3.3导数在研究函数的应用(复习课)
导数综合复习(三)导数在研究函数中的应用 高考数学
导数综合复习(三)
主讲人：某某某老师
某某学校
一、函数的单调性
二、函数的极值与最大值
三、导数在研究函数中的应用
一、函数的单调性
二、函数的极值与最大值
三、导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用
学校：________.班级：________.姓名：________.前言 导数是研究函数的变化趋势的一个工具，是初等数学与高等数学中比较常用的一个工具，是研究高等数学的基础。由变化率引出导数，借助导数，不仅可以研究一元函数，而且还可以研究多元函数。
【详解】法一：，当时，恒成立，此时在R上单调递增，不可能有两个零点，舍去，当时，令 则在上单调递减，在上单调递增，因为时，，时，，所以要使得有两个零点，则要 ，
，，，即，综上，若函数有两个零点，则；法二：，当时，，0不是函数的零点；当时，有两根，所以有两根，令，则，当时，，所以在上单调递减，且，
中学阶段，我们需要了解变化率和导数的定义，并通过研究导数的相关性质得出函数的单调性和极最值，体会导数问题的一般研究思路，掌握导数问题的基本研究方法。这一部分内容难度大、知识运用性强，是整个高中数学学习过程中最难的一部分，涉及的题型多，技巧多，思维跳跃性大，需要逐步进行分析，不能图快，一味放弃对难题的解答，需要重视相关思想的培养和训练，如函数思想、方程思想等。 作为高考数学中的一个最为重要内容，无论是哪个高考卷，选择填空和大题都经常能见到导数的身影，常用作选择，填空和大题的压轴题。常常考查函数的求导，构造函数法，高阶函数的求导，函数的
二、函数的极值与最大值
1.极值极小值 极大值 设函数在点的某邻域内有定义，如果对于去心邻域内的任一，有(或)，则称是函数的一个极大值(或极小值)。函数的极大值与极小值统称为函数的极值，
2014年人教A版选修1-1课件 3.3 导数在研究函数中的应用
3.1 变化率与导数
3.2 导数的计算
3.3 导数在研究函数中的应用 3.4 生活中的优化问题举例 第三章 小结
函
3.3.1 函数的单调性与导数(第一课时) 3.3.1 函数的单调性与导数(第二课时)
3.3.2 函数的极值与导数
3.3.3 函数的最大(小)值与导数
3.3.1
函数的单调性 与导数
例1. 已知导函数 f (x) 的下列信息: 当 1<x<4 时, f (x)>0; 当 x>4, 或 x<1 时, f (x)<0; 当 x=4, 或 x=1 时, f (x)=0. 试画出函数 f(x) 图象的大致形状. 解: 在区间 (1, 4) 内, f (x)>0, y 则在这区间内函数是增函数; 在区间 (-∞, 1)与(4, +∞) 内, f (x)<0, 则在 (-∞, 1) 及 (4, +∞) o 1 两区间内函数是减函数; 当 x=4, 或 x=1 时, f (x)=0, 曲线在这两点的切线平行于 x 轴, 这两点是曲线在那一段的顶点.
∴函数在区间 (-∞, +∞)上是增函数. o x
例2. 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间: (1) f(x)=x3+3x; (2) f(x)=x2-2x-3; (3) f(x)=sinx-x, x(0, p); y (4) f(x)=2x3+3x2-24x+1. 解: (2) f (x) = 2x-2, 解不等式 2x-2>0 得 x>1, 即 x(-∞, 1) 时, f (x)<0, 函数是减函数; x(1, +∞) 时, f (x)>0, 函数是增函数. o
课题《导数在研究函数中的应用》
课题：《直线与圆锥曲线的位置关系》课型：高三复习课授课人：尤溪一中陈绍朗 2011-11-23一．【考纲要求】1.了解圆锥曲线的实际背景；2.了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；3.理解直线与圆锥曲线的位置关系；4.了解圆锥曲线的简单应用；5.理解数形结合的思想．二．【命题走向】近几年来直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考解答题的重要位置，且选择、填空也有涉及，有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及线段中点、弦长等。
分析这类问题，往往利用数形结合的思想和“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理等．三．【教学目标】1．知识目标：巩固直线与圆锥曲线的基本知识和性质；掌握直线与圆锥曲线位置关系的判断方法，主要是利用判别式法，以及分类讨论法，会求参数的值或范围等．2．能力目标：直线与圆锥曲线位置关系的问题始终是解析几何的一个主要问题，是充分反映代数与几何不可分割关系的一个非常好的素材。
要求学生能从数、形两方面深刻理解线与线之间的位置关系，并会用方程法讨论直线与两类(封闭与非封闭)曲线的位置关系；弦长公式的理解与灵活运用；通过曲线焦点的弦的弦长问题的处理，使解题过程得到优化，同时使得学生树立通过坐标法用方程思想解决问题的观念，培养学生直观、严谨的思维品质；灵活运用数形结合、分类讨论、类比归纳等各种数学思想方法，提高解题能力．3．情感目标：让学生感悟数学的统一美、和谐美，端正学生的科学态度，进一步激发学生自主探究的精神．四．【教学重点、难点】1．掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法，注意数形结合思想的渗透；2．非封闭曲线，尤其是双曲线、抛物线与直线位置关系的讨论；3．理解用方程思想解决直线与圆锥曲线的位置关系，感悟方程组的解的个数与直线与圆锥曲线公共点的个数的关系；4．充分运用新旧知识的迁移，从数与形两方面深刻理解相关结论，构建完整的知识体系．五．【教学方法】合作讨论与启发探究、题组教学与讲练结合．六．【教学准备】1．学生预先复习本课题，并做讲义的相应习题；2．教师准备教学PPT课件．。
“导数在研究函数单调性中的应用”的教学设计与反思
用导 数研 究 函数 的单 调性 ， 会 求 不超 过 三 次 的 多
项式 函数 的单 调 区间． （ ２ ） 通 过 实例 ， 借 助 几 何 直 观探 索并 了解 函 数 的单调 性与 导数 的关 系 ； 通 过初 等 方 法 与 导数 方法 在研究 函数 性 质 过程 中 的 比较 ， 体 会 导数 在 研究 函数性 质 中的一般 性 和有效 性．
若 在 区间 Ｄ上 ｆ （ ｚ） ＜０ ， 则－ 厂 （ ） 在 区间 Ｄ
一
０
—
上 是减 函数．
．
ｒ ｜一
／
１
师： 很好， 你 能 用 函 数单 调 性 的 定 义 给 出证
明吗 ？
图 ２
图 １
老 师先 让 学生 在 草稿 纸 上试 证 ， 然 后 在学 生
的关 系．
对 于 函数 ， （ ｚ） ＝ ＝ ＝ ｌ ｏ ｇ ￣ ｘ， Ｖ ｚ∈ （ ０ ， ＋Ｃ ｘ ３ ） ，
， （ ｚ）一 一 ＜ ０ ・
３ 教 学过 程
３ ． １ 问 题 导 入
问题 １ 作 出下 列 函数 的图象 ：
（ １ ） ｆ （ ｘ） 一ｚ 。 ； （ ２ ） ｆ （ ｘ ） 一ｌ ｏ ｇ ￣ Ｘ ．
生： 图 １中的切线 斜率 为正 ， 图 ２中的切线斜
率为 负． 师： 回顾 导数 的几何 意义 ， 说 明了什 么？
生： 函数 ， （ ） 一ｚ 在 区 间（ 一。 。 ， ＋。 。 ） 上 的 导数 为正 ； 函数 ｆ （ ｘ） －ｌ ｏ ｇ ￣ ｚ在 区间 （ ０ ， ＋ｃ × 。 ） 上
１
（ １ ） ｆ（ ｘ）一ｚ＋ ； （ ２ ） ｆ（ ｘ）一 － ｚ 。 ｅ ．
导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用导数作为微积分的重要概念，在研究函数中应用广泛。
导数的概念最早由牛顿和莱布尼茨独立提出，它描述了函数变化的速率。
导数的定义是函数在其中一点的变化率，表示函数在这一点附近的斜率。
在函数研究中，导数的应用主要体现在以下几个方面：1.切线和法线：导数可以用来求解函数曲线上其中一点的切线和法线。
切线是函数曲线在其中一点上切过该点的直线，而法线是与切线相垂直的直线。
利用导数的定义，我们可以确定函数曲线上其中一点的斜率，进而得到其切线和法线的方程。
2.极值与拐点：导数可以帮助我们找到函数的极值点和拐点。
在函数的极值点上，导数等于零。
根据这个性质，我们可以利用导数来确定函数的极大值和极小值点。
此外，导数还可以帮助我们确定函数上的拐点，即函数曲线由凸向上转为凹向上或由凹向上转为凸向上的点。
3.函数的单调性：导数还可以帮助我们研究函数的单调性。
如果函数在一些区间上的导数恒大于零（或恒小于零），那么函数在该区间上是递增的（或递减的）。
通过分析函数的导数，我们可以确定函数在一些区间上是递增还是递减。
4.函数的凹凸性：导数还可以用来确定函数的凹凸性。
如果函数在一些区间上的导数恒大于零，那么函数在该区间上是凸的；如果函数在一些区间上的导数恒小于零，那么函数在该区间上是凹的。
通过分析函数的导数的变化情况，我们可以确定函数的凹凸区间。
5.近似计算：导数还可以用于近似计算。
在很多实际问题中，函数的导数可以用来近似表示函数在其中一点的变化率。
通过导数近似表示函数的变化率，我们可以很方便地进行问题求解和计算。
总之，导数在研究函数中的应用非常广泛，涵盖了函数的局部性质、全局性质以及近似计算等方面。
通过对导数的研究，我们可以全面了解函数的变化规律和特性，为解决实际问题提供了有力的工具。
高考数学课程一轮复习 第53课时 导数在研究函数中的应用
第53课时 导数在研究函数中的应用【考点点知】知己知彼，百战不殆导数实现了函数与不等式、方程、解析几何等多个知识点的交汇．导数涉及多种数学方法，如：数形结合、分类讨论、等价转化等的运用等. 导数的应用是高考的一个侧重点,对单调性和极值、最值的考查，侧重于导数的综合应用，即导数与函数、不等式、方程、数列、解析几何的综合等及在生活中的优化问题．考点一: 函数的单调性1.在某个区间（a ，b ）内，如果f´(x )>0，那么函数y =f (x )在这个区间内单调递增；如果f´(x ) <0，那么函数y =f (x )在这个区间内单调递减.2.利用导数判断函数单调性的基本步骤. （1）确定函数f （x ）的定义域； （2）求导数f ′（x ）；（3）在函数定义域内解不等式f ′（x ）>0和f ′（x ）<0； （4）确定f （x ）的单调区间. 考点二: 函数的极值 1.函数的极值:函数y =f (x )在点x =a 的函数值f (a )比它在点x =a 附近其他点的函数值都小，f ´(a )=0；而且在点x =a 附近的左侧f ´(x )<0，右侧f ´(x )>0，类似地，函数y =f (x )在点x =b 的函数值f (b )，比它在点附近其他点x =b 的函数值都大，f ´(b )=0；而且在点x =b 附近的左侧f ´(x )>0，右侧f ´(x )<0.我们把点a 叫做函数y =f (x )的极小值点，f (a )叫做函数 y =f (x )的极小值；点b 叫做函数y =f (x )的极大值点. f (b )叫做函数y =f (x )的极大值. 极大值点与极小值点统称极值点，极大值与极小值统称极值.2.可导函数的极值:设函数f (x )在x =x 0处连续且f ´(x 0)=0.若在点x 0附近左侧f ´(x )>0,右侧f ´(x )<0,则f (x 0)为函数的极大值;若在点x 0附近左侧f ´(x )<0,右侧f ´(x )>0,则f (x 0)为函数的极小值.3.求可导函数f （x ）极值的步骤： ①求导数f ′（x ）.②求方程f ′（x ）=0的根.③检验f ′（x ）在方程f ′（x ）=0的根的左右的符号：如果在根的左侧附近为正,右侧附近为负,那么函数y =f （x ）在这个根处取得极大值;如果在根的左侧附近为负,右侧附近为正,那么函数y =f （x ）在这个根处取得极小值.考点三: 函数的最值1.一般地,在闭区间[a ,b ]上函数f (x )的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.2.求函数y =f (x )在[a ，b]上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求函数y =f (x )在（a ，b ）内的极值；（2）将函数y =f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )， f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.【小题热身】明确考点，自省反思1. (江苏卷)函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 .2. (江苏卷)设函数3()31()f x ax x x R =-+∈，若对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f成立，则实数a 的值为3. 函数3()1f x ax x =++有极值的充要条件是 .【考题点评】分析原因，醍醐灌顶例1. 函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是 ． 思路透析:()ln (ln )ln ln 1xf x x x x x x x x'''=+=+=+, 由()0f x '≥可得ln 10x +≥,解之得1x e ≥, 即得函数()f x 的递增区间为1[,)e+∞. 点评:本题考查了复合函数的导函数求导法则及函数单调区间的求解,对数不等式的解法,属基础运算题.高考中文科对导数的要求初次与原考纲中理科的地位相一致,但仍然不会提得太高,仅要求考生能够求得该函数的导数,而与函数不等式相交汇考查也是导数应用的一个方面.复合函数的分步求导法则应用过程出错及不等式解法错误是本题的易错点.求函数的导数过程中要注意将函数与函数间分清关系,可以保证求导的正确性.例2.函数()y f x =在定义域3(,3)2-其图象如图所示.记()y f x =的导函数为y f =则不等式()0f x '≤的解集为 . 思路透析:由图象可得当1[,1]3x ∈- 及[2,3)x ∈时函数()f x 单调递减,即得()0f x '≤的解集为1[,1][2,3)3- .点评:由函数图象可得可得出函数的单调区间,而()0f x '≤的解集即为该函数的单调递减区间. 本题考查了函数的单调性及其导函数的关系,图象的识图能力与特征点的捕捉.例3.已知函数f (x )＝ln(x 2＋1)－ax .（Ⅰ）若函数f (x )在R 上是增函数，求a 的取值范围； （Ⅱ）若|a |＜1，求f (x )的单调增区间.思路透析:（Ⅰ） f ˊ(x ) ＝2xx 2＋1－a ,(ⅰ) 当 f ˊ(x )>0, x ∈（,-∞+∞）时，f (x )是（,-∞+∞）上的增函数 f ˊ(x ) ＝2x x 2＋1 －a ＞0在（,-∞+∞）上恒成立 a ＜2xx 2＋1在（,-∞+∞）上恒成立， 令g(x )＝2xx 2＋1当x 的值等于0时，g(x )的值等于0, 当0x ≠时,2()1g x x x=+,由于1(,2][2,)x x+∈-∞-+∞ ,故()[1,0)(0,1]g x ∈-由上述,当(,)x ∈-∞+∞时, ()[1,1]g x ∈-,所以,当1a <-时, 即a ＜2xx 2＋1在（,-∞+∞）上恒成立 ,（ⅱ）当a ＝－1时， f (x )的值等于ln(x 2＋1)＋x , f ˊ(x ) ＝2xx 2＋1＋1 0所以f (x )是（,-∞+∞）上的增函数,(ⅲ) 当a >－1时，在（,-∞+∞）上存在一个区间其上有f ˊ(x )<0 所以f (x )不是（,-∞+∞）上的增函数综上所求a 的取值范围是(－∞,－1]．（Ⅱ）① 当a ＝0时，f ' (x )＞0⇒x ＞0，即函数f (x )在(0,＋∞)上单调递增； ②当a ≠0时，令f ' (x )＝0因为|a |<1,所以x ＝1－1－a 2a 或x ＝1＋1－a 2a ,当0＜a ＜1时，有△＞0，f ' (x)＞0函数f (x )在（1－1－a 2a ，1＋1－a 2a ）上单调递增；当－1＜a ＜0时，有△＞0，f ' (x)＞0函数f (x )在（－∞，1＋1－a 2a ）、（1－1－a 2a,＋∞）上单调递增．点评:利用导数去判别函数的增减性,可求得a 的取值范围, 也可以得a 的取值范围分类讨论得f (x )的单调增区间.通过从函数的导数符号判别函数单调性的方法,关键是先求导.解不等式得单调区间，或者证明导数与0的大小关系来判别单调性.例4.设函数2()ln f x ax b x =+，其中0ab ≠．证明：当0ab >时，函数()f x 没有极值点；当0ab <时，函数()f x 有且只有一个极值点，并求出极值．思路透析:因为2()ln 0f x ax b x ab =+≠，，所以()f x 的定义域为(0)+∞，． ()f x '222b ax bax x x+=+=．当0ab >时，如果00()0()a b f x f x '>>>，，，在(0)+∞，上单调递增；如果00()0()a b f x f x '<<<，，，在(0)+∞，上单调递减． 所以当0ab >，函数()f x 没有极值点．当0ab <时，2()a x x f x x⎛ ⎝⎭⎝⎭'=令()0f x '=，将1(0)x =+∞，（舍去），2)x =+∞，，当00a b ><，时，()()f x f x '，随x 的变化情况如下表：从上表可看出，函数()f x 有且只有一个极小值点，极小值为1ln 22b b f a ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．当00a b <>，时，()()f x f x '，随x 的变化情况如下表：函数()f x 有且只有一个极大值点，极大值为1ln 22b b f a ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 综上所述，当0ab >时，函数()f x 没有极值点； 当0ab <时，若00a b ><，时，函数()f x 有且只有一个极小值点，极小值为1ln 22b b a ⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．若00a b <>，时，函数()f x 有且只有一个极大值点，极大值为1ln 22b b a ⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 点评:本题入口易操作,起点设问较易突破,但后续问题的展开论述,特别是对字母参数的分类讨论及分界点的分析是一个难点,也是本题产生错误与失分的重要一环.解决这一难题的方法是通过不同类别的字母取值进行列表格分析,将复杂的数据表格化,对于每一个分界点的意义即其各自区间上的单调性综合判断,从而得出各类情况下的极值,最后综合给出结论即可.【即时测评】学以致用，小试牛刀1. 函数),(,cos sin ππ-∈+=x x x x y 的单调增区间是( ) A. (,)2ππ--B. (0,)2π C. (,)2ππ D. )2,0()2,(πππ和-- 2. 已知函数qx px x x f --=23)(的图象与x 轴切于点)0,1(，则)(x f 的极大值和极小值分别为( )A.4,027B. 1，-1C. 2，1D. 1，0 3. 已知函数x ax x x f 3)(23--=．若31-=x 是)(x f 的极值点，则)(x f 在],1[a 上的最小值为( )A. 16-B. 15-C. 18-D. 22-4. 已知()321233y x bx b x =++++是R 上的单调增函数，则b 的范围为( )A. 2≤b ≤3B. -2≤b ≤-1C. 1≤b ≤2D. -1≤b ≤2【课后作业】学练结合，融会贯通一、填空题:1.设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，可能正确的图象的序号是 .2. 函数3()31f x x x =-+的单调减区间是 ．3.设函数f n (x )=n 2x 2(1－x )n (n 为正整数)，则f n (x )在［0,1］上的最大值为 .4. 在半径为R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_________时它的面积最大.5. 已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则M m -= .6. 函数f (x )=log a (3x 2+5x －2)(a ＞0且a ≠1)的单调增区间_________. 二、解答题:7. 在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km 的B 处，乙厂到河岸的垂足D 与A 相距50 km，两厂要在此岸边合建① ② ③④一个供水站C ，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元，问供水站C 建在岸边何处才能使水管费用最省？8（重庆卷)已知函数32()f x ax x bx =++(其中常数a ,b ∈R),()()()g x f x f x '=+是奇函数.(Ⅰ)求()f x 的表达式;(Ⅱ)讨论()g x 的单调性，并求()g x 在区间[1,2]上的最大值和最小值.第53课时 导数在研究函数中的应用参考答案【小题热身】1.(1,11)- 2. 4 3. 0a <【即时测评】1.D2.A3. C4. D【课后作业】一、填空题:1. ①②③2. (−1, 1)3. 1)2(4++n n n4. 23R 5. 32 6. (－∞,－2) 二、解答题:7. 解法一：根据题意知，只有点C 在线段AD 上某一适当位置，才能使总运费最省，设C 点距D 点x km,则∵BD =40,AC =50－x , ∴BC =222240+=+x CD BD又设总的水管费用为y 元，依题意有：y =30(5a －x )+5a 2240+x (0＜x ＜50) y ′=－3a +22405+x ax ,令y ′=0,解得x =30在(0,50)上，y 只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在x =30(km)处取得最小值，此时AC =50－x =20(km)∴供水站建在A 、D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省.解法二：设∠BCD =Q ,则BC =θsin 40,CD =40cot θ,(0＜θ＜2π),∴AC =50－40cot θ 设总的水管费用为f (θ),依题意，有f (θ)=3a (50－40·cot θ)+5a ·θsin 40=150a +40a ·θθsin cos 35-∴f ′(θ)=40a ·θθθθθθθ22sin cos 5340sin )(sin )cos 35(sin )cos 35(-⋅='⋅--⋅'-a令f ′(θ)=0,得cos θ=53根据问题的实际意义，当cos θ=53时，函数取得最小值，此时sin θ=54,∴cot θ=43,∴AC =50－40cot θ=20(km),即供水站建在A 、D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省. 8. 解析：（Ⅰ）由题意得.23)(2b x ax x f ++='因此)(.)2()13()()()(22x g b x b x a ax x f x f x g 因为函数+++++='+=是奇函数，所以,),()(x x g x g 即对任意实数-=-有],)2()13([))(2())(13()(2223b x b x a ax b x b x a x a +++++-=+-++-++-从而的解析表达式为因此解得)(,0,31,0,013x f b a b a =-===+.31)(23x x x f +-=（Ⅱ）由（Ⅰ）知221()2,()2,()0,3g x x x g x x g x ''=-+=-+=所以令1x =解得),2[],2,()(,0)(,22,22+∞--∞<'>-<=在区间从而时或则当x g x g x x x 上是减函数；当,22时<<-x ,0)(>'x g 从而)(x g 在区间]2,2[-上是增函数．由前面讨论知，,2,2,1]2,1[)(时取得能在上的最大值与最小值只在区间=x x g而.34)2(,324)2(,35)1(===g g g 因此上的最大值为在区间]2,1[)(x g 324)2(=g ，最小值为.34)2(=g。
导数在研究函数的综合应用(三)：高考数学一轮复习基础必刷题
导数在研究函数的综合应用（三）------高考数学一轮复习基础必刷题姓名：___________��班级：___________��学号：___________一、单选题1．已知函数()f x 的导函数()f x '的图像如图所示，则()y f x =的图像可能为（）A ．B ．C ．D ．2．已知函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数()y f x =在区间(),a b 内的极小值点的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．43．函数()ln 1f x x x =-+单调递增区间是（）A ．（0,+∞）B ．（-∞,0）C ．（0,1）D ．（1,+∞）4．已知函数()286ln 1f x x x x =-++，则()f x 的极大值为（）A ．10B ．6-C ．7-D ．05．函数2()2ln f x x x m x =-+在定义域上是增函数，则实数m 的取值范围为（）A ．12m ≥B ．12m >C ．12m ≤D ．12m <6．若定义在R 上的函数()y f x =的图象如图所示，()f x '为函数()f x 的导函数，则不等式()()20x f x '+>的解集为（）．A ．()()(),32,11,-∞-⋃--⋃+∞B ．()()3,11,--⋃+∞C ．()()3,10,1-- D ．()()3,21,1--⋃-7．如果直线l 与两条曲线都相切，则称l 为这两条曲线的公切线，如果曲线1:ln C y x =和曲线()2:0x aC y x x-=>有且仅有两条公切线，那么常数a 的取值范围是（）A ．(),0-∞B ．()0,1C ．()1,e D ．(),e +∞8．函数||()sin =-x f x e x 的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题9．函数()43ln f x x x x=++的单调递减区间是______．10．若函数()32f x x bx cx d =+++的单调递减区间为()1,3-，则b c +=_________．11．若过定点(1,e)P 恰好可作曲线e (0)x y a a =>的两条切线，则实数a 的取值范围是__________．三、解答题12．已知函数f （x ）＝ax 2ex ﹣1（a ≠0）.（1）求函数f （x ）的单调区间；（2）已知a ＞0且x ∈[1，+∞），若函数f （x ）没有零点，求a 的取值范围.13．确定下列函数的单调区间：(1)2y x x =-；(2)3y x x =-．14．已知1x =-，2x =是函数32()13x f x ax bx =-+++的两个极值点.（1）求()f x 的解析式；（2）记()()g x f x m =-，[24]x ∈-，，若函数()g x 有三个零点，求m 的取值范围.15．已知函数2()(1)x f x ax bx e -=++，其中e 为自然对数的底数.（1）若a =0，求函数()f x 的单调区间；（2）若1,3a b ==，证明x ＞0时，()f x ＜52ln x x x-+参考答案：1．D 【解析】【分析】根据导数图象，可知函数的单调性，并且结合()00f '=，即可排除选项.【详解】由导数图象可知，()0f x '≥，所以函数单调递增，故排除C ；并且()00f '=，故排除AB ；满足条件的只有D.故选：D 2．A 【解析】【分析】结合导函数图象确定正确选项.【详解】函数的极小值点0x 需满足左减右增，即()'00f x =且左侧()'0f x <，右侧()'0f x >，由图可知，一共有1个点符合.故选：A 3．C 【解析】【分析】求导，令导数大于0，解不等式可得.【详解】()ln 1f x x x =-+的定义域为(0,)+∞令11()10x f x x x-'=-=>，解得01x <<，所以()f x 的单调递增区间为(0,1).故选：C 4．B 【解析】【分析】利用导数可判断函数的单调性，进而可得函数的极大值.【详解】函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()()213628x x f x x x x--'=-+=,令()0f x '=，解得1x =或3x =，故x ()0,11()1,33()3,+∞()f x '0>0=0<0=0>()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以()f x 的极大值为()16f =-，故选：B.5．A 【解析】【分析】根据导数与单调性的关系即可求出．【详解】依题可知，()220mf x x x'=-+≥在()0,∞+上恒成立，即221122222m x x x ⎛⎫≥-=--+ ⎪⎝⎭在()0,∞+上恒成立，所以12m ≥．故选：A ．6．A 【解析】利用()y f x =的图象如图判断()f x 单调性，进而判断()f x '在对应区间的正负，解不等式即可【详解】由图像可知：()f x '在（-3，-1），（1，+∞）为正，在（-∞，-3），（-1,1）为负.()()20x f x '+>可化为:20()0x f x +>>'⎧⎨⎩或20()0x f x +<<'⎧⎨⎩解得:-2<x <-1或x >1或x <-3故不等式的解集为：()()(),32,11,-∞-⋃--⋃+∞.故选：A 【点睛】导函数()f x '与原函数()f x 的单调性的关系：（1）()0f x '>⇒原函数在对应区间单增；()0f x '<⇒原函数在对应区间单减；（2）原函数在对应区间单增⇒()0f x '≥；原函数在对应区间单减⇒()0f x '≤.7．B 【解析】【分析】把曲线1C 和曲线2C)1ln 2x -=-有且仅有两解.记())()ln 2,0f x x x =->，利用导数研究单调性和极值，建立不等式20-<-<，即可解得.【详解】曲线1:ln C y x =上一点()11,ln A x x ，11y x '=，切线方程为：1111ln y x x x =-+.曲线()2:0x a C y x x -=>上一点22,1a B x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，22a y x '=，切线方程为：22221a a y x x x =+-.若直线l 与两条曲线都相切，则有2121212ln 11a x x a x x ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，消去2x)1ln 2x -=-因为曲线1:ln C y x =和曲线()2:0x aC y x x-=>有且仅有两条公切线，)1ln 2x -=-有且仅有两解.记())()ln 2,0f x x x =->，则())1ln 2f x x x '=-+=令()0f x '>，得1x >，所以()f x 在()1,+∞上单增；()0f x '<，得01x <<，所以()f x 在()0,1上单增.所以()()min 12f x f ==-.又有()0f x =，解得：0x =（舍）或2x e =.当0x +→，则()0f x →；当x →∞，则()f x →+∞；而0-≤)1ln 2x -=-有且仅有两解，只需20-<-<，解得：01a <<.故选：B 【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；（3）利用导数求参数的取值范围.8．B 【解析】【分析】由导数判断函数的单调性及指数的增长趋势即可判断.【详解】当0x >时，()e cos 1cos 0=->-≥'x f x x x ，∴()f x 在(0,)+∞上单调递增，当0x <时，()cos 1cos 0-=--<--≤'x f x e x x ，∴()f x 在(,0)-∞上单调递减，排除A 、D ；又由指数函数增长趋势，排除C.故选：B ．9．()0,1【解析】求出导函数()'f x ，在(0,)+∞上解不等式()0f x '<可得()f x 的单调减区间．【详解】()()()'2+41431x x f x x x x-=-+=，其中0x >，令()'0f x <，则(0,1)x ∈，故函数()43ln f x x x x =++的单调减区间为(0,1)，故答案为：(0,1)．【点睛】一般地，若()f x 在区间(,)a b 上可导，我们用'()0f x <求，则()f x 在(,)a b 上的减区间，反之，若()f x 在区间(,)a b 上可导且为减函数，则()0f x '≤，注意求单调区间前先确定函数的定义域．10．12-【解析】求出()'f x ，由1-和3是()0f x '=的根可得．【详解】由题意2()32f x x bx c '=++，所以2320x bx c ++=的两根为1-和3，所以2133133bc ⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⨯⎪⎩，所以3,9b c =-=-，12b c +=-．故答案为：12-．11．(1,)+∞【解析】【分析】求出函数的导数，设切点为(,)m n ，由导数的几何意义和两点的斜率公式可得e(2)e m m a-=-，设()(2)e x f x x =-，利用导数求出其单调区间和极值，再画出函数的图象，结合图象可得a 的取值范围【详解】由e (0)x y a a =>，得e x y a '=，切点为(,)m n ，则切线的斜率为e m a ，所以切线方程为e ()m y n a x m -=-，因为e m n a =，所以e e ()m m y a a x m -=-，因为点(1,e)P 在切线上，所以e e e (1)m m a a m -=-，得e(2)e m m a-=-，令()(2)e x f x x =-，则()(1)e x f x x '=-，当1x >时，()0f x '>，当1x <时，()0f x '<，所以()f x 在(1,)+∞上递增，在(,1)-∞上递减，所以()f x 在1x =处取得极小值e -，当x →-∞时，()0f x →，当x →+∞时，()f x →+∞，由题意可得直线ey a=-与函数()f x 的图象有两个交点，所以ee 0a-<-<，解得1a >，所以实数a 的取值范围为(1,)+∞，故答案为：(1,)+∞12．（1）当a ＞0时，f （x ）的单调递增区间为（﹣∞,﹣2）和（0,+∞），单调递减区间为（﹣2,0）；当a ＜0时，f （x ）的单调递增区间为（﹣2,0），单调递减区间为（﹣∞,﹣2）和（0,+∞）；（2）1e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，.【解析】（1）先求导f '（x ）＝2axex +ax 2ex ＝axex （2+x ），再分a ＞0和a ＜0进行讨论即可得解；（2）根据（1）可知，当a ＞0时，f （x ）在x ∈[1，+∞）上单调递增，则保证f （1）＞0即可得解.【详解】（1）f '（x ）＝2axex +ax 2ex ＝axex （2+x ），令f '（x ）＝0，则x ＝0或x ＝﹣2，①若a ＞0，当x ＜﹣2时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增；当﹣2＜x ＜0时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减；当x ＞0时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增；②若a ＜0，当x ＜﹣2时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减；当﹣2＜x ＜0时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增；当x ＞0时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减；综上所述，当a ＞0时，f （x ）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞），单调递减区间为（﹣2，0）；当a ＜0时，f （x ）的单调递增区间为（﹣2，0），单调递减区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞）.（2）当a ＞0时，由（1）可知，f （x ）在x ∈[1，+∞）上单调递增，若函数没有零点，则f （1）＝ae ﹣1＞0，解得1a e＞，故a 的取值范围为1e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了利用导数研究函数单调性，考查了分类讨论思想，要求较高的计算能力，在高考中考压轴题，属于难题.13．(1)单调递增区间为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(2)单调递增区间为⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为,⎛-∞ ⎝⎭，⎫∞⎪⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）求得导函数，利用导数的正负即可求得单调区间.（2）求得导函数，利用导数的正负即可求得单调区间.(1)2y x x =-，12y x '∴=-，当0y '=时，12x =.当0y '>时，12x <，当0y '<时，12x >，∴2y x x =-的单调递增区间为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(2)3y x x =-，213y x '∴=-，当0y '=时，3x =.当0y '>时，33x -<<，当0y '<时，3x >，或3x <-∴3y x x =-的单调递增区间为33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为,3⎛-∞- ⎝⎭，3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭.14．（1）3211()2132f x x x x =-+++；（2）15,63⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据极值点的定义，可知方程()0f x '=的两个解即为1x =-，2x =，代入即得结果；（2）根据题意，将方程()0g x =转化为()f x m =，则函数()y f x =与直线y m =在区间[2-，4]上有三个交点，进而求解m 的取值范围．【详解】解：（1）因为32()13x f x ax bx =-+++，所以2()2f x x ax b '=-++根据极值点定义，方程()0f x '=的两个根即为1x =-，2x =，2()2f x x ax b '=-++ ，代入1x =-，2x =，可得120440a b a b --+=⎧⎨-++=⎩，解之可得，122a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故有3211()2132f x x x x =-+++；（2）根据题意，3211()2132g x x x x m =-+++-，[2x ∈-，4]，根据题意，可得方程32112132m x x x =-+++在区间[2-，4]内有三个实数根，即函数3211()2132f x x x x =-+++与直线y m =在区间[2-，4]内有三个交点，又因为2()2f x x x '=-++，则令()0f x '>，解得12x -<<；令()0f x '<，解得2x >或1x <-，所以函数()f x 在[)2,1--，(]2,4上单调递减，在(1,2)-上单调递增；又因为1(1)6f -=-，()1323f =，5(2)3f -=，()1343f =-，函数图象如下所示：若使函数3211()2132f x x x x =-+++与直线y m =有三个交点，则需使1563m -< ，即15,63m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦．15．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）求得()f x 的导数，讨论0b =，0b >，0b <，解不等式可得所求单调区间；（2）分别求得()f x 的最大值，()52ln P x x x x =-+的最小值，比较即可得证.【详解】（1）若0a =，则'2(1)(1)()()x x x x be e bx bx b f x e e -+-+-==，（i ）当0b =时，'1()0x f x e-=<，函数()f x 在R 上单调递减；（ii ）当0b ≠时，'1[(1()xb x b f x e ---=，①若0b >，当1(,1)x b∈-∞-时，'()0f x >，函数()f x 单调递增；当1(1,)x b∈-+∞时，'()0f x <，函数()f x 单调递减.②若0b <，当1(,1)x b∈-∞-时，'()0f x <，函数()f x 单调递减；当1(1,)x b∈-+∞时，'()0f x >，函数()f x 单调递增.综上可知，当0b >时，函数()f x 的单调递增区间为1(,1)b -∞-，单调递减区间为1(1,)b-+∞；当0b =时，函数()f x 的单调递减区间为R ，无单调递增区间；当0b <时，函数()f x 的单调递增区间为1(1,)b -+∞，单调递减区间为1(,1)b -∞-；（2）若1,3,a b ==则2()(31)x f x x x e -=++，0x >，要证不等式()52ln f x x x x <-+，即证23152ln x x x x x x e++<-+，记()52ln P x x x x =-+，则'1()2ln 1ln P x x x x x=-++⋅=-+，故当(0,)x e ∈时，'()0P x <，函数()P x 单调递减，当(+)x e ∈∞，时，'()0P x >，函数()P x 单调递增，所以()()52ln 5P x p e e e e e ≥=-+=-；又22'2(23)(31)2(2)(1)()()x x x x x x e x x e x x x x f x e e e +-++--++-===-，故(0,1)x ∈时，'()0f x >，函数()f x 单调递增；(1,)x ∈+∞时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，所以0x >时，5()(1)f x f e ≤=因为 2.7e ≈，所以55(5)5()0e e e e --=-+>，所以55e e->，所以0x >时，()52ln f x x x x <-+.【点睛】本题考查利用导数求函数单调性及最值，考查了学生转化的问题的能力及计算能力，是中档题.。
导数在研究函数中的应用 课件-2021届高三数学一轮复习
已知函数f (x) 1 3x x3， 变式1求证：x∈[ 2，3]时，|1+3x x3|≤17.
典例分析
x∈[m，n]，f (x)≥ A f (x)min ≥ A. x∈[m，n]，f (x)≥ A f (x)max ≥ A.
（2）解：定义域为R， y=3ax2 ≤0，
x2 ≥ 0，a ≤0.
检验：a 0 时舍， a 0.
端点值需 带入检验.
变式解：定义域为R， y=3ax2 -1≤0，
x2 ≥ 0，a ≤0.
检验：a 0 时满足条件， a ≤0.
知识梳理
2.函数的极值
函数的局部概念
左正右负
（1）若b是 f (x)=0的一个根，并且在 x b 的左侧附近 f (x) 0 ，在
x b 右侧附近 f (x) 0 ，则 f (b)是函数 f (x)的极大值，x b 是函数 f (x)
的极大值点. 左负右正（2）若a是 f (x)=0的一个根，并且在 x a 的左侧附近 f (x) 0 ，在
x a 右侧附近 f (x) 0 ，则 f (a)是函数 f (x)的极小值，x a 是函数 f (x)
较简单函数
函数常规研究方法 （定义与图形）
较复杂函数
其 函数的导数 它
方 法
1.函数的单调性
一般地，函数 y f (x)在某个区间(m，n) 内， 若f (x) 0 f (x)在区间(m，n)上单调递增 f (x)≥ 0， 若f (x) 0 f (x)在区间(m，n)上单调递减 f (x) ≤0， 若f (x) 0 f (x)为常数函数.
导数在研究函数中的应用
高三年级 数学
平瞬 均时 速速 度度
割切 线线 斜斜 率率
导数的概念 及其意义
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复习引入
求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值 的步骤如下： ①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值 (极大值与极小值); ②将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)（即 端点的函数值）作比较,其中最大的一个 为最大值,最小的一个为最小值.
练习巩固
1、函数f ( x ) x ax bx c , 其中a , b, c为常数，
3 2
当a 3b 0时，f ( x )在R上(
2
)
( A)增函数 ( B )减函数 (C )常数 ( D )既不是增函数也不是减函数
练习巩固
2、求函数 f(x)=x-lnx 的单调区间
练习巩固
3、求证：函数 f(x)=2x3+3x2-12x+1 在区 间(-2,1)内是减函数
练习巩固
4、已知函数 f(x)=4x+ax2是增函数，求实数a的取值范围
（3）令f’(x)>0以及f’(x)<0,求自变量x的 取值范围，即函数的单调区间。
复习引入
求解函数极值的一般步骤 （1）确定函数的定义域 （2）求方程f’(x)=0的根
（3）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定 义域分成若干个开区间，并列成表格 （4）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号， 来判断f(x)在这个根处取极值的情况
(2) ∵f(-2)=8+12-18+a=2+a
f(2)=-8+12+18+a=22+a ∴f(2)>f(-2) 于是有22+a=20,解得a=-2 ∴f(x)=-x3+3x2+9x-2 ∴在(-1,3)上 f ( x) >0, ∴f(x)在[-1,2]上单调递增
又由于f(x)在[-2,-1]上单调递减，
3.3导数在研究函数中的 应用（复习课）
复习引入
函数的单调性与导数正负的关系
在某个区间(a, b)内,
f '( x ) 0
f ( x)在(a, b)内单调递增
f '( x ) 0 f ( x )在(a, b)内单调递减
复习引入
求单调区间的步骤 :
（1）求函数的定义域
（2）求函数的导数
2 3在区间[-1,1]上 x 3
练习巩固
x 5、设函数 f(x)=1-e-x 证明：x>-1时f(x) x 1
练习巩固
6、已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a; (1)求f(x)的单调递减区间； (2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20， 求它在该区间上的最小值。
解：(1)函数f(x)的单调递减区间为 (-∞,-1) ∪(3,+∞)
∴ f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的
最大值和最小值。
∴f(-1)=1+3-9-2=-7,
即函数f(x)在区间[-2,2]上的最3；
37页应用3；40页探究3
课外作业