数列通项公式An求法小结
求数列{a n}通项公式的方法
数列的通项公式的求法训练题
一、选择题(每小题5分,共12个小题,共60分)
1、若一数列的前四项依次是2，0，2，0，则下列式子中，不能作为它的通项公式的是（ ）
A 、a n = 1－(－1)n
B 、a n =1＋(－1)n ＋1
C 、2sin 22πn a n
= D 、a n =(1－cosn π)＋(n －1)(n －2) 2、等差数列{a n }中，d 为公差，前n 项 和为s n =-n 2则
（ ）
A 、a n =2n-1 d=-2
B 、 a n =2n-1 d=2
C 、 a n = -2n+1 d=-2
D 、 a n = -2n+1 d=2
3、若数列{}n a 的前n 项和为322
+-=n n S n ，那么这个数列的前3项为（ ）
A 、-1，1，3
B 、2，1，0
C 、2、1、3
D 、2、1、6
4、数列{}n a 中，),1(1
1100≥+++==-n a a a a a n n ，则当1≥n 时，=n a （ ） A 、n
2 B 、)1(2
1+n n C 、12-n D 、12-n
5、数列-1，7，-13，19，…的通项公式（ ）
A 、2n-1
B 、-6n+5
C 、(-1)n ×6n-5
D 、(-1)n
(6n-5) 6、数列{n a }满足1a =1, 2a =
3
2
，且n n n a a a 21111=++- (n ≥2)，则n a 等于（ ）． A 、
12+n B 、(3
2)n -1 C 、(32
)n D 、22+n
7、在等比数列{a n }中．前n 项的和为s n ，且s n =2n -1则a 12+a 22+···+a n 2等于 ( ) A 、 (2n -1)2 B 、
31(2n -1)2 C 、 4n -1 D 、3
1
(4n -1) 8、已知数列{n a }中，)(2,211*
+∈+==N n n a a a n n ，则100a 的值是（ ） A 、9900 B 、9902 C 、9904 D 、11000 9、已知数列{a n }中，,21,111n
n
n a a a a +=
=+则这个数列的第n 项n a 为（ ）
A 、2n-1
B 、2n+1
C 、
121-n D 、1
21
+n 10、已知数列{a n }中，对任意的*
∈N n 满足42
2++=n n n a a a ,且4,273==a a ，则15a 的值是（ ）
A 、8
B 、12
C 、16
D 、32
11、设函数f 定义如下，数列{x n }满足x 0=5,且对任意自然数均有x n+1=f(x n ),则x 2005的值为（ ）
A 、1
B 、2
C 、4
D 、5 12、把正整数按下图所示的规律排序:
1→2 5→6 9→10… ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ 3 →4 7→8 11…
则从2004到2006的箭头方向依次为( )
↓ ↑ 2005→ →2005 A 、2005→ B 、 →2005 C 、 ↓ D 、 ↓
二、填空题(每小题4分,共4个小题,共16分)
13、12,311+=-=-n n a a a ，则=n a ________________.
14、设数列{n a }是首项为1的正数数列，且),3,2,1(0)1(12
2
1 ==+-+++n a a na a n n n n n ，则它的通项公式是_______________.
15、设数列{n a }满足)3)((3
1
,313421121≥-=-==---n a a a a a a n n n n ，，
则数列{n a }的通项公式为n a ＝_________________.
16、n
n n a a a 23,111+==+，则=n a _________________. 三、解答题(共24分)
17、(12分)写出下列数列的一个通项公式 （1）32-，83，154
-，24
5，356-，… （2） ，，，，17161095421
（3）7，77，777，7777，… （4）23，45，169，256
17
,…
18、(12分)已知数列{}n a 中，3
1
1=a ，前n 项和n S 与n a 的关系是n n a n n S )12(-= ，试求通项公式n a .
数列的通项公式的求法训练题参考答案
13、12--n 14、n 1 15、2)3
1(2161-⋅+-=n n a 16、n n 23- 三、解答题
17、（1）1)1(1
)1(2-++⋅-=n n a n
n （2）1
22+n n
（3）)110(97-⨯=n
n a （4）1
22
12-+=n n n a
18、解：首先由n n a n n S )12(-=易求递推公式： 1
23
2,)32()12(11+-=∴
-=+--n n a a a n a n n n n n 5
1
12521221=--=∴
--a a n n a a n n 将上面n —1个等式相乘得：
1(23)(25)(27)313
(21)(21)(23)75(21)(21)1
.
(21(21)
n n a n n n a n n n n n a n n ---⋅==
+--⋅+-∴=
+-L L。
等差数列与等比数列的通项公式求法总结
等比数列的通项公式
定义：等比数列 中任意一项与它 的前一项的比值 是常数
公
式
：
an=a1*q^(n-
1)，其中a1是首
项，q是公比
推导：由等比数 列的定义和性质， 通过累乘法或迭 代法得到通项公 式
应用：用于求解 等比数列中的任 意一项，以及解 决与等比数列相 关的数学问题
公式推导过程
设等比数列的首项为a1，公比为q，则第n项为a1*q^(n-1) 利用等比数列的性质，可以推导出等比数列的通项公式为a1*q^(n-1) 公式推导过程中需要注意公比的取值范围，当公比为1时，等比数列变为等差数列 公式推导过程中还需要注意等比数列的性质，即每一项与前一项的比值都相等
式
：
an=a1*q^(n-1)
推导过程：利用 等差数列和等比 数列的定义，通 过数学归纳法或 极限法推导出变 式公式
运用：在解决实 际问题时，根据 已知条件选择合 适的变式公式进 行计算，提高解 题效率
等差数列的实际应用案例
银行存款：计算利息 股票投资：计算股票价格 保险费用：计算保险费 工资计算：计算工资总额
公式形式上的异同
等比数列通项公式： an=a1*q^(n-1)
相同点：都包含首项a1和公 差或公比
等差数列通项公式： an=a1+(n-1)d
不同点：等差数列通项公式 包含项数n，等比数列通项
公式包含幂指数(n-1)
应用场景的异同
等差数列：常用 于描述连续变化 的量，如温度、 人口增长等
等比数列：常用 于描述连续增长 的量，如复利、 人口增长等
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汇报人：WPS
数列通项公式的求法总结
方法：叠乘法
＝1×1×2×…×(n－1)(n≥2)．
类型三：an＋1＝pan＋q 型
7.数列{an}中，a1＝3，an＋1＝2an＋2(n∈N*),求数列{an}的 通项公式.
解：(1)由 an＋1＝2an＋2(n∈N*)， 得 an＋1＋2＝2(an＋2)，
(2)由(1)知，an＋bn＝2n1－1，an－bn＝2n－1. 所以 an＝12[(an＋bn)＋(an－bn)]＝21n＋n－12， bn＝12[(an＋bn)－(an－bn)]＝21n－n＋12.
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读书破万卷，下笔如有神--杜甫
即 an＋1＋bn＋1＝12(an＋bn)．
又因为 a1＋b1＝1，
所以{an＋bn}是首项为
1，公比为1的等比数列． 2
由题设得 4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，
即 an＋1－bn＋1＝an－bn＋2.
又因为 a1－b1＝1，
所以{an－bn}是首项为 1，公差为 2 的等差数列．
四、其它类型求数列通项公式
9.设数列{an}满足 a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n,求{an}的通 项公式.
解：因为 a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n， 故当 n≥2 时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)． 两式相减得(2n－1)an＝2， 所以 an＝2n2－1(n≥2)． 又由题设可得 a1＝2， 从而{an}的通项公式为 an＝2n2－1.
an 6．数列{an}满足 a1＝1，且数列 an－1 是首项为 1，公差为
1 的等差数列,则 an＝_1_×___1_×__2_×__…__×___(n__－__1_)_(n_≥__2_)_____.
数列通项公式的求解方法归纳
数列通项公式的解法数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。
而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。
本文给出了求数列通项公式的常用方法。
小结：除了熟悉以上常见求法以外，对具体的数列进行适当的变形，一边转化为熟知的数列模型更是突破数列通项的关键。
做题时要不断总结经验，多加琢磨。
总结方法比做题更重要!方法产生于具体数学内容的学习过程中.1.直接法2.公式法3.归纳猜想法4.累加（乘）法5.取倒（对）数法6.迭代法7.待定系数法8.特征根法9.不动点法10.换元法11.双数列12.周期型13.分解因式法14.循环法15.开方法◆一、直接法根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。
例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…（2） ,17164,1093,542,211 （3） ,52,21,32,1 （4） ,54,43,32,21-- ◆二、公式法①利用等差数列或等比数列的定义求通项②若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n n n 求解.(注意：求完后一定要考虑合并通项) 例2．①已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S nn n ．求数列{}n a 的通项公式.②已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n S n n =+-，求数列{}n a 的通项公式.③ 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<<q ，设数列{}n b 的通项为21+++=n n n a a b ，求数列{}n b 的通项公式。
◆三、归纳猜想法如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。
数列的递推公式和通项公式总结
数列的递推公式和通项公式总结一、数列的概念1.数列：按照一定顺序排列的一列数。
2.项：数列中的每一个数。
3.项数：数列中数的个数。
4.首项：数列的第一项。
5.末项：数列的最后一项。
6.公差：等差数列中，相邻两项的差。
7.公比：等比数列中，相邻两项的比。
二、数列的递推公式1.等差数列的递推公式：an = a1 + (n-1)d–an：第n项–a1：首项2.等比数列的递推公式：an = a1 * q^(n-1)–an：第n项–a1：首项3.斐波那契数列的递推公式：an = an-1 + an-2–an：第n项–an-1：第n-1项–an-2：第n-2项三、数列的通项公式1.等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d–an：第n项–a1：首项2.等比数列的通项公式：an = a1 * q^(n-1)–an：第n项–a1：首项3.斐波那契数列的通项公式：an = (1/√5) * [((1+√5)/2)^n - ((1-√5)/2)^n]–an：第n项四、数列的性质1.收敛性：数列的各项逐渐接近某个固定的数。
2.发散性：数列的各项无限增大或无限减小。
3.周期性：数列的各项按照一定周期重复出现。
五、数列的应用1.数学问题：求数列的前n项和、某项的值、数列的收敛性等。
2.实际问题：人口增长、贷款利息计算、等差数列的求和等。
六、数列的分类1.有限数列：项数有限的数列。
2.无限数列：项数无限的数列。
3.交错数列：正负交替出现的数列。
4.非交错数列：同号连续出现的数列。
5.常数数列：所有项都相等的数列。
6.非常数数列：各项不相等的数列。
综上所述，数列的递推公式和通项公式是数列学中的重要知识点，通过这些公式，我们可以求解数列的各种问题。
同时，了解数列的性质和分类，有助于我们更好地理解和应用数列。
习题及方法：1.习题一：已知等差数列的首项为3，公差为2，求第10项的值。
答案：a10 = 3 + (10-1) * 2 = 3 + 18 = 21解题思路：利用等差数列的递推公式an = a1 + (n-1)d，将给定的首项和公差代入公式，求得第10项的值。
十类递推数列的通项公式的求法
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%&
文!黄爱民
一、ａｎ＋１＝ ａｎ＋ ｆ（ｎ）型 这类递推数列可通过累加法求得其通项公式．当 ｆ（ｎ）
为常数时，通过累加法可求得等差数列的通项公式；当
ｆ（ｎ）为等差数列形式时，ａｎ＋１＝ ａｎ＋ ｆ（ｎ）为二阶等差数列， 它的通项公式的形式为 ａｎ＝ａｎ２＋ｂｎ＋ｃ．同时要注意它与等 差数列求和公式的一般形式的区别，后者是 Ｓｎ＝ａｎ２＋ｂｎ， 它的常数项一定为 ０．
对数，得 ｌｇａｎ＝ｌｇ２ａｎ４－ １ ，则有 ｌｇａｎ＝４ｌｇａｎ－１＋ｌｇ２．
∴ｌｇａｎ＋
１ ３
ｌｇ２＝４（ｌｇａｎ－
１＋
１ ３
ｌｇ２）．从而知｛ｌｇａｎ＋
１ ３
ｌｇ２｝是
首项为 １ ｌｇ２，公比为 ４ 的等比数列． ３
∴ｌｇａｎ＝
（４ｎ－１－ １）ｌｇ２ ３
＝（４ｎ－１－ １）ｌｇ#３ ２
，即
高中生·高考指导 １３
×（３ ２
）ｎ－ １＝（３ ２
）ｎ，即
ａｎ＝
２ｎ ３ｎ－ ２ｎ
．
九、ａ ｎ＋１＝
Ａａｎ＋Ｂ Ｃａｎ＋Ｄ
（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ 为非零常数）型
这类递推数列的通项公式是利用函数的不动点来
求的．尽管这个知识点高考不作要求，但考题往往就从
这些地方出，只需增加一些铺垫．
例 ９ 若 ｆ（ｘ０）＝ｘ０，则称 ｘ０ 为 ｆ（ｘ）的不动点．已知函 数 ｆ（ｘ）＝ ２ｘ＋３ ．
＋１ ２
．令
ｂｎ＝
ａｎ ２ｎ
，则有
ｂｎ＋１＝
３ ２
ｂｎ＋
专题二 数列通项公式的求法
例1、求数列3，5，9，17，33，……的通项公式
解：变形为：21+1，22+1，23+1，24+1，25+1，……
∴通项公式为： an 2n 1
可见联想与转化是由已知认识未知的两种有效的思 维方法。 注意：用不完全归纳法，只从数列的有限项来归纳数 列所有项的通项公式是不一定可靠的，如2，4， 8同，的…数…列。（可如归a4纳便成不a同n=）2n或者an=n2-n+2 ，这是两个不
累乘法
an1 pan q
待定系数构造法
取倒数
an与sn的关系
a1
3, an
3an1 3 an1
(n
2)
2. 设an是首项为1的正数项数列,且
(n 1)an12 nan2 an1an 0(n 1, 2, 3, )
求an的通项公式.
由(n 1)an12 nan2 an1an 0 累乘法
∴a2－a1=4×1－2 a3－a2=4×2－2 a4－a3=4×3－2
……
an－an-1=4×(n－1)－2
两边分别相加得：
an－a1=4[1+2+3+……+(n－1)]－2(n-1)
∴ an=2n2－4n+3
小结、已知数列递推公式求通项公式：
an1 an f (n) 累加法
an1 f (n) an
∴an=2n－1
解法 2：∵an＋1＝2an＋3，∴n≥2 时，有 an＝2an－1＋3， ∴an＋1－an＝2(an－an－1)． 令 bn＝an＋1－an，∴bn＝2bn－1， ∴{bn}是公比为 2 的等比数列，首项 b1＝a2－a1＝6， ∴bn＝6×2n-1，
等差数列an通项公式
等差数列an通项公式等差数列是数学中常见的一种数列，其中相邻两项之差都相等。
如果我们知道等差数列的首项和公差，我们就能够轻松地求出任意项的值。
而等差数列的通项公式则是一种便捷的方法，可以直接求出第n项的值，而无需逐一计算。
对于等差数列an的通项公式，我们可以通过以下步骤来推导出来：设等差数列的首项为a₁，公差为d，通项公式为an。
首先，我们知道等差数列的性质，即每一项与它前一项的差值都是相等的，即an - an-1 = d。
我们可以根据这一性质，推导出等差数列的通项公式：an = a₁ + (n-1)d。
这个公式可以帮助我们计算等差数列中的任意一项的值。
其中，a₁为等差数列的首项，d为等差数列的公差，n为我们要求的项数。
举个例子来说明，如果我们有一个等差数列的首项为2，公差为3，我们想要求出该等差数列的第10项的值，我们可以代入公式中进行计算：a₁ = 2，d = 3，n = 10。
代入公式an = a₁ + (n-1)d，即可得到第10项的值。
an = 2 + (10-1) * 3 = 2 + 27 = 29。
因此，等差数列的第10项的值为29。
通过等差数列的通项公式，我们可以快速计算等差数列中的任意一项的值，而无需逐一进行差值计算。
这对于数学问题的解决来说，是一种非常有效的方法。
在实际的数学问题中，等差数列的通项公式经常被使用，特别是在数列求和、数列的性质分析等方面。
熟练掌握等差数列的通项公式，可以帮助我们更加高效地解决数学问题，提高数学问题的解题速度和准确性。
总的来说，等差数列的通项公式是数学中的一个重要概念，通过掌握这个公式，我们可以更好地理解等差数列的性质，解决数学问题，提高数学能力。
希望以上内容能帮助您更好地理解等差数列的通项公式。
最热点的数列通项an方法总结
1.设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)·a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ＝1,2,3，…)， 则它的通项公式是________．2、数列{}n a 满足143,n n a a -=+且10a =，则此数列的第5项是（ ）A 、15B 、255C 、20D 、83．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，若a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2，则a n ＝( ) A.15n 2－25n ＋65 B ．n 3－5n 2＋9n －4 C ．n 2－2n ＋2D ．2n 2－5n ＋44.【2018届福建省龙岩市4月检测】已知数列的前项和是，且.若，求的通项公式；5、已知数列{}n a 满足()111,21n n a a a n N +*==+∈。
求n a 的通项6、数列{}n a 的前n 项和记为n S 。
已知()1121,1,2,3,n n n a a S n n++===求n a 的通项五，a n 与周期及函数例5．(2019·河北石家庄一模)若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n ，则a 2 018的值为( )A ．2 B ．－3 C ．－12 D.13例6．(2019·河北保定一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －6，x ≤10，a x －9，x ＞10，若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2]C ．(2,3) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2411，31．设曲线f (x )＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·x 3·x 4·…·x 2 019等于( ) A.2 0192 020 B.12 020 C.2 0202 021D.12 0212．若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n ，则a 2 020的值为( )A ．2 B ．－3 C ．－12D.133，在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝3＋a n1－3a n ，则S 2 020＝________.4、已知数列{}n a 的通项()9899n n a n N n *-=∈-，则数列{}na 的前30项中，最大项为 。
数列通项的求法总结
数列通项的求法总结数列通项的求法那可真是个有趣又有点小麻烦的事儿呢。
咱就来好好唠唠它的求法吧。
一、观察法。
有时候数列的通项公式就明晃晃地摆在那儿，只要你仔细观察就能发现。
比如说像1，3，5，7，9……这个数列，咱一看就知道它的通项公式是an = 2n - 1。
这就像是你走在路上，一眼就看到地上有个闪闪发光的硬币一样简单。
这种数列往往是有很明显的规律的，像是等差或者等比数列的一部分，或者是一些简单数字的排列组合。
只要你眼睛够尖，这种通项公式就能轻松拿下。
二、公式法。
1. 对于等差数列，通项公式an = a1+(n - 1)d。
这里的a1就是数列的首项，d 就是公差。
就好比你在排队伍，每个人之间的间隔是固定的，从第一个人开始，按照这个固定的间隔往后排，第n个人的位置就可以用这个公式算出来。
2. 等比数列呢，通项公式是an = a1×q^(n - 1)。
a1是首项，q是公比。
这就像是一棵大树不断地分枝，每个分枝都是上一个分枝按照固定的倍数长出来的，按照这个规律，第n个分枝的情况就能用这个公式表示。
三、累加法。
当数列{an}满足an - an - 1 = f(n)（n≥2）这种形式的时候，咱们就可以用累加法。
比如说an - an - 1 = n，那我们就可以把这些式子都列出来。
a2 - a1 = 2，a3 - a2 = 3，……，an - an - 1 = n。
然后把这些式子左右两边分别相加，左边就剩下an - a1，右边是2 + 3+……+n。
这样就能求出an的通项公式啦。
这个方法就像是搭积木，一块一块地往上加，最后就搭出了我们想要的形状。
四、累乘法。
要是数列{an}满足an/an - 1 = f(n)（n≥2），那就用累乘法。
比如说an/an - 1 = n，我们就把这些式子都写出来，a2/a1 = 2，a3/a2 = 3，……，an/an - 1 = n。
然后把这些式子左右两边分别相乘，左边就剩下an/a1，右边就是2×3×……×n。
数列通项公式方法求前n项和例题讲解和方法总结
数列通项公式方法求前n项和例题讲解和方法总结数列的通项公式1.通项公式如果数列的第n项与项数n之间的函数关系可以用一个公式来表达，叫做数列的通项公式。
2.数列的递推公式（1）如果已知数列的第一项，且任一项与它的前一项之间的关系可以用一个公式来表示。
（2）递推公式是数列所特有的表示方法，它包含两部分，一是递推关系，二是初始条，二者缺一不可3.数列的前n项和与数列通项公式的关系数列的前n项之和，叫做数列的前n项和，用表示，即与通项的关系是4.求数列通项公式的常用方法有：(前6种常用，特别是2,5,6)1）、公式法，用等差数列或等比数列的定义求通项2）前n项和与的关系法，求解.(注意：求完后一定要考虑合并通项)3）、累（叠）加法：形如∴4）.累（叠）乘法：形如∴5）.待定系数法：形如a=pa+q（p≠1，pq≠0），（设a+k=p（a+k）构造新的等比数列）6)倒数法：形如（两边取倒，构造新数列，然后用待定系数法或是等差数列）7).对数变换法：形如，（然后用待定系数法或是等差数列）8).除幂构造法:形如(然后用待定系数法或是等差数列)9).归纳—猜想—证明”法直接求解或变形都比较困难时，先求出数列的前面几项，猜测出通项，然后用数学归纳法证明的方法就是“归纳—猜想—证明”法．递推数列问题成为高考命题的热点题型，对于由递推式所确定的数列通项公式问题，通常可对递推式的变形转化为等差数列或等比数列.下面将以常见的几种递推数列入手，谈谈此类数列的通项公式的求法.通项公式方法及典型例题1.前n项和与的关系法例1、已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式。
（1）(1)Sn＝2n2－3n；（2）解：(1)a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.（1），当时===3经验证也满足上式∴=3（2），当时，由于不适合于此等式。