反函数及其图像.

y 2x (x R) 有没有反函数？
2
回答：有。是 y 2x(x R)
结论: 若y=f(x)有反函数是y=f –1(x),则函数 y=f –1(x) 的反函数就是y=f(x),它们是互为反函数。
是否任何一个函数都有反函数？
（3）函数y=x2的定义域是__R___，值域是_[_0_,+___)___。如果由
并求f(－ 2)与f(3)的值。
解： A
B
f(-2)=-4
…
…
3
6 f(3)=6
2 1
4 2
易知 f:A→B为一 一映射
0
0
-1
-2
-2
-4
-3
-6
…
…
二、探讨问题(1)若f(x1)=-4, f(x2)=6, 则 x1=_-_2__，x2=___3___
一、反函数的概念
一般地，函数y=f(x) (x A)中，设它的值域为C.我们根
x=f –1(y) 在函数x=f –1(y)中,y表示自变量,x表示函数.但在习惯上， 我们一般用x表示自变量,y用表示函数，为此我们常常对调函 数x=f –1(y) 中的字母x, y，把它改写成y=f –1(x)
反函数的概念的理解 ：
问：y x (x R) 称作 y 2x(x R) 的反函数
2. 若y=f(x)有反函数是y=f –1(x),则函数y=f –1(x)的反函数就
是y=f(x)，它们是互为反函数。
3. 函数y=f(x)存在反函数的充分必要条件
若函数y=f(x)，x A是集合A到集合B的函数,当不同x的
对应不同的y且集合B无剩余元素时,函数y=f(x)存在反函数 4. 反函数与原函数的关系：
1
2
3
4
5x
8 7 6 5 4 3 2 1
8
6
4
2
1
y = f(x)
y = g(x)
2
4
6
8
10
二、图像的对称性
例1 求函数y 3x 2(x R)的反函数; 在同一坐标系中画出原函数 和它的反函数的图像。
解：由y 3x 2,的x y 2 3
y 3x 2的反函数是
反函数的定义域是原函数的值域, 反函数的值域是原函数的定义域。
5、求反函数的步骤: (1)求值:求出y=f(x)的值域 (2)反解: 把y=f(x)看作是x的方程，解出x=f –1(y); (3)互换：将x,y互换得y=f –1(x); (4)注明：注明y=f –1(x)其定义域
（即原 函数的值域 );
解： y 3x 1(x R) 的值域是R
由y 3x 1解得：x y 1,
3
互换经x, y得反函数为：y x 1
3
所以，y

3x
1(x

R)
的反函数是y

x
1 3
(x

R)
(2) y x3 1(x R)
解：y x3 1(x R)的值域是R
由y x3 1解得：x 3 y 1, 互换x, y得反函数为：y 3 x 1 所以，y x3 1(x R) 的反函数是
函数,当不同x的对应不同的y且集合B无剩余 元素时,函数y=f(x)存在反函数.
例：下列函数中，存在反函数的是（ ）
A y (x 1)2
B y (x 1)2 (x 0)
C y (x 1)2 (x 0) D y (x 1)2 (x 2)
y (x 1)2 的函数图象是：
y 3 x 1(x R)
(3) y x 1(x 0)
解：y x 1(x 0)的值域是y 1
由y x 1解得：x ( y 1)2 ,
互换x, y得反函数为：y (x 1)2
所以，y x 1(x 0) 的反函数是 y (x 1)2 (x 1)
y x 2 (x R) 3
B(-2,0)
图像关于直线
A(0,-2)
y=x对称
例2 求函数y x3(x R)的反函数; 在同一坐标系中画出原函数 和它的反函数的图像。
解： y x3 x 3 y y x3的反函数为y 3 x(x R)
三、小结：
1. 反函数的概念及记号； y=f(x)的反函数记为y=f –1(x) 由反函数的概念知：反函数也是函数
据这个函数中x,y的关系，用y把x表示出来，得到x( y) ，如 果对于y在C中的任何一个值 ， 通过x( y) ，x在A中都有唯 一确定的值和它对应，那么，x( y) 就表示y是自变量，x是 自 变 量 y的函数，这样的 函数 x( y) ( y C) 叫做函数
y=f(x) (x A) 的反函数 ，记作
其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定 义域;与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集
合 C f (x) | x A 叫做函数的值域
函数的三要素：定义域A、值域C、对应法则f
什么叫函数？
简言之，函数就是非空数集到非空数集上的映射。
例:画出函数y=2x的定义域到值域上的映射示意图，
(4)
解：
的值域是y R且y 2
由y 2x 3解得：x y 3 ,
x 1
y2
互换x, y得反函数为：y x 3 x2
所以，
的反函数是
y

x x

2 3
(
x

R,
且x

2).
二、求反函数的步骤:
(1)求值:求出y=f(x)的值域 (2)反解:把y=f(x)看作是x的方程,解出x=f –1(y); (3)互换:将x,y互换得y=f –1(x); (4)注明:注明y=f –1(x)其定义域
反函数 3 2.5 2 1.5 1 0.5
2
1
1
2
3
4
镇沅一中 高一223班
复习:函数的概念
设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关 系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯 一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A B为从集合A 到集合B的一个函数,记作
y=f(x), x A
y
6
5 A y (x 1)2
4 B y (x 1)2 (x 0)
3 C y (x 1)2 (x 0)
2
D y (x 1)2 (x 2)
1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0 -1
1 2 34 5 6x
-2
答案:C
请问，一个函数具有在某区间具有单调 性，那么这个函数一定有反函数吗？
y=x2解出x=_____y____,对于y在[0,+)上任一个值，通过式子
x y, x在R上有_两__个__值和它对应，故x_不__是_y的函数。
这表明函数y=x2没有反函数！
并非所有的函数都有反函数！ 什么样的函数才有反函数呢？
函数y=f(x)存在反函数的充分必要条件
若函数y=f(x), x A是集合A 到集合B的
值域:
C
A
结论：反函数的定义域是原函数的值域，
反函数的值域是原函数的定义域。
问：y x (x Z )是不是函数y 2x(x Z )的反函数？
2
答：不是。因为前者的值域显然不是后者的定义域
所以求原来函数的反函数时，必须先确定反函数的定义域
即：确定原函数的值域
例.求下列函数的反函数：
（1） y 3x 1(x R)
例：y=x2在[0，+∞）上是增函数， y=x2也有反函数
例是：它y在=x1x≠在0 上x≠没0 有上单面调具性有!反函数,但
所以，函数在某区间上面具有单调性， 那么肯定有反函数，但是若函数有反 函数，不一定是单调的！
4、反函数与原函数的关系：
表达式： 定义域：
原函数
y=f(x) A
反数数
y=f –1(x) ( x=f –1(y) ) C
（即原函数的值域 );
反函数的图象关系 3 2.5 2 1.5 1 0.5
2
1
1
2
3
4
首先，我们来看两个函数
y log2x y 2x
思考一下，这两个函数图像 有什么关系？
4
y
y=log2x
3
2
1
x
2
O
A2
4
6
8
10
1
2
4.5
y
4 3.5
3 2.5
2 1.5
1 0.5
4
3
2
1
O
0.5
y=2x