数学思维训练教程
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数学思维训练教程
目录
第1讲计算（一）速算与巧算 (1)
第2讲计算（二）比较大小、估算、定义新运算16第3讲数字谜、数阵图、幻方 (29)
第4讲数论（一）整除、奇偶性、极值问题43
第5讲数论（二）约数倍数、质数合数、分解质因数 (54)
第6讲数论（三）带余除法、同余性质、中国剩余定理 (64)
第7讲几何（一）平面图形 (74)
第8讲几何（二）曲线图形 (93)
第9讲几何（三）立体图形 (106)
第10讲典型应用题（一）和差倍、年龄、植树问题116第11讲典型应用题（二）鸡兔同笼、盈亏、平均数问题 (122)
第12讲牛吃草问题 (130)
第13讲行程（一）相遇追及（多次）、电车问题137第14讲行程（二）平均速度、变速度、流水、电梯153第15讲行程（三）行程中的比例 (163)
第16讲分数与百分数 (177)
第17讲工程问题 (187)
第18讲浓度与经济问题 (202)
第19讲方程 (211)
第20讲排列组合 (222)
第21讲容斥原理 (233)
第22讲抽屉原理 (245)
第23讲逻辑推理 (253)
第24讲统筹与策略 (271)
第1讲 计算（一） 速算与巧算
一、知识地图
二、基础知识
（一）整数计算
1、基本公式
（1） 加法交换律：a b b a +=+
（2） 加法结合律：c b a c b a c b a ++=++=++)()(
（3） 减法的性质：()a b c a b c --=-+
（4） 乘法交换律：a b b a ?=?
（5） 乘法结合律：()()c b a c b a c b a ??=??=??
（6） 乘法分配律：()()a b c a b a c a b c a b a c
?+=?+??-=?-?
速算与巧算
整数计算
基本公式
平方、立方公式
数列及特殊公式
特殊方法
分数计算 拆分与裂项
几个常用拆分分数
循环小数化分数
（7） 除法的性质：()a b c a b c ÷÷=÷?
2、平方、立方公式
（1） 完全平方公式：2222222222()2()
2()222a b a b ab a b a b ab a b c a b c ab bc ac +=++-=+-++=+++++ （2） 平方差公式：22()()a b a b a b -=+-
（3） 完全立方公式：
3322
333223()33()33a b a a b ab b a b a a b ab +=+++-=-+ （4） 立方和公式：3322()()a
b a b a ab b +=+-+（5） 立方差公式：3322()()a
b a b a ab b -=-++ 3、数列及特殊公式 （1） 等差数列：
A) 通项公式：1(1)n a a n d =+-………………为什么要“n-1”呢？
B) 求项数公式：1
()1n a
a n d -=+………………为什么要“+1”呢？
C) 求和公式：1()2n
a a n S +?=………………为什么要“÷2”呢？
关于这个等差数列，同学们可以联系植树
问题的数量关系来看，怎么把植树问题与
等差数列联系在一起呢？
“在数轴上植树”，这可是带有一定的技术含量的……
如图：
10
13
7
4
19
25
22
16
请体会这里数字与“树”对应、公差与“株距间隔”对应。
例如：
a)22这个数是“第七棵树”，要由“第一棵树”加上
六个“间隔”得到，算式为： 22=4+（7-1）×
3；
b)如果要求这个数列从4到25，一共有多少个数，
相当于把4看作第一棵树，问25是第几棵树？
可以思考，从4到25一共有多少个“间隔”，
（25-4）÷3=7，
所以应该是“第8棵树”，这里注意到了为什么求项数“加1”了吧？
c)求和公式的来龙去脉，同学们不可不知：
法一：高斯“配对法”。
例如，在计算1+2+3+…+8+9这一串数列
的和时，我们可以把第一个数加上最后一个数，第二个数加上倒数第二个数，这样，一直到第四个数加上倒数第四个数，每一对数的和都是10，这里，要注意还有一个“中间数”5，，没有配上对，所以，这组数列9个数的和是10×4+5=45。 法二：借来还去法。 例如，还是计算1+2+3+…+8+9这一串数列吧，如果我再“借”来一串“
9+8+7+…+3+2+1”，
这么一串数只是把原来的数列颠倒一下顺序，可以知道两串数是相等的。所以，如果我把这两串数的和求出来，是一定要“除以2”的！ 问题在于，本来要求一串数的和，干嘛我还扯上了另一串，这样做好算吗？答案正在这个地方，就是因为再有这么一串倒过来的数，好算不得了——“变异为同”了！ 如图：
++++++++++++++++=2S =S =S 101010101010101010123456789+987654321
所以，可以得出，10×9÷2=45