全等三角形三种证明方法经典例题

全等三角形经典例题典型例题：知识点一：全等三角形判定1 例1：如图，在△AFD 和△EBC 中，点A ，E ，F ，C 在同一直线上，有下面四个论断：（1）AD ＝CB ；（2）AE ＝CF ；（3）DF ＝BE ；（4）AD ∥BC 。

请将其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，编一道证明题，并写出证明过程。

思路分析：1）题意分析：本题一方面考查证明题的条件和结论的关系，另一方面考查全等三角形判定1中的三边对应关系。

2）解题思路：根据全等三角形判定1：三边对应相等的两个三角形全等。

首先确定命题的条件为三边对应相等，而四个论断中有且只有三个条件与边有关，因此应把论断中的（1）（2）（3）作为条件，来证明论断（4）。

在证明全等之前，要先证明三边分别对应相等。

解答过程：已知：如图，在△AFD 和△EBC 中，点A ，E ，F ，C 在同一直线上，AD ＝CB ，AE ＝CF ，DF ＝BE 。

求证：AD ∥BC 。

证明：∵AE ＝CF ∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ∴AF ＝CE在△AFD 和△CEB 中，∵∴△AFD ≌△EBC （SSS ） ∴∠A ＝∠C ∴AD ∥BC解题后的思考：在运用全等三角形判定1判断三角形全等时，一定要找准三边的对应关系，然后给出证明。

小结：本例题一方面考查了命题的书写与证明，另一方面通过本题的严格证明锻炼学生的逻辑思维能力，进一步规范了三角形全等证明题的书写。

知识点二：全等三角形判定2例2：已知：如图，是和的平分线，。

求证：（1）△OAB ≌△OCD ；（2）。

AD CB AF CE DF BE =⎧⎪=⎨⎪=⎩　OP AOC ∠BOD ∠OA OC OB OD ==，AB CD =思路分析：1）题意分析：本题主要考查全等三角形判定2中的对应关系。

2）解题思路：根据全等三角形判定2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

在证明三角形全等之前，要先证明两边及夹角分别对应相等。

解答过程：证明：（1）∵OP 是和的平分线， ∴∠AOP ＝∠COP ，∠BOP ＝∠DOP ∴∠AOP －∠BOP ＝∠COP －∠DOP ∴∠AOB ＝∠COD在△OAB 和△OCD 中，∵ ∴△OAB ≌△OCD （SAS ）（2）由（1）知△OAB ≌△OCD ∴AB ＝CD解题后的思考：在判断三角形全等时，一定要根据全等三角形判定2，找准对应边和对应角。

例3：已知：如图，AB ∥CD ，AB ＝CD ，求证：AD ∥BC ，AD ＝BC思路分析：1）题意分析：本题主要考查全等三角形判定2的应用。

2）解题思路：根据全等三角形判定2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

在证明三角形全等之前，要先将用于证明三角形全等的条件准备好。

即如何由已知条件证明出两边和一角相等，以及如何用上AB ∥CD 这个条件。

解答过程： 连接BD ∵ AB ∥CD ∴∠1＝∠2在△ADB 和△CBD 中，∵AOC ∠BOD ∠OA OC AOB COD OB OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AB CD ABD CDB BD DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADB≌△CBD（SAS）∴AD＝BC，∠ADB＝∠CBD∴AD∥BC综上：AD∥BC，AD＝BC解题后的思考：本题中证明三角形全等用到了公共边，这是解决问题的关键所在；在解决这类问题时要善于从题目中发现这些重要的隐含条件。

例4：（1）在图1中，△ABC和△DEF满足AB＝DE，AC＝DF，∠A＝∠D，这两个三角形全等吗？（2）在图2中，△ABC和△ABD满足AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，这两个三角形全等吗？思路分析：1）题意分析：本题主要考查应用全等三角形判定2判定三角形全等的方法和需注意的问题。

2）解题思路：在图1中，△ABC和△DEF满足AB＝DE，AC＝DF，∠A＝∠D，即两个三角形满足SAS的条件，所以这两个三角形全等。

（2）在图2中，△ABC和△ABD满足AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，这两个三角形虽然也有两边和一角相等，但两个三角形的形状、大小完全不相同，所以这两个三角形不全等。

解答过程：（1）全等；（2）不全等。

解题后的思考：有两边和一角相等的两个三角形不一定全等，要根据所给的边与角的位置进行判断：（1）当两个三角形满足两边及夹角对应相等即“SAS”时，这两个三角形全等；（2）当两个三角形满足两边及其中一边的对角对应相等即“SSA”时，这两个三角形不一定全等。

在证明题中尤其要注意这一点。

小结：本题组主要考查了对全等三角形判定2的掌握情况，即两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

另一方面，也提醒我们要注意两边和一角相等的另外一种情形，即“两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形一定不全等。

”另外，在证明两个三角形全等时，要注意挖掘题目中的隐含条件如公共边或公共角等。

知识点三：全等三角形判定3例5：如图，BE⊥AE，CF⊥AE，ME＝MF。

求证：AM是△ABC的中线。

思路分析：1）题意分析：要证明AM 是△ABC 的中线，就要证明BM ＝CM ，要证明线段相等，就要证明与BM 、CM 有关的三角形全等，即△BEM ≌△CFM ，然后从已知条件中找出能够判断这两个三角形全等的条件。

2）解题思路：结合已知条件和对顶角相等可由ASA 来判定 △BEM ≌△CFM ，从而得出BM ＝CM ，进而得到AM 是△ABC 的中线。

解答过程：∵BE ⊥AE ，CF ⊥AE∴∠BEM ＝∠CFM ＝90° 在△BME 和△CMF 中，∵ ∴△BME ≌△CMF （ASA ） ∴BM ＝CM∴AM 是△ABC 的中线。

解题后的思考：要证明AM 是△ABC 的中线，需要证明M 是BC 的中点，因此，转化为证明BM ＝CM ，结合已知条件，应考虑证明与这两条相等线段有关的可能全等的两个三角形，结合题目中已有的条件和能够求出的相等关系，选择正确的判定方法来解决相关问题。

知识点四：全等三角形判定4例6：已知：BC ＝EF ，BC ∥EF ，∠A ＝∠D ，∠ABF ＝∠DEC 。

求证：AF ＝DC 。

思路分析：1）题意分析：要证明AF ＝DC ，就要先证明△ABF ≌△DEC ，而已知中证明这两个三角形全等的条件是∠A ＝∠D ，∠ABF ＝∠DEC ，但还缺少一组边，如何找到这组边呢？根据BC ＝EF ，BC ∥EF ，想到连接BE ，从而证明△BFE ≌△ECB ，进一步得到BF ＝EC ，再利用AAS 来判定两个三角形全等。

2）解题思路：要证明线段相等，我们可以考虑先证明三角形全等，△ABF 和△DEC 中有两对角对应相等，要使它们全等，只要证得BF ＝EC 即可。

于是连接BE 证△BFE ≌△ECB ，即可证得BF ＝EC 。

解答过程：连接BE ∵BC ∥EF∴∠FEB ＝∠CBE在△BFE 和△ECB 中，BME CMF ME MF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩BEM=CFM∵ ∴△BFE ≌△ECB （SAS ） ∴BF ＝CE在△ABF 和△DEC 中，∵ ∴△ABF ≌△DEC （AAS ） ∴AF ＝DC解题后的思考：证明三角形全等是证明线段相等的一种重要方法，解答时要结合图形，分析已知条件与求证的结论，寻找沟通二者的桥梁。

例7：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，，直线经过点，且于，于。

（1）当直线绕点旋转到图a 的位置时，求证：①≌；②；（2）当直线绕点旋转到图b 的位置时，求证：；（3）当直线绕点旋转到图c 的位置时，试问具有怎样的数量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。

图a图b图c思路分析： 1）题意分析：要证明一条线段等于两条线段之和，或证明一条线段等于两条线段之差，就要想这条线段与两条线段之间有何关系，以及两条线段AD 、BE 与CE 、DC 之间有何关系。

这就需要我们用三角形全等来证明线段相等，从而实现等线段的转化。

2）解题思路：（1）于，于，又，在Rt 与Rt 中，直角对应相等，斜边对应相等。

又与同为的余角，自然也是相等的，所以可得到≌。

进一步可推出。

（2）第（3）问中，与（1）的证明思路类似，先证明≌，再来证明三条线段间的数量关系。

解答过程：（1）①， 。

。

。

EF BC FEB CBE =⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩BE=EB A D ABF DEC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩　BF=EC BC AC =MN C MN AD ⊥D MN BE ⊥E MN C ADC ∆CEB ∆BE AD DE +=MN C BE AD DE -=MN C BE AD DE 、、MN AD ⊥D MN BE ⊥E ︒=∠90ACB ADC ∆CEB ∆DAC ∠BCE ∠ACD ∠ADC ∆CEB ∆BE AD DE +=ADC ∆CEB ∆BE AD DE 、、 ︒=∠=∠90ACB ADC ∴︒=∠+∠90D AC CAD ∴︒=∠+∠90D AC BCE ∴BCE ∠=∠CAD，≌。

图a②≌， 。

（2）， 。

又∵， ≌。

。

图b（3）当旋转到图c 的位置时，所满足的等量关系是（或AD ＝BE －DE ，等）。

， 。

又∵， ≌。

。

图c解题后的思考：在运动变换问题中，不管运动变换前后的图形、结论是否发生变化，解题的基本思路不变，一般情况下，运动前的解题思路及方法是为解答运动后的相关问题作铺垫。

小结： 本题组主要考查如何运用全等三角形判定4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

以及在运动变换问题中如何准确地运用三角形全等实现等线段的转BC AC =∴ADC ∆CEB∆ ADC ∆CEB ∆∴BE CD ,AD CE ==∴BE AD CD CE DE +=+= ︒=∠=∠=∠90ACB CEB ADC ∴CBE ∠=∠ACD BC AC =∴ACD ∆CBE ∆∴BE CD ,AD CE ==∴BE AD CD CE DE -=-=MN BE DE AD 、、AD BE DE －=DE AD +=B E ︒=∠=∠=∠90ACB CEB ADC ∴CBE ∠=∠ACD BC AC =∴ACD ∆CBE ∆∴BE CD CE AD ==，∴AD BE CE DE -=-=CD换。

知识点五：全等三角形判定5 例8：已知：如图为的高，为上一点，交于，且有，。

求证：。

思路分析：1）题意分析：要证垂直于，需证，由题意可知，若能证明，就可得垂直于，这就要证。

这可由已知条件证明≌，便可知。

再由∠1＋∠2＝90°和∠1＋∠2＋∠BEC ＝180°，得到∠BEC ＝90°。

从而得到。

2）解题思路：运用直角三角形全等的判定方法：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，证明≌，进一步得到。