3导数
课件6：3.2.3 导数的四则运算法则
课堂小结
2．曲线y＝f(x)在点M(x0，f(x0))处的切线方程为y－ f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．若没有给出切点，往往先设切 点为M(x0，f(x0))，再利用导数求斜率及切线方程， 最后根据给定的条件求解问题．
∴－ b－b＋ 2c＝a＝0，0， c－1＝0，
解得ab＝ ＝22， ， c＝1.
∴f(x)＝2x2＋2x＋1.
考点3：求曲线的切线方程
例3：求过点(1，－1)与曲线y＝x3－2x相切的直 线方程． 【解析】解答本题可先设出切点坐标，对函数求 导，写出切线方程；再利用切点在曲线上，切线 过点(1，－1)代入求解．
点 A(0,16)在切线上，则有 16－(x30－3x0)＝3(x20－1)(0－x0)． 化简得 x03＝－8，解得 x0＝－2. 所以切点为 M(－2，－2)， 切线方程为 9x－y＋16＝0.
课堂小结
1．利用公式和求导法则求导数是要注意： (1)在求导之前，先对函数式进行化简，然后再 求导，这样既可减少计算量，也可少出差错． (2)在函数中有两个以上因式连乘时，要注意多 次使用积的求导法则．
一点通：求曲线的切线方程有以下两种情况 (1)求曲线在点P处的切线方程． (2)求过点P与曲线相切的直线方程，这时点P 不一定是切点，也不一定在曲线上，求解步骤为：
题组集训
5．设曲线 y＝xx－＋11在点(3,2)处的切线与直线 ax＋y＋1＝0
垂直，则 a 等于
()
A．2
1 B.2
C．－12
D．－2
3.2.3 导数的四则运算法则
已知函数 f(x)＝1x，g(x)＝x2，那么 f′(x)＝－x12， g′(x)＝2x. 问题 1：如何求 h(x)＝f(x)＋g(x)的导数？
§3导数的运算法则
例8 求函数 y f n[n (sin xn )]的导数. 解 y nf n1[n (sin xn )] f [n (sin xn )]
n n1(sin xn ) (sin xn ) cos xn nxn1 n3 xn1 cos xn f n1[ n (sin xn )]
n1(sin xn ) f [ n(sin xn )](sin xn ).
cos
1
(
1 )
x
xx
1 x2
1 sin
ex
cos
1 x
.
例11：f
x
ln
1 x
ln
1 x
ln
1 x
解：f
'
x
ln
1 x
ln
1 x
ln
1 x
'
1 x
ln
1 1 x
ln
1 x
1 x2
1 x
1 ln
1 x
1 x2
1 x
1 x 1 ln 1
xx
1
x
例１４：幂指数函数求导数
f x u xvx ,u x 0 f x evxlnux
（1）f x x x x x xx
解：
f'
x
x xx xxx
'
x exlnx exx lnx
ln
1 x
1
x
ln
1 x
ln
1 x
例12 求函数 y x x x 的导数.
解 y
1
( x x x )
2 x x x
1
(1 1 ( x x))
2 x x x 2 x x
1
(1 1 (1 1 ))
3导数的几何意义
3导数的几何意义导数的几何意义是描述函数在其中一点上的变化率。
具体来说，导数告诉我们函数在特定点的斜率，也就是函数曲线在这一点处的切线的斜率。
通过导数，我们可以了解函数在不同点上的斜率以及函数的凹凸性，从而得到函数图像的一些几何特征。
对于具体函数f(x)，它在特定点x=a处的导数可以用极限的形式表示：f'(a) = lim(h -> 0) (f(a+h) - f(a))/h这个极限表示函数在点a处的斜率，也就是切线的斜率。
根据这个定义，我们可以进行以下几个几何推论。
一、导数与函数的增减性：如果函数在其中一区间上的导数恒大于0，那么函数在这个区间上是递增的；如果导数恒小于0，那么函数在这个区间上是递减的。
证明：假设函数f(x)在区间[a,b]上的导数恒大于0，即f'(x)>0，对于任意的x1和x2，其中a<=x1<x2<=b。
我们可以将函数f(x)在点x1处和x2处进行比较。
根据导数的定义，我们可以得到以下不等式：f(x2)-f(x1)=(x2-x1)*f'(c)，其中c介于x1和x2之间。
由于f'(c)>0，且(x2-x1)>0，所以有f(x2)-f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)。
这意味着函数f(x)在区间[a,b]上是递增的。
类似地，我们可以证明当导数恒小于0时，函数在其中一区间上是递减的。
二、导数与函数的凹凸性：函数在其中一点处的导数可以告诉我们函数图像是向上凸起还是向下凹陷。
如果函数在特定点处的导数大于0且导数的导数（也就是函数的二阶导数）恒大于0，那么函数在这一点是向上凸起的；如果函数在特定点处的导数小于0且导数的导数恒小于0，那么函数在这一点是向下凹陷的。
证明：假设函数f(x)在点x=a处的导数大于0，即f'(a)>0，且f''(a)>0。
对于任意的x1，其中x1!=a，我们可以考虑函数f(x)在点a和x1之间的变化。
三阶导数解
定义2 无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量。
如：lim kx 0(其中k为常数)
x0
1
lim x sin 0
x0
x
在某个变化过程中，绝对值无限增大且可大于任意给定
的正实数的变量称为无穷大量。
注：无穷大量与无穷小量的关系：
无穷大量的倒数是无穷小量，而非零的无穷小量的倒数 是无穷大量。
二、极限的运算
第二章 一元函数微分学
一、极限概念
1、数列及数列的极限 数列是按一定规律排列的一串数
x1,x2……,xn，……
简记作 xn ，数列也可看作是定义在正整数集合上的函
数
Xn=f(n),(n=1,2,……)
Xn称为数列的通项或一般项。
问题：给定一个数列 xn ，当项数n无限增大时，通
项Xn的变化趋势是什么？,,
四导数与微分的概念1引入导数概念的实例1某时刻t0的瞬时速度书p912切线问题书p9192设曲线yfx点mx0y0为曲线上一个定义点过该点的切线倾角为则2导数概念定义7设函数yfx在点x0的邻域内有定义当自变量x在x0处取得改变量x0时函数y取得相应的改应量若x0时两个改变量之比的极限存在则称函数函数yfx在点x0处可导
lim
x0
y
0
(△x为x0点处自变量的改变量，△y为相应的函数 改变量)
则称函数f(x)在点x0在处连续，点x0称为f(x)的连 续点。
注: (1)在几何图形上，函数f(x)的图形在其连续点
x0处是不能断开的；
(2)若 连续；
lim
x x0
f
(x)
f
(x0 )
，则称f(x)在点x0处左
即若 lim ui Ai (i=1,2,……,n)
课件13：1.2.3 导数的四则运算法则
x .
题型二 复合函数的求导运算
例 2 求下列函数的导数：
(1)y＝(2x－1)4；
(2)y＝102x＋3；
(3)y＝sin4x＋cos4x.
[解] (1)令 u＝2x－1，则 y＝u4，
因为 yx′＝yu′·ux′＝4u3·(2x－1)′＝4u3·2＝8(2x－1)3.
(2)令 u＝2x＋3，则 y＝10u，所以 yx′＝yu′·ux′＝10u·ln10·(2x＋3)′＝2ln10·102x＋3.
答案：ln x＋1
题型探究
题型一 应用求导法则求导数
例 1 求下列函数的导数：
(1)y＝x4＋3x3－2x－5； (3)y＝sinx x；
(2)y＝xlog3x； (4)y＝x－sin2xcos2x.
[解] (1)y′＝(x4＋3x3－2x－5)′＝(x4)′＋(3x3)′－(2x)′－5′＝4x3＋9x2－2.
2．设 f(x)＝sin x－cos x，则 f(x)在 x＝π4处的导数 f′π4＝(
)
A． 2
B．－ 2
C．0 答案：A
D．
2 2
3．已知 f(x)＝1＋1 x，则 f′(x)等于(
)
A．1＋1 x
B．－1＋1 x
C．（1＋1 x）2
D．－（1＋1 x）2
答案：D
4．函数 y＝xln x 的导数为________．
跟踪训练 若函数 f(x)＝exx在 x＝c 处的导数值与函数值互为相反数， 求 c 的值． 解：由于 f(x)＝exx，所以 f(c)＝ecc， 又 f′(x)＝ex·xx2－ex＝ex（xx－2 1），所以 f′(c)＝ec（cc－2 1）. 依题意知 f(c)＋f′(c)＝0，所以ecc＋ec（cc－2 1）＝0，所以 2c－1＝0 得 c＝12.
课件3：3.2.3 导数的四则运算法则
重点难点点拨
本节重点：导数的四则运算及其运用． 本节难点：导数的四则运算法则的推导．
学习方法指导
1．可导函数的四则运算法则是解决函数四则运算形式的求导法 则，也是进一步学习导数的基础，因此，必须透彻理解函数求 导法则的结构内涵，注意挖掘知识的内在联系及规律，通过对 知识的重新组合，以达到巩固知识、提升能力的目的．
解：两边取对数得： lny＝ln(x－1)＋ln(x－2)＋…＋ln(x－100) 两边对 x 求导得：y′y ＝x－1 1＋x－1 2＋…＋x－1100 ∴y′＝x－1 1＋x－1 2＋…＋x－1100·(x－1)(x－2)… (x－100)．
课堂练习： 1．函数f(x)＝a4＋5a2x2－x6的导数为 ( ) A．4a3＋10ax2－x6 B．4a3＋10a2x－6x5 C．10a2x－6x5 D．以上都不对 【答案】C 【解析】f′(x)＝(a4)′＋(5a2x2)′－(x6)′＝－6x5＋10a2x.
6．函数f(x)＝x3－x2－x＋1的图象上有两点A(0,1) 和B(1，0)，在区间(0,1)内求实数a，使得函数f(x) 的图象在x＝a处的切线平行于直线AB.
y′＝ex＋xex＋2， ∴y′|x＝0＝3， ∴切线方程为y－1＝3x，即：y＝3x＋1.
例 2：若函数 f(x)＝exx在 x＝x0 处的导数值与函数值互为相
反数，则 x0 的值等于 A．0
()
B．1
1 C.2
D．不存在
【答案】C
例3：曲线y＝x(1－ax)2(a>0)，且y′|x＝2＝5，求实数a的 值．
知能自主梳理
1．设函数f(x)、g(x)是可导函数， (f(x)±g(x))′＝_f_′(_x_)_±__g_′(_x_)___. 2．若f(x)、g(x)是可导的， 则(f(x)·g(x))′＝_f_′_(x_)_·_g_(x_)_＋__f_(x_)_·_g_′(_x_)_.
导数公式及导数的运算法则
导数公式及导数的运算法则一、导数公式1.基本导数公式：(1) 常数函数的导数为0，即d/dx(c) = 0，其中c为常数。
(2) 幂函数的导数为其指数与常数的乘积，即d/dx(x^n) = n*x^(n-1)，其中n为实数。
(3) 自然对数函数的导数为1/x，即d/dx(ln(x)) = 1/x。
(4) 正弦函数的导数为余弦函数，即d/dx(sin(x)) = cos(x)。
(5) 余弦函数的导数为负的正弦函数，即d/dx(cos(x)) = -sin(x)。
2.基本初等函数的导数公式：(1) 常数乘以函数的导数等于函数的导数乘以这个常数，即d/dx(c*f(x)) = c*f'(x)，其中f(x)为可导函数，c为常数。
(2) 函数相加（减）的导数等于函数导数的相加（减），即d/dx(f(x)±g(x)) = f'(x)±g'(x)，其中f(x)和g(x)为可导函数。
(3) 乘积法则：两个函数相乘的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，再加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即d/dx(f(x)*g(x)) = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)。
(4) 商法则：函数的导数等于分子的导数乘以分母减去分子乘以分母的导数再除以分母的平方，即d/dx(f(x)/g(x)) = (f'(x)*g(x) -f(x)*g'(x))/[g(x)]^23.复合函数的导数：(1) 基本链式法则：若y=f(u)和u=g(x)都是可导函数，则y=f(g(x))也是可导函数，且它的导数等于f'(u)*g'(x)，即dy/dx = dy/du *du/dx = f'(u) * g'(x)。
1.反函数的导数：若函数y=f(x)在区间I上具有连续的导数f'(x)，且在区间I上f'(x)≠0，则它的反函数x=g(y)在对应的区间J上也有连续的导数，且g'(y)=1/f'(x)。
一般常用求导公式
一般常用求导公式在数学中，求导是一项非常重要的运算，它用于计算函数在某一点的导数。
为了方便计算，数学家们总结出了一系列常用的求导公式，能够帮助我们更快速地求出函数的导数。
本文将介绍一般常用的求导公式，并给出相应的解释和使用示例。
一、基本导数法则1. 常数函数导数公式若y = C（C为常数），则y' = 0。
解释：常数函数的导数恒为0，因为其图像是一条水平线，斜率为0。
例如：如果y = 5，那么y' = 0。
2. 幂函数导数公式若y = x^n（n为常数），则y' = nx^(n-1)。
解释：幂函数的导数可以通过将指数降低1并作为新的指数乘以原指数，得到幂函数的导数。
例如：如果y = x^3，那么y' = 3x^2。
3. 指数函数导数公式若y = a^x（a>0且a≠1），则y' = a^x * ln(a)。
解释：指数函数的导数等于函数的值乘以底数的自然对数。
例如：如果y = 2^x，那么y' = 2^x * ln(2)。
4. 对数函数导数公式若y = lo gₐ(x)（a>0且a≠1），则y' = 1 / (x * ln(a))。
解释：对数函数的导数等于1除以自变量乘以底数的自然对数。
例如：如果y = log₂(x)，那么y' = 1 / (x * ln(2))。
5. 指数对数函数导数公式若y = a^(bx + c)（a>0且a≠1，b和c为常数），则y' = (b * ln(a)) * a^(bx + c)。
解释：指数对数函数的导数等于指数项的系数乘以底数的自然对数，再乘以函数本身。
例如：如果y = 3^(2x + 1)，那么y' = (2 * ln(3)) * 3^(2x + 1)。
二、常用三角函数导数公式1. 正弦函数导数公式若y = sin(x)，则y' = cos(x)。
2. 余弦函数导数公式若y = cos(x)，则y' = -sin(x)。
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导数的运算与几何意义
一、知识梳理
1．常用的导数公式：
（1）'C = (C 为常数)； （2）()'n x = ；
（3）(sin )'x = ； （4）(cos )'x = ；
（5）()'x a = ； （6）()'x e = ；
（7）(log )'a x = ； （8）(ln )'x = ．
2．导数的运算法则：
（1）()'u v ±= ；
（2）()'uv = ；
（3）'
u v ⎛⎫
= ⎪⎝⎭ ．
（4）复合函数的导数：[(())]'f x ϕ= ．
3．导数的几何意义：曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f ’（
x 0）。
相应地，切线方程为y －y 0=f /
（x 0）（x －x 0）。
二、练习
（一）导数的计算
1．下列各式中正确的是( )
A ．(log a x )′＝1x
B ．(log a x )′＝ln10x
C ．(3x )′＝3x
D ．(3x )′＝3x ln3
2．下列运算正确的是( )
A ．(ax 2－bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (－x )′
B ．(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－(2)′(x 2)′
C ．(cos x ·sin x )′＝(sin x )′·cos x ＋(cos x )′·cos x
D ．[(3＋x 2)(2－x 3)]′＝2x (2－x 3)＋3x 2(3＋x 2)
3．设y ＝－2e x sin x ，则y ′等于( )
A ．－2e x cos x
B ．－2e x sin x
C ．2e x sin x
D ．－2e x (sin x ＋cos x )
4．设f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于( )
A.193
B.163
C.133
D.103
5.已知函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝
6.已知函数()(2+1),()x f x x e f x '=为()f x 的导函数，则(0)f '的值为__________.
7．设函数f (x )＝ax 3＋2，若f ′(－1)＝3，则a 等于
8．求下列函数的导数：
(1)y ＝x 4－3x 2－5x ＋6 (2)y=(2x 2-1)(3x+1) (3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)
(4))11(32x x x x y ++
= (5))11)(1(-+=x
x y (6)x x y sin 2=
(7)y ＝x tan x ； (8)y ＝log 2x 2－log 2x (9))1ln(2x x y ++=
(10)y ＝x sin x －2cos x (11)y ＝x 2sin x (12)y ＝x －1x ＋1
(x ≠－1)
(13)x x x x y sin cos ++= (14)11-+=x x e e y
（二）导数的几何意义
1、曲线31y x x =++在点（1,3）处的切线方程是
2、曲线32y x x =-在点（1，1）处的切线方程为
3、曲线y ＝4x －x 3在点(－1，－3)处的切线方程是
4、函数f (x )＝x e x 的图象在点(1，f (1))处的切线方程是____ ____
5、已知函数f (x )＝x 2
＋3，则f (x )在(2，f (2))处的切线方程为________．
6、()32.f x x ax bx c =+++求曲线().y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为_________
7、已知曲线y ＝13x 3上一点P (2，83
)，则过点P 的切线方程为______________ 8、已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--当4a =时，则曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程为_________
9、曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．120° 10、在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4
的点是 11、过曲线y ＝1x
上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2或⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，－2 12、正弦曲线y ＝sin x (x ∈(0,2π))上切线斜率等于12
的点为________． 13、已知f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6，则f (x )在点P (－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于
_______
14、曲线y ＝a x 在x ＝0处的切线方程是x ln 2＋y －1＝0，则a ＝( )
15、设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( )
A ．1 B.12 C ．－12
D ．－1 16、若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）
A ．430x y --=
B ．450x y +-=
C ．430x y -+=
D ．430x y ++=。