材料力学第十二章分解
材料力学课件第12-14章
12.3 构件受冲击时的动应力计算
讨论
Kd (1 1 2h ) st
1. 只要求是线弹性结构。
２.适用于整个结构。
３. 重要问题是理解st 及计算。 4 . 突加载荷, h=0, Kd=2
18
12.3 构件受冲击时的动应力计算
2. 水平冲击
d
Fd
v
T V Ud V 0
T 1 G v2 2g
第十三章 交变应力
34
第十三章 交 变 应 力
§13.1 概述 §13.2 交变应力的有关参数 §13.3 材料的持久极限 §13.4 构件的持久极限 §13.5 对称循环下构件的疲劳强度计算 §13.6 提高构件疲劳强度的主要措施
35
第十三章 交 变 应 力
§13.6 持久极限曲线及其简化 §13.7 非对称循环下构件的疲劳强度计算 §13.8 弯扭组合交变应力下构件的疲劳强度计算 §13.9 提高构件疲劳强度的主要措施
max st d
当在循环过程中
max, min 保持不变 — 稳定的交变应力
max, min 随时变化 — 不稳定的交变应力
47
13.2 交变应力的有关参数
二、几种典型的交变应力
对称循环
max min
r min 1 max
m 0
o
t a max
48
13.2 交变应力的有关参数
1 2
(1
r ) max
45
13.2 交变应力的有关参数
4. max min 表示法
max m a
min m a
t
max m min a a
46
13.2 交变应力的有关参数
5．关系
浙江工业大学材料力学第12章答案
12.1 图示重物以匀加速度下降，在2.0秒内速度由s m 5.1降至s m 5.0。
设绳的横截面面积为A=10mm 2，求绳内应力。
解：（1）252.05.15.0s m a -=-=，故5.01=+=g a K dMPa A Q K K d st d d 2001040005.0=⋅=⋅=⋅=σσ12.2 图示重物kN Q 40=，用绳索以等加速度25s m a =向上吊起，绳索绕在一重为kN W 0.4=，直径为m D 2.1=的鼓轮上，鼓轮的惯性半径为cm r 45=。
轴的许用应力[]MPa 100=σ，鼓轮轴两端A 、B解：（1）kN Q g a W Q K W F d d 6440105141=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+= m N D a r g W D Q g a I D Q K T d d ⋅=+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=366752.11045.01040006.0400001051221222ε m N l F M d d ⋅=⋅⋅==1600016400025.041max , []σπσ≤+=+=32366750001600000032222max ,3d WT M d d rmm d 7.159≥，取[]mm d 160=12.3 如图所示，重N 300法兰从高度为h 处自由下落，冲击到杆ABC 的下端C 平台，杆能承受的最大应力为MPa 200，求h 的最大允许高度。
假定杆的弹性模量为E 200=解：mm EA Ql EA Ql l 00663.030440410200200030022321=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⨯⋅=+=∆ππ MPa K st d d 200==σσ24.4713043002002112112=⋅⋅==∆++=∆++=πσσst d st d l h h K mm h 2.733=12.4 如图所示，重N 100物体从mm h 500=位置自由下落到铝制梁AB 上的C 点，求截面C 的位移和梁上的最大应力。
范钦珊版材料力学习题全解 第12章 简单的静不定系统
（a）
（b） 习题 12－4 图
（A） FQA = FQB = 0 ， FNA = FNB = 0 ， M A = M B = 3( M / 3) ； （B）需解超静定才能确定； （C） FQA = FQB = 0 ， FNA
= FNB = 0 ，MA 、MB 需解超静定才能确定；
M 。 2
（D） FQA = FQB = FNA = FNB ，但需解超静定才能确定具体数值， M A = M B =
X 1δ11 + X 2δ12 + ∆1FP = 0 ⎫ ⎪ ⎬ X 1δ 21 + X 2δ 22 + ∆2 FP = 0 ⎪ ⎭
（a）
10
(a)
(b) 习题 12－7 (b) 解的图－1
利用图乘法求其中的位移，作用在静定基本系统上的载荷（图 c）以及沿多余约束力 X1 和 X2 方向施加的单位力（图 e 和 g）所产生的弯矩图分别如图 f 和 h 所示。据此，可以求得：
由此解得：
1 5 FP = FP （→） 6 3 10 考虑静定基本系统平衡，得到全部约束力 11 F Ax = FP + FRD = FP （←） 10 FRD =
M A = FP ⋅ l = FP l （逆）
12－7 平面刚架各杆的刚度都相同，所受载荷如图所示。若忽略轴力和剪力影响，试用 图乘法确定其约束力，并画出弯矩图,确定绝对值最大的弯矩值及其所在横截面。
应用卡氏定理，建立变形协调条件 ∆Dx = 0 。
∂M 3 = x3 ∂FRD
∆Dx =
l l ⎤ ∂M 3 ∂M 1 ∂M 2 1 ⎡ l dx1 + ∫ M 2 ( x2 ) dx2 + ∫ M 3 ( x3 ) dx3 ⎥ ⎢ ∫ 0 M 1 ( x1 ) 0 0 ∂FRD ∂FRD ∂FRD EI ⎣ ⎦
材料力学12(1)
（二）斜弯曲时的强度条件 a. 中性轴与z轴的夹角
tan Iz M y 12 1
Iy Mz
以图12-2为例，此时中性轴位置的表达式为：
图12-2
tan
Iz Iy
P sin l P cos l
x x
Iz Iy
tan
12 1
tan
Iz Iy
P sin l P cos l
例3图
例3图
受力简图
解（一）外力分析
将各力向圆轴的 截面形心简化， 画出受力简图。
（二）内力分析
画出内力图如图， 从内力图分析，B截面 为危险截面。B截面上 的内力为：
扭矩： Mn 1KN m
弯矩：
M M
z y
0.364KN 1KN m
m
总弯矩为：
MB
M
2 z
M
2 y
1.06KN
m
i
2 y
ez
12
4
式(12-4)中ay, az为中性轴在直角坐标轴上的截距（图12-3）； ey, ez为偏心力P的作用点的位置（图中E点），iy, iz为惯性半径， 其计算式为：
i
y
Iy A
iz
Iz A
b. 正应力强度条件 最大正应力和最小正应力发生在离中性轴最远的点，危
险点的应力状态是单向应力状态，建立的强度条件为：
若圆杆受扭转与拉伸（压缩）的联合作用，危险点的应
力状态与图12-4相同，只是正应力为
N
N A
，强度条
件用式 (12-6) 和式(12-7)来计算，式中 M以 N 代替。
图12-4 若圆杆受拉伸（压缩）、弯曲和扭转的联合作用，
危险点应力状态还是图12-4所示的单元体，此时正应
材料力学习题(7)第十二章 哈工业大材料力学本科生试卷和课后题目
材料力学习题(7)第十二章哈工业大材料力学本科生试卷和课后题目材料力学习题第12章12-1 一桅杆起重机，起重杆AB的横截面积如图所示。
钢丝绳的横截面面积为10mm2。
起重杆与钢丝的许用力均为[?]?120MPa，试校核二者的强度。
习题2-1图习题12-2图12-2 重物F=130kN悬挂在由两根圆杆组成的吊架上。
AC是钢杆，直径d1=30mm，许用应力[?]st=160MPa。
BC是铝杆，直径d2= 40mm, 许用应力[?]al= 60MPa。
已知ABC为正三角形，试校核吊架的强度。
12-3 图示结构中，钢索BC由一组直径d =2mm的钢丝组成。
若钢丝的许用应力[?]=160MPa,横梁AC单位长度上受均匀分布载荷q =30kN/m作用，试求所需钢丝的根数n。
若将AC改用由两根等边角钢形成的组合杆，角钢的许用应力为[?] =160MPa，试选定所需角钢的型号。
12-4 图示结构中AC为钢杆，横截面面积A1=2cm2；BC杆为铜杆，横截面面积A2=3cm2。
[?]st = 160MPa，[?]cop = 100MPa，试求许用载荷[F]。
习题12-3图习题12-4图12-5 图示结构，杆AB为5号槽钢，许用应力[?] = 160MPa，杆BC为hb= 2的矩形截面木杆，其截面尺寸为b = 5cm, h = 10cm,许用应力[?] = 8MPa，承受载荷F = 128kN，试求：（1）校核结构强度；（2）若要求两杆的应力同时达到各自的许用应力，两杆的截面应取多大？习题12-5图习题12-6图12-6 图示螺栓，拧紧时产生?l = 0.10mm的轴向变形，试求预紧力F，并校核螺栓强度。
已知d1=8mm, d2=6.8mm, d3=7mm, l1=6mm, l2=29mm, l3=8mm; E=210GPa,[?]=500MPa。
12-7 图示传动轴的转速为n=500r/min，主动轮1输入功率P1=368kW，从动轮2和3分别输出功率P2=147kW和P3=221kW。
材料力学 第12章
由静态量与冲击动态量之关系 得杆件变形能为 由能量守恒 于是冲击应力为
静载Q作用于C端，可求得C点的静位移 最大静应力发生在B截面，其表达式为 综合以上结果，可求出B截面处的最大冲击应力为
P=5kN
1m
6m
已知
木柱：E＝10GPa 橡皮：E＝8MPa
计算： 1. 木柱最大正应力？ 2. 在木柱上端垫20mm的橡皮 300mm ，木柱最大正应力为多少？
§12-3 构件受冲击载荷作用时的动应力计算
1. 工程中的冲击问题 锻锤与锻件的撞击，重锤打桩，用铆钉枪进行铆接，高速转 动的飞轮突然刹车等均为冲击问题，其特点是冲击物在极短 瞬间速度剧变为零，被冲击物在此瞬间经受很大的 和
2. 求解冲击问题的能量法
基本假定 ① 不计冲击物的变形；
② 冲击物与构件（被冲击物）接触后无回弹，二者合为一个运动系统； ③ 构件的质量（惯性）与冲击物相比很小，可略去不计，冲击应力 瞬时传遍整个构件； ④ 材料服从虎克定律； ⑤ 冲击过程中，声、热等能量损耗很小，可略去不计。
【解】以叶根为起始点建坐标x。设处横截面的面积为A(x) ，由 于横截面面积沿轴线按线性规律变化，故有：
这个表达式满足 处任取一微段 ，有
该点向心加速度为 惯性力为
截面以上部分杆件的惯性力是
设作用在截面上的轴力为 Nx，由平衡方程
最大轴力发生在叶根横截面上
处任取一微段 ，有 积分可求出叶片的总伸长
解得 从而可求得钢索横截面上的动应力为
其中
是P作为静载荷作用时钢索横 截面上的应力
是动荷系数
ห้องสมุดไป่ตู้
3. 等角速转动构件内的动应力分析
【例13-2】 图中一平均直径为D，壁厚为t的薄壁圆环，绕通过 其圆心且垂直于环平面的轴作均速转动。已知环的角速度 ， 环的横截面积A和材料的容重 ，求此环横截面上的正应力
材料力学第十二章
设 R0 为轴线的曲率半径，e 为截面形心到中性轴的距离，由图 12-2 可 知
e R0 r 将式（12-1）代入式（d），得
（12-3）
M y
E
(d) d
yz dA 0
A
由于 y 轴是横截面的对称轴，有
A
yz
dA
0
所以式（d）便自动满足了。
将式（12-1）代入式（e），得
M
y dA E (d)
若材料的许用拉、压力应分别为[1] 和[ y ]，则曲杆正应力强度条件为
lmax [l ] | ymax | [ y ]
一般来说，由剪力 FS 引起的剪应力很小，可以不予考虑。
例 12-2 起重机吊钩上的载荷 P 100 kN （见图 12-13）。截面 m n 的尺 寸为 b1 40 mm ， b2 60 mm ， h 140 mm ， R1 260 mm ， R2 120 mm 。材 料的许用应力[ ] 160 MPa 。试校核吊钩的强度。
力 FN 叠加，得出截面内侧边缘处的最大拉应力为 A
l
M (R2 r) SR2
FN A
143.5
100 103 7 000 106
MPa
158 MPa
截面外侧边缘处的最大压应力为
y
M (R1 r) SR1
FN A
97.6
100 103 7 000 106
MPa
83.3 MPa
或写为
E y (d) r y d
（b）
由于对任一横截面上的不同点来说，E (d) 及中性层的曲率半径 r 都是常数， d
所以各点的正应力 只与坐标 y 有关。式（b）表明 沿截面高度按双曲线规
律变化（见图 12-3）。
材料力学12 能量法
0 .
二 二 二
.
. ,
_
.
_
.
. . .
,
, .
… … … ’ … … …… … … …… … 二 … 二 …… … … …… … … … … … …
. . 0 . . . .
. .
.
`
.
.
.
…
O
二 二
二
0
、
`
_
丫
, . 仲
f
. .
` 一`
. . .
`
. .
`
.
嘴 、洲 扩言怡尸于下
.
`
0
.
.
.
” ,
的农业 生 产
,
日 本 政 府 运 用 税收和政 策性 补 贴
。
l
仅 仅 你 脚 底下 踩 着 的那 小片地皮就值 1 6 0 即使你 是 个 腰缠 “ 亿 贯的 营 翁 也至多
。 。
段 人 为地限制农 民 出售土 地
政 府规 定
.
公 民 出售
而 农 农
,
包括土地 在 内的 财产
民则 更 优 惠
年 以来
,
日本 全 国 的 平 均 地 价
,
7% ;
而东 京 远 远 高 于全 国
,
上 涨 幅度达 8 5
,
7%
人
亿
涨
.
民宁 可 让 土 地 荒 芜 政策
,
也 不 愿 脱手
东 京 等大 城 市郊
。
区 虽 有 许 多农 地 可 供 售 盖 楼宇
,
但 由 于 日本 政 府 的
,
东京闹市 区又 远 远 高 于 全 东 京
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Kg
y
Fc
g
sinwt
y
y. .y.
PP P
K(st+y)
P
Pcg y.y. .
Fcsinwt
§13-3 强迫振动时的应力计算
一、单自由度弹性体强迫振动引例
2．系统参数：
1)固有频
率w0：
w0
g
st
Kg P
2)阻尼系 数n：
n
gc 2P
3．振动物体的微分方程：y..
2n
.
y
w02
y
Fc g P
sinwt
4．小阻尼条件下(n< w0)，方程通解为：
y Aent sin( w02 n2t ) Bsin(w t e )
eBaPFrwcc gt02anw1202nwww
/w0
2
2
2
1
4n/w0 2 w /w0 2
§13-3 强迫振动时的应力计算
一、单自由度弹性体强迫振动引例
4．小阻尼条件下(n<w0)，方程通解为： 1)通解第一项随时间增加而减小—衰减振动；
4.0
(B)→∞— 共 振 现 象 ， 3.0
产生极大振动应力；
2.0
➢有阻尼存在(n≠0)：
为高峰有g
Axg
g
a
P
Pa g
0
FNd mm
FNd
( Axg
P)(1
a) g
Agx
a x Agx a x
g
d
FNd A
Axg
A
P (1
a) g
st
Axg
A
P
d kd st
P
P
Pg / a
kd
1
a g
§13-2 考虑惯性力时构件的动应力计算
二、匀加速直线运动构件的动应力
2．计算公式：
2)
c
Fc g
Pw02
Fc K
—c是把激振力的最大值Fc以静荷
方式作用在系统中引起的变形。
3)B为强迫振动的振幅：
B c
dmax dmin
st st
B B
—放大系数：
1
1w /w0 2 2 4n/w0 2w /w0 2
§13-3 强迫振动时的应力计算
一、单自由度弹性体强迫振动引例
w
1)ds段惯性力为：
t
ds pi
(FNd )ds
(b
ds
t
g )(
g
Dw2)
2
dj j
DO
2)环壁单位面积惯性力pi：
pi
(FNd )ds bds
tgDw 2
2g
3)圆环的环向应力 qd为：
qd
pi D 2t
g D2 w2
4g
g
v2 g
v Dw / 2 —圆环切向速度
§13-2 考虑惯性力时构件的动应力计算
第十三章 动应力
• §13-1 概 述 • §13-2 考虑惯性力时构件的动应力计算 • §13-3 强迫振动时的应力计算 • §13-4 冲击应力及变形的计算 • §13-5 考虑受冲杆件质量时应力和变形的计算* •小 结
一、动载荷
§13-1 概 述
1．静载荷：载荷缓慢增加，不考虑加速度。 2．动载荷：载荷突然变化，构件有显著加速度。
例13-1 汽轮机叶轮匀速转动，n=3000r/min，叶轮外缘半径
R=103.4cm，叶片长l=3.4cm，截面积A=1.79cm2，叶根截
面积A1=A/2，材料容重g=7.75×10-2N/cm3，求叶根应力。
FNd
qd
解：1)dx微段惯性力：
l
dFd
gAdx
g
(w 2 x)
2)单位长度惯性力：
3．动静法(惯性力法)：
将运动物体等效转变为静止或匀速直线运动 情况，从而将动力学问题转化为静力学问题 的方法。 4．两类问题： 1)匀加速直线运动构件； 2)匀角速转动构件；
§13-2 考虑惯性力时构件的动应力计算
二、匀加速直线运动构件的动应力
1．引例：以加速度a提升重物，绳索横截面面积A，
材料容重g ，计算绳索横截面应力
大切应力准则设计轴的直径。
e
T1 J0e
C A
T1 D
B
P1
P1(1
a g
)
FS
T1 T2 T FS+P2
P1
A
C
B P1g / a
r3
M 2 T 2 [ ] d 160mm
W
1
P2
D
2
2a
2 g 2 D
0.612kN• m
T2
FS
D 2
a 36.24kN• m
M
1 4
(FS
FNd
qd
l
4)FNd在x=R处最大：
FNd max
gAw 2
2g
(2R l)l
R
x
dx
5)叶根部的动应力： d
FNd max A1
gw 2
g
(2R l)l
55.8 MPa
§13-2 考虑惯性力时构件的动应力计算
例13-2 卷扬机以a=5m/s2起吊重物P1=40kN，轴AB长1m，轴中点
C的鼓轮重P2=4kN，直径D=1.2m，材料 [ ]=100MPa，按最
1)动荷系数：
kd
1
a g
kd ：动应力与静应力的比值；
2)动应力： d kd st
3)强度条件：
d kd st [ ] [ ]：静载许用应力
4)动变形： d kdst
§13-2 考虑惯性力时构件的动应力计算
三、匀角速旋转构件的动应力
1．引例：薄圆环直径D，厚度t，垂直纸面宽b，以
匀角速度w绕O点转动，求圆环中的动应力。
3．动(荷)应力：动载荷在构件中产生的应力，当动
应力不超过比例极限时，弹性模量 不变，胡克定律仍适用。
二、三类动荷问题 1．匀加速直线运动或匀角速转动； 2．强迫振动； 3．冲击；
§13-2 考虑惯性力时构件的动应力计算
一、动静法
1．惯性力：| Fi | ma —方向与加速度方向相反 2．惯性力加到物体上等效成平衡无加速度情况；
R x
dx
qd
dFd dx
gAw 2
g
x
3)x截面处轴向力：FNd
Rl
x
qddx
gAw
2g
2
[(R
l )2
x2]
§13-2 考虑惯性力时构件的动应力计算
例13-1 汽轮机叶轮匀速转动，n=3000r/min，叶轮外缘半径
R=103.4cm，叶片长l=3.4cm，截面积A=1.79cm2，叶根截
面积A1=A/2，材料容重g=7.75×10-2N/cm3，求叶根应力。
P2 )l
16.1kN• m
§13-3 强迫振动时的应力计算
一、单自由度弹性体强迫振动引例
强迫振动：构件由外界干扰力引起的振动。
最小位移位置 wt
A
Fc
B
C
st
st
BB
静平衡位置 最大位移位置
l
y
1．动静法列平衡方程：
P g
y. .
c
y.
K (st
y)
P
Fc sinwt
0
PKst
..
y
gc
.
y
5．动应力：
d
(1
c st
)
st
(1
Fc P
)
st
kd
st
kd
1
Fc P
—振动的动荷系数。
6．强度条件：
梁内危险截面上危险点的应力在dmax和dmin之
间作周期性的交替变化，强度条件应按交变应 力处理。
§13-3 强迫振动时的应力计算
二、对放大系数 的讨论
1．w /w0→1时：
5.0
➢无阻尼存在(n=0)：