人教版高中数学必修4第一章人教版高中数学必修4第一章《三角函数》教材分析和教学建议
人教版高中数学数学必修四第一章+三角函数+教案1
度第二学期主备人：时间：一、知识目标1、学生写出弧长公式，面积公式，基本关系式，四组诱导公式2、画出三角函数图像，牢记性质，归纳三角函数图像的变换3、求出函数解析式，应用性质解题二、能力目标能从图形观察、分析得出结论，体会数形结合的思想方法一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在上与终边相同的角是( )A ．B ．C ．D ．2．已知,那么( )A ．B ．C ．D ．3．将函数的图像向左平移个单位后 ，所得图像的解析式是( )A ．B ．C ．D ．4．若将函数的图像向右平移个单位，所得函数为偶函数，则的最小正值是 ( )A ．B ．C ．D ．5．已知，且，则的值是（ ）A. B ． C ． D ．6．要想得到函数y ＝sin 3π的图象，只须将y ＝cos x 的图象( ) A ．向右平移3π个单位 B ．向左平移3π个单位C ．向右平移65π个单位D ．向左平移65π个单位 7．设α是第二象限的角，且2α＝－cos 2α，则2α所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．已知y ＝A sin(ωx ＋φ)在同一周期内，x ＝9π时有最大值21，x ＝94π时有 最小值－21，则函数的解析式为( )A ．y ＝2sin 6πB ．y ＝21sin 6πC ．y ＝2sin 6πD ．y ＝21sin 6π9．如图是函数f (x )＝A sin ωx (A >0，ω>0)一个周期的图象，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)的值等于( )A. B.22C ．2＋D ．210.若sin θ＝m ，|m |<1，－180°<θ<－90°，则tan θ等于( ) A.1－m2m B ．－1－m2m C ．±1－m2m D ．－m 1－m211．设函数，则下列结论错误的是( )A ．的一个周期为B ．的图像关于直线对称C ．的一个零点为D ．在上单调递增 12．定义在上的偶函数满足，且在上是减函数，是钝角三角形的两个锐角，则下列结论正确的是( ) A ． B ．C ．D ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.已知扇形的圆心角为72°，半径为20cm ，则扇形的面积为________14．函数的定义域是 ________________.15．已知，则的值为________________.16．关于函数有下列命题：①为偶函数;②要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位;③的图象关于直线对称;④在内的增区间为和．其中正确命题的序号为________________.三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本题满分10分）(1)角α的终边经过点P(sin150°，cos150°)，求tanα.(2)角α的终边在直线y＝－3x上，求sinα、cosα.18．（本小题满分10分）（1）化简：；（2）已知，求的值.19．（本小题满分12分）已知函数在一个周期内的图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调递增区间；（3）当时，求的取值范围.20．（本小题满分12分）已知函数的一系列对应值如下表：（1）根据表格提供的数据画出函数的图像并求出函数解析式；（2）根据(1)的结果，若函数的周期为，当时，方程恰有两个不同的解，求实数的取值范围．21．(本题满分12分)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<2π)的一段图象如图所示．(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )的单调减区间，并指出f (x )的最大值及取到最大值时x 的集合；(3)把f (x )的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？22．(本题满分12分) 是否存在实数λ，使函数f (x )＝－2sin 2x －4λcos x ＋12π的最小值是－23？若存在，求出对应的λ值，若不存在，试说明理由．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
人教版高中数学必修4解读教材,助学三角函数
三角函数教材解读1．1教材解读一、本节重、难点重点：将0到360范围的角推广到任意角，了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算． 难点：弧度的概念，用集合表示终边相同的角．二、任意角1．任意角：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．如右图，角α可以看作一条射线绕着端点O 从起始位置OA 按逆时针方向旋转到终止位置OB 所形成的．点O 为角的顶点，射线OA 是角的始边，射线OB 是角的终边．注：掌握角的概念应注意角的三要素：顶点、始边、终边．角可以是任意大小的．2．角的分类按照角的旋转方向可以将角分成三类．正角：按逆时针方向旋转形成的角叫正角；负角：按顺时针方向旋转形成的角叫负角；零角：一条射线没有作任何旋转形成的角叫零角．注：正确理解正角、负角、零角的概念，由定义可知，关键是抓住终边的旋转方向是逆时针、顺时针还是没有转动．3．象限角（１）在直角坐标系内，角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限的角（或说这个角属于第几象限）．这里强调以“角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上”为前提，否则就不能从终边的位置来判断某角属于第几象限．（２）若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限．4．终边相同的角所有与角α终边相同的角连同角α在内，可以构成一个集合{}|360S k k ββα==+∈Z ，·，即任一与角α终边相同的角都可以表示成角α与整数个周角的和．注：①α是任意角；②k是整数；③终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同；④终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍．各象限角的集合为：第一象限角的集合为{}|36036090x k x k k<<+∈Z，··；第二象限角的集合为{}|36090360180x k x k k+<<+∈Z，··；第三象限角的集合为{}|360180360270x k x k k+<<+∈Z，··；第四象限角的集合为{}|360270360360x k x k k+<<+∈Z，··．注：象限角的集合表示形式并不唯一，如第四象限角的集合还可以表示为{}|36090360x k x k k-<<∈Z，··．三、弧度制1．角度制：规定周角1360的为１度角，记作1，用度作单位来度量角的单位制叫做角度制；2．弧度制：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做１弧度的角；用弧度作单位来度量角的单位制叫做弧度制；在弧度制下，１弧度记作１rad，rad读作弧度．（１）规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，任一已知角α的弧度数的绝对值lrα=，其中l为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为圆的半径．（２）比值lr与所取的圆的半径大小无关，而仅与角的大小有关．3．角度制与弧度制的转化（１）角的概念推广后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系．（２）在表示角的时候，弧度制不能与角度制混用．例如2π30()k kα=+∈Z是不正确的．（３）以弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，但用度（°）为单位表示角时，度（°）就不能省去．4．弧长公式与扇形面积公式弧度制下：l r α=；21122S lr r α==； 角度制下：π180n r l =；2π360n r S =． 两者相比较，弧度制下的弧长公式和扇形面积公式具有更为简单的形式，其记忆与应用更易操作．1．2教材解读任意角的三角函数1．三角函数的定义：如图，设α是一个任意角，点()P x y ，是角α的终边与单位圆的交点，那么：y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y α=；x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x α=；y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan (0)y x xα=≠． 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数．推广：设点()P x y ，是角α终边上的任意一点，它到坐标原点的距离OP r =，于是 sin P P y r α==点的纵坐标点到原点的距离； P P x r α==点的横坐标点到原点的距离cos ； tan (0)P P y x xα==≠点的纵坐标点的横坐标． 注：1.一个角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，即角α与2π()k k βα=+∈Z 的三角函数值相等；②由于x r ≤，y r ≤，故由sin cos y x r rαα==，，得sin 1α≤，cos 1α≤，这是三角函数中最基本的一组不等关系式．即三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点()P x y ，在终边上的位置无关，而仅由角α的终边位置所决定．对于确定的角α，其终边的位置也唯一确定了．因此，三角函数值的大小仅与角有关，它是角的函数．2．函数的定义域是函数概念的三要素之一，因此，对于三角函数的定义域要给予足够的重视．确定三角函数定义域时，主要应抓住分母等于零时比值无意义这一关键．结合三角函数的定义，可以得到三角函数的定义域．3．三角函数值的符号与角所在的象限有关，它可根据三角函数的定义和各象限内的点的坐标符号推出．4．正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数的几何表示，这三种线段都是与单位圆有关的有向线段，这些特定的有向线段的数值可以用来表示三角函数值，称它们为三角函数线．三角函数线的主要作用是解三角不等式，求三角函数的定义域及比较三角函数值的大小，同时它也是学习三角函数的图象与性质的基础，是利用数形结合思想解决问题的重要工具．5．同角三角函数的基本关系根据三角函数的定义，可以推导出同角三角函数的一些基本关系式：22sin cos 1αα+=；sin tan cos ααα=（当ππ2k α≠+，k ∈Z 时）． 注：在应用同角三角函数的基本关系式解题时，要注意基本关系式的灵活变形．例如，22sin 1cos x x =-，22cos 1sin x x =-，221sin cos x x =+等．1．3教材解读三角函数的诱导公式1．诱导公式可从两大方面掌握：（１）2π()k k α+∈Z ，α-，π+α，π-α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，可简记为：“函数名不变，符号看象限”；（2）π2α-，π2α+的三角函数值等于α的余函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，可简记为：“奇变偶不变，符号看象限”，其中“奇、偶”是指π2k α±()k ∈Z 中k 的奇偶性；“符号”是指把任意角α看作锐角时，原函数值的符号．在这里要注意“符号看象限”是把α看成锐角时原函数中角的象限及相应函数在该象限内的符号，如sin(180200)sin 200-=，而不是sin 200-．2．诱导公式中把α看作锐角，则α-为第四象限的角，πα-为第二象限的角；π+α为第三象限的角；2π+α为第一象限的角，这些是不变名诱导公式，即等式两端左、右名称相同．π+2α为第二象限的角；π2α-为第一象限的角，这四组是变名的诱导公式，即右端为左端的余函数．3．诱导公式一的作用在于可以把任意角的三角函数化为0~2π间的三角函数（方法是先在0~2π间找出与它终边相同的角，再把它写成公式一的形式，然后得出结果）．由此公式可以看到，在三角函数中，角和三角函数值的对应关系是多值对应关系，如果给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的（不存在者除外）；反过来，如果给定一个三角函数值，却有无数多个角与之相对应．4．利用诱导公式可以将任意角的三角函数，转化到一个较小的特定范围内来研究，其解题思路是化负角为正角，化复杂角为简单角，化非锐角为锐角．。
人教A版数学必修四第一章《三角函数》单元课程教学设计
高中数学人教A版必修4第一章《三角函数》单元教学设计［教材地位分析］三角函数是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。
三角函数是学生在高中阶段学习的最后一个基本初等函数。
三角函数是高中数学课程的传统内容，本模块的内容属于“传统内容”。
“三角函数”一章，突出了三角函数作为描述周期变化的数学模型这一本质。
通过发现生活中的周期现象，使学生感受引入三角函数的必要性，从而引出三角函数。
在研究三角函数的基本性质过程中，除了研究函数问题的常规方法外，教材也体现了研究周期性问题的方法，突出了数形结合的数学思想，最终目标是用三角函数的知识解决一大类生活中的问题，来服务生活。
［本单元教学内容］［教学内容分析］本单元教学课堂主线：1、坐标系、单位圆几乎贯穿每节课2、数学思想：数形结合思想3、计算能力：代数变形与三角变换教学要素分析：1、任意角讲课时需说明，锐角、直角、钝角已不能解决问题，需要对角的概念推广，角的概念的推广是解决现实生活和生产中实际问题的需要，且这种推广是符合逻辑推理的。
如何刻画圆周上一点周而复始的的运动？从生活中事例出发，如：体操中有“转体2周”，手表慢了5分钟，手表快了5分钟等，然后把课堂交给学生，学习小组讨论之后，小组代表发言，①用什么方法研究任意角？如何写出终边相同的角的集合，并介绍自己是如何思考的，为什么这样写？②如何判断两个角终边相同？弄清楚这两个问题，本节课目标完成。
建议充分利用教材中所提供的问题情境，如教材上所附的“思考”、“探究”中的问题等等都能够使学生参与到教学中来，建构他们的数学知识。
2、引入弧度制，建立角的集合与实数集之间的对应关系，为以后研究角的问题提供方便。
讲弧度制时，角度与弧度如何对应起来，就是说实数与度数如何来对应，先提出问题，让学生分小组合作探究，各小组说出想法，最后统一。
这样的课堂比较轻松，学生会主动学习知识，接受知识。
事实上，圆的周长是实数统计的，度量圆心角大小时用到度数，如何来对应？在讲课时，要讲清角度制与弧度制是辨证统一的，不是孤立的、割裂的，讲清之间的换算关系是课堂的关键。
《同角三角函数的基本关系式》 说课稿
《同角三角函数的基本关系式》说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是《同角三角函数的基本关系式》。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程以及教学反思这几个方面来展开我的说课。
一、教材分析本节课选自人教版高中数学必修 4 第一章第三节，同角三角函数的基本关系式是三角函数中的重要内容，它是三角函数恒等变形的基础，也是解决三角函数问题的重要工具。
通过本节课的学习，学生将进一步理解三角函数的定义，掌握三角函数之间的内在联系，为后续学习三角函数的化简、求值以及证明等内容奠定基础。
二、学情分析在学习本节课之前，学生已经掌握了任意角的三角函数的定义，具备了一定的函数知识和代数运算能力。
但对于三角函数之间的关系，学生还缺乏系统的认识和理解。
此外，由于三角函数的概念较为抽象，学生在学习过程中可能会遇到一些困难，需要教师通过引导和启发，帮助学生逐步掌握。
三、教学目标1、知识与技能目标（1）理解同角三角函数的基本关系式：平方关系和商数关系。
（2）能够运用基本关系式进行三角函数的化简、求值和证明。
2、过程与方法目标（1）通过对关系式的推导和证明，培养学生的逻辑推理能力和数学思维能力。
（2）通过例题和练习，让学生体会从特殊到一般、从具体到抽象的数学研究方法。
3、情感态度与价值观目标（1）激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。
（2）通过合作学习，培养学生的团队合作意识和交流能力。
四、教学重难点1、教学重点同角三角函数的基本关系式及其应用。
2、教学难点（1）关系式的推导和证明。
（2）灵活运用关系式解决三角函数的化简、求值和证明问题。
五、教法与学法1、教法（1）讲授法：讲解同角三角函数的基本关系式及其推导过程，使学生掌握基本概念和方法。
（2）启发式教学法：通过设置问题，引导学生思考和探索，培养学生的思维能力。
（3）练习法：通过例题和练习，让学生巩固所学知识，提高应用能力。
必修4第一章三角函数教材分析解读
必修4 第一章 三角函数教材分析一、大纲要求但课标不要求1.大纲中的三角函数包括六种三角函数，原教材中专门给出了余切、正割、余割函数的定义，还给出了与它们有关的同角关系式tan cot 1αα=，并要求掌握如何去求cot α；而课标中三角函数只有三种三角函数，新教材中不仅删去了原教材中的余切、正割、余割函数的定义与之有关的公式和计算.例1（1）已知4sin 5α=，并且α是第二象限角，求cos ,tan ,cot ααα的值.（2）求证：2221tan 1tan ()1cot 1cot AA AA +-=-+. [说明]凡是与余切、正割、余割有关的公式与计算，课标均不作要求.2.大纲对化简三角函数和证明三角恒等式及给值求值、解三角不等式等三角运算的技能要求都较高，而课标只要求学生获得必要的数学基础知识和基本技能，对三角运算的解题技巧和难度上要求都较低.例2根据正弦、余弦函数的图象，写出使下列不等式成立的x 的取值集合：（1）sin ()2x x R ≥∈，（20()x x R +≥∈. 例3求下列函数的定义域： （1）11sin y x=+，（2）11cos y x=-，（3）y =（4）y =例4已知函数sin(),y A x x R ωϕ=+∈（其中0,0)A ω>>的图象在y 轴右侧的第一个最高点（函数最大值的点）为M 与x 轴在原点右侧的第一个交点为(6,0)N ，求这个函数的解析式.例5 已知函数22sin 2sin cos 3cos ,,y x x x x x R =++∈问： （1）求函数的最小正周期；（2）函数在什么区间上是增函数？ （3）函数图象可以由函数2,y x x R =∈的图象经过怎样的变换得出？3.大纲中明确要求学生掌握已知三角函数值求角这种解最简单的三角方程的技能，并要求学生理解相关的反三角函数的知识，课标对这些内容不要求.例6求适合下列关系式的x 的集合.如果x 不是特殊角，那么用反正弦、反余弦、反正切的符合把所求集合表示出来.（1）cos [0,2]2x x π=-∈；（2）tan [0,2]x x π=∈ [说明]这类已知三角函数值求角与反三角函数内容，课标均不作要求. 二、课标要求但大纲不要求1．课标强调让学生参与数学知识的发生、发展过程，而大纲在这方面基本不做要求. 例1 如教材13页探究 例2 教材46页11题2.课标强调数形结合思想的应用和现代数学工具（计算器）的应用，大纲这方面不作要求.3.课标强调了数学知识的应用，要求学生掌握用数学知识去分析、解决生活中的实际问题的方法，对一些较复杂的实际问题也不回避，为此还专门新增了“三角函数模型的简单应用”一节；而大纲对此要求较低，原教材对较复杂的实际问题的数学建模解法则干脆不作要求.三、典型例题例1已知角α的终边在直线34y x =-上，则2sin cos αα+的值是 .例2已知函数3sin 2y x =的图象为C ，为了得到函数23sin(2)5y x π=+的图象，只要把C上的所有点 .例3α为第二象限角. 学生对于化简到什么形式往往不清楚.一般，要实现函数名称尽量少，角尽可能少，运算尽可能简单（如次数尽量低、分母尽可能不含三角式、尽量不带根号等），即算到用目前所掌握知识不能再算为止.例4 已知tan 2α=，求sin cos sin cos αααα+-的值.引申：（1）求2222sin 2cos 2sin 3cos αααα+-的值.（2）22cos sin αα-的值. （3）sin cos αα⋅的值.此题关键是将未知用已知表达，因此选择关系式sin tan cos ααα=，问题便可迎刃而解.上述解法体现了“切化弦”的划归思想，即在三角运算中注意用四个划归方向（减少不同的角；减少项；减少不同名的函数；减少不同的次数；）来指引解题方向.例5已知1sin()2πα+=-，计算：（1）cos(2)πα-；（2）3sin()2απ-；（3）tan()2πα-.[说明]本题解法体现了分类讨论的思想. 例6求函数1sin()23y x π=+，[2,2]x ππ∈-的单调增区间.变形：1sin()23y x π=-+[2,2]x ππ∈-的单调增区间.例7 画出函数12sin()36y x π=-在一个周期内的简图.必修4 第三章 三角恒等变换1. 11个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其它公式的基础，由它出发，用-β代替β、2π±β代替β、α=β等换元法可以推导出其它公式.2．化简，要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的求出值来.3．求值，要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响，较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围.4．证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变同于左边，或都将左右进行变换使其左右相等.5. 三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换，即（1）找差异：角、名、形的差别；（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来；（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后运用或逆用公式，如升、降幂公式， cos α= cos βcos （α-β）- sin βsin （α-β），1= sin 2α+cos 2α，0030tan 130tan 1-+=000030tan 45tan 130tan 45tan -+=tan （450+300）等. 6.典型例题例1cos x x +.[说明]推广到sin cos )A x B x x ϕ+=+，其中tan B Aϕ=.例2 ( 2006年重庆卷)已知βα,⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππ,43，sin(βα+)=－,53 sin ,13124=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πβ则cos ⎪⎭⎫⎝⎛+4πα= ____. [说明]角的组合是解决本题的关键. 例3（2006年福建卷）已知函数22()sin cos 2cos ,.f x x x x x x R =+∈（I ）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；（II ）函数()f x 的图象可以由函数sin 2()y x x R =∈的图象经过怎样的变换得到？ [说明]降幂公式与辅助角公式的综合应用.例4求函数sin(10)cos(40)y x x =+++的值域及函数值最小时相应的x 值. 例5 求函数sin cos sin cos y x x x x =++的最值.例6（07湖北文16）已知函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，． （I ）求()f x 的最大值和最小值；（II ）若不等式()2f x m -<在ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，求实数m 的取值范围．。
最新人教版数学必修4第一章1.2.1 任意角的三角函数(第二课时)解学设计
课题：任意角的三角函数（第二课时）一、教材分析●教学内容《任意角的三角函数》是普通高中课程标准实验教科书（必修4）第一章《三角函数》第二节的内容，课程标准安排本节内容授课时间为三课时，本节课作为第二课时.三角函数是中学数学的重要内容之一，而三角函数线的概念及其应用不仅体现了数形结合的数学思想，又贯穿整个三角函数的教学.借助三角函数线可以推出三角函数的相关公式，求解三角函数不等式，探索三角函数的图象和性质，可以说，三角函数线是研究三角函数的有利工具.●地位与作用本小节给出了任意角的三角函数的代数定义和几何定义，这里用一个课时学习其几何定义-----三角函数线.三角函数线是三角函数定义的又一种表现形式，把三角函数的代数定义和几何定义有机地结合起来，又为继续学习三角函数的各种性质，如定义域、值域、单调性、最值等提供了另一种工具，具有承上启下的作用.由于本节内容是概念性的基础内容，所以其重要性不言而喻.二、学情分析就学生而言，已经学习了三角函数的定义，三角函数在各象限的符号、诱导公式一和单位圆的相关知识，对有向线段的相关知识也有所认知，已经具备了对三角函数线探究的能力.三、目标分析依据课程标准的要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标：●知识目标①理解三角函数线的定义, 理解“有向线段”的定义；②掌握如何利用单位圆中的有向线段分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值；③能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.●能力目标借助多媒体演示让学生经历概念的形成过程，提高学生观察、发现、类比、猜想和探索的能力；并逐步形成自觉运用几何方法解决代数问题的能力，提高学生抽象概括、形象表述等数学核心素养.●情感、态度与价值观激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长.通过数形结合思想的应用，体会到由数转化为形所带来的美感.四、教学重点、难点●重点：三角函数线的作法及其简单应用.●难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数分别用它们的几何形式表示出来.五、教学方法与教学手段1．教法选择：“设置问题，探索辨析，归纳应用，延伸拓展”—问题串导引教学.2．学法指导：类比、联想，产生知识迁移；观察、实验，体验知识的形成过程；猜想、求证，达到知识的延展.3．教学手段：引导学生学会用三角函数的几何定义解决三角代数问题的方法，学会运用数形结合思想解决三角问题.六、教学过程教学环节教学内容学生活动设计意图复习引入复习引入：1.三角函数的定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么:（1)y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα=y；（2)x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα=x；（3)叫做α的正切，记作tanα，即学生回答巩固上节课的学习成果；为本节课的学习做好铺垫.tanα=（x≠0）2.三角函数在各象限的符号：yx oαsin yxoαcosyxoαtan+--+--++-+-+设置疑问点明主题以前我们学习指数函数和对数函数时，都是先学习函数的定义，然后画出图象，利用图象来研究函数的性质.三角函数是特殊的函数，当然也是一样的探讨顺序，当我们了解了三角函数的定义后，如何才能精确地画出三角函数的图象呢？那就必须知道三角函数定义的几何表示----三角函数线.学生思考用问题情境引出课题，可以增强学生的好奇心,激发学生的求知欲.思考1：若角α为第一象限角，能否借助单位圆用几何图形表示角α的正弦值？学生回实验探索辨析研讨利用定义y=αsin.取角α的终边与单位圆的交点为P,过点P作x轴的垂线，设垂足为M，则sin y MPα==.思考2：若角α为第二、三、四象限角，能否借助单位圆用几何图形表示角α的正弦值？(动画演示)由图可知sin y MPα==±，那么能否几何图形表示，这条线段既能表示角α的正弦值的数值，又能体现其在各象限的符号？于是,有向线段MP叫做角α的正弦线.即αsin=MP.角α的终边与x轴重合时，正弦线答动画演示学生观察概念引入，指导学生学会用三角函数的几何定义解决三角函数的代数问题的方法，引导学生建立有向线段（的数量）与三角函数值之间的对应.实验探索辨析研讨变成一个点，此时正弦值为0.思考3:哪条有向线段能表示角α的余弦值？cos x OMα==.有向线段OM叫做角α的余弦线.角α的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，此时余弦值为0 ．思考4：若角α为第一象限角，用哪条有向线段表示角α的正切值？ATxy==αtan.学生思考学生回答学生回答通过类比正弦线、快速的寻找出余弦函数值的几何形式--余弦线.实验探索辨析研讨思考5：若角α为第四象限角，此时用哪条有向线段表示角α的正切值？ATxy==αtan.有向线段AT叫做角α的正切线.思考6：当角α的终边在坐标轴上，正切线又如何？当角α的终边与x轴重合时，正切线变成一个点，tanα=0；当角α的终边与y轴重合时，正切线不存在，tanα不存在.教师引导学生回答学生回答七、教学反思关于三角函数线的教学，曾有过两个设想：一是先交待三种三角函数线，再讲应用；另一个设想是，先指出正弦线、余弦线及它们的应用，然后再引入正切线及三线综合运用.本教案选择了前者，原因是利于学生类比思维的培养．我希望把三角函数线的发现过程展现给学生，让学生去猜、去找三角函数的几何形式，而不是教师包办代替．数形结合思想是中学数学中的重要数学思想，在教学中应不失时机地加以渗透．数形结合思想表现在由数到形和由形到数两方面.将任意角的正弦、余弦、正切值分别用有向线段表示出来体现了由数到形的转化；借助三角函数线求解三角函数方程和不等式又发挥了由形到数的巨大作用.通过三角函数线的学习，使学生了解数形结合的“形”不单有函数图象，还有其他的表现形式．可以说有了三角函数线，有关三角函数的问题都能解决，至于在解决有关三角函数的问题时用函数图象还是用三角函数线，则要具体情况具体分析，如证明等式sin2α+cos2α=1，研究同一个角的正余弦值的大小关系，都以三角函数线为好,而函数的周期性等，用图像更为直观.本节课还是有许多的不足之处，比如：没能大胆放开手让学生进行自主活动，学生的探究活动还是过少，如果三角函数线的寻找过程能让学生分组讨论得到，本节课将会更加充实.。
数学必修4 第一章三角函数教材分析
为今后学习打好基础应让学生熟练掌握。
（2） 分层落实不搞一步到位 三角函数中关于求值、化简、证明的问题， 是重要知识点，也是高考重点，是对同角三角 函数关系，诱导公式，三角恒等变形后逐步深 化的。 要使学生体会解决这类问题的一般方法， 提高对数学知识内部联系的认识。
第三章教材分析
一、教学目标
三角恒等变换的教学目标
数学必修4
第一章三角函数 第三章三角恒等变换
教材分析
一、教学目标
三角函数的教学目标
（1）三角函数的教学目标是： 应使学生理解三角函数的定义以及图 象和性质；通过三角函数在简单实际问题 中的应用，使学生体会三角函数是描述周 期变化现象的重要函数模型，感受它在解 决具有周期变化规律的问题中的重要作用. （2）强调三角函数描述周期现象的数学 模型的作用．
人教A版
函数作为描述客观世界变化 规律的数学模型
强 调：
用函数的观点认识“三角函数”， 用函数的思维理解“三角函 数”． 《课程标准》对“三角函数”的定位 是“三角函数是基本初等函数，它是描 述周期现象的重要数学模型，在数学和 其它领域中具有重要的作用”，我们也可 以看到：教科书在编写“三角函数”是自 始至终贯彻《课程标准》这一理念.
（1）目标：运用向量的方法推导基本的三 角恒等变换公式，由此出发导出其他的三 角恒等变换公式，并能运用这些公式进行 简单的恒等变换．
（2）变化：要求运用向量的方法推导基本 的三角恒等变换公式，不在三角变换的技 巧上提过高要求．
把三角恒等变换 从三角函数中独立出 来，其目的也是为了 在三角函数一章中突 出“函数作为描述客 观世界变化规律的数 学模型”这条主线.
代数法： 依据 ① 周期函数的定义
从等式 f x T f x 来看， 应强调是自变量x本身加的常量才是
最新人教A版数学必修4第一章三角函数教材分析
必修4“第一章三角函数”教材分析函数是刻画客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律应当用不同的函数来刻画。
三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要作用，它是学生在高中阶段学习的又一类重要的基本初等函数。
本章中，学生将在数学1中学习函数概念与基本初等函数I的基础上，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用．通过本章的学习，学生将进一步加深对函数概念的理解，提高用函数概念解决问题的能力。
一、内容与课程学习目标本章的学习内容是三角函数及其基本性质。
通过本章学习，要引导学生：1．了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化；2．借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；3．借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（的正弦、余弦、正切），能画出y=sin x，y=cos x，y=tan x的图象，了解三角函数的周期性；4．借助图象理解正弦函数、余弦函数在，正切函数在上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等）；5．理解同角三角函数的基本关系式：sin2x+cos2x=1，；6．结合具体实例，了解的实际意义；能借助计算器或计算机画出的图象，观察参数A，ω，φ对函数图象变化的影响；7．会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。
二、内容安排本章共安排了6个小节以及两个选学内容，教学时间约需16课时，大体分配如下（仅供参考）：1。
1任意角和弧度制…………………………………………………约2课时1。
2任意角的三角函数………………………………………………约3课时1。
3三角函数的诱导公式……………………………………………约2课时1。
4三角函数的图象与性质…………………………………………约4课时1。
5函数y=Asin(φ)的图象………………………………约2课时1。
6三角函数模型的简单应用……………………………………约2课时小结……………………………………………………………………约1课时本章知识结构如下：1．本章学习的认知基础主要是几何中圆的性质、相似形的有关知识，在数学1中建立的函数概念，以及指数函数、对数函数的研究经验；主要的学习内容是三角函数的概念，图象与性质，以及三角函数模型的简单应用；单位圆是研究三角函数的重要工具，借助它的直观，可以使学生更好地理解三角函数的概念和性质，因此三角函数的学习可以帮助学生更好地体会数形结合思想；三角函数作为描述周期现象的重要数学模型，与其他学科（特别是物理、地理）有紧密联系，因此本章的学习可以培养学生的数学应用能力。
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.人教版高中数学必修 4 第一章《三角函数》教材分析和教学建议函数是刻画客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律应当用不同的函数来刻画 .三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要作用，它是学生在高中阶段学习的又一类重要的基本初等函数 本章中，学生将在数学 1 中 学习函数概念与基本初等函数 I 的基础上，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解 决具有周期变化规律的问题中的作用．通过本章的学习，学生将进一步加深对函数概念的理 解，提高用函数概念解决问题的能力. 一、课程标准内容1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化.2. 借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.3. 借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式( π ±α,2π±α的正弦、余弦、正切 )，能画出 y =sin x , y =cos x , y =tan x的图象，了解三角函数的周期性 .4. 借助图象理解正弦函数、余弦函数在 [0，2π]，正切函数在（- π ， π ）上的性质（如单调性、最大和最小值、图22象与 x 轴交点等）.5. 理解同角三角函数的基本关系式： sin 2x +cos 2x =1 ，sin x= tan x . cos x6. 结合具体实例，了解 y =Asin （ωx +ϕ）的实际意义；能借助计算器或计算机画出 y =Asin （ωx + ϕ）的图象，观察A ，ω，ϕ对函数图象变化的影响 ..7. 会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型 .二、知识框图三、教学要求基本要 求发展要 求说明① 认识角扩充的必要性，了解任意角的概念； ② 能用集合和数学符号表示终边相同的角； ③ 能用集合和数学符号表示象限角； ④ 了解弧度制，能进行弧度与角度的换算. ⑤ 认识弧长公式，能进行简单应用.能用集合和数学符号表示终边满足一定条件的角.对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深1．1 任意角、弧度③借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在(-π基本要求1．2任意角的三角函数①理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；②能判断各象限角的正、余弦，正切函数的符号；③理解终边相同的角的同一三角函数的值相等；④认识单位圆中，任意角的正弦线、余弦线和正切线；⑤理解同角三角函数的两个基本关系；sin2x+cos2x=1，sin xcos x=tan x能进行简单应用.发展要求说明利用单位圆中的三角函数线解决简单的三角问题.用同角三角函数基本关系证明三角恒等式和求值计算，教学中不必作太多的拓展、补充.1．3三角函数的诱导公式基本①能借助单位圆中的三角函数线推导诱导公式π2±α，π±α的正弦、②余弦、要求发展要求说明基本正切，能进行简单地应用.掌握用单位圆中三角函数线研究三角问题的方法已知三角函数值求角问题，达到课本要求即可，不必拓展.1．4三角函数的图象与性质①能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象；②了解三角函数的周期性；要求π,)上的性22质（单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等）.发展要求①掌握一种用计算机软件绘制函数图象的方法；②知道“五点法”画正、余弦函数；③了解y=cosx图象与y=sinx图象之间的联系.说明教学中根据学生基础选择画函数图象的方法..基本要求发展要求1．5 函数 y=Asin(ωx+ϕ)的图象①了解 y=Asin(ωx+ϕ)的实际意义，能借助计算器或计算机画出它的图象，观察参数 A ，ω，ϕ对函数图象变化的影响； ②会用“五点法”画函函数 y=Asin(ωx+ϕ)的图象.① 掌握参数 A ，ω，ϕ对函数图象变化的影响的规律② 掌握运用平移变换和伸缩变换把 y=sinx 的图象变换为 y=Asin(ωx+ϕ)的图象的方法.③掌握函数 y=Acos(ωx+ϕ)的图象与函数 y=Asin(ωx+ϕ)的图象的联系.说明教学中提倡用计算机辅助研究函数 y=Asin(ωx+ϕ)图象1．6 三角函数模型的简单应用①会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化基本要求发展要求说明现象的重要函数模型. ②初步学会由图象求出解析式的方法；③体验实际问题抽象为数学问题的过程.④体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.能运用三角函数知识分析和处理实际问题.教学中应突出三角函数的工具性，重点在引导学生建立三角函数模型四、教学建议1．课时分配：(共 16 个课时)1.1.11.1.2 1.2.1 1.2.21.31.4.11.4.2 1.4.3 1．51.6任意角弧度制任意角的三角函数同角三角三数的基本关系 三角函数的诱导公式正弦函数、余弦函数的图象 正弦函数、余弦函数的性质 正切函数的性质与图象 函数 y=Asin(ωx+ϕ)的图象 三角函数的简单应用复习与小结约 1 课时约 1 课时 约 2 课时 约 1 课时 约 2 课时 约 1 课时 约 2 课时 约 1 课时 约 2 课时 约 2 课时1. ... 2．重点难点1.1 任意角和弧度制重点：将 0︒至 360︒范围的角推广到任意角，了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算 难点：弧度的概念，用集合来表示终边相同的角和象限角.1.2 任意角的三角函数重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义，同角三角函数的基本关系 难点：用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数；利用与单位圆有关的有向线段，表示任意角 α 的正弦、余弦、正切的函数值.1.3 三角函数的诱导公式重点：诱导公式的探究，运用诱导公式进行简单三角函数式的求值、化简与恒等式的证明.难点：（π±α）的诱导公式的推导.21.4 三角函数的图象与性质重点：正弦、余弦、正切函数的图象及其主要性质（包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域）.难点：正弦函数和余弦函数图象间关系、图象间的变换.1.5 函数 y=Asin(ωx+ϕ)的图象重点:用平移变换和伸缩变换画函数 y=Asin(ωx+ϕ)的图象变换过程.难点:图象变换与函数解析式变换的内在联系的认识.1.6 三角函数模型的简单应用重点: 用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题 难点: 将某些实际问题抽象为三角函数模型.3.分析说明任意角和弧度制,教学中要注意在学生已有生活经验的基础上，通过较丰富的实例展示角扩充的必要性.在直角坐标系中，引入象限角概念，为用代数方法研究角提供了基础. 要认识象限角的分类，通过比较、发现，导出同终边角的集合表示.要揭示引入实数度量角的必要性，弧长公式和扇形面积计算公式只需要会做简单应用 本节内容涉及概念较多，在教学方法上建议：先由学生自学，而后教师设置一些问题供学生思考，在此基础上，可以通过讲授再现概念，通过练习理解概念，完成教学.任意角的三角函数的教学，可通过计算机辅助，突出三对比值与终边上点的位置无关，.. ..与角的终边有关.在此基础上，得出三种函数.教学中可运用三角函数定义，导出单位圆中它们的几何表示，既促进对三角函数定义的理解，又给出三角函数的几何意义 但作为初次接 触，学生能达到能辩认出任意角的正弦线、余弦线和正切线即可 .教学中只运用三角函数定义导出两个同角三角函数基本关系即可.三角函数的诱导公式的教学中可先创设情境，引入发现结论的条件，促成学生发现诱导公式. 为能使创设的情境与学生原有基础的距离缩小，需要复习一些已知知识，如终边相同的角的同一三角函数的值相等；单位圆与三角函数线等. 在此基础上，提出 P26 探究问题，给学生思考时间，而后，由学生发现，终边与角α的终边关于原点、x 轴、y 轴和直线 y=x对称的各类角的各种表示方法，借助单位圆，通过图形观察，由学生发现公式二至四，然后引导学生，概括四组公式，认识它们的作用 而后安排的例题与练习，要围绕熟悉公式，理解化归与转化思想来进行, 并知道任意角的三角函数一定可以等价于转化为 0 至π内的角2的三角函数. 公式五、六的教学可同上安排. 在本节小结中，要突出两点，一是突出几何图形对发现结论的影响，即我们是如何从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中发现结论的 二是在诱导公式的运用中隐含着化归与转化的思想.三角函数的图象与性质的教学建议在通过给出一定的实例，展现正弦函数图象，使学生对这类函数图象有一个直观的了解 .利用单位圆中的正弦线画出 y=sinx 在一个周期内的图象，再经平移得出 y=sinx （x ∈R ）的图象，然后利用诱导公式经过平移变换得出 y=cosx的图象.引导学生观察图象上的关键点，引入“五点法”画简图的方法.学习正、余弦函数性质要注意借助图象的支持.函数周期性是首次引入，需要展示三角函数具有 f( x + T ) = f ( x )的特征，由此引入定义，使学生理解周期性是三角函数的重要性质 .对于正切函数，教材是先讲性质，再画图象，为此在图象产生后，可以反来利用图象观察性质 函数 y=Asin(ωx+ϕ)的图象的教学，可以借助计算机来模拟 A,ω,ϕ的变化对函数 y=Asin(ωx+ϕ)图象的影响，关键是建立 y=sinx 与 y=Asin(ωx+ϕ)图象的联系.利用前面研究结果，通过变换由 y=sinx 的图象得出 y=Asin(ωx+ϕ)图象. 其基本要求是掌握由 ϕ→ω→A 的变换，也可以引入其它顺序的变换，从本质上掌握这类变换.通过图象引导学生认识 y=Asin(ωx+ϕ)图象的五个关键点，由此得出 “ 五点法 ” 画 y=Asin(ωx+ϕ) 图象的方法 . 教学中可在A,ω,ϕ 对函数y=Asin(ωx+ϕ)图象影响的基础上，介绍它们的物理意义.三角函数模型的简单应用是通过 4 个例题，展现三角函数的简单应用，突出三角函数作为描述现实世界中周期变化现象的一种数学模型，其在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.同时，也体现化归转化、方程与函数、数形结合等思想方法在研究解决问题中的作用.五．注意问题（1）准确把握教学要求.（2）加强相关知识的联系，强调数学思想方法.（3）恰当使用信息技术.。