级快。
假如你能对折10次，这张纸就会有1024层呢，是不是很惊人呀？
这种倍增的模式就有点像指数函数模型。
虽然我们可能不太懂那些复杂的数学概念，但是我们能感觉到这个数字增长的速度特别快。
就像在故事里，小蚂蚁的数量很快就会变得超级多，折纸的层数也会很快变得超级厚。
几类不同增长的函数模型教案
几类不同增长的函数模型教案不同的增长函数模型可以涵盖各种实际问题和数学概念。
以下是几个常见的函数模型以及它们的教学案例。
一、线性函数模型线性函数模型是最简单也是最容易理解的增长模型之一、在这个模型中，函数的增长率是恒定的，即每单位自变量增加都会导致固定的因变量增加。
这种模型可以用来解释一些日常生活中的现象，例如物体的匀速直线运动。
教学案例：以匀速直线运动为例，教师可以带领学生观察一个滚动的球，并记录下球滚动的时间和球滚动的距离。
通过分析数据，学生可以发现球滚动的距离与时间成正比，即球滚动的距离是时间的线性函数。
教师可以引导学生使用公式来表示这种线性关系，并使用此关系预测未来的球滚动距离。
二、指数函数模型指数函数模型中，增长率是以指数的形式增加或减少的。
这种模型适用于许多和复利相关的问题，如存款利息、细菌繁殖等。
教学案例：以细菌繁殖为例，教师可以给学生一个初始细菌数量，并告诉他们每小时细菌数量翻倍。
学生可以使用指数函数模型来表示细菌数量随时间的增长。
他们可以计算出不同时间点的细菌数量，并观察到数量的指数增长。
通过这个案例，学生可以理解指数函数模型的概念，并应用这个概念解决实际问题。
三、对数函数模型对数函数模型与指数函数模型相反，其增长率是逐渐减少的。
这种模型适用于许多与收益递减相关的问题，如广告效果的衰减、物种灭绝等。
教学案例：以广告效果的衰减为例，教师可以让学生观察一则广告的点击次数随时间的变化。
学生可以发现广告的点击次数一开始会快速增加，但随着时间的推移增长速度逐渐减慢。
通过绘制折线图并使用对数函数模型来拟合数据，学生可以更好地理解对数函数模型的特点，并预测广告点击数的未来情况。
四、多项式函数模型多项式函数模型是基于多项式函数的增长模型，适用于许多实际问题，如多项式曲线拟合、物体的轨迹等。
教学案例：以轨迹为例，教师可以引导学生观察一个投掷物体的轨迹，并记录下物体在不同时间点的位置信息。
学生可以通过数据拟合一条多项式曲线来表示物体的轨迹，并通过这个模型来预测物体下一步的位置。
函数模型及其应用几种不同增长的函数模型课件
03
工程学
在工程学中，对数增长函数可以用来描述某些物理量的变化过程。例如，
材料的疲劳寿命与应力之间的关系往往呈现出对数增长的趋势。
05
幂次增长函数模型
幂次增长函数定义与性质
定义：幂次增长函数是指形如 y = ax^m (a > 0, m ≠ 0) 的函数，其中 a 是常数，m 是实数。
性质
当 m > 0 时，函数在整个定义域内单 调递增；
性质
线性增长函数具有比例性、可加 性和可减性。即当自变量x增加或 减少一个单位时，函数值y按一定 比例增加或减少。
线性增长函数图像及特点
图像
线性增长函数的图像是一条直线， 斜率为k，截距为b。
直线性
图像是一条直线，表示函数值 随自变量变化而均匀变化。
比例性
图像上任意两点的纵坐标之差 与横坐标之差的比值相等，即 斜率k。
函数性质
包括单调性、奇偶性、周期性、连续性等。这些性质反映了函数图像的变化规律 和函数值的分布特征。
常见函数类型及图像
一次函数
形如$y=kx+b(k neq 0)$的函数。图像是 一条直线，斜率为$k$，截距为$b$。
三角函数
如正弦函数、余弦函数、正切函数等。它 们的图像分别是正弦曲线、余弦曲线和正 切曲线，具有周期性和对称性。
统计学
在统计学中，线性增长函数可用于进 行数据拟合和预测分析，如回归分析 中的线性回归模型。
03
指数增长函数模型
指数增长函数定义与性质
01
定义：指数增长函数是一种形如 y = a * b^x （其中 a ≠ 0， b > 1）的函数，表示自变量 x 的指数增长。
02
性质
高二数学几种不同增长的函数模型
三
0.4 1.2 2.8 6 12 25 50.8 102 204 409 819 1638 3276
投资1~6天，应选择方案一；
结
投资7天，应选择方案一或方案二；
论 投资8~10天，应选择方案二；
投资11天（含11天）以上，应选择方案三.
h
6
三个投资方案日回报图
方案一 方案二
220
方案三
200
y=0.4*2x-1
y y0.25x
y 1.002x
8
7
6
y 5
5 4
ylo7gx1
3
2
1
h
0
200 400 600 800 1000
x
12
X
创新设计
为了实现1000万元利润的目标，在销售利润 达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y (单位：万元)随着销售利润x (单位：万元)的增 加而增加,要求如下：
10万～ 50万，奖金不超过2万
回报量
日回报 累计回报
h
4
X
三种方案的每日回报
三个投资方案日回报图
方案一 方案二
220
方案三
200 180
y=0.4*2x-1
每 160 天 140 的 回 120 报 100
y=10x
元 80 60
40
y=40
20
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
天数
()
第1~3天，应选择方案一
结 第4天，应选择方案一或方案二；
论 第5~8天，应选择方案二；
第9天开始，应选h 择方案三.
5
三种方案的累计回报
天数
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题目：指数增长的函数模型案例
类型：创编
知识点：指数函数指数增长函数模型
问题：
请阅读以下资料：
《焦点访谈》：薇甘菊的警示
主持人（敬一丹）：今天是6月5号，是世界环境日，有更多的目光在关注着我们共有的生态环境。
在这个时候人们也注意到曾经被忽略的生态问题，…广东省内伶仃岛是珍稀动物猕猴的自然保护区。
猕猴和海岛上的上千种动植物和谐共存，平衡发展。
然而1993年这种和谐被一种到处蔓延的植物打破了。
…它一天可以生长20多厘米。
…
薇甘菊在内伶仃岛上一年四季的疯长，短短几年时间，…大量树木枯死，使猕猴的生存受到威胁。
（猕猴吃的植物死亡了，消失了。
）…树林退化成草地。
（广东省珠海市环保局高级工程师谭卫广：非常可怕，有点像一种火烧那样，呼地就覆盖过去，就像森林失火那样推进，往上面、往里面推进。
）…外来物种的入侵不仅对生物多样性和生态环境造成破坏，而且也使人类遭受巨额的经济损失。
据有关部门统计，我国主要外来入侵物种造成的农林业经济损失平均每年达574亿元人民币。
…。
解答下列题目：
薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草Array之一，1919年已在香港出现，1984年在广东深圳银
湖地区发现逸生的薇甘菊，九十年代以来，由于薇甘
菊已适应了深圳的自然环境，危害面积正急剧扩增，
所到之处，树木枯萎花草凋零，成片枯林敲响警钟。
深圳是国内受薇甘菊侵害的“重灾区”，受害面积几乎
是以几何数量疯狂增长。
深圳林区面积共有87000公顷，2005年受害面积已达3700公顷，比2004年的3500公顷，增长了5.7%。
(1)如果不及时采取有效的防治措施的话，那么到2020年深圳受薇甘菊危害的面积将达到多少？几年后深圳87000公顷林区将被薇甘菊全部侵占？
(3) 如果到2020年使深圳受薇甘菊危害的林区面积不超过5000公顷，那么要把薇甘菊增长率控制在多少范围内？
分析：
从材料中知薇甘菊危害的林区面积呈现出指数增长的趋势，所以指数函数模型适用于本题。
如果受危害的林区面积用y表示，经过的年数用x表示，那么y 表示为x的函数为y = a (1+ p)x (其中a为常数，p为增长率)，通过解该模型，而得到实际问题的解。
解答：
(1)∵3700（1+5.7%）15 ≈8500,
∴到2020年深圳受薇甘菊危害的面积将达到8500公顷，
由3700（1+5.7%）x = 87000解得x ≈57
∴57年后深圳87000公顷林区将被薇甘菊全部侵占
(2)由函数图象可知在x＞0时，函数是单调递增的，所以设年增长率为x% ，则y = 3700（1+x%）15 ≤5000，利用计算器求得当x 2时，y = 5000，所以到2020年要使薇甘菊危害的林区面积不超过5000公顷，应把薇甘菊增长率控制在2%范围内。
说明：
你能体会到指数增长是怎样的情形吗？指数增长与直线的线性增长要剧烈得多，呈“爆炸”式增长，所以又称为“指数爆炸”。
我国的生物科学家及时认识到了薇甘菊危害性，并积极科研，取得了成绩。
新华网（2006-2-4）发表文章《"薇甘菊"防治取得突破找到抑制蔓延的有效方法》，文章说目前已找到了抑制薇甘菊蔓延的有效方法。
经过5年的科学攻关，专家们找到了一种寄生植物叫田野菟丝子，寄生在薇甘菊上面，最后的结果就是有少量的薇甘菊存在也有少量的菟丝子存在，但是不存在危害这样的一种状态。
又意外地发现当地土生土长的树种黄伞枫也可以有效抑制薇甘菊蔓延。
近年，在。