江苏省如皋市2020-2021学年高二上学期10月教学质量调研数学试题(pdf版含答案)
18．（本小题满分 12 分）
已知椭圆 C1 :
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 的离心率为 1
2
，抛物线 C2
的焦点与椭圆 C1 的右焦点 F
重合，C1 的
中心与 C2 的顶点重合．过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1 于 A , B 两点，交 C2 于 C , D 两点．
该圆与双曲线在第一象限的交点为
P
，则
PF1
PF2
（
）
A． 8
B． 8 6
C． 4
D． 4 6
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.
9． 已知双曲线 x2 y2 2 0 ，则不因 改变而变化的是（
）
63
A．渐近线方程
B．顶点坐标
C．离心率
D．焦距
10．已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0,b 0 的左、右焦点分别为 F1 ，F2 ，P
为右支上一点，若 PF1
3PF2 ，
则双曲线的离心率可能为（ ）
A． 2
B． 3
C． 5
D． 3
11．设
F1
，
F2
为椭圆
C
:
x2 16
y2 7
1的左、右焦点， M
小值为 3，则 p
▲
；若过 F 的直线交抛物线于 A , B 两点，有 AF 2FB ，
则 AB ▲ ．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分 10 分）
已知抛物线 E : y2 2 px p 0 的焦点为 F ， P 是 E 上一点，且在第一象限，满足 PF 2 , 4 2 ．
A． 5
B． 6
C． 7
D． 8
6． 为了美化校园环境，园艺师在花园中规划出一个平行四边形，建成一个小花圃，如图，计划以
相距 6 米的 M ，N 两点为平行四边形 AMBN 一组相对的顶点，当平行四边
形 AMBN 的周长恒为 20 米时，小花圃占地面积最大为（
）
A． 6
B．12
C． 18
D． 24
7．
已知椭圆
E
:
x2 a2
y2 b2
1a b 0 ，过点(4，0)的直线交椭圆 E 于 A ， B 两点．若 AB 中点坐标
为 2 , 1 ，则椭圆 E 的离心率为（
）
A． 1 2
B． 3 2
C． 1 3
D． 2 3 3
8．
已知双曲线 x2 9
y2 16
1的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ，以 F2 为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，
M
是双曲线左支上一点，
F1MF2 900 ， 直 线 MF2 交 双 曲 线 的 另 一 支 于 点 N ， MN 2NF2 ， 则 双 曲2 px p 1 的焦点， N p , 1 ， M 为抛物线上任意一点， MN MF 的最
4． 已知抛物线 x2 2 py p 0 的焦点到双曲线 y2 x2 1的渐近线的距离为 2 ，则 p 的值
54
为（ ）
A． 4
B． 6
C． 9
D．12
5． 设抛物线 C : y2 4x 的焦点为 F ，过点 2,0 且斜率为 2 的直线与 C 交于 M ， N 两点，则
3
MF NF （ ）
B．若 A , F , B 三点共线，则 OAOB 3
C．若直线
OA
与
OB
的斜率之积为
1 4
，则直线
AB
过点
F
D．若 AB 6 ，则 AB 的中点到 x 轴距离的最小值为 2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．当
0
,
2
时，方程
x2 sin
y2
cos
1 表示焦点在
（2）当直线 l 过点 F 时，满足直线 AM ， AN 斜率和为 k ，求实数 k 的值．
为C
上一点且在第一象限，若 MF1F2 为等腰
三角形，则下列结论正确的是（ ）
A． MF1 2
B． MF2 2
C．点
M
的横坐标为
8 3
D． SMF1F2 35
12．已知抛物线 x2 4y 的焦点为 F ， A x1, y1 ， B x2 , y2 是抛物线上两点，则下列结论正确的是
（）
A．点 F 的坐标为 1, 0
且 MAMB 2 ,求证：直线 l 恒过定点．
20．（本小题满分 12 分）
已知椭圆
C
:
x2 a2
y2 b2
1a b 0 的左顶点为
A2 , 0 ，右焦点 F 1, 0 ，斜率为 k k
0 的直
线 l 与 C 交于 M ， N 两点．
（1）当直线 l 过原点 O 时，满足直线 AM ， AN 斜率和为 2k ，求弦长 MN ；
江苏省如皋市 2020-2021 学年高二上学期教学质量调研（一）
数学试题
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的．
1． 抛物线 y2 3x 的准线方程为（
）
A． x 3 4
B． x 3 4
C． y 3 4
D． y 3 4
2．
已知双曲线 x2 a2
y2 b2
1a 0 , b 0 的一条渐近线经过点 2 , 1 ，则该双曲线的离心率
为（ ）
A． 6 2
B． 6
C． 5 2
D． 5
3． 已知椭圆 x2 y2 1 上一点 P 到其左焦点的距离为 6 ，则点 P 到右准线的距离为（
）
16 12
A．4
B．6
C．8
D．12
x
轴上的椭圆，则
的取值范围
为▲．
14．设椭圆 x2 16
y2 9
1 的左、右焦点分别为 F1 ，F2 ，过 F1 的直线交椭圆于
A ，B
两点．在 ABF2
中，
若有两边之和为10 ，则第三边的长度为 ▲ ．
15．双曲线
x2 a2
y2 b2
1a 0 , b 0
的左、右焦点分别为
F1 ，
F2
，点
（1）求 AB 的值； CD
（2）设
M
为 C1 与 C2
的公共点，若 OM
27 3
，求 C1 与 C2
的标准方程．
19．（本小题满分 12 分）
设椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，离心率为 2 ，且椭圆上的点到焦点距离的最大值为 2
2 1． （1）求椭圆 C 的方程;
（2）动直线 l : x ty m 2 m 2 与 C 交于 A ， B 两点，已知 M 2 , 0 ，
2020-2021学年江苏省如皋中学高二上学期期末模拟卷一数学试题(解析版)
2020-2021学年江苏省如皋中学高二上学期期末模拟卷一数学试题一、单选题1．钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1， ，则AC=A ．5BC ．2D ．1【答案】B【详解】由面积公式得：1122B =，解得sin B =，所以45B =或135B =，当45B =时，由余弦定理得：21245AC =+-=1，所以1AC =，又因为AB=1，，所以此时ABC ∆为等腰直角三角形，不合题意，舍去；所以135B =，由余弦定理得：212AC =+-=5，所以AC = B.【解析】本小题主要考查余弦定理及三角形的面积公式，考查解三角形的基础知识. 2．若6个人分4张无座的足球门票，每人至多分1张，而且票必须分完，那么不同分法的种数是（ ） A ．46 B ．64C ．15D ．360【答案】C【分析】根据组合的定义，结合组合数公式进行计算求解即可.【详解】因为是无座的足球门票，所以可以看成相同的元素，因此可以看成组合问题，则有466!6515(64)!4!2C ⨯===-⋅.故选：C 3．在()()42121x x -+的展开式中4x 的系数为（ ）A ．13B ．11C ．11-D ．20-【答案】C【分析】先求出()41x +展开式的通项为4k k k T C x =，展开式中4x 的项有44441C x x ⨯=和22244212x C x x -=-，系数相加即可求解.【详解】()41x +展开式的通项为4k kk T C x =， 展开式中4x 项为44441C x x ⨯=和22244212x C x x -=-，所以()()42121x x -+的展开式中4x 的系数为11211-=-，故选：C4．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ） A ．平均数为3.中位数为2 B ．中位数为3.众数为2 C ．平均数为2.方差为2.4 D ．中位数为3.方差为2.8【答案】C【分析】根据题意,举出反例说明,即可得出正确选项.【详解】对于A, 当掷骰子出现结果为1,1,2,5,6时,满足平均数为3.中位数为2,可以出现点数6,所以A 错误;对于B,当掷骰子出现结果为2,2,3,4,6时,满足中位数为3.众数为2, 可以出现点数6,所以B 错误;对于C,若平均数为2.且出现6点,则方差221(62) 3.2245s >-=>,所以平均数为2.方差为2.4时一定没有出现点数6,所以C 正确;对于D,当当掷骰子出现结果为2,3,3,5,6时,中位数为3,方差为2222221(23)(33)(33)(53)(63) 2.85s +++++⎡⎤=-----=⎣⎦,可以出现点数6,所以D 错误.综上可知,C 为正确选项. 故选:C【点睛】本题考查了平均数、中位数、众数和方差在统计中的应用,各个数据对总体的影响,属于基础题.5．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是 A ．0.8 B ．0.75C ．0.6D ．0.45【答案】A【详解】试题分析：记A =“一天的空气质量为优良”，B =“第二天空气质量也为优良”，由题意可知()()0.75,0.6P A P AB ==,所以()()()4|5P AB P B A P A ==，故选A. 【解析】条件概率．6．设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则 △OAB 的面积为A B C ．6332D ．94【答案】D【详解】由题意可知：直线AB 的方程为3)34y x =-，代入抛物线的方程可得：2490y --=，设A 11(,)x y 、B 22(,)x y ，则所求三角形的面积为1324⨯94，故选D.【解析】本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查两点间距离公式等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力.7．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A ．16π B ．20π C ．24π D ．32π【答案】C【详解】正四棱柱的底面积为4，正四棱柱的底面的边长为2，正四棱柱的底面的对角线为即2R =2424R S R ππ===球8．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( )A ．110B ．25C ．10D ．2【答案】C【详解】以C 为原点，直线CA 为x 轴，直线CB 为y 轴，直线1CC 为z 轴，则设CA=CB=1，则(0,1,0)B ，11(,,1)22M ，A（1，0，0），1(,0,1)2N ，故11(,,1)22BM =-，1(,0,1)2AN =-，所以cos ,BM AN BM AN BM AN⋅〈〉==⋅3465=⋅30，故选C. 【解析】本小题主要考查利用空间向量求线线角，考查空间向量的基本运算，考查空间想象能力等数学基本能力，考查分析问题与解决问题的能力.二、多选题9．如图，在平面四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BD 的中点，2AB AD CD ===，22BD =，90BDC ∠=︒，将ABD △沿对角线BD 折起至'A BD △，使平面'A BD ⊥平面BCD ，则在四面体'A BCD -中，下列结论正确的是（ ）A ．//EF 平面'A BCB ．异面直线CD 与'A B 所成的角为90︒C ．异面直线EF 与'A C 所成的角为60︒D ．直线'A C 与平面BCD 所成的角为30 【答案】ABD【分析】运用线面平行的判定定理可判断A 正确；由面面垂直的性质定理，结合异面直线所成角可判断B 正确；由异面直线所成角和勾股定理的逆定理可判断C 错误；由线面角的求法，可判断D 正确．【详解】对于A ：因为E ，F 分别为A D '和BD 两边中点，所以//EF A B '，又EF ⊄平面A BC '，所以//EF 平面A BC '，故A 正确； 对于B ：因为平面A BD '⊥平面BCD ，交线为BD ，且CD BD ⊥， 所以CD ⊥平面A BD '，即CD A B ⊥'，故B 正确；对于C ：取CD 边中点M ，连接EM ，FM ，则//EM A C '，所以FEM ∠或其补角为异面直线EF 与A C '所成角， 又1EF =，122EM A C ='=132FM BC ==，即90FEM ∠=︒，故C 错误；D ：连接A F '，可得A F BD '⊥，由面面垂直的性质定理可得A F '⊥平面BCD ， 连接CF ，可得A CF ∠'为A C '与平面BCD 所成角，由21sin 222A F A CF A C '∠'==='，则直线A C '与平面BCD 所成的角为30°，故D 正确． 故选：ABD【点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： ①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．10．已知a ，b ，c 是实数，则下列结论正确的是 A ．“22a b >”是“a b >”的充分条件 B ．“22a b >”是“a b >”的必要条件 C ．“22ac bc >”是“a b >”的充分条件D ．“||||a b >”是“a b >”的既不充分也不必要条件 【答案】CD【详解】A ，举反例，取4,1a b =-=可知A 错误；B ，举反例，取1,2a b ==-可知B 错误；而C ，D 显然正确．故选CD ．11．在平面直角坐标系xOy 中，点()4,4M 在抛物线()220y px p =>上，抛物线的焦点为F ，延长MF 与抛物线相交于点N ，则下列结论正确的是（ ） A ．抛物线的准线方程为1x =- B ．174MN =C ．OMN 的面积为72D ．MF NF MF NF +=【答案】AD【分析】根据条件求出p ，再联立直线与抛物线求出N ，进而求出结论． 【详解】解：点(4,4)M 在抛物线22(0)y px p =>上，242?42p p ∴=⇒=，24y x ∴=，焦点为(1,0)，准线为1x =-，A 对，因为(4,4)M ，故404413MF k -==-， 故直线MF 为：4(1)3y x =-，联立244(1)3y xy x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩⇒2161(1)494x x x -=⇒=或4x =， 1(4N ∴，1)-，452p MF ∴=+=，15424p NF =+=，525544MN ∴=+=，B 错，25·4MF NF MN MF NF +===，D 对，OMN 的面积为115·()15222M N OF y y -=⨯⨯=．故C 错， 故选：AD ．12．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（ ）A ．若任意选择三门课程，选法总数为37A B ．若物理和化学至少选一门，选法总数为1226C CC ．若物理和历史不能同时选，选法总数为3175C C -D ．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为121255C C C -【答案】ABD【分析】若任意选择三门课程，由组合的概念可知选法总数为37C 种，可判断A 错误；若物理和化学至少选一门，由分步乘法计数原理知选法总数为12212525C C C C +种，可判断B 错误；若物理和历史不能同时选，利用间接法可知选法总数为3175C C -种，可判断C正确；若物理和化学至少选一门，有3种情况，分别讨论计算，可判断D 错误． 【详解】对于A ，若任意选择三门课程，选法总数为37C 种，故A 错误对于B ，若物理和化学选一门，有12C 种方法，其余两门从剩余的5门中选2门，有25C 种选法若物理和化学选两门，有22C 种选法，剩下一门从剩余的5门中选1门，有15C 种选法 由分步乘法计数原理知，总数为12212525C C C C +种选法，故B 错误对于C ，若物理和历史不能同时选，选法总数为3213172575·C C C C C -=-种，故C 正确对于D ，若物理和化学至少选一门，有3种情况，只选物理不选历史，有1214C C 种选法 选化学，不选物理，有1215C C 种选法 物理与化学都选，不选历史，有2124C C 种选法故总数为121221141524610420C C C C C C ++=++=种，故D 错误 故选：ABD三、填空题13．从-1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数2()f x ax bx c =++的系数，则可组成________个不同的二次函数，其中偶函数有________个（用数字作答）． 【答案】18 6【分析】利用计数原理求出,,a b c 的组数即可，其中不同的偶函数的个数为0b =的组合，再利用计数原理计算即可．【详解】()0a a ≠有3种取法，b 有3种取法，c 有2种取法， 由分步计数原理知共有二次函数33218⨯⨯=个 若二次函数为偶函数，则0b =，共有326⨯=个 故答案为：18；6．14．已知21001210()g x a a x a x a x =++++，9019()h x b b x b x =+++，若()()()()()19101121x x x g x h x +-=-+，则9a =________．【答案】1832-⨯【分析】根据等式1910(1)(12)(1)()()x x x g x h x +-=-+的两边展开式中的19x 的系数相等、20x 的系数相等求得9a 的值． 【详解】19101021029012100129(1)(12)(1)()()(1)?()x x x g x h x x a a x a x a x b b x b x b x +-=-+=-+++⋯+++++⋯+由19x 的系数相等可得1919181810919191091010·(2)?(2)?·C C C a C a -+-=-①， 再根据20x 的系数相等可得191910191010·(2)C C a -=②．由①②求得18932a =-⨯，故选：D15．已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，(A ，当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为 ．【答案】【分析】根据题意，根据1,,P A F 三点共线，求出直线1AF 的方程，联立双曲线方程，即可求得P 点坐标，则由11APF AFF PFF S S S ∆∆∆=-即可容易求得.【详解】设双曲线的左焦点为1F ，由双曲线定义知，12PF a PF =+， ∴△APF 的周长为|P A|+|PF|+|AF|=|P A|+12a PF ++|AF|=|P A|+1PF +|AF|+2a ，由于2||a AF +是定值，要使△APF 的周长最小，则|P A|+1PF 最小，即P 、A 、1F 共线，∵()0,66A ，()13,0F -∴直线1AF的方程为1366x +=-，即326x =-代入2218y x -=整理得266960y y +-=，解得26y =或86y =- (舍)，所以P 点的纵坐标为26， ∴111166662622APF AFF PFF S S S ∆∆∆=-⨯⨯-⨯⨯=126. 故答案为：126.【点睛】本题考查双曲线中三角形面积的求解，涉及双曲线的定义，属综合中档题. 16．某公司周年庆典活动中，制作的“水晶球”工艺品如图所示，底座是用一边长为2m 的正方形钢板，按各边中点连线垂直折起四个小三角形制成，再将一个水晶玻璃球放入其中.若水晶球最高点到底座底面的距离为(2＋1)m ，则水晶球的表面积为_______m 2.【答案】4π【分析】根据条件求得四个小三角形的项点所在平面截球面得小圆的半径，由勾股定理求得球心到小圆圆心的距离、小圆面到底座的距离和球的的半径和即为水晶球最高点到底座底面的距离可得答案.【详解】如图，原边长为2正方形的四个顶点为A B C D 、、、，四个边的中点分别是M N P Q 、、、，且四边形MNPQ 2的正方形，折起后正方形ABCD 四个点在底面上的射影分别为1111A B C D 、、、，是正方形MNPQ 的中点，且1111D C B A 是边长为1的正方形，其对角线长为112AC =，所以112AC AC ==，即则四个小三角形的项点所在平面截球面得小圆的半径为2，由勾股定理求得球心到小圆圆心的距离为212R -，小圆面到底座的距离为22，设球的半径为R ， 由条件得R ＋212R -＋22＝2＋1，解得R ＝1，所以水晶球的表面积4πm 2. 故答案为：4π.【点睛】本题考查点、线、面间的距离的计算，解题时要认真审题，注意挖掘题中的隐含条件，合理地化空间问题为平面问题，注意数形结合法的合理运用.四、解答题173sin A ＝a cos C ；②tan 4C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝23a 2＋b 2＝c 23ab 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.已知△ABC 中的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若c ＝4，B ＝105°， ，求a 和S .【答案】选①：2a =443S =+选②：42a =443S =+选③：2a =443S =+【分析】选①3csinA ＝acosC 3cos C C =，求得角C ;选②由tan (C ＋4π)＝233tan C =求得角C ；选③由a 2＋b 2＝c 2，利用余弦定理求得角C ；然后利用正弦定理求得a ，再利用三角形面积公式求解.,【详解】选①∵csinA ＝acosC ；sin sin cos A C A C =， ∵在△ABC 中，(0,)A π∈， ∴sinA ≠0，cos C C =，∴si ta s n n co C C C ==选②∵tan (C ＋4π)＝2∴tan tan421tan tan 4C c ππ+=-1tan 21tan C C +=-，则tan C =选③∵a 2＋b 2＝c 2，∴由余弦定理得：222cos 2a b c C ab +-===， ∵在△ABC 中，C ∈(0，π)， ∴C ＝6π， ∵在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，且B ＝105°， ∴A ＝4π， ∵正弦定理sin sin a cA C =且4c =， ∴4sin sin 46a ππ=，则a = sin10s 5sin(4560n )i B ︒︒︒==+ ,sin 45cos60cos 45sin 60︒︒︒︒=+ ,21232622224+=⨯+⨯=, ∴1126sin 42444322S ac B +==⨯⨯⨯=+. 【点睛】方法点睛：（1）在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．（2）解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制． 18．已知，（1）若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项 的系数；（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项． 【答案】（1）70（2）332（2x ）10 【详解】试题分析：（1）第k+1项的二项式系数为kn C ，由题意可得关于n 的方程，求出n ．而二项式系数最大的项为中间项，n 为奇数时，中间两项二项式系数相等；n 为偶数时，中间只有一项．（2）由展开式前三项的二项式系数和等于79，可得关于n 的方程，求出n ．而求展开式中系数最大的项时，可通过解不等式组求得，假设1k T +项的系数最大，1k T +项的系数为k r ，则有11{k k k k r r r r +-≥≥ 试题解析：（1）通项T r ＋1＝C rn 12⎛⎫ ⎪⎝⎭n －r ·（2x ）r ＝22r －n C r n x r ，由题意知4C n ，5C n ，6C n 成等差数列，∴52C n ＝46C C n n +，∴n ＝14或7.当n ＝14时，第8项的二项式系数最大，该项的系数为22×7－14714C ＝3 432； 当n ＝7时，第4、5项的二项式系数相等且最大， 其系数分别为22×3－737C =352，22×4－747C =70. （2）由题意知012C C C n n n ++＝79，∴n＝12或n＝－13（舍）．∴T r＋1＝22r－1212C r x r.由2122(1)12112122122(1)12112122C2C,{2C2C,r r r rr r r r-----+-+≥≥得525{475rr≤≥∴r＝10.∴展开式中系数最大的项为T11＝22×10－12·1012C x10＝332（2x）10.【解析】二项式定理的应用19．在网络空前发展的今天，电子图书发展迅猛，大有替代纸质图书之势.但电子阅读的快餐文化本质，决定了它只能承担快捷传递信息性很强的资料，缺乏思想深度和回味，电子阅读只能是传统纸质阅读的一种补充.看传统的书不仅是学习，更是种文化盛宴的享受，读书感受的不仅是跃然于纸上的文字，更注重的是蕴藏于纸质书中的中国传统文化.某地为了提高居民的读书兴趣，准备在各社区兴建一批自助图书站(电子纸质均可凭电子借书卡借书)由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现从一社区内随机抽取了一天中的80名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图.若将该80人分成两个年龄层次，年龄在[20,50)定义为中青年，在[50,80]定义为老年.（1）从这80名读书者中再次随机抽取3人作进一步调查，求抽取的这3人都为中青年的概率(直接用组合数表示)；（2）为进一步调查阅读习惯(电子阅读和传统阅读)与年龄层次是否有关，得到如下22⨯列联表：完善该表数据，并判断：是否有95%的把握认为“阅读习惯与年龄层次有关”.中青年老年合计电子阅读13附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，(其中n a b c d =+++)临界值表供参考：3.841【答案】（1）328380C C ；（2）列联表答案见解析，有95%的把握认为“阅读习惯与年龄层次有关.【分析】（1）从这80名读书者中再次随机抽取3人有380C 种抽取方法，由频率分布直方图可得中青年人数为28人，从中青年读书者中随机抽取3人有328C 种抽取方法，从而可得答案.(2)先根据频率分布直方图，完善22⨯列联表，求出()22801539131328522852K ⨯-⨯=⨯⨯⨯，根据临界值表得出答案.【详解】解：（1）由频率分布直方图可得中青年人数为(0.0050.010.02)108028++⨯⨯=(人)，从这80名读书者中再次随机抽取3人作进一步调查，抽取的这3人都为中青年的概率为328380C C ；（2）由（1）得，中青年读书者人数为28人，老年读书者人数为802852-=，由此可得22⨯列联表如下表，()228015391313320 6.5312852285249K ⨯-⨯==≈⨯⨯⨯因为6.531 3.841>，所以有95%的把握认为“阅读习惯与年龄层次有关”.20．某公司为了扩大生产规模，欲在泉州、福州、广州、海口、桂林、吉隆坡、雅加达、科伦坡、加尔加大、内罗毕、雅典、威尼斯、华盛顿13个城市中选择3个城市建设自己的工业厂房，根据这13个城市的需求量生产某产品，并将其销往这13个城市． （1）求所选的3个城市中至少有1个在国内的概率．（2）已知每间工业厂房的月产量为10万件，若一间厂房正常生产，则每月可获得利润100万；若一间厂房闲置，则该厂房每月亏损50万．该公司为了确定建设工业厂房的数目()*1013,n n n N ≤≤∈，统计了近5年来这13个城市中该产品的月需求量数据，得如下频数分布表：若以每月需求量的频率代替每月需求量的概率，欲使该产品的每月总利润的数学期望达到最大，应建设工业厂房多少间？ 【答案】（1）115143；（2）应建设工业厂房12间． 【分析】（1）先求其对立事件A “该公司所选的3个城市都在国外”的概率，再计算()()1P A P A =-即得结果；（2）结合需求量，分别计算10111213n =，，，时，每月总利润的分布列和数学期望，并进行比较可知，应建设工业厂房12间.【详解】解：（1）记事件A 为“该公司所选的3个城市中至少有1个在国内”，其对立事件A 为“该公司所选的3个城市都在国外”，则()38313P C A C =，故()()3831311511413P C A C P A =-==-， ∴所选的3个城市中至少有1个在国内的概率为115143； （2）设该产品每月的总利润为Y ，①当10n =时，产品可完全售出，故100101000Y =⨯=万元．②当11n =时，月需求量为100万件时，获利1001050950Y =⨯-=万元． 月需求量为110万件及以上时，获利100111100Y =⨯=万元．6(950)0.160P Y ===，(1100)1(950)10.10.9P Y P Y ==-==-=． Y 的分布列为∴()9500.111000.91085E Y =⨯+⨯=万元．③当12n =时，月需求量为100万件时，获利10010502900Y =⨯-⨯=万元． 月需求量为110万件时，获利10011501050Y =⨯-=万元． 月需求量为120万件及以上时，获利100121200Y =⨯=万元．6(900)0.160P Y ===，24(1050)0.460P Y ===，1812(1200)0.5600P Y +===． Y 的分布列为∴()9000.110500.412000.51110E Y =⨯+⨯+⨯=万元．④当13n =时，月需求量为100万件时，获利10010503850Y =⨯-⨯=万元， 月需求量为110万件时，获利100115021000Y =⨯-⨯=万元， 月需求量为120万件时，获利10012501150Y =⨯-=万元， 月需求量为130万件时，获利100131300Y =⨯=万元．6(850)0.160P Y ===，24(1000)0.460P Y ===，18(1150)0.360P Y ===，12(1300)0.260P Y ===．Y 的分布列为∴()8500.110000.411500.313000.21090E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=万元． 综上，当12n =时，()1110E Y =万元最大，∴欲使该产品的每月总利润的数学期望达到最大，应建设工业厂房12间． 【点睛】思路点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤： （1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）.21．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵（qian du ）：阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑（bie nao ）指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵111ABC A B C -中，AB AC ⊥.（1）求证：四棱锥11B A ACC -为阳马；（2）若AB AC =，12C C =，且直线1AC 与平面11BCC B 5，求锐二面角11C A B C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）155. 【分析】（1）通过证明AB ⊥面11ACC A ，结合四边形11ACC A 为矩形即可证明； （2）以A 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，利用向量法即可求解. 【详解】（1）证明：∵1A A ⊥底面ABC ，AB 面ABC ，∴1A A AB ⊥， 又AB AC ⊥，1A AAC A =，∴AB ⊥面11ACC A ， 又四边形11ACC A 为矩形， ∴四棱锥11B A ACC -为阳马.（2）解：在ABC 中作AH BC ⊥于H ，连结1C H . 显然1AC H ∠为直线1AC 与平面11BCC B 所成的角. 设2BC a =，则AH a =，214C Ha =+.故125tan 54AC H a ∠==+，解得1a =， ∴2BC =，2AB AC ==，∵AB AC ⊥，1A A ⊥底面ABC .∴以A 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则()2,0,0B，()2,0C ，()10,0,2A ，()12,0,2A B =-，()2,2,0BC =-，()112,0AC =.设面1A BC 的一个法向量()1111,,x n y z =，由11100n A B n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111220220x z x y -==⎪⎩，令12x =，得()12,2,1n =，设平面11A BC 的一个法向量()2222,,n x y z =，则2121100n A B n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2222020x z -==，令12x =，得()22,0,1n =，∴12121215cos ,5n n n n n n ⋅==⋅， 故锐二面角11C A B C --. 【点睛】利用法向量求解空间二面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.22．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M：22221x y a b +=（0a b >>）右焦点的直线0x y +-=交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12. （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）C ，D 为M 上的两点，若四边形ABCD 的对角线CD AB ⊥，求四边形ABCD 面积的最大值.【答案】(Ι) 22163x y +=（Ⅱ）12AB CD ⋅=3【分析】(1)把右焦点()c,0代入直线方程可求出c ，设()11,,A x y ()22,B x y ，线段AB 的中点()00,P x y ，利用“点差法”即可得出a,b 的关系式，再与222a b c =+联立即可求出a,b ，进而可得椭圆方程；(2)由CD AB ⊥，可设直线CD 方程为y x m =+,与椭圆方程联立可得根与系数关系，即可得到弦长CD ，把直线0x y AB +=与椭圆的方程联立得到根与系数关系，即可得到弦长，利用ABCD 1S 2AB CD =⋅四边形即可得到关于m 的表达式，利用二次函数的单调性即可求出其最大值.【详解】(Ι)设()11,,A x y ()22,,B x y 则()22112211x y a b +=，()22222212x y a b+=，（1）－（2）得：()()()()12121212220x x x x y y y y ab-+-++=，因为12121y y x x -=--，设()00,P x y ，因为P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12，所以0012y x =，即()121212y y x x +=+，所以可以解得222a b =，即()2222a a c=-，即222ac =，又因为c =26a =，所以M 的方程为22163x y +=.（Ⅱ）因为CD AB ⊥，直线AB 方程为0x y +=，所以设直线CD 方程为y x m =+，将0x y +=代入22163x y +=得：230x -=，即(A 、B ⎝⎭，所以可得AB =；将y x m =+代入22163x y +=得：2234260x mx m ++-=，设()33,,C x y ()44,,D x y 则CD =()221612260m m ∆=-->，即33m -<<，所以当0m =时，|CD|取得最大值4，所以四边形ACBD 面积的最大值为12AB CD ⋅=. 【点睛】本小题考查椭圆的方程的求解、直线与椭圆的位置关系，考查数学中的待定系数法、设而不求思想 ，考查同学们的计算能力以及分析问题、解决问题的能力.圆锥曲线是高考的热点问题,年年必考,熟练本部分的基础知识是解答好本类问题的关键.。
2020-2021学年江苏省如皋中学高二上学期第二次阶段考试数学试题 Word版
江苏省如皋中学2020-2021学年度第一学期第二次阶段考试高二数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．抛物线24y x =的焦点坐标为( ) A ．(0,1)B ．(1,0)C ．1(,0)16D ．1(0,)162．命题p ：方程221xy m+=表示焦点在x 轴上的椭圆，命题q ：1m ≥，则p 是q 成立的( )条件．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要3．已知221717),=x x C C x N x ++=∈（则( ) A ．2 B ．5 C ．2或5 D ．2或64．在庆祝中华人民共和国成立70周年之际，某学校为了解《我和我的祖国》､《我爱你，中国》､《今天是你的生日》等经典爱国歌曲的普及程度，在学生中开展问卷调查．该校共有高中学生900人，其中高一年级学生330人，高二年级学生300人，高三年级学生270人．现采用分层抽样的方法从高中学生中抽取一个容量为90的样本，那么应抽取高一年级学生的人数为( ) A ．30B ．31C ．32D ．335．2020154-被7除后余数是 ( ) A ．2B ．3C ．4D ．56．正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱11A B 的中点，则异面直线AE 与1BD 所成角的余弦值为 ( )A ．3B ．15C ．5D ．57．重阳节，农历九月初九，谐音是“久”，有长久之意，人们常在此日感恩敬老，是我国民间的传统节日．某校在重阳节当日安排6位学生到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案数是( )A ．50B ．40C ．35D ．308．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点为12,F F ，其渐近线上横坐标为12的点P 满足120PF PF ⋅=，则a = ( )A ．14B ．12C ．2D ．4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．对于,m n N +∈关于下列排列组合数，结论正确的是( ) A ．C C mn mn n-=B ．11C C C m m m n nn -+=+C ． A m mmn n m C A = D ． 11A (1)A m mn n m ++=+10．已知1021001210(32)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+-+-++-，则下列结论正确的是A ．01a =B ． 10121021a a a +++=- ( )C ．2405a =D ．20100241022+2a a a a ++++=11．某校高三年级共有800名学生参加了数学测验（满分150分），已知这800名学生的数学成绩均不低于90分，将这800名学生的数学成绩分组并得到频率分布直方图(如图所示)，则下列说法中正确的是 ( ) A ．0.045a =B ．这800名学生中数学成绩在110分以下的人数为160人C ．这800名学生数学成绩的众数可近似认为是125D ．这800名学生数学成绩的第75百分位数约为128．612．已知点P 是双曲线2212516x y -=右支上一点，1F 是双曲线的左焦点，O 为原点，若18OP OF +=，则下列结论正确的是( )A ．双曲线的离心率为53B ．双曲线的渐近线为45y x =±C ．点P 到该双曲线左焦点的距离为18D ． 12PF F ∆的面积为36三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知命题“x R ∃∈，210x ax -+<”为假命题，则实数a 的取值范围是 ． 14．7个人排成一排拍照片，若要求甲、乙两人必须相邻，则有 种不同的排法 (用数字作答)；若要求甲、乙两人相邻，但与丙均不相邻，则有 种不同的排法．(用数字作答)（第一空2分，第二空3分） 15．261(1)()x x x+-的展开式中的常数项为_________．16． 已知点1F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点，过原点作直线l 交椭圆于,A B 两点，,M N 分别是1AF ，1BF 的中点，若存在以MN 为直径的圆过原点，则椭圆的离心率的范围是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分。
2020-2021学年江苏省南通市如皋市高二上学期教学质量调研(一)数学试题(解析版)
2020-2021学年江苏省南通市如皋市高二上学期教学质量调研（一）数学试题一、单选题1．抛物线23y x =的准线方程为（ ） A ．34x =-B ．34x =C ．34y =-D ．34y =【答案】A 【解析】先求出324p =，即得解. 【详解】由抛物线23y x =得323,24p p =∴=， 所以抛物线的准线方程为34x =-.故选：A 【点睛】本题主要考查抛物线的准线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点()2,1，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2BC D 【答案】C【解析】由题得点()2,1在直线by x a=上，化简224a b =即得解. 【详解】由题得点()2,1在直线by x a=上， 所以22122,4,ba b a b a=⨯∴=∴=，所以22222254(),54,,4a c a a c e e =-∴=∴=∴=. 故选：C 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．已知椭圆2211612x y +=上一点P 到其左焦点的距离为6，则点P 到右准线的距离为（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．12【答案】A【解析】求出点P 的横坐标，进而可求得点P 到椭圆右准线的距离. 【详解】设点P 的坐标为(),x y ，则2211612x y +=，223124y x =-，且44x -≤≤，对于椭圆2211612x y +=，4a =，b =2c ，椭圆2211612x y +=的左焦点为()2,0F -，右准线方程为28a x c==，114422PF x x ====+=+6=，解得4x =，因此，点P 到右准线的距离为844-=. 故选：A. 【点睛】本题考查椭圆上的点到准线距离的计算，求出点P 的横坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.4．已知抛物线()220x py p =>的焦点到双曲线22154y x -=的渐近线的距离为2，则p 的值为（ ）A ．4B ．6C ．9D ．12【答案】B【解析】求出抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，然后利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】双曲线22154y x -=20y ±=，抛物线的焦点坐标为：0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭因为抛物线()220x py p =>的焦点到双曲线22154y x -=的渐近线的距离为2，22254p⨯=+，解得6p故选：B 【点睛】本题考查抛物线和双曲线简单性质的应用，点到直线距离公式的应用，较简单. 5．设抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点()2,0-且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则MF NF +=（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【解析】设()11,M x y ，()22,N x y ，将直线方程代入抛物线方程，韦达定理知1210x x +=，利用抛物线焦半径公式可得到结果.【详解】设()11,M x y ，()22,N x y ，直线方程为：()223y x =+ 将直线方程代入抛物线方程得：2540x x -+=，则125x x +=由抛物线焦半径公式可得：()12121127MF NF x x x x +=+++=++= 故选：C 【点睛】本题考查抛物线焦半径公式的应用，属于基础题.6．为了美化校园环境，园艺师在花园中规划出一个平行四边形，建成一个小花圃，如图，计划以相距6米的M ，N 两点为平行四边形AMBN 一组相对的顶点，当平行四边形AMBN 的周长恒为20米时，小花圃占地面积最大为（ ）A ．6B ．12C ．18D ．24【答案】D【解析】由题意可得出10MB BN +=，在三角形MBN 中，使用余弦定理可得cos B 的关系式，再利用基本不等式可求出cos B 的最小值，从而可求出sin B 的最大值，进而求解． 【详解】设AM x =，AN y =，则由已知可得10x y +=， 在MBN △中，6MN =， 由余弦定理可得：222226()363232327cos 1111222525()2x y x y B x y xy xy xy +-+-==-=--=-=+， 当且仅当x y =时等号成立， 此时5x y ==，7cos 25min B =， 所以24sin 25max B =， 所以四边形AMBN 的最大面积为12425524225⨯⨯⨯⨯=， 此时四边形AMBN 是边长为5的菱形， 故选：D 【点睛】本题主要考查了解三角形中的余弦定理以及基本不等式的简单应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．7．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>，过点()4,0的直线交椭圆E 于A ，B 两点.若AB 中点坐标为()2,1-，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．12B C ．13D 【答案】B【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程，利用点差法得到22221212220x x y y a b--+=，然后根据AB 中点坐标为()2,1-，求出斜率代入上式，得到a ，b 的关系求解.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则22112222222211x y a bx y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得：22221212220x x y y a b--+=， 因为AB 中点坐标为()2,1-， 所以12124,2x x y y +=+=-，所以()()2212122212122x x b y y b x x y y a a +-=-=-+，又1212011422AB y y k x x -+===--，所以22212b a =，即2a b =，所以c e a ===， 故选：B 【点睛】本题主要考查椭圆的方程，点差法的应用以及离心率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8．已知双曲线221916x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，以2F 为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，该圆与双曲线在第一象限的交点为P ，则12PF PF ⋅=（ ） A ．8 B．C ．4D．【答案】A【解析】根据条件可得24PF =，由双曲线的定义可得110PF =，又1210F F =，由余弦定理得出12F PF ∠的余弦值，再由向量的数量积可得答案. 【详解】双曲线221916x y -=的渐近线方程为43y x =±.则焦点()25,0F到渐近线的距离为4d ==因为以2F 为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，所以4r = 所以24PF =,由双曲线的定义有110PF = 又1210F F =，由余弦定理得22212122112||+||||100161001cos 2||||21045PF PF F F F PF PF PF -+-∠===⨯⨯，1212121||||cos 4085PF PF PF PF F PF ⋅=⋅∠=⨯=，故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的基本性质，双曲线与向量的结合，属于中档题.二、多选题9．已知双曲线222(0)63x y λλ-=≠，则不因λ改变而变化的是（ ）A ．渐近线方程B ．顶点坐标C ．离心率D ．焦距【答案】AC【解析】首先将题中所给的双曲线方程化为标准方程，写出22,a b ，求得2c 的值，求得双曲线的离心率和渐近线方程是确定的，得出结果. 【详解】双曲线222(0)63x y λλ-=≠可化为2222163x y λλ-=，所以22226,3a b λλ==，所以229c λ=， 所以2231()2be a=+=，渐近线方程为2b y x x a =±=±， 故选：AC. 【点睛】该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的知识点有根据双曲线的方程确定双曲线的离心率和渐近线方程，观察双曲线方程研究其性质，属于简单题目.10．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为右支上一点，若123PF PF =，则双曲线的离心率可能为（ ）A ．2BCD ．3【答案】AB【解析】由双曲线的定义和已知可得21|||3,|PF PF a a ==，然后再由1212||||||PF PF F F +≥可得答案.【详解】由已知12||3||PF PF =和12||||2PF PF a -=得，所以21|||3,|PF PF a a ==，所以1212||||||2PF PF F F c ≥=+， 即42a c ≥，12e <≤， 故选：AB. 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，属于基础题.11．设1F ，2F 为椭圆C ：221167x y +=的左、右焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若12MF F △为等腰三角形，则下列结论正确的是（ ） A ．12MF = B ．22MF = C ．点M 的横坐标为83D ．12MF F S =△【答案】BCD【解析】由M 的位置及12MF F △为等腰三角形，知112MF F F =，进而求得1MF ，2MF ，然后在12MF F △中，利用余弦定理求得12cos MF F ∠，再利用112cos M x MF MF F c =⋅∠-和面积公式求解即可.【详解】因为椭圆C ：221167x y +=，所以4,3a b c ===，因为M 为C 上一点且在第一象限，且12MF F △为等腰三角形， 所以12112,26MF MF MF F F c >===，且22MF =，在12MF F △中，由余弦定理得：22222211221211266217cos 226618MF F F MF MF F MF F F +-+-∠===⋅⨯⨯，所以112178cos 63183M x MF MF F c =⋅∠-=⨯-=，所以12sin 18MF F ∠==，所以1112111sin 662218MF FSMF F F MF F =⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯=， 故选；BCD 【点睛】本题主要考查椭圆的交点三角形以及余弦定理和面积公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12．已知抛物线24x y =的焦点为F ，()11,A x y ，()22,B x y 是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ） A ．点F 的坐标为()1,0B ．若A ，F ，B 三点共线，则3OA OB ⋅=-C ．若直线OA 与OB 的斜率之积为14-，则直线AB 过点F D ．若6AB =，则AB 的中点到x 轴距离的最小值为2 【答案】BCD【解析】根据抛物线的标准方程，求得焦点F 的坐标，可判定A 错误；设直线AB 的方程为1y kx =+，根据韦达定理和向量的运算，可判定B 正确；设直线AB 的方程为y kx m =+，根据直线的斜率公式、弦长公式等，可判定C 、D 正确.【详解】由抛物线24x y =，可得2p =，则焦点F 坐标为(0,1)，故A 错误；设直线AB 的方程为1y kx =+，联立方程组214y kx x y=+⎧⎨=⎩，可得2440x kx --=，所以12124,4x x k x x +==-， 所以2121212()11y y k x x k x x =+++=，所以1212413OA OB x x y y ⋅=+=-+=-，故B 正确； 设直线AB 的方程为y kx m =+， 联立方程组24y kx mx y=+⎧⎨=⎩，可得2440x kx m --=，所以12124,4x x k x x m +==-， 所以222222121212()44y y k x x k x x m k m mk m m =+++=-++=，因为直线OA 与OB 的斜率之积为14-，即121214y y x x ⋅=-，可得2144m m =--，解得1m =， 所以直线AB 的方程为1y kx =+，即直线过点F ，故C 正确；因为6AB ===， 所以224(1)()9k k m ++=，所以2994(1)m k ==+，因为21212()242y y k x x m k m +=++=+，所以AB 的中点到x 轴的距离：22222299224(1)4(1)d k m k k k k k =+=+-=+++229114(1)k k =++-+1312≥=-=，当且仅当212k =时等号成立，所以AB 的中点到x 轴的距离的最小值为2，故D 正确， 综上所述，正确命题为BCD. 故选：BCD. 【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及几何性质，以及直线与抛物线的位置关系的应用，解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．三、填空题 13．当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，方程22sin cos 1x y αα+=表示焦点在x 轴上的椭圆，则α的取值范围为________.【答案】0,4π⎛⎫⎪⎝⎭【解析】变换得到22111sin cos x y αα+=，根据题意得到11sin cos αα>，解得答案. 【详解】22sin cos 1x y αα+=，即22111sin cos x y αα+=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故10sin α>，10cos α>， 方程22sin cos 1x y αα+=表示焦点在x 轴上的椭圆，故11sin cos αα>， 即cos sin αα>，故0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故答案为：0,4π⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了根据椭圆方程求参数范围，意在考查学生的计算能力和转化能力，属于中档题目.14．设椭圆221169x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点.在2ABF 中，若有两边之和为10，则第三边的长度为________. 【答案】6【解析】解：先由椭圆的定义得2ABF 的周长为4a ，再由椭圆的标准方程求出4a =，最后求出2ABF 第三边的长度即可. 【详解】解：由椭圆的定义得121222AF AF aBF BF a +=⎧⎨+=⎩，所以2ABF 的周长为：4a ，因为椭圆的标准方程为：221169x y +=，所以216a =，则4a =，所以2ABF 的周长为16， 因为2ABF 有两边之和为10，则第三边的长度为16106-=， 故答案为：6. 【点睛】本题考查椭圆的定义、根据椭圆的标准方程确定a 的值、求焦点三角形的边长，是基础题15．双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 是双曲线左支上一点，1290F MF ∠=︒，直线2MF 交双曲线的另一支于点N ，22MN NF =，则双曲线的离心率是________. 【答案】5【解析】先设2NF m =并根据题意与双曲线的定义表示出MN ，2MF ，1MF ，1NF ，12F F ，再在直角三角形12F MF △和1F MN △中利用勾股定理建立方程整理得到225c a =，最后求双曲线的离心率. 【详解】解：由题意作图如下，设2NF m =，因为22MN NF =，所以2MN m =，2=3MF m ， 由双曲线的定义可得：1=32MF m a -，1=2NF m a +，122F F c =， 因为1290F MF ∠=︒，在直角三角形1F MN △中，222(32)(2)(2)m a m m a -+=+，整理得：43m a =， 在直角三角形12F MF △中，222(32)(3)(2)m a m c -+=，又因为43m a =所以222(42)(4)(2)a a a c -+=，整理得：225c a=，所以5ce a==5【点睛】本题考查双曲线的定义、求双曲线的离心率、焦点三角形的边长关系，是中档题四、双空题16．已知F 是抛物线()221y px p =>的焦点，(),1N p ，M 为抛物线上任意一点，MN MF +的最小值为3，则p =________；若过F 的直线交抛物线于A 、B 两点，有2AF FB =，则AB =________. 【答案】292【解析】作出图形，过点M 作MP 垂直于抛物线()221y px p =>的准线l ，垂足为点P ，由抛物线的定义可得出MN MF MN MP +=+，由点P 、M 、N 共线时MN MF +取最小值可求得p 的值，设直线AB 的方程为1x my =+，与抛物线方程联立，列出韦达定理，结合2AF FB =可求得2m 的值，利用弦长公式可求得AB . 【详解】过点M 作MP 垂直于抛物线()221y px p =>的准线l ，垂足为点P ，由抛物线的定义可得MP MF =，1p >，则2212p <，则点N 在抛物线内，如下图所示：MN MF MN MP ∴+=+，当点P 、M 、N 共线时，MN MF +取得最小值32pp +=，解得2p =， 所以，抛物线的标准方程为24y x =，该抛物线的焦点为()1,0F ，设点()11,A x y 、()22,B x y ，可知直线AB 不与x 轴重合，设直线AB 的方程为1x my =+，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，可得2440y my --=，216160m ∆=+>恒成立，由韦达定理得124y y m +=，124y y =-，2AF FB =，则()()11221,21,x y x y --=-，122y y ∴=-，所以，1224y y y m +=-=，可得24y m =-，221222324y y y m =-=-=-，可得218m =，因此，()2129412AB y y m =-==+=. 故答案为：2；92. 【点睛】本题考查利用抛物线的定义求抛物线上的点到定点和焦点距离之和的最值，同时也考查了抛物线焦点弦长的计算，考查计算能力，属于中等题.五、解答题17．已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，P 是E 上一点，且在第一象限，满足(2,PF =-.（1）求点P 的坐标和抛物线E 的方程；（2）已知过点P 的直线l 与E 有且只有一个公共点，求直线l 的方程.【答案】（1）P 坐标为(2,，抛物线的方程为216y x =；（2）y =y =+【解析】（1）先表示出焦点坐标和设点P 的坐标，再建立方程组解得0y =8p =，最后求点P 的坐标和抛物线的方程即可；（2）先判断当直线l 的斜率不存在时，l 与抛物线有两个交点，再根据题意设直线l 的方程，求出0k =与k =l 的方程.【详解】（1）焦点坐标,02P F ⎛⎫⎪⎝⎭，设200,2y P y p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为(2,PF =-，所以2222y p p y ⎧-=⎪⎨⎪-=-⎩， 又0p >，解得0y =8p =，所以P坐标为(2,，抛物线的方程为216y x =.（2）当直线l 的斜率不存在时，l 与抛物线有两个交点，故舍去；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx b =+，代入抛物线方程，消去x 得到216320ky y k --+=，若0k =，此时直线l：y = 若0k ≠，则(2564320k k ∆=--+=，解得k =综上：直线l的方程为y =y =+【点睛】本题考查求抛物线的标准方程、根据直线与抛物线的位置关系求直线方程，是基础题.18．已知椭圆1C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，抛物线2C 的焦点与椭圆1C 的右焦点F 重合，1C 的中心与2C 的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于A ，B 两点，交2C 于C ，D 两点. （1）求ABCD的值； （2）设M 为1C 与2C的公共点，若3OM =，求1C 与2C 的标准方程. 【答案】（1）34AB CD =；（2）椭圆方程为22143x y +=，抛物线方程为24y x =. 【解析】（1）设椭圆的方程为2222143x y c c+=，抛物线方程为24y cx =，然后分别求出AB 、CD 即可；（2）联立椭圆和抛物线的方程求出点M的坐标，然后由OM =c 即可.【详解】（1）因为椭圆1C 的离心率为12，所以设其方程为2222143x y c c+=，(),0F c ，令x c =解得32y c =±，所以3AB c =， 又抛物线2C 的焦点与椭圆1C 的右焦点(),0F c 重合，所以设其方程为24y cx =， 令x c =解得2y c =±，所以4CD c =， 故34AB CD =. （2）由222221434x y c c y cx⎧+=⎪⎨⎪=⎩消去y 得：22316120x cx c +-=，解得23x c =或6c -（舍）.所以2,3M c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，因为OM =1c =. 即椭圆方程为22143x y +=，抛物线方程为24y x =.【点睛】本题考查的是椭圆和抛物线的综合问题，考查了学生的分析能力，属于基础题. 19．设椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率为2，且椭圆上的点到焦点1. （1）求椭圆C 的方程；（2）动直线l ：x ty m =+（m <）与C 交于A ，B 两点，已知()2,0M ，且2MA MB ⋅=，求证：直线l 恒过定点.【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析.【解析】（1）由题意易得c a =，1a c +=，解得a 和c 的值，再由222b a c =-得出2b 的值，最后写出椭圆的方程即可；（2）联立直线和椭圆的方程得到关于x 的一元二次方程，由韦达定理可得12y y +和12y y 的表达式，代入2MA MB ⋅=中可得23820m m -+=，解出m 的值即可证明直线过定点. 【详解】（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，焦距为2c ，由题意可得2c a =，1a c +=，所以a =1c =， 又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2212x y +=；（2）由2212x y x ty m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x 得()2222220t y mty m +++-=，由>0∆，得222m t <+，设()11,A x y ，()22,B x y ，则12222mt y y t +=-+，212222m y y t -=+，()()()121212122224x x MA y M x x B y x x =--⋅+=-++()()()121222ty m ty m t y y m =++-++⎡⎤⎣⎦ ()()2212121(2)(2)2t y y t m y y m =++-++-=，所以有23820m m -+=，解得43m =，又m <，所以m =，即直线l恒过定点⎫⎪⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆的简单几何性质，考查直线过定点问题，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左顶点为()2,0A -，右焦点()1,0F ，斜率为()0k k ≠的直线l 与C 交于M ，N 两点.（1）当直线l 过原点O 时，满足直线AM ，AN 斜率和为2k -，求弦长MN ； （2）当直线l 过点F 时，满足直线AM ，AN 斜率和为k -，求实数k 的值. 【答案】（1）MN =（2）1k =±.【解析】(1）先求出椭圆的方程，设()00,M x y ，()00,N x y --，根据2AM AN k k k+=-可得202x =，代入椭圆方程求出2032y =，从而求出弦长|MN |; (2）直线l 方程为(1)y k x =-，与椭圆方程联立，利用韦达定理代入AM AN k k k +=-，即可求出k 的值. 【详解】（1）由左顶点为()2,0A -，右焦点()1,0F 知2,1a c ==， 所以2223b a c =-=所以椭圆方程为22143x y +=，设()00,M x y ，()00,N x y --， 由2AM AN k k k +=-，得0000222y y k x x +=-+-，0000222kx kx k x x +=-+-， 因为0k ≠，所以202x =，代入椭圆方程得2032y =，所以MN ==.（2）设直线l 方程为(1)y k x =-，由22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得，()22223484120k x k x k +-+-=， >0∆恒成立，设()11,M x y ，()22,N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+， 由AM AN k k k +=-，得121222y yk x x +=-++， ()()12121122k x k x k x x --+=-++，又0k ≠，所以()()1212121224124x x x x x x x x ++-=-+++，()12120x x x x ∴++=，2222412803434k k k k -∴+=++， 21k =∴解得1k =±. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题.21．已知双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的实轴长为，F 为右焦点，()0,1M ，()0,1N -，且MNF 为等边三角形.（1）求双曲线E 的方程；（2）过点M 的直线l 与E 的左右两支分别交于P 、Q 两点，求PQN 面积的取值范围.【答案】（1）2212x y -=；（2）[)4,+∞. 【解析】(1)由题意可知c =，再利用2a =和2221b c a =-=，即可求出a ， b ， c 的值，从而得到双曲线E 的方程;(2）当直线l 的斜率存在时，直线与双曲线没有交点，当直线l 的斜率存在时，设其方程为1y kx =+，与双曲线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式得到PQNS=,由1200x x ∆>⎧⎨<⎩，求出k 的取值范围，从而求出PQNS的取值范围.【详解】（1）设焦距为2c ，因为()0,1M ，()0,1N -，且MNF 为等边三角形， 所以c =又2a =，所以a =2221bc a =-=，所以双曲线方程为2212x y -=.（2）当直线l 的斜率不存在时，直线与双曲线没有交点，当直线l 的斜率存在时，设其方程为1y kx =+，22112y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 得到()2212440k x kx ---=， 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122412kx x k +=-，122412x x k =--， 因为直线l 与E 的左右两支分别交于两点，所以1200x x ∆>⎧⎨<⎩，解得22k -<<，（或由双曲线的渐近线方程为y =得k <<）.121212PQN x x x x S N M -==-=△=2102k ≤<， 令1,12t ⎛⎤=⎥⎝⎦， 则2441212t S t t t==--，因为12y t t=-在1,12⎛⎤⎥⎝⎦单调递增，所以当1t =时，y 最小为4. 即[)4,S ∈+∞. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单几何性质，考查了直线与双曲线的位置关系，属于中档题.22．已知点()1,0F 为抛物线E ：()220y px p =>的焦点，直线l 与抛物线E 相交于A ，B 两点，抛物线E 在A ，B 两点处的切线交于M .（1）求证：A ，M ，B 三点的纵坐标成等差数列；（2）若AB a ，其中a 为定值，求证：ABM 的面积的最大值为38a p. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）由题得抛物线方程为24y x =，先求出两切线的方程分别为1122yy x y =+①，2222y y x y =+②，解之得122M y y y +=，即得证； （2）取AB 的中点Q ，连接MQ ，过M 点作MN AB ⊥，垂足为N ，先证明()212||4y y MN -≤，设直线AB 的方程为x my t =+（由题意可知0m ≠），所以12y y a -≤，所以2||8a MN ≤，即得ABM 的面积的最大值.【详解】（1）证明：由题得抛物线方程为24y x =，设211,4y A y ⎛⎫⎪⎝⎭，由题意可知切线的斜率一定存在，设为k ， 211244y y y k x y x ⎧⎛⎫-=-⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=⎩消去x 得，2211440ky y y ky -+-=， 因为直线与抛物线相切，所以0∆=，解得12k y =， 此时切线方程为211124y y y x y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭即112,2y y x y =+① 同理设222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，另一条切线方程为2222y y x y =+②， 将①②联立方程组，解得122M y y y +=， 所以A ，M ，B 三点的纵坐标成等差数列.（2）取AB 的中点Q ，连接MQ ，过M 点作MN AB ⊥，垂足为N ，第 2 页 共 4 页则()2221212121212||||24844y y x x y y y y y y MN MQ -++≤=-=-=， 设直线AB 的方程为x my t =+（由题意可知0m ≠），则212||1AB m y y a =+-=，所以12y y a -≤，即()2212||||48y y a MN MQ -≤=≤， 所以3311||||||22168ABM a a S AB MN a MQ p=⋅≤⋅==. 【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线的最值问题的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。
江苏省如皋市2020-2021学年高二上学期期末教学质量调研数学试题
2020－2021学年度高二年级第一学期期末教学质量调研数 学 试 题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. βα>是βαsin sin >的 ( ) A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件2. 5(2)(12)x x +-的展开式中，2x 的系数为（ ）A ．70B ．70-C ．120D ． 120-3. 如图是容量为n 的样本的频率分布直方图，已知样本数据在[1418)，内的频数是6，则样本数据落在[610)，的频数是 ( ) A. 6 B. 8 C. 9 D. 104. 设l 是直线，αβ，是两个不同的平面，下列命题中正确的是 ( )A. 若//l α，//l β，则//αβ B . 若//l α，l β⊥，则αβ⊥ C. 若αβ⊥，l α⊥，则//l β D. 若αβ⊥，//l α，则l β⊥5. 直线43+-=k kx y 与双曲线191622=-yx 有且只有一个公共点，则k 的取值有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．46. 已知正三棱柱111ABC A B C -，底面正三角形ABC 的边长为2，侧棱1AA 长为2，则点1B 到平面1A BC 的距离为 ( )A.221 B. 221 C. 47 D. 477. 琵琶、二胡、编钟、箫、笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”．为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排四节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡一定安排，且这两种乐器互不相邻的概率为 ( )A ．1360B ．16C ．115D ．7158. 设12F F ，是椭圆22:13x y C m+=的两个焦点，若椭圆C 上存在点M 满足12120F MF ∠=︒，则m 的取值范围是 ( )A ．3(0][4)4+∞，，B ．9(0][4)4+∞，，C ．3(0][12)4+∞，，D ．9(0][12)4+∞，， 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省如皋市2021-2022高二数学上学期教学质量调研试题(一)(含解析).doc
江苏省如皋市2021-2022高二数学上学期教学质量调研试题（一）（含解析）一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 1.抛物线22x y =-的准线方程为（ ） A. 18xB. 18y =C. 12x =D. 12y =【答案】D 【解析】 【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y 轴上以及2p ，再直接求出其准线方程． 【详解】解：因为抛物线的标准方程为：22x y =-，焦点在y 轴上；所以：22p =，即1p =， 所以：122p =， 所以准线方程12y =． 故选：D ．【点睛】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．2.若双曲线E ：22149x y -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 是双曲线上的一点，且12,PF =则2PF =（ ） A. 8 B. 6C. 4D. 2【答案】B 【解析】 【分析】求得双曲线的2a =，由双曲线的定义可得1224PF PF a -==，代入已知条件解方程即可得到所求值．【详解】解：双曲线E ：22149x y -=可得2a =，由双曲线的定义可得1224PF PF a -==， 由12=PF ，可得2|2|||4PF -=， 解得26PF =（−2舍去）． 故选：B ．【点睛】本题考查双曲线的定义和方程，考查定义法的运用，以及运算能力，属于基础题．3.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)4x y b b-=>经过点，则该双曲线的渐近线方程是（ ）A. y =B. 2y x =±C. 12y x =±D. y x =±【答案】D 【解析】 【分析】把已知点的坐标代入双曲线方程，求得b ，则双曲线的渐近线方程可求．【详解】解：∵双曲线22214x y b -=经过点，∴224614b-=，解得b =又2a =，∴该双曲线的渐近线方程是y x =． 故选：D ．【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题．4.已知椭圆22:1(0)y C x n n +=>的离心率为2，则n 的值为（ ）A.14或4 B.14C.12或2 D.12【答案】A 【解析】 【分析】通过椭圆的离心率列出方程，求解即可．【详解】解：椭圆22:1(0)y C x n n +=>可得：椭圆的焦点坐标在x =， 解得14n =；椭圆的焦点坐标在y =， 解得4n =． 故选：A ．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，要注意焦点位置的讨论，是基本知识的考查．5.若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的（ ）A. 离心率相等B. 虚半轴长相等C. 实半轴长相等D. 焦距相等【答案】D 【解析】 【详解】09k <<，则90k ->，250k ->，双曲线221259x y k-=-实半轴长为5，焦距为=双曲线221259x y k -=-，虚半轴长为3，焦距为=，因此，两双曲线的焦距相等， 故选：D.6.已知椭圆2212:1x C y m +=(1m )与双曲线2222:1x C y n-=(0n >)的焦点重合，若双曲线的顶点是椭圆长轴的两个三等分点，曲线1C ，2C 的离心率分别为1e ，2e ，则12e e ⋅的值为（ ）A. 1B.35C.53【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得22111,3m n n m -=+=，解方程可得,m n ，再由离心率公式，化简计算可得所求值．【详解】解：椭圆2212:1x C y m +=(1m )与双曲线2222:1x C y n-=(0n >)的焦点重合，可得2211m n -=+，即222n m =-，①若双曲线的顶点是椭圆长轴的两个三等分点，可得13n m =，② 由①②可得31,22m n ==，则1253e m n e ⋅====．故选：C ．【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查离心率的计算，以及方程思想和化简运算能力，属于基础题．7.已知抛物线22(0)y px p =>上一点M 到抛物线焦点F 的距离等于2p ，则直线MF 的斜率为( )A. B. ±1C. 34±D. ±【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的定义可求出M 的横坐标，代入抛物线方程解出M 的纵坐标，代入斜率公式计算斜率.【详解】抛物线22(0)y px p =>的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，点M 到焦点F 的距离等于M 到准线2px =-的距离， 所以22M px p +=， 32M x p ∴=代入抛物线方程解得M y =，2MMFM y k p x ∴==-A. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，斜率公式的应用，属于中档题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决..8.已知直线1y kx =+与焦点在x 轴上的椭圆2221(0)4x yb b+=>总有公共点，则b 的取值范围是（ ） A. (1,2) B. ()1,+∞C. [)1,+∞D. [)1,2【答案】D 【解析】 【分析】由题意直线1y kx =+恒过定点(0,1)M ，要使直线1()y kx k R =+∈与焦点在x 轴上的椭圆2221(0)4x yb b+=>总有公共点，则只需要点(0,1)M 在椭圆上或椭圆内，代入可求． 【详解】解：由题意直线1y kx =+恒过定点(0,1)M要使直线1()y kx k R =+∈与焦点在x 轴上的椭圆2221(0)4x y b b+=>总有公共点， 则只需要点(0,1)M 在椭圆上或椭圆内， 则211b≤且24b < ∴12b ≤<． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了直线与椭圆位置关系的判断，常见的判断方法是联立直线方程与曲线方程，但此类方法一般计算量比较大，而本题的这种解决灵活的应用了直线恒过定点的性质，但解题时容易漏掉焦点在x 轴上的条件的考虑，误认为只有211b≤． 9.已知双曲线22:2C x y -=，过右焦点的直线交双曲线于,A B 两点，若,A B 中点的横坐标为4，则弦AB 长为（ ）A. B.C. 6D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出直线(2)y k x =-，与22:2C x y -=联立，根据韦达定理，可求出k 的值，再根据弦长公式||AB =AB 的长．【详解】解：双曲线22:122x y C -=，则24c =，所以右焦点(2,0)F ，根据题意易得过F 的直线斜率存在，设为(2)y k x =-，(,),(,)A A B B A x y B x y联立22(2)2y k x x y =-⎧⎨-=⎩， 化简得()222214420kxk x k -+--=，所以2222442,11A B A B k k x x x x k k ---+==--， 因为,A B 中点横坐标为4，所以22481A B k x x k -+==-， 解得22k =，所以2242101A B k x x k--==-， 则()()2228410244A B A B A B x x x x x x -=+-=-⨯=，则||AB ===故选：D ．【点睛】本题考查直线和双曲线相交，产生的弦的长度问题，属于基础题．10.在平面直角坐标系xOy 中，已知F 是抛物线24x y =的焦点，过点F 作两条相互垂直的直线12,l l ，12,l l 分别与抛物线交于点,A B 和,C D ，记AB 的中点为M ，CD 的中点为N ，则OM ON ⋅的最小值是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】 【分析】设出12,l l 的方程，分别与抛物线24x y =联立，利用韦达定理和中点坐标公式求出M ，N 的坐标，进而可以求出OM ON ⋅，利用基本不等式求其最小值． 【详解】解：由F 是抛物线24x y =的焦点，得(0,1)F ， 设1:1l y kx =+， 1122(,),(,)A x y B x y联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去y 得2440x kx --=， 12441kx x k -∴+=-=, ()221211112y y kx kx k x x ∴+=+++=++242k =+()22,21M k k ∴+设21:1y x l k=-+， 3344(,),(,)C x y D x y 联立2114y x kx y ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，消去y 得2440x x k -=+， 344x k x ∴+=-,334434112x x x x y y k k k +∴+=-+-+=-+242k =+222,1N k k ⎛⎫∴-+ ⎪⎝⎭()()22222222,21,14211OM ON k k k k k k ⎛⎫⎛⎫∴⋅=+⋅-+=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222121k k =++≥+5=． 故选：C ．【点睛】本题考查直线和抛物型的位置关系，利用韦达定理解决中点坐标问题，中档题，注意计算的准确性．11.设P ，Q 分别是圆()2262x y +-=和椭圆22110x y +=上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A.C.D. 7【答案】C 【解析】 【分析】求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P ，Q 两点间的最大距离. 【详解】圆()2262x y +-=的圆心为M (0,6)，设()00,Q x y ，则2200110x y +=， 即[]01,1y ∈-，MQ ==[]0 ,?1,1y ∈-∴当0y =- 23时，MQ =最大PQ 的最大值为故选C.【点睛】本题考查了椭圆与圆的综合，圆外任意一点到圆的最大距离是这个点到圆心的距离与圆的半径之和，根据圆外点在椭圆上，即可列出椭圆上一点到圆心的距离的解析式，结合函数最值，即可求得椭圆上一点到圆上一点的最大值.12.过点()1,0M 的直线l 与椭圆2212x y +=交于A B 、两点，若2AM MB =则直线l 的斜率为（ ）A.2B.7C. 2±D. 7±【答案】C 【解析】 【分析】设直线l 的方程为：()()11221,,,,my x A x y B x y =-，与椭圆方程联立．由2AM MB =，可得122y y =-，将其与韦达定理联立，即可解出直线l 的斜率． 【详解】解：设直线l 的方程为：()()11221,,,,my x A x y B x y =-．联立22122my x x y =-⎧⎨+=⎩，化为：()222210m y my ++-=，>0∆， 12122221,22m y y y y m m ∴+=-=-++． 2AM MB =，即2AM MB =()12020y y ∴-=-，即122y y =-．联立1221221222122m y y m y y m y y -⎧+=⎪+⎪⎪=-⎨+⎪=-⎪⎪⎩，解得227m =．m ∴= ∴直线l的向斜率1k m == 故选：C ．【点睛】本题考查了直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，其中将长度关系转化为向量关系，进而得到坐标关系是关键，属于难题． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若椭圆22:143x y C +=的左右焦点分别为12,F F ，点P 是椭圆上的一点，123F PF π∠=，则12F PF ∆的面积为_________.【解析】 【分析】依题意，在12F PF ∆中，123F PF π∠=，12||||24PF PF a +==，122F F =，利用余弦定理可求得12||||F P P F ⋅的值，从而可求得12F PF ∆面积．【详解】解：∵椭圆22:143x y C +=，2,1a b c ∴===．又∵P 为椭圆上一点，123F PF π∠=，12,F F 为左右焦点，∴12||||24PF PF a +==，122F F =，()221212121222cos3F F PF PF PF PF PF PF π∴=+-⋅-⋅12163PF PF =-⋅4=，124P P F F ∴⋅=，121211sin 4232PF F S PF PF π∆∴=⋅=⨯=．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查余弦定理的应用与三角形的面积公式，属于中档题．14.在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线222210,0)x y a b a b-=>>（的右焦点作垂直于x 轴的直线l ，l 与双曲线的渐近线交于A B 、两点，且三角形ABO 为等腰直角三角形，若双曲线的，则双曲线的标准方程为_________.【答案】22144x y -=【解析】 【分析】设双曲线的右焦点，渐近线方程，由三角形ABO 为等腰直角三角形，可得90AOB ︒∠=，可得a b =，则可得渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得a ，进而可得到所求双曲线的方程．【详解】解：设双曲线22221x y a b-=的右焦点为(c,0)，双曲线的渐近线方程为0bx ay ±=，由三角形ABO 为等腰直角三角形，可得90AOB ︒∠=，则221b a-=-，即a b =，则双曲线的渐近线方程为y x =±， 设双曲线的方程为222x y a -=，=2a =， 所以双曲线的方程为22144x y -=．故答案为：22144x y -=．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程和点到直线的距离公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．15.如图，已知OAP ∆和ABQ ∆均为等边三角形，它们的边长分别,m n ，抛物线()220y px p =>恰好经过点,P Q ，则mn=_________.【答案】12【解析】 【分析】根据已知写出,P Q 坐标，代入抛物线方程，即可求出结果． 【详解】解：由已知(,0),(,0)A m B m n +，得33(,),(,)2222m m n n P Q m -+， 因为抛物线()220y px p =>恰好经过点,P Q ，223222322m m p n n p m ⎧⎛⎫⎪-=⋅ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭∴⎨⎪⎛⎫=⋅+⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭⎩，两式相除可得222m m n m n =+， 设(0)m t t n =>，则221tt t =+， 解得：12t =，即m n =12．故答案：12． 【点睛】本题考查抛物线的方程，考查学生方程的思想以及计算能力，其中的整体运算和换元法可以将复杂计算简单化，难度不大．16.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14x C y +=，直线l 与椭圆交于,A B 两点，当O到直线AB 的距离为1时，则OAB ∆面积的最大值为_________. 【答案】1 【解析】 【分析】首先由点到直线的距离公式求出变量的关系，然后将直线方程和椭圆方程联立，化为关于x 的一元二次方程，由弦长公式求得AB 长度，利用二次函数求AB 长度最值，最后写出OAB ∆的面积．【详解】解：当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为：1x =±， 不妨取1x =来计算，将1x =代入椭圆方程得：2y =±， 3AB ；当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为：y kx m =+，1122(,),(,)A x y B x y 当O 到直线AB1=，整理得221m k =+，联立2244x y y kx m⎧+=⎨=+⎩，消去y 得()222148440k x kmx m +++-=，21212228441414kmm x x x x k k-∴+=-=++， ()()()22222212122281616||1411414km m AB kx x x x k k k ⎡⎤⎡⎤-⎛⎫=++-+- ⎪++=⎢⎥⎣⎦⎢⎝⎭⎥⎣⎦()()()()()()22222222222264161614641616111414k m m k k mk k k k --++-+=+++=⋅⋅()()()()()222222222641616*********k k k k k k k +-+=+=+++⋅设2,)4(11t k t =>+，则214k t -=， ()222224813(1)963||311344(1)4t t t AB t t t t tt ⋅+-===-+--⎛⎫⋅ ⎪⋅+⎝+=--+⎭， 当31t=，即3t =时，2AB 取最大值4， 综上，AB 的最大值为2，OAB ∴∆面积的最大值为11212⨯⨯=． 故答案为：1．【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，利用韦达定理求出弦长的最值，对学生计算能力要求较高，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共82分）17.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线D的渐近线方程为y =，且经过点(2,3)，直线:2l y x =-交双曲线于,A B 两点，连结,OA OB . （1）求双曲线方程； （2）求OA OB ⋅的值.【答案】（1）2213y x -=（2）1OA OB ⋅=【解析】 【分析】（1）根据双曲线的渐进线方程设出双曲线方程，代入已知点，求出方程； （2）方程联立韦达定理设而不求，求向量的数量积即可． 【详解】解：（1）由双曲线D的渐近线方程为y =，设双曲线的方程为：223y x k -=，将点(2,3)代入双曲线方程得1k =，所以双曲线的方程为：2213y x -=（2）联立22213y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩得22470x x +-=设()()1122,,,A x y B x y ， 则121272,2x x x x +=-=-， ()()()121212127922244422y y x x x x x x =--=-++=-++=∴121279122OA OB x x y y ⋅=+=-+=．【点睛】本题考查渐近线方程与双曲线方程的关系，以及方程的联立设而不求的方法的应用，注意，以(0,0)m y x m n n =±>>为渐进线的双曲线系方程可设为2222y x m nλ-=，λ为参数且不为0．18.已知抛物线2:4C y x =，直线:l y x m =+与抛物线交于,A B 两点，(1,6)P -是抛物线准线上的点，连结,PA PB . （1）若1m =-，求AB 长；（2）若PAB ∆是以,PA PB 为腰的等腰三角形，求m 的值. 【答案】（1）8AB =（2）1m =- 【解析】 【分析】（1）将直线方程和抛物线方程联立，求出12x x +，利用弦长公式12AB x x p =++即可求出结果；（2）将直线方程和抛物线方程联立，求出AB 的中点为M 的坐标，利用PM AB ⊥，斜率乘积为-1，列方程求解即可．【详解】解（1）设()()1122,,,A x y B x y 联立214y x y x=-⎧⎨=⎩，得2610x x -+= 则126x x +=， 则1262822p pAB AF BF x x =+=+++=+=. （2）设()()1122,,,A x y B x y ，AB 的中点为M 联立24y x m y x=+⎧⎨=⎩，得2440y y m -+= 则124y y +=，则1222M y y y +== 则(2,2)M m -.又PAB ∆是以,PA PB 为腰的等腰三角形 ∴PM AB ⊥ ∴1PM AB k k ⋅=- ∴4113m⨯=--+∴1m =-.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，灵活运用韦达定理，将形成等腰三角转化为斜率乘积为-1，是中档题．19.已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 且不与x 轴垂直的动直线l 与椭圆交于,M N 两点，点P 是椭圆C 右准线上一点，连结,PM PN ，当点P 为右准线与x 轴交点时，有2122PF F F =. （1）求椭圆C 的离心率；（2）当点P 的坐标为(2,1)时，求直线PM 与直线PN 的斜率之和.【答案】（1）2e =（2）2 【解析】【分析】（1）由2122PF F F =，建立关于,a c 的关系式，变形即可求出离心率；（2）先根据点P 的坐标求出椭圆方程，设出直线l 与椭圆联立，利用韦达定理和斜率公式，计算PM PN k k +，整理可得结果．【详解】解（1）由已知当P 为右准线与x 轴交点时，有2122PF F F =∴222a c c c ⎛⎫-=⎪⎝⎭∴222c a =∴212e = 又(0,1)e ∈，∴2e =. （2）∵(2,1)P ，∴22ac=又222a c =，∴2221a c ⎧=⎨=⎩，∴21b =∴椭圆22:12x C y +=.设直线l ：(1)y k x =-，()()1122,,,M x y N x y联立22(1)22y k x x y =-⎧⎨+=⎩，得()2222124220k x k x k +-+-= 则22121222422,1212k k x x x x k k -+==++， ∴()()121212121111112222PM PN k x k x y y k k x x x x ------++=+----=()()1212212122k x k k x k x x --+--+=+--121211112(1)2222k k k k k k x x x x ⎛⎫--=+++=+-+ ⎪----⎝⎭()()121242(1)22x x k k x x ⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪--⎝⎭()12121242(1)24x x k k x x x x ⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪-++⎝⎭将22121222422,1212k k x x x x k k-+==++代入得 ()12121242(1)2(1)(2)224PM PN x x k k k k k k x x x x ⎛⎫+-+=+-=+-⨯-= ⎪ ⎪-++⎝⎭.∴直线PM 与直线PN 的斜率之和为2.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，利用韦达定理和斜率公式对式子进行变形计算，对学生计算能力要求较高，难度比较大．20.如图，马路l 南边有一小池塘，池塘岸MN 长40米，池塘的最远端O 到l 的距离为400米，且池塘的边界为抛物线型，现要在池塘的周边建一个等腰梯形的环池塘小路,,AB BC CD ，且,,AB BC CD 均与小池塘岸线相切，记BAD θ∠=.（1）求小路的总长，用θ表示；（2）若在小路与小池塘之间（图中阴影区域）铺上草坪，求所需铺草坪面积最小时，tan θ的值.【答案】（1）tan 800(0tan 40)2sin AB BC CD θθθ++=+<<（2）当tan 202θ=时，所需铺草坪面积最小 【解析】 【分析】（1）建立合适的平面直角坐标系，求出小池塘的边界抛物线方程，然后设出直线AB 的方程，和抛物线联立，可求出切点坐标， 同时可求出,B C 的坐标，表示出AB BC CD ++，变形即可得结果；（2）要所需铺草坪面积最小，需要梯形面积最小，利用（1）的结果表示出梯形面积，利用基本不等式求出最值．【详解】解：（1）以O 为原点，BC 所在直线为x 轴，过点O 作垂直于x 轴的直线为y 轴，建立直角坐标系，所以(20,400),(20,400)M N -，因为小池塘的边界为抛物线型，设边界所在的抛物线方程为22(0)x py p =>， 因为(20,400)M -是曲线上一点， 所以12p =，即抛物线方程为2y x .设AB 所在的直线方程：(tan )y kx t k θ=+=，联立2y kx t y x=+⎧⎨=⎩，即20x kx t --=， 因为AB 与抛物线相切， 所以240k t ∆=+=①. 记直线AB 与抛物线切于点Q ， 所以Q 点的横坐标为(0,20)2k∈，即(0,40)k ∈. 易得点,0t B k ⎛⎫-⎪⎝⎭，点400,400t A k -⎛⎫ ⎪⎝⎭，由对称性可知,0t C k ⎛⎫⎪⎝⎭，点400,400t D k -⎛⎫- ⎪⎝⎭.所以小路总长为2240022400t AB BC CD k k ⎛⎫++=-++ ⎪⎝⎭由①及tan θk可知tan 800(0tan 40t 2an in )2s AB BC CD θθθθ++=+=+<<； （2）记草坪面积为S ，梯形面积为1S ，小池塘面积为2S ，所以12S S S =-，因为小池塘面积2S 为定值，要使得草坪面积最小，则梯形面积最小111400()400240022t t S BC AD k k -⎛⎫=+⋅=⋅-+⋅ ⎪⎝⎭，由①知1800200S k k ⎛⎫=+≥⎪⎝⎭(0,40)k =”取得“＝”所以当tan θ=【点睛】本题考查抛物线的应用，建立适当坐标系，将长度，面积问题的计算都转化为坐标运算，是中档题．21.已知椭圆222:1(3x y C a a +=>的焦距为2，,A B 分别为椭圆C 的左、右顶点，,M N 为椭圆C 上的两点（异于,A B ），连结,,AM BN MN ，且BN 斜率是AM 斜率的3倍. （1）求椭圆C 的方程； （2）证明：直线MN 恒过定点.【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）根据题目条件列出关于,,a b c 的方程，解出即可；（2）设出直线,AM AN ，和椭圆联立，利用韦达定理，求出,M N 的坐标，利用点斜式写出直线MN 的方程，观察直线，得出直线恒过定点．【详解】解：（1）因为22223c a c =⎧⎨=+⎩所以21a c =⎧⎨=⎩，即椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）设()()1122,,,M x y N x y ，直线:(2)AM y k x =+，22(2)34120y k x x y =+⎧⎨+-=⎩，即()2222341616120k x k x k +++-=， 所以221122161216,3434A A k k x x x x k k--⋅=+=++， 所以2126834k x k-=+，代入直线:(2)AM y k x =+，得21234k y k =+， 所以点2226812,3434k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 设直线:3(2)BN y k x =-，223(2)34120y k x x y =-⎧⎨+-=⎩，即()2222112484840k x k x k +-+-= 所以22222248448112112B B k k x x x x k k-⋅=+=++， 所以222242112k x k -=+，代入直线:3(2)BN y k x =-，得212112k y k -=+ 所以点22224212,112112k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 当MN 斜率不存在时，22226824234112k k k k--=++， 解得214k =，此时121x x ==，直线MN 过点(1,0)； 当MN 斜率存在时， 所以22222221212434112682421434112MN k k k k k k k k k k k +++==----++， 直线22222468124:(1)14343414k k k k MN y x x k k k k⎛⎫-=-+=- ⎪-++-⎝⎭， 所以直线恒过定点(1,0)．【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，利用韦达定理和点斜式方程，求出直线过定点，对学生计算能力要求较高，难度比较大．22.已知椭圆2222:1(0)y x C a b a b +=>>经过点，(0,1)F 是C 的一个焦点，过F 点的动直线l 交椭圆于,A B 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在定点M （异于点F ），对任意的动直线l （斜率存在）都有0MA MB k k +=，若存在求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212y x +=（2）存在这样的定点M ，坐标为()0,2，详见解析 【解析】【分析】（1）根据题目条件列出关于,,a b c 的方程，解出即可；（2）设出点,,M A B ，联立直线l 和椭圆C ，将0MA MB k k +=用韦达定理和斜率公式变形整理，利用恒成立的意义，即可求出点M 的坐标． 【详解】解（1）由题意得2222211121c a b a b c =⎧⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩， 所以1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 即椭圆C 的方程为：2212y x +=. （2）假设存在这样的点M ，设点()00,M x y ，点()()1122,,,A x y B x y ，设直线:1l y kx =+，联立221220y kx y x =+⎧⎨+-=⎩，消去y 得()222210k x kx ++-=， 所以12122221,22k x x x x k k --+=⋅=++.因为010201020MA MB y y y y k k x x x x --+=+=--， ()()()()010022010y y x x y y x x ∴--+--=，()000120121212()20y x y x x x y y y x y x ∴-+-+++=，()()()()00120111221022011y x y x x x k x x kx x kx x ⎡⎤∴-+-++++++⎦=⎣， ()()00000121222120y x x y x k x x kx x ∴--+-++=，()000002221222022k y x k k y x x k k +-∴-+-=++ 整理得：()2000000224440x y k y k x y x +-+-=.因为任意的直线l （斜率存在）都成立，所以00000020240440x y y x y x =⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，解得0002x y =⎧⎨=⎩， 所以存在这样的定点M ，坐标为()0,2.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，利用韦达定理和斜率公式对条件等式变形，对学生计算能力要求较高，难度比较大．。
江苏省如皋中学2020-2021学年高二上学期第一次阶段检测数学试题 Word版含答案
姓名，年级：时间：江苏省如皋中学2020～2021学年度第一学期第一次阶段检测 高二数学一、单选题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．命题“20,22x x ∀≥-≤”的否定为 ( )A ．20,22x x ∀≥->B ．20,22x x ∃≥->C ．20,22x x ∀<->D ．20,22x x ∃<->2．已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>以椭圆222:143x y C +=的焦点为顶点，左右顶点为焦点,则双曲线1C 的渐近线方程为 （ ）A 。
30x y ±= B. 30x y ±= C. 230x y ±= D 。
320x y ±=3．如图，在平行六面体1111ABCD A BC D -中，E 为11A D 的中点,设AB=a ,AD b =,1AA =c ，则CE= ( )A ．12a b c +-B ．12a b c -+C ．12a b c --D ．1-2a b c -+4．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为265y x =±,且过点()5,32，则其焦距为 （ ) A.7 B 。
72C 。
1 D. 125．已知命题:p “x R ∃∈，使得210mx mx m ++-≥”为假命题,:q 0m <，则命题p 是命题q 的 条件。
( ）A 。
充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要6．设双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为5．P是C 上一点,且12F P F P ⊥．若△12PF F 的面积为4，则a = （ ） A 。
1 B. 2 C 。
江苏省如皋中学2020-2021学年高二上学期第二次阶段考试数学试卷 PDF版含答案
时，得 M (− 4 , 0, 8) ，所以 MB = ( 4 ,3, − 8) ，设平面 BDM 的法向量 n = (x, y, z) ，则
33
33
6y = 0
4 3
x
+
3
y
−
8 3
z
=
0
，得
y
=
0
，
令 x = 2 ，则 z = 1，所以平面 BDM 的一个法向量 n = (2, 0,1) ，
x10−2r
∴ CC11rr00
210−r 210−r
C1r0−1 C1r0+1
210−r+1 210−r−1
,得 C2C1r01r02CC11rr00+−11
,即
11 − r 2(r + 1)
2r 10
−
r
∴ 8 r 11 ,∴ r = 3 ,故系数的绝对值最大的是第 4 项
② (2x − 1 )10 的展开式中第 6 项的二项式系数最大, x
即 T6
= T5+1
= C150
(2x)5
(−
1)5 x
=
−8064 ．……………………………6
分
③设第 r + 1项的系数的绝对值最大,
则 Tr+1
= C1r0
(2x)10−r
(− 1)r x
= (−1)r
C1r0
210−r
16． 已知点 F1 是椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1( a
b
0) 的左焦点，过原点作直线 l 交椭圆于 A, B 两点，
M , N 分别是 AF1 ， BF1 的中点，若存在以 MN 为直径的圆过原点，则椭圆的离心率的
江苏省如皋市2020届高三10月教学质量调研数学文试题及答案
江苏省如皋市2020届高三数学10月教学质量调研试题 文一、填空题 本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案直接填写在答題卡相应位 位置上1.已知集合{(3)0},{1,0,1,2,3}A x x x B =-<=-，则A B =I _________ .2.已知,x y R ∈,则“1a =”是直线10ax y +-=与直线10x ay ++=平行的 条件（从“充分不必要"、“必要不充分”、“充分必耍”、“既不充分也不必要“中选择恰当的一个填空）.3.函数y =的定义域为4.若不等式210ax ax ++>的解集为R ，则实数a 的取值范围为 ・5.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22143x y -=的焦点到渐近线的距离是 ________________ . 6.设变量x y 、满足约束务件2211x y x y x y -≤⎧⎪-≥-⎨⎪+≥⎩，则23z x y =+的最大值为 .8.已如a R ∈，设函数()ln f x ax x =-的图像在点(1,(1))f 处的切线为l ,则直线l 在y9.已知点F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A 为右顶点，点P 是椭圆上一点， PF x ⊥轴，若14PF AF =，则该椭圆的离心率为 ____________ 10.已知函数22,1()1,1ax x x f x ax x ⎧+≤=⎨-+>⎩在R 上为单调増函数，则实数a 的取值范围为 .11.设函数()2x x f x e e x -=--，则不等式2(21)()0f x f x -+≤的解集为 .12.在平面直角坐标系xOy 中，AB 是圆22:(2)(2)4C x y -+-=的弦，且AB =若存在线段AB 的中点P ，使得点P 关于x 轴对称的点Q 在直线30kx y ++=上,则实数k 的取值范范围是 .13.已知,a b R +∈,且(2)7a b b ++=, 则32ab a b ++的最小值为 。
江苏省如皋市2021-2022学年高二上学期期初调研模拟测试数学试题答案
−
2 3
AB)
=
1 2
AB·AD
−
2 3
2
AB
+
1 2
2
AD
−
2 3
AB·AD
=−
1 6
×
3
−
2 3
×
9
+
1 2
×
4
=−
9，
2
∴
cos
<
AC,EF
>=
AC⋅EF |AC|⋅|EF|
=−
3 57 38
.
∴
EF和AC夹角的余弦值为−
3 57．
38
19. 解：(1) ∵ (b − a)(sinB + sinA) = c( 3sinB − sinC)，
B
A
C
C
B
A
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有项选错得 0 分.
题号
9
10
11
12
答案
CD
BD
BD
ACD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 3 4i
14. 1 3 24
∴由正弦定理可得：(b − a)(b + a) = c( 3b − c)，
即b2 + c2 − a2 = 3bc，
∴ cosA = b2+c2−a2 = 3bc = 3，
2bc
2bc 2
∵ 0 < A < π，
∴ A = π．
6
2022-2023学年江苏省南通市如皋市高二上学期期初调研数学试题(解析版)
2022-2023学年江苏省南通市如皋市高二上学期期初调研数学试题一、单选题 1．已知i2i iz z +=-（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．43i 55+B ．34i 55-C ．34i 55+D ．43i 55【答案】D【分析】利用复数的乘除运算求复数，再由共轭复数的概念写出z . 【详解】由题设2i 2i 2i 2i 2z z z +=-=+，则(2i 1)i 2z -=-， 所以i 2(i 2)(2i 1)43i 2i 1(2i 1)(2i 1)5z --++===--+，故43i5z -=. 故选：D2．已知α，β表示两个平面，m ，n 表示两条直线，以下命题中正确的选项是（ ）. A ．若m α⊂，n β⊂，αβ⊥，则m n ⊥ B ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αC ．若m α⊂，n ⊂α，//m β，βn//，则//αβD ．若//αβ，m α⊂，则//m β 【答案】D【详解】根据线线、线面、面面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【分析】对于A ，若m α⊂，n β⊂，αβ⊥，则 m 与n 可能平行、相交或异面，故A 错误；对于B ，若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n ⊂α，故B 错误；对于C ，若m α⊂，n ⊂α，//m β，βn//，还需要条件m 与n 相交才能得到//αβ，故C 错误；对于D ，若//αβ，m α⊂，由面面平行的性质定理可得//m β ，故D 正确. 故选：D3．陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一.如图，一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底圆柱，其中总高度为10cm ，圆柱部分高度为7cm ，已知陀螺的总体积为3120cm ，则此陀螺圆柱底面的面积为（ ）A ．210cmB ．215cmC ．216cmD ．220cm【答案】B【分析】由13V V V Sh Sh =+=+柱锥柱锥，代入求解即可【详解】由题，圆锥部分高度为3cm ，故13V V V Sh Sh =+=+柱锥柱锥，即1120733S ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，可解得215cm S =， 故选：B4．已知直线:(2)1(R)=-+∈l y k x k 上存在一点P ，满足||1OP =，其中O 为坐标原点.则实数k 的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【分析】由已知可得原点O 到直线l 的距离的最大值为1，利用点到直线的距离公式可得关于k 的不等式，即可求解k 的范围.【详解】因为直线:(2)1(R)=-+∈l y k x k 上存在一点P ，使得||1OP =， 所以原点O 到直线l 的距离的最大值为1，即22111k k -+≤+，解得：403k ≤≤， 即k 的取值范围是40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：C5．如图，O 是△ABC 的重心，D 是边BC 上一点，且3BD DC =，OD AB AC λμ=+，则λμ=（ ）A ．15-B ．14-C ．15D ．14【分析】如图，延长AO 交BC 于E ，由向量的加法运算结合平面向量基本定理将OD 用AB ，AC 表示，可求出,λμ的值，即可求出λμ的值. 【详解】如图，延长AO 交BC 于E ，由已知O 为△ABC 的重心， 则点E 为BC 的中点，且()122AO OE AE AB AC ==+，由BD =3DC ，得：D 是BC 的四等分点， 则()()1111134324OD OE ED AE BC AB AC AC AB =+=+=⨯++- 151212AB AC =-+，所以15,1212λμ=-=，所以15λμ=-. 故选A ．6．在平面中，过定点()2,1P 作一直线交x 轴正半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，OAB 面积的最小值为（ ） A ．2 B ．22C ．4 D ．42【答案】C【分析】设直线AB 的截距式，再根据面积公式结合基本不等式求解最小值即可 【详解】易得直线AB 不经过原点，故设直线AB 的方程为1(0,0)x ya b a b+=>>，因为直线AB 过定点()2,1P ，故211a b +=，所以21212212a b a b ab=+≥⋅=22,8ab ab ≥.当4,2a b ==时等号成立 故142OABSab =≥ 故选：C7．设316sin 62a ︒︒=-，22tan 271tan 27b ︒︒=-，1cos1102c ︒-=，则有（ ）. A ．c b a << B ．a b c << C ．a c b << D ．b c a <<【分析】先利用辅助角公式和二倍角公式化简a ，b ，c ，再进行比较. 【详解】解：由题意得：31cos 6sin 6sin(606)sin 5422︒︒︒︒︒=-=-=a ， 22tan 27tan 541tan 27b ︒︒==-︒，1cos 110sin 552c ︒-︒==， tan 54tan 451︒︒>=，sin 54sin 551︒︒<<，a cb ∴<<，故选：C8．在ABC 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是（ ） A ．[5,3]- B ．[3,5]-C ．[6,4]-D ．[4,6]-【答案】D【分析】依题意建立平面直角坐标系，设()cos ,sin P θθ，表示出PA ，PB ，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则()0,0C ，()3,0A ，()0,4B ，因为1PC =，所以P 在以C 为圆心，1为半径的圆上运动， 设()cos ,sin P θθ，[]0,2θπ∈，所以()3cos ,sin PA θθ=--，()cos ,4sin PB θθ=--， 所以()()()()cos 3cos 4sin sin PA PB θθθθ⋅=-⨯-+-⨯-13cos 4sin θθ=--()15sin θϕ=-+，其中3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=，因为()1sin 1θϕ-≤+≤，所以()415sin 6θϕ-≤-+≤，即[]4,6PA PB ⋅∈-； 故选：D二、多选题9．2020年3月6日，在新加坡举行的世界大学生辩论赛中，中国选手以总分230.51分获得冠军.辩论赛有7位评委进行评分，首先这7位评委给出某对选手的原始分数，评定该队选手的成绩时从7个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到5个有效评分，则5个有效评分与7个原始评分相比，可能变化的数字特征是（ ） A ．中位数 B ．平均数 C ．方差 D ．极差【答案】BCD【解析】由中位数、平均数、方差、极差的概念逐项判断即可得解.【详解】因为5个有效评分是7个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分， 所以中位数不变，平均数、方差、极差可能发生变化， 所以可能变化的数字特征是平均数、方差、极差. 故选：BCD.【点睛】本题考查了样本数字特征的辨析，牢记知识点是解题关键，属于基础题.10．已知圆221:230O x y x +--=和圆222:210O x y y +--=的交点为A ，B ，则（ ）. A ．两圆的圆心距122O O = B ．直线AB 的方程为10x y -+=C ．圆2O 上存在两点P 和Q 使得||||PQ AB >D ．圆1O 上的点到直线AB 的最大距离为2【答案】BD【分析】由圆的一般方程，采用配方法，整理标准方程，可得圆的圆心坐标和半径，根据两点距离公式，公共弦求解方法（一般方程作差），圆的性质，直线与圆的位置关系，逐一验证，可得答案.【详解】由圆221:230O x y x +--=和圆222:210O x y y +--=，则圆1O 的圆心坐标为(1,0)和半径为2，圆2O 的圆心坐标(0,1)，对于A ，因为两个圆相交，所以两圆的圆心距12||O O A 错误；对于B ，将两圆方程作差可得2220x y -+-=，即得公共弦AB 的方程为10x y -+=，故B 正确；对于C ，直线AB 经过圆2O 的圆心坐标(0,1)，所以线段AB 是圆2O 的直径，故圆2O 中不存在比AB 长的弦，故C 错误；对于D ，圆1O 的圆心坐标为(1,0)，半径为2，圆心到直线AB ：10x y -+=的距离为=1O 上的点到直线AB 的最大距离为2D 正确． 故选：BD11．抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一枚骰子出现的点数小于3”为事件A ，“第二枚骰子出现的点数不小于3”为事件B ，则下列结论中正确的是（ ） A ．事件A 与事件B 互为对立事件 B ．事件A 与事件B 相互独立 C ．()()2P B P A = D ．()()1P A P B += 【答案】BCD【分析】利用对立事件的意义判断A ；利用相互独立事件的定义判断B ；由事件A ，B 的概率计算判断C ，D 作答.【详解】依题意，第一枚骰子出现的点数小于3与第二枚骰子出现的点数不小于3可以同时发生，即事件A 与事件B 不互斥，则事件A 与事件B 不是对立事件，A 不正确； 显然有()()2142,6363P A P B ====，抛掷两枚质地均匀的骰子的试验的所有结果：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2), (2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5), (4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)，共36个，它们等可能，事件AB 所含的结果有：(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)，共8个，显然2()2()3P B P A ==，12()()133P A P B +=+=，C ，D 都正确. 故选：BCD12．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，已知点P 在面对角线AC 上运动，点E ，F ，G 分别为11A D ，11A B ，1BB 的中点，点M 是该正方体表面及其内部的一动点，且//BM 平面1AD C ，则下列选项正确的是（ ） A ．1//D P 平面11A BC B ．平面1PDB 平面11A BCC ．过E ，F ，G 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -D ．动点M 的轨迹所形成区域的面积是【答案】ABD【分析】对A,根据面面平行即可判断线面平行，对B ，由线线垂直可证线面垂直，进而可得面面垂直,对C ，由正方体的特征可得截面为正六边形，即可求面积，对D,由面面平行可得点M 的运动轨迹，进而可求面积.【详解】对于A,在正方体中，由11//,AD BC 1AD ⊄平面11A BC ，1BC ⊂平面11A BC ，1//AD 平面11A BC ，同理11//AC A C 可得//AC 平面11A BC ，又1ACAD A =，所以平面1//ACD 平面11A BC ,而1D P ⊂平面1ACD ,故1//D P 平面11A BC ，故A 对,对于B,因为1111,,B C BC CD BC CD B C C ⊥⊥⋂=,所以1BC ⊥平面1B CD ,又1DB ⊂平面1B CD ,因此11BC B D ⊥,同理可得111AC B D ⊥,又1111A C BC C ,故1DB ⊥平面11A BC ,因为1DB ⊂平面1PDB ，故平面1PDB 平面11A BC ，所以B 对，对于C,可知过,,E F G 三点平面截正方体所得的截面为正六边形EFGNQH ,且正六边形的变长为12AC =所以截面正六边形的面积为26C 错，对于D,由A 知，平面1//ACD 平面11A BC ，又//BM 平面1AD C ，故可知BM ⊂平面11A BC ，因此M 在三角形11A BC 边上以及内部运动，而三角形11A BC 是边长为故面积为()2322=234⨯，故D 对，故选：ABD三、填空题13．直线1:10l ax y +-=，2:(1)210l a x y --+=，若12l l ⊥，则=a ______. 【答案】2或1-【分析】根据两条直线相互垂直列方程，从而求得a 的值. 【详解】由12l l ⊥得(1)20a a --=，得2a =或1a =-. 故答案为：2或1-143y 轴交于点A ，与圆()2211x y +-=相切于点B ，则AB =____________．3【分析】设直线AB 的方程为3y x b =+，则点()0,A b ，利用直线AB 与圆()2211x y +-=相切求出b 的值，求出AC ，利用勾股定理可求得AB . 【详解】设直线AB 的方程为3y x b =+，则点()0,A b ，由于直线AB 与圆()2211x y +-=相切，且圆心为()0,1C ，半径为1，则112b -=，解得1b =-或3b =，所以2AC =， 因为1BC =，故223AB AC BC =-=15．正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，侧棱长为23，则1AC 与侧面11ABB A 所成角的正弦值为______． 【答案】34【分析】作图，考虑底面是正三角形，按照线面夹角的定义构造直角三角形即可. 【详解】依题意，作图如下，取11A B 的中点G ，连结1C G ，∵111A B C △是正三角形，∴111C G A B ⊥，13GC =又∵111ABC A B C -是正三棱柱，∴1AA ⊥底面111A B C ，∴11AA C G ⊥， 即1C G ⊥平面11ABB A ，12AGC π∠=，1AC 与平面11ABB A 的夹角=1GAC ∠，2211114AC AA AC =+= 在1Rt AGC 中，111sin GC GAC AC ∠=3=， 316．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2AB ＝4，E 是AD 的中点，将,ABE CDE 分别沿BE ，CE 折起，使得平面ABE ⊥平面BCE ，平面CDE ⊥平面BCE ，则所得几何体ABCDE 的外接球的体积为______．【答案】323π 【分析】作出图形，确定几何体ABCDE 的外接球的球心的位置，结合球的体积公式即可求解【详解】由题可得,,ABE CDE BEC △△△均为等腰直角三角形，如图，设,,BE EC BC 的中点为,,M N O ，连接,,,,,,AM OM AO DN NO DO OE ，则,OM BE ON CE ⊥⊥， 因为平面ABE ⊥平面BCE ，平面CDE ⊥平面BCE ， 所以OM ⊥平面,ABE ON ⊥平面DEC ， 易得2OA OB OC OD OE =====，则几何体ABCDE 的外接球的球心为O ，半径2R =， 所以几何体ABCDE 的外接球的体积为3432ππ33V R ==． 故答案为：32π3四、解答题17．在①高一或高二学生的概率为1114；②高二或高三学生的概率为47；③高三学生的概率为314这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答. 已知某高中的高一有学生600人，高二有学生500人，高三有学生a 人，若从所有学生(1)求a 的值；(2)若按照高一和高三学生人数的比例情况，从高一和高三的所有学生中随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人是高三学生的概率.【答案】(1)300 (2)35【分析】（1）若选①，则由题意可得6005001160050014a +=++，从而可求出a 的值，若选②，则由题意可得50046005007a a +=++，从而可求出a 的值，若选③，则由题意可得360050014a a =++，从而可求出a 的值， （2）根据分层抽样的定义可求得抽取的6人中，高一有4人，高三有2人，然后利用列举法列出这6人中任取2人的所有情况，再找出抽取的2人中至少有1人是高三学生的情况，最后利用古典概型的概率公式求解即可【详解】(1)选①.依题意，从所有学生中随机抽取1人，抽到高一或高二学生的概率为600500110011600500110014a a +==+++，解得300a =，所以a 的值为300. 选②.依题意，从所有学生中随机抽取1人，抽到高一或高三学生的概率为500500460050011007a a a a ++==+++，解得300a =，所以a 的值为300. 选③.依题意，从所有学生中随机抽取1人，抽到高三学生的概率为360050014a a =++，解得300a =，所以a 的值为300.(2)第一步：求出抽取的6人中高一､高三学生的人数由（1）知，高一､高三学生人数比为2：1，所以抽取的6人中，高一有4人，高三有2人.第二步：列出从抽取的6人中任取2人的所有情况高一的4人记为a ，b ，c ，d ，高三的2人记为A ，B ，则从这6人中任取2人的所有情况为{a ，b }，{a ，c }，{a ，d }，{a ，A }，{a ，B }，{b ，c }，{b ，d }，{b ，A }，{b ，B }，{c ，d }，{c ，A }，{c ，B }，{d ，A }，{d ，B }，{A ，B }，共15种.第三步：列出至少有1人是高三学生的情况抽取的2人中至少有1人是高三学生的情况有{a ，A }，{a ，B }，{b ，A }，{b ，B }，{c ，A }，{c ，B }，{d ，A }，{d ，B }，{A ，B }，共9种.第四步：根据古典概型的概率公式得解至少有1人是高三学生的概率为93155=. 18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆22:1214600M x y x y +--+=及其上一点(2,4)A ．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程．【答案】(1)22(6)(1)1x y -+-=(2)250x y -+=或2150x y --=【分析】（1）设(6,)N n ，则圆N 为：222(6)()x y n n -+-=，0n >，从而得到|7|||5n n -=+，由此能求出圆N 的标准方程．（2）由题意得5OA =2OA k =，设:2l y x b =+，则圆心M 到直线l 的距离：5d ，由此能求出直线l 的方程． 【详解】(1)解： N 在直线6x =上，∴设(6,)N n ，圆N 与x 轴相切，∴圆N 为：222(6)()x y n n -+-=，0n >，又圆N 与圆M 外切，圆22:1214600M x y x y +--+=，即圆22:(6)(7)25M x y -+-=，圆心()6,7M ，半径=5r ；|7|||5n n ∴-=+，解得1n =，∴圆N 的标准方程为22(6)(1)1x y -+-=．(2)解：由题意得25OA =2OA k =，设:2l y x b =+，则圆心M 到直线l 的距离：5d =，则||BC =BC = 解得5b =或15b =-，∴直线l 的方程为：25y x =+或215y x =-． 19．设函数()sin(2)sin(2).63f x x x ππ=-++ (1)当50,8π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，求()f x 的取值范围； (2)若(,)6παπ∈，且1()22f α=，求sin(2)6πα+的值.【答案】(1)[(2)【分析】（1）利用诱导公式和两角和或差的三角函数公式对函数解析式化简整理，即可求解；（2）根据已知求得sin()12πα+=讨论角的范围得cos()12πα+=利用二倍角公式求解即可.【详解】(1)()sin (2)sin (2)63ππ=-++f x x x sin (2)cos (2)623x x πππ⎡⎤=-+-+⎢⎥⎣⎦ sin (2)cos (2)66x x ππ=-+-)12x π+， 因为5[0,]8x π∈，所以42[,]12123x πππ+∈，所以()f x 的取值范围为[ (2)由1()22f α=，1)122πα+=，sin()12πα∴+=， (,)6παπ∈， 13(,)12412ππαπ∴+∈，又sin()12πα+=，(,)122ππαπ∴+∈，cos()12πα∴+=，sin(2)2sin()cos()2(61212πππααα∴+=++== 20．在ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且22222.a c b +=(1)证明：sin cos 3sin cos B C C B =；(2)求B C -最大值.【答案】(1)证明见解析 (2).6π 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理将边化为角即可证明，（2）由（1）化简得出tan B 和tan C 的关系，再代入两角差的正切公式，利用基本不等式求出最大值．【详解】(1)证明：∵在ABC 中，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，∴222222(2cos )+=+-a c a c ac B ，∴4cos a c B =，sin 4sin cos A C B ∴=，sin()4sin cos B C C B ∴+=，sin cos sin cos 4sin cos B C C B C B ∴+=，sin cos 3sin cos B C C B ∴=；(2)解：由（1）可知sin cos 3sin cos B C C B =，则tan 3tan B C =，故可得tan 0C >，tan 0B >，tan tan tan()1tan tan B C B C B C -∴-=+223tan tan 2tan 13tan 13tan C C C C C-==++213tan tan C C =≤+ 当且仅当13tan tan C C =，即tan C = 6B C π∴-≤，即B C -的最大值为.6π 所以，B C -最大值为.6π 21．已知直线:(2)(12)630l m x m y m ++-+-=与圆22:40C x y x +-=.(1)求证：直线l 过定点，并求出此定点坐标；(2)设O 为坐标原点，若直线l 与圆C 交于M ，N 两点，且直线OM ，ON 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k +是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．【答案】(1)证明见解析，定点(0,3)(2)是定值，定值为43 【分析】（1）由已知(2)(12)630,m x m y m ++-+-=可得(23)(26)0.x y m x y +-+-+=根据过定点的直线系方程计算方法可得l 恒过定点(0,3).（2）设出直线l 的方程.联立直线与圆的方程，利用韦达定理求解进而即可得结果.【详解】(1)由直线:(2)(12)630l m x m y m ++-+-=得(26)(23)0m x y x y -+++-=，联立260230x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得03x y =⎧⎨=⎩， ∴直线l 恒过定点(0,3).(2)圆22:40C x y x +-=的圆心为()2,0，半径为2，直线l 过点()0,3，直线l 与圆C 交于M ，N 两点，则直线l 的斜率存在，设直线l 方程为3y kx =+，联立22340y kx x y x =+⎧⎨+-=⎩，得22(1)(64)90k x k x ++-+=， 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则122641k x x k -+=-+，12291x x k =+， 12121212121212333()3(46)422.93y y kx kx x x k k k k k x x x x x x +++-+=+=+=+=+= 12k k ∴+是定值，定值为4.322．如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点.(1)证明：OA CD ⊥；(2)若OCD 是边长为2的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =且二面角E BC D --的大小为60，求三棱锥A BCD -的体积.【答案】(1)证明见解析；(2)4.【分析】（1）证明AO ⊥平面BCD ，原题即得证；（2）过点E 作EN AO ∥交BD 于N .过点N 作NM CD ∥交BC 于点M ，连接ME ，求出60EMN ︒∠=，即得三棱锥A BCD -的体积.【详解】(1)证明：∵AB AD =，O 为BD 中点，∴AO BD ⊥，因为AO ⊂平面ABD ，平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ⋂平面BCD BD =， ∴AO ⊥平面BCD ，∵CD ⊂平面BCD ，∴AO CD ⊥.(2)解：过点E 作EN AO ∥交BD 于N .过点N 作NM CD ∥交BC 于点M ，连接ME ， 因为EN AO ∥且由（1）知AO ⊥平面BCD ，所以EN ⊥平面BCD ， ∵BC ⊂平面BCD ，∴EN BC ⊥在△BCD 中，∵OB OD OC ==，∴BC CD ⊥，因为 NM CD ∥，∴MN BC ⊥，∴BC ⊥平面MNE∴BC ME ⊥∴EMN ∠为所求的二面角E BC D --的平面角，∴60EMN ︒∠=，∴3MN EN = ∵2DE AE =，EN AO ∥，∴23EN DN AO DO ==， 因为NM CD ∥，∴4263MN BN CD DB ===， ∵2CD =，∴43MN =.∴433EN =，∴23=OA . ∴1sin 2BCD S BD CD BDC =⋅⋅∠13422322=⋅⋅⋅= ∴1232343A BCD V -=⋅⋅=.。