2020-2021学年九年级(上)月考数学试卷(附详解)
2020-2021学年九年级（上）月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.下列方程一定是一元二次方程的是()A. 3x2+2x−1=0 B. 5x2−6y−3=0 C. ax2+bx+c=0 D. 3x2−2x−1=02.某班六名同学体能测试成绩(分)如下：80，90，75，75，80，80，对这组数据表述错误的是()A. 众数是80B. 方差是25C. 平均数是80D. 中位数是753.菱形的两条对角线的分别为60cm和80cm，那么边长是()A. 60cmB. 50cmC. 40cmD. 80cm4.如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是(−1,0)，点C的坐标是(2,4)，则BD的长是()A. 6B. 5C. 3√3D. 4√25.如图，在▱ABCD中，AD=12，AB=8，AE平分∠BAD，交BC边于点E，则CE的长为()A. 8B. 6C. 4D. 26.如图，在正方形ABCD中，点F是AB上一点，CF与BD交于点E.若∠BCF=25°，则∠AED的度数为()A. 60°B. 65°C. 70°D. 75°7.二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y=ax+b的图象大致是()A. B.C. D.8.若顺次连接对角线互相垂直的四边形ABCD四边的中点，得到的图形一定是()A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形9.若m是方程x2−2x−1=0的根，则1+m−12m2的值为()A. 12B. 1C. 32D. 210.小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为85分、80分、90分，若依次按照2：3：5的比例确定成绩，则小王的成绩是()A. 255分B. 84分C. 84.5分D. 86分11.已知A(x1,y1)，B(x2,y2)是二次函数图象上y=ax2−2ax+a−c(a≠0)的两点，若x1≠x2且y1=y2，则当自变量x的值取x1+x2时，函数值为()A. −cB. cC. −a+cD. a−c12.已知二次函数y=−x2+mx+m(m为常数)，当−2≤x≤4时，y的最大值是15，则m的值是()A. −19或315B. 6或315或−10 C. −19或6 D. 6或315或−19二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.已知函数关系式：y=√x−1，则自变量x的取值范围是______．14.已知x1，x2是方程x2+x−1=0的两根，则x2x1+x1x2=______．15.将直线y=2x+1平移后经过点(5,1)，则平移后的直线解析式为______．16.某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为______．17.如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长为______．18.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(−12,0)，对称轴为直线x=1，下列5个结论：①abc<0；②a−2b+4c=0；③2a+b>0；④2c−3b<0；⑤a+b≤m(am+b).其中正确的结论为______.(注：只填写正确结论的序号)三、解答题（本大题共8小题，共66.0分）19.已知一个二次函数的图象经过点A(−1,0)、B(3,0)和C(0,−3)三点．(1)求此二次函数的解析式；(2)求此二次函数的图象的对称轴和顶点坐标．20.解一元二次方程：(1)x2+4x+1=0(配方法)；(2)用公式法解方程：2x2+3x−1=0．21.某校八年级学生在一次射击训练中，随机抽取10名学生的成绩如下表，请回答问题：环数6789人数152(1)填空：10名学生的射击成绩的众数是______，中位数是______．(2)求这10名学生的平均成绩．(3)若9环(含9环)以上评为优秀射手，试估计全年级500名学生中有多少是优秀射手？22.如图，矩形ABCD，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB、CD边于点E，F．(1)求证：四边形DEBF是平行四边形；(2)当四边形DEBF是菱形时，求菱形的边长．23.庆阳市是传统的中药材生产区，拥有丰富的中药材资源，素有“天然药库”“中药之乡”的美称．优越的地理气候条件形成了较独特的资源禀赋，孕育了丰富的中药植物资源和优良品种．某种植户2016年投资20万元种植中药材，到2018年三年共累计投资95万元，若在这两年内每年投资的增长率相同．(1)求该种植户每年投资的增长率；(2)按这样的投资增长率，请你预测2019年该种植户投资多少元种植中药材．24.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−43x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．(1)求AB的长；(2)求点C和点D的坐标；(3)y轴上是否存在一点P，使得S△PAB=12S△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．25.某公司生产一种健身产品在市场上很受欢迎，该公司每年的年产量为6万件，每年可在国内和国外两个市场全部销售，若在国内销售，平均每件产品的利润y1(元)与国内销售量x(万件)的函数关系式为y1={80(0≤x≤1)−x+81(1<x≤6)若在国外销售，平均每件产品的利润为71元．(1)求该公司每年的国内和国外销售的总利润w(万元)与国内销售量x(万件)的函数关系式，并指出x的取值范围．(2)该公司每年的国内国外销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值是多少？(3)该公司计划在国外销售不低于5万件，并从国内销售的每件产品中捐出2m(5≤m≤10)元给希望工程，从国外销售的每件产品中捐出m元给希望工程，若这时国内国外销售的最大总利润为393万元，求m的值．26.如果一条抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．(1)“抛物线三角形”一定是______三角形；(2)若抛物线y=−x2+bx(b>0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；(3)如图，△OAB是抛物线y=−x2+b′x(b′>0)的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．(4)若抛物线y=−x2+4mx−8m+4与直线y=3交点的横坐标均为整数，是否存在整数m的值使这条抛物线的“抛物线三角形”有一边上的中线长恰好等于这边的长？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、含有分式，3x2+2x−1=0不是一元二次方程，故此选项不合题意；B、含有2个未知数，5x2−6y−3=0不是一元二次方程，故此选项不合题意；C、当a=0时，ax2+bx+c=0不是一元二次方程，故此选项不合题意；D、3x2−2x−1=0是一元二次方程，故此选项符合题意；故选：D．利用与一元二次方程定义进行分析即可．此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．2.【答案】D【解析】解：A、80出现的次数最多，所以众数是80，正确，不符合题意；B、方差是：16×[3×(80−80)2+(90−80)2+2×(80−75)2]=25，正确，不符合题意；C、平均数是(80+90+75+75+80+80)÷6=80，正确，不符合题意；D、把数据按大小排列，中间两个数都为80，80，所以中位数是80，错误，符合题意．故选：D．根据众数，方差、平均数，中位数的概念逐项分析即可．本题为统计题，考查方差、众数、平均数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．3.【答案】B【解析】解：∵菱形的两条对角线长分别为60cm和80cm，∴该菱形的边长为√302+402=50，故选：B．由菱形的性质以及两条对角线长可求出其边长．此题考查了菱形的性质与勾股定理．此题比较简单，注意掌握菱形的面积的求解方法是解此题的关键．4.【答案】B 【解析】解：∵点A的坐标是(−1,0)，点C的坐标是(2,4)，∴线段AC=√(4−0)2+(2+1)2=5，∵四边形ABCD是矩形，∴BD=AC=5，故选：B．利用矩形的性质求得线段AC的长即可求得BD的长．本题考查了矩形的性质，能够求得对角线AC的长是解答本题的关键，难度不大．5.【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=12，AD//BC，∴∠DAE=∠BEA，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BEA=∠BAE，∴BE=AB=8，∴CE=BC−BE=4．故选：C．由平行四边形的性质得出BC=AD=12，AD//BC，得出∠DAE=∠BEA，证出∠BEA=∠BAE，得出BE=AB，即可得出CE的长．本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证出BE=AB是解决问题的关键．6.【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，DC=DA，∠ADE=∠CDE=45°．又DE=DE，∴△ADE≌△CDE(SAS)．∴∠DAE=∠DCE=90°−25°=65°．∴∠AED=180°−45°−65°=70°．故选：C．先证明△ABE≌△ADE，得到∠ADE=∠ABE=90°−25°=65°，在△ADE中利用三角形内角和180°可求∠AED度数．本题主要考查了正方形的性质，解决正方形中角的问题一般会涉及对角线平分对角成45°．7.【答案】D【解析】解：由二次函数图象，得出a<0，−b2a<0，b<0，A、一次函数图象，得a>0，b>0，故A错误；B、一次函数图象，得a<0，b>0，故B错误；C、一次函数图象，得a>0，b<0，故C错误；D、一次函数图象，得a<0，b<0，故D正确；故选：D．可先根据二次函数的图象判断a、b的符号，再判断一次函数图象与实际是否相符，判断正误．本题考查了二次函数图象，应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．8.【答案】B【解析】解：如图，AC⊥BD，E、F、G、H分别为各边的中点，连接点E、F、G、H．∵E、F、G、H分别为各边的中点，∴EF//AC，GH//AC，EH//BD，FG//BD(三角形的中位线平行于第三边)，∴四边形EFGH是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)，∵AC⊥BD，EF//AC，EH//BD，∴∠EMO=∠ENO=90°，∴四边形EMON是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)，∴∠MEN=90°，∴四边形EFGH是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)．故选：B．根据三角形中位线的性质，可得到这个四边形是平行四边形，再由对角线垂直，能证出有一个角等于90°，则这个四边形为矩形．本题考查了中点四边形．矩形的判定方法，常用的方法有三种：①一个角是直角的平行四边形是矩形．②三个角是直角的四边形是矩形．③对角线相等的平行四边形是矩形．9.【答案】A【解析】解：∵m是方程x2−2x−1=0的根，∴m2−2m−1=0，∴m2−2m=1，∴1+m−12m2=1−12(m2−2m)=1−12=12，故选：A．根据一元二次方程的解的定义，将x=m代入已知方程后即可求得所求代数式的值．本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．10.【答案】D【解析】【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．此题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的求法是解本题的关键．【解答】解：根据题意得：85×22+3+5+80×32+3+5+90×52+3+5=17+24+45=86(分)，故选：D．11.【答案】D【解析】【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．先求出抛物线的对称轴为直线x=1，则可判断A(x1,y1)和B(x2,y2)关于直线x=1对称，所以x2−1=1−x1，即x1+x2=2，然后计算自变量为2对应的函数值即可．【解答】解：抛物线的对称轴为直线x=−−2a2a=1，∵x1≠x2且y1=y2，∴A(x1,y1)和B(x2,y2)关于直线x=1对称，∴x2−1=1−x1，∴x1+x2=2，当x=2时，y=ax2−2ax+a−c=4a−4a+a−c=a−c．故选：D．12.【答案】C【解析】解：∵二次函数y=−x2+mx+m=−(x−m2)2+m24+m，∴抛物线的对称轴为x=m2，∴当m2<−2时，即m<−4，∵当−2≤x≤4时，y的最大值是15，∴当x=−2时，−(−2)2−2m+m=15，得m=−19；当−2≤m2≤4时，即−4≤m≤8时，∵当−2≤x≤4时，y的最大值是15，∴当x=m2时，m24+m=15，得m1=−10(舍去)，m2=6；当m2>4时，即m>8，∵当−2≤x≤4时，y的最大值是15，∴当x=4时，−42+4m+m=15，得m=315(舍去)；由上可得，m的值是−19或6；故选：C．根据题意和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以求得m的值，从而可以解答本题．本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．13.【答案】x≥1【解析】解：根据题意得，x−1≥0，解得x≥1．故答案为：x≥1．根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．14.【答案】−3【解析】解：根据题意得x1+x2=−1，x1x2=−1，所以x2x1+x1x2=x22+x12x1x2=(x1+x2)2−2x2x1x1x2=1+2−1=−3．故答案为−3．根据根与系数的关系得到x1+x2=−1，x1x2=−1，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．15.【答案】y=2x−9【解析】解：设平移后的解析式为：y=2x+b，∵将直线y=2x+1平移后经过点(5,1)，∴1=10+b，解得：b=−9，故平移后的直线解析式为：y=2x−9．故答案为：y=2x−9．直接利用一次函数平移的性质假设出解析式进而得出答案．此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确假设出解析式是解题关键．16.【答案】x(x−1)=1056【解析】解：∵全班有x名同学，∴每名同学要送出(x−1)张；又∵是互送照片，∴总共送的张数应该是x(x−1)=1056．故答案为：x(x−1)=1056．如果全班有x名同学，那么每名同学要送出(x−1)张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x(x−1)张，即可列出方程．本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．17.【答案】√262【解析】解：根据勾股定理，AB=√12+52=√26，BC=√22+22=2√2，AC=√32+33=3√2，∵AC2+BC2=AB2=26，∴△ABC是直角三角形，∵点D为AB的中点，∴CD=12AB=12×√26=√262．故答案为：√262．根据勾股定理列式求出AB、BC、AC，再利用勾股定理逆定理判断出△ABC是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，勾股定理逆定理的应用，判断出△ABC是直角三角形是解题的关键．18.【答案】②⑤【解析】解：①函数的对称轴在y轴右侧，则ab<0，而c<0，故abc>0，故①错误，不符合题意；②将点(−12,0)代入函数表达式得：a−2b+4c=0，故②正确，符合题意；③函数的对称轴为直线x=−b2a=1，即b=−2a，故2a+b=0，故③错误，不符合题意；④由②③得：a−2b+4c=0，b=−2a，则c=−5a4，故2c−3b=7a2>0，故④错误，不符合题意；⑤当x=1时，函数取得最小值，即a+b+c≤m(am+b)+c，故⑤正确，符合题意；故答案为②⑤．根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型．19.【答案】解：(1)设二次函数解析式为y=a(x+1)(x−3)，∵抛物线过点C(0,−3)，∴−3=a(0+1)(0−3)，解得a=1，∴y=(x+1)(x−3)，∴y二次函数的解析式=x2−2x−3．(2)由y=x2−2x−3=(x−1)2−4，∴对称轴是直线x=1，顶点坐标是(1,−4)．【解析】(1)根据A与B的坐标设出抛物线的解析式，把C坐标代入确定出即可；(2)把解析式化成顶点式即可求得．此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．20.【答案】解：(1)∵x2+4x+1=0，∴x2+4x+4=3，∴(x+2)2=3，∴x+2=±√3，∴x1=−2+√3，x2=−2−√3；(2)∵a=2，b=3，c=−1，∴△=32−4×2×(−1)=17>0，则x=−3±√174．∴x1=−3+√174，x2=−3−√174．【解析】(1)利用配方法求解可得；(2)利用公式法求解可得．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．21.【答案】7环7环【解析】解：(1)射击成绩出现次数最多的是7环，共出现5次，因此众数是7环，射击成绩从小到大排列后处在第5、6位的数都是7环，因此中位数是7环，故答案为：7环，7环．(2)6+7×5+8×2+9×210=7.5环，答：这10名学生的平均成绩为7.5环．(3)500×210=100人，答：全年级500名学生中有100名是优秀射手．(1)根据众数、中位数的意义将10名学生的射击成绩排序后找出第5、6位两个数的平均数即为中位数，出现次数最多的数是众数．(2)根据平均数的计算方法进行计算即可，(3)样本估计总体，用样本中优秀人数的所占的百分比估计总体中优秀的百分比，用总人数乘以这个百分比即可．考查平均数、众数、中位数的意义及求法，理解样本估计总体的统计方法．22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，∴∠A=90°，AD=BC=4，AB//DC，OB=OD，∴∠OBE=∠ODF，∴△BOE≌△DOF(ASA)，∴EO=FO，∴四边形BEDF是平行四边形；(2)解：当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，设BE=x，则DE=x，AE=6−x，在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2，∴x2=42+(6−x)2，解得：x=133，∴菱形的边长为133．【解析】(1)根据平行四边形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF(ASA)，得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；(2)在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出DF的长即可求得菱形的边长．本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键．23.【答案】解：(1)设这两年该该种植户每年投资的年平均增长率为x，则2017年种植投资为20(1+x)万元，2018年种植投资为20(1+x)2万元，根题意得：20+20(1+x)+20(1+x)2=95，解得：x=−3.5(舍去)或x=0.5=50%．∴该种植户每年投资的增长率为50%；(2)2019年该种植户投资额为：20(1+50%)3=67.5(万元)．【解析】(1)设这两年该该种植户每年投资的年平均增长率为x.根据题意2017年种植投资为20(1+x)万元，2018年种植投资为20(1+x)2万元．根据题意得方程求解；(2)用种植户每年投资的增长率即可预测2019年该种植户投资额．主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a(1+x)n，其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，x是增长率．24.【答案】解：(1)令x=0得：y=4，∴B(0,4)．∴OB=4令y=0得：0=−43x+4，解得：x=3，∴A(3,0)．∴OA=3．在Rt△OAB中，AB=√OA2+OB2=5．∴OC=OA+AC=3+5=8，∴C(8,0)．设OD=x，则CD=DB=x+4．在Rt△OCD中，DC2=OD2+OC2，即(x+4)2=x2+82，解得：x=6，∴D(0,−6)．(3)∵S△PAB=12S△OCD，∴S△PAB=12×12×6×8=12．∵点Py轴上，S△PAB=12，∴12BP⋅OA=12，即12×3BP=12，解得：BP=8，∴P点的坐标为(0,12)或(0,−4)．【解析】(1)先求得点A和点B的坐标，则可得到OA、OB的长，然后依据勾股定理可求得AB的长，(2)依据翻折的性质可得到AC的长，于是可求得OC的长，从而可得到点C的坐标；设OD=x，则CD=DB= x+4.，Rt△OCD中，依据勾股定理可求得x的值，从而可得到点D(0,−6)．(3)先求得S△PAB的值，然后依据三角形的面积公式可求得BP的长，从而可得到点P的坐标．本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、勾股定理、待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式，依据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．25.【答案】解：(1)w=y1⋅x+71(6−x)={80x +426−71x(0≤x ≤1)−x 2+81x +426−71x(1<x ≤6) ={9x +426(0≤x ≤1)−x 2+10x +426(1<x ≤6) ∴w ={9x +426(0≤x ≤1)−x 2+10x +426(1<x ≤6)(2)由(1)知，当x =1时，9x +426的最大值为435；当1<x ≤6时，−x 2+10x +426的最大值为x =5时的值，即451，451>435∴当该公司每年的国内销售量为5万件国外销售量为1万件时，可使公司每年的总利润最大，最大值是451万元．(3)∵该公司计划在国外销售不低于5万件，而该公司每年的年产量为6万件 ∴该公司每年在国内销售的件数x 的范围为：0≤x ≤1则总利润w =(80−2m)x +(71−m)(6−x)=(9−m)x +426−6m 显然当10≥m ≥9时，w 的值小于393，当5≤m <9时，9−m >0，当x =1时，令w =(9−m)×1+426−6m =393 解得m =6，当x =0时，令w =426−6m =393，解得m =5.5 经验证，发现当5.5≤m ≤6时符合题意，其他值都不符合． ∴m 的值为5.5≤m ≤6．【解析】(1)由利润等于每件的利润乘以件数，代入分段函数解析式，化简可得解； (2)结合(1)分别计算分段利润函数的最大值，最后得出最大值即可； (3)该公司计划在国外销售不低于5万件，而该公司每年的年产量为6万件 则该公司每年在国内销售的件数x 的范围为：0≤x ≤1则总利润w =(80−2m)x +(71−m)(6−x)=(9−m)x +426−6m 按照x 值的范围代入，结合最大利润为393万元，可分析求得．本题考查了二次函数在成本利润问题中的应用，前两问相对比较简单，第三问由于含有两个变量，分析难度较大，总体来说，本题中等难度略大．26.【答案】等腰【解析】解：(1)如图；根据抛物线的对称性，抛物线的顶点A 必在O 、B 的垂直平分线上，所以OA =AB ，即：“抛物线三角形”必为等腰三角形． 故答案为：等腰．(2)当抛物线y =−x 2+bx(b >0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形， 该抛物线的顶点(b 2,b 24)，满足b2=b 24(b >0)．则b =2．(3)存在．如图，作△OCD 与△OAB 关于原点O 中心对称，则四边形ABCD 为平行四边形．当OA =OB 时，平行四边形ABCD 是矩形， 又∵AO =AB ， ∴△OAB 为等边三角形． ∴∠AOB =60°， 作AE ⊥OB ，垂足为E ， ∴AE =OEtan∠AOB =√3OE ． ∴b′24=√3×b′2(b >0)．∴b′=2√3．∴A(√3,3)，B(2√3,0)． ∴C(−√3,−3)，D(−2√3,0)．设过点O 、C 、D 的抛物线为y =mx 2+nx ，则 {12m −2√3n =03m −√3n =0， 解得{m =1n =2√3，故所求抛物线的表达式为y =x 2+2√3x. (4)由−x 2+4mx −8m +4=3，x =4m±√16m2−4(8m−1)2=2m ±√4m 2−8m +1，当x 为整数时，须4m 2−8m +1为完全平方数，设4m 2−8m +1=n 2(n 是整数)整理得： (2m −2)2−n 2=3，即(2m −2+n)(2m −2−n)=3两个整数的积为3，∴{2n −2+n =12m −2−n =3或{2m −2+n =32m −2−n =1或{2m −2+n =−12m −2+n =−3或{2m −2+n =−32m −2+n =−1解得：{m =2n =−1或{m =2n =1或{m =0n =1或{m =0n =−1，综上，得：m =2或m =0；根据题意，抛物线的“抛物线三角形”有一边上的中线长恰好等于这边的长，当m =2时，抛物线方程为y =−x 2+8x −12=−(x −4)2+4，满足抛物线三角形的底边长等于这边的中线长；当m=0时，抛物线方程为y=−x2+4，满足抛物线三角形的底边长等于这边的中线长；∴抛物线与直线y=3交点的横坐标均为整数时m=2或m=0．(1)抛物线的顶点必在抛物线与x轴两交点连线的垂直平分线上，因此这个“抛物线三角形”一定是等腰三角形．(2)观察抛物线的解析式，它的开口向下且经过原点，由于b>0，那么其顶点在第一象限，而这个“抛物线三角形”是等腰直角三角形，必须满足顶点坐标的横、纵坐标相等，以此作为等量关系来列方程解出b 的值．(3)由于矩形的对角线相等且互相平分，所以若存在以原点O为对称中心的矩形ABCD，那么必须满足OA= OB，结合(1)的结论，这个“抛物线三角形”必须是等边三角形，首先用b′表示出AE、OE的长，通过△OAB 这个等边三角形来列等量关系求出b′的值，进而确定A、B的坐标，即可确定C、D的坐标，利用待定系数即可求出过O、C、D的抛物线的解析式．(4)联立两个函数的解析式，通过所得方程先求出这个方程的两个根，然后通过这两个根都是整数确定m的整数值．本二次函数综合题融入了新定义的形式，涉及到：二次函数的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，重在考查基础知识的掌握情况，解题的思路并不复杂，但计算过程较为复杂，间接增大了题目的难度．。
2020-2021学年山东省德州九中九年级(上)第一次月考数学试卷(10月份)(附答案详解)
2020-2021学年山东省德州九中九年级（上）第一次月考数学试卷（10月份）一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.下列方程中，是一元二次方程的是()A. ax2+2x=1B. x+1x−1=0C. 3(x+2)2=3x2−4x+1D. 3x2−12=x+232.下列抛物线中，与抛物线y=x2−2x+4具有相同对称轴的是()A. y=4x2+2x+1B. y=2x2−4x+1C. y=2x2−x+4D. y=x2−4x+23.若x=2是关于x的一元二次方程x2−mx+8=0的一个解．则m的值是()A. 6B. 5C. 2D. −64.用配方法解方程x2+10x+9=0，配方后可得()A. (x+5)2=16B. (x+5)2=1C. (x+10)2=91D. (x+10)2=1095.某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数共31.若设主干长出x个支干，则可列方程是()A. (1+x)2=31B. 1+x+x2=31C. (1+x)x=31D. 1+x+2x=316.已知点A(−3,y1)，B(−1,y2)，C(2,y3)在函数y=−x2−2x+b的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为()A. y1<y3<y2B. y3<y1<y2C. y3<y2<y1D. y2<y1<y37.设a，b是方程x2+x−2020=0的两个实数根，则a2+2a+b的值是()A. 2021B. 2020C. 2019D. 20188.二次函数y=−2x2+4x+1的图象如何平移可得到y=−2x2的图象()A. 向左平移1个单位，向上平移3个单位B. 向右平移1个单位，向上平移3个单位C. 向左平移1个单位，向下平移3个单位D. 向右平移1个单位，向下平移3个单位9.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2−(m−1)x+m(m>1)沿y轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限10.在同一平面直角坐标系内，二次函数y=ax2+bx+b(a≠0)与一次函数y=ax+b的图象可能是()A. B.C. D.11.已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=1，且它与x轴交于A、B两点．若AB的长是6，则该抛物线的顶点坐标为()A. (1,9)B. (1,8)C. (1,−9)D. (1,−8)12.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(−1,0)和B，与y轴交于点C.下列结论：①abc<0，②2a+b<0，③4a−2b+c>0，④3a+c>0，其中正确的结论个数为()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13.方程x2=2x的根为______．14.篮球联赛实行单循环赛制，即每两个球队之间进行一场比赛，计划一共打36场比赛，设一共有x个球队参赛，根据题意，所列方程为______．15.抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则当y>0时，x的取值范围是______16.若二次函数y=(k−2)x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是______．17.抛物线y=12x2+mx+m+12经过定点的坐标是______18.平面直角坐标系中，将抛物线y=−x2平移得到抛物线C，如图所示，且抛物线C经过点A(−1,0)和B(0,3)，点P是抛物线C上第一象限内一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，则OQ+PQ的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19.解方程：(1)2x2+5x=−1；(2)2(x−3)2=x2−9．20.已知关于x的一元二次方程x2+(4m+1)x+2m−1=0，(1)求证：不论m任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两根为x1、x2且满足1x1+1x2=−12，求m的值．21.我市某楼盘原计划以每平方米5000元的均价对外销售，由于国家“限购”政策出台，购房者持币观望，房产商为了加快资金周转，对该楼盘价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．(1)求两次下调的平均百分率；(2)对开盘当天购房的客户，房产商在开盘均价的基础上，还给予以下两种优惠方案供选择：①打9.9折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米40元，某客户在开盘当天购买了该楼盘的一套120平方米的商品房，试问该客户选择哪种方案购房更优惠一些？x2+bx+c经过点A(3√3,0)和点B(0,3)，且这个抛物线的对称轴为22.抛物线y=−13直线l，顶点为C．(1)求抛物线的解析式；(2)连接AB、AC、BC，求△ABC的面积．23.如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横竖彩条的宽度比为2：1，如果要使彩条所占的面积是图案面积的19，则竖彩条宽度为多少？7524.商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答：(1)商场日销售量增加______件，每件商品盈利______元(用含x的代数式表示)．(2)在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？(3)在上述条件不变、销售正常情况下，商场日盈利可以达到2200元吗？如果可以，请求出x，如果不行，请说明理由．25.已知直线l：y=−2，抛物线C：y=ax2−1经过点(2,0)(1)求a的值；(2)如图①，点P是抛物线C上任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q.求证：PO=PQ；(3)请你参考(2)中的结论解决下列问题1.如图②，过原点作直线交抛物线C于A，B两点，过此两点作直线l的垂线，垂足分别为M，N，连接ON，OM，求证：OM⊥ON；2.如图③，点D(1,1)，使探究在抛物线C上是否存在点F，使得FD+FO取得最小值？若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查一元二次方程的概念，一元二次方程未知数的最高次数是2，为整式方程，并且二次项系数不为0.找到化简后未知数的最高次数是2，二次项系数不为0的整式方程的选项即可．【解答】解：A、a有可能为0，不符合题意；B、为分式方程，不符合题意；C、化简后为一元一次方程，不符合题意；D、未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是一元二次方程，符合题意；故选D．2.【答案】B【解析】解：抛物线y=x2−2x+4的对称轴为x=1；A、y=4x2+2x+1的对称轴为x=−1，不符合题意；4B、y=2x2−4x+1的对称轴为x=1，符合题意；C、y=2x2−x+4的对称轴为x=1，不符合题意；4D、y=x2−4x+2的对称轴为x=2，不符合题意，故选B．根据对称轴方程分别确定各个抛物线的对称轴后即可作出判断．此题考查了二次函数的性质，牢记对称轴方程公式是解答本题的关键，难度不大．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的解，此题比较简单，易于掌握．先把x的值代入方程即可得到一个关于m的方程，解一元一次方程即可．【解答】解：把x=2代入方程得：4−2m+8=0，解得m=6．故选：A．4.【答案】A【解析】解：方程x2+10x+9=0，整理得：x2+10x=−9，配方得：x2+10x+25=16，即(x+5)2=16，故选A．方程移项，利用完全平方公式化简得到结果即可．此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．5.【答案】B【解析】解：设主干长出x个支干，根据题意列方程得：x2+x+1=31．故选：B．由题意设主干长出x个支干，每个支干又长出x个小分支，则又长出x2个小分支，则共有x2+x+1个分支，即可列方程．此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确二次函数的性质，找出所求问题需要的条件．根据二次函数图象具有对称性和二次函数的增减性，可以判断y1、y2、y3的大小，从而可以解答本题．【解答】解：∵y=−x2−2x+b，∴函数y =−x 2−2x +b 的对称轴为直线x =−1，开口向下，当x <−1时，y 随x 的增大而增大，当x >−1时，y 随x 的增大而减小， ∵−1−(−3)=2，−1−(−1)=0，2−(−1)=3， ∴y 3<y 1<y 2， 故选B ．7.【答案】C【解析】解：∵a ，b 是方程x 2+x −2020=0的两个实数根， ∴a 2+a =2020，a +b =−1，∴a 2+2a +b =(a 2+a)+(a +b)=2020−1=2019． 故选：C ．根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a 2+a =2020、a +b =−1，将其代入a 2+2a +b =(a 2+a)+(a +b)中即可求出结论．本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出a 2+a =2020、a +b =−1是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：二次函数y =−2x 2+4x +1的顶点坐标为(1,3)，y =−2x 2的顶点坐标为(0,0)，只需将函数y =−2x 2+4x +1的图象向左移动1个单位，向下移动3个单位即可． 故选：C ．根据配方法，可得顶点式解析式，根据右移减，上移加，可得答案．本题考查函数的图象变换，讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可．9.【答案】D【解析】解：∵y =x 2−(m −1)x +m =(x −m−12)2+m −(m−1)24，∴该抛物线顶点坐标是(m−12,m −(m−1)24)，∴将其沿y 轴向下平移3个单位后得到的抛物线的顶点坐标是(m−12,m −(m−1)24−3)，∵m>1，∴m−1>0，∴m−12>0，∵m−(m−1)24−3=4m−(m2−2m+1)−124=−(m−3)2−44=−(m−3)24−1<0，∴点(m−12,m−(m−1)24−3)在第四象限；故选：D．根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，然后结合m的取值范围判断新抛物线的顶点所在的象限即可．本题考查了二次函数的图象与性质、平移的性质、抛物线的顶点坐标等知识；熟练掌握二次函数的图象和性质，求出抛物线的顶点坐标是解题的关键．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据a、b的正负确定一次函数图象经过的象限是解题的关键．根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．【解答】解：A.二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a>0，b<0，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，故A错误；B.∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴a<0，b<0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，故B错误；C.二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a>0，b<0，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，故C 正确；∵D.二次函数图象开口向上，对称轴在y 轴右侧，∴a >0，b <0，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y 轴负半轴的同一点， 故D 错误；故选C ．11.【答案】C【解析】解：∵抛物线y =x 2+bx +c 的对称轴为x =1，且它与x 轴交于A 、B 两点．AB 的长是6，∴点A 的坐标为(−2,0)，点B 的坐标为(4,0)或点A 的坐标为(4,0)，点B 的坐标为(−2,0)， ∴{−b 2×1=14−2b +c =0， 得{b =−2c =−8， ∴y =x 2−2x −8=(x −1)2−9，∴该抛物线的顶点坐标为(1,−9)，故选：C ．根据题意可以得到点A 和点B 的坐标，然后根据对称轴为x =1可以求得b 、c 的值，然后将函数解析式化为顶点式即可解答本题．本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．12.【答案】B【解析】解：①∵由抛物线的开口向上知a >0，∵对称轴位于y 轴的右侧，∴b <0．∵抛物线与y 轴交于负半轴，∴c <0，∴abc >0；故错误；<1，得2a>−b，即2a+b>0，②对称轴为x=−b2a故错误；③如图，当x=−2时，y>0，4a−2b+c>0，故正确；④∵当x=−1时，y=0，∴0=a−b+c<a+2a+c=3a+c，即3a+c>0．故正确．综上所述，有2个结论正确．故选：B．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴求出2a与b的关系．本题主要考查抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系．13.【答案】x1=0，x2=2【解析】解：x2=2x，x2−2x=0，x(x−2)=0，x=0，或x−2=0，x1=0，x2=2，故答案为：x1=0，x2=2．移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．本题考查了解一元二次方程−因式分解法，因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．14.【答案】12x(x −1)=36【解析】解：设一共有x 个球队参赛，每个队都要赛(x −1)场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：12x(x −1)=36，故答案为12x(x −1)=36．赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，x 个球队比赛总场数为x(x−1)2，即可列方程．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．15.【答案】−1<x <3【解析】解：抛物线的对称轴为直线x =1，而抛物线与x 轴的一个交点坐标为(−1,0)，所以抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(3,0)，所以当−1<x <3时，y >0．故答案为−1<x <3．利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(3,0)，然后写出抛物线在x 轴上方所对应的自变量的范围即可．本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y =ax 2+bx +c(a,b ，c 是常数，a ≠0)与x 轴的交点坐标问题转化解．关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．16.【答案】k ≤3且k ≠2【解析】解：∵二次函数y =(k −2)x 2+2x +1的图象与x 轴有交点，∴一元二次方程(k −2)x 2+2x +1=0有解，∴{k −2≠0△=22−4(k −2)=12−4k ≥0， 解得：k ≤3且k ≠2．故答案为：k ≤3且k ≠2．根据二次函数图象与x 轴有交点可得出关于x 的一元二次方程有解，根据根的判别式结合二次项系数非零即可得出关于k 的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论． 本题考查了抛物线与x 轴的交点、根的判别式以及解一元一次不等式组，根据根的判别式△≥0结合二次项系数非零找出关于k 的一元一次不等式组是解题的关键．17.【答案】(−1,1)【解析】解：∵y =12x 2+(x +1)m +12，∵抛物线经过定点，∴x +1=0，∴x =−1，y =1，∴定点坐标为(−1,1)，故答案为(−1,1)由y =12x 2+(x +1)m +12，抛物线经过定点，可得x +1=0，由此即可解决问题； 本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，定点问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．18.【答案】214【解析】解：设平移后的解析式为y =−x 2+bx +c ，∵抛物线C 经过点A(−1,0)和B(0,3)，∴{−1−b +c =0c =3，解得{b =2c =3， ∴抛物线C 的解析式为y =−x 2+2x +3，设Q(x,0)，则P(x,−x 2+2x +3)，∵点P 是抛物线C 上第一象限内一动点，∴OQ +PQ =x +(−x 2+2x +3)=−x 2+3x +3=−(x −32)2+214，∴OQ +PQ 的最大值为214，故答案为214．求得抛物线C 的解析式，设Q(x,0)，则P(x,−x 2+2x +3)，即可得出OQ +PQ =x +(−x 2+2x +3)=−(x −32)2+214，根据二次函数的性质即可求得．本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，根据题意得出OQ +PQ =−x 2+3x +3是解题的关键．19.【答案】解：(1)2x 2+5x +1=0，∵a =2，b =5，c =1，∴b 2−4ac =52−4×2×1=17，∴x =−b±√b 2−4ac 2a=−5±√172，， ∴x 1=−5+√172，x 2=−5−√172；(2)2(x −3)2=x 2−9，2(x −3)2−(x −3)(x +3)=0，(x −3)(2x −6−x −3)=0，∴x −3=0或x −9=0，∴x 1=3，x 2=9．【解析】(1)先把方程化为一般式，然后利用公式法解方程；(2)先把方程变形为2(x −3)2−(x −3)(x +3)=0，然后利用因式分解法解方程． 本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法解一元二次方程．20.【答案】解：(1)证明：Δ=(4m +1)2−4(2m −1)=16m 2+8m +1−8m +4=16m 2+5>0，∴不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)∵1x 1+1x 2=−12，即x 1+x 2x 1x 2=−12， ∴由根与系数的关系可得−4m−12m−1=−12，解得 m =−12，经检验得出m =−12是原方程的根，即m的值为−12．【解析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根的情况与判别式Δ的符号的关系，把求未知系数的范围问题转化为解不等式的问题，体现了转化的数学思想．(1)要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明Δ>0即可；(2)因为1x1+1x2=x1+x2x1x2=−12，所以由根与系数的关系可得−4m−12m−1=−12，解方程可得m的值．21.【答案】解：(1)设两次下调的平均百分率为x，根据题意得：5000(1−x)2=4050，解得：x1=0.1=10%，x2=1.9(舍去)，答：两次下调的平均百分率为10%．(2)∵方案①可优惠4050×120×(1−0.99)=4860(元)，方案②可优惠400×120=4800(元)，且4860>4800，∴方案①更优惠．【解析】(1)根据每次的均价等于上一次的价格乘以(1−x)(x为平均每次下调的百分率)，可列出一个一元二次方程，解此方程可得平均每次下调的百分率；(2)根据优惠方案先分别求出方案①和方案②的优惠钱数，再进行比较即可得出答案．本题主要考查一元二次方程在实际中的应用：解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．22.【答案】解：(1)∵抛物线y=−13x2+bx+c经过A(3√3,0)、B(0,3)，∴{−9+3√3b+c=0 c=3由上两式解得b=2√33，∴抛物线的解析式为：y=−13x2+2√33x+3；(2)由(1)抛物线对称轴为直线x=√3，把x=√3代入，y=−13x2+2√33x+3得y=4，则点C坐标为(√3,4)，设线段AB所在直线为：y=kx+b，解得AB解析式为：y=−√33x+3，∵线段AB所在直线经过点A(3√3,0)、B(0,3)，抛物线的对称轴l与直线AB交于点D，∴设点D的坐标为D(√3,m)，将点D(√3,m)代入y=−√33x+3，解得m=2，∴点D坐标为(√3,2)，∴CD=CE−DE=2过点B作BF⊥l于点F，∴BF=OE=√3，∵BF+AE=OE+AE=OA=3√3，∴S△ABC=S△BCD+S△ACD=12CD⋅BF+12CD⋅AE，∴S△ABC=12CD(BF+AE)=12×2×3√3=3√3．【解析】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式、待定系数法求一次函数的解析式，用割补法求三角形面积，二次函数的图象和性质，解答时注意数形结合．(1)利用待定系数法求抛物线解析式；(2)利用割补法求ABC的面积．23.【答案】解：设竖彩条的宽为xcm，则横彩条的宽为2xcm，则(30−2x)(20−4x)=30×20×(1−1975)，整理得：x2−20x+19=0，解得：x1=1，x2=19(不合题意，舍去)．答：竖彩条的宽度为1cm．【解析】可设竖彩条的宽是xcm，则横彩条的宽是2xcm，根据彩条所占面积是图案面积的19，可列方程求解．75本题考查的是一元二次方程的应用，设出横竖条的宽，以面积做为等量关系列方程求解．24.【答案】2x(50−x)【解析】解：(1)商场日销售量增加2x件，每件商品盈利(50−x)元，故答案为：2x、(50−x)；(2)根据题意可得(30+2x)(50−x)=2100，解得：x=15或x=20，∵该商场为了尽快减少库存，∴降的越多，越吸引顾客，∴选x=20，答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元．(3)根据题意可得(30+2x)(50−x)=2200，整理得到：x2−35x+350=0．由于△=b2−4ac=1225−1400=−175<0，所以该方程无解．故商场日盈利不可以达到2200元．(1)降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=原来的盈利−降低的钱数；(2)(3)根据日盈利=每件商品盈利的钱数×(原来每天销售的商品件数30+2×降价的钱数)，列出方程求解即可．此题主要考查了一元二次方程的应用；得到日盈利的等量关系是解决本题的关键．25.【答案】解：(1)∵抛物线C：y=ax2−1经过点(2,0)，∴0=4a−1，∴a=14；(2)∵a=14，∴抛物线解析式：y=14x2−1，设点P(a,14a2−1)，∴PO=√(a−0)2+(14a2−1) 2=14a2+1，PQ=14a2−1−(−2)=14a2+1，∴PO=PQ；(3)1.由(2)可得OA=AM，OB=BN，∴∠BON=∠BNO，∠AOM=∠AMO，∵AM⊥MN，BN⊥MN，∴AM//BN，∴∠ABN+∠BAM=180°，∵∠ABN+∠BON+∠BNO=180°，∠AOM+∠AMO+∠BAM=180°，∴∠ABN+∠BON+∠BNO+∠AOM+∠AMO+∠BAM=360°，∴∠BON+∠AOM=90°，∴∠MON=90°，∴OM⊥ON；2.如图：过点F作EF⊥直线l，由(2)可得OF=EF，∵OF+DF=EF+DF，∴当点D，点F，点E三点共线时，OF+DF的值最小．即此时DE⊥直线l，∴OF+DF的最小值为DE=1+2=3．【解析】本题考查了二次函数综合题，待定系数法求解析式，两点距离公式，三角形内角和定理，最短路径问题，利用数形思想解决问题是本题的关键．(1)利用待定系数法可求a的值；a2−1)，根据两点距离公式可求PQ，PO的长度，即可证PQ=PO；(2)设点P(a,14(3)1.由(2)可得OB=BN，AM=AO，即可求∠BON=∠BNO，∠AOM=∠AMO，根据三角形内角和定理可求OM⊥ON；2.过点F作EF⊥直线l，由(2)得OF=EF，当点D，点F，点E三点共线时，OF+DF的值最小，此时DE⊥直线l，即可求FD+FO的最小值．。
北京市首都师范大学附属实验学校2020—2021学年九年级上学期第二次月考数学试题
北京市首都师范大学附属实验学校2020—2021学年九年级上学期第二次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．抛物线()221y x =-+的对称轴是直线（ ） A ．1x =-B ．1x =C ．2x =-D ．2x =2．下面是同学们利用图形变化的知识设计的一些美丽的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．若将抛物线y=-12x 2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是( )A ．21(3)22y x =-+- B ．21(3)22y x =---C ．2(3)2y x =+-D ．21(3)22y x =-++4．如图，一块含30°角的直角三角板ABC 绕点C 顺时针旋转到△ABC ，当B ，C ，A 在一条直线上时，三角板ABC 的旋转角度为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°5．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A =50︒，则∠BOC 的大小为（ ）A ．40°B ．30°C ．80°D ．100°6．将二次函数y ＝x 2﹣4x+1化成y ＝a （x ﹣h ）2+k 的形式为（ ） A ．y ＝（x ﹣4）2+1B ．y ＝（x ﹣4）2﹣3C ．y ＝（x ﹣2）2﹣3D ．y ＝（x+2）2﹣37．方程230x x -+=的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．只有一个实数根8．一元二次方程230x x -=的解为（ ） A ．x=3B ．10x =，23x =C ．10x =，23x =-D ．11x =，23x =9．二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ）A ．a ＞0，b ＞0，c ＞0B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0D ．a ＜0，b ＜0，c ＞010．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系2y ax bx c =++（0a ≠）．下图记录了某运动员起跳后的x 与y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为A ．10mB ．15mC ．20mD ．22.5m二、填空题 11．若代数式17x -有意义，则实数x 的取值范围是_____． 12．点(4,3)P 关于原点的对称点的坐标为 _________．13．如图， 在平面直角坐标系xOy 中， △OCD 可以看成是△AOB 经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△AOB 得到△OCD 的过程_____________．14．如图，在半径为10cm 的⊙O 中，圆心O 到弦AB 的距离OC 为6cm ，则弦AB 的长为_____________cm ．15．若二次函数y ＝mx 2+2x +1的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是 _____． 16．二次函数224y x x c =++的对称轴是_______________；若点A （-2，y 1）， B （1，y 2），则y 1 _______y 2．（用＞，＜，＝填写）17．二次函数2y x bx c =-++的部分图象如图所示，由图象可知，方程20x bx c -++=的解为___________________；不等式20x bx c -++<的解集为___________________．18．如图是某剧场第一排座位分布图：甲、乙、丙、丁四人购票，所购票分别为2，3，4，5．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位之和最小．如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序______．三、解答题19．计算：0111223-⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20．解一元二次方程：(4)23x x x +=+．21．二次函数图象上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：（1）直接写出表格当中的m 值：_____________ （2）求这个二次函数的表达式； （3）在图中画出这个二次函数的图象．22．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AD 的中点，点F ，G 在AB 上，EF ⊥AB ，OG ∥EF ． （1）求证：四边形OEFG 是矩形；（2）若AD=10，EF=4，求OE 和BG 的长．23．已知：如图，△ABC为等边三角形，过A作AD⊥BC于D，过B作BE⊥AC于E，交AD于O．到O点距离等于都等于OA的所有点组成图形G．（1）按要求画出图形G；（2）连接CO，求证：∠AOB=∠COB=∠AOC．24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2－2mx＋m－1（m＞0）与x轴的交点为A，B．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当m=1时，求线段AB上整点的个数；②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．25．在△ABC中，∠BAC=45°，CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，连接DE．(1)如图1，当△ABC为锐角三角形时，①依题意补全图形，猜想∠BAE与∠BCD之间的数量关系并证明；②用等式表示线段AE，CE，DE的数量关系，并证明;(2)如图2，当∠ABC 为钝角时，依题意补全图形并直接写出线段AE ，CE ，DE 的数量关系．26．对于△ABC 及其边上的点P ，给出如下定义：如果点1M ，2M ，3M ，……,n M 都在△ABC 的边上，且123n PM PM PM PM ====，那么称点1M ，2M ，3M ，……,n M 为△ABC 关于点P 的等距点，线段1PM ，2PM ，3PM ，……,n PM 为△ABC 关于点P 的等距线段.（1）如图1，△ABC 中，∠A ＜90°，AB ＝AC ，点P 是BC 的中点.①点B ，C △ABC 关于点P 的等距点，线段P A ，PB △ABC 关于点P 的等距线段；（填“是”或“不是”）②△ABC 关于点P 的两个等距点1M ，2M 分别在边AB ，AC 上，当相应的等距线段最短时，在图1中画出线段1PM ，2PM ；（2）△ABC 是边长为4的等边三角形，点P 在BC 上，点C ，D 是△ABC 关于点P 的等距点，且PC =1,求线段DC 的长；（3）如图2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°.点P 在BC 上，△ABC 关于点P 的等距点恰好有四个，且其中一个是点C .若BC a =，直接写出PC 长的取值范围.（用含a 的式子表示）参考答案1．D 【分析】根据顶点式直接写出对称轴即可． 【详解】解：抛物线()221y x =-+的对称轴是直线2x =， 故选：D ． 【点睛】本题考查二次函数的对称轴，对于顶点式()2y a x h k =-+中，对称轴是直线x h =． 2．A 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各图形分析判断后利用排除法求解． 【详解】A 、是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项正确；B 、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；C 、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；D 、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； 故选A ． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 3．A 【分析】按“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移即可得出所求函数的解析式. 【详解】∵ 将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位， ∴y =-12（x +3）2-2. 故答案为A. 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k（a，b，c为常数，a≠0），确定其顶点坐标(h，k)，在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．4．D【分析】接利用旋转的性质得出对应边，再根据三角板的内角的度数得出答案．【详解】∵将一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△A'B'C，∴BC与B'C是对应边，∴旋转角∠BCB'=180°-30°=150°．故选D．【点睛】此题主要考查了旋转的性质，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，正确得出对应边是解题关键．5．D【解析】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠A=50°，∴∠BOC=2∠A=100°．故选D．6．C【分析】先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【详解】y＝x2﹣4x+1＝（x2﹣4x+4）+1﹣4＝（x﹣2）2﹣3．所以把二次函数y＝x2﹣4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为：y＝（x﹣2）2﹣3．故选C．【点睛】本题考查了二次函数的三种形式．二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y＝ax2+bx+c （a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y＝a（x ﹣x 1）（x ﹣x 2）． 7．C 【分析】把a=1，b=-1，c=3代入△=b 2-4ac 进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况． 【详解】∵a=1，b=-1，c=3，∴△=b 2-4ac=（-1）2-4×1×3=-11＜0， 所以方程没有实数根． 故选C ． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0，a ，b ，c 为常数）的根的判别式△=b 2-4ac ．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根． 8．B 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可做出选择． 【详解】解：原方程可化为：x(x ﹣3)=0， ∴x=0或x ﹣3=0， 解得：10x =，23x =， 故选：B ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程、解一元一次方程，灵活选择解一元二次方程的方法是解答的关键． 9．B 【分析】利用抛物线开口方向确定a 的符号，利用对称轴方程可确定b 的符号，利用抛物线与y 轴的交点位置可确定c 的符号． 【详解】∵抛物线开口向下， ∴a ＜0，∵抛物线的对称轴在y 轴的右侧， ∴x ＝﹣2ba＞0， ∴b ＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方， ∴c ＞0， 故选B ． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△＝b 2﹣4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△＝b 2﹣4ac ＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；△＝b 2﹣4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点． 10．B 【解析】分析： 根据抛物线的对称性即可判断出对称轴的范围. 详解：设对称轴为x h =，由（0，54.0）和（40，46.2）可知，040202h +<=， 由（0，54.0）和（20，57.9）可知，020102h +>=， ∴1020h <<， 故选B ．点睛：考查抛物线的对称性，熟练运用抛物线的对称性质是解题的关键. 11．7x ≠ 【分析】根据分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可． 【详解】∵代数式17x-有意义，分母不能为0，可得70x-≠，即7x≠，故答案为：7x≠．【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式分母不为0是解题的关键．12．（-4,-3）．【分析】根据“关于原点对称的点的坐标关系,横坐标与纵坐标都互为相反数”,即可求解．【详解】解:∵关于原点对称的点的坐标关系,即横坐标与纵坐标都互为相反数,∴点P（4,3）关于原点的对称点P′的坐标是（-4,-3）．故答案为: （-4,-3）．【点睛】本题主要考查点关于原点对称,解决本题的关键是要熟练掌握关于原点对称点的关系. 13．将△AOB顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度【分析】根据平移、旋转的性质即可得到由△AOB得到△OCD的过程．【详解】解：将△AOB顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度得到△OCD，故答案为：将△AOB顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度．【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，坐标与图形变化-平移，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度．14．16【分析】连接半径OA，构造直角三角形，利用勾股定理求出AC的长；【详解】连接OA、OB，∵OC⊥AB于C，AB为⊙O的弦，∴∠ACO=90°，AC=BC= 12AB，又∵OA=10cm，OC=6cm，∴8==cm∴AB=16cm故答案为：16【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确添加辅助线构造直角三角形，熟练掌握垂径定理的内容是解题的关键．15．m≤1且m≠0．【分析】由抛物线与x轴有公共点可知△≥0，再由二次项系数不等于0，建立不等式即可求出m的取值范围.【详解】解：y＝mx2+2x+1是二次函数，∴m≠0，由题意可知：△≥0，∴4﹣4m≥0，∴m≤1∴m≤1且m≠0故答案为m≤1且m≠0．【点睛】本题考查二次函数图像与x轴的交点问题，熟练掌握交点个数与△的关系是解题的关键. 16．x=﹣1 ＜【分析】由对称轴公式x=2b a -求得对称轴，再由开口方向和图象上的点离对称轴的远近即可解答． 【详解】解：二次函数224y x x c =++的对称轴是x=41222b a -=-=-⨯， 故答案为：x=﹣1；∵a=2＞0，∴函数图象开口向上，则离对称轴距离越远的点的纵坐标越大，∵∣﹣2﹣（﹣1）∣=1，∣1﹣（﹣1）∣=2，∴y 1﹤y 2故答案为：＜．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟记二次函数的对称轴公式，会利用开口方向和离对称轴的远近比较函数值的大小是解答的关键．17．11x =-，25x = 1x <-或5x >【分析】根据抛物线的对称轴和抛物线与x 轴一个交点求出另一个交点，再通过二次函数与方程的两根，二次函数与不等式解集的关系求得答案．【详解】∵抛物线的对称轴为2x =，抛物线与x 轴一个交点为（5，0）∴抛物线与x 轴另一个交点为（-1，0）∴方程20x bx c -++=的解为：11x =-，25x =由图像可知，不等式20x bx c -++<的解集为：1x <-或5x >．故答案为：11x =-，25x =；1x <-或5x >．【点睛】本题考查了二次函数的图像性质，掌握二次函数与方程的两根，二次函数与不等式的解集关系，是解决问题的关键．18．丙，丁，甲，乙【分析】根据甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数量分别为2，3，4，5可得若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，那么丙选座要尽可能得小，因此丙先选择：1，2，3，4．丁所购票数最多，因此应让丁第二购票，据此判断即可．【详解】解：丙先选择：1，2，3，4．丁选：5，7，9，11，13．甲选：6，8．乙选：10，12，14．∴顺序为丙，丁，甲，乙．（答案不唯一）【点睛】本题考查有理数的加法，认真审题，理解题意是解题的关键．19．【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值分别化简得出答案．【详解】解：原式．【点睛】本题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题的关键．20．13x =-，21x =【分析】将方程整理成一般形式可得2230x x +-=，利用因式分解法即可求解．【详解】解：(4)23x x x +=+2230x x +-=()()310x x +-=13x =-，21x =．本题考查解一元二次方程，将方程化为一般形式，根据方程的特点选择合适的求解方法是解题的关键．21．（1）0；（2）223y x x =+-；（3）图象见解析【分析】（1）先确定出对称轴，根据抛物线的对称性即可求得；（2）利用待定系数法即可求解；（3）根据二次函数图象的画法作出图象即可．【详解】解：（1）由图表可知抛物线的顶点坐标为(1,4)--，∴抛物线的对称轴为直线1x =-，(3,0)-关于直线1x =-的对称点是(1,0)，0m ∴=，故答案为：0；（2）设二次函数的表达式为()214y a x =+-，将点()0,3-代入可得34a -=-，解得1a =，∴二次函数的表达式为()221423y x x x =+-=+-；（3）函数图象如图所示： ．本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求解析式，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．22．(1)见解析；(2)OE=5，BG=2.【分析】(1)先证明EO是△DAB的中位线，再结合已知条件OG∥EF，得到四边形OEFG是平行四边形，再由条件EF⊥AB，得到四边形OEFG是矩形；(2)先求出AE=5，由勾股定理进而得到AF=3，再由中位线定理得到OE=12AB=12AD=5，得到FG=5，最后BG=AB-AF-FG=2．【详解】解：(1)证明:∵四边形ABCD为菱形，∴点O为BD的中点，∵点E为AD中点，∴OE为△ABD的中位线，∴OE∥FG，∵OG∥EF，∴四边形OEFG为平行四边形∵EF⊥AB，∴平行四边形OEFG为矩形．(2)∵点E为AD的中点，AD=10，∴AE=15 2AD=∵∠EFA=90°，EF=4，∴在Rt△AEF中，3==AF．∵四边形ABCD为菱形，∴AB=AD=10，∴OE=12AB=5，∵四边形OEFG为矩形，∴FG=OE=5，∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2．故答案为：OE=5，BG=2．本题考查了矩形的性质和判定，菱形的性质、勾股定理等知识点，特殊四边形的性质和判定属于中考常考题型，需要重点掌握．23．（1）图形见解析；（2）见解析【分析】（1）根据题意和等边三角形的性质得图形G为等边三角形ABC的外接圆，点O为圆心；（2）由OA=OB=OC和AB=BC=AC知△AOB≌△BOC△AOC，则∠AOB=∠COB=∠AOC，得证．【详解】（1）∵△ABC为等边三角形，AD⊥BC，BE⊥AC，∴BD=CD，AE=CE，∴AD垂直平分BC，BE垂直平分AC，∴OA=OB=OC，故图形G为等边三角形ABC的外接圆，点O为圆心，如图，（2）∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，又∵OA=OB=OC，∴△AOB≌△BOC≌△AOC（SSS），∴∠AOB=∠COB=∠AOC．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、垂直平分线的判定与性质、三角形的外接圆、全等三角形的判定与性质，熟练运用相关知识，能判定出图形G为等边三角形ABC的外接圆是解答的关键．24．（1）顶点坐标（1，－1）．（2）3个；（3）19＜m≤14【解析】试题分析：（1）将抛物线表达式变为顶点式，即可得到顶点坐标；（2）①m=1时，抛物线表达式为22y x x =-，即可得到A 、B 的坐标，可得到线段AB 上的整点个数；②抛物线顶点为（1，-1），则由线段AB 之间的部分及线段AB 所围成的区域的整点的纵坐标只能为-1或者0，所以即要求AB 线段上（含AB 两点）必须有5个整点；令y=0，则2210mx mx m -+-=，解方程可得到A 、B 两点坐标分别为（1-，0），（1+，0），即5个整点是以（1，0）为中心向两侧分散，进而得到23≤<，即可得到结论． 试题解析：（1）将抛物线表达式变为顶点式2(1)1y m x =--，则抛物线顶点坐标为（1，-1）；（2）①m=1时，抛物线表达式为22y x x =-，因此A 、B 的坐标分别为（0，0）和（2，0），则线段AB 上的整点有（0，0），（1，0），（2，0）共3个；②抛物线顶点为（1，-1），则由线段AB 之间的部分及线段AB 所围成的区域的整点的纵坐标只能为-1或者0，所以即要求AB 线段上（含AB 两点）必须有5个整点；又有抛物线表达式，令y=0，则2210mx mx m -+-=，得到A 、B 两点坐标分别为（1-0），（1+，0），即5个整点是以（1，0）为中心向两侧分散，进而得到23≤<，∴1194m <≤．考点：二次函数的图象及其性质．25．（1）①补全图形，如图1所示.见解析；猜想：∠BAE =∠BCD. 理由见解析；②见解析；（2）补全图形，如图3所示. 见解析；线段AE ，CE ，DE 的数量关系：DE=AE.【分析】(1)①依题意补全图形，由直角三角形的性质得出∠BAE﹢∠B=90°,∠BCD﹢∠B=90°即可得出∠BAE=∠BCD；②在AE上截取AF=CE，可证出△ACD是等腰直角三角形，得出AD=CD,可证明△ADF≌△CDE，得出DF=DE, ∠ADF=∠CDE，可推出∠CDE﹢∠FDC=∠EDF=90°.证出△EDF是等腰直角三角形，得出EF，即可得出结论;(2) 在CE上截取CF=AE，连接DF由CD⊥AD，AE⊥BC，可得∠EAD=∠DCF由∠BAC=45°可得AD=CD，可证△ADE≌△CDF，可得ED=DF∠ADE=∠CDF，可推出∠EDF=90°可得△EDF是等腰直角三角形故EF ，即可得线段AE，CE，DE的数量关系.【详解】（1）①依题意，补全图形，如图1所示.猜想：∠BAE=∠BCD.理由如下：∵CD⊥AB,AE⊥BC，∴∠BAE﹢∠B=90°,∠BCD﹢∠B=90°.∴∠BAE=∠BCD.②证明：如图2，在AE上截取AF=CE.连接DF.∵∠BAC=45°,CD⊥AB,∴△ACD是等腰直角三角形.∴AD=CD.又∠BAE=∠BCD,∴△ADF≌△CDE（SAS）.∴DF=DE, ∠ADF=∠CDE.∵AB⊥CD,∴∠ADF﹢∠FDC=90°.∴∠CDE﹢∠FDC=∠EDF=90°.∴△EDF是等腰直角三角形.∴EF.∵AF+EF=AE,∴（2）依题意补全图形，如图3所示.在CE上截取CF=AE，连接DF∵CD⊥AD，AE⊥BC∴∠ADC=∠AEC=90°∴∠EAB+∠ABE=90°，∠DBC+∠DCF=90°，∠ABE=∠CBD∴∠EAD=∠DCF∵∠BAC=45°∴∠DCA=45°∴AD=CD又∵CF=AE∴△ADE≌△CDF∴ED=DF∠ADE=∠CDF∵∠CDF+∠ADF=90°∴∠ADE+∠ADF=90°∴∠EDF=90°∴△EDF是等腰直角三角形∴EF=∵CE=CF+EF∴CE AE=+∴线段AE，CE，DE的数量关系：DE=AE.故答案为：【点睛】本题是四边形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知，证明三角形全等是解题的关键.26．（1）①是，不是；②见解析；（2）DC=1或2；（3）11 32a PC a<<.【分析】（1）①根据阅读材料中△ABC关于点P的等距点和△ABC关于点P的等距线段的定义判断即可；②根据题意，点P 在∠BAC 的平分线上，要使相应的等距线段最短，只要过点P 作AB 、AC 的垂线段即可；（2）显然点D 不可能在AB 边上，分点D 在等边△ABC 的边AC 、BC 上，画出图形，然后根据等距点的概念和等边三角形的判定与性质求解即可；（3）先求出△ABC 关于点P 的等距点恰好有3个，且其中一个是点C 时的PC 的长，进而可得答案.【详解】解：（1）①∵点P 是BC 的中点，∴PB=PC ，∴点B 、C 是△ABC 关于点P 的等距点； ∵P A ≠PB ，∴线段P A ，PB 不是△ABC 关于点P 的等距线段；故答案为：是，不是；②线段1PM ，2PM 如图3所示：（2）显然，点D 不可能在AB 边上，若点D 在AC 边上，如图4所示，∵△ABC 是等边三角形，∴∠C =60°，∵点C ，D 是△ABC 关于点P 的等距点，∴PC=PD ，∴△PCD 是等边三角形，∴CD=PC =1；若点D 在BC 边上，如图5所示，∵点C ，D 是△ABC 关于点P 的等距点，∴PC=PD =1，∴CD =2；∴DC =1或2；（3）当PM ⊥AB 且PM=PC 时，如图6，此时△ABC 关于点P 的等距点恰好有3个，且其中一个是点C ，∵∠B ＝30°，∴BP =2PM ，∴BC =3PC =a ，∴13PC a =； 当点P 为BC 的中点时，如图7所示，此时△ABC 关于点P 的等距点恰好有3个，且其中一个是点C ，∴1122PC BC a ==； ∴△ABC 关于点P 的等距点恰好有四个，且其中一个是点C 时，PC 长的取值范围是：1132a PC a <<.【点睛】本题是新定义问题，考查了对等距点和等距线段的理解与应用、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质和30°角的直角三角形的性质等知识，正确理解题意、熟练掌握等边三角形和直角三角形的性质是解题关键.。
2021年湖北省武汉市部分学校九年级元月调考数学试卷(附答案详解)
2021年湖北省武汉市部分学校九年级元月调考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.将一元二次方程2x2−1=3x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是()A. 2，−1B. 2，0C. 2，3D. 2，−32.下列垃圾分类标识中，是中心对称图形的是()A. B. C. D.3.下列四个袋子中，都装有除颜色外无其他差别的10个小球，从这四个袋子中分别随机摸出一个球，摸到红球可能性最小的是()A. B. C. D.4.已知⊙O的半径等于3，圆心O到点P的距离为5，那么点P与⊙O的位置关系是()A. 点P在⊙O内B. 点P在⊙O外C. 点P在⊙O上D. 无法确定5.一元二次方程x2−4x−1=0配方后可化为()A. (x+2)2=3B. (x+2)2=5C. (x−2)2=3D. (x−2)2=56.在平面直角坐标系中，抛物线y=(x+2)(x−4)经变换后得到抛物线y=(x−2)(x+4)，则下列变换正确的是()A. 向左平移6个单位B. 向右平移6个单位C. 向左平移2个单位D. 向右平移2个单位7.如图，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转至△DEC，使点D落在BC的延长线上.已知∠A=33°，∠B=30°，则∠ACE的大小是()A. 63°B. 58°C. 54°D. 52°8.三个不透明的口袋中各有三个相同的乒乓球，将每个口袋中的三个乒乓球分别标号为1，2，3.从这三个口袋中分别摸出一个乒乓球，出现的数字正好是等腰三角形三边长的概率是()A. 49B. 59C. 1727D. 799.如图，PM，PN分别与⊙O相切于A，B两点，C为⊙O上一点，连接AC，BC.若∠P=60°，∠MAC=75°，AC=√3+1，则⊙O的半径是()A. √2B. √3C. 32D. 34√310.已知二次函数y=2020x2+2021x+2022的图象上有两点A(x1,2023)和B(x2,2023)，则当x=x1+x2时，二次函数的值是()A. 2020B. 2021C. 2022D. 2023二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.在直角坐标系中，点(−1,2)关于原点对称点的坐标是______．12.如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，过点O的直线EF分别交边AB，CD于E，F两点，在这个平行四边形上做随机投掷图钉试验，针头落在阴影区域内的概率是______ ．13.国家实施“精准扶贫”政策以来，贫困地区经济快速发展，贫困人口大幅度减少.某地区2018年初有贫困人口4万人，通过社会各界的努力，2020年初贫困人口减少至1万人.则2018年初至2020年初该地区贫困人口的年平均下降率是______ ．14.已知O，I分别是△ABC的外心和内心，∠BOC=140°，则∠BIC的大小是______ ．15.如图，放置在直线l上的扇形OAB，由图①滚动(无滑动)到图②，再由图②滚动到图③，若半径OA=1，∠AOB=90°，则点O所经过的路径长是______ ．16.下列关于二次函数y=x2−2mx+1(m为常数)的结论：①该函数的图象与函数y=−x2+2mx的图象的对称轴相同；②该函数的图象与x轴有交点时，m>1；③该函数的图象的顶点在函数y=−x2+1的图象上；④点A(x1,y1)与点B(x2,y2)在该函数的图象上.若x1<x2，x1+x2<2m，则y1<y2．其中正确的结论是______ (填写序号)．三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）17.若关于x的一元二次方程x2−bx+2=0有一个根是x=1，求b的值及方程的另一个根．18.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点D落在线段AB上.求证：DC平分∠ADE．19.小刚参加某网店的“翻牌抽奖”活动，如图，四张牌分别对应价值2，5，5，10(单位：元)的四件奖品．(1)如果随机翻一张牌，直接写出抽中5元奖品的概率；(2)如果同时随机翻两张牌，求所获奖品总值不低于10元的概率．20.如图是由小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点.⊙P经过A，B两个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图(画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示)．(1)在图(1)中，⊙P经过格点C，画圆心P，并画弦BD，使BD平分∠ABC；(2)在图(2)中，⊙P经过格点E，F是⊙P与网格线的交点，画圆心P，并画弦FG，使FG=FA．21.如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是BC⏜的中点，连接AE，DE，CE．(1)求证：AE=DE；(2)若CE=1，求四边形AECD的面积．22.疫情期间，按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测.某校统计了学生早晨到校情况，发现学生到校的累计人数y(单位：人)随时间x(单位：分钟)的变化情况如图所示，y可看作是x的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为(30,900)，其中0≤x≤30.校门口有一个体温检测棚，每分钟可检测40人．(1)求y与x之间的函数解析式；(2)校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有多少人？(3)检测体温到第4分钟时，为减少排队等候时间，在校门口临时增设一个人工体温检测点.已知人工每分钟可检测12人，人工检测多长时间后，校门口不再出现排队等待的情况(直接写出结果)．23.问题背景如图(1)，△ABD，△AEC都是等边三角形，△ACD可以由△AEB通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小．尝试应用如图(2)，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AC，AB为边，作等边△ACD和等的值．边△ABE，连接ED，并延长交BC于点F，连接BD.若BD⊥BC，求DFDE 拓展创新如图(3)，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2，将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AP，连接PB，直接写出PB的最大值．24.如图，经过定点A的直线y=k(x−2)+1(k<0)交抛物线y=−x2+4x于B，C两点(点C在点B的右侧)，D为抛物线的顶点．(1)直接写出点A的坐标；(2)如图(1)，若△ACD的面积是△ABD面积的两倍，求k的值；(3)如图(2)，以AC为直径作⊙E，若⊙E与直线y=t所截的弦长恒为定值，求t的值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：将一元二次方程2x2−1=3x化成一般形式是2x2−3x−1=0，二次项的系数和一次项系数分别是2和−3，故选：D．先化成一般形式，即可得出答案．本题考查了一元二次方程的一般形式，能化成一元二次方程的一般形式是解此题的关键，注意：说项的系数带着前面的符号．2.【答案】B【解析】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是中心对称图形，故此选项符合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：B．利用中心对称图形的定义进行解答即可．此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．3.【答案】A【解析】解：第一个袋子摸到红球的可能性=110；第二个袋子摸到红球的可能性=210=15；第三个袋子摸到红球的可能性=510=12；第四个袋子摸到红球的可能性=610=35．故选：A．要求可能性的大小，只需求出各自所占的比例大小即可．求比例时，应注意记清各自的数目．本题主要考查了可能性大小的计算，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比，难度适中．4.【答案】B【解析】解：∵r=3，d=5，∴d>r，∴点P在⊙O外．故选：B．根据①点P在圆外⇔d>r.②点P在圆上⇔d=r.③点P在圆内⇔d<r，即可判断．本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．5.【答案】D【解析】解：x2−4x−1=0，x2−4x=1，x2−4x+4=1+4，(x−2)2=5，故选：D．移项，配方，即可得出选项．本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解此题的关键．6.【答案】C【解析】解：y=(x+2)(x−4)=(x−1)2−9，顶点坐标是(1,9)．y=(x−2)(x+4)=(x+1)2−9，顶点坐标是(−1,9)．所以将抛物线y=(x+2)(x−4)向左平移2个单位长度得到抛物线y=(x−2)(x+4)，故选：C．根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．7.【答案】C【解析】解：∵∠A=33°，∠B=30°，∴∠ACD=∠A+∠B=33°+30°=63°，∵△ABC绕点C按逆时针方向旋转至△DEC，∴△ABC≌△DEC，∴∠ACB=∠DCE，∴∠BCE=∠ACD，∴∠BCE=63°，∴∠ACE=180°−∠ACD−∠BCE=180°−63°−63°=54°．故选：C．先根据三角形外角的性质求出∠ACD=63°，再由△ABC绕点C按逆时针方向旋转至△DEC，得到△ABC≌△DEC，证明∠BCE=∠ACD，利用平角为180°即可解答．本题考查了旋转的性质，三角形外角的性质，解决本题的关键是由旋转得到△ABC≌△DEC．8.【答案】B【解析】解：画树状图得：∵共有27种等可能的结果，两次摸出的乒乓球标号相同，并且三个标号符合三角形三边关系的有15种结果，∴出现的数字正好是等腰三角形三边长的概率是1527=59．故选：B．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的乒乓球标号相同，并且三个标号符合三角形三边关系的情况，再利用概率公式即可求得答案．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．9.【答案】A【解析】解：连接OA、OC，过A点作AH⊥OC于H，如图，设⊙O的半径为r，∵PM与⊙O相切于A点，∴OA⊥PM，∴∠OAM=90°，∵∠MAC=75°，∴∠OAC=15°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=15°，∴∠AOH=30°，在Rt△AOH中，AH=12OA=12r，OH=√3AH=√32r，在Rt△ACH中，(12r)2+(r+√32r)2=(√3+1)2，解得r=√2，即⊙O的半径为√2．故选：A．连接OA、OC，过A点作AH⊥OC于H，如图，设⊙O的半径为r，根据切线的性质得到∠OAM=90°，则∠OAC=15°，再计算出∠AOH=30°，则可表示出AH=12r，OH=√32r，利用勾股定理得到(12r)2+(r+√32r)2=(√3+1)2，然后解方程即可．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了解直角三角形．10.【答案】C【解析】解：∵二次函数y=2020x2+2021x+2022的图象上有两点A(x1,2023)和B(x2,2023)，∴x1、x2是方程2020x2+2021x+2022=2023的两个根，∴x1+x2=−20212020，∴当x=x1+x2时，二次函数y=2020x2+2021x+2022=2020(−20212020)2+2021⋅(−20212020)+2022=2022．故选：C．根据题意得出x=x1+x2=−20212020，代入函数的解析式即可求得二次函数的值．本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，图象上的点符合解析式．11.【答案】(1,−2)【解析】解：在直角坐标系中，点(−1,2)关于原点对称点的坐标是(1,−2)，故答案为：(1,−2)．根据平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于原点的对称点是(−x,−y)，可得答案．本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．12.【答案】14【解析】解：∵四边形是平行四边形，∴对角线把平行四边形分成面积相等的四部分，观察发现：图中阴影部分面积=14S四边形ABCD，∴点A落在阴影区域内的概率为14，故答案为：14．用阴影部分的面积除以平行四边形的总面积即可求得答案．此题主要考查了几何概率，以及平行四边形的性质，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．13.【答案】50%【解析】解：设2018年初至2020年初该地区贫困人口的年平均下降率为x，依题意得：4(1−x)2=1，解得：x1=0.5=50%，x2=1.5(不合题意，舍去)．故答案为：50%．设2018年初至2020年初该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据该地区2018年初及2020年初贫困人口的数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．14.【答案】125°或145°【解析】解：∵O是△ABC的外心，∴∠BAC=12∠BOC=12×140°=70°(如图1)或∠BAC=180°−70°=110°，(如图2)∵I是△ABC的内心，∴∠BIC=90°+12∠BAC，当∠BAC=70°时，∠BIC=90°+12×70°=125°；当∠BAC=110°时，∠BIC=90°+12×110°=145°；即∠BIC的度数为125°或145°．故答案为125°或145°．利用圆周角定理得到∠BAC=70°或∠BAC=110°，由于I是△ABC的内心，则∠BIC=90°+12∠BAC，然后把∠BAC的度数代入计算即可．本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了三角形的外心．15.【答案】32π【解析】解：点O所经过的路径长=3×90π⋅1180=32π.故答案为：32π.点O所经过的路径是三个14圆周长．本题考查轨迹，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．16.【答案】①③【解析】解：①∵二次函数y=x2−2mx+1的对称轴为直线x=−−2m2×1=m，二次函数y=−x2+2mx的对称轴为直线x=−2m2×(−1)=m，故结论①正确；②∵函数的图象与x轴有交点，则△=(−2m)2−4×1×1=4m2−4≥0，∴m≥1，故结论②错误；③∵y=x2−2mx+1=(x−m)2+1−m2，∴顶点为(m,−m2+1)，∴该函数的图象的顶点在函数y=−x2+1的图象上，故结论③正确；④∵x1+x2<2m，∴x1+x22<m，∵二次函数y=x2−2mx+1的对称轴为直线x=m∴点A离对称轴的距离大于点B离对称轴的距离∵x1<x2，且a=1>0∴y1>y2故结论④错误；故答案为①③．利用二次函数的性质一一判断即可．本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17.【答案】解：∵关于x的一元二次方程x2−bx+2=0有一个根是x=1，∴1−b+2=0，解得：b=3，把b=3代入方程得：x2−3x+2=0，设另一根为m，可得1+m=3，解得：m=2，则b的值为3，方程另一根为x=2．【解析】把x=1代入方程计算求出b的值，进而求出另一根即可．此题考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的解，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．18.【答案】证明：由旋转可知，△ABC≌△DEC，∴∠A=∠CDE，AC=DC，∴∠A=∠ADC，∴∠ADC=∠CDE，即DC平分∠ADE．【解析】利用全等三角形的性质以及等腰三角形的性质即可解决问题．本题考查旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．19.【答案】解：(1)∵在价值为2，5，5，10(单位：元)的四件奖品，价值为5元的奖品有2张，∴抽中5元奖品的概率为24=12；(2)画树状图如下：由树状图可知共有12种等可能结果，其中所获奖品总值不低于10元的有8种，∴所获奖品总值不低于10元的概率为812=23．【解析】(1)根据概率公式计算可得；(2)画树状图列出所有等可能结果，再从中确定所获奖品总值不低于10元的结果数，利用概率公式计算可得．此题还考查了列举法与树状图法求概率，解答此类问题的关键在于列举出所有可能的结果，画出树形图是解题的关键．20.【答案】解：(1)如图，点P，线段BD即为所求作．(2)如图，点P，线段FG即为所求作．【解析】(1)取格点T，连接AT交BC于点P，连接AC，取AC的中点W，作射线PW 交⊙P于点D，线段BD即为所求作．(2)取格点J，连接AB，AJ延长AJ交⊙P于Q，连接BQ可得圆心P，取格点R，D，连接FR，DR，作DR交⊙P于G，连接FG，可证FA=FR=FG，线段FG即为所求作．本题考查作图−应用与设计垂径定理，圆周角定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD，∴AB⏜=CD⏜，∵E是BC⏜的中点，∴BE⏜=EC⏜，∴AE⏜=DE⏜，∴AE=DE．(2)解：连接BD，过点D作DF⊥DE交EC的延长线于F．∵四边形ABCD是正方形，∴∠DBC=∠DEC=45°，DA=DC，∵∠EDF=90°，∴∠F=90°−45°=45°，∴DE=DF，∵∠ADC=∠EDF=90°，∴∠ADE=∠CDF，在△ADE和△CDF中，{∠ADE=∠CDF ∠AED=∠FDA=DC，∴△ADE≌△CDF(AAS)，∴AE=CF，∴S△ADE=S△CDF，∴S四边形AECD=S△DEF，∵EF=√2DE=EC+DE，EC=1，∴1+DE=√2DE，∴DE=√2+1，∴S△DEF=12DE2=√2+32．【解析】(1)欲证明AE=DE，只要证明AE⏜=DE⏜．(2)连接BD，过点D作DF⊥DE交EC的延长线于F.证明△ADE≌△CDF(AAS)，推出AE= CF，推出S△ADE=S△CDF，推出S四边形AECD=S△DEF，再利用等腰三角形的性质构建方程求出DE，即可解决问题．本题考查正多边形与圆，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．22.【答案】解：(1)∵顶点坐标为(30,900)，∴设y=a(x−30)2+900，将(0,0)代入，得：900a+900=0，解得a=−1，∴y=−(x−30)2+900；(2)设第x分钟时的排队等待人数为w人，由题意可得：w=y−40x=−(x−30)2+900−40x=−x2+60x−900+900−40x=−x2+20x=−(x−10)2+100，∴当x=10时，w的最大值为100，答：排队等待人数最多时是100人；(3)设人工检测m分钟时间后，校门口不再出现排队等待的情况，由题意得：−(4+m)2+60(4+m)−40×4−(40+12)m=0，整理得：−m2+64=0，解得：m1=8，m2=−8(舍)．答：人工检测8分钟时间后，校门口不再出现排队等待的情况．【解析】(1)由顶点坐标为(30,900)，可设y=a(x−30)2+900，再将(0,0)代入，求得a的值，则可得y与x之间的函数解析式；(2)设第x分钟时的排队等待人数为w人，根据w=y−40x及(1)中所得的y与x之间的函数解析式，可得w关于x的二次函数，将其写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案；(3)设人工检测m分钟时间后，校门口不再出现排队等待的情况，由于检测体温到第4分钟时，在校门口临时增设一个人工体温检测点，则体温检测棚的检测时间为(m+4)分钟，则学生到校的累计人数与人工检测m分钟后两种检测方式的检测人数之和相等时，校门口不再出现排队等待的情况，据此可列出关于m的方程，求解并根据问题的实际意义作出取舍即可．本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的性质是解题的关键．23.【答案】问题背景解：∵△ABD，△AEC都是等边三角形，∴∠BAD=60°，∠CAE=60°，AD=AB，AC=AE，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，∴∠DAC=∠BAE，∴△ACD≌△AEB(SAS)，∴△ACD可以由△AEB绕点A顺时针旋转60°得到，即旋转中心是点A，旋转方向是顺时针，旋转角是60°；尝试应用∵△ACD和△ABE都是等边三角形，∴AC=AD，AB=AE，∠CAD=∠BAE=60°，∴∠CAB=∠DAE，∴△ADE≌△ACB(SAS)，∴∠ADE=∠ACB=90°，DE=CB，∵∠ADE=90°，∴∠ADF=90°，∵∠ADC=∠ACD=60°，∴∠DCF=∠CDF=30°，∴CF=DF，∵BD⊥BC，∴∠BDF=30°，∴BF=12DF，设BF=x，则CF=DF=2x，DE=3x，∴DFDE =2x3x=23；拓展创新∵∠ACB=90°，∴点C在以AB为直径的圆上运动，取AB的中点D，连接CD，∴CD=12AB=1，如图，过点A作AE⊥AB，且使AE=AD，连接PE，BE，∵将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AP，∴∠PAC=90°，PA=AC，∵∠EAD=90°，∴∠PAE=∠CAD，∴△CAD≌△PAE(SAS)，∴PE=CD=1，∵AB=2，AE=AD=1，∴BE=√AE2+AB2=√12+22=√5，∴BP≤BE+PE=√5+1，∴BP的最大值为√5+1．【解析】问题背景由等边三角形的性质得出∠BAD=60°，∠CAE=60°，AD=AB，AC=AE，证得△ACD≌△AEB(SAS)，由旋转的概念可得出答案；尝试应用证明△ADE≌△ACB(SAS)，由全等三角形的性质得出∠ADE=∠ACB=90°，DE=CB，DF，则可得出答案；得出∠BDF=30°，由直角三角形的性质得出BF=12拓展创新过点A作AE⊥AB，且使AE=AD，连接PE，BE，由直角三角形的性质求出BE，PE 的长，则可得出答案．本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．24.【答案】解：(1)∵A为直线y=k(x−2)+1上的定点，∴A的坐标与k无关，∴x−2=0，∴x=2，此时y=1，∴点A的坐标为(2,1)；(2)∵y=−x2+4x=−(x −2)2+4，∴顶点D 的坐标为(2,4)，∵点A 的坐标为(2,1)，∴AD ⊥x 轴．如图(1)，分别过点B ，C 作直线AD 的垂线，垂足分别为M ，N ，设B ，C 的横坐标分别为x 1，x 2，∵△ACD 的面积是△ABD 面积的两倍，∴CN =2BM ，∴x 2−2=2(2−x 1)，∴2x 1+x 2=6．联立{y =−x 2+4x y =kx −2k +1，得x 2+(k −4)x −2k +1=0，① 解得x 1=4−k−√k2+122，x 2=4−k+√k 2+122， ∴2×4−k−√k 2+122+4−k+√k 2+122=6，化简得：√k 2+12=−3k ，解得k =−√62． 另解：接上解，由①得x 1+x 2=4−k ，又由2x 1+x 2=6，得x 1=2+k ．∴(2+k)2+(k −4)(2+k)−2k +1=0，解得k =±√62． ∵k <0，∴k =−√62； (3)如图(2)，设⊙E 与直线y =t 交于点G ，H ，点C 的坐标为(a,−a 2+4a)． ∵E 是AC 的中点，∴将线段AE 沿AC 方向平移与EC 重合，∴x E −x A =x C −x E ，y E −y A =y C −y E ，∴x E =12(x A +x C )，y E =12(y A +y C ).∴E(1+a 2,−a 2+4a +12). 分别过点E ，A 作x 轴，y 轴的平行线交于点F ，在Rt △AEF 中，由勾股定理得：EA 2=(1+a 2−2)2+(−a 2+4a +12−1)2 =(a 2−1)2+(−a 2+4a+12−1)2，过点E 作PE ⊥GH ，垂足为P ，连接EH ，∴GH =2PH ，EP 2=(−a 2+4a+12−t)2，又∵AE =EH ，∴GH 2=4PH 2=4(EH 2−EP 2)=4(EA 2−EP 2)=4[(a 2−1)2+(−a 2+4a +12−1)2−(−a 2+4a +12−t)2] =4[a 24−a +1+(−a 2+4a +12)2−(−a 2+4a +1)+1−(−a 2+4a +12)2+t(−a 2+4a +1)−t 2]=4[(54−t)a 2+(4t −5)a +1+t −t 2]. ∵GH 的长为定值，∴54−t =0，且4t −5=0， ∴t =54．【解析】(1)由A为直线y=k(x−2)+1上的定点，可得k的系数为0，从而求得x值，则点A的坐标可得；(2)先求得顶点D的坐标，可得AD⊥x轴．分别过点B，C作直线AD的垂线，垂足分别为M，N，设B，C的横坐标分别为x1，x2由△ACD的面积是△ABD面积的两倍得出2x1+x2=6.将抛物线解析式与直线y=k(x−2)+1解析式联立，得出关于x的一元二次方程，方法一可以直接解方程，再结合2x1+x2=6求得答案；方法二可以用韦达定理及2x1+x2=6求得答案；(3)设⊙E与直线y=t交于点G，H，点C的坐标为(a,−a2+4a)，用含a的式子表示出点E的坐标，再由勾股定理得出关于a的方程；分别过点E，A作x轴，y轴的平行线交于点F，过点E作PE⊥GH，垂足为P，连接EH，用含a的式子表示GH2，根据GH为定值，可得答案．本题属于二次函数综合题，综合考查了一次函数、二次函数、一元二次方程、勾股定理及圆的性质等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质定理是解题的关键．。
2020-2021学年广东省深圳中学龙岗初级中学九年级(上)月考数学试卷(12月份)(附详解)
2020-2021学年广东省深圳中学龙岗初级中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点P是BC延长线上一点且BC=CP，AP交BD于点E，交CD于点H，OP交CD于点F.下列结论：①AC=DP；②EF//DP；③CF=14CD；④若AB=1，则OF=√104.正确的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=6，cosA=35，那么AB的长为()A. 152B. 185C. 8D. 103.如图，已知AB//CD//EF，CF：AF=3：5，DE=6，BE的长为()A. 4B. 6C. 8D. 104.2020年，受新冠肺炎疫情影响，口罩等医用物资供不应求，某网店二月份口罩销量为256袋，三、四月份销量持续走高，四月份销量达400袋，则三、四月份这两个月的月平均增长率是()A. 10%B. 20%C. 25%D. 30%5.在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列给出的结论：①abc<0；②b−2a=0；③a+b+c<0；④8a+c>0；⑤am2+bm≥a−b.其中正确的结论有()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个6.方程x2−4x=0的解是()A. x1=0，x2=4B. x1=0，x2=−4C. x=4D. x=−47.如图，一个由圆柱和长方体组成的几何体水平放置，它的俯视图是()A.B.C.D.8.抛物线y=(x−2)2+2的顶点坐标为()A. (−2,2)B. (2,−2)C. (2,2)D. (−2,−2)9.下列说法正确的是()A. 顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形一定是菱形B. 反比例函数y=−3的图象是y随x的增大而增大xC. 以原点O为位似中心，将△ABC放大到原来的两倍，若点A的坐标为(2,3)，则A的对应点A′的坐标为(4,6)D. 点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，AB=200，则AC的长度为100(√5−1)10.如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF=5，则菱形ABCD的周长为()A. 20B. 30C. 40D. 50二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.小姚的身高为1.6米，他在阳光下的影长为2米，在同一时刻，一栋教学楼的影长为15米，则该教学楼的高度为______米．12.如图，面积为6的矩形OABC的顶点B在反比例函数y=kx(x<0)的图象上，则k=______．13.对于两个非零的实数a，b，定义运算※如下：a※b=1b −1a.例如：3※4=14−13=−112.若x※y=2，则xyx−y的值为______．14.若2x=3y，且x≠0，则x+yy的值为______．15.在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点E是线段AC上一点，过E作EG⊥BC，交BC于G，连接BE，点D是BE的中点，连接AD交BC于点F.若AD=2√5，BF=3，则FG=______．三、解答题（本大题共7小题，共55.0分）16.在3张相同的小纸条上分别标上1、2、3这3个号码，做成3支签，放在一个不透明的盒子中．(1)搅匀后从中随机抽出1支签，抽到1号签的概率是______；(2)搅匀后先从中随机抽出1支签(不放回)，再从余下的2支签中随机抽出1支签，求抽到的2支签上签号的和为奇数的概率．17.如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB、CD边于点E、F．(1)求证：四边形DEBF是平行四边形；(2)当DE=DF时，求EF的长．18.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A(−3,0)，B(1,0)和C(0,−3)．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P是抛物线上一动点，且在直线AC的下方，连接OP，交AC于点Q，求PQ的最大值；OQ(3)如图2，点D是抛物线的顶点，点M(m,n)是抛物线在第二象限图象上的点，且m+n=1，连接DM，BM，你能在线段DM上找到一点N，使得BN平分四边形MBCD 的面积吗？如果能，请算出它的坐标；如果不能，请说明理由．19.(1)解方程：x2−4x−5=0；(2)计算：2sin45°−tan60°+2cos30°．20.已知：如图，在四边形ABCD和Rt△EBF中，AB//CD，CD>AB，点C在EB上，∠ABC=∠EBF=90°，AB=BE=8cm，BC=BF=6cm，延长DC交EF于点M.点P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点M出发，沿MF方向匀速运动，速度为1cm/s.过点P作GH⊥AB于点H，交CD于点G.设运动时间为t(s)(0<t≤5)．(1)如图1，求MF的长；(2)如图2，连接PQ，作QN⊥AF于点N，当四边形PQNH为矩形时，求t的值；(3)如图3，点P在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点P在∠AFE的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．21.深圳市龙岗区某公司自主设计了一款可控温杯，每个生产成本为16元，投放市场进行了试销．经过调查得到每月销售量y(万个)与销售单价x(元/个)之间关系是一次函数的关系，部分数据如表：销售单价x(元/个)…20253035…每月销售量y(万个)…60504030…(1)求y与x之间的函数关系；(2)当该公司获得一定利560万元时，公司销售单价应定为多少？(3)该公司既要获得一定利润，又要符合相关部门规定(一件产品的利润率不得高于50%)，请你帮助分析，公司销售单价定为多少时可获利最大？并求出最大利润．22.如图，一次函数y=x+1的图象交y轴于点A，与反比(x>0)的图象交于点B(m,2)．例函数y=kx(1)求反比例函数的表达式；(2)求△AOB的面积；(3)直接写出：当x+1>k时，x的取值范围是______．x答案和解析1.【答案】B【解析】解：如图，∵AD//BP，AD=CP，∴四边形ACPD是平行四边形，∴AC=DP，故①正确，作OQ//CD交CB于Q，∴OPFP =CQCP=12，∵AD//BP，∴△ADE∽△PBE，∴AEEP =ADBP=12，∴AEEP =OFFP，∴EF//AC//DP，故②正确，由CF//OQ得，△PFC∽△POQ，∴CFOQ =CPPQ=23，∵OQ=12CD，∴CF=13CD，∴③不正确，在Rt△POQ中，OQ=12CD=12，PQ=32，∴OP=√OQ2+PQ2=√102，∵CF//OQ，∴OFOP =CQPQ=13，∴OF=√106，故④不正确，故选：B．①可证四边形ACPD是平行四边形，②可证AEEP =OFPF，从而确定正确，③CF=13CD，④OF=√106．本题考查了正方形性质，平行四边形判定和性质，相似三角形判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是注意问题间的关系，层层递进．2.【答案】D【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=35，则ACAB =35，即6AB=35，解得，AB=10，故选：D．根据余弦的定义列式计算即可．本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦是解题的关键．3.【答案】D【解析】解：∵AB//CD//EF，∴CFAF =DEBE，即35=6BE，∴BE=10，故选：D．根据平行线分线段成比例定理得到比例式，然后代入已知条件即可得到BE的长．本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．4.【答案】C【解析】解：设三、四月份这两个月的月平均增长率为x，依题意，得：256(1+x)2=400，解得：x1=0.25=25%，x2=−2.25(不合题意，舍去)．答：三、四月份这两个月的月平均增长率是25%．故选：C．设三、四月份这两个月的月平均增长率为x，根据二月份及四月份口罩的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．5.【答案】A【解析】解：①由图象可知：a>0，b>0，c<0，abc<0，故①正确；②∵对称轴为x=−1，=−1，∴−b2a∴b=2a，∴b−2a=0，故②正确；③由图象可知：当x=1时，y=a+b+c>0，故③错误；④∵当x>0时，y>0，∴x=2时，y=4a+2b+c>0，∵b=2a，∴8a+c>0，故④正确；⑤当x=−1时，y的值最小．此时，y=a−b+c，而当x=m时，y=am2+bm+c，所以am2+bm+c≥a−b+c，即am2+bm≥a−b，故⑤正确．故①②④⑤正确．故选：A．由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．本题考查了考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．6.【答案】A【解析】解：方程分解因式得：x(x−4)=0，可得x=0或x−4=0，解得：x1=0，x2=4，故选：A．方程利用因式分解法求出解即可．此题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．7.【答案】C【解析】解：从上面看，是一个矩形，矩形的中间是一个圆．故选：C．找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．8.【答案】C【解析】解：∵抛物线y=(x−2)2+2，∴抛物线y=(x−2)2+2的顶点坐标为：(2,2)，故选：C．根据二次函数的性质，由顶点式直接得出顶点坐标即可．此题主要考查了二次函数的性质，根据顶点式得出顶点坐标是考查重点同学们应熟练掌握．9.【答案】D【解析】解：A、顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形一定是矩形，本选项说法错误，不符合题意；B、反比例函数y=−3x的图象是在每个象限y随x的增大而增大，本选项说法错误，不符合题意；C、以原点O为位似中心，将△ABC放大到原来的两倍，若点A的坐标为(2,3)，则A的对应点A′的坐标为(4,6)或(−4,−6)，本选项说法错误，不符合题意；D、点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，AB=200，则AC的长度为200×√5−12= 100(√5−1)，本选项说法正确，符合题意；故选：D．根据菱形和矩形的判定定理、反比例函数的性质、位似变换的性质、黄金分割的概念判断即可．本题考查的是菱形和矩形的判定定理、反比例函数的性质、位似变换的性质、黄金分割的概念，掌握它们的概念和性质是解题的关键．10.【答案】C【解析】解：∵E，F分别是AD，BD的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF=12AB=5，∴AB=10，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD=10，∴菱形ABCD的周长=4AB=40；故选：C．由三角形中位线定理可求AB=10，由菱形的性质即可求解．本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，灵活应用三角形中位线性质是解决问题的关键．11.【答案】12【解析】解：根据题意得楼高15=1.62，解得：楼高=12，故答案为：12．根据同一时刻物高与影长成正比列式计算即可．本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．12.【答案】−6【解析】解：∵面积为6的矩形OABC 的顶点B 在反比例函数y =k x (x <0)的图象上， ∴|k|=6，k =±6，∵反比例函数y =k x (x <0)的图象经过第二象限，∴k =−6．故答案为：−6．根据反比例函数系数k 的几何意义可得|k|=6，再根据函数所在的象限确定k 的值． 本题主要考查了反比例函数y =k x 中k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k 的几何意义．13.【答案】12【解析】解：根据题中的新定义化简得：1y −1x =2，通分化简得：x−y xy =2，则xy x−y =12，故答案为：12已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出所求．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．14.【答案】52【解析】解：∵2x =3y ，且x ≠0，∴x =32y ，∴x+yy =32y+yy=52．故答案为：52．直接利用比例的性质得出x=32y，进而代入求出答案．此题主要考查了比例的性质，正确得出x=32y是解题关键．15.【答案】5【解析】解：连接AG，将△ACG绕点A逆时针旋转90°得到△ABM，连接MG，MF，∵EG⊥BC，∠BAC=90°，∴∠BAC+∠BGE=180°，∴点A、B、G、E四点共圆，∴∠GBE=∠GAE，又∵点D是BE的中点，且AB=AC，∠BAC=90°，∴AD=BD，∴∠ABE=∠BAD，∴∠BAD+∠GAE=∠ABE+∠GBE=45°，∴∠FAG=45°，由旋转性质可得：∠MAG=90°，AM=AG，MB=CG，∠MBA=∠C=45°，∴∠MAF=∠FAG=45°，∠MBF=90°，在△MAF和△GAF中，{AM=AG∠MAF=∠GAF AF=AF，∴△MAF≌△GAF(SAS)，∴MF=FG，∵EG⊥BC，∠C=45°，∴EG=GC=MB，在△MBG 和△EGB 中，{MB =EG ∠MBG =∠EGB BG =GB，∴△MBG≌△EGB(SAS)，∴MG =BE =2AD =4√5， 设CG =x ，FG =y ，则MB =x ，FM =y ，在Rt △MBG 中，x 2+(3+y)2=(4√5)2①，在Rt △MBF 中，x 2+32=y 2②，联立①②，解得{x 1=4y 1=5，{x 2=√55y 2=−8(不合题意，舍去)，{x 3=−√55y 3=−8(不合题意，舍去)，{x 4=−4y 4=5(不合题意，舍去)， 综上，FG =5，故答案为：5．通过证明点A 、B 、G 、E 四点共圆，可得∠GBE =∠GAE ，然后利用等腰直角三角形的性质可得∠FAG =45°，将△AGC 绕点A 逆时针旋转90°，通过证明BE =MG ，然后结合勾股定理列方程组求解．本题考查四点共圆，等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，通过添加辅助线构造全等三角形是解题关键．16.【答案】解：(1)共有3种可能出现的结果，其中“抽到1号”的有1种， 因此“抽到1号”的概率为13，故答案为：13；(2)用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有6种可能出现的结果，其中“和为奇数”的有4种，∴P (和为奇数)=46=23．【解析】(1)共有3种可能出现的结果，其中“抽到1号”的有1种，可求出概率；(2)用列表法表示所有可能出现的结果，找出“和为奇数”的情况，进而求出相应的概率．本题考查列表法和树状图求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况，是正确解答的关键．17.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB//CD ，∴∠DFO =∠BEO ，又因为∠DOF =∠BOE ，OD =OB ，∴△DOF≌△BOE(ASA)，∴DF =BE ，又因为DF//BE ，∴四边形BEDF 是平行四边形；(2)解：∵DE =DF ，四边形BEDF 是平行四边形∴四边形BEDF 是菱形，∴DE =BE ，EF ⊥BD ，OE =OF ，设AE =x ，则DE =BE =8−x在Rt △ADE 中，根据勾股定理，有AE 2+AD 2=DE 2∴x 2+62=(8−x)2，解之得：x =74，∴DE =8−74=254，在Rt △ABD 中，根据勾股定理，有AB 2+AD 2=BD 2∴BD =√62+82=10，∴OD =12 BD =5，在Rt △DOE 中，根据勾股定理，有DE 2 −OD 2=OE 2，∴OE =√(254)2−52=154， ∴EF =2OE =152．【解析】(1)根据矩形的性质得到AB//CD ，由平行线的性质得到∠DFO =∠BEO ，根据全等三角形的性质得到DF =BE ，于是得到四边形BEDF 是平行四边形；(2)推出四边形BEDF 是菱形，得到DE =BE ，EF ⊥BD ，OE =OF ，设AE =x ，则DE =BE =8−x 根据勾股定理即可得到结论．本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．18.【答案】解：(1)将A(−3,0)，B(1,0)、C(0,−3)代入y =ax 2+bx +c ， 得{9a −3b +c =0a +b +c =0c =−3，解得{a =1b =2c =−3，∴y =x 2+2x −3；(2)过点P 作PG ⊥x 轴交AC 于点G ，设直线AC 的解析式为y =kx +b ，∴{−3k +b =0b =−3， 解得{k =−1b =−3， ∴y =−x −3，设P(t,t 2+2t −3)，则G(t,−t −3)，∴PG =−t −3−t 2−2t +3=−t 2−3t ，∵PG//OC ，∴PQ OQ=PG OC ， ∴PQ OQ =−t 2−3t 3=−13(t +32)2+34，∴当t =−32时，PQ OQ 的最大值为34；(3)存在点N ，使得BN 平分四边形MBCD 的面积，理由如下：连接OC ，∵M 点在抛物线上，M(m,n)且m +n =1，∴1−m =m 2+2m −3，解得m =1(舍)或m =−4，∴M(−4,5)，由y =x 2+2x −3可得顶点为(−1,−4)，设直线MD 的直线解析式为y =k 1x +b 1，∴{−4k 1+b 1=5−k 1+b 1=−4， 解得{k 1=−3b 1=−7， ∴y =−3x −7，设直线MD 与x 轴的交点为F ，则F(−73,0)， ∴BF =103， ∴S 四边形MDCB =S △MBF +S △DOF +S △DOC +S △BOC =12×103×5+12×73×4+12×3×1+12×1×3=16，∵BN 平分四边形MBCD 的面积，∴S △MNB =8，∵S △MBF =12×103×5=253，∴N 点在F 点上方，∴S △MNB =S △MBF −S △BNF ，设N 点的纵坐标为ℎ，∴8=253−12×103ℎ， ∴ℎ=15，∴N(−125,15).【解析】(1)将A(−3,0)，B(1,0)、C(0,−3)代入y =ax 2+bx +c ，即可求函数解析式；(2)过点P 作PG ⊥x 轴交AC 于点G ，求出直线AC 的解析式y =−x −3，设P(t,t 2+2t −3)，则G(t,−t −3)，由PG//OC ，则PQ OQ =PG OC ，要求PQ OQ 的最大值，只需求PGOC 的最大值即可；(3)连接OC ，先求出M(−4,5)，顶点D(−1,−4)，直线MD 的直线解析式为y =−3x −7，设直线MD 与x 轴的交点为F ，则F(−73,0)，则S 四边形MDCB =S △MBF +S △DOF +S △DOC +S △BOC =16，再由BN 平分四边形MBCD 的面积，设N 点的纵坐标为ℎ，可得S △MNB =8=253−12×103ℎ，求出ℎ即可求点N 的坐标．本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活应用平行线的性质，利用分割法求四边形的面积是解题的关键．19.【答案】解：(1)∵x2−4x−5=0，∴(x−5)(x+1)=0，则x−5=0或x+1=0，解得x1=5，x2=−1；(2)原式=2×√22−√3+2×√32=√2−√3+√3=√2．【解析】(1)将左边利用十字相乘法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次方程，分别求解即可得出答案；(2)代入三角函数值，再计算乘法，最后计算加减即可．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．20.【答案】解：(1)如图1中，在Rt△EBF中，∠EBF=90°，BE=8cm，BF=6cm，∴EF=√BE2+BF2=√82+62=10(cm)，∵AB//CD，∴△ECM∽△EBF，∴CMBF =CEBE=EMEF，∴8−68=CM6=EM10，∴CM=32(cm)，EM=52(cm)，∴FM=EF−EM=10−52=152(cm)；(2)如图，过点Q作QN⊥AF于点N，∵∠ABC=∠EBF=90°，AB=BR=8cm，BC=BF=6cm，∴AC=√AB2+BC2=√82+62=10cm，EF=10cm，∵sin∠PAH=sin∠CAB，∴BCAC =PHAP，∴610=PH2t，∴PH=65t，同理可求QN=6−45t，∵四边形PQNH是矩形，∴PH=NQ，∴6−45t=65t，∴t=3，即当t=3时，四边形PQNH为矩形；(3)存在．理由：如图，连接PF，延长AC交EF于点K，∵AB=BE=8cm，BC=BF=6cm，AC=EF=10cm，∴△ABC≌△EBF(SSS)，∴∠E=∠CAB，又∵∠ACB=∠ECK，第21页，共23页∴∠ABC =∠EKC =90°，∵S △CEM =12⋅EC ⋅CM =12⋅EM ⋅CK ， ∴CK =2×3252=65， ∵PF 平分∠AFE ，PH ⊥AF ，PK ⊥EF ，∴PH =PK ，∴65t =10−2t +65， ∴t =72．∴存在某一时刻t ，使点P 在∠AFE 的平分线上此时t 的值为72．【解析】(1)首先利用勾股定理求出EF ，由△ECM∽△EBF ，求出CM ，EM 的长，可得结论；(2)根据sin∠PAH =sin∠CAB 得PH =65t ，同理可求QN =6−45t ，由四边形PQNH 是矩形，则PH =NQ ，即可得出方程解决问题；(3)延长AC 交EF 于点K ，由△ABC≌△EBF ，可证∠EKC =90°，根据面积法求出CK ，再根据角平分线的性质得PH =PK ，即可解决问题．本题属于四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，矩形的性质，三角函数等知识，证明AC ⊥EF 是解题的关键．21.【答案】解：(1)设每月销售量y(万个)与销售单价x(元/个)之间的函数关系式为：y =kx +b ．把(20,60)，(30,40)代入y =kx +b 得：{60=20k +b 40=30k +b， 解得：{k =−2b =100， ∴y 与x 之间的函数关系为：y =−2x +100；(2)由题意得：(x −16)(−2x +100)=560，整理得：x 2−66x +1080=0，解得：x 1=36，x 2=30，∴公司销售单价应定为36元或30元；(3)∵每个生产成本为16元，一件产品的利润率不得高于50%，∴x≤(1+50%)×16=24，设该公司获得的利润为w万元，则w=y(x−16)=(−2x+100)(x−16)=−2x2+132x−1600=−2(x−33)2+578，∵图象开口向下，对称轴左侧w随x的增大而增大，∴当x=24时，w最大，最大值为416万元．∴公司销售单价定为24元时可获利最大，最大利润为每月416万元．【解析】(1)由题意用待定系数法可求；(2)根据题意列出一元二次方程，解方程即可；(3)根据利润=销售量×(销售单价−成本)列式得出二次函数解析式，再根据产品利润率不高于50%且成本为16元，得出销售单价的范围，结合二次函数得出最大值．本题考查了二次函数和一元二次方程在实际问题中的应用，待定系数法求一次函数的解析式，解答本题的关键是得出月销售利润的表达式，要求同学们熟练掌握配方法求二次函数最值的应用．22.【答案】x>1【解析】解：(1)∵点B(m,2)在直线y=x+1上，∴2=m+1，得m=1，∴点B的坐标为(1,2)，∵点B(1,2)在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，∴2=k1，得k=2，即反比例函数的表达式是y=2x；(2)将x=0代入y=x+1，得y=1，则点A的坐标为(0,1)，∵点B的坐标为(1,2)，∴△AOB的面积是；1×12=12．第22页，共23页(3)由图象可直接得出，当x+1>k时，x的取值范围是x>1，x故答案为：x>1．(x>0)的图象交于(1)根据一次函数y=x+1的图象交y轴于点A，与反比例函数y=kx点B(m,2)，可以求得点B的坐标，进而求得反比例函数的解析式；(2)根据题目中一次函数的解析式可以求得点A的坐标，再根据(1)中求得的点B的坐标，即可求得△AOB的面积；(3)由图象可直接得出x的取值范围．本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．第23页，共23页。
2020-2021学年浙江金华婺城区婺州外国语学校九年级(上)第一次月考数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年浙江省金华市婺城区婺州外国语学校九年级（上）第一次月考数学试卷（10月份）1.−2020的绝对值是( )A. −2020B. 2020C. −12020D. 120202.如图是由七个相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的主视图是( )A.B.C.D.3.下列计算正确的是( )A. a3+a2=a5B. a3⋅a2=a6C. (2a2)3=6a6D. a6÷(−a)2=a44.本学期，大兴区开展了“恰同学少年，品诗词美韵”中华传统诗词大赛活动．小江统计了班级30名同学四月份的诗词背诵数量，具体数据如表所示：诗词数量(首)4567891011人数34457511那么这30名同学四月份诗词背诵数量的众数和中位数分别是( )A. 11，7B. 7，5C. 8，8D. 8，75.如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，则侧面积为( )A. 2πB. 3πC. 6πD. 8π6.若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：x−2−1012y830−10则抛物线的顶点坐标是( )A. (−1,3)B. (0,0)C. (1,−1)D. (2,0)7. 抢凳子是小时候常玩的游戏．人围成圈，将凳子放在中间，主持人开始敲鼓，此时人围着凳子按同一方向转圈．当敲击声停止时，就要抢坐在凳子上．因为凳子数量少于玩游戏的总人数，未抢坐到凳子上的玩家淘汰下场．现在甲、乙、丙3位同学准备玩抢凳子的游戏，谁先抢坐到凳子上谁获胜．如图，三人已站定，主持人要在他们中间放一个凳子，为使游戏公平，凳子应放在图中三角形的( )A. 三条高的交点B. 重心C. 内心D. 外心8. 某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x 本资料，列方程正确的是( )A. 240x−20−120x=4 B. 240x+20−120x =4 C.120x−240x−20=4D.120x−240x+20=49. 如图，点M 是正方形ABCD 边CD 上一点，连接AM ，作DE ⊥AM 于点E ，BF ⊥AM 于点F ，连接BE.若AF =1，四边形ABED 的面积为6，则∠EBF 的余弦值是( )A. 2√1313 B.3√1313 C. 23 D. √131310. 如图，点G 是△ABC 的重心，下列结论：①DGGB =12；②AEEB =EDBC ；③△EDG ∽△CBG ；④S 四边形AEGDS △ABC=13.其中正确的个数有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个11. 分解因式：4−x 2=______. 12. 如图，在△ABC 中，DE//BC ，AE EC=12，AD =2，则BD 长为______.13. 四张扑克牌的牌面如图①，将扑克牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上如图②，随机同时抽取两张扑克牌，牌面数字是2和4的概率为______.14.如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为(−3,4)，⊙A的半径为2，P为x轴上一动点，PB切⊙A于点B，则PB最小值是______.15.如图，直线y=12x+2与双曲线y=kx相交于点A(m,3)，与x轴交于点C.点P在x轴上，如果△ACP的面积为3，则点P的坐标是______.16.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−x2+bx+c经过点A，B，C，已知A(−1,0)，C(0,3)，则抛物线的表达式为______，如图，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，N是线段EF上一动点，M(m,0)是x轴上一动点，若∠MNC=90∘，则实数m的取值范围为______.17.计算：−12019+(13)−2+(3.14−π)0−4cos30∘.18.解方程：4xx2−4−2x−2=1.19.如图，在6×6的网格中，每个小正方形的边长为1，点A在格点(小正方形的顶点)上．试在各网格中画出顶点在格点上，面积为6，且符合相应条件的图形．20.某校教职工为庆祝“建国70周年”开展学习强国知识竞赛，本次知识竞赛分为甲、乙、丙三组进行．下面两幅统计图反映了教师参加学习强国知识竞赛的报名情况，请你根据图中的信息回答下列问题：(1)该校教师报名参加本次学习强国知识竞赛的总人数为______人，并补全条形统计图；(2)该校教师报名参加丙组的人数所占圆心角度数是______；(3)根据实际情况，需从甲组抽调部分教师到丙组，使丙组人数是甲组人数的3倍，应从甲组抽调多少名教师到丙组？21.小张在甲楼A处向外看，由于受到前面乙楼的遮挡，最近只能看到地面D处，俯角为α.小颖在甲楼B处(B在A的正下方)向外看，最近能看到地面E处，俯角为β，地面上G，F，D，E 在同一直线上，已知乙楼高CF为10m，甲乙两楼相距FG为15m，俯角α=45∘，β=35∘.(1)求点A到地面的距离AG；(2)求A，B之间的距离．(结果精确到0.1m)(sin35∘≈0.57,cos35∘≈0.82,tan35∘≈0.70)22.如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作CE⊥AC交AD的延长线于点E，F为CE的中点，连结DB，DF.(1)求∠CDE的度数．(2)求证：DF是⊙O的切线．(3)若tan∠ABD=3时，求AC的值．DE23.【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：如图①，点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A(2,0).动点B在⊙O上，连结AB，作等边△ABC(A,B,C为顺时针顺序)，求OC的最大值【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接OB，以OB 为边在OB的左侧作等边三角形BOE，连接AE.(1)请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由；(2)线段OC的最大值为______.【灵活运用】(3)如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(5,0)，点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90∘，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标．【迁移拓展】(4)如图③，BC=4√2，点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以BD为边作等边△ABD，请直接写出AC的最值．24.如图，已知抛物线y=ax2+85x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A(2,0)、C(0,−4)，直线l：y=−12x−4与x轴交于点D，点P是抛物线y=ax2+85x+c上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交直线l于点F.(1)试求该抛物线表达式；(2)如图1，若点P在第三象限，四边形PCOF是平行四边形，求P点的坐标；(3)如图2，过点P作PH⊥y轴，垂足为H，连接AC.①求证：△ACD是直角三角形；②试问是否存在这样的点P，使得以点P、C、H为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：根据绝对值的概念可知：|−2020|=2020，故选：B.根据绝对值的定义直接进行计算．本题考查了绝对值．解题的关键是掌握绝对值的概念，注意掌握一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.2.【答案】B【解析】解：从正面看易得左边第一列有2个正方形，中间第二列最有1个正方形，最右边一列有2个正方形在右上角处．故选：B.找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．3.【答案】D【解析】解：A.a3+a2，无法合并，故此选项不合题意；B.a3⋅a2=a5，故此选项不合题意；C.(2a2)3=8a6，故此选项不合题意；D.a6÷(−a)2=a4，故此选项符合题意．故选：D.直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别化简，进而判断得出答案．此题主要考查了合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．4.【答案】D【解析】【分析】本题考查中位数和众数的概念．掌握在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数；将一组数据从小到大依次排列，把中间数据(或中间两数据的平均数)叫做中位数是解题的关键．根据众数和中位数的定义解答可得．【解答】解：这组数据中8出现的次数最多，则其众数为8；30个数据的中位数为第15、16个数据的平均数，则其中位数为7+72=7，故选：D.5.【答案】B【解析】解：圆锥的侧面积=12×2π×1×3=3π，故选：B.根据扇形面积公式计算，得到答案．本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．6.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查二次函数的性质，利用条件求得二次函数的解析式是解题的关键.由表中所给数据，可求得二次函数解析式，则可求得其顶点坐标.【解答】解：∵当x=0或x=2时，y=0，当x=1时，y=−1，∴{c=04a+2b+c=0a+b+c=−1，解得{a=1b=−2c=0，∴二次函数解析式为y=x2−2x=(x−1)2−1，∴抛物线的顶点坐标为(1,−1).故选C.7.【答案】D【解析】解：为了游戏公平，凳子的位置到三角形的三个顶点的距离相等，∴凳子放在三角形的外心处，故选：D.利用三角形的外心的性质解决问题即可．本题考查三角形的内心，重心，外心，游戏的公平性等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8.【答案】D【解析】解：设他上月买了x本笔记本，则这次买了(x+20)本，根据题意得：120x −240x+20=4.故选：D.由设第一次买了x本资料，则设第二次买了(x+20)本资料，由等量关系：第二次比第一次每本优惠4元，即可得到方程．此题考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．9.【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，∴BA=AD，∠BAD=90∘，∵DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，∴∠AFB=90∘，∠DEA=90∘，∵∠ABF+∠BAF=90∘，∠EAD+∠BAF=90∘，∴∠ABF=∠EAD，在△ABF和△DEA中{∠BFA=∠DEA,∠ABF=EAD, AB=DA,∴△ABF≌△DAE(AAS)，∴BF=AE；设AE=x，则BF=x，DE=AF=1，∵四边形ABED的面积为6，∴12⋅x⋅x+12⋅x⋅1=6，解得x1=3，x2=−4(舍去)，∴EF=x−1=2，在Rt△BEF中，BE=√22+32=√13，∴sin∠EBF=BFBE=3√13=3√1313.故选：B.首先证明△ABF≌△DAE得到BF=AE；设AE=x，则BF=x，DE=AF=1，利用四边形ABED的面积等于△ABE的面积与△ADE的面积之和得到12⋅x⋅x+12⋅x⋅1=6，解方程求出x得到AE=BF=3，则EF=x−1=2，然后利用勾股定理计算出BE，最后利用余弦的定义求解．本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．会运用全等三角形的知识解决线段相等的问题．也考查了解直角三角形．10.【答案】C【解析】解：∵点G是△ABC的重心，∴D是AC的中点，E是AB的中点，∵DE//BC，DE=12BC，∴△AED∽△ABC，∴AEAB =EDBC，故②错误；∵DE//BC，∴∠DEG=∠BCG，∠EDG=∠CBG，∴△EDG∽△CBG，∴DGGB =DEBC=12，故①③正确；∵点G是△ABC的重心，∴DG：BD=1：3，∵AD=DC，∴S△ABD=12S△ABC，∵S△ADES△ABC =(EDBC)2=14，∴S△BDE=14S△ABC，∴S△DEG=13S△BDE=112S△ABC，∴S四边形AEGD =S△AED+S△DGE=14S△ABC+112S△ABC=13S△ABC，∴S四边形AEGDS△ABC=13，故④正确；故正确的有①③④，故选：C.根据重心的定义得出D是AC的中点，E是AB的中点，DG：BD=1：3，进而得出ED//BC，得出△AED∽△ABC，△EDG∽△CBG，根据相似三角形的性质得出DGGB =DEBC=12，AEAB=EDBC，S ADES△ABC=(ED BC )2=14，进而根据S△DEG=13S△BDE=112S△ABC，即可求得S四边形AEGD=S△AED+S△DGE=1 4S△ABC+112S△ABC=13S△ABC，即可求得S四边形AEGDS△ABC=13，即可得出答案．本题综合考查了三角形中位线的性质、平行线的判定和性质、相似三角形的判定和性质，综合性强，难度较大，解答时，需要学生具有综合运用知识的能力．11.【答案】(2−x)(2+x)【解析】解：4−x2=(2−x)(2+x)，故答案为：(2−x)(2+x).直接利用平方差公式进行分解即可．此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b).12.【答案】4【解析】解：∵在△ABC中，DE//BC，AEEC =12，AD=2，∴AEEC =ADBD，即2BD =12，解得：BD=4，故答案为：4结合平行线分线段成比例定理以及比例的基本性质解答即可．此题主要考查平行线分线段成比例定理：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．同时考查了比例的性质．13.【答案】16【解析】解：根据题意画树状图如下：共有12种等情况数，其中抽取两张扑克牌，牌面数字是2和4的有2种，则牌面数字是2和4的概率为212=16；故答案为：16.画树状图展示所有12种等可能的结果数，再出抽到两张牌的牌面数字之和是奇数的结果数，然后根据概率公式计算概率此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14.【答案】2√3【解析】解：如图，连接AB，AP.根据切线的性质定理，得AB ⊥PB.要使PB 最小，只需AP 最小，则根据垂线段最短，则AP ⊥x 轴于P ，此时P 点的坐标是(−3,0)，AP =4，在Rt △ABP 中，AP =4，AB =2，∴PB =√AP 2−AB 2=2√3.则PB 最小值是2√3.故答案为：2√3.此题根据切线的性质以及勾股定理，根据垂线段最短的性质进行分析，把要求PB 的最小值转化为求AP 的最小值，进而可以解决问题．本题考查了切线的性质和坐标与图形的性质．此题应先将问题进行转化，再根据垂线段最短的性质进行分析．15.【答案】(−2,0)或(−6,0)【解析】解：当y =0时，即12x +2=0，解得x =−4，∴直线y =12x +2与x 轴的交点C(−4,0)，设点P(x,0)，∵△ACP 的面积为3，∴12×|x +4|×3=3， 解得x =−2或x =−6，∴点P 的坐标为(−2,0)或(−6,0)，故答案为：(−2,0)或(−6,0).根据一次函数图象上点的坐标特征可求出点C 的坐标，再根据三角形的面积公式列方程可求出点P 的坐标．本题考查反比例函数与一次函数的交点坐标，掌握一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积公式是解决问题的关键．16.【答案】y =−x 2+2x +3−54≤m ≤5【解析】解：由题意得：{−1−b +c =0c =3， 解得：{b =2c =3， ∴抛物线解析式为y =−x 2+2x +3；∵y =−x 2+2x +3=−(x −1)2+4，∴E(1,4)，设N(1,n)，则0<n ≤4，∵∠MNC =90∘，∴CM 2=CN 2+MN 2，∴32+m 2=12+(3−n)2+(m −1)2+n 2整理得，m =n 2−3n +1，即m =(n −32)2−54， ∵0<n ≤4，当n =32时，m 最小值=−54，n =4时，m =5，综上，m 的取值范围为：−54≤m ≤5. 故答案为：y =−x 2+2x +3，−54≤m ≤5.由y =−x 2+bx +c 经过点A 、B 、C ，A(−1,0)，C(0,3)，利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；利用勾股定理得出关系式m =(n −32)2−54，然后根据n 的取值可得答案． 此题考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的最值问题以及直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握数形结合思想与方程思想的应用．17.【答案】解：−12019+(13)−2+(3.14−π)0−4cos30∘=−1+9+1−4×√32 =−1+9+1−2√3=9−2√3.【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．18.【答案】解：去分母得：4x −2(x +2)=x 2−4，整理得：x 2−2x =0，即x(x −2)=0，所以x =0或x −2=0，解得：x =0或x =2，检验：把x =2代入得：(x +2)(x −2)=0，把x =0代入得：(x +2)(x −2)≠0，∴x =2是增根，分式方程的解为x =0.【解析】方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．19.【答案】解：符合条件的图形如图所示．【解析】首先根据题意可知所作的三角形面积为6，则该三角形底与高的乘积为12，据此作图．对于后两个图，结合平行四边形的面积公式可得底与高的乘积为6，结合题干中A点的位置要求进行作图．本题考查作图-应用与设计，关键是灵活运用三角形的面积、平行四边形的面积与性质解决问题．20.【答案】(1)50；(2)180∘；(3)设应从甲组抽调x名教师到丙组，由题意得，25+x=3(15−x)，解得，x=5.答：应从甲组抽调5名教师到丙组，丙组人数是甲组人数的3倍．【解析】解：(1)由条形图可知，甲组有15人，由扇形图可知，甲组人数所占的百分比为30%，∴该校教师报名参加本次学习强国知识竞赛的总人数为：15÷30%=50(人)，则乙组人数为：50×20%=10(人)，补全条形统计图如图所示：故答案为：50；(2)参加丙组的人数所占圆心角度数为：360∘×(1−20%−30%)=180∘，故答案为：180∘；(3)见答案.【分析】(1)根据条形统计图得到甲组有15人，根据扇形图得到甲组人数所占的百分比为30%，计算求出总人数，求出乙组人数，补全条形统计图；(2)根据丙组人数所占的百分比，求出丙组的人数所占圆心角度数；(3)根据题意列出一元一次方程，解方程得到答案．本题考查的是条形统计图、扇形统计图、一元一次方程的应用，读懂条形图和扇形图、掌握解一元一次方程应用题的一般步骤是解题的关键．21.【答案】解：(1)∵由已知得：∠AGD=∠BGE=∠CFD=90∘，∠CDF=α=45∘，∴DF=CF=10，DG=FG+FD=15+10=25，∴AG=GD=25，答：位置A离地面的垂直距离为25米；(2)∵∠CEF=β=35∘，∴CFEF=tan∠CEF=tan35∘≈0.70，∴EF=CF0.70=100.70≈14.29，∴EG=GF+EF=15+14.29=29.29，又∵BGEG=tan∠CEF=tan35∘≈0.70，∴BG=0.70EG=0.70×29.29≈20.50，∴AB≈25−20.50≈4.5.答：A，B相差4.5米．【解析】(1)先由等腰直角三角形的性质得出DF=CF，DG=FG+FD，进而可得出结论；(2)根据锐角三角函数的定义得出EF与BG的长，进而可得出结论．本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．22.【答案】解：(1)∵对角线AC为⊙O的直径，∴∠ADC=90∘，∴∠CDE=180∘−90∘=90∘；(2)如图，连接OD，∵∠CDE=90∘，F为CE的中点，∴DF=CF，∴∠FDC=∠FCD，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∴∠FDC+∠ODC=∠FCD+∠OCD，即∠ODF=∠OCF，∵CE⊥AC，∴∠ODF=∠OCF=90∘，即OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线．(3)∵∠E=90∘−∠ECD=∠DCA=∠ABD，∴tan∠E=tan∠DCA=tan∠ABD=3，设DE=x，则CD=3x，AD=9x，∴AC=√(3x)2+(9x)2=3√10x，∴ACDE =3√10xx=3√10.【解析】(1)因为对角线AC为⊙O的直径，可得∠ADC=90∘，即∠CDE=90∘；(2)连接OD，证明DF=CF，可得∠FDC=∠FCD，因为OD=OC，可得∠ODC=∠OCD，即∠ODF=∠OCF=90∘，可得DF是⊙O的切线；(3)证明∠E=∠DCA=∠ABD，可得tan∠E=tan∠DCA=tan∠ABD=3，设DE=x，则CD=3x，AD=9x，在Rt△ADC中，求得AC的长，即可得出ACDE的值．本题考查圆的切线的判定，圆周角定理，锐角三角函数的定义．解题的关键是掌握圆的切线的判定方法．23.【答案】(1)如图①中，结论：OC=AE，理由：∵△ABC，△BOE都是等边三角形，∴BC=BA，BO=BE，∠CBA=∠OBE=60∘，∴∠CBO=∠ABE，∴△CBO≌△ABE，∴OC=AE.(2)3；(3)如图1，连接BM，∵将△APM绕着点P顺时针旋转90∘得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，∴PN=PA=2，BN=AM，∵A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(5,0)，∴OA=2，OB=5，∴AB=3，∴线段AM长的最大值=线段BN长的最大值，∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值(如图2中)最大值=AB+AN，∵AN=√2AP=2√2，∴最大值为2√2+3；如图2，过P作PE⊥x轴于E，∵△APN是等腰直角三角形，∴PE=AE=√2，∴OE=BO−AB−AE=5−3−√2=2−√2，∴P(2−√2,√2).(4)AC的最大值为2√2+2√6.AC的最小值为2√6−2√2.【解析】解：(1)见答案．(2)在△AOE中，AE≤OE+OA，∴当E、O、A共线，∴AE的最大值为3，∴OC的最大值为3.故答案为3.(3)见答案．(4)如图4中，以BC为边作等边三角形△BCM，∵∠ABD=∠CBM=60∘，∴∠ABC=∠DBM，∵AB=DB，BC=BM，∴△ABC≌△DBM，∴AC=MD，∴欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，∵BC=4√2=定值，∠BDC=90∘，∴点D在以BC为直径的⊙O上运动，由图象可知，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大，最大值=2√2+2√2，∴AC的最大值为2√2+2√6.当点A在线段BD的右侧时，同法可得AC的最小值为2√6−2√2，故答案为：AC的最大值为2√2+2√6，AC的最小值为2√6−2√2.【分析】(1)结论：OC=AE.只要证明△CBO≌△ABE即可；(2)利用三角形的三边关系即可解决问题；(3)连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90∘得到△PBN，连接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN=PA=2，BN=AM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为2√2+3；过P作PE⊥x轴于E，根据等腰直角三角形的性质，即可得到结论；(4)如图4中，以BC为边作等边三角形△BCM，由△ABC≌△DBM，推出AC=MD，推出欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，由BC=4√2=定值，∠BDC=90∘，推出点D在以BC为直径的⊙O上运动，由图象可知，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大；本题考查四边形综合题、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、圆等知识，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，学会用转化的思想思考问题，掌握旋转法添加辅助线，属于中考压轴题．24.【答案】解：(1)把A(2,0)、C(0,−4)代入y=ax2+85x+c中得：{4a+165+c=0c=−4，解得：{a=15c=−4，∴该抛物线表达式为：y=15x2+85x−4；(2)如图1，设点P的坐标为(x,15x2+85x−4)，则F(x,−12x−4)，∵点P在第三象限，∴PF=(−12x−4)−(15x2+85x−4)=−15x2−2110x，∵C(0,−4)，∴OC=4，∵四边形PCOF是平行四边形，且PF//OC，∴PF=OC=4，即−15x2−2110x=4，2x2+21x+40=0，(x+8)(2x+5)=0，x1=−8，x2=−2.5，当y=0时，15x2+85x−4=0，解得：x1=−10，x2=2，∴P的坐标为(−8,−4)或(−2.5,−274)；(3)①当y=0时，−12x−4=0，x=−8，∴D(−8,0)，由勾股定理得：DC2=82+42=80，AC2=22+42=20，AD2=102=100，∴AD2=AC2+DC2，∴∠ACD=90∘，∴△ACD是直角三角形；②设点P的坐标为(x,15x2+85x−4)，由①知：∠ACD=90∘，∠PHC=90∘，AC=√20=2√5，CD=√80=4√5，∴AC CD=12如图3，点P在第一象限，当△ACD∽△PHC时，则ACCD =PHCH=2√54√5=12，∴CH=2PH，∴15x2+85x−4−(−4)=2x，解得：x1=0(P与C重合，舍)，x2=2，∴此时点P的横坐标为2；如图4，点P在第一象限，当△ACD∽△CHP时，则ACCD =CHPH=12，∴PH=2CH，∴−x=2[−4−(15x2+85x−4)]，解得：x1=0(舍)，x2=−5.5，∴此时点P的横坐标为−5.5；如图5，点P在第二象限，当△ACD∽△CHP时，则ACCD =CHPH=12，∴PH=2CH，∴−x=2[(15x2+85x−4)−(−4)]，解得：x1=0(舍)，x2=−10.5，∴此时点P的横坐标为−10.5(P在直线l上)；如图6，点P在第二象限，当△ACD∽△PHC时，则ACCD =PHCH=12，∴CH=2PH，∴[(15x2+85x−4)−(−4)]=−2x，解得：x1=0(舍)，x2=−18，∴此时点P的横坐标为−18；综上所述，点P的横坐标为2或−5.5或−10.5或−18时，使得以点P、C、H为顶点的三角形与△ACD 相似．【解析】(1)利用待定系数法求抛物线的解析式；(2)先设点P的坐标为(x,15x2+85x−4)，根据PF//OC，可知点P的横坐标和点F的横坐标相等，则可得F(x,−12x−4)，根据点P在第三象限，表示PF的长，由四边形PCOF是平行四边形，则PF=OC=4，列方程可得结论；(3)①根据勾股定理计算△ACD三边的平方，并由勾股定理的逆定理可得：△ACD是直角三角形；②根据点P在各个象限上，利用△ACD两直角边的比为1：2，并利用相似比列方程可得结论，注意点P与A重合时也成立．本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、相似三角形的性质，依据平行线的对边相等列出关于x 的方程是解答问题(2)的关键，利用相似三角形的性质列出关于x的方程是解答问题(3)的关键，并注意运用分类讨论的思想，不要丢解．。
2020-2021学年天津市和平区汉阳道中学九年级(上)月考数学试卷(一)(附答案详解)
2020-2021学年天津市和平区汉阳道中学九年级（上）月考数学试卷（一）1.下列方程是关于x的一元二次方程的是( )A. ax2+bx+c=0B. 1x2+1x=2C. x2+2x=x2−1D. 3(x+1)2=2(x+1)2.方程3x2−2=1−4x的两个根的和为( )A. 43B. 13C. −23D. −433.下列关于x的方程有实数根的是( )A. x2−x+1=0B. x2+x+1=0C. (x−1)(x+2)=0D. (x−1)2+1=04.一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根中较大的根是( )A. 1+√5B. 1+√52C. 1−√52D. −1+√525.用配方法解方程3x2−6x+1=0，则方程可变形为( )A. (x−3)2=13B. 3(x−1)2=13C. (3x−1)2=1D. (x−1)2=236.函数y=ax2+ax+a(a≠0)的图象可能是下列图象中的( )A. B.C. D.7.把抛物线y=x2向上平移3个单位，再向右平移1个单位，则平移后抛物线的解析式为( )A. y=(x+3)2+1B. y=(x+3)2−1C. y=(x−1)2+3D. y=(x+1)2+38.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，若点A(1,y1)、B(2,y2)是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是( )A. y1<y2B. y1=y2C. y1>y2D. 不能确定9.下列说法错误的是( )A. 二次函数y=3x2中，当x>0时，y随x的增大而增大B. 二次函数y=−6x2中，当x=0时，y有最大值0C. 抛物线y=ax2(a≠0)中，a越大图象开口越小，a越小图象开口越大D. 不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2(a≠0)的顶点一定是坐标原点10.二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的取值范围是( )A. m≤3B. m≥3C. m≤−3D. m≥−311.已知二次函数y=1−(x−a)(x−b)，其中a<b，m，n(m<n)是方程1−(x−a)(x−b)=0的两个根，则实数a、b、m、n的大小关系是( )A. a<m<n<bB. m<a<b<nC. a<m<b<nD. m<a<n<b12.已知抛物线y=x2+bx+c(a>0)的对称轴为直线x=−1，该抛物线与x轴的一个交点为(x1,0)，且0<x1<1，有下列结论：①abc>0；②9a−3b+c>0；③b<a④3a+c>0.其中正确结论的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 413.方程x2=2x的解是______.14.若方程x2−4x+m=0有两个实数根，则m的取值范围是______ .15.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛30场，共有______个队参加比赛．16.试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为(0,3)的抛物线的解析式为______.17.已知抛物线y=x2−(k+2)x+9的顶点在坐标轴上，则k的值为______.18.已知函数y1=x，y2=x2+bx+c，α，β为方程y1−y2=0的两个根，若α=13，β=12，则(1)函数y2的解析式为______；(2)若函数y1与y2的图象的两个交点为A，B，点M(t,T)在函数y2的图象上且13<t<12，则△ABM的面积S与t之间的函数关系为______.19.解方程(1)x2−16=0(2)x2−6x+10=020.(1)x2−2x−3=0(2)7x2−√6x−4=021.解方程：(1)3x(x+1)=3(x+3)；(2)x(2x−4)=5−8x.22.已知关于x的方程x2+ax+a−2=0，(1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．23.如图，要建一个长方形的养鸡场，养鸡场的一边靠墙(墙长25米)，另三边用竹篱笆围成，竹篱笆的长为40米，若要围成的养鸡场的面积为180平方米，求养鸡场的长与宽各为多少米．设与墙平行的一边长为x米．(1)填空：(用含的代数式表示)另一边长为______米；(2)列出方程，并求出问题的解．24.如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE、ED、DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系．(1)根据题意，填空：①顶点C的坐标为______ ；②B点的坐标为______ ；(2)求抛物线的解析式；(3)已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离ℎ(单位：米)随时间t(单(t−19)2+8(0≤t≤40)，且当点C到水面位：时)的变化满足函数关系ℎ=−1128的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？25.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(1,0).(1)当b=2，c=−3时，求二次函数的解析式及二次函数最小值；(2)二次函数的图象经过点B(m,e)，C(3−m,e).①求该二次函数图象的对称轴；②若对任意实数x，函数值y都不小于14a −12，求此时二次函数的解析式．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、ax2+bx+c=0当a=0时，不是一元二次方程，故A错误；B、1x2+1x=2不是整式方程，故B错误；C、x2+2x=x2−1是一元一次方程，故C错误；D、3(x+1)2=2(x+1)是一元二次方程，故D正确；故选：D.根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.2.【答案】D【解析】解：3x2+4x−3=0，所以方程的两个根之和为−43.故选D.先把方程化为一般式，然后根据根与系数的关系求解．本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba ，x1x2=ca.3.【答案】C【解析】解：A、△=(−1)2−4×1×1=−3<0，方程没有实数根，所以A选项错误；B、△=12−4×1×1=−3<0，方程没有实数根，所以B选项错误；C、x−1=0或x+2=0，则x1=1，x2=−2，所以C选项正确；D、(x−1)2=−1，方程左边为非负数，方程右边为0，所以方程没有实数根，所以D 选项错误．故选：C.分别计算A、B中的判别式的值；根据判别式的意义进行判断；利用因式分解法对C进行判断；根据非负数的性质对D进行判断．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．【解析】解：∵一元二次方程x 2−x −1=0中，a =1，b =−1，c =−1， ∴△=b 2−4ac =1+4=5>0， ∴x =−b±√b 2−4ac2a =1±√52， x 1=1−√52，x 2=1+√52∴一元二次方程x 2−x −1=0的两个实数根中较大的根是1+√52.故选B. 利用公式x =−b±√b 2−4ac2a求得方程的两个根，然后找出较大的根即可．本题考查了解一元二次方程-公式法，熟记求根公式即可解答该题．5.【答案】D【解析】 【分析】本题考查分配方法解一元二次方程． 配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边； (2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 【解答】解：原方程为3x 2−6x +1=0，二次项系数化为1，得x 2−2x =−13， 即x 2−2x +1=−13+1，所以(x −1)2=23. 故选D.6.【答案】C【解析】解：在函数y =ax 2+ax +a(a ≠0)中，当a <0时，则该函数开口向下，顶点在y 轴左侧，抛物线与y 轴的负半轴相交，故选项D 错误；当a >0时，则该函数开口向上，顶点在y 轴左侧，抛物线与y 轴的正半轴相交，故选项A 、B 错误；故选项C 正确； 故选：C.根据函数y =ax 2+ax +a(a ≠0)，对a 的正负进行分类讨论，只要把选项中一定错误的说出原因即可解答本题．本题考查二次函数的图象，解题的关键是运用分类讨论的数学思想解答问题．【解析】解：由“上加下减”的原则可知，把抛物线y=x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y=x2+3；由“左加右减”的原则可知，把抛物线y=x2+3向右平移1个单位所得抛物线的解析式为：y=(x−1)2+3.故选C.直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．8.【答案】C【解析】解：从题中给出的图象可以看出，对称轴为直线x=−3，a<0，又点A、B位于对称轴右侧，y随x的增大而减小，则y1>y2.故选C.利用二次函数的性质即可解答．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，学会比较图象上点的坐标的大小．9.【答案】C【解析】解：A、二次函数y=3x2中，当x>0时，y随x的增大而增大，说法正确，不符合题意；B、二次函数y=−6x2中，当x=0时，y有最大值0，说法正确，不符合题意；C、抛物线y=ax2(a≠0)中，|a|越大图象开口越小，|a|越小图象开口越大，说法错误，符合题意；D、不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2(a≠0)的顶点一定是坐标原点，说法正确，不符合题意．故选：C.根据抛物线的性质即可进行判断．本题考查了二次函数y=ax2(a≠0)的性质，是基础知识，需熟练掌握．10.【答案】A【解析】解：方法一：由图可知：y≥−3，即ax2+bx≥−3，∵ax2+bx+m=0，∴ax2+bx=−m，∴当−m≥−3时，方程有实数根，即m≤3.方法二：由图象可知，抛物线顶点纵坐标y=−b 24a=−3，且a>0，∴b2=12a，∵一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，∴Δ=b2−4am=12a−4am≥0，即m≤3，故答案为A.结合图象可得y≥−3，即ax2+bx≥−3，由ax2+bx+m=0可得ax2+bx=−m，则有−m≥−3，即可解决问题，也可以利用一元二次方程根的判别式求解．本题主要考查抛物线与一元二次方程之间的关系、解一元一次不等式等知识，利用数形结合的思想是解决本题的关键．11.【答案】B【解析】解：二次函数y=1−(x−a)(x−b)相当于y=−(x−a)(x−b)向上平移一个单位，又∵二次项系数为−1，开口向下，如图所示：∴由图可得：m<a<b<n.故选：B.函数y=−(x−a)(x−b)与x轴的交点坐标的横坐标为a与b，二次函数y=1−(x−a)(x−b)相当于y=−(x−a)(x−b)向上平移一个单位，可以画函数，由函数图象即可求得答案．此题考查了二次函数与x轴的交点坐标问题与函数的平移的性质．解此题的关键是注意数形结合思想的应用，画出函数草图，由函数图象直观形象地得出结论，避免了繁琐复杂的计算．12.【答案】B【解析】解：①∵a>0，对称轴为直线x=−1，可得a、b符号相同，故b>0；由抛物线与x轴的一个交点为(x1,0)，且0<x1<1，函数图象与y轴交于负半轴，可知c<0.∴abc<0，故①错误；②∵0<x1<1，∴点(1,a+b+c)在第一象限，又∵对称轴为直线x=−1，∴(−3,9a−3b+c)在第二象限，故9a−3b+c>0，故②正确；=−1，∴b=2a，③∵−b2a∴b−a=2a−a=a>0，∴b>a>c，故③错误；④把b=2a代入a+b+c>0得3a+c>0，故④正确；故选：B.①根据已知可得a、b、c的符号从而可以判断①是否正确；②由对称轴为直线x=−1，可知点(1,a+b+c)，(−3,9a−3b+c)是抛物线是两个对称点，根据0<x1<1，a>0，判断点(1,a+b+c)，所在的象限，可知点(−3,9a−3b+ c)所在的象限，从而判断9a−3b+c的符号；=−1，即b=2a>0，而0<x1<1，抛物线开口向上，可③由对称轴公式可知，−b2a知抛物线与y轴交于负半轴，c<0，可判断b、c的大小关系；④由②③可知，把b=2a代入a+b+c>0得3a+c>0.本题考查二次函数图象与系数之间的关系，解题的关键是可以看懂二次函数的图象，根据图象可以判断a、b、c的符号，灵活变化，能够找出所求各结论需要的条件．13.【答案】x1=0，x2=2【解析】解：∵x2=2x∴x2−2x=0，∴x(x−2)=0，∴x=0或x−2=0，∴x1=0，x2=2.故答案为x1=0，x2=2.先移项得到x2−2x=0，再把方程左边进行因式分解得到x(x−2)=0，方程转化为两个一元一次方程：x=0或x−2=0，即可得到原方程的解为x1=0，x2=2.本题考查了解一元二次方程-因式分解法：把一元二次方程变形为一般式，再把方程左边进行因式分解，然后把方程转化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程得到原方程的解．14.【答案】m≤4【解析】解：∵方程x2−4x+m=0有两个实数根，∴△=b2−4ac=16−4m≥0，∴m≤4.故填空答案：m≤4.由于方程x2−4x+m=0有两个实数根，那么其判别式是非负数，由此得到关于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范围．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△<0⇔方程没有实数根．15.【答案】6【解析】解：设有x队参加比赛．x(x−1)=30，(x−6)(x+5)=0，解得x=6，x=−5(不合题意，舍去).故答案为6.本题考查一元二次方程的应用；得到比赛总场数的等量关系是解决本题的关键．每个队都要与其余队比赛一场，2队之间要赛2场．等量关系为：队的个数×(队的个数−1)=56，把相关数值代入计算即可．16.【答案】y=x2−4x+3(不唯一)【解析】【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．根据题意确定出满足题意抛物线解析式即可．【解答】解：根据题意得：y=(x−2)2−1，整理得：y=x2−4x+3(不唯一)，故答案为：y=x2−4x+3(不唯一)17.【答案】4或−8或−2【解析】【分析】本题考查的是二次函数的性质，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．由于抛物线的顶点在坐标轴上，故应分在x轴上与y轴上两种情况进行讨论．【解答】解：当抛物线y=x2−(k+2)x+9的顶点在x轴上时，△=0，即△=[−(k+2)]2−4×9=0，解得k=4或k=−8；当抛物线y=x2−(k+2)x+9的顶点在y轴上时，x=−b2a =k+22=0，解得k=−2.故答案为4或−8或−2.18.【答案】y 2=x 2+16x +16 S =−112t 2+572t −172(13<t <12) 【解析】解：(1)∵y 1−y 2=0， ∴x −(x 2+bx +c)=0，即x 2+(b −1)x +c =0∵α，β为方程y 1−y 2=0的两个根，且α=13，β=12，∴{13+12=1−b 13×12=c ，解得：b =16，c =16∴函数y 2的解析式为y 2=x 2+16x +16， 故答案为y 2=x 2+16x +16；(2)由A(12,12)B(13,13)得：AB =√(12−13)2+(12−13)2=√26， 过M 作MF ⊥AB 于F ，过M 作ME ⊥y 轴于E ，作MD ⊥x 轴交y 1=x 于D ，过D 作DC ⊥x 轴于D ，设△ABM 的高为h ，则△MDF 是等腰直角三角形，MF =ℎ， ∵CD =EM =DN ， ∴MD =t −T ， ∴ℎ=√22DM =√22(t −T)，∵点M(t,T)在函数y 2的图象上， ∴T =t 2+16t +16， ∴t −T =−t 2+56t −16，∴S △ABM =12AB ⋅ℎ=12×√26×√22(−t 2+56t −16)=−112t 2+572t −172(13<t <12)，故答案为S =−112t 2+572t −172(13<t <12).(1)利用根与系数的关系列方程组，或直接把α=13，β=12分别代入y 1−y 2=0，确定b ，c 的值而求得函数y 2的解析式；(2)过M 作MF ⊥AB 于F ，过M 作ME ⊥y 轴于E ，作MD ⊥x 轴交y 1=x 于D ，过D 作DC ⊥x 轴于D ，设△ABM 的高为h ，则△MDF 是等腰直角三角形，MF =ℎ，求得AB ，然后明确ℎ=√22DM =√22(t −T)，然后根据三角形面积公式即可求得．本题综合考查一次函数及二次函数的相关知识，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积，解直角三角形等，数形结合是解题的关键．19.【答案】解：(1)x 2−16=0，x 2=16， x =±4，所以x 1=4，x 2=−4； (2)x 2−6x +10=0， x 2−6x =−10， x 2−6x +9=−1， (x −3)2=−1， 因为负数没有平方根， 所以原方程没有实数解．【解析】(1)先移项得到x 2=16，然后利用直接开平方法解方程；(2)利用配方法得到(x −3)2=−1，然后根据负数没有平方根可判断原方程没有实数解． 本题考查了解一元二次方程-配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．也考查了直接开平方法解一元二次方程．20.【答案】解：(1)x 2−2x −3=0，(x −3)(x +1)=0， x −3=0或x +1=0， 所以x 1=3，x 2=−1； (2)7x 2−√6x −4=0， a =7，b =−√6，c =−4，Δ=(−√6)2−4×7×(−4)=4×37>0， x =−b±√b 2−4ac2a=√6±2√372×7， 所以x 1=√6+2√3714，x 2=√6−2√3714. 【解析】(1)利用因式分解法把方程转化为x −3=0或x +1=0，然后解两个一次方程即可；(2)先计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．21.【答案】解：(1)3x(x +1)=3(x +3)，3x 2+3x =3x +9， 3x 2=9， x 2=3， x =±√3，即x 1=√3，x 2=−√3；(2)x(2x −4)=5−8x ， 整理得：2x 2+4x −5=0，Δ=b 2−4ac =42−4×2×(−5)=16+40=56>0， 所以x =−b±√b 2−4ac2a =−4±√562×2， 解得：x 1=−2+√142，x 2=−2−√142.【解析】(1)去括号，移项后得出3x 2=9，求出x 2=3，再开方即可； (2)整理后求出b 2−4ac 的值，再代入公式求出方程的解即可．本题考查了解一元二次方程，能正确适当的方法解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．22.【答案】解：(1)将x =1代入方程x 2+ax +a −2=0，可得1+a +a −2=0，解得：a =12； ∴方程为x 2+12x −32=0， 设另一根为x 1，则1⋅x 1=−32， ∴x 1=−32；(2)∵△=a 2−4×(a −2)=a 2−4a +8=(a −2)2+4>0， ∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【解析】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0,a,b,c 为常数)的根的判别式△=b 2−4ac.当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义及韦达定理． (1)将x =1代入方程x 2+ax +a −2=0得到a 的值，再根据根与系数的关系求出另一根即可；(2)写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答即可．23.【答案】40−x 2【解析】解：(1)设与墙平行的一边长为x 米，另一边长为40−x 2米，故答案是：40−x 2；(2)设平行于墙的一边为x 米，则另一边长为40−x 2米，根据题意得：x ⋅40−x 2=180，整理得出：x 2−40x +360=0，解得：x 1=20+2√10，x 2=20−2√10， 由于墙长25米，而20+2√10>25， ∴x 1=20+2√10，不合题意舍去，∵0<20−2√10<25，∴x2=20−2√10，符合题意，=10+√10，此时40−x2答：此时鸡场靠墙的一边长(20−2√10)米，宽是(10+√10)米．(1)首先设平行于墙的一边为x米，则另一边长为40−x米；2(2)然后根据矩形的面积=长×宽，用未知数表示出鸡场的面积，根据面积为180m2，可得方程，解方程即可．此题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找到等量关系准确地列出方程是解题的关键．24.【答案】(1)(0,11)，(8,8)；(2)∵点C到ED的距离是11米，∴OC=11，设抛物线的解析式为y=ax2+11，由题意得B(8,8)，∴64a+11=8，解得a=−3，64x2+11；∴y=−364(3)水面到顶点C的距离不大于5米时，即水面与河底ED的距离h至多为11−5=6(米)，(t−19)2+8，∴6=−1128∴(t−19)2=256，∴t−19=±16，解得t1=35，t2=3，∴35−3=32(小时).答：需32小时禁止船只通行．【解析】解：(1)由题意OC=11，OD=8，BD=AE=8，∴C(0,11)，B(8,8)，故答案为(0,11)和(8,8).(2)见答案；(3)见答案.【分析】(1)求出OC、OD、BD的长即可解决问题．(2)根据抛物线特点设出二次函数解析式，把B坐标代入即可求解；(3)水面到顶点C的距离不大于5米时，即水面与河底ED的距离h至多为6，把6代入所给二次函数关系式，求得t的值，相减即可得到禁止船只通行的时间．本题考查了二次函数的应用：构建二次函数模型解决实际问题，利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．25.【答案】解：(1)将b=2，c=−3代入得：y=ax2+2x−3.将x=1，y=0代入，a+2−3=0，∴a=1.∴y=x2+2x−3=(x+1)2−4，∴当x=−1时，y最小值为−4.(2)①由题意可知：对称轴x=m+3−m2=32.②∵−b2a =32，∴b=−3a，又∵a+b+c=0，∴c=2a，∴y=ax2−3ax+2a顶点纵坐标为4ac−b 24a =−a24a，∵函数值不小于14a −12，∴a>0，且−a24a ≥14a−12，∴a2−2a+1≤0，∴(a−1)2≤0，∵(a−1)2≥0，∴a−1=0，∴a=1.【解析】(1)利用待定系数法以及配方法即可解决问题．(2)①根据对称性B、C关于对称轴对称，即可解决问题．②首先求出b、c(用a表示)，想办法列出不等式即可解决问题．本题考查待定系数法、二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．。
2020-2021学年辽宁省本溪十二中九年级(上)第二次月考数学试卷(附详解)
2020-2021学年辽宁省本溪十二中九年级（上）第二次月考数学试卷1. 在0，−√273，sin45°，13这四个数中，无理数是( ) A. 0 B. −√273 C. sin45° D. 13 2. 一元二次方程(x −2)2=0的根是( )A. x =2B. x 1=x 2=2C. x 1=−2，x 2=2D. x 1=0，x 2=23. 若a 2=b 3=c 4，则a+b b−c 的值为( ) A. 5 B. 15 C. −5 D. −15 4. 下列说法正确的是( )A. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形C. 对角线相等的四边形是矩形D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形5. 如图所示，△ABC 中若DE//BC ，EF//AB ，则下列比例式正确的是( )A. AD DB =DEBCB. BF BC =EF ADC. AE EC =BF FCD. EF AB =DE BC6. 如图，是三个正方形拼成的一个长方形，则∠1+∠2+∠3=( ) A. 60° B. 75° C. 90° D. 105°7. 如图，AC ，BD 是四边形ABCD 的对角线，点E ，F 分别是AD ，BC 的中点，点M ，N 分别是AC ，BD 的中点，连接EM ，MF ，FN ，NE ，要使四边形EMFN 为正方形，则需添加的条件是( )A. AB=CD，AB⊥CDB. AB=CD，AD=BCC. AB=CD，AC⊥BDD. AB=CD，AD//BC8.某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支总数是43.若设主干长出x个支干，则可列方程()A. (1+x)2=43B. x(1+x)=43C. x+2x+1=43D. x2+x+1=439.如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC=1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则BE：EC=()A. 1：2B. 1：3C. 1：4D. 2：310.如图1，在菱形ABCD中，∠A=120°，点E是BC边的中点，点P是对角线BD上的一动点，设PD的长度为x，PE与PC的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点，则a的值为()A. 2√3B. 2√3+4C. 223√3 D. 143√311.方程x2+6x−5=0的左边配成完全平方式后所得方程为______．12.如图，身高为1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3.2m，CA=0.8m，则树的高度为______ m.13.关于x的一元二次方程kx2+2x+1=6有两个实数根，则k的取值范围是______．14.将四根长度相等的细木条首尾顺次相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形可以使它的形状改变．当∠B=60°时，如图(1)，测得AC=2；当∠B=90°时，如图(2)，此时AC的长为______．15.已知a、b满足条件(a2+b2)(a2+b2+1)=12，则a2+b2的值为______．16.如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD=______，平行四边形CDEB为菱形．17.如图，矩形ABCD和矩形A′B′C′D′关于点D成中心对称，已知AB=3，BC=4，则阴影部分的周长是______．18.如图，平面直角坐标系中，点A1、A2、A3、A4、……、A2n−1、A2n、A2n+1在x轴上，且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=⋯…=A2n−1A2n=A2n A2n+1=1，作A1B1//A2B2//A3B3//A4B4//A5B5//⋯⋯A2n+1B2n+1//y轴，分别交直线y=√3x于B1、B2、B3、B4⋯⋯B2n、B2n+1，连接B1A2、A2B3、B3A4、A4B5、B5A6⋯⋯B2n−1A2n、A2n B2n+1，设△B1A1A2的面积为S1，△B2A2B3的面积为S2，△B3A3A4的面积为S3，△B4A4B5的面积S4，△B2n−1A2n−1A2n的面积为S2n−1，△B2n A2n B2n+1的面积为S2n，则S1+S2+ S3+⋯⋯S2n−1+S2n的值是______．19.先化简，再求值：3x+9x−2÷(x+2−5x−2)，其中x=3tan30°+3．20.植树节前夕，某校所有学生参加植树活动，要求每人植2～6棵．活动结束后，校学生会就本校学生的植树量进行了调查，经过对调查数据的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答以下问题：(1)求该校共有多少名学生；(2)将条形统计图补充完整；(3)在扇形统计图中，计算出“3棵”部分所对应的圆心角的度数；(4)在这次调查中，众数为______棵，中位数为______棵；(5)从该校中任选一名学生，其植树量为“6棵”的概率是______．21.已知在△ABC中，D是边AC上一点∠CBD的角平分线交AC于点E，且AE=AB．(1)求证：△ABD∽△ACB；(2)AD=4，CD=7，AE=______．22.如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE=CF．(1)求证：四边形BEDF是菱形；(2)若正方形边长为4，AE=√2，求菱形BEDF的面积．23.如图，A、B是两处海港，其中A在B南偏东60°方向30√2千米处，辽宁号航母从海港A出发，沿北偏东45°方向，以15千米/小时的速度匀速航行，两小时后，长沙舰从海港B出发，沿北偏东75°的方向匀速航行，两舰恰好同时到达阅兵地点C．(1)长沙舰从海港出发航行到达阅兵地点用了多少时间？(2)求长沙舰的航行速度．(结果保留根号)24.(1)若货物运输费用包括运输成本和时间成本，某车货物从A地到港口B的运输成本是每千米1.8元，时间成本是每时28元，已知A地到港口B的路程为180千米，所需时间为2时，那么该车货物从A地到港口B的运输费用是多少元？(2)有一批货物(不超过10车)从A地到港口B，再从港口B运到C地，共付运输费8320元，其中从A地经到港口B的每车运输费用与(1)中相同，从港口B到C地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是：一车800元，当货物每增加1车时，每车的海上运费就减少20元，问这批货物有几车？25.如图，△ABC的∠ABC=90°，AB=BC=6，点P是直线BC上一点，连接PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，作EF//BC，CF//PE，EF、CF交于F点，连接BF．(1)如图判断线段BF、线段BP的关系，并说明理由；(2)当BP=2时请求出四边形PEFC的面积；(3)连接BE，当BP=______时，线段BE最短，最小值为______．26.已知：如图，将矩形OABC放在平面直角坐标系中，OA、OC是方程x2−14x+48=0的两根，(其中OA>OC)．(1)请求出B点的坐标；(2)将直线y=x沿y轴平移得到直线l，请求出直线l将矩形OABC的面积和周长同时平分时平移的距离；(3)在(2)的条件下直线l上是否存在的点P.使以点A、C、P为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查无理数的定义及特殊角的三角函数值．无理数即无限不循环小数，其三种存在形式为：开方开不尽的数、含π的数、有规律但不循环的无限小数．要理解透彻． 先将题干中的数化简，根据无理数的定义判断即可得出．【解答】解：−√273=−3；sin45°=√22； 可得出无理数为√22． 故选：C ．2.【答案】B【解析】解：(x −2)2=0，则x 1=x 2=2，故选：B ．方程两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是掌握要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．3.【答案】C【解析】解：设a 2=b 3=c 4=k ，则a =2k ，b =3k ，c =4k ，a+b b−c =2k+3k 3k−4k =5k −k =−5， 故选：C ．设a 2=b 3=c 4=k ，则a =2k ，b =3k ，c =4k ，然后代入求值即可．本题考查了比例的性质，正确理解比例的性质是解题的关键．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查了正方形的判定，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，掌握这些判定定理是本题的关键．根据平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定依次判断可求解．【解答】解：A、两组对边平行或两组对边相等或一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项A不合题意；B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选项B符合题意；C、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项C不合题意；D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故选项D不合题意；故选：B．5.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用.找准对应关系，避免错选其他答案．用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形即可得到答案．【解答】解：∵DE//BC，EF//AB，∴四边形DEFB是平行四边形，∴DE=BF，BD=EF；∵DE//BC，∴ADAB =AEAC=BFBC，EF AB =CEAC=BCDE，∵EF//AB，∴AEEC =BFFC，CEAE=CFBF，∴AEEC =BFFC，故选C．6.【答案】C【解析】解：如图所示：根据题意可知：∠3=45°，设正方形的边长为1，则AD=√DE2+EA2=√2，∴ABAD =√2=√22，ADAC=√22．∴ABAD =ADAC．又∵∠DAB=∠CAD，∴△DAB∽△CAD．∴∠1=∠BDA．∴∠1+∠2=∠2+∠BDA=∠3=45°．∴∠1+∠2+∠3=45°+45°=90°．故选：C．设正方形的边长为1，则AD=√2，从而可得到ABAD =ADAC，从而可证明△DAB∽△CAD，然后由三角形外角的性质可知∠1+∠2=45°．本题主要考查的是相似三角形的性质和判定，证得△DAB∽△CAD从而得到∠1+∠2= 45°是解题的关键．7.【答案】A【解析】解：∵点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，∴EN、NF、FM、ME分别是△ABD、△BCD、△ABC、△ACD的中位线，∴EN//AB//FM，ME//CD//NF，EN=12AB=FM，ME=12CD=NF，∴四边形EMFN为平行四边形，当AB=CD时，EN=FM=ME=NF，∴平行四边形EMFN是菱形，当AB⊥CD时，EN⊥ME，则∠MEN=90°，∴菱形EMFN是正方形，故选：A．证出EN、NF、FM、ME分别是△ABD、△BCD、△ABC、△ACD的中位线，得出EN//AB//FM，ME//CD//NF，EN=12AB=FM，ME=12CD=NF，证出四边形EMFN为平行四边形，当AB=CD时，EN=FM=ME=NF，得出平行四边形ABCD是菱形；当AB⊥CD时，∠MEN=90°，即可得证．本题考查了正方形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定以及三角形中位线定理；熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．8.【答案】D【解析】解：设主干长出x个支干，则长出x2个小分支，根据题意得：1+x+x2=43．故选：D．设主干长出x个支干，则长出x2个小分支，根据主干、支干和小分支总数是43，即可列出关于x的一元二次方程．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9.【答案】B【解析】解：如图，过O作OG//BC，交AC于G，∵O是BD的中点，∴G是DC的中点．又AD：DC=1：2，∴AD=DG=GC，∴AG：GC=2：1，AO：OE=2：1，∴S△AOB：S△BOE=2设S△BOE=S，S△AOB=2S，又BO=OD，∴S△AOD=2S，S△ABD=4S，∵AD：DC=1：2，∴S△BDC=2S△ABD=8S，S四边形CDOE=7S，∴S△AEC=9S，S△ABE=3S，∴BEEC=S△ABES△AEC=3S9S=13故选：B．过O作BC的平行线交AC与G，由中位线的知识可得出AD：DC=1：2，根据已知和平行线分线段成比例得出AD=DG=GC，AG：GC=2：1，AO：OF=2：1，再由同高不同底的三角形中底与三角形面积的关系可求出BF：FC的比．本题考查平行线分线段成比例及三角形的中位线的知识，难度较大，注意熟练运用中位线定理和三角形面积公式．10.【答案】D【解析】解：如图，连接AC，∵在菱形ABCD中，∠A=120°，∴∠ABC=∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形，∵点E是BC边的中点，∴AE⊥BC，∵A、C关于BD对称，∴PA=PC，∴PC+PE=PA+PE，∴当A、P、E共线时，PE+PC的值最小，即AE的长．观察图象可知，当点P与B重合时，PE+PC=6，∴BE=CE=2，AB=BC=4，∴在Rt△AEB中，AE=2√3，∴PC+PE的最小值为2√3，∴点H的纵坐标a=2√3，∵BC//AD，∴ADBE =PDPB=2，∵BD=4√3，∴PD=23×4√3=8√33，∴点H的横坐标b=8√33，∴a+b=2√3+8√33=14√33；故选：D．由A、C关于BD对称，推出PA=PC，推出PC+PE=PA+PE，推出当A、P、E共线时，PE+PC的值最小，观察图象可知，当点P与B重合时，PE+PC=6，推出BE=CE= 2，AB=BC=4，分别求出PE+PC的最小值，PD的长即可解决问题．本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．11.【答案】(x+3)2=14【解析】解：先移项得x2+6x=5，方程两边加上9得x2+6x+9=5+9，所以(x+3)2=14．故答案为(x+3)2=14．先变形得到x2+6x=5，再把方程两边加上9得x2+6x+9=5+9，然后根据完全平方公式得到(x+3)2=14．本题考查了配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．12.【答案】8【解析】解：由题意可得，CD//BE，所以ACAB =CDBE，即0.84=1.6BE，解得BE=8m．可由平行线分线段成比例求解线段的长度．熟练掌握平行线分线段成比例的性质．13.【答案】k≥−1且k≠05【解析】解：方程化为一般式为kx2+2x−5=0，根据题意得k≠0且Δ=22−4k×(−5)≥0，且k≠0．解得k≥−15且k≠0．故答案为：k≥−15先把方程化为一般式，再利用一元二次方程的定义个根的判别式的意义得到得k≠0且Δ=22−4k×(−5)≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．14.【答案】2√2【解析】解：如图(1)中，连接AC，∵∠B=60°，AB=BC，∴△ABC为等边三角形，∴AC=AB=BC=2，如图(2)中，连接AC，∵AB=BC=CD=DA，∠B=90°，∴四边形ABCD是正方形，∴AC=√2BC=2√2．故答案为：2√2．图(1)中根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可求得BC，图2中根据勾股定理即可求得正方形的对角线的长．本题考查了正方形的性质和判定，菱形的判定，勾股定理以及等边三角形的判定和性质，利用等边三角形的判定确定边长是关键．15.【答案】3【解析】解：设t=a2+b2，则原方程转化为t(t+1)=12，整理，得(t+4)(t−3)=0，解得t1=−4(舍去)，t2=3，则t=a2+b2=3．故答案是：3．设t=a2+b2，则原方程转化为t(t+1)=12，通过解该方程求得的值，即a2+b2的值．本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．16.【答案】75【解析】【分析】本题考查了菱形的判定与性质．菱形的对角线互相垂直平分，求出OB的长是本题的关键．首先根据勾股定理求得AB=5；然后利用菱形的对角线互相垂直平分、邻边相等推知OD=OB，CD=CB；最后Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB的值，则AD=AB−2OB．【解答】解：如图，连接CE交AB于点O．∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB=√AC2+BC2=5(勾股定理)．若平行四边形CDEB为菱形时，CE⊥BD，且OD=OB，CD=CB．∵12AB⋅OC=12AC⋅BC，∴OC=125．∴在Rt △BOC 中，根据勾股定理得，OB =√BC 2−OC 2=√32−(125)2=95， ∴AD =AB −2OB =75． 故答案是75． 17.【答案】48【解析】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B =90°，∵AB =3，BC =4，∴AC =√AB 2+BC 2=√32+42=5，∴△ABC 的周长=3+4+5=12，∵矩形ABCD 和矩形A′B′C′D′关于点D 成中心对称，∴阴影部分中的四个直角三角形全等，∴阴影部分的周长=4×12=48，故答案为：48．利用勾股定理求出AC ，可得△ABC 使得周长为12，再利用中心对称的性质求解即可． 本题考查中心对称，矩形的性质．勾股定理等知识，解题的关键是掌握中心对称的性质，属于中考常考题型．18.【答案】√32(2n 2+n)【解析】解：由题意可知：A 1(1,0)，A 2(2,0)，A 3(3,0)......A 2n (2n,0)，∴B 1(1,√3)，B 2(2,2√3)，B 3(3,3√3)......B 2n (2n,2n √3)，∴S 1=12×A 1A 2⋅A 1B 1=√32，S 2=12×A 2A 3⋅A 2B 2=√3，S 3=12×A 3A 4⋅A 3B 3=3√32， ∴S 2n =12×2n ×2n √3，∴S 1+S 2+S 3+.....+S 2n−1+S 2n =√32×(1+2+3+.....+2n)=√32×2n(2n+1)2=√32(2n 2+n)．故答案为：√32(2n 2+n)． 根据题意和图像可求出A 1(1,0)，A 2(2,0)，A 3(3,0)......A 2n (2n,0)，B 1(1,√3)，B 2(2,2√3)，B 3(3,3√3)......B 2n (2n,2n √3)，利用三角形面积可求出规律，即可求解．本题主要考查了一次函数图象与性质，三角形面积公式，熟练掌握一次函数图象与性质，求出前几个三角形面积找到规律是解决问题的关键．19.【答案】解：原式=3(x+3)x−2÷(x+2)(x−2)−5x−2=3(x+3)x−2⋅x−2(x−3)(x+3)=3x−3，∵x=3tan30°+3=3×√33+3=√3+3，∴原式=3+√3−3=√3．【解析】首先将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则化简，再把x的值代入求出答案．此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．20.【答案】56120【解析】解：(1)根据题意得：300÷30%=1000(人)，答：该校共有1000名学生；(2)植5株的人数是：1000×35%=350(人)，补图如下：(3)根据题意得：2001000×360°=72°，答：植3棵部分所对应的圆心角的度数是72°；(4)植5棵的人数最多，则众数是5棵；把这些数从小到大排列，第501和502个数的平均数是中位数，则中位数是4棵．故答案为：5，6．(5)因为共有1000人，植6株树的人数是50，则植树量为“6棵”的概率是501000=120．故答案为：120．(1)根据植4株树的人数和所占的百分比求出总人数；(2)根据总人数和植5株树的百分比求出植5株树的人数，从而补全统计图；(3)用植3株树所占的百分比乘以360度即可得出答案；(4)根据众数和中位数的定义分别进行解答即可；(5)根据植6棵树的人数和总人数，再根据概率公式即可得出答案．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，用到的知识点是频数、频率与总数时间的关系、圆心角的算法、众数和中位数的定义，概率公式等知识点，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．21.【答案】2√11【解析】证明：(1)∵BE平分∠DBC，∴∠DBE=∠CBE，∵AE=AB，∴∠ABE=∠AEB，∵∠ABE=∠ABD+∠DBE，∠AEB=∠C+∠CBE，∴∠C=∠ABD，又∵∠A=∠A，∴△ABD∽△ACB；(2)∵△ABD∽△ACB，∴ADAB =ABAC，又∵AB=AE，∴AE2=AD⋅AC=4⋅(4+7)=44，∴AE=2√11，故答案为：2√11．(1)根据角平分线的性质和外角等于不相邻两内角和即可求得∠ABD=∠C，可证△ABD∽△ACB；(2)由相似三角形的性质可得ADAB =ABAC，将AD=4，CD=7代入可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质，证明△ABD∽△ACB是本题的关键．22.【答案】(1)证明：如图，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，OD=OB=OA=OC，∵AE=CF，∴OA−AE=OC−CF，即OE=OF，∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，∴四边形BEDF为菱形；(2)解：∵正方形边长为4，∴BD=AC=4√2，∵AE=CF=√2，∴EF=AC−2√2=2√2，∴S菱形BEDF =12BD⋅EF=12×4√2×2√2=8．【解析】(1)连接BD交AC于点O，则可证得OE=OF，OD=OB，可证四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，可证得四边形BEDF为菱形；(2)由正方形的边长可求得BD、AC的长，则可求得EF的长，利用菱形的面积公式可求得其面积．本题主要考查正方形的性质、菱形的判定和性质，掌握对角线互相垂直平分的四边形为菱形是解题的关键．23.【答案】解：(1)由题意得：AB=30√2千米，∠ABC=30°+15°=45°，∠BAC=(90°−30°)+45°=105°，∴∠C=180°−45°−105°=30°，过点A作AD⊥BC，垂足为D，×30√2=30(千米)，在Rt△ABD中，AD=BD=√22在Rt△ADC中，∠C=30°，∴AC=2AD=60千米，CD=√3AD=30√3(千米)，∴BC=(30+30√3)千米，∴辽宁号航母从A到C的时间为60÷15=4(小时)，则长沙舰从B到C所用时间为4−2=2(小时)，答：长沙舰从海港出发航行到达阅兵地点用了2小时．(2)长沙舰的速度为(30+30√3)÷2=(15+15√3)千米/小时，答：长沙舰的航行速度为(15+15√3)千米/小时．【解析】(1)根据方位角可以得出△ABC的各个内角的度数，根据所给的条件，可以求出三条边的长，于是可以求出辽宁号舰从A到C的时间，进而求出长沙舰从B到C的时间；(2)根据路程除以时间就是速度，即求出BC的长度和长沙舰行驶BC所有时间．本题考查解直角三角形的应用−方位角问题，将方位角转化到三角形的内角是关键，正确的解直角三角形是前提．24.【答案】解：(1)依题意得：1.8×180+28×2=324+56=380(元)．答：该车货物从A地到港口B的运输费用是380元．(2)设这批货物有x车，则每车的海上运费为800−20(x−1)=(820−20x)(元)，依题意得：380x+x(820−20x)=8320，整理得：x2−60x+416=0，解得：x1=8，x2=52(不合题意，舍去)．答：这批货物有8车．【解析】(1)利用该车货物从A地到港口B的运输费用=每千米的运输成本×两地之间的路程+每小时的时间成本×运输所需时间，即可求出该车货物从A地到港口B的运输费用；(2)设这批货物有x车，则每车的海上运费为800−20(x−1)=(820−20x)(元)，利用这批货物所需总运输费用=每车货物从A地到港口B的运输费用×货物的数量+每车的海上运费×货物的数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出这批货物有8车．本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，列式计算；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．25.【答案】33√2【解析】解：(1)BF=BP，且BF⊥BP，理由如下：∵∠ABC=90°，AB=BC=6，∴∠BAC=∠BCA=45°，∠BAP=∠BAC−∠PAC=45°−∠PAC，∵∠BPE=∠APE−∠APB=∠APE−(∠PAC+∠PCA)=∠APE−(∠PAC+45°)=45°−∠PAC，∴∠BAP=∠BPE，∵CF//PE，∴∠BPE=∠BCF，∴∠BAP=∠BCF，又∵AP=EP，四边形EFCP为平行四边形，∴EP//FC且EP=FC，∴AP=FC，在△BAP与△CBF中，{AB=BC∠BPA=∠BCF AP=FC，∴△BAP≌△CBF(SAS)，∴∠FBC=∠ABP=90°，BF=BP，∴BF=BP，且BF⊥BP；(2)∵BP=2，∴BF=2，PC=BC−BP=6−2=4，S四边形PEFC=PC⋅BF=4×2=8；(3)如图，连接BE，∵BF⊥BC，BC//EF，∴BF⊥EF，∴△BFE为直角三角形，在Rt△BFE中，由勾股定理得：BE2=EF2+BF2=PC2+BP2=(BC−BP)2+BP2=(6−BP)2+BP2，即BE=√(6−BP)2+BP2=√2(BP−3)2+18，∴当BP=3时，BE最短，此时BE=√18=3√2，答案为：3，3√2．(1)由旋转的性质和平行四边形的性质可知AP=CF，再证明∠BAP=∠BPE，可通过SAS 证明△BAP≌△CBF，即可证明；(2)由(1)可知BP=BF=2，直接代入平行四边形的面积公式即可；(3)在Rt△BFE中，由勾股定理得：BE2=EF2+BF2，即BE=√(6−BP)2+BP2=√2(BP−3)2+18，从而当BP=3时，BE最短，此时BE=√18=3√2．本题主要考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，用BP的代数式表示BE的长度是解决问题(3)的关键．26.【答案】解：(1)由方程x2−14x+48=0，解得x=6或x=8，∵OA>OC，∴OA=8，OC=6，∴A(8,0)，C(0,6)，∴B(8,6)；(2)设直线y=x与BC交于点F，先将直线平移到过B点为y′，则设y′=x+b，代入B点坐标得6=8+b，解得b=−2，∴y′=x−2，由图知，当直线l移动到过FB中点时直线l将矩形OABC的面积和周长同时平分，∵直线y=x向下平移两个单位到y′=x−2，∴当直线l移动到过FB中点时，直线y=x向下平移一个单位，∴直线l的解析式为：y=x−1，即直线l将矩形OABC的面积和周长同时平分时平移的距离为1；(3)存在，连接AC，由勾股定理知AC=√OA2+OC2=√82+62=10，由(2)知直线l的解析式为：y=x−1，设P点坐标为(x,x−1)，∴PC2=x2+(x−1−6)2，PA2=(x−8)2+(x−1)2，若使以点A、C、P为顶点的三角形是直角三角形，则分以下三种情况，①AC为斜边时，由勾股定理得PA2+PC2=AC2，即x2+(x−7)2+(x−8)2+(x−1)2=100，整理得2x2−16x+7=0，解得x=5√22+4或x=−5√22+4，即P1(5√22+4,5√22+3)，P2(−5√22+4,−5√22+3)，②以PA为斜边时，由勾股定理得AC2+PC2=PA2，即100+x2+(x−7)2=(x−8)2+(x−1)2，解得x=−21，即P3(−21,−22)，③以PC为斜边时，由勾股定理得AC2+PA2=PC2，即100+(x−8)2+(x−1)2=x2+(x−7)2，解得x=29，即P4(29,28)，综上，符合条件的P点坐标为P1(5√22+4,5√22+3)，P2(−5√22+4,−5√22+3)，P3(−21,−22)，P4(29,28)．【解析】(1)解方程x2−14x+48=0得出A点和C点坐标即可得出B点坐标；(2)设直线y=x与BC交于点F，先将直线平移到过B点，根据平行四边形的性质知当直线过FB中点时直线l将矩形OABC的面积和周长同时平分，即可得到平移距离；(3)设出P点坐标，根据两点间距离求出PC和PA的长度，利用勾股定理求出P点坐标即可．本题主要考查一次函数的性质，直线的平移，勾股定理，平行四边形的性质等知识，熟练掌握一次函数的性质及平移知识是解题的关键．。
2020-2021学年湖北省武汉市洪山区部分学校联考九年级(上)月考数学试卷(12月份)(附详解)
2020-2021学年湖北省武汉市洪山区部分学校联考九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.将方程3x2+1=6x化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为3，则一次项系数、常数项分别是()A. −6、1B. 6、1C. 6、−1D. −6、−12.下列美丽的图案，是中心对称图形但不是轴对称图形的是()A. B.C. D.3.抛物线y=12x2经过平移得到抛物线y=12(x−6)2+3，平移过程正确的是()A. 先向左平移6个单位，再向上平移3个单位B. 先向左平移6个单位，再向下平移3个单位C. 先向右平移6个单位，再向上平移3个单位D. 先向右平移6个单位，再向下平移3个单位4.已知⊙O的直径为4，点O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是()A. 相交B. 相切 C. 相离 D. 无法判断5.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC=CD，连接AC，若∠DAB=70°，则∠B的度数为()A. 50°B. 55°C. 65°D. 70°6.某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值为175亿元，若设平均每月的增长率为x，根据题意可列方程()A. 50(1+x)2=175B. 50+50(1+x)2=175C. 50(1+x)+50(1+x)2=175D. 50+50(1+x)+50(1+x)2=1757.如图，在△ABC中，∠CAB=70°.在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′//AB，则∠BAB′=()A. 30°B. 35°C. 40°D. 50°8.如图，在纸上剪一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径r=1，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于90°，则R的值是()A. R=2B. R=3C. R=4D. R=59.已知m，n是方程x2−2x−2016=0的两个实数根，则m2+2n的值为()A. 1008B. 2016C. 2018D. 202010.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(−1,0)，对称轴为直线x=2，下列结论，其中正确的结论有()(1)4a+b=0；(2)4a+c>2b；(3)5a+3c>0；(4)若点A(−2,y1)，点B(12,y2)，点C(52,y3)在该函数图象上，则y1<y3<y2；(5)m为任意实数，则m(am+b)<2(2a+b)．A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.在直角坐标系中，点M(5,7)关于原点O对称的点N的坐标是______．12.已知3是一元二次方程x2−4x+c=0的一个根，则方程的另一个根是______ ．13.要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为______ ．14.某幢建筑物，从5米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线，抛物线所在平面与墙面垂直(如图所示)，如果抛物线米，则水流下落点B离墙距离OB 的最高点M离墙1米，离地面203是______m.15.在等腰直角三角形纸片ABC中，点D是斜边AB的中点，AB=10，点E为BC上一点，将纸片沿DE折叠，点B的对应点为点B′，则△CEF的周长为______．16.在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是AB，AC的中点，若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，记直线BD1与CE1的交点为P，则点P到AB所在直线的距离的最大值为______．三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）17.已知关于x方程x2−6x+m+4=0有两个实数根x1，x2(1)求m的取值范围；(2)若x1=2x2，求m的值．18.如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD=4，EM=6，求⊙O的半径．19.如图，已知二次函数y=ax2+2x+c图象经过点A(1,4)和点C(0,3)．(1)求该二次函数的解析式；(2)结合函数图象，直接回答下列问题：①当−1<x<2时，求函数y的取值范围：______．②当y≥3时，求x的取值范围：______．20.请仅用无刻度直尺完成下列画图，不写画法，保留作图痕迹．(1)如图1，在7×7的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点在格点上，过点A画一条直线平分△ABC的面积；(2)如图2，点E在正方形ABCD的内部，且EB=EC，过点E画一条射线平分∠BEC；(3)如图3，点A、B、C均在格点上，且∠BAC=120°，在优弧BC上画M、N两点，使∠MAN=60°．21.已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，连接OP．(1)如图1，AB交OP于点C，D为PB的中点，求证：CD//PA；(2)如图2，OP交⊙O于点E，EF⊥PB于点F，若PA=4√5，⊙O的半径为2√5，求EF的长．22.某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)的部分数据如表：销售单价x(元)65707580销售量y(件)55504540(1)求y与x的函数关系式；(2)若该商场获得利润为w元，试写出利润w与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？(3)若该商场获得利润不低于500元，直接写出销售单价x的范围．23.已知如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC，点D在AB上，DE⊥AB交BC于E，点F是AE的中点．(1)线段FD与线段FC的数量关系______，位置关系______；(2)如图2，将△BDE绕点B逆时针旋转a(0°<a<90°)，其它条件不变，线段FD与线段FC的关系是否变化，写出你的结论并证明；(3)将△BDE绕点B逆时针旋转一周，如果BC=4，BE=2√2，直接写出线段BF的范围．24.如图1，抛物线y=ax2与直线y=2x−3有唯一公共点P．(1)求抛物线解析式；(2)与y轴平行的直线交抛物线于D，交y=2x−3于E，若△PDE的面积为4，求直3线解析式；(3)如图2，抛物线和直线y=kx+3(k<0)交于A、B，过B作x轴的平行线，交抛物线于点C，在线段BC下方抛物线上有一动点Q，过Q作QM⊥BC，垂足为M，连接AC并延长交y轴于K，求QM⋅OK的值．BM⋅CM答案和解析1.【答案】A【解析】解：3x2+1=6x，3x2−6x+1=0，一次项系数是−6、常数项是1，故选：A．首先移项把6x移到等号左边，然后再确定一次项系数和常数项．此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．2.【答案】C【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项不符合题意；C、是中心对称图形但不是轴对称图形，故选项符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意．故选：C．根据中心对称图形和轴对称图形的定义进行判断．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3.【答案】Cx2向右平移6个单位所得抛物【解析】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=12(x−6)2．线的解析式为：y=12(x−6)2向上平移3个单位所得抛物线的解由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=12(x−6)2+3；析式为：y=12直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键．4.【答案】B【解析】解：∵⊙O的直径为4，∴⊙O的半径为2，∵点O到直线l的距离为2，∴d=r∴l与⊙O的位置关系相切．故选：B．根据直线与圆的位置关系判定方法，假设圆心到直线的距离为d，当d>r，直线与圆相离，当d=r，直线与圆相切，当d<r，直线与圆相交，由⊙O的直径为4cm，点O到直线l的距离为4cm，得出d>r，进而l与⊙O的位置关系．此题主要考查了直线与圆的位置关系，解决问题的关键是判断出圆的半径与圆心到直线的距离，再根据判定方法得出位置关系．5.【答案】B【解析】解：∵BC=CD，∴CD⏜=CB⏜，∴∠BAC=∠DAC=12∠BAD=12×70°=35°，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴∠∠B=90°−∠BAC=90°−35°=55°．故选：B．利用BC=CD得到CD⏜=CB⏜，根据圆周角定理得到∠BAC=∠DAC=35°，再利用AB为直径得到∠ACB=90°，然后利用互余计算∠B的度数．本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理．【解析】解：二月份的产值为：50(1+x)，三月份的产值为：50(1+x)(1+x)=50(1+x)2，故第一季度总产值为：50+50(1+x)+50(1+x)2=175．故选：D．增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，本题可先用x表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程．本题主要考查了一元二次方程的运用，解此类题目时常常要按顺序列出接下来几月的产值，再根据题意列出方程即可．7.【答案】C【解析】解：∵CC′//AB，∠CAB=70°，∴∠C′CA=∠CAB=70°，又∵C、C′为对应点，点A为旋转中心，∴AC=AC′，即△ACC′为等腰三角形，∴∠BAB′=∠CAC′=180°−2∠C′CA=40°．故选：C．旋转中心为点A，B与B′，C与C′分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角∠BAB′=∠CAC′，AC=AC′，再利用平行线的性质得∠C′CA=∠CAB，把问题转化到等腰△ACC′中，根据内角和定理求∠CAC′．本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了平行线的性质．8.【答案】C【解析】解：扇形的弧长是：90πR180=πR2，圆的半径r=1，则底面圆的周长是2π，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到：πR2=2π，∴R2=2，即：R=4，故选：C．利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算．本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：(1)圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；(2)圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．9.【答案】D【解析】解：∵m方程x2−2x−2016=0的实数根，∴m2−2m−2016=0，∴m2=2m+2016，∴m2+2n=2m+2016+2n=2(m+n)+2016，∵m，n是方程x2−2x−2016=0的两个实数根，∴m+n=2，∴m2+2n=2×2+2016=2020．故选：D．利用一元二次方程根的定义得到m2=2m+2016，则m2+2n=2(m+n)+2016，再根据根与系数的关系得到m+n=2，然后利用整体代入的方法计算．本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba ，x1x2=ca．10.【答案】A【解析】解：∵对称轴为直线x=2，∴−b2a=2，∴b=−4a，∴b+4a=0，∴(1)正确；∵经过点(−1,0)，∴a−b+c=0，∴c=b−a=−4a−a=−5a，∴4a+c−2b=4a−5a+8a=7a，∵a<0，∴4a+c−2b<0，∴4a+c<2b，∴(2)不正确；∵5a+3c=5a−15a=−10a>0，∴(3)正确；∵|−2−2|=4，|12−2|=32，|52−2|=12，∴y1<y2<y3，∴(4)不正确；当x=2时，函数有最大值4a+2b+c，∴am2+bm+c≤4a+2b+c，∴(5)不正确；综上所述：(1)(3)正确，故选：A．由对称轴为直线x=2，可得b=−4a，当x=2时，函数有最大值4a+2b+c；由经过点(−1,0)，可得a−b+c=0，c=−5a；再由a<0，可知图象上的点离对称轴越近对应的函数值越大；再结合所给选项进行判断即可．本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．11.【答案】(−5,−7)【解析】解：点M(5,7)关于原点O对称的点N的坐标是(−5,−7)．故答案为：(−5,−7)．直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点O的对称点是P′(−x,−y)，进而得出得出答案．此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握关于原点对称点的性质是解题关键．12.【答案】1【解析】解：设另一个根为t，根据题意得3+t=4，解得t=1，则方程的另一个根为1．故答案为：1．设另一个根为t，根据根与系数的关系得到3+t=4，然后解一次方程即可．本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba ，x1x2=ca．13.【答案】12x(x−1)=4×7【解析】解：每支球队都需要与其他球队赛(x−1)场，但2队之间只有1场比赛，所以可列方程为：12x(x−1)=4×7．故答案为：12x(x−1)=4×7．关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2=4×7，把相关数值代入即可．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．14.【答案】3【解析】解：地面，墙面所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，设抛物线解析式：y=a(x−1)2+203，把点A(0,5)代入抛物线解析式得：a=−53，∴抛物线解析式：y=−53(x−1)2+203．当y=0时，x1=−1(舍去)，x2=3．∴OB=3(m)．故答案为3．以地面，墙面所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，把题中已知点代入，求出解析式后，令y=0，即可解答．本题考查抛物线建模，在平面直角坐标系中求抛物线解析式，解决实际问题．15.【答案】5√2【解析】解：由折叠可知，∠B=∠DB′E，BE=B′E，BD=B′D，∵点D是斜边AB的中点，∴DC=DA=BD，∴∠A=∠DCA，CD=B′D，∴∠DCB′=∠DB′C，∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠B=∠A，∴∠B=∠DCA，∵∠B=∠DB′E，∴∠DCA=∠DB′E，∵∠DCB′=∠DB′C，∴∠DCB′−∠DCA=∠DB′C−∠DB′E，即∠FCB′=∠FB′C，∴FC=FB′，∴△CEF的周长：EF+CF+EC=EF+FB′+EC=EB′+EC=BE+EC=BC．∵AB=10，∴CB=√22AB=√22×10=5√2．即△CEF的周长为5√2．故答案为5√2．先证明BF=CF，即可推出△EFC的周长=BC即可．本题考查翻折变换、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．16.【答案】1+√3【解析】解：如图，作PG⊥AB，交AB所在直线于点G，∵D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上，当BD1所在直线与⊙A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大，此时四边形AD1PE1是正方形，PD1=2=2，则BD1=√AB2−AD1√42−22=2√3，故∠ABP=30°，则PB=2+2√3，故点P到AB所在直线的距离的最大值为：PG=1+√3，故答案为：1+√3．首先作PG⊥AB，交AB所在直线于点G，则D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上，当BD1所在直线与⊙A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大，此时四边形AD1PE1是正方形，进而求出PG的长．此题主要考查了几何变换以及等腰腰直角三角形的性质和勾股定理以及切线的性质等知识，根据题意得出PG的最长时P点的位置是解题关键．17.【答案】解：(1)∵关于x方程x2−6x+m+4=0有两个实数根，∴△=(−6)2−4×1×(m+4)≥0，解得：m≤5．(2)∵关于x方程x2−6x+m+4=0有两个实数根x1，x2，∴x1+x2=6，x1x2=m+4．又∵x1=2x2，∴x2=2，x1=4，∴4×2=m+4，∴m=4．【解析】(1)根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；(2)根据根与系数的关系可得出x1+x2=6，x1x2=m+4，结合x1=2x2可求出x1，x2的值，再将其代入x1x2=m+4中可求出m的值．本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：(1)牢记“当△≥0时，方程有实数根”；(2)根据根与系数的关系结合x1=2x2，求出x1，x2的值．18.【答案】解：连接OC，∵M是⊙O弦CD的中点，根据垂径定理：EM⊥CD，CD=2，又CD=4则有：CM=12设圆的半径是x米，在Rt△COM中，有OC2=CM2+OM2，即：x2=22+(6−x)2，，解得：x=103．所以圆的半径长是103【解析】因为M是⊙O弦CD的中点，根据垂径定理，EM⊥CD，则CM=DM=2，在Rt△COM中，有OC2=CM2+OM2，进而可求得半径OC．此题主要考查了垂径定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r 2=d 2+(a2)2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．19.【答案】解：(1)将点A 和点C 的坐标代入函数解析式y =ax 2+2x +c ，得{a +2+c =4c =3， 解得{a =−1c =3， 二次函数的解析式为y =−x 2+2x +3；(2)①0<y ≤4 ;②0≤x ≤2 ．【解析】【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式的知识及二次函数的顶点坐标的知识，属于基础题，解答本题的关键是待定系数法的运用．(1)根据待定系数法，可得函数解析式；(2)根据函数图象即可得到结论．【解答】解：(1)见答案;(2)由图象知，①当−1<x <2时，函数y 的取值范围：0<y ≤4．②当y ≥3时，x 的取值范围：0≤x ≤2．故答案为：0<y ≤4，0≤x ≤2．20.【答案】解：(1)如图1，过点A 的直线AD 即为所求；(2)如图2，射线EF 即为所求；(3)如图3，优弧BC 上的M 、N 两点即为所求．因为MC 和BN 都是直径，所以∠BAN =∠MAC =90°，因为∠BAC =120°，所以∠BAM=∠CAN=120°−90°=30°，所以∠MAN=120°−30°−30°=60°．【解析】(1)如图1，在7×7的正方形网格中，过点A画一条直线平分△ABC的面积即可；(2)如图2，点E在正方形ABCD的内部，且EB=EC，过点E画一条射线平分∠BEC即可；(3)如图3，点A、B、C均在格点上，且∠BAC=120°，在优弧BC上画M、N两点，使∠MAN= 60°即可．本题考查了作图−应用与设计作图，解决本题的关键是掌握圆周角定理并熟练运用．21.【答案】(1)证明：∵PA，PB分别为⊙O的切线，∴∠APO=∠BPO，PA=PB，∴PC⊥AB，在Rt△PCB中，D为PB的中点，∴CD=12PB=PD，∴∠DCP=∠BPO，∴∠APO=∠DCP，∴CD//PA；(2)解：连接OB，∵PA，PB分别为⊙O的切线，∴OB⊥PB，PB=PA=4√5，∴OP=√PB2+OB2=√(4√5)2+(2√5)2=10，∵EF⊥PB，OB⊥PB，∴EF//OB，∴△PEF∽△POB，∴EFOB =PEPO，即EF2√5=10−2√510，解得：EF=2√5−2．【解析】(1)根据切线长定理得到∠APO=∠BPO，PA=PB，根据直角三角形的性质得到CD=PD，根据等腰三角形的性质得到∠DCP=∠BPO，根据平行线的判定定理证明结论；(2)连接OB，根据勾股定理求出OP，证明△PEF∽△POB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．本题考查的是切线的性质、切线长定理、相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质、平行线的判定，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．22.【答案】解：(1)设售量y(件)与销售单价x(元)的一次函数关系为y =kx +b(k ≠0)， 把(60,60)、(80,40)代入，得{60k +b =6080k +b =40， 解得{k =−1b =120， ∴销售量y 与销售单价x 的函数关系式y =−x +120(60≤x ≤87)；(2)w =(x −60)⋅y=(x −60)(−x +120)=−x 2+180x −7200(60≤x ≤87)；w =−(x −90)2+900，∵a =−1<0，∴当x <90时，w 随x 的增大而增大，∴x =87时，w 有最大值，其最大值=−(87−90)2+900=891，即销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元；(3)令w =500，则−(x −90)2+900=500，解得x 1=70，x 2=110，∵当x <90时，w 随x 的增大而增大，∴当销售单价的范围为70≤x ≤87时，该商场获得利润不低于500元．【解析】(1)先利用待定系数法求出销售量y 与销售单价x 的函数关系式y =−x +120；由于成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，可得到x 的取值范围为60≤x ≤87；(2)根据总利润等于每一件的利润乘以销售总量得到w =(x −60)⋅y ，把y =−x +120代入得到w =(x −60)(−x +120)=−x 2+180x −7200(60≤x ≤87)；然后配成顶点式为w =−(x −90)2+900，根据二次函数的性质得到当x <90时，w 随x 的增大而增大，则x =87时，w 有最大值，其最大值=−(87−90)2+900=891．(3)令w =500，则−(x −90)2+900=500，解得x 1=70，x 2=110，而当x <90时，w 随x 的增大而增大，即可得到当销售单价的范围为70(元)≤x ≤87(元)时，该商场获得利润不低于500元．本题考查的是一元二次方程的应用和二次函数的应用，先用待定系数法求出销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系，然后求出利润w与x之间的二次函数，然后利用二次函数的性质以及题目中对销售单价的要求，求出最大利润和最大利润时的单价．23.【答案】解：(1)DF=FC；DF⊥FC；(2)结论不变；理由：如图2中，延长AC到M使得CM=CA，延长ED到N，使得DN=DE，连接BN、BM.EM、AN，延长ME交AN于H，交AB于O．∵BC⊥AM，AC=CM，∴BA=BM，同法BE=BN，∵∠ABM=∠EBN=90°，∴∠NBA=∠EBM，∴△ABN≌△MBE，∴AN=EM，∠BAN=∠BME，∵AF=FE，AC=CM，∴CF=12EM，FC//EM，同法FD=12AN，FD//AN，∴FD=FC，∵∠BME+∠BOM=90°，∠BOM=∠AOH，∴∠BAN+∠AOH=90°，∴∠AHO=90°，∴AN⊥MH，FD⊥FC；(3)√2≤BF≤3√2．【解析】【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．(1)结论：FD=FC，DF⊥CF.理由直角三角形斜边中线定理即可证明；(2)如图2中，延长AC到M使得CM=CA，延长ED到N，使得DN=DE，连接BN、BM.EM、AN，延长ME交AN于H，交AB于O.想办法证明△ABN≌△MBE，推出AN=EM，再利用三角形中位线定理即可解决问题；(3)分别求出BF的最大值、最小值即可解决问题．【解答】解：(1)如图1中，∵∠ADE=∠ACE=90°，AF=FE，∴DF=AF=EF=CF，∴∠FAD=∠FDA，∠FAC=∠FCA，∴∠DFE=∠FDA+∠FAD=2∠FAD，∠EFC=∠FAC+∠FCA=2∠FAC，∵CA=CB，∠ACB=90°，∴∠BAC=45°，∴∠DFC=∠EFD+∠EFC=2(∠FAD+∠FAC)=90°，∴DF=FC，DF⊥FC，故答案为DF=FC；DF⊥FC．(2)见答案；(3)如图3中，当点E落在AB上时，BF的长最大，在等腰直角三角形ABC中，BC=4，∴AB=4√2，∵BE=2√2，∴AE=AB−BE=2√2，∵点F是AE的中点，∴EF=√2，∴BF的最大值=BE+EF=2√2+√2=3√2；如图4中，当点E落在AB的延长线上时，BF的值最小，最小值=√2．在等腰直角三角形ABC中，BC=4，∴AB=4√2，∵BE=2√2，∴AE=AB+BE=6√2，∵点F是AE的中点，∴EF=3√2，BF的最小值=EF−BE=√2．综上所述，√2≤BF≤3√2．故答案为√2≤BF≤3√2．24.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2与直线y=2x−3有唯一公共点P．∴ax2=2x−3，∴△=4−12a=0，∴a=1 3∴抛物线解析式：y=13x2；(2)∵抛物线y=13x2与直线y=2x−3有唯一公共点P，∴13x2=2x−3，∴x=3，∴点P(3,3)设与y轴平行的直线为x=m，设D(m,13m2)，E(m,2m−3)，∴S△PDE=12×|13m2−2m+3|×|m−3|=43，∴|m−3|3=8，∴m=5或1，∴与y轴平行的直线为x=5或x=1；(3)设B(n,13n2)，C(−n,13n2)，Q(p,13p2)，∴QMBM⋅CM =13n2−13p2(n−p)(p+n)=13，设AC：y=k1x+b1，和y=13x2联立，∴13x2−k1x−b1=0，由根与系数关系−nx A=−3b1，同理nx A=−9，∴−3b1=9，∴b1=−3，∴OK=3，∴QM⋅OKBM⋅CM =13×3=1．【解析】(1)由抛物线y=ax2与直线y=2x−3有唯一公共点P.可得△=4−12a=0，即可求解；(2)先求出点P(3,3)，设D(m,13m2)，E(m,2m−3)，由三角形面积公式可求解；(3)设B(n,13n2)，C(−n,13n2)，Q(p,13p2)，由两点距离公式可求QMBM⋅CM=13，设AC：y=k1x+b1，直线AC，AB和y=13x2联立，由根与系数关系可求−nx A=−3b1，nx A=−9，可求b1=−3，可得OK=3，即可求解．本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，三角形面积公式，两点距离公式，利用根与系数关系解决问题是本题的关键．。
2020-2021学年广西南宁市兴宁区三美学校九年级(上)第一次月考数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年广西南宁市兴宁区三美学校九年级（上）第一次月考数学试卷1. 下列实数中，是有理数的是( )A. √23B. √7C. 227D. π2. 下列图形中是轴对称图形的是( )A. B. C. D.3. 科学家在实验室检测出新型冠状病毒的直径为0.000000125m ，用科学记数法表示为( )A. 1.25×10−6mB. 1.25×10−7mC. 125×10−8mD. 125×10−9m4. 下列运算中，正确的是( )A. a 2+a 2=a 4B. a 5−a 3=a 2C. a 2⋅a 2=2a 2D. (a 2)3=a 65. 下列方程一定是一元二次方程的是( )A. 3x 2+2x −1=0B. 5x 2−6y −3=0C. ax 2+bx +c =0D. 3x 2−2x −1=06. 下列调查中，最适合采用抽样调查的是( )A. 对某地区现有16名百岁以上老人睡眠时间的调查B. 对九年级三班学生视力情况的调查C. 对某市场某一品牌电脑使用寿命的调查D. 疫情期间，对某校到校学生进行体温检测7. 如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠A =40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠ACG 的度数为( )A. 40°B. 45°C. 50°D. 60°8. 一元二次方程x 2+4x +5=0的根的情况是( )A. 无实数根B. 有一个实根C. 有两个相等的实数根D. 有两个不相等的实数根9.若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为()A. y=(x+2)2+3B. y=(x−2)2+3C. y=(x+2)2−3D. y=(x−2)2−310.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b的图象大致是()A.B.C.D.11.肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有225人感染，若设1人平均感染x人，依题意可列方程()A. 1+x=225B. 1+x2=225C. (1+x)2=225D. 1+(1+x2)=22512.如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1,n)，且与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间．则下列结论：①a−b+c>0；②3a+b=0；③b2=4a(c−n)；④一元二次方程ax2+bx+c=n−1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 413.已知二次根式√x−2，写出x的范围______ ．14.方程2x2−x−3=0的一次项系数是______．15.如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10，点E、F分别为AC、AB的中点，则EF=______．16.已知抛物线y=x2−x−1与x轴的一个交点为(m,0)，则代数式m2−m+2019的值为______17.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2经过平移得到抛物线y=12x2−2x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为______ ．18.如图，矩形ABCD的边AB=2，BC=1，且顶点A、B分别在x轴、y轴上，若A、B两点分别在x轴、y轴上滑动，顶点C到坐标原点O的距离的最大值为______．19.计算：|−10|−(√5)2×2+6÷(−2)．20.用适当方法解下列方程：x2−4x−3=0．21.在抗击新型冠状病毒疫情期间，某校学生主动发起为武汉加油捐款活动，为了了解学生捐款金额(单位：元)，随机调查了该校的部分学生，根据调查结果，绘制出如图的统计图图甲和图乙．请根据相关信息，解答下列问题：(1)本次接受调查的学生人数为______，图甲中m的值为______；(2)求统计的这组学生捐款数据的平均数、众数和中位数．22.已知抛物线y=x2−2x−3．(1)化成顶点式，并直接写出它的顶点坐标和对称轴；(2)若抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．23.如图，矩形ABCD，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB、CD边于点E，F．(1)求证：四边形DEBF是平行四边形；(2)当四边形DEBF是菱形时，求菱形的边长．24.2020年，受新冠肺炎疫情影响．口罩紧缺，某网店以每袋8元(一袋十个)的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元销售了256袋，三、四月该口罩十份畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋．(1)求三、四这两个月销售量的月平均增长率；(2)为回馈客户．该网店决定五月降价促销．经调查发现．在四月分销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？25.如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF//DE，且交AG于点F．(1)求证：△ADE≌△BAF；(2)求证：DE−BF=EF；(3)若AB=2，BG=1，求线段EF的长．26.如图，抛物线y=−x2+2x+3与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，顶点为D．(1)直接写出点A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；(2)连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P 作PF//DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．①当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式，S是否有最大值？如果有，请求出；如果没有，说明理由．答案和解析1.【答案】C3是无理数，不合题意；【解析】解：A、√2B、√7是无理数，不合题意；C、22是有理数，符合题意；7D、π是无理数，不合题意；故选：C．直接利用有理数的定义得出答案．此题主要考查了有理数的定义，正确把握定义是解题关键．2.【答案】D【解析】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，故此选项符合题意．故选：D．根据轴对称图形的概念求解．本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．3.【答案】B【解析】解：0.000000125m=1.25×10−7m.故选：B．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．4.【答案】D【解析】解：A、a2+a2=2a2，故原题计算错误；B、a5和a3不是同类项不能合并，故原题计算错误；C、a2⋅a2=a4，故原题计算错误；D、(a2)3=a6，故原题计算正确；故选：D．利用合并同类项法则、同底数幂的乘法和幂的乘方计算法则分别进行计算即可．此题主要考查了积的乘方、幂的乘方，以及合并同类项，关键是熟练掌握各计算法则．5.【答案】D−1=0不是一元二次方程，故此选项不合题意；【解析】解：A、含有分式，3x2+2xB、含有2个未知数，5x2−6y−3=0不是一元二次方程，故此选项不合题意；C、当a=0时，ax2+bx+c=0不是一元二次方程，故此选项不合题意；D、3x2−2x−1=0是一元二次方程，故此选项符合题意；故选：D．利用与一元二次方程定义进行分析即可．此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．6.【答案】C【解析】解：A、对某地区现有16名百岁以上老人睡眠时间的调查，适合全面调查；B、对九年级三班学生视力情况的调查，适合全面调查；C、对某市场某一品牌电脑使用寿命的调查，具有破坏性，适合抽样调查；D、疫情期间，对某校到校学生进行体温检测，适合全面调查；故选：C．由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．7.【答案】C【解析】解：∵CA=CB，∴∠A=∠B=40°，∴∠ACB=180°−40°−40°=100°，由作图可知，CF平分∠ACB，∠ACB=50°，∴∠ACG=12故选：C．由作图可知，CF平分∠ACB，求出∠ACB即可解决问题．本题考查作图−基本作图，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．8.【答案】A【解析】解：∵△=42−4×5=−4<0，∴方程无实数根．故选：A．先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．9.【答案】B【解析】解：将抛物线y=x2向右平移2个单位可得y=(x−2)2，再向上平移3个单位可得y=(x−2)2+3，故选：B．根据二次函数图象的平移规律解答即可．本题考查了二次函数的几何变换，熟悉二次函数的平移规律是解题的关键．10.【答案】A【解析】解：∵y=ax2+bx+c的图象的开口向上，∴a>0，∵对称轴在y轴的左侧，∴b>0，∴一次函数y=ax+b的图象经过一，二，三象限．故选：A．由y=ax2+bx+c的图象判断出a>0，b>0，于是得到一次函数y=ax+b的图象经过一，二，三象限，即可得到结论．本题考查了二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数的性质，由函数图象可以判断a、b的取值范围．11.【答案】C【解析】解：设1人平均感染x人，依题意可列方程：(1+x)2=225．故选：C．此题可设1人平均感染x人，则第一轮共感染(x+1)人，第二轮共感染x(x+1)+x+ 1=(x+1)(x+1)人，根据题意列方程即可．此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的解，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．12.【答案】C【解析】解：∵抛物线与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点在点(−2,0)和(−1,0)之间．∴当x=−1时，y>0，即a−b+c>0，所以①正确；=1，即b=−2a，∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a∴3a+b=3a−2a=a，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标为(1,n)，=n，∴4ac−b24a∴b2=4ac−4an=4a(c−n)，所以③正确；∵抛物线与直线y=n有一个公共点，∴抛物线与直线y=n−1有2个公共点，∴一元二次方程ax2+bx+c=n−1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选：C．利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点(−2,0)和(−1,0)之间，则当x==1，即b=−1时，y>0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=−b2a−2a，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n得到4ac−b2=n，则可对③4a进行判断；由于抛物线与直线y=n有一个公共点，则抛物线与直线y=n−1有2个公共点，于是可对④进行判断．本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右；常数项c 决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于(0,c)：抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．13.【答案】x≥2【解析】解：由题意得，x−2≥0，解得，x≥2，故答案为：x≥2．根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．【解析】解：方程2x2−x−3=0的一次项系数是−1，故答案为：−1找出一元二次方程的一次项系数即可．此题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握其一般形式是解本题的关键．15.【答案】2.5【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=5，∴BC=12∵点E、F分别为AC、AB的中点，BC=2.5，∴EF=12故答案为：2.5．根据含30°的直角三角形的性质求出BC，根据三角形中位线定理计算，得到答案．本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．16.【答案】2020【解析】解：∵抛物线y=x2−x−1与x轴的一个交点为(m,0)，∴m2−m−1=0，∴m2−m=1，∴m2−m+2019=1+2019=2020．故答案为：2020．把(m,0)代入抛物线解析式得到m2−m=1，然后利用整体代入的方法计算m2−m+ 2019的值．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．【解析】解：如图，∵y=12x2−2x=12(x−2)2−2，∴平移后抛物线的顶点坐标为(2,−2)，对称轴为直线x=2，当x=2时，y=12×22=2，∴平移后阴影部分的面积等于如图三角形的面积，12×(2+2)×2=4．故答案为：4．确定出抛物线y=12x2−2x的顶点坐标，然后求出抛物线的对称轴与原抛物线的交点坐标，从而判断出阴影部分的面积等于三角形的面积，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．本题考查了二次函数图象与几何变换，确定出与阴影部分面积相等的三角形是解题的关键．18.【答案】1+√2【解析】解：如图，取AB的中点E，连接OE，CE，OC，∵∠AOB=90°，∴Rt△AOB中，OE=12AB=1，又∵“∠ABC=90°，AE=BE=CB=1，∴Rt△CBE中，CE=√CB2+BE2=√2，又∵OC≤CE+OE=1+√2，∴OC的最大值为1+√2，即点C到原点O距离的最大值是1+√2，故答案为：1+√2．取AD的中点E，连接OE，CE，OC，求得CE=√2，OE=1，再根据OC≤CE+OE= 1+√2，即可得到点C到原点O距离的最大值是1+√2．本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、三角形的三边关系等知识点．解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形．在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．19.【答案】解：原式=10−5×2−3=10−10−3=−3．【解析】原式利用绝对值的代数意义，平方根性质，以及乘除法则计算即可求出值．此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20.【答案】解：∵x2−4x=3，∴x2−4x+4=3+4，即(x−2)2=7，则x−2=±√7，∴x=2±√7．【解析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．21.【答案】50 30【解析】解：(1)8+12+15+10+5=50(人)，m%=1−16%−24%−20%−10%=30%，故答案为：50，30；(2)这组数据的平均数是：20×16%+25×24%+30×30%+35×20%+40×10%=29.2，众数是30，中位数是30；(1)根据条形统计图中的数据，可以计算出本次调查的人数，再根据扇形统计图中的数据，可以得到m的值；(2)根据条形统计图中的数据，可以得到这组数据的平均数、众数和中位数；本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、平均数、众数和中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22.【答案】解：(1)∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，故顶点坐标是：(1,−4)，对称轴是：x=1；(2)令y=x2−2x−3=0，解得：x=−1或3，则AB=3−(−1)=4．【解析】根据函数图象和性质逐个求解即可．本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟练掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，∴∠A=90°，AD=BC=4，AB//DC，OB=OD，∴∠OBE=∠ODF，∴△BOE≌△DOF(ASA)，∴EO=FO，∴四边形BEDF是平行四边形；(2)解：当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，设BE=x，则DE=x，AE=6−x，在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2，∴x2=42+(6−x)2，，解得：x=133∴菱形的边长为13．3【解析】(1)根据平行四边形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF(ASA)，得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；(2)在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出DF的长即可求得菱形的边长．本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键．24.【答案】解：(1)设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x，依题意，得：256(1+x)2=400，解得：x1=0.25=25%，x2=−2.25(不合题意，舍去)．答：三、四这两个月销售量的月平均增长率为25%．(2)设口罩每袋降价y元，则五月份的销售量为(400+40y)袋，依题意，得：(14−y−8)(400+40y)=1920，化简，得：y2+4y−12=0，解得：y1=2，y2=−6(不合题意，舍去)．答：当口罩每袋降价2元时，五月份可获利1920元．【解析】(1)设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x，根据二月份及四月份口罩的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；(2)设口罩每袋降价y元，则五月份的销售量为(400+40y)袋，根据总利润=每袋口罩的销售利润×月销售数量结合五月份可获利1920元，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．25.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABC=∠BAD=90°，∵DE⊥AG，∴∠AED=∠DEF=90°，∵BF//DE，∴∠AFB=∠DEF=∠DEA=90°，∴∠BAF+∠DAE=∠ADE+∠DAE=90°，∴∠BAF=∠ADE，在△ABF和△DAE中，{∠AFB=∠AED ∠BAF=∠ADE AB=AD，∴△DAE≌△ABF(AAS)；(2)∵△DAE≌△ABF，∴AE =BF ，DE =AF ，∵AF −AE =EF ，∴DE −BF =EF ；(3)∵∠ABC =90°，∴AG 2=AB 2+BG 2=12+22=5，∴AG =√5，∵S △ABG =12AB ⋅BG =12AG ⋅BF ，∴BF =AB⋅BG AG =√5=2√55， 在Rt △ABF 中，AF 2=AB 2−BF 2=22−(2√55)2=165， ∴DE =AF =4√55，∴EF =DE −BF =2√55．【解析】(1)由“AAS ”可证△DAE≌△ABF ；(2)由全等三角形的判定和性质可得AE =BF ，DE =AF ，即可得结论；(3)由勾股定理可求AG 的长，由面积法可求BF 的长，由勾股定理可求AF 的长，即可求解．本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积公式，求出BF 的长是本题的关键．26.【答案】解：(1)令y =0，则−x 2+2x +3=−(x +1)(x −3)=0，解得x =−1或x =3，则A(−1,0)，B(3,0)．抛物线的对称轴是：直线x =1．令x =0，则y =0，则C(0,3)．综上所述，A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)，抛物线的对称轴是直线x =1；(2)①设直线BC 的函数关系式为：y =kx +b ．把B(3,0)，C(0,3)分别代入得：{3k +b =0b =3， 解得：{k =−1b =3． 所以直线BC 的函数关系式为：y =−x +3．当x =1时，y =−1+3=2，∴E(1,2)．当x=m时，y=−m+3，∴P(m,−m+3)．在y=−x2+2x+3中，当x=1时，y=4．∴D(1,4)当x=m时，y=−m2+2m+3，∴F(m,−m2+2m+3)∴线段DE=4−2=2，线段PF=−m2+2m+3−(−m+3)=−m2+3m，∵PF//DE，∴当PF=ED时，四边形PEDF为平行四边形，由−m2+3m=2，解得：m1=2，m2=1(不合题意，舍去)，因此，当m=2时，四边形PEDF为平行四边形；②设直线PF与x轴交于点M，由B(3,0)，O(0,0)，可得：OB=OM+MB=3，∵S=S△BPF+S△CPF即S=12PF⋅BM+12F⋅OM=12PF⋅(BM+OM)=12PF⋅OB，∴S=12×3(−m2+3m)=−32m2+92m=−32(m2−3m)=−32(m−32)2+278(0≤m≤3)，故m=32时，S有最大值为：278．【解析】(1)已知了抛物线的解析式，当y=0时可求出A，B两点的坐标，当x=0时，可求出C点的坐标．根据对称轴x=−b2a可得出对称轴；(2)①可先根据B，C的坐标求出BC所在直线的解析式，然后将m分别代入直线BC和抛物线的解析式中，得出两函数的值的差就是PF的长，根据直线BC的解析式，可得出E点的坐标，根据抛物线的解析式可求出D点的坐标，然后根据坐标系中两点的距离公式，可求出DE的长，然后让PF=DE，即可求出此时m的值；②利用S=S△BPF+S△CPF，进而结合二次函数最值求法得出答案．本题主要考查了二次函数的综合应用以及平行四边形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式等知识，根据二次函数解析式得出相关点的坐标和对称轴的解析式是解题的基础．。
2021-2022学年江苏省南京市鼓楼区金陵汇文学校九年级(上)月考数学试卷(12月份)(附详解)
2021-2022学年江苏省南京市鼓楼区金陵汇文学校九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题（本大题共6小题，共12.0分）1.已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为−2，则另一个根为()A. 5B. −1C. 2D. −52.当0≤x≤m时，函数y=−x2+4x−3的最小值为−3，最大值为1，则m的取值范围是()A. 0≤m≤2B. 0≤m<4C. 2≤m≤4D. m≥23.下列命题中，正确的个数是()(1)三点确定一个圆；(2)平分弦的直径垂直于弦；(3)相等的圆心角所对的弧相等；(4)正五边形是轴对称图形．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4.⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC平分∠BAD，则正确结论是()A. AB=ADB. BC=CDC. AB⏜=BD⏜D. ∠BCA=∠DCA5.已知抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，顶点坐标为(2,−3)，那么该抛物线有()A. 最小值−3B. 最大值−3C. 最小值2D. 最大值26.数据2，6，5，0，1，6，8的中位数和众数分别是()A. 0和6B. 0和8C. 5和8D. 5和6二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）7.把二次函数y=3x2的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位所得图象对应的二次函数解析式为______．8.如图，某运动员推铅球，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是y=−120x2+12x+65，则此运动员将铅球推出的距离是______m.9.一组数据：5、−4、3、4、6、−8，这组数据的极差是______．10.圆锥底面圆的半径为4cm，其侧面展开图的圆心角120°，则圆锥母线长为______cm．11.已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为(4,0)，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②4a+b=0；③a−b+c<0；④b2>4ac；⑤当x<2时，y随x的增大而增大，你认为其中正确的是______.(填序号)12.若二次函数y=x2−6x+c的图象经过A(−1,y1)，B(2,y2)，C(5,y3)三点，则y1、y2、y3大小关系是______(用“<”号连接)．13.抛物线y=2x2−4x+1的顶点坐标是______．14.二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表：x…−3−20135…y…70−8−9−57…则当x=2时对应的函数值y=______．15.如图，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(m−1,−m+5)，⊙O的半径为1，点Q在⊙O上，连接PQ，若PQ与⊙O相切．则线段PQ的最小值为______．16.如果关于x的一元二次方程(m−1)x2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______．三、解答题（本大题共10小题，共88.0分）17.某商店经销一批季节性小家电，每台成本40元，经市场预测，定价为52元时，可销售180台，定价每增加1元，销售量将减少10台．(1)若商店销售该家电获利2000元，那么每台家电定价应增加多少元？(2)求每台家电定价为多少元时，该商店每天获得的利润最大，最大利润为多少元？18.已知二次函数：y=ax2−6ax−5(a≠0)．(1)该二次函数图象的对称轴是______，它恒经过两个定点的坐标为______；(2)在直角坐标系中，点A(−2,0)、点B(10,0)，若此二次函数的图象与线段AB恰有一个公共点，结合图象，求a的取值范围．(3)若该二次函数的最大值为4．①求二次函数的表达式；②当t≤x≤t+3时，函数的最大值为m，最小值为n，若m−n=5，求t的值．19.解方程：(1)(2x−1)2=−3(2x−1)；(2)2x2−x−3=0(用配方法)．20.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E为BC的中点，连接DE．(1)求证：DE为⊙O的切线；(2)若BC=2，∠BAC=30°，求阴影部分的面积．21.疫情防控期间，任何人进入校园都必须测量体温，体温正常方可进校．甲、乙两位同学进校时可以从学校大门A、B、C三个入口处中的任意一处测量体温．(1)甲同学在A入口处测量体温的概率是______；(2)求甲、乙两位同学在同一入口处测量体温的概率．(用“画树状图”或“列表”的方法写出分析过程)22.已知二次函数y=−x2+bx+c的图象过点A(0,3)，B(2,3)．(1)求二次函数的表达式；(2)求二次函数图象的顶点及与x轴的交点坐标；(3)在下面的直角坐标系中画出该函数的图象，借助图象，直接写出若0<x<3，则y的取值范围是______．(4)动点P在此抛物线上滑动，若满足S△ABP=1，求此时P点的坐标．23.已知：矩形ABCD，AB=8，BC=12．(1)用直尺和圆规作⊙O，使⊙O过B、C两点，且与AD相切(不写作法，保留作图痕迹)；(2)求(1)中所作圆的半径．24.如图，一个矩形养鸡场，一边靠墙(墙长为a米)，另外三边用长为48米的篱笆围成．(1)①若a=30，求养鸡场的面积的最大值；②若a=20，求养鸡场的面积的最大值．(2)若可围成的矩形养鸡场的面积的最大值为270平方米，求a的值．25.已知关于x的一元二次方程x2+6x−m=0．(1)若方程有两个实数根，求m的取值范围；(2)在(1)中，设x1、x2是该方程的两个根，且x1+x2−2x1x2=0，求m的值．26. 某中学九年级学生共进行了五次体育模拟测试，已知甲、乙两位同学五次模拟测试成绩的总分相同，小明根据甲同学的五次测试成绩绘制了尚不完整的统计表，并给出了乙同学五次测试成绩的方差的计算过程． 甲同学五次体育模拟测试成绩统计表小明将乙同学五次模拟测试成绩直接代入方差公式，计算过程如下：S 乙2=15[(36−38)2+(38−38)2+(37−38)2+(39−38)2+(40−38)2]=2(分 2) 根据上述信息，完成下列问题： (1)a 的值是______；(2)根据甲、乙两位同学这五次模拟测试成绩，你认为谁的体育成绩更好？并说明理由；(3)如果甲再测试1次，第六次模拟测试成绩为38分，与前5次相比，甲6次模拟测试成绩的方差______.(填“变大”“变小”或“不变”)答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查根与系数的关系，解题的关键是明确两根之和等于一次项系数与二次项系数比值的相反数，根据关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为−2，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决．【解答】解：∵关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为−2，设另一个根为m，∴根据根与系数关系得，−2+m=−3，1解得，m=−1，故选B．2.【答案】C【解析】解：∵y=−x2+4x−3=−(x−2)2+1，∴该函数的对称轴是直线x=2，当x=2时，该函数取得最大值1，该函数图象开口向下，∵当0≤x≤m时，此函数的最小值为−3，最大值为1，当x=0时，y=−3，∴2≤m≤4，故选：C．根据题意和二次函数的性质，可以得到m的取值范围，本题得以解决．本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．3.【答案】A【解析】解：(1)不在同一直线上的三点确定一个圆，错误；(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，错误；(3)相等的圆心角所对的弧相等，错误；(4)正五边形是轴对称图形，正确．故选A．利用确定圆的条件、垂径定理、等弧的定义及正五边形的性质分别判断后即可确定正确的选项．本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件、垂径定理、等弧的定义及正五边形的性质，难度不大．4.【答案】B【解析】解：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴BC⏜=DC⏜，∴BC=CD．故选：B．利用角平分线得到∠BAC=∠DAC，再根据圆周角定理得到BC⏜=DC⏜，然后根据圆心角、弧、弦的关系得到BC=DC．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆心角、弧、弦的关系．5.【答案】B【解析】解：因为抛物线开口向下和其顶点坐标为(2,−3)，所以该抛物线有最大值−3．故选B．根据抛物线开口向下和其顶点坐标为(2,−3)，可直接做出判断．本题主要考查了二次函数的最值，求二次函数的最大(小)值有三种方法：第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．6.【答案】D【解析】解：从小到大排列此数据为：0，1，2，5，6，6，8数据，6出现了2次最多为众数，处在中间位置的数为5，故中位数为5．所以本题这组数据的中位数是5，众数是6． 故选：D ．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．本题主要考查众数与中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．7.【答案】y =3x 2−12x +11【解析】解：由题意得：{x′=x +2y′=y −1，代入原抛物线方程得：y′+1=3(x′−2)2， 整理得：y =3x 2−12x +11．由于抛物线向右平移2个单位，再向下平移1个单位，则x′=x +2，y′=y −1，代入原抛物线方程即可得平移后的方程．本题考查了二次函数图象的几何变换，重点是找出平移变换的关系．(可利用顶点式解答)8.【答案】12【解析】解：∵y =−120x 2+12x +65， ∴当y =0时，0=−120x 2+12x +65， 解得x 1=12，x 2=−2，∴此运动员将铅球推出的距离是12m ， 故答案为：12．根据题意可知，此运动员将铅球推出的距离就是该函数与x 轴正半轴的交点的横坐标的长度，故令y =0求出相应的x 的值，即可得到此运动员将铅球推出的距离．本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确此运动员将铅球推出的距离就是该函数与x 轴正半轴的交点的横坐标的长度．9.【答案】14【解析】解：由题意可知，极差是6−(−8)=14．故答案为：14．根据极差的定义，用一组数据中的最大值减去最小值即可求得．本题考查了极差，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．10.【答案】12【解析】【分析】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．根据题意求出圆锥的底面周长，根据弧长公式计算即可．【解答】解：圆锥的底面周长=2×π×4=8π，∴侧面展开图的弧长为8π，=12(cm)，则圆锥母线长=180×8π120π故答案为12．11.【答案】①②④【解析】解：①∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为(4,0)，∴抛物线与x轴的另一交点坐标为(0,0)，结论①正确；②∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=2，且抛物线过原点，=2，c=0，∴−b2a∴b=−4a，c=0，∴4a+b=0，结论②正确；③∵当x=−1时，y值为正，∴a−b+c>0，结论③错误；④由图象得二次函数与x轴交点有两个知，b2−4ac>0，即b2>4ac，结论④正确；⑤观察函数图象可知：当x<2时，y随x增大而减小，结论⑤错误．综上所述，正确的结论有：①②④．故答案是：①②④．①由抛物线的对称轴结合抛物线与x轴的一个交点坐标，可求出另一交点坐标，结论①正确；②由抛物线对称轴为2以及抛物线过原点，即可得出b=−4a，即4a+b=0，结论②正确；③根据抛物线的对称性结合当x=1时y>0，即可得出a−b+c>0，结论③错误；④根据抛物线与x轴的交点个数判断结论④正确；⑤观察函数图象可知，当x<2时，y随x增大而减小，结论⑤错误．综上即可得出结论．主要考查抛物线与x轴的交点，图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．12.【答案】y2<y3<y1=3，【解析】解：y=x2−6x+c的对称轴为直线x=−b2a根据二次函数图象的对称性可知，C(5,y3)中，|5−3|>|3−2|，A(−1,y1)，B(2,y2)在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，因为−1<1<2，于是y1>y3>y2．故答案为：y2<y3<y1．根据函数解析式的特点，其对称轴为x=3，图象开口向上；利用对称轴左侧y随x的增大而减小，可判断y2<y1，根据二次函数图象的对称性可判断y3>y2；于是y1>y3>y2．本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．13.【答案】(1,−1)【解析】解：∵y=2x2−4x+1=2(x2−2x+1−1)+1=2(x−1)2−1，∴抛物线y=2x2−4x+1的顶点坐标是(1,−1)，故答案为：(1,−1)已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a(x−ℎ)2+k的顶点坐标为(ℎ,k)，对称轴为x=ℎ，此题还考查了配方法求顶点式．14.【答案】−8【解析】解：观察表格可知，当x=−3或5时，y=7，根据二次函数图象的对称性，(−3,7)，(5,7)是抛物线上两对称点，=1，顶点(1,−9)，对称轴为直线x=−3+52根据对称性，x=2与x=0时，函数值相等，都是−8．由表格可知，(−3,7)，(5,7)是抛物线上两对称点，可求对称轴x=1，再利用对称性求出横坐标为2的对称点(0,−8)即可．观察二次函数的对应值的表格，关键是寻找对称点，顶点坐标及对称轴，利用二次函数的对称性解答．15.【答案】√7【解析】解：如图，连接OP，PQ，∵点P的坐标为(m−1,−m+5)，∴OP2=(m−1)2+(−m+5)2，∵PQ与⊙O相切．∴∠OQP=90°，∴PQ=√OP2−OQ2=√2(m−3)2+7，当m=3时，PQ有最小值为√7．故答案为：√7．由两点距离公式可得OP2，由切线的性质可求∠OQP=90°，利用勾股定理和二次函数的性质可求解．本题考查了切线的性质，勾股定理，二次函数的性质，利用参数m表示PQ的长是解题的关键．16.【答案】m<2且m≠1【解析】解：根据题意得m−1≠0且Δ=22−4(m−1)>0，解得m<2且m≠1．故答案为m<2且m≠1．根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m−1≠0且Δ=22−4(m−1)>0，然后求出两不等式解集的公共部分即可．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．17.【答案】解：(1)设每台定价增加a元(a≥0)，根据题意得：(52−40+a)(180−10a)=2000，整理得：a2−6a−16=0，解得：a1=−2(舍去)，a2=8．答：商店销售该家电获利2000元，那么每台家电定价应增加8元；(2)设每台家电定价为x元，利润为w元，由题意得：w=(x−40)[180−10(x−52)]=(x−40)(700−10x)=−10x2+1100x−28000=−10(x−55)2+2250，∵−10<0，∴当x=55时，w最大=2250；答：当定价为55元时，获得的利润最大，最大利润是2250元．【解析】(1)设每台定价增加a元(a≥0)，根据利润=单台利润×销售数量即可列出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论；(2)设每台家电定价为x元，利润为w元，根据每个小家电利润×销售的个数=总利润列出函数，运用配方法解决问题．本题考查了二次函数和一元二次方程的应用，关键是找出等量关系列出函数解析式和一元二次方程．18.【答案】直线x=3(0,−5)、(6,−5)=3；【解析】解：(1)二次函数：y=ax2−6ax−5(a≠0)的对称轴为直线x=−−6a2a当y=−5时，则ax2−6ax−5=−5，即ax2−6ax=0，解得x=0或x=6，∴它恒经过两个定点的坐标为(0,−5)、(6,−5)；故答案为：直线x=−3，(0,−5)、(6,−5)；(2)如图1，当a<0时，∵y=ax2−6ax−5=a(x−3)2−9a−5，∴−9a−5=0，；解得a=−59观察图象可知，当a=−5时，抛物线与线段AB恰有一个公共点．9如图2，当a>0时，抛物线经过B(10,0)时，a =18， 抛物线经过点A(−2,0)时，a =516，观察图象可知，当18≤a <516时，抛物线与线段AB 恰有一个公共点． 综上所述，满足条件的a 的值为a =−59或18≤a <516；(3)①∵二次函数：y =ax 2−6ax −5(a ≠0)图象的对称轴为直线x =3，最大值为4， ∴二次函数为y =a(x −3)2+4，即y =ax 2−6ax +9a +4， ∴9a +4=−5，解得a =−1，∴二次函数的表达式为y =−x 2+6x −5； ②当t ≤x ≤t +3时，对t 进行分类讨论，1)当计t +3<3时，即t <0，y 随着x 的增大而增大， 当x =t +3时，m =(t +3)2+6(t +3)−5=−t 2+4， 当x =t 时，n =−t 2+6t −5，∴m −n =−t 2+4−(−t 2+6t −5)=−6t +9， ∴−6t +9=5，解得t =23(不合题意，舍去)， 2)当0≤t <3时，顶点的横坐标在取值范围内， ∴m =4，ⅰ)当0≤t ≤32时，在x =t 时，n =−t 2+6t −5， ∴m −n =4−(−t 2+6t −5)=t 2−6t +9，∴t 2−6t +9=5，解得t 1=3−√5,t 2=3+√5(不合题意，舍去)； ⅰ)当32<t <3时，在x =t +3时，n =−t 2+4，∴m −n =4−(−t 2+4)=t 2，∴t 2=5，解得t 1=√5,t 2=−√5(不合题意，舍去)， 3)当t ≥3时，y 随着x 的增大而减小， 当x =t 时，m =−t 2+6t −5，当x =t +3时，n =−(t +3)2+6(t +3)−5=−t 2+4， ∴m −n =−t 2+6t −5−(−t 2+4)=6t −9， ∴6t −9=5，解得t =73(不合题意，舍去)， 综上所述，t =3−√5或√5．(1)根据对称轴公式即可求得对称轴，令y =−5，则解得x =0或x =6，即可得到结论； (2)分两种情形：如图1中，当a <0时，抛物线顶点在x 轴上时，a =−59，如图2中，当a >0时，抛物线经过B(10,0)时，a =18，经过点A(−2,0)时，a =516，观察图象，利用图象法即可解决问题．(3)①根据题意得到顶点式y =a(x −3)2+4，化成一般式y =ax 2−6ax +9a +4，即可得出9a +4=−5，解得a =−1，即可得出y =−x 2+6x −5；②分三种情况讨论，根据二次函数的性质得到最大值m 和最小值n ，进而根据m −n =5得到关于t 的方程，解方程即可．本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数的最值，分类讨论是解题的关键．19.【答案】解：(1)(2x −1)2=−3(2x −1)，(2x −1)2+3(2x −1)=0， (2x −1)(2x −1+3)=0， 2x −1=0或2x −1+3=0， x 1=12，x 2=−1；(2)2x 2−x −3=0， 2x 2−x =3， x 2−12x =32，配方，得x 2−12x +(14)2=32+(14)2， (x −14)2=2516，开方，得x−14=±54，解得：x1=32，x2=−1．【解析】(1)移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；(2)移项，方程两边除以2，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．20.【答案】(1)证明：如图，连接OD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴∠BDC=180°−∠ADC=90°，∵E为BC的中点，∴DE=12BC=BE=CE，∴∠B=∠EDB，∵OD=OA=OC，∴∠A=∠ODA，∴∠CED=∠B+∠EDB=2∠B，∠COD=∠A+∠ODA=2∠A，∵∠ACB=90°，∴∠B+∠A=90°，∴∠CED+∠COD=2∠B+2∠A=2(∠B+∠A)=2×90°=180°，∴∠ODE=360°−90°−180°=90°，∵DE经过半径OD的端点D，且DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．(2)∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=2，∴AB=2BC=4，∴AC=√42−22=2√3，∴S△ABC=12×2×2√3=2√3，∵CE=BE=12BC，OC=OA=12AC，∴S△DCE=12S△BCD，S△DCO=12S△ACD，∴S四边形OCED =S△DCE+S△DCO=12S△BCD+12S△ACD=12S△ABC=12×2√3=√3，∵∠COD=2∠BAC=2×30°=60°，OC=12AC=12×2√3=√3，∴S扇形COD =60π×(√3)2360=π2，∴S阴影=S四边形OCED−S扇形COD=√3−π2，∴阴影部分的面积为√3−π2．【解析】(1)先由AC是⊙O的直径证明∠ADC=90°，则∠BDC=90°，由E为BC的中点得DE=12BC=BE=CE，则∠B=∠EDB，可证明∠CED=2∠B，∠COD=2∠A，则∠CED+∠COD=2∠B+2∠A=180°，则∠ODE=360°−90°−180°=90°，即可证明DE是⊙O的切线；(2)题中的条件是∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=2，则AB=2BC=4，可由勾股定理求出AC的长，再求△ABC的面积，可证明S四边形OCED =12S△ABC，求出S四边形OCED，再由圆周角定理求得∠COD=2∠BAC=60°，而OC=12AC，可求出扇形COD的面积，则可求出阴影部分的面积．此题考查圆的切线的判定、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、扇形面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．21.【答案】13【解析】解：(1)∵学校有A、B、C三个大门入口，∴甲同学在A入口处测量体温的概率是13；故答案为：13；(2)根据题意画图如下：由图可知共有9种等情况数，其中甲、乙两位同学在同一入口处测量体温的情况有3种，则P(甲、乙两位同学在同一入口处测量体温)=39=13． (1)直接根据概率公式求解即可；(2)根据题意画出树状图得出所有等情况数和甲、乙两位同学在同一入口处测量体温的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．此题考查的是列表法与树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22.【答案】0<y ≤4【解析】解：(1)∵二次函数y =−x 2+bx +c 的图象过点A(0,3)，B(2,3)． ∴{c =3−4+2b +c =3，解得：{b =2c =3，∴二次函数的表达式为y =−x 2+2x +3； (2)∵y =−x 2+2x +3=−(x −1)2+4， ∴顶点坐标为(1,4)，令y =0，则−x 2+2x +3=0， 解得：x 1=−1，x 2=3，∴二次函数图象与x 轴的交点坐标为(−1,0)和(3,0)； (3)画出函数图象如图：由图象可知，若0<x <3，则y 的取值范围是0<y ≤4， 故答案为：0<y ≤4； (4)∵A(0,3)，B(2,3)，∴AB//x轴，AB=2，设点P的坐标为(m,n)，①当点P在AB下方抛物线上时，点P到AB的距离为3−n，×2×(3−n)=1，∴S△ABP=12解得：n=2，∴−m2+2m+3=2，解得：m=1±√2，∴点P1(1−√2,2)，P2(1+√2,2)；②当点P在AB下方抛物线上时，点P到AB的距离为n−3，∵S△ABP=1，×2×(n−3)=1，∴12解得：n=4，∴−m2+2m+3=4，解得：m=1，∴点P3(1,4)，综上，点P坐标为(1,4)，(1−√2,2)，(1+√2,2)．(1)利用待定系数法求得函数解析式即可；(2)将二次函数解析式转化为顶点式方程，可以直接的顶点坐标，并令y=0，解方程即可求得抛物线与x轴的交点坐标；(3)根据顶点坐标和对称轴方程画出图形即可；根据图象写出y的取值范围即可；(4)设点p(m,n)，分点P在AB下方的抛物线上和点P在AB上方的抛物线上两种情况，根据S△ABP=1，AB=2，得到点P到AB的距离为1，求出n，再代入−m2+2m+3=n，求m即可．本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线与x轴的交点，二次函数的性质等，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．23.【答案】解：(1)如图，⊙O即为所求；BC=6，(2)连接OB，由(1)知：∠EMC=90°，ON⊥BE，BM=12∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABM=90°，∴∠EMB=∠A=∠ABM=90°，∴四边形ABME是矩形，∴EM=AB=8，设半径为R，则OB=OE=R，OM=8−R，在Rt△BOM中，根据勾股定理，得BM2+OM2=OB2，∴(8−R)2+62=R2，解得R=25．4【解析】(1)作BC的垂直平分线交AD于点E，连接BE，作BE的垂直平分线交EM于点O即可；(2)结合(1)根据矩形的性质可以证明四边形ABME是矩形，可得EM=AB=8，设半径为R，则OB=OE=R，OM=8−R，根据勾股定理可得R的长．本题考查了作图−复杂作图，矩形的性质，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．24.【答案】(1)设平行于墙面的矩形的长为x米，则宽为48−x米，由题意可知x≤a，矩2形的面积为S，则S=x⋅48−x2=−12x2+24x=−12(x−24)2+288，∵−12<0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=24，∴当0<x≤24时，S随x的增大而增大，当x≥24时，S随x的增大而减小；①a=30时，x≤a即x≤30；∴当x=24时，S有最大值为288平方米；②a=20时，x≤a即x≤20，∴当x=20时，面积的最大值为280平方米，(2)令S=270得：−12(x−24)2+288=270，解得：x=18或x=30，由x≤a可知，当x=30时，a≥30，由(1)知，此时矩形最大值在x=24时取得，面积最大值为288平方米，故x=30舍去．∴a=18．【解析】(1)①设平行于墙面的矩形的长为x米，则宽为48−x2米，由题意可知x≤a，设矩形的面积为S，根据题意用含x的式子表示出S，将其写成二次函数的顶点式，则可知其对称轴，然后在a=30时求最值；②与①相同的方法，在a=20时计算求得相应的最大值即可．(2)令S=270得关于x的一元二次方程，求得方程的解并结合由(1)的结论可得答案．本题考查了二次函数与一元二次方程在几何图形问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．25.【答案】解：(1)根据题意得：△=36+4m≥0，解得：m≥−9，即m的取值范围为：m≥−9，(2)根据题意得：x1+x2=−6，x1x2=−m，∵x1+x2−2x1x2=0，∴−6−2×(−m)=0，解得：m=3(符合题意)，即m 的值为3．【解析】(1)根据该方程有两个实数根，结合判别式公式，得到关于m 的一元一次不等式，解之即可，(2)根据一元二次方程根与系数的关系，得到x 1+x 2=−6，x 1x 2=−m ，结合x 1+x 2−2x 1x 2=0，得到关于m 的一元一次方程，解之即可．本题考查了根与系数的关系，根的判别式，正确掌握根与系数的关系和根的判别式公式是解题的关键．26.【答案】39 变小【解析】解：(1)由题意得：35+39+37+a +40=36+38+37+39+40， 解得：a =39，故答案为：39；(2)解：乙的体育成绩更好，理由是：∵x −甲=x −乙=15(35+39+37+39+40)=38，S 甲2=15[(35−38)2+(39−38)2+(37−38)2+(39−38)2+(40−38)2]=3.2(分2)，而x 甲−=x 乙−，S 乙2<S 甲2，两人的平均成绩相同，但乙的方差较小，说明乙的成绩更稳定，所以乙的体育成绩更好．(3)因为第六次模拟测试成绩为38分，前5次测试成绩的平均数为38分，所以甲6次模拟测试成绩的方差变小．故答案为：变小．(1)根据乙同学的方差计算过程可以确定五次测试成绩，根据甲、乙两位同学五次模拟测试成绩的总分相同列方程可得a 的值；(2)利用方差作比较可得结论；(3)根据方差的意义可得．本题考查了平均数、方差的知识．解题的关键是牢记方差和平均数定义及计算公式．。